Augstāku kārtu atvasinājumi un                    diferenciāļi
y’ = f’(x) – pirmās kārtas atvasinājumsy’’ = (y’)’ = (f’(x))’ = f’’(x)y’’’ = (y’’)’ = (f’’(x))’ = f’’’(x)y(n) = (y(n – 1))...
Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā                        interpretācijaX = x(t) – materiāla punkta taisnvirziena kustība...
Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā                        interpretācijaMateriāla punkta paātrinājums a laika momentā t i...
FUNKCIJU PĒTĪŠANA
1. Noteikt funkcijas definīcijas apgabalu,   pārtraukuma punktus un nepārtrauktības   intervālus.2. Noteikt funkcijas pari...
4. Noteikt funkcijas monotonitātes intervālus un   ekstrēmus.5. Noteikt funkcijas grafika izliekuma un   ieliekuma intervā...
3            xy           2        x           1Pārtraukuma punkti: x = 1Definīcijas apgabals: x                         (...
Funkcijas grafika krustpunkts ar Ox asi (0; 0).    Funkcijas grafika krustpunkts ar Oy asi (0; 0).x            (- ; -1)   ...
3              xy             2          x           1           x3  x 2 1             x3 x 2 1               3x 2 x 2 1  ...
x      (- ; - 3) - 3 (- 3; -1)      -1     (-1; 0)    y’         -      0      +       Neeksistē    +    y         ↘      ...
x   3                                                 x 4 3x 2y                                   y                       ...
x   3                                            x 4 3x 2y                            y                                 2 ...
x   3                                        x 4 3x 2y                                  y                   2             ...
x (- ; -1)     -1      (-1; 0)      0       (0; 1)     1       (1; + )y     -                  +          0         -     ...
Funkcijas vertikālās asimptotas ir x = -1 un x = 1. Slīpā asimptota y = kx +3b                         x                  ...
3                                            xb       lim        x                f x      kx   lim                       ...
TEILORA FORMULA
2              nDots polinoms: Pn x          a0   a1 x a2 x       ... an x                                     2          ...
2              nDots polinoms: Pn x       a0   a1 x a2 x       ... an x                                                   ...
Teilora formula n-tās pakāpes polinomam          Pn(x) pēc binoma x – x0 pakāpēm                                          ...
Teilora formula polinomamP3(x) = 5 + 3x - 2x2 + x3 pēc binoma x - 2                                    2           3 P3 x ...
Teilora formula funkcijai                             nf x       Pn x    o x x0 ,          x        x0                  f ...
Ja x0 = 0, tad Teilora formulu sauc par Maklorena formulu                                    f 0      f  0 2         f x  ...
Teilora formula svarīgākajāmelementārajām funkcijām               x   Uzrakstīt Teilora formulu un   f x     e       aprēķ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi

1,995 views
1,610 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,995
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
191
Actions
Shares
0
Downloads
5
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi

