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    • IV. D´finitions e SM4 IV D´finitions e IV.1 2010-2011 Famille cristalline Une famille cristalline est form´e par l’ensemble des mat´riaux ayant mˆme structure et pr´sentant e e e e des propri´t´s physiques et chimiques fortement analogues. ee Chaque famille est en pratique identifi´e par le nom 1 ou la formule chimique 2 d’un compos´ e e type, dont la structure sert de r´f´rence ` tous les autres membres. ee a IV.2 Coordinence • Dans un r´seau, un atome (ou ion), 𝐴 𝑖 donn´e est entour´ d’autres atomes (ou ions) 𝐴 𝑗 , pas e e e forc´ment identiques, et ´loign´s ` des distances interatomiques variables. e e e a ♦ D´finition : La coordinence de l’atome 𝐴 𝑖 est le nombre 𝑥 de ses atomes plus e proches voisins 𝑉 . On la note 𝐴/𝑉 = 𝑥 ou 𝐶(𝐴/𝑉 ) = 𝑥. • la coordinence est un nombre sans dimension. IV.3 Compacit´ e ♦ D´finition : La compacit´ 𝒞 est un nombre sans dimension qui mesure la taux e e d’occupation r´el de l’espace par les atomes ou les ions assimil´s ` des sph`res e e a e dures. La compacit´ est donc toujours comprise entre 0 et 1. e • Tr`s souvent on l’exprime en pourcentage (entre 0% et 100%). e 𝑘 ∑4 𝜋 𝑅3 𝑗 3 volume occup´ e volume des k atomes d’une maille 𝑗=1 𝒞= = = → → − → volume disponible volume de cette maille (− × 𝑏 ) ▪ − 𝑎 𝑐 IV.4 Sites cristallographiques ♦ D´finition : Les sites cristallographiques (ou sites intersticiels) sont les intere stices ou lacune de mati`re dans une maille. e • Csqce : Une maille contient n´cessairement du vide puisque 𝒞 < 1. Les sites cristallographiques e peuvent donc ˆtre occup´s par des entit´s chimiques ´trang`res. e e e e e Il existe trois sortes de sites cristallographiques : les sites cubiques, les sites octa´driques et les sites t´tra´driques. e e e ♦ D´finition : On consid`re que le r´seau hˆte est constitu´ de sph`res de rayon 𝑅 e e e o e e tangentes les unes avec les autres selon certaines directions de la structure cristalline. L’habitabilit´ d’un site intersticiel est le rayon 𝑟 du plus gros atome qui puisse e s’ins´rer dans le site consid´r´ sans d´former la structure du r´seau hˆte. e ee e e o 1. Ex : structure diamant, structure blende, . . . 2. Ex : structure 𝐶𝑠𝐶𝑙, structure 𝑁 𝑎𝐶𝑙, . . . 12 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
    • IV. D´finitions e 2010-2011 SM4 ♦ D´finition : Les sites interstitiels co¨ e ıncident avec le centre des poly`dres de e coordination (cube, octa`dre, t´tra`dre) ayant pour sommets les centres des premiers e e e voisins 𝑉 du r´seau-hˆte cristallin. e o IV.5 Sites cubiques [𝐶] • Le site cubique dont le poly`dre de coordination est un cube d’arˆte 𝑑 aux huit sommets e e occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝐶/𝑉 ) = 8 e e e • Habitabilit´ d’un site cubique [𝐶] : e - les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝐶 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon 𝑑′ , la moiti´ de la grande e e e diagonale du cube d’arˆte 𝑑 : e √ 𝑑 3 ′ 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ 𝑑 ⇔ 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ 2 - les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅 e e e √ ⎫ 𝑑 3 ⎬ √ √ 𝑟𝐶 - Soit : 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ ≤ 3 − 1 ≃ 0, 732 ⇒ 𝑅+ 𝑟𝐶 ≤ 𝑅 3 ⇔ 2 ⎭ 𝑅 𝑑 = 2.𝑅 Soit, un rayon limite pour le site cubique : 𝑟 𝐶lim = 0, 732.𝑅 IV.6 Sites octa´drique [𝑂] e • Le site octa´drique dont le poly`dre de coordination est un octa`dre d’arˆte 𝑑 aux six sommets e e e e occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝑂/𝑉 ) = 6 e e e • Habitabilit´ d’un site octa´drique [𝑂] : e e - les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝑂 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon 𝑑′ , la moiti´ de la diagonale e e e du carr´ d’arˆte 𝑑 : e e √ . 𝑑 2 ′ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ 𝑑 ⇔ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ 2 Qadri J.-Ph. ∣ PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 13
