Your SlideShare is downloading. ×
4.noteiktais integrālis
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

4.noteiktais integrālis

1,186
views

Published on

Published in: Education

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,186
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Noteiktais integrālis
  • 2. LĪKLĪNIJU TRAPEČULAUKUMS
  • 3. Līklīnijas trapece• Līklīnijas trapece – plaknes figūra, kuru ierobežo trīs taisnes nogriežņi un līknes loks.
  • 4. Laukuma aprēķināšana• Sadalot figūru daļās, līklīnijas trapeces laukums sastāv no līklīnijas trapeces daļu laukumu summas• Katras daļas laukums tiek risināts kā taisnstūra laukums – pamats reiz augstuma reizinājums.• Lai izmantotu risināšanas kārtulu Ox, intervālu (a; b) ar punktiem sadala n daļās a = x0 < x1< … <xn = b
  • 5. Funkcijas f(x) integrālsumma intervālā (a; b)• S ≈ f(ξ1) x1 + f(ξ2) x2 + … + f(ξn) xn n S f i xi i 1
  • 6. Noteiktais integrālis• Ja apzīmē x max xi 1 i n un meklē integrālsummas robežu, kad x 0, un eksistē robeža n lim x 0 i 1 f i xi• Kura nav atkarīga no intervāla (a; b) sadalījuma veida un no punktu ξi (i = 1, 2, 3, … , n) izvēles, tad šo robežu sauc par funkcijas f(x) noteikto integrāli intervālā (a; b) un apzīmē b f x dx a
  • 7. b n f x dx lim x 0 i 1 f i xi ax – integrācijas mainīgaisf(x) – zemintegrāļa funkcijaf(x)dx – zemintegrāļa izteiksmea – integrācijas apakšējā robežab – integrācijas augšējā robeža(a; b) – integrācijas intervāls
  • 8. Noteiktā integrāļa īpašības• Integrālis no divu vai vairāku funkciju summas ir vienāds ar šo funkciju integrāļu summu. b f1 x f2 x ... f n x dx a b b b f1 x dx f 2 x dx ... f n x dx a a a
  • 9. • Konstantu reizinātāju var iznest pirms integrāļa zīmes b b cf x dx c f x dx a a• Mainot vietām integrācijas robežas , mainās tikai integrāļa zīme b a f x dx f x dx a b
  • 10. • Ja (a, b) = (a; c) (c; b), tad b c b f x dx f x dx f x dx a a c• Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f(x)≥0, tad arī b f x dx 0 a
  • 11. • Ja f(x) = 1, tad b b f x dx dx b a a a• Ja m min f x, M max f x un a b, tad x a;b x a;b b mb a f x dx M b a a
  • 12. • Ja visiem x (a; b) (a < b) ir spēkā nevienādība f1(x) f2(x), tad b b f1 x dx f 2 x dx a a• Vidējās vērtības teorēma. Ja f(x) ir intervālā (a; b) (a<b) nepārtraukta funkcija, tad eksistē tāds punkts b c (a; b), ka f x dx f c a b a
  • 13. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻAAPRĒĶINĀŠANASPAŅĒMIENI
  • 14. Integrālrēķinu pamatteorēma• Ja funkcija f(x) ir integrējama intervālā *a; b+ un F(x) ir funkcijas f(x) primitīvā funkcija intervālā (a; b), tad spēkā ir sakarība b f x dx Fb Fa a Ņūtona – Leibnica formula
  • 15. 2 1 sin 2 xdx cos 2 x 020 2 1 1 cos 2 cos 2 0 cos cos 0 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2
  • 16. Parciālā integrēšana• Ja ir dotas nepārtrauktas un diferencējamas funkcijas u=u(x) un v=v(x) intervālā [a; b], tad d(uv)=udv+vdu b b b d uv udv vdu a a a b b b udv uv a vdu a a
  • 17. u x du dx x sin xdx dv sin dx v sin xdx cos x0 x cos x 0 cos x dx cos sin x 0
  • 18. Substitūcijas metode• Izmanto mainīgo t ar formulu x = (t)• A= ( ) un b = ( )• Funkcija (t) ir nepārtraukta intervālā * ; ]• Funkcijas (t)vērtības pieder intervālam *a; b+, ja t [ ; ] b f x dx f t t dt a
