Vairāk argumentu funkcijasParciālais un pilnais diferenciālis
VAIRĀK ARGUMENTUFUNKCIJAS DIFERENCIĀLRĒĶINI
Vairāk argumentu funkcijas Ja katram mainīgu lielumu x, y vērtību  sakārtotam pārim (x, y) D pēc zināma likuma  atbilst v...
S     xy         Taisnstūra laukums         U    I                Elektriskās strāvas stiprums         R    V    xyz      ...
   Ja katram mainīgu lielumu x, y, z vērtību    sakārtotam pārim (x, y, z) D pēc zināma    likuma atbilst viena noteikta ...
   Ja katram kopas D, kuras elementi ir reālo skaitļu    sakārtoti pāri (x, y), elementam (x, y) tiek    piekārtots notei...
Līmeņlīnijas un līmeņvirsmas   Par funkcijas z = f(x, y) līmeņlīniju sauc visu to punktu    kopu, kuros šai funkcijai ir ...
Funkcijas robeža   Pieņem, ka funkcija z = f(x, y) ir definēta kādā    Oxy plaknes apgabalā D. Apzīmē ar    attālumu star...
Funkcijas robeža   Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu,    kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu > ,    ka ...
   Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu,    kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu    punkta P0(x0; y0) -apkā...
Parciālie pieaugumi un pilnaispieaugums   Dota divargumentu funkcija z=f(x,y). Starpību ∆xz = f(x+∆x, y) - f(x, y) sauc ...
Funkcijas nepārtrauktība   Funkciju sauc par nepārtrauktu punktā    P0(x0;y0), ja tā definēta punktā P0 un tā    apkārtnē...
Funkcija ir nepārtraukta, ja izpildāssekojoši nosacījumi Funkcijai f(x, y) ir jābūt definētai punkta P0  apkārtnē, ieskai...
Hiperboliskais cilindrs                          x^2/a^2-y^2/b^2=1
Pilnais diferenciālis   Funkciju z = f(x, y) sauc par diferencējamu punktā P(x; y),    ja tās pilno pieaugumu z var uzrak...
z=     xy 2z = (x + x)(y + y)2 - x2y2 == (x + x)(y2 + 2y y + ( y)2) - x2y2 = = xy2 + 2xy y + x( y)2 + y2 x + 2y x y + x( y...
z=      xy 2   Divu argumentu funkcijas pilnais diferenciālis    ir vienāds ar funkcijas parciālo atvasinājumu    un atti...
Vairākargumentu funkcijas pilnaisdiferenciālis   Vispārināts divargumentu funkcijas pilnais    diferenciālis.            ...
Saliktas funkcijas atvasināšana   Dota divargumentu           Dota divargumentu    funkcija                     funkcija...
z        z             z         x        y                 u, v                     u        v             ( u, v) – bezg...
z           tgx      sin x               dz        z du   z dv                                              dx        u dx...
Apslēptu funkciju atvasinājumi x2    y2   z2 1 0         F x, y , z   0Ja funkcija F(x, y, z) un tās parciālie atvasinājum...
Apslēptu funkciju atvasinājumi     2       2 x       y       1 0     F x, y       0Ja funkcija F(x, y) un tās parciālie at...
F ( x, y) 0                        F                          dy       xF x, y x      0                y                  ...
 Noteikt atvasinājumu                       dy apslēptai funkcijai.                       dx e   y         e   x         ...
   Noteikt parciālos atvasinājumus funkcijai z = f(x, y).     ez    x2 y z 5 0      F                F        2       F  ...
Virsmas pieskarplakne un normāle Par virsmas pieskarplakni punktā M0 sauc  plakni, kurā atrodas visas caur punktu M0 uz  ...
   Vienādojums plaknei, kas iet caur punktu    M0(x0; y0; z0) un ir perpendikulāra vektoram    n(A; B; C).              A...
A x x0            B y      y0         C z z0          0    Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0)     normāles vekt...
x x0          y y0         z z0              A             B            C   Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0) ...
Augstāku kārtu atvasinājumi undiferenciāļiz = f(x, y) – divargumentu funkcijaz                         z                  ...
   Ja funkcijai z = f(x, y) punktā P(x; y) eksistē    nepārtraukti otrās kārtas jauktie atvasinājumi,    tad tie ir vienā...
