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  • en el ejemplo 3 se llega a un resultado que no es , puesto que el limite de cuando x tiende a cero de raiz de x mas 1 no es 2 es Uno y el de seno de (1-x) es seno(1) y el resultado es -seno(1)
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  • 1. LÍMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASAntes de analizar este tipo de límites recordemos algunos conceptosbásicos de la trigonometría y de lo relacionados con esos conceptos,luego estudiaremos los límites de las funciones seno y coseno cuandoel ángulo tiende a cero, y algunos límites especiales que no puedenresolverse por los procedimientos ya estudiados.La medida en radianes de unángulo , está definida por , donde es la longituddel arco interceptado por elángulo sobre unacircunferencia de radio , cuyocentro coincide con el vérticedel ángulo según podemosrecordar en la figura 1. Figura 1En la figura 2 consideremosahora un círculo de radio unoy un ángulo agudo cuyamedida en radianes es .Como se tiene entoncesqueEl triángulo rectángulotiene como catetos a y a , en la circunferencia deradio 1 se obtiene que:Podemos decir que la medidade los catetos es: Figura 2Si empleamos el teorema dePitágoras se obtiene:La longitud del arco entre los puntos P y A es mayor que el segmentoque une los mismos puntos o que es mayor que el ángulo , podemosescribir como:Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 1
  • 2. Recordando las propiedades básicas de la suma podemos expresarque si los dos miembros de la desigualdad anterior son sumandospositivos, cada uno de ellos esDe la definición formal de límite: si tomamos un épsilon como unnúmero positivo, y asumimos que delta y épsilon son iguales de talforma que el valor absoluto del seno del ángulo Alfa es menor que elpropio Alfa y este menor que épsilon y de igual manera se planteapara el otro cateto tenemos: Siempre que: siempre que por lo que siempre que por lo queLimites de las funciones trigonométricasTeorema: Si c es un número real en el dominio de la funcióntrigonométrica indicada, se cumple: 1. 2. 3. 4. 5. 6.Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar lassiguientes identidades básicas: 1. 3. 2. 5. 4. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 2
  • 3. Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que sonde gran utilidad al evaluar límites trigonométricos:1. Límite especial 1.Si medimos el ángulo en radianes y sabiendo que nuestrodenominador no puede ser cero, realicemos una tabla de valores convalores próximos a cero tanto por la izquierda como por la derecha:-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.01 0.01 0.1 0.2 0.3 0.40.973 0.985 0.993 0.998 0.999 0.999 0.998 0.993 0.985 0.973Podemos deducir entonces que:Ejemplo 1: Hallar el valor deSolución. En esta función debemos aplicar la propiedad fundamentalde los racionales que me permite hallar racionales equivalentes:Multipliquemos numerador y denominador por 3:2. Para nuestro segundo límite especial:Recordando que el coseno de cero grados vale 1, obtendríamos unaindeterminación 0/0, destruimos ésta multiplicando por su conjugada: De la identidad Nº 1 * Podemos concluir:Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 3
  • 4. Ejemplo 2. Hallar el valor de:Solución. (Apliquemos la propiedad del ejemplo anterior):Veamos otros ejemplos donde podamos aplicar todo lo estudiado acerca delos límites:Ejemplo 3. Determinar el valor de:Solución.Multipliquemos el primer límite por (-1) para convertirlo en el primerlímite especial que estudiamos:Ejemplo 4. Determinar el valor de:Solución. Por identidad Nº2 Común denominador Factorizando Multiplicando por la conjugada Por identidad Nº 1 Distribuyendo Reescribiendo EvaluandoPreparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 4
  • 5. Ejemplo 5. Determinar el valor de:Solución.Recordemos que el coseno de 60º es , entonces tendríamos unaindeterminación 0/0, puesto que cuando .Por otro lado, cuando .Identidad 7EntoncesRacionalizarReescribiendoEvaluandoEJERCICIOS.Para algunos de los ejercicios aquí propuestos debe tenerse en cuentalas identidades relacionadas en la página 2.Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 5
  • 6. 1. 3. 2.4. 5. 6.7. 8. 9.10. 11. 12.13. 14. 15.16. 17. 18.19. 20. 21.22. 23. 24.25. 26. 27.28. 29. 30.Preparado por JOHN JAIRO GARCÍA MORA Página 6

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