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Simulacao Estocastica Financeira em GPU

  1. 1. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasSimula¸c˜oes Financeiras em GPUDisserta¸c˜ao de MestradoTh´arsis T. P. Souzat.souza@usp.brInstituto de Matem´atica e Estat´ısticaUniversidade de S˜ao Paulo26 de abril de 2013Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  2. 2. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  3. 3. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  4. 4. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasSimula¸c˜ao Estoc´asticaStochastic Simulation and Modelling (Prodan, 2001):Figura : N´ıveis de Simula¸c˜ao.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  5. 5. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasSimula¸c˜ao Estoc´astica em GPUOn the utility of graphics cards to perform massively parallelsimulation of advanced Monte Carlo methods (Lee et al., 2010):“We believe the speedup we observe should motivatewider use of parallelizable simulation methods andgreater methodological attention to their design.”Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  6. 6. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasGPU Computing - BloombergFigura : Estudo de caso GPU Tesla: Precifica¸c˜ao de produtos - Bloomberg (NVIDIA,2009b).Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  7. 7. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasGPU Computing - BNP ParibasFigura : Estudo de caso GPU Tesla: Precifica¸c˜ao de produtos - BNP-Paribas(NVIDIA, 2009b).Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  8. 8. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasObjetivosUtilizar um modelo de hardware e programa¸c˜ao para GPU,apresentando essa plataforma como um verdadeiroco-processador gen´erico.Estudo de geradores de n´umeros aleat´orios sequˆencias eparalelos.Apresenta¸c˜ao de ferramental matem´atico fundamental paramodelagem estoc´astica em finan¸cas.Resolver problemas reais em finan¸cas ao aplicar a teoriaapresentada.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  9. 9. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  10. 10. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  11. 11. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosCPU X GPUFigura : Poder computacional (GFLOP/s) e Throughput (GB/s) CPU X GPU(Brodtkorb et al., 2012).Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  12. 12. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosCPU X GPUFigura : Representa¸c˜ao de Chip CPU X GPU.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  13. 13. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosGPGPUFigura : GPGPU - Evolu¸c˜ao.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  14. 14. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  15. 15. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosArquitetura CUDAFigura : CUDA: Compute Unified Device ArchitectureTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  16. 16. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosModelo de Programa¸c˜aoFigura : Hierarquia de ThreadsTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  17. 17. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosModelo de Mem´oriaFigura : Hierarquia de Mem´oriaTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  18. 18. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  19. 19. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosArquitetura FermiDetalhamento da Fermi (alvo do trabalho):CUDA CoresWarpsStreaming MultiprocessorTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  20. 20. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosOtimiza¸c˜ao de C´odigo e Boas Pr´aticasComo medir tempoExecu¸c˜ao concorrente ass´ıncronaOtimiza¸c˜ao de Mem´oriaCoalesced MemoryMem´oria Compartilhada, Local, GlobalControle de FluxoOcupa¸c˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  21. 21. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasCUDADemais T´opicosGeradores de N´umeros aleat´orios e Modelos de Distribui¸c˜aoPRNGs: Linear Congruential Generator, Multiple RecursiveGenerator, Lagged Fibonacci Generator, Mersenne TwisterQRNGs: Van Der Corput, Halton, Faure, SobolGera¸c˜ao de Distribui¸c˜oes n˜ao-Uniformes: M´etodo de Invers˜ao,M´etodo de Aceita¸c˜ao e Rejei¸c˜ao, M´etodo de Box-MullerPortabilidade em GPU dos geradores: Sobol e MRG32k3aTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  22. 22. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  23. 23. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasSimula¸c˜ao de Monte CarloM´etodo de Monte CarloT´ecnicas de Redu¸c˜ao de VariˆanciaVari´avel de ControleVari´aveis Antit´eticasAmostragem EstratificadaTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  24. 24. