• Like
  • Save
5.1.robezhas
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

5.1.robezhas

on

  • 1,511 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,511
Views on SlideShare
1,280
Embed Views
231

Actions

Likes
0
Downloads
3
Comments
0

1 Embed 231

http://ssfinkss.wikispaces.com 231

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    5.1.robezhas 5.1.robezhas Presentation Transcript

    • VIRKNE, VIRKNES ROBEŽA
    • Ja katram naturālam skaitlim n ir pakārtots kāds skaitlis xn, tad ir dota skaitļu virkne.Virkne – skaitļu kopums, kurā skaitļi ir sagrupēti noteiktā kārtībā tā, ka, zinot kāda skaitļa vietas numuru, var atrast šo skaitli.xn, kur n patvaļīgs vietas numurs jeb indekss, sauc par virknes vispārīgo locekli
    • Skaitļu virknes uzdošanas veidi• Skaitļu virknes uzdošana ar pietiekami lielu locekļu skaitu, lai būtu saskatāms likums, pēc kura var atrast tālākos virknes locekļus.• Vispārīgā locekļa xn kā funkcijas uzdošana .• Kārtulas un algoritma uzdošana vārdos.
    • Skaitļu virknes uzdošanas veidi• Virkni sauc par augošu, ja x1 x2 ... xn ...• Virkni sauc par dilstošu, ja 1 x1 x2 ... xn ... xn 2 n 1 xn 2 n n 1 xn 2 1 n
    • Skaitļu virkni sauc par ierobežotu, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis M, ka visiem virknes locekļiem ir spēkā nevienādība xn M
    • Skaitli a sauc par virknes robežu, ja katram > 0, lai cik mazs tas arī būtu, var atrast tādu naturālu skaitli N, ka visiem n > N ir spēkā nevienādība. xn a
    • Izmantojot definīciju, noteikt robežu virknei n 3 xn 5n 1Sākot ar kādu kārtas numuru, virknes locekļi no virknes robežas atšķiras mazāk nekā 0,01?
    • Ja n = 1000, tad 1000 3 1003 x1000 0,2 5 1000 1 4999
    • Pēc definīcijas xn an 3 15n 1 55n 15 5n 1 165 5n 1 5 5n 1 25n 5
    • 16 25n 516 25 n 5 16 5 n 2516 25 n 5 25 n 16 5
    • 16 5 16 ,05n n 25 0,25Ja = 0,01, tad n 64,2 16 5 0,01n 25 0,01 Virknes locekļi ar kārtas numuru 16 0,05 lielāku par 64 n no virknes robežas 0,2 0,25 atšķiras mazāk nekā 0,01.
    • Konverģenta virkne – virkne, kurai ir robeža.Diverģenta virkne – virkne, kurai nav robeža. 1 xn 2 n 1 xn 2 n n 1 xn 2 1 n
    • FUNKCIJA, FUNKCIJASROBEŽA
    • m, n Punkts x = a y = f(x)x1 , x2 ,..., xn ,... f x1 , f x2 ,..., f xn ,...
    • Funkcijas robežas definīcijas pēc HeinesSkaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x a, ja jebkurai argumenta x vērtību virknei, kuras robeža ir a, bet neviens loceklis nesakrīt ar a, atbilst funkcijas vērtību virkne, kuras robeža ir b.
    • Funkcijas robežas definīcija pēc KošīSkaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x a, ja katram > 0, lai cik mazs tas būtu, var atrast tādu > 0, ka f x bVisām tām x vērtībām, kas apmierina nevienādības x a , x a
    • Skaitli b sauc par funkcijas y = f(x) robežu, kad x + , ja katram > 0, lai cik tas mazs būtu, var atrast tādu skaitli M > 0, ka visiem x >M ir spēkā nevienādība f x b
    • Funkcijas robežas x x 2 x x2y y x x
    • Papildnosacījums:Visām x vērtībām jābūt vai nu lielākām, vai mazākām par a.Papildnosacījuma izpildīšanās gadījumā tiek iegūtas vienpusējas robežas:Robeža no labās puses: lim f x a x lim f x a 0 x f a 0 x aRobeža no kreisās puses: lim f x a x lim f x a 0 x f a 0 x a
    • Funkcijas lēciensKādā punktā aprēķinātu vienpusēju robežu starpības absolūto vērtību sauc par funkcijas lēcienu šajā punktā. Tātad funkcijas y = f(x) punktā x = a lēciens irf a 0 f a 0
    • Bezgalīgi lielas funkcijasFunkcijas y = f(x) robeža ir bezgalība, kad x a, ja katram M > 0, lai cik tas liels būtu, var atrast tādu > 0, ka f(x) > M visiem x, kam spēkā nevienādības x – a < , x ≠ a.Ja f(x) ir bezgalīgi liela funkcija, tad lim f x a x
