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Trading Stops - Modelo de Otimização Discreta

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  • 1. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eA simple computational model for analyzing the properties of stop-loss, take-profit, and price breakout trading strategies Art Warburtona, Zhe George Zhang Th´rsis T. P. Souza a t.souza@usp.br Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica Universidade de S˜o Paulo a 15 de agosto de 2012 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 2. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 3. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 4. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eStops Quando um trader assume uma posi¸˜o em um ativo de risco, ca ´ muito comum a configura¸˜o de valores limites nos quais ele e ca deixa a posi¸˜o ca Ex.: Negociador deixa posi¸˜o quando o valor do ativo sobe ca para um valor de R$22 ou cai para R$18 Esses s˜o exemplos de estrat´gia de Stop Gain e de Stop Loss, a e respectivamente. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 5. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eStops A utiliza¸˜o de Stops pode ser justificada por diferentes raz˜es ca o como: Redu¸˜o da frequencia de negocia¸˜o e, consequentemente, ca ca dos custos totais de opera¸˜o ca Fornece uma maneira simples de controle de perdas dada uma negocia¸˜o ca Permite recalibra¸˜o do modelo de estrat´gia ca e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 6. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eStop Loss Limite m´ximo de movimenta¸˜o adversa de pre¸os a ca c Valor de referˆncia: pre¸o, taxa, flutua¸˜o e c ca Horizonte de tempo: intraday, di´rio, mensal a Caracter´ ısticas Amplamente usada na pr´tica a Relativamente poucos estudos cient´ ıficos Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 7. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eStop Loss Hard stop N´ de pre¸os que, se atingido, faz com que uma posi¸˜o seja ıvel c ca encerrada automaticamente Define um limite real de perda Mental stop N´ de pre¸os que, se atingido, lan¸a um aviso de alerta ıvel c c Define um limite virtual de perda Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 8. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eTrabalhos Relacionados Payoffs similares aos garantidos por uma estrat´gia de Stop e Loss podem ser obtidos por simula¸˜o correspondente em ca Op¸˜es com Barreiras. co Entretanto, essas Op¸˜es Ex´ticos s˜o comumente produtos co o a de Balc˜o. a Assim, negociadores de varejo geralmente devem recorrer a t´cnicas de Stop Loss como prote¸˜o alternativa e ca Veja [Hull, 2011] para uma introdu¸˜o a Op¸˜es com ca co Barreiras. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 9. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eTrabalhos Relacionados [Zhang, 2001] determina uma regra de venda ´tima para um o ativo cujo retorno segue um modelo estoc´stico a correlacionado ao retorno de um portf´lio de mercado. o [Wang, 2001] consideram uma ordem de Stop Loss m´vel que o incrementa com o avan¸o do tempo. c Nessa apresenta¸˜o, n˜o s˜o considerados efeitos de portf´lio ca a a o em caso de configura¸˜o de stop por todos os participantes do ca mercado. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 10. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eArtigo [Rogers, 2010] Em [Rogers, 2010], ´ realizada uma modelagem estoc´stica no e a qual o retorno da posi¸˜o segue um movimento Browniano. ca As seguintes situa¸˜es s˜o analisadas: co a Stop Fixos Stop Superior M´vel o Stop Superio M´vel e Stop Inferior Fixo o Stops Convergentes: onde a diferen¸a estre os limites superior c e inferior tendem a um valor fixo Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 11. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eArtigo [Rogers, 2010] As seguintes conclus˜es s˜o apresentadas: o a A incerteza sobre a taxa de retorno do ativo ´ determinante e na escolha dos stops Somente h´ necessidade de determina¸˜o de Stop Loss em a ca caso de uma taxa de retorno prevista negativa Ao utilizar um Stop superior fixo, n˜o houve diferen¸as a c significativas entre Stops inferiores fixos ou de subida. Contudo, o tempo m´dia em negocia¸˜o ´ significativamente e ca e menor em uma estrat´gia de stop loss de subida. e Assim, a estrat´gia recomendada ´ a de stop superior fixo com e e stop inferior de subida. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 12. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eArtigo [Zhang et al., 2006] Os autores definem um modelo computacional em tempo discreto para an´lise probabil´ a ıstica de stops fixos. As seguintes estrat´gias s˜o analisadas: e a Stop Loss: ordens s˜o utilizadas para controlar perdas a Stop Gain: um limite superior de ganho ´ definido e, assim e que o mesmo ´ atingido, o negociador deixa a posi¸˜o e ca Defini¸˜o de pontos de entrada de negocia¸˜o: negociador ca ca decide assumir posi¸˜o long ou short dependendo de limites ca definidos para o valor do ativo Uma breve apresenta¸˜o de estrat´gias em stops m´veis tamb´m ´ ca e o e e fornecida. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 13. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 14. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias ePasseio Aleat´rio o Defini¸˜o ca Seja {Xk }∞ uma sequˆncia de vari´veis aleat´rias discretas k=1 e a o identicamente distribuidas. Para cada inteiro positivo n, denotamos Sn como a soma X1 + X2 + . . . + Xn . A sequˆncia e {Sn }∞ ´ chamada de Passeio Aleat´rio. n=1 e o Propriedade Incrementos em um Passeio Aleat´rio s˜o independentes e o a identicamente distribuidos. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 15. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eProcesso de Wiener Defini¸˜o ca W (t) ´ um Processo de Wiener Padr˜o se e a (i) W (t) = 0 (ii) W (t) tem incrementos independentes (iii) Z (t) = W (t) − W (t0 ) segue uma distribui¸˜o Gaussiana com ca e a 2 m´dia zero e variˆncia σz = t − t0 , t0 ≤ t Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 16. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 17. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 18. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias ePremissas do Modelo (I) Pre¸o do ativo segue um passeio aleat´rio c o (II) Horizonte de tempo ´ finito e (III) Stops s˜o fixos a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 19. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eFun¸˜o de Probabilidade ca O modelo ´ constru´ baseado em uma ´rvore trinomial para e ıdo a o passeio aleat´rio o Os pre¸os podem subir um n´ c ıvel, continuar constantes ou descer um n´ ıvel O processo p´ra assim que uma barreira ´ atingida ou ao final a e do horizonte de tempo Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 20. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eFun¸˜o de Probabilidade ca Sejam, T : o n´mero total de intervalos de tempo no horizonte de u tempo indexados por t = 0, 1, . . . , T ∆: o tamanho de cada intervalo de tempo H: o tamanho do horizonte de tempo, H = T ∆ Lt : o valor de Stop Loss (barreira inferior) Kt : o valor de Stop Gain (barreira superior) Ω: o espa¸o de probabilidade de eventos (n´ de pre¸o x a c ıvel c cada instante t), Ω = {(t, x) : t ∈ (0, 1, . . . , T ); x ∈ (−min(t, −Lt ), −min(t, −Lt )+, . . . , −1, 0, +1, +2, ..., min(t, Kt ))} Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 21. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eFun¸˜o de Probabilidade ca Figura : Movimentos de pre¸o poss´ para T = 7, K = 3, L =-2 c ıveis Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 22. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eFun¸˜o de Probabilidade ca P(t, x): probabilidade do processo estar no estado (t, x) S(t, x): o pre¸o do ativo se o processo est´ no estado (t, x) c a p(t, x), q(t, x), r (t, x): as probabilidades do pre¸o subir um c n´ ıvel, continuar inalterado, e descer um n´ ıvel, respectivamente, no estado (t, x) p(t, x) + q(t, x) + r (t, x) = 1 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 23. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eFun¸˜o de Probabilidade ca B(t, x): predecessores diretos de (t, x) B(t, x) = {(t − 1, y ) : (t − 1, y ) ∈ Ω, y ∈ {x − 1, x, x + 1}} Ωa : conjunto de estados sem sucessores (n´s sorvedouros) o IB(t,x) (t − 1, y ), fun¸˜o booleana, tal que ca 1 se (t − 1, y ) ∈ B(t, x) IB(t,x) (t − 1, y ) = 0 caso contr´rio a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 24. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eFun¸˜o de Probabilidade ca Ent˜o, temos a seguinte recurs˜o para computar a a P(t, x), (t, x) ∈ Ω: P(0, 0) = 1 P(t, x) = P(t − 1, x − 1)IB(t,x) (t − 1, x − 1)p(t − 1, x − 1) + P(t − 1, x)IB(t,x) (t − 1, x)r (t − 1, x) + P(t − 1, x + 1)IB(t,x) (t − 1, x + 1)q(t − 1, x + 1), (t, x) ∈ Ω(0, 0). Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 25. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade Terminal Um investimento termina assim que um n´ sorvedouro ´ o e atingido. Define-se, ent˜o, a Probabilidade Terminal como a P(t, x), (t, x) ∈ ΩA A Distribui¸˜o de Probabilidade Terminal fornece uma medida ca conveniente de crit´rio de investimento em uma estrat´gia de e e Stop. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 26. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade Terminal Seja τ o tempo em um estado terminal, ent˜o a E [τ ] = ∆ tP(t, x) (1) (t,x)∈ΩA Var [τ ] = ∆ (t − E [τ ])2 P(t, x) (2) (t,x)∈ΩA Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 27. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade Terminal Assumindo uma taxa livre de risco rf , o valor futuro (VF ) esperado de um investimento em T ´e E [VF ] = ∆ S(t, x)e rf ∆(T −t) P(t, x) (3) (t,x)∈ΩA e sua variˆncia ´ a e Var [NPV ] = ∆ [S(t, x)e rf ∆(T −t) − E (VF )]2 P(t, x) (4) (t,x)∈ΩA Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 28. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade Terminal Tamb´m ´ poss´ calcular probabilidades de interesse como a e e ıvel probabilidade de se atingir a barreira superior (Stop Gain) ou inferior (Stop Loss): P(StopGain) = ∆ P(t, Kt ) (5) (t,Kt )∈ΩA P(StopLoss) = ∆ P(t, Lt ) (6) (t,Lt )∈ΩA Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 29. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 30. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eResultados relacionados em Passeios Aleat´rios o Passeios aleat´rios em tempo cont´ o ınuo para precifica¸˜o de ca ativos tˆm sido estudados extensivamente. Veja e [Cox et al., 1979], [Hull, 2011], [Huu Tue Huynh et al., 2008]. [Cox et al., 1979] fornecem uma modelagem com probabilidades de transi¸˜o constantes: assumindo que K e L ca s˜o constantes, s˜o derivadas express˜es anal´ a a o ıticas para P(t, K ) e P(t, L). Contudo, o esfor¸o computacional gasto para computar essas c express˜es s˜o no m´ o a ınimo t˜o custosas quanto ao custo a requirido na implementa¸˜o da recurs˜o de ca a [Zhang et al., 2006]. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 31. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eDistribui¸˜o de Probabilidade de Transi¸˜o ca ca Uma premissa comum em modelagem de pre¸os de ativos ´ c e que os mesmos seguem um Processo de Wiener e que sua m´dia e desvio padr˜o s˜o constantes e a a Neste caso, para ∆ → 0, um Passeio Aleat´rio converge para o um Processo de Wiener Assim, uma possibilidade seria a utiliza¸˜o de uma Gaussiana ca como Distribui¸˜o de Probabilidade de Transi¸˜o ca ca Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 32. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eDistribui¸˜o de Probabilidade de Transi¸˜o ca ca [Cox et al., 1979] apresenta um modelo de transi¸˜o de ca precifica¸˜o de op¸˜es em um modelo binomial ca co Utilizaremos essa modelagem para probabilidade de transi¸˜o ca na an´lise computacional a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 33. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eAproxima¸˜o Binomial de [Cox et al., 1979] ca Premissas do modelo de precifica¸˜o de [Cox et al., 1979]: ca O pre¸o do ativo hoje ´ dado por S c e O pre¸o do ativo aumenta a uma taxa u com probabilidade p c e decresce a uma taxa d com probabilidade 1 − p, onde u > 1 e d < 1 em um per´ ıodo ∆t O ativo n˜o paga dividendos a A taxa livre de risco rf ´ positiva e constante com d < rf < u e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 34. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eAproxima¸˜o Binomial de [Cox et al., 1979] ca Em uma hit´tese de n˜o-arbitragem, temos que: o a √ u = eσ ∆t (7) √ d = e −σ ∆t (8) e rf ∆t − d p= (9) u−d Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 35. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eComplexidade Computacional No modelo trinomial, cada n´ tem no m´ximo trˆs arcos o a e predecessores Portanto, o c´lculo da distribui¸˜o terminal ´ O(N), onde N ´ a ca e e o n´mero de estados poss´ u ıveis Note que N depende n˜o somente da barreiras superior e a inferior, mas tamb´m do tamanho do horizonte de tempo e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 36. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eComplexidade Computacional Suponha que a aproxima¸˜o de [Cox et al., 1979] seja utilizada. ca Considere R como a raz˜o entre os valores das barreiras superior e a inferior. Seja n o n´mero de n´ u ıveis de pre¸o, ent˜o c a √ n (e σ ∆ ) =R (10) Assim, √ n = ln R/σ ∆t (11) Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 37. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eComplexidade Computacional Como T = H/∆ (12) ent˜o, a complexidade computacional do c´lculo da distribui¸˜o a a ca terminal de [Zhang et al., 2006] sobre uma aproxima¸˜o de ca [Cox et al., 1979] ´ dada por: e H ln R O(Tn) = O( ) (13) σ∆3/2 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 38. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 39. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eConfigura¸˜o Exemplos Computacionais ca Os exemplos computacionais aqui apresentados possuem a seguinte configura¸˜o: ca Ativo objeto: ITUB4 Per´ ıodo de amostragem: 15/06/2011 a 31/05/2012 M´dia amostral dos log-retornos (µ): -0,1% e Desvio padr˜o amostral dos log-retornos (σ): 19,98% a rf : 11% S(0,0): 29,3 ∆: 2 T: 20 Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 40. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade de Stop Antes de configurar um valor de Stop Loss ´ de interesse do e investidor saber qual ´ a probabilidade desse Stop acontecer e An´lise foi realizada variando a m´dia e desvio padr˜o do a e a ativo objeto em rela¸˜o a diferentes configura¸˜es de pre¸o de ca co c Stop Loss Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 41. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade de Stop Figura : Probabilidade de Stop em fun¸˜o do pre¸o de Stop Loss ca c configurado. Valor do desvio padr˜o foi mantido fixo. a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 42. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade de Stop Figura : Probabilidade de Stop em fun¸˜o do pre¸o de Stop Loss ca c configurado. Valor da m´dia foi mantido fixo. e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 43. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade de entrada no Mercado ´ E comum um investidor ter um pre¸o alvo, a partir do qual ele c decide iniciar sua negocia¸˜o ca Em vista ` obten¸˜o dessa probabilidade do investidor entrar a ca no mercado, an´lise foi realizada variando o valor objetivo de a entrada para diferentes valores de m´dia e desvio padr˜o. e a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 44. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade de entrada no Mercado Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em fun¸˜o do pre¸o inicial ca c objetivo. Valor do desvio padr˜o foi mantido fixo. a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 45. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eProbabilidade de entrada no Mercado Figura : Probabilidade de entrada no Mercado em fun¸˜o do pre¸o inicial ca c objetivo. Valor da m´dia foi mantido fixo. e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 46. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Formula¸˜o Discreta ca Modelo Computacional para Stops Fixos An´lise Te´rica do Modelo a o Stops M´veis o Simula¸˜es Computacionais co Conclus˜oa Referˆncias eDiscuss˜o exemplos computacionais a Quanto maior a m´dia, menor a probabilidade de Stop e maior e a probabilidade de entrada no mercado, mantida a variˆncia a fixa Quanto menor o desvio padr˜o, maiores as probabilidades de a Stop e de entrada no mercado, mantida a m´dia fixa e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 47. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 48. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eStops M´veis o Em Stops m´veis, ao passo que o pre¸o de um ativo aumenta, o c o valor de Stop Loss configurado ´ atualizado periodicamente. e Ser˜o analisadas duas configura¸˜es de estrat´gias: a co e Stops M´veis com Horizonte de tempo finito o Stops M´veis com Horizonte de tempo ilimitado o Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 49. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Ilimitado Considere um ativo com pre¸os movendo-se de acordo com o c modelo trinomial visto, exceto pelo T que dever´ ser ilimitado. a Seja K e M = −L inteiros positivos que definem os valores de Stop Gain e Stop Loss. Se o pre¸o cai a um valor −M antes que K seja atingido, a c opera¸˜o tem um Stop. ca Caso contr´rio, se o pre¸o alcan¸a o valor K atualizamos o a c c valor de Stop Loss para K − M. Assim, se o pre¸o atinge a barreira superior (j − 1)K , j ≥ 1, c atualizamos o valor de Stop Loss para (j − 1)K − M Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 50. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Ilimitado A Probabilidade do ativo atingir uma barreira superior K antes que atinga seu valor de Stop M ´ dada pelo resultado do Cl´ssico e a Paradoxo da Ruina do Apostador, no qual um apostador tem a probabilidade P de ganhar K antes de perder M: 1 − (q/p)M P= (14) 1 − (q/p)( K + M) Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 51. