Funkcijas pētīšana
 Definīcijas apgabals, pārtraukuma punkti un    nepārtrauktības intervāli.   Pāra, nepāra vai periodiska funkcija.   Kr...
Intervālā augoša funkcija Funkciju y = f(x) sauc par augošu intervālā [a;  b], ja katrai lielākai argumenta vērtībai no š...
Intervālā augoša funkcija Patstāvīgi. Viens no mājas darba uzdevumiem.
Augšanas un dilšanasnepieciešamā pazīme Ja intervālā (a; b) diferencējama funkcija y = f(x)  ir augoša, tad jebkurā šī in...
Funkcijas monotonitātes intervāluatrašana Jāatrod funkcijas f ’(x) atvasinājums. Nosaka punktus, kuros f ’(x) ir vienāds...
Funkcijas maksimumi unminimumi Pieņem, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā  (a; b). Šī intervāla punktu x0 sauc par  fu...
Ekstrēma punkti Maksimuma un minimuma punktus sauc par ekstrēma punktiem (extremum lat.v. – galējs).
Ekstrēmu nepieciešamā pazīme Ja diferencējamai funkcijai f(x) punktā x0 ir  ekstrēms, tad f ’(x0) = 0. Punktus, kuros fu...
Ekstrēmu atrašanas algoritms Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasinājums  f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē. Izpēt...
 Ja stacionārajā punktā f ’’(x) < 0, tad tas ir  minimuma punkts. Ja stacionārajā punktā f ’’(x) > 0, tad tas ir  maksim...
Funkcijas grafika ieliekums unizliekums Diferencējamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc  par izliektu, ja tas atrodas zem ...
 Ja funkcijai f(x) intervālā (a; b) eksistē otrās  kārtas atvasinājums un visos intervāla  punktos f ’’(x) < 0, tad funkc...
 Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x)  grafika pārliekuma punkts, tad f ’’(x) = 0 vai  neeksistē. Ox ass punktu...
Pārliekuma punktu atrašanasalgoritms Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otrās  kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienā...
Funkcijas y = f(x) grafikapārliekuma punkti Atrod funkcijas atvasinājumus f ’’(x) un f ’’’(x). Uzraksta vienādojumu f ’’...
Funkcijas grafika asmptotas Taisni sauc par līnijas y = f(x) asimptotu, ja  līnijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgalīb...
Vertikālā asimptota Vertikālās asimptotas. Ja               lim f               x   a                       x tad taisne...
Slīpā asimptota Slīpās asimptotas vienādojums ir                  y = kx + b            f x  k   lim       x     x       ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

1.2.funkcijas pētīšana

3,521 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
3,521
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
184
Actions
Shares
0
Downloads
10
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • ‘(
  • 1.2.funkcijas pētīšana