 Par otrās kārtas pilno diferenciāli sauc   diferenciāli no pirmās kārtas pilnā diferenciāļa.  Par n-tās kārtas pilno di...
Vairākargumentu funkciju ekstrēmi   Ja punktā P0(x0; y0) funkcijai f(x, y) ir    ekstrēms un šajā punktā eksistē pirmās k...
   Punktus, kuros pirmās kārtas parciālie    atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē,    sauc par kritiskajiem pun...
Stacionārajā punktā P0(x0; y0) aprēķina otrās kārtas  atvasinājumu vērtības A, B, C un diskriminantu .    2              ...
Vairākargumentu funkciju ekstrēmi    Ja diferencējamai funkcijai f(x1, x2, … , xn) =     f(P) punktā P0 ir ekstrēms, tad ...
2       2       2     u   x       y       z       xy x        y 2zu                        u                          u   ...
   Ja stacionārajā punktā P0(x10; x20; …, xn0)    visām pēc absolūtās vērtības pietiekami    mazām argumentu pieaugumu vē...
Punktā P0 (1; -1; 1)                                               funkcijai ir minimums          2                      2...
2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini

2,654 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,654
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
183
Actions
Shares
0
Downloads
3
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini

  1. 1. Vairāk argumentu funkcijasParciālais un pilnais diferenciālis
  2. 2. VAIRĀK ARGUMENTUFUNKCIJAS DIFERENCIĀLRĒĶINI
  3. 3. Vairāk argumentu funkcijas Ja katram mainīgu lielumu x, y vērtību sakārtotam pārim (x, y) D pēc zināma likuma atbilst viena noteikta lieluma z vērtība, tad lielumu z sauc par mainīgo x un y funkciju un raksta z = f(x, y). x, y – neatkarīgie mainīgie jeb argumenti z – atkarīgais mainīgais Funkcija – likums vai operators, kas katram skaitļu pārim piekārto kādu reālu skaitli.
  4. 4. S xy Taisnstūra laukums U I Elektriskās strāvas stiprums R V xyz Paralēlskaldņa tilpumsT T x, y , z , t Temperatūra t telpas punktā M(x; y; z)
  5. 5.  Ja katram mainīgu lielumu x, y, z vērtību sakārtotam pārim (x, y, z) D pēc zināma likuma atbilst viena noteikta lieluma u vērtība, tad lielumu u sauc par mainīgo x, y, un z funkciju un raksta u = f(x, y, z). n argumentu funkcija u = f(x1, x2, x3, …, xn).
  6. 6.  Ja katram kopas D, kuras elementi ir reālo skaitļu sakārtoti pāri (x, y), elementam (x, y) tiek piekārtots noteikts reāls skaitlis, tad kopa D ir definēta divu argumentu x un y funkcija f. Funkcijas f vērtību punktā (x; y) apzīmē ar f(x, y) Kopu D sauc par funkcijas f definīcijas apgabalu, bet visu tās vērtību (ko tā iegūst kopā D) kopu sauc par funkcijas f vērtību apgabalu.
  7. 7. Līmeņlīnijas un līmeņvirsmas Par funkcijas z = f(x, y) līmeņlīniju sauc visu to punktu kopu, kuros šai funkcijai ir konstanta vērtība, t.i. f(x, y) = C. C var izvēlēties patvaļīgi. Katrai funkcijai eksistē bezgalīgi daudz līmeņlīniju. Ģeometriski līmeņlīnija ir tāda līnija, kas rodas, šķeļot virsmu z = f(x, y) ar plakni z = C. Praktiskos pielietojumos:  Ja funkcija z = f(x, y) apraksta temperatūras sadalījumu, tad līmeņlīnijas sauc par izotermām.  Ja z ir spiediens, tad līmeņlīnijas sauc par izobārām.  Finansu matemātikā līmeņlīnijas sauc par izokvantām.  Izokvanta - līnija, kas savieno visus punktus ar vienādu ražošanas apjomu (visas faktoru kombinācijas, kas nodrošina vienādu ražošanas apjomu).