    • x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 3y y y x 3 x 3 y
    • Ierobežota funkcijaFunkciju y=f(x) sauc par ierobežotu dotajā intervālā, ja eksistē tāds pozitīvs skaitlis M, ka visām x vērtībām no šī intervāla ir spēkā nevienādība f(x) M. Pretējā gadījumā, ja tāds M neeksistē, tad funkcija ir neierobežota.
    • Īpašības1. Bezgalīgi lielas funkcijas un ierobežotas funkcijas summa ir bezgalīgi liela funkcija.2. Divu bezgalīgi lielu funkciju summa ne vienmēr ir bezgalīgi liela funkcija.3. Divu bezgalīgi lielu funkciju reizinājums ir bezgalīgi liela funkcija.
    • Bezgalīgi mazas funkcijasFunkciju y = f(x) sauc par bezgalīgi mazu, kad x a, ja lim f x a x 0
    • Bezgalīgi mazu funkciju īpašībasBezgalīgi mazu funkciju algebriska summa ir bezgalīgi maza funkcija, ja saskaitāmo skaits ir galīgs.Bezgalīgi mazas funkcijas (x) dalījums ar funkciju f(x), kuras robeža atšķiras no nulles, ir bezgalīgi maza funkcija x lim x a f x 0, kur lim f x a x b 0
    • Bezgalīgi mazu funkciju īpašībasIerobežotas funkcijas f(x) un bezgalīgi mazas funkcijas (x) reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija. – Bezgalīgi mazas funkcijas reizinājums ar konstanti ir bezgalīgi maza funkcija. – Bezgalīgi mazas funkcijas dalījums ar konstanti, kura atšķiras no nulles, ir bezgalīgi maza funkcija. – Divu vai vairāku bezgalīgi mazu funkciju reizinājums ir bezgalīgi maza funkcija.
    • Pamatteorēmas par robežāmFunkcijas algebriskas summas robeža ir vienāda ar atsevišķo saskaitāmo funkciju robežu algebrisko summu, ja vien saskaitāmo skaits ir galīgs. lim (u + v - w) – lim u + lim v –lim wFunkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar reizinātāju robežu reizinājumu, ja vien reizinātāju skaits ir galīgs. lim (u ∙ v) = lim u ∙ lim v
    • SecinājumiPatstāvīgu reizinātāju drīkst iznest pirms robežas zīmes. lim (c ∙ u) = c ∙ lim uPakāpes robeža ir vienāda ar bāzes robežas pakāpi lim (un) = (lim u)n
    • Pamatteorēmas par robežāmDivu funkciju dalījuma robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu dalījumu, ja vien dalītāja robeža atšķiras no nulles u lim u lim , kur v 0 v lim vJa funkcijas u vērtības ir nenegatīvas, kad x a vai x , t.i., u 0 un eksistē lim u = b, tad b 0.
    • Pamatteorēmas par robežāmJa divu funkciju u = u(x) un v = v(x) atbilstošajām vērtībām ir spēkā nevienādība v u un abām funkcijām ir robeža, kad x a vai (x ), tad lim v lim u.Ja triju funkciju u = u(x), w = w(x) un v = v(x) atbilstošajām vērtībām ir spēkā nevienādības u w v, pie tam u(x) un v(x), kad x a vai x , tiecas uz vienu un to pašu robežu b, t.i., lim u = b un lim v = b, tad arī funkcija w(x) tiecas uz to pašu robežu, t.i., lim w = b.
    • Pamatteorēmas par robežāmJebkurai ierobežotai monotonai funkcijai ir robeža, kad arguments monotoni tiecas uz galīgu robežu a vai neierobežoti aug (vai dilst).
    • Nenoteiktības 0 0 0 00 1 0
    • Pirmā ievērojamā robeža sin x 1 lim x x 0 S AOB AO AB 2 C B 1S sektAOC AC R 2 R 1S AOD AO CD 2 D O A R
    • 1S AOD AO CD S sektAOC 1 AC R 2 2 1 S AOB AO AB 21 1 1 AO AB AC R AO AB2 2 2 R R sin x Rx R R Rtgx sin x x tgx
    • sin x x tgx x 1 sin x 1 1 cos x sin x cos x x Ja x 0, tad sin xlim1 1x 0 limcos x 1 x 0 lim x 1 x 0 x 0
    • Piemēri sin kx k sin kx sin kx lim x x 0 lim kx x 0 k lim x 0 kx k tgx sin x 1 lim x x 0 lim x x 0 lim cos x 1 x 0 arcsin x lim x x 0 1 2 2 x 2 x x 2 sin 2 sin sin 1 cos x 2 2 1 2 1lim x 2 x 0 lim x 2 x 0 lim x 2 x 0 2 lim x 0 x 2 4 2 2
    • Skaitlis eFunkcijaipunktā x = + eksistē galīga robeža, kuru apzīmē ar e.Skaitļa vērtība ar 26 zīmēm pēc komata ir
    • Otrā ievērojamā robeža. Piemēri n 1 e lim n 1 n kn n k 1 1lim 1 lim 1 ekn n n n n kx k 1 klim n 1 n lim n 1 k e