    1. 1. Funkcijas pētīšana
    2. 2.  Definīcijas apgabals, pārtraukuma punkti un nepārtrauktības intervāli. Pāra, nepāra vai periodiska funkcija. Krustpunkti ar koordinātu asīm. Funkcijas pozitīvās, negatīvās vērtības. Monotonitātes intervāli, ekstrēmi. Grafika izliekuma un ieliekuma intervāli, pārliekuma punktu koordinātas. Grafika asimptotas.
    3. 3. Intervālā augoša funkcija Funkciju y = f(x) sauc par augošu intervālā [a; b], ja katrai lielākai argumenta vērtībai no šī intervāla atbilst lielāka funkcijas vērtība, t.i., jebkuriem x1, x2 [a; b] no nevienādības x1 < x2 izriet nevienādība f(x1) < f(x2). Tādējādi, ja x1 < x2, tad argumenta pieaugums x = x2 – x1 un funkcijas pieaugums y = f(x2) – f(x1) abi ir pozitīvi un to attiecība ir pozitīva y 0 x
    4. 4. Intervālā augoša funkcija Patstāvīgi. Viens no mājas darba uzdevumiem.
    5. 5. Augšanas un dilšanasnepieciešamā pazīme Ja intervālā (a; b) diferencējama funkcija y = f(x) ir augoša, tad jebkurā šī intervāla punktā f ’(x) 0. Dilšanas pazīme – mājās.
    6. 6. Funkcijas monotonitātes intervāluatrašana Jāatrod funkcijas f ’(x) atvasinājums. Nosaka punktus, kuros f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē.  Šos punktus sauc par funkcijas kritiskajiem punktiem. Kritiskie punkti sadala funkcijas f(x) definīcijas apgabalu intervālos, kuros f ’(x) nemaina zīmi – monotonitātes intervālos. Katrā iegūtajā intervālā jānosaka f ’(x) zīme.  Ja f ’(x) > 0, tad tas ir funkcijas augšanas intervāls. Ja f ’(x) < 0, tad tas ir funkcijas dilšanas intervāls.
    7. 7. Funkcijas maksimumi unminimumi Pieņem, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā (a; b). Šī intervāla punktu x0 sauc par funkcijas f(x) maksimuma punktu, ja funkcijas vērtība f(x0) šajā punktā ir lielāka nekā funkcijas vērtības visos citos punkta x0 pietiekami mazas apkārtnes punktos x, t.i., visiem x ≠ x0 ir pareiza vienādība f(x) < f(x0), ja vien starpības │x – x0│modulis ir pietiekami. Minimuma punkts – mājās.
    8. 8. Ekstrēma punkti Maksimuma un minimuma punktus sauc par ekstrēma punktiem (extremum lat.v. – galējs).
    9. 9. Ekstrēmu nepieciešamā pazīme Ja diferencējamai funkcijai f(x) punktā x0 ir ekstrēms, tad f ’(x0) = 0. Punktus, kuros funkcijas f(x) atvasinājums ir nulle, sauc par funkcijas stacionārajiem punktiem.
    10. 10. Ekstrēmu atrašanas algoritms Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasinājums f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē. Izpēta atvasinājuma f ’(x) zīme kritisko punktu apkārtnēs.  Ja argumentam, ejot caur kritisko punktu f ’(x), zīme mainās un f(x) kritiskajā punktā ir definēta, tad funkcijai f(x) šajā punktā eksistē ekstrēms Jāaprēķina funkcijas vērtība ekstrēma punktā.
    11. 11.  Ja stacionārajā punktā f ’’(x) < 0, tad tas ir minimuma punkts. Ja stacionārajā punktā f ’’(x) > 0, tad tas ir maksimuma punkts.
    12. 12. Funkcijas grafika ieliekums unizliekums Diferencējamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc par izliektu, ja tas atrodas zem grafika jebkuras pieskares minētajā intervālā. Ieliektas funkcijas grafiks – mājās.
    13. 13.  Ja funkcijai f(x) intervālā (a; b) eksistē otrās kārtas atvasinājums un visos intervāla punktos f ’’(x) < 0, tad funkcijas grafiks ir šajā intervālā izliekta, ja f f’’(x) < 0, ’’(x) > 0, tad ieliekts. Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika izliekto daļu no ieliektas daļas, sauc par grafika pārliekuma punktu jeb infleksijas punktu.
    14. 14.  Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x) grafika pārliekuma punkts, tad f ’’(x) = 0 vai neeksistē. Ox ass punktus, kuros funkcijas f(x) otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē, sauc par otrās kārtas kritiskajiem punktiem. Ja, argumentam ejot caur punktu x = x0, otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) maina zīmi, tad punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas f(x) grafika pārliekuma punkts.
    15. 15. Pārliekuma punktu atrašanasalgoritms Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē, t.i., nosaka funkcijas kritiskos punktus. Atrod tos kritiskos punktus, kuri funkcijas grafika izliekuma intervālus atdala no ieliekuma intervāliem un kuros funkcija ir definēta. Šie kritiskie punkti ir pārliekuma punkti. Aprēķina katra pārliekuma punkta ordinātu.
    16. 16. Funkcijas y = f(x) grafikapārliekuma punkti Atrod funkcijas atvasinājumus f ’’(x) un f ’’’(x). Uzraksta vienādojumu f ’’(x) = 0 un atrod šī vienādojuma visas reālās saknes, iegūstot otrās kārtas kritiskos punktus. Aprēķina f’’’(x) vērības katrā kritiskajā punktā. Atrod tos kritiskos punktus, kuros f ’’’(x) ≠ 0. Šiem kritiskajiem punktiem atbilstošie funkcijas grafika punkti ir pārliekuma punkti
    17. 17. Funkcijas grafika asmptotas Taisni sauc par līnijas y = f(x) asimptotu, ja līnijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgalību, neierobežoti tuvojas šai taisnei, t.i. attālums no punkta M līdz taisnei tiecas uz nulli. Funkcijas y = f(x) grafikam var būt vertikālas asimptotas, t.i., paralēlas Oy asij, un slīpas asimptotas. Pie slīpām asimptotam pieder arī horizontālas asimptotas.
    18. 18. Vertikālā asimptota Vertikālās asimptotas. Ja lim f x a x tad taisne x=a Ir funkcijas y = f(x) vertikālā asimptota.
    19. 19. Slīpā asimptota Slīpās asimptotas vienādojums ir y = kx + b f x k lim x x b lim x f x kx

    ×