  8. 8. Funkcijas robeža Pieņem, ka funkcija z = f(x, y) ir definēta kādā Oxy plaknes apgabalā D. Apzīmē ar attālumu starp šī apgabala diviem punktiem P(x, y) un P0(x0, y0). 2 2 PP0 x x0 y y0
  9. 9. Funkcijas robeža Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu, kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu > , ka visiem definīcijas apgabala punktiem P(x, ), kuriem ir spēkā nevienādības 0 < < , ir spēkā nevienādība f x; y A Ja skaitlis A ir funkcijas f(x; y) robeža, kad P(x; y) P0(x0; y0), tad raksta lim f ( x; y ) x x0 A y y0
  10. 10.  Skaitli A sauc par funkcijas z = f(x, y) robežu, kad P P0, ja katram > 0 var atrast tādu punkta P0(x0; y0) -apkārtni, ka visiem punktiem P(x; y) no šīs apkārtnes, izņemot varbūt pasu punktu P0 ir spēkā nevienādība f x; y A
  11. 11. Parciālie pieaugumi un pilnaispieaugums Dota divargumentu funkcija z=f(x,y). Starpību ∆xz = f(x+∆x, y) - f(x, y) sauc par funkcijas parciālo pieaugumu pēc x. Starpību ∆yz = f(x, y+∆y) - f(x, y) sauc par funkcijas parciālo pieaugumu pēc y. Starpību ∆z = f(x+∆x, y+∆y) - f(x, y) sauc par funkcijas pilno pieaugumu.
  12. 12. Funkcijas nepārtrauktība Funkciju sauc par nepārtrauktu punktā P0(x0;y0), ja tā definēta punktā P0 un tā apkārtnē un ja bezgalīgi maziem argumentu pieaugumiem atbilst bezgalīgi mazs funkcijas pieaugums, t.i., ja lim x 0 z 0 y 0
  13. 13. Funkcija ir nepārtraukta, ja izpildāssekojoši nosacījumi Funkcijai f(x, y) ir jābūt definētai punkta P0 apkārtnē, ieskaitot pašu punktu P0. Punktā P0 jāeksistē funkcijas robežai, kad P patvaļīgā veidā tiecas uz P0. Robežai jāsakrīt ar funkcijas vērtību punktā P0.
  14. 14. Hiperboliskais cilindrs x^2/a^2-y^2/b^2=1
  15. 15. Pilnais diferenciālis Funkciju z = f(x, y) sauc par diferencējamu punktā P(x; y), ja tās pilno pieaugumu z var uzrakstīt: z = A x + B y + ( x, y), kur x, y ir argumentu x un y pieaugumi punkta P apkārtnē A, B – izteiksmes, kas nav atkarīgas no argumentu pieaugumiem x un y, bet ( x, y) ir augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija. A x + B y – funkcijas z = f(x, y) pilnā pieauguma galvenā lineārā daļa, kuru sauc par funkcijas pilno diferenciāli. dz = A x + B y
  16. 16. z= xy 2z = (x + x)(y + y)2 - x2y2 == (x + x)(y2 + 2y y + ( y)2) - x2y2 = = xy2 + 2xy y + x( y)2 + y2 x + 2y x y + x( y)2 - x2y2 == 2xy y + x( y)2 + y2 x + 2y x y + x( y)2 == 2xy y +y2 x + x( y)2 + + 2y x y + x( y)22xy y + y2 x – lineāra attiecība pret argumenta pieaugumiem x un y, funkcijas pilnais pieaugums.x( y)2 + 2y x y + x( y)2 - nelineāra attiecība pret argumenta pieaugumiem x un y, augstākas kārtas bezgalīgi maza funkcija salīdzinājumā ar lineāro locekli.