  1. 1. Augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
  2. 2. y’ = f’(x) – pirmās kārtas atvasinājumsy’’ = (y’)’ = (f’(x))’ = f’’(x)y’’’ = (y’’)’ = (f’’(x))’ = f’’’(x)y(n) = (y(n – 1))’ = (f(n – 1)(x)); = f(n)(x)Otrās kārtas atvasinājumu apzīmē y’’, f’’(x) vai d2y dx 2
  3. 3. Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā interpretācijaX = x(t) – materiāla punkta taisnvirziena kustības likumsFunkcijas x(t) atvasinājums x’(t) = v(t) – punkta momentānais ātrums, laika funkcija v = v(t + t) – v(t) – momentānā ātruma pieaugums laika intervālā t y avid materiālā punkta vidējais t paātrinājums intervālā t
  4. 4. Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā interpretācijaMateriāla punkta paātrinājums a laika momentā t ir vidējā paātrinājums robeža, kad t 0 v a lim a t 0 vid lim t 0 t vt Tā kā v = xt’, tad a = vt’ = (xt’)t’ = xtt’’Ja x = x(t) ir materiāla punkta taisnvirziena kustības likums, tad punkta momentānais ātrums ir funkcijas x(t) otrās kārtas atvasinājums
  5. 5. FUNKCIJU PĒTĪŠANA
  6. 6. 1. Noteikt funkcijas definīcijas apgabalu, pārtraukuma punktus un nepārtrauktības intervālus.2. Noteikt funkcijas paritāti, un vai funkcija ir periodiska.3. Noteikt grafika krustpunktus ar koordinātu asīm un intervālus, kuros funkcija ir pozitīva, kuros ir negatīva.
  7. 7. 4. Noteikt funkcijas monotonitātes intervālus un ekstrēmus.5. Noteikt funkcijas grafika izliekuma un ieliekuma intervālus, kā arī pārliekuma punktu koordinātas.6. Atrast funkcijas grafika asimptotas.
  8. 8. 3 xy 2 x 1Pārtraukuma punkti: x = 1Definīcijas apgabals: x (- ; -1) (-1; 1) (1; + ) Dotā funkcija ir nepāra. 3 3 3 x x x f x 2 2 2 f x x 1 x 1 x 1 Grafiks simetrisks pret koordinātu sākumpunktu
  9. 9. Funkcijas grafika krustpunkts ar Ox asi (0; 0). Funkcijas grafika krustpunkts ar Oy asi (0; 0).x (- ; -1) (-1; 0) (0; 1) (1; + )y - + - + Negatīvas Pozitīvas Negatīvas Pozitīvas vērtības vērtības vērtības vērtības
  10. 10. 3 xy 2 x 1 x3 x 2 1 x3 x 2 1 3x 2 x 2 1 x3 2 x y 2 2 2 2 x 1 x 1 3x 4 3x 2 2 x 4 x 4 3x 2 x2 x2 3 2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2 2 2 2 x x 3 0 x 1 0 x2 0 x2 3 0 x2 1 0 x 0 x 3 x 1
  11. 11. x (- ; - 3) - 3 (- 3; -1) -1 (-1; 0) y’ - 0 + Neeksistē + y ↘ min ↗ Pārtraukta ↗ 3 3 2x 0 (0; 1) 1 (1; 3) 3 ( 3; + )y’ 0 - Neeksistē - 0 +y max ↘ Pārtraukta ↘ min ↗ 0 3 3 2
  12. 12. x 3 x 4 3x 2y y 2 2 2 x 1 x 1 4 2 2 2 4 2 2 2 x 3x x 1 x 3x x 1 y 4 2 x 1 3 2 2 4x 6x x 1 x 4 3x 2 2 x 2 1 x 2 2 4 x 1 2 3 2 4 2 x 1 4x 6x x 1 x 3x 2 2x 2 4 x 1
  13. 13. x 3 x 4 3x 2y y 2 2 2 x 1 x 1 x 2 1 4 x3 6 x x2 1 x 4 3x 2 4 x 2 4 x 1 4 x3 6 x x2 1 x 4 3x 2 4 x 2 3 x 1 4 x 5 4 x 3 6 x 3 6 x 4 x 5 12 x 3 2 3 x 1 3 2 2x 6x 2x x 3 2 3 2 3 x 1 x 1
  14. 14. x 3 x 4 3x 2y y 2 2 2 x 1 x 1 2x x2 3 y 3 2 x 1 2 2 2 3 x x 3 0 x 1 0 2 2 2 x 0 x 3 0 x 1 0 x 0 x2 3 x 1
  15. 15. x (- ; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; + )y - + 0 - + Pārtrau Pārlieku Pārtrau kuma ma kuma punkts punkts punkts
  16. 16. Funkcijas vertikālās asimptotas ir x = -1 un x = 1. Slīpā asimptota y = kx +3b x 3 f x 2 x 1 xk lim lim x lim x x 2 1 x x x x 3 x 3 x x 3 1 lim x x 3 x lim x x 3 x lim x 1 1 3 3 1 2 x x x
  17. 17. 3 xb lim x f x kx lim x x 2 1 x x x3 x3 x x x2 lim x x 2 1 x2 1 lim x x 2 1 lim x x 2 1 0 2 2 x x Slīpā asimptota y = kx + b k=1 b=0 Slīpā asimptota y = x
  18. 18. TEILORA FORMULA
  19. 19. 2 nDots polinoms: Pn x a0 a1 x a2 x ... an x 2 nPn x A0 A1 x x0 A2 x x0 ... An x x0Ja x = x0, tad Pn(x0) = A0 2 n 1Pn x A1 2 A2 x x0 3A3 x x0 ... nAn x x0Ja x = x0, tad Pn’(x0) = A1
  20. 20. 2 nDots polinoms: Pn x a0 a1 x a2 x ... an x n 2Pn x 1 2 A2 2 3A3 x x0 ... n 1 nAn x x0 Ja x = x0, tad Pn’’(x0) = 1∙2A2 Ja x = x0, tad Pn’’’(x0) = 1∙2∙3A3 Ja x = x0, tad Pn(n)(x0) = 1∙2∙3 ∙ … ∙ nAn=n! ∙An n Pn x0 An n!
  21. 21. Teilora formula n-tās pakāpes polinomam Pn(x) pēc binoma x – x0 pakāpēm 2 nDots polinoms: Pn x a0 a1 x a2 x ... an x P n x0 P n x0 2Pn x Pn x0 x x0 x x0 ... 1! 2! n Pn x0 n x x0 n! Teilora koeficienti
  22. 22. Teilora formula polinomamP3(x) = 5 + 3x - 2x2 + x3 pēc binoma x - 2 2 3 P3 x 5 3x 2 x x P3 2 11 2 P3 x 3 4 x 3x P3 2 7 P3 x 4 6x P3 2 9 P3 x 6 P3 2 6 2 3 7 8 2 6 35 3x 2 x x 11 x 2 x 2 x 2 1! 2! 3! 2 3 2 3 5 3x 2 x x 11 7 x 2 4x 2 x 2
  23. 23. Teilora formula funkcijai nf x Pn x o x x0 , x x0 f x0 f x0 2f x f x0 x x0 x x0 ... 1! 2! n f x0 n x x0 Rn x Atlikuma loceklis jeb n! n-tais atlikums n Rn x0 Rn x0 ... Rn x0 0
  24. 24. Ja x0 = 0, tad Teilora formulu sauc par Maklorena formulu f 0 f 0 2 f x f 0 x x ... 1! 2! n f 0 n x Rn x n! n 1 f c n1 Atlikuma loceklis Rn x x , 0 c x Lagranža formā n 1!
  25. 25. Teilora formula svarīgākajāmelementārajām funkcijām x Uzrakstīt Teilora formulu un f x e aprēķināt ar precizitāti 0,001 f x sin x f x cos xf x ln 1 xf x 1 x

×