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Ilimitado Para que o valor de barreira (j − 1)K − M seja atingido, ´e necess´rio que o valor de Stop Gain tenha sido atingido (j − 1) a vezes antes que o valor de Stop Loss seja atingido. Assim, a probabilidade desse evento ocorrer ´ dado pela distribui¸˜o e ca geom´trica e U(j) = P j−1 (1 − P) (15) Assim, a Esperan¸a e Variˆncia de saltos (j) que ocorrem antes c a que a estrat´gia sofra um Stop s˜o, respectivamente e a E [U(j)] = 1/(1 − P) (16) Var [U(j)] = P/(1 − P)2 (17) Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 52. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Ilimitado De posse da distribui¸˜o de probabilidade do n´mero de saltos, ca u chegamos a um valor esperado para o pre¸o em caso de stop c KP/(1 − P) − M (18) onde sua variˆncia ´ dada por a e K 2 P/(1 − P)2 (19) Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 53. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Ilimitado Seja X a vari´vel aleat´ria do valor do tempo no qual o pre¸o de a o c negocia¸˜o termina, a equa¸˜o de Wald ([Ross, 1980]) pode ser ca ca utilizada para obten¸˜o de ca 1 E (X ) = E (C ) (20) 1−P onde, Kp K (p M −q M )−Mq M (p K −q K ) (p−q)(p K +M −q K +M ) , se p = q E (C ) = KM p+q , caso contr´rio a Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 54. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Finito Em contraste ao caso de Horizonte Ilimitado, para o caso Finito, o n´ de pre¸o em caso de Stop n˜o ´ ıvel c a e necessariamente (j − 1)K − M, j´ que o processo pode ser a finalizado sem atingir o valor de Stop Gain. O valor limite de pre¸o pertence ao intervalo c [(j − 1)K − M, jK − 1]. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 55. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Finito Seja E 1 e V 1 a esperan¸a e variˆncia do pre¸o de Stop ao atingir c a c uma primeira barreira, ent˜o: a −M ∗ P(StopLoss) + K −1 i=−M+1 iP(T , i) E1 = (21) (1 − P(StopGain)) 2 −M ∗ P(StopLoss) + K −1 2 i=−M+1 i P(T , i) V1 = E1 − (22) (1 − P(StopGain)) Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 56. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eHorizonte Finito Assim, chegamos a um valor esperado para o pre¸o em caso de stop c KP(StopGain)/(1 − P(StopGain)) − E1 (23) onde sua variˆncia ´ dada por a e K 2 P(StopGain)/(1 − P(StopGain))2 + V1 (24) O tempo esperado para se atingir o Stop ´ dado por e 1 E (X ) = E (τ ) (25) 1 − P(StopGain) Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 57. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 58. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eConclus˜o a [Zhang et al., 2006] apresenta um modelo computacional de simples formula¸˜o para c´lculo de stops ca a Foi demonstrada uma s´rie de rela¸˜es de ganho e volatilidade e co associadas a uma probabilidade terminal de stop Em an´lise emp´ a ırica de um ativo do mercado, foi constatada rela¸˜o direta entre volatilidade e a probabilidade de stop ca A probabilidade de entrada no mercado demonstrou rela¸˜o ca direta com a m´dia do retorno do ativo e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 59. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eAgenda 1 Introdu¸˜o ca 2 Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a 3 Modelo Computacional para Stops Fixos Formula¸˜o Discreta ca An´lise Te´rica do Modelo a o Simula¸˜es Computacionais co 4 Stops M´veis o 5 Conclus˜o a 6 Referˆncias e Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 60. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eReferˆncias e Warburtona, A. and Zhang, Z. G. (2006) A simple computational model for analyzing the properties of stop-loss, take-profit, and price breakout trading strategies. Computers and Operations Research, 33:32-42. Cox, J. and Ross, S. and Rubenstein, M. (1979) Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial Economics, 7:229-64. Hull, J. C. (2011) Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 8th ed. Huynh, H. T. and Lai, V. S. and Soumare, I. (2008) Stochastic Simulation and Applications in Finance with MATLAB Programs. Wiley, 1st ed. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca
  • 61. Introdu¸˜o ca Revis˜o de C´lculo Estoc´stico a a a Modelo Computacional para Stops Fixos Stops M´veis o Conclus˜oa Referˆncias eReferˆncias e Ross, S. (1980) An introduction to probability models Academic Press, 2nd ed. Zhang, Q. (2001) Stock trading: an optimal selling rule. SIAM Journal on Control and Optimization, 40(1):64-87. Shen, S. and Wang, A. (2001) On stop-loss strategies for stock investments. Applied Mathematics and Computation, 119:317-37. Imkeller, N. and Rogers, L. C. G. (2010) Trading to Stops. To Appear, dispon´ em ıvel http://www.statslab.cam.ac.uk/~chris/papers.html. Th´rsis T. P. Souza (USP) a Modelo de Otimiza¸˜o Discreta em Trading Stops ca