  17. 17. z= xy 2 Divu argumentu funkcijas pilnais diferenciālis ir vienāds ar funkcijas parciālo atvasinājumu un attiecīgo argumentu diferenciāļu reizinājumu summu z z dz dx dy x y z 2 z y 2 xy dz 2 y dx 2 xydy x
  18. 18. Vairākargumentu funkcijas pilnaisdiferenciālis Vispārināts divargumentu funkcijas pilnais diferenciālis. u u u u x y z ( x, y , z ) x y z u u u du dx dy dz x y z
  19. 19. Saliktas funkcijas atvasināšana Dota divargumentu  Dota divargumentu funkcija funkcija z = f(u,v) z tgxsin x Argumenti u un v ir  Argumenti u un v ir neatkarīgā mainīgā x neatkarīgā mainīgā x funkcijas funkcijas u = u(x) un v = v(x) u tgx un v sin xFunkcijām eksistē atvasinājums punktā x,bet divargumentu funkcija z = f(u,v) ir diferencējamapunktā P(u, v)
  20. 20. z z z x y u, v u v ( u, v) – bezgalīgi maza funkcija, kad u 0 un v 0 z zlimx 0 z u lim x 0 x v lim x 0 y lim x 0 u, v dz z du z dv dx u dx v dx
  21. 21. z tgx sin x dz z du z dv dx u dx v dx v z u u tgx un v sin xdz v du v dv u u u vdx dx dx vuv 1 tgx u v ln u sin x v 1 1 v vu 2 u ln u cos x cos x sin x 1 1 sin x tgx tgxsin x ln tgx cos x cos2 x
  22. 22. Apslēptu funkciju atvasinājumi x2 y2 z2 1 0 F x, y , z 0Ja funkcija F(x, y, z) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y, z),F’y(x, y, z) un F’z(x, y, z) ir definēti un nepārtraukti kādapunkta P0(x0; y0; z0) apkārtnē, un pie tam F(x0, y0; z0) = 0,bet F’y(x0, y0; z0) ≠ 0, tad punkta P0(x0; y0; z0) apkārtnēvienādojums F(x, y; z) = 0 definē vienu vienīguapslēptu funkciju z = z(x, y), kura ir nepārtraukta undiferencējama kādā apgabalā, kas saturpunktu (x0, y0), turklāt ir spēkā vienādība z(x0, y0) = z0.
  23. 23. Apslēptu funkciju atvasinājumi 2 2 x y 1 0 F x, y 0Ja funkcija F(x, y) un tās parciālie atvasinājumi F’x(x, y) unF’y(x, y) ir definēti un nepārtraukti kāda punkta P0(x0; y0)apkārtnē, un pie tam F(x0, y0) = 0, bet F’y(x0, y0) ≠ 0, tadpunkta P0(x0; y0) apkārtnē vienādojums F(x, y) = 0 definēvienu vienīgu apslēptu funkciju y = y(x), kura irnepārtraukta un diferencējama kādā intervālā, kas saturpunktu x0, turklāt ir spēkā vienādība y(x0) = y0.
  24. 24. F ( x, y) 0 F dy xF x, y x 0 y dx F F dx F dy y 0 x dx y dx F F dy 0 x y dx
  25. 25.  Noteikt atvasinājumu dy apslēptai funkcijai. dx e y e x xy 0 F dy x y F x F y dx F e y e x x y ydy ex y ex y y ydx e x e x
  26. 26.  Noteikt parciālos atvasinājumus funkcijai z = f(x, y). ez x2 y z 5 0 F F 2 F 2 xy x ez 1 x y z 2 z 2 xy z x x ez 1 y ez 1
  27. 27. Virsmas pieskarplakne un normāle Par virsmas pieskarplakni punktā M0 sauc plakni, kurā atrodas visas caur punktu M0 uz virsmas vilktu līniju pieskares šajā punktā. Par virsmas normāli punktā M0 sauc taisni, kas vilkta caur šo punktu perpendikulāri pieskarplaknei.