  • 19. 7 2 2 xdx t 2 1 2tdt 1 0 t 1 x t0 1 x 1 t t 1 2 1 x t 2 2 t 2 1 dt 1 7 t 2 2 x t 1 1 t t 2 2 2 2 dx 2tdt 1 2 t dt 1 t
  • 20. 2 2 1 2 2 2 2 22 t dt 2 t ln t 1 1 t 1 2 2 2 2 2 22 t ln t 1 2 2 2 12 ln 2 2 ln 1 1 2 82 1 ln 2 2 126 ln 2 2
  • 21. Tuvinātā aprēķināšana b n xi f x dx f x dx a i 1 xi 1
  • 22. xi yi 1 yi f x dx h xi 1 2 b n yi 1 yi f x dx h a i 1 2 h y0 y1 y1 y2 ... yn 1 yn 2b n yi 1 yi y0 yn f x dx h h y1 y2 ... yn 1a i 1 2 2
  • 23. NOTEIKTĀ INTEGRĀĻAPIELIETOJUMI
  • 24. Plaknes figūru laukumu pielietošana
  • 25. • Ir dota plaknes figūra, kuru no augšas ierobežo intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = g(x), no apakšas - šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas grafiks y = f(x), pie tam abiem grafikiem no sāniem ir taisnes x = a un x = b.• Meklējamais laukums S ir divu līklīnijas trapeču laukumu starpība.
  • 26. Līknes garuma aprēķināšana
  • 27. Līknes garuma aprēķināšana• Līknes loka garums sastāv no līknes lokā ievilktās lauztās līnijas nogriežņu garumiem Pārveidojums pēc Lagranža formulas
  • 28. Rotācijas ķermeņa tilpums• Rotācijas ķermeni, šķeļot ar jebkuru abscisu asij perpendikulāru plakni, iegūst riņķi, kura rādiuss ir .• Iegūtā šķērsgriezuma laukums
  • 29. NEĪSTAIS INTEGRĀLIS
  • 30. • Integrāļus ar galīgu integrēšanas intervālu [a; b] no šajā intervālā nepārtrauktas funkcijas f(x) sauc par īstajiem integrāļiem.• Noteiktais integrālis zaudē jēgu, ja integrēšanas intervāls ir bezgalīgs vai zemintegrāļa funkcija integrēšanas intervālā nav ierobežota.• Integrāļus ar bezgalīgu integrēšanas intervālu sauc par neīstajiem integrāļiem.
  • 31. • Pirmā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga, bet zemintegrāļa funkcija ir ierobežota integrēšanas intervālā.• Otrā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā .• Trešā veida neīstie integrāļi - integrāļi, kuriem vismaz viena no integrēšanas robežām ir bezgalīga un zemintegrāļa funkcija nav ierobežota integrēšanas intervālā.
  • 32. Pirmā veida neīstie integrāļi b b dx dx I1 2 I2 1 x 1 x b 1 1 bI1 1 I2 ln x 1 ln b x1 b lim I b 1 1 lim I b 2
  • 33. • Lielumam I1(b) ir noteikta robeža I.• Neīstais integrālis eksistē jeb konverģē.• Lielumam I2(b) nav noteikta robeža I.• Neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.
  • 34. • Integrāļa I1 (b) robežu sauc par neīsto integrāli ar bezgalīgu augšējo integrācijas robežu jeb par pirmā veida neīsto integrāli. b f x dx lim b f x dx a a
  • 35. • Funkcija y = f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; c). Punktā x = c tai ir bezgalīgs pārtraukums.• Pēc būtības integrālis nav definēts, bet ar pietiekami mazu integrālis ir definēts.• Ja 0 – lielumam I( ) ir noteikta robeža; – lielumam I( ) nav robežas.
  • 36. • Ja I( ) noteikta robeža ir, tad to sauc par otrā veida neīsto integrāli no funkcijas ar bezgalīgu pārtraukumu intervāla galapunktā c. b b f x dx lim 0 f x dx a a• Ja robeža eksistē, tad neīstais integrālis eksistē vai konverģē.• Ja robeža neeksistē, tad neīstais integrālis neeksistē jeb diverģē.

×