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasProcessos Estoc´asticosProcessos Estoc´asticosProcesso de WienerProcesso de Ornstein-UhlenbeckEqua¸c˜oes Diferenciais Estoc´asticasLema de ItˆoDiscretiza¸c˜ao de Euler-MaruyamaDiscretiza¸c˜ao de MilsteinTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  25. 25. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  26. 26. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  27. 27. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoGPUCUDA Cnvcc (CUDA Toolkit v.3.1)-use fast mathFigura : NVIDIA GeForce GT 525MTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  28. 28. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoGPUPlaca Gr´afica GeForce GT 525MN´ucleos CUDA 96Compute Capability 2.1Streaming Multiprocessors 2Dimens˜oes m´aximas de um bloco 1024 x 1024 x 64N´umero m´aximo de threads por bloco 1024N´umero m´aximo de registradores por bloco 32768Mem´oria Global 961 MBMem´oria Compartilhada 48 KBMem´oria Constante 64 KBTabela : Caracter´ısticas da placa gr´afica NVIDIA GeForce GT 525M.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  29. 29. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoCPUC/C++, compilador Microsoft (R) C/C++ OptimizingCompiler Version 16.00.30319.01 for x64Processador Intel Core i5-2430MProgramas em CPU foram constru´ıdos utilizando uma ´unicathreadTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  30. 30. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoM´etodoDados Dispon´ıveis:Ativo objeto ITUB4Per´ıodo de amostragem: 15/06/2011 a 31/05/2012Gera¸c˜ao de N´umeros Aleat´orios:Em CPU, o gerador padr˜ao utilizado foi o Mersenne Twistercom implementa¸c˜ao retirada de (Matsumoto e Nishimura,2009).Em GPU foi utilizada a biblioteca padr˜ao NVIDIA CURAND.Nos experimentos que utilizaram o gerador Sobol, aimplementa¸c˜ao foi obtida em (Joe e Kuo, 2008).Para transformada gaussiana foi utilizado o m´etodo deBox-Muller.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  31. 31. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  32. 32. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoStopsEm negocia¸c˜ao de ativos, uma estrat´egia de Stop define valoreslimites do pre¸co do ativo objeto a partir do qual uma a¸c˜ao deve sertomada.Stop Loss: Limite m´aximo de movimenta¸c˜ao adversa de pre¸code um ativo.Stop Gain: Limite superior para o valor do ativo denegocia¸c˜ao.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  33. 33. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoFormula¸c˜ao do Problema de StopsSuponha que uma part´ıcula se move aleatoriamente em umsub-conjunto D ⊂ Rn. No instante t sua posi¸c˜ao ´e xt. Desejamosescolher o Tempo de Parada t do movimento de modo amaximizar o ganho esperado E[g(xt)], onde g(x) representa oganho correspondente a x ∈ D.Figura : O problema de StopTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  34. 34. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoFormula¸c˜ao do Problema de Stops ´OtimosO problema de Stop ´Otimo pode ser formalizado como:max Ex0[g(xτ )] (1)sujeito a τ tempo de paradaTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  35. 35. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoFormula¸c˜ao do Problema de Stops ´OtimosFigura : Exemplos de Tempo de ParadaTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  36. 36. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoSolu¸c˜ao do Problema de Stops ´OtimosSuponha que a vari´avel aleat´oria que representa o pre¸co do ativoobjeto siga o seguinte processodS = µSdt + σSdW , (2)onde µ e σ s˜ao constantes e dW ´e um processo de Wiener.Ent˜ao, pelo Lema de Itˆo, podemos chegar na seguinte recorrˆenciageral para o valor do ativo objeto no tempoSi+1 = Si e(µ−σ2/2)δt+σ√δtz, z ∼ N(0, 1). (3)Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  37. 37. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoSolu¸c˜ao do Problema de Stops ´OtimosTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  38. 38. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoSolu¸c˜ao do Problema de Stops ´OtimosSeja f (K) = E[S(K)], ent˜ao o valor K = K∗ tal que f (K) = 0 ´eum ponto de extremo de Stop. Assim, a obten¸c˜ao de Stop ´otimose reduz a um problema de obten¸c˜ao de raiz de fun¸c˜ao, que podeser resolvido, por exemplo, pelo m´etodo de otimiza¸c˜ao de bisec¸c˜ao´aurea de Brent (W. H. Press e Flannery, 2007).Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  39. 39. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Simula¸c˜ao de caminhos do processo log-normal.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  40. 40. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Esperan¸ca de retorno de Stop Gain. An´alise da varia¸c˜ao dam´edia µ.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  41. 41. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Esperan¸ca de retorno de Stop Gain. An´alise da varia¸c˜ao davolatilidade σ.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  42. 42. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosCom o aumento da m´edia µ, temos uma esperan¸ca maior parao valor da barreira configurado.Em contraposi¸c˜ao, um valor maior de volatilidade sugere anecessidade de configura¸c˜ao de um valor mais alto para o stop.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  43. 43. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Esperan¸ca de retorno ´otimo em fun¸c˜ao da taxa de juros.Configura¸c˜ao µ = 0, 0521139% e σ = 2, 4432633%.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  44. 44. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosPodemos observar uma estimativa de ganho ´otimo de 9,91%sobre uma taxa de juros de 11%, na configura¸c˜ao analisada.Retorno ´otimo ´e negativo para rf > 13%.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  45. 45. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Tempo computacional gasto em c´alculo da esperan¸ca de ganhode um Stop Gain em fun¸c˜ao do n´umero de simula¸c˜oes. Configura¸c˜ao:Stop = 65, µ = −0, 00055%, σ = 2%.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  46. 46. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Tempo computacional gasto em c´alculo da esperan¸ca de ganhode um Stop Gain. Configura¸c˜ao: n´umero de simula¸c˜oes = 38.400,µ = −0, 00055%, σ = 2%.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  47. 47. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosSpeedup de mais de 12 vezes para um n´umero de simula¸c˜oesigual a 51.200.Solu¸c˜ao em GPU escal´avel para o n´umero de simula¸c˜oes evaria¸c˜ao de stop gain.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  48. 48. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  49. 49. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoRisco de MercadoRisco de Mercado ´e aquele relacionado com perdas no fluxode caixa da organiza¸c˜ao causadas por flutua¸c˜oes nos pre¸cos deativos e passivos da empresa (Kimura et al., 2010).Para gest˜ao desse risco, uma m´etrica particularmentedifundida ´e o Value-at-Risk (VaR), que visa a obter umamedida de perda m´axima da institui¸c˜ao.Para o c´alculo do mesmo, o gestor de risco deve ser capaz decalcular o valor de mercado de seus produtos, para assimconseguir avaliar as poss´ıveis varia¸c˜oes na carteira da empresa.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  50. 50. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoOp¸c˜oesUma op¸c˜ao confere, ao titular, o direito sobre um determinadoativo por um valor determinado, enquanto o vendedor ´eobrigado a concluir a transa¸c˜ao.Op¸c˜ao de Call: fornece ao titular o direito de compra do ativoobjeto a um valor determinado (strike).Op¸c˜ao de Put: fornece ao titular o direito de venda do ativoobjeto a um valor determinado.Op¸c˜ao Europeia ´e aquela que pode ser exercida somente emsua data de vencimento.Para ter o direito, o titular deve pagar o pre¸co da op¸c˜ao,tamb´em chamado de prˆemio.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  51. 51. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoPrecifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜aoPosi¸c˜ao comprada em uma op¸c˜ao de Call: max(ST − X, 0).Posi¸c˜ao vendida em uma op¸c˜ao de Call: −max(ST − X, 0).Posi¸c˜ao comprada em uma op¸c˜ao de Put: max(X − ST , 0).Posi¸c˜ao vendida em uma op¸c˜ao de Put: −max(X − ST , 0).O prˆemio (cT ) de uma Op¸c˜ao Europeia de Call pode ser calculadoa partir de um valor esperado de seu retorno, conforme:cT = e−rTE[max(ST − X, 0)]. (4)Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  52. 52. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoPrecifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜aoFigura : Payoffs das posi¸c˜oes em op¸c˜oes europeias: (a) compra de Call;(b) venda de Call; (c) compra de Put; (d) venda de Put (Hull, 2012).Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  53. 53. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoPrecifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜aoParidade Put-Callc + Xe−rT= p + S0. (5)De posse da equa¸c˜ao 5, podemos estimar a esperan¸ca do prˆemiode uma op¸c˜ao de call E[c] como:E[c] = E[p] + S − Xe−rT(6)Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  54. 54. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoRedu¸c˜ao de variˆancia da Precifica¸c˜aoEm geral, a variˆancia de uma op¸c˜ao de put ´e menor do queuma op¸c˜ao de call j´a que no primeiro caso o payoff ´e limitado.Dessa forma, o pre¸co da op¸c˜ao de put se torna uma vari´avelde controle para o c´alculo do prˆemio da op¸c˜ao de call e,assim, obtemos um estimador de c com variˆanciapotencialmente reduzida.Al´em disso, podemos utilizar vari´aveis antit´eticas comot´ecnica de redu¸c˜ao de variˆancia.