  28. 28.  Vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M0(x0; y0; z0) un ir perpendikulāra vektoram n(A; B; C). A x x0 B y y0 C z z0 0 Vienādojumi, kas nosaka taisni, kas iet caur punktu M0(x0; y0; z0) un ir paralēla vektoram n(A; B; C). x x0 y y0 z z0 A B C
  29. 29. A x x0 B y y0 C z z0 0  Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0) normāles vektora koordinātas ir F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0 A B C x y z A Fx x0 ; y0 ; z0 B Fy x0 ; y0 ; z0 C Fz x0 ; y0 ; z0  Pieskarplaknes vienādojumsFx x0 ; y0 ; z0 x x0 Fy x0 ; y0 ; z0 y y0 Fz x0 ; y0 ; z0 z z0 0
  30. 30. x x0 y y0 z z0 A B C Virsmai F(x, y, z) = 0 punktā M0(x0; y0; z0) normāles vektora koordinātas ir F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0 F x0 ; y0 ; z0A B C x y zA Fx x0 ; y0 ; z0 B Fy x0 ; y0 ; z0 C Fz x0 ; y0 ; z0 Normāles vienādojums x x0 y y0 z z0Fx x0 ; y0 ; z0 Fy x0 ; y0 ; z0 Fz x0 ; y0 ; z0
  31. 31. Augstāku kārtu atvasinājumi undiferenciāļiz = f(x, y) – divargumentu funkcijaz z Pirmās kārtas f x x, y f y x, yx y parciālie atvasinājumi 2 z zx 2 f xx x, y x x Otrās kārtas2 z z parciālie atvasinājumi f xy x, yx y y x 2 z z f yx x, yy x x y 2 2 3 z f yy x, y z z 3x y yy2 y y
  32. 32.  Ja funkcijai z = f(x, y) punktā P(x; y) eksistē nepārtraukti otrās kārtas jauktie atvasinājumi, tad tie ir vienādi. 2 2 z z x y y x
  33. 33.  Par otrās kārtas pilno diferenciāli sauc diferenciāli no pirmās kārtas pilnā diferenciāļa.  Par n-tās kārtas pilno diferenciāli sauc pilno diferenciāli no (n - 1)-ās kārtas pilnā diferenciāļa. 2 2 2 d z 2 d dz 2 z 2 z z d z 2 dx 2 dxdy 2 dy 2 x x y y n n 1d z dd z
  34. 34. Vairākargumentu funkciju ekstrēmi Ja punktā P0(x0; y0) funkcijai f(x, y) ir ekstrēms un šajā punktā eksistē pirmās kārtas parciālie atvasinājumi, tad tie ir vienādi ar 0. f x x0 , y0 0 f y x0 , y0 0 Oxy plaknes punktus, kuros funkcijas z=f(x, y) pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli, sauc par stacionārajiem punktiem, kurus atrod, atrisinot sistēmu f x x, y 0 f y x, y 0
  35. 35.  Punktus, kuros pirmās kārtas parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai neeksistē, sauc par kritiskajiem punktiem. Ne katrā kritiskajā punktā ir ekstrēms!
  36. 36. Stacionārajā punktā P0(x0; y0) aprēķina otrās kārtas atvasinājumu vērtības A, B, C un diskriminantu . 2 2 2 f x0 ; y0 f x0 ; y0 f x0 ; y0A 2 B C x y y y2 Ja > 0, tad funkcijai f(x, y) 2 stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēms. AC B Ja A < 0, tas ir maksimums. Ja A > 0, tas ir minimums. Ja = 0, tad jāizpilda papildus pētījumi. Ja < 0, tad funkcijai f(x, y) stacionārajā punktā P0(x0; y0) ir ekstrēma nav.
  37. 37. Vairākargumentu funkciju ekstrēmi  Ja diferencējamai funkcijai f(x1, x2, … , xn) = f(P) punktā P0 ir ekstrēms, tad tās pirmās kārtas parciālie atvasinājumi šai punktā ir vienādi ar nulli.f x1 P0 0 f x2 P0 0 ... f xn P0 0
  38. 38. 2 2 2 u x y z xy x y 2zu u u 2x y 1 2y x 1 2z 2x y z 2x y 1 0 Stacionārs punkts ir P0 (1; -1; 1) 2y x 1 0 2z 2 0
  39. 39.  Ja stacionārajā punktā P0(x10; x20; …, xn0) visām pēc absolūtās vērtības pietiekami mazām argumentu pieaugumu vērtībām funkcijas f(x1, x2, …, xn) otrās kārtas diferenciālim ir spēkā nevienādība 2f(P0) > 0, tad šajā punktā ir minimums, ja 2f(P0) < 0, tad – maksimums.
  40. 40. Punktā P0 (1; -1; 1) funkcijai ir minimums 2 2 2 u u u 2 2 2 x2 y2 z2 2 2 2 u u u 1 0 0 x y x z y z 2 2 2 2 2 2 2 u 2 u 2 u 2 u u ud u 2 x 2 y 2 z 2 x y 2 x z 2 y z x y z x y x z y z d 2u 2 x2 2 y2 2 z2 2 x y d 2u 2 x2 2 x y 2 y2 2 z2 0

×