Proyecto de la integral definida :)

2. • Estudiar las ramas del Calculo Integral y sus respectivas
aplicaciones relacionadas con la materia
• Disponer de los conceptos que utilizaremos para el
desarrollo de nuestro proyecto.

3.  La integración es un concepto
fundamental del cálculo y
del análisis matemático.
Básicamente, una integral es
una generalización de
la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños.
 El cálculo integral, encuadrado
en el cálculo infinitesimal, es una
rama de las matemáticas en el
proceso de integración o anti
derivación, es muy común en la
ingeniería y en la ciencia
también; se utiliza
principalmente para el cálculo
de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos de revolución.
 Fue usado por primera vez por
científicos
como Arquímedes, René
Descartes, Isaac
Newton, Gottfried
Leibniz e Isaac Barrow. Los
trabajos de este último y los
aportes de Newton generaron
el teorema fundamental del
cálculo integral, que propone
que la derivación y la
integración son procesos
inversos

4.  La integral definida es una
herramienta útil en las ciencias
físicas y sociales, ya que muchas
cantidades de interés en dichas
ciencias pueden definirse
mediante el tipo de suma que
se presenta en la integral
definida.
 El cálculo Integral se puede aplicar o
mejor se puede usar para calcular
áreas entre curvas, volúmenes de
sólidos, y el trabajo realizado por una
fuerza variable.
 Podemos entender los volúmenes de
muchas situaciones de la naturaleza
que nos rodea, que están en
constantes cambios biológicos.

5.  El volumen se encuentra por la rotación de una figura plana (el área
de la curva se hace girar en el eje de coordenadas).El eje de rotación
bien puede estar ubicado en el eje de coordenadas como en una
recta cualquiera. Hay tres métodos para encontrar este volumen
dependiendo de la ubicación del diferencial y el sólido. Los métodos
son Arandelas, discos y rebanadas.

6. Planteamiento del proyecto
 El planteamiento del proyecto surgió para conocer
las aplicaciones que tiene el cálculo integral en el
campo biologico, encontrando el volumen del panal
de la abeja.

7. Un caso interesante de optimización que aparece en la naturaleza es el que
ocurre en los panales. Las abejas saben más que nosotros sobre construcción de
panales por la sencilla razón de que lo vienen haciendo desde hace milenios sin
nuestra ayuda.

8.  Para entender cual es el volumen de un panal, se procederá a estudiar una
celdilla, hallando su respectivo volumen, esto nos llevara a conocer el
volumen del panal. (que dependerá a su vez del numero de celdillas que
posea.)

9.  Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su
afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las
abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que
resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal
manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que
hay que aprovechar el espacio al máximo.
 ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son más difícil de construir?.
La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro").
Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el
mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número
de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro
determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. No
obstante, un círculo deja espacios cuando se rodea de otros círculos. Así, de
todas las figuras geométricas que cumplen la condición "mayor número de
lados y adyacencia sin huecos", es el hexágono.

10.  Las abejas construyen sus panales como
prismas hexagonales regulares
apuntados en el fondo por tres rombos
inclinados respecto a la horizontal un
ángulo determinado para que,
almacenando la misma cantidad de
miel, tengan la mínima cantidad de
materia (cera); es decir, el área sea
mínima.

11.  Observando la figura vemos que la
abeja construye el rombo GBHF de
modo que el volumen que quita del
prisma, el GABF, equivale al que
añade, el HBJF. Pero aunque el
volumen del panal equivale al del
prisma hexagonal, sin embargo el
área total del panal es la menor
posible para tal propósito; si la
abeja hubiese dado al panal la
forma de prisma, éste no habría
perdido capacidad, pero habría
sido necesaria más cera para su
construcción. En la naturaleza rige
la ley del mínimo/máximo.
Vamos a calcular el ángulo x de
inclinación del rombo que hace
mínima dicha área.

12.  AB = a (arista básica del prisma, que por tratarse de un problema afín se
puede sustituir por la unidad de longitud; luego lo haremos)
x = HKJ (ángulo de inclinación que deseamos determinar)
KJ = a/2 (apotema del triángulo equilátero BFD)
HJ = KJ.tang(x) = (a/2).tang(x) = AG (por simetría)
HG = 2.HK = a.sec(x)
(lado del triángulo BDF)
HK = KJ.sec(x) = (a/2).sec(x)
El área que estudiamos será mínima cuando sea máxima la diferencia
y = (ABF) + (BFJ) + (ABG) + (AFG) - (GBHF)
Haciendo a = 1 se tiene:
Haciendo a = 1
se tiene:

14.  Para dar fin a este trabajo concluimos que las aplicaciones del
cálculo integral, es un campo tan abierto en las matemáticas que
nos permite resolver problemas como estos, en los cuales nadie
pensaría utilizar para resolverlos, así como este hay varios ejemplos
en los cuales de una manera sencilla se puede dar solución a un
problema de aplicación de este tipo o de tipo cotidiano.