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  55. 55. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoPrecifica¸c˜ao de Op¸c˜oes via Simula¸c˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  56. 56. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoValue-at-Risk(Choudhry e Tanna, 2007) define o VaR1−α como a perda m´aximaque pode ocorrer em um grau de confian¸ca (1 − α) e per´ıodo detempo (T) determinados.Se assumirmos que F ´e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumulada doretorno da carteira da institui¸c˜ao, podemos definir o VaR comoF(VaR) = α (7)onde ´e α a probabilidade correspondente ao n´ıvel de confian¸caestabelecido. Ao utilizar a fun¸c˜ao de densidade dos retornos f ,podemos definir o VaR de modo equivalente comoα =VaR−∞f (x)dx. (8)Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  57. 57. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoValue-at-RiskComo obter uma fun¸c˜ao f de distribui¸c˜ao dos retornos para umhorizonte de tempo definido?Figura : Resumo comparativo de metodologias de c´alculo de VaR.Retirado de (Jorion, 2003)Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  58. 58. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoVaR via M´etodo de Monte CarloSeja Π0 = (S10 , S20 , . . . , Sn0 ) o valor de um portf´olio composto por nativos em t0. Desejamos calcular o VaR1−α de Π0 para um per´ıodoT. A seguir, apresentamos os passos para resolu¸c˜ao desseproblema via Simula¸c˜ao de Monte Carlo:1 Escolha e configure um modelo estoc´astico para proje¸c˜ao dospre¸cos dos ativos do portf´olio.2 Simule os pre¸cos dos ativos para projetar seus valores em T:S1T , S2T , . . . , SnT3 Calcule o valor do portf´olio ΠT = (S1T , S2T , . . . , SnT )4 Repita os passos 2 e 3 um n´umero (N) de vezes t˜ao grandequanto se queiraTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  59. 59. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoVaR via M´etodo de Monte Carlo1 Ordene de modo crescente os valores dos portf´olios obtidos eobtenha a distribui¸c˜ao: (Π1T , Π2T , . . . , ΠNT )2 Compute o VaR a partir do quantil (1 − α) de interesse:VaR1−α = Π(1−α)NT − Π0Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  60. 60. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoVaR via M´etodo de Monte CarloTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  61. 61. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Aplica¸c˜ao de t´ecnicas de redu¸c˜ao de variˆancia na simula¸c˜ao doprˆemio de uma op¸c˜ao de call europeia utilizando Sobol como RNG.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  62. 62. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosMelhoria de mais de 4 vezes no erro padr˜ao da simula¸c˜ao paraprecifica¸c˜ao de op¸c˜oes.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  63. 63. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : O portf´olio Π0 gerado com um total de 2 mil op¸c˜oes, o queresultou em um valor total de R$191.740. Valor obtido para o VaR95% de1 dia foi de aproximadamente -R$896.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  64. 64. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosN´umero de Simula¸c˜oes Tempo CPU (s) Tempo GPU (s)1280 2,91 0,073200 7,178 0,166400 14,79 0,3112800 28,59 0,6025600 56,58 1,1938400 84,03 1,8151200 112,02 2,43Tabela : Tempo Computacional gasto em CPU e GPU no c´alculo de VaRem fun¸c˜ao do n´umero de simula¸c˜oes. N´umero de op¸c˜oes fixo em 2.000.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  65. 65. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosN´umero de Op¸c˜oes Tempo CPU (s) Tempo GPU (s)500 28,03 0,99750 42,54 1,231000 56,31 1,471250 70,41 1,701500 84,95 1,951750 99,17 2,182000 112,02 2,432500 146,76 2,90Tabela : Tempo Computacional gasto em CPU e GPU no c´alculo de VaRem fun¸c˜ao do n´umero de op¸c˜oes no portf´olio. N´umero de simula¸c˜oes fixoem 51200.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  66. 66. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Speedup no c´alculo de VaR de uma carteira com 2000 op¸c˜oesem fun¸c˜ao do n´umero de simula¸c˜oes.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  67. 67. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosFigura : Speedup no c´alculo de VaR em fun¸c˜ao do n´umero de op¸c˜oes noportf´olio. N´umero de simula¸c˜oes fixo em 51200.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  68. 68. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasM´etodoStops ´OtimosRisco de MercadoExperimentosAcelera¸c˜ao de mais de 50 vezes do c´alculo de Value-at-Riskvia Simula¸c˜ao de Monte CarloTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  69. 69. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasAgenda1 Introdu¸c˜ao2 GPU ComputingCUDADemais T´opicos3 Modelagem Matem´atica4 Estudo de Casos em Finan¸casM´etodoStops ´OtimosRisco de Mercado5 Conclus˜aoTh´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  70. 70. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasConclus˜aoApresentamos a GPU como uma plataforma de computa¸c˜aode prop´osito geral.Estudo de diferentes tipos de PRNGs e QRNGs emarquiteturas sequencial e paralela.Descri¸c˜ao de solu¸c˜oes exatas e num´ericas de Equa¸c˜oesDiferenciais Estoc´asticas.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  71. 71. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasConclus˜aoStops (nessa apresenta¸c˜ao):Resolu¸c˜ao do problema de obten¸c˜ao de Stop ´Otimo.Em an´alise experimental, as implementa¸c˜oes em GPUmostraram ser mais escal´aveis em rela¸c˜ao ao algoritmosequencial.Para o algoritmo de obten¸c˜ao de esperan¸ca de retorno de umStop Gain, foi alcan¸cado um speedup de mais de 12 vezes.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  72. 72. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasConclus˜aoStops (vide disserta¸c˜ao):Revisamos o modelo trinomial proposto por(Warburtona e Zhang, 2006) e propomos um algoritmoalternativo para o mesmo via simula¸c˜ao utilizando umat´ecnica de aceita¸c˜ao e rejei¸c˜ao para probabilidade de transi¸c˜aodos pre¸cos de (Cox et al., 1979).O algoritmo sugerido ´e, comparativamente, de f´acilimplementa¸c˜ao e naturalmente port´avel para GPU.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  73. 73. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasConclus˜aoRisco de Mercado:Melhoria de mais de 4 vezes no erro padr˜ao da simula¸c˜ao paraprecifica¸c˜ao de op¸c˜oes.C´alculo de Value-at-Risk via Simula¸c˜ao de Monte Carlo comacelera¸c˜ao de mais de 50 vezes.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  74. 74. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasReferˆencias Bibliogr´aficas IBrodtkorb et al.(2012) A. R. Brodtkorb, T. R. Hagen e Ma. L.Saetra. Graphics processing unit (gpu) programming strategiesand trends in gpu computing. Journal of Parallel and DistributedComputing.Choudhry e Tanna(2007) M. Choudhry e K. Tanna. AnIntroduction to Value-at-Risk. Securities Institute. Wiley. ISBN9780470033777.Cox et al.(1979) J. Cox, S. Ross e M. Rubenstein. Option pricing:a simplified approach. Journal of Financial Economics.Hull(2012) J. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives andDerivaGem CD Package. Prentice Hall. ISBN 9780132777421.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  75. 75. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasReferˆencias Bibliogr´aficas IIJoe e Kuo(2008) S. Joe e F. Y. Kuo. C´odigo fonte: Sobolsequence generator, 2008. URLhttp://web.maths.unsw.edu.au/~fkuo/sobol/. ´Ultimoacesso em 29/01/2013.Jorion(2003) P. Jorion. Value at risk: a nova fonte de referˆenciapara a gest˜ao do risco financeiro. Bolsa de Mercadorias &Futuros. ISBN 9788574380070.Kimura et al.(2010) H. Kimura, A. S. Suen, L. C. J. Perera eL. F. C. Basso. Value at Risk - Como Entender e Calcular oRisco pelo VaR. INSIDE BOOKS. ISBN 9788560550074.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  76. 76. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasReferˆencias Bibliogr´aficas IIILee et al.(2010) A. Lee, C. Yau, M. B. Giles, A. Doucet e C. C.Holmes. On the utility of graphics cards to perform massivelyparallel simulation of advanced monte carlo methods. Journal ofComputational and Graphical Statistics, p´aginas 769–789.Matsumoto e Nishimura(2009) M. Matsumoto e T. Nishimura.A c-program for mt19937, 2009. URL http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/emt.html. ´Ultimo acesso em29/01/2013.NVIDIA(2009b) NVIDIA. Site de computa¸c˜ao em finan¸cas danvidia, 2009b. URL http://www.nvidia.com/object/computational_finance.html.´Ultimo acesso em 29/01/2013.Prodan(2001) A. Prodan. Stochastic simulation and modelling.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
  77. 77. Introdu¸c˜aoGPU ComputingModelagem Matem´aticaEstudo de Casos em Finan¸casConclus˜aoReferˆenciasReferˆencias Bibliogr´aficas IVW. H. Press e Flannery(2007) W. T. Vetterling W. H. Press, S.A. Teukolsky e B. P. Flannery. Numerical Recipes 3rd Edition:The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press,New York, NY, USA, 3 edi¸c˜ao. ISBN 0521880688,9780521880688.Warburtona e Zhang(2006) A. Warburtona e Z. G. Zhang. Asimple computational model for analyzing the properties ofstop-loss, take-profit, and price breakout trading strategies.Computers and Operations Research.Th´arsis T. P. Souza Defesa de Mestrado - Ciˆencia da Computa¸c˜ao
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