    • V. D´finitions e SM4 2010-2011 - les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅 e e e √ ⎫ 𝑑 2 ⎬ √ √ 𝑟𝑂 - Soit : 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ ⇒ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ 𝑅 2 ⇔ ≤ 2 − 1 ≃ 0, 414 2 ⎭ 𝑅 𝑑 = 2.𝑅 Soit, un rayon limite pour le site octa´drique : e IV.7 𝑟 𝑂lim = 0, 414.𝑅 Sites t´tra´drique [𝑇 ] e e • Le site t´tra´drique dont le poly`dre de coordination est un t´tra`dre d’arˆte 𝑑 aux quatre e e e e e e sommets occup´s par des sph`res 𝑉 identiques poss`de une coordinence : 𝐶(𝑇 /𝑉 ) = 4 e e e • Habitabilit´ d’un site t´tra´drique [𝑇 ] : e e e - les sph`res de rayon 𝑅 et 𝑟 𝑇 peuvent au mieux ˆtre tangentes selon e e 𝑑 diagonale du cube d’arˆte 𝑎 = √ dans lequel s’inscrit le t´tra`dre : e e e √ 2 𝑎 3 ⇔ 𝑅+ 𝑟𝑇 ≤ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 𝑑′ ⇔ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 2 𝑑′ , la moiti´ de la grande e √ 𝑑 3 √ 2 2 - les sph`res de rayons 𝑅 ´tant tangentes selon l’arˆte 𝑑 : 𝑑 = 2.𝑅 e e e √ ⎫ √ √ 𝑑 3  ⎬ 𝑟𝑇 3 3 - Soit : 𝑅+ 𝑟𝑇 ≤ . ⇒ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 𝑅. ⇔ ≤ − 1 ≃ 0, 225 2 2  2 𝑅 2 ⎭ 𝑑 = 2.𝑅 Soit, un rayon limite pour le site t´tra´drique : e e IV.8 𝑟 𝑇,lim = 0, 225.𝑅 Site interstitiel pr´f´rentiel ee R`gle : e Pour un rapport 𝑟 fix´, lorsque plusieurs sites e 𝑅 sont permis, l’atome ´tranger e occupera pr´f´rentiellement le ee site interstitiel de coordinence la plus faible. 𝑟 Ex : Si = 0, 40 : 𝑅 - les sites [𝑇 ] sont interdits - les sites [𝑂] et [𝐶] sont permis, mais l’occupation d’un site [𝑂] sera prioritaire devant cele d’un site [𝐶] - i.e., les atomes ´trangers commencent par occuper les sites octa´driques [𝑂] e e - si les atomes ´trangers sont en exc`s, ils occuperont ´galement les sites cubiques [𝐶] e e e 14 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
    • V. Cristaux m´talliques et de gaz rares e 2010-2011 V SM4 Corps Simples (I) : Cristaux m´talliques et cristaux e mol´culaires de gaz rares e Le motif est un atome du m´tal (ou du gaz rare). Dans ce r´seau, ces e e atomes sont li´s par la liaison m´tallique. On les repr´sente par des sph`res e e e e dures de rayon 𝑅. Les ´lectrons libres sont d´localis´s sur l’ensemble de la structure e e e m´tallique : ´lectrons de conduction. e e L’assemblage compact est constitu´ de sph`res de rayon 𝑅 dispos´es de e e e mani`re ` minimiser l’espace vide. e a { On distingue deux cas : V.1 - ABCA : le cubique faces centr´es (c.f.c.) e - ABAB : l’hexagonal compact (h.c.) Propri´t´s macroscopiques conf´r´es par la liaison m´tallique e e ee e • Propri´t´s m´caniques : d´formable : ee e e - « bonne » ductibilité (obtentions de fils) - « bonne » malléabilité (obtention de feuilles) • Propriétés optiques : pouvoir réflecteur « élevé » sur tout le visible • Propriétés thermiques : « bon » conducteur thermique • Propriétés électriques : « bon » conducteur électrique • Propriétés thermodynamiques : température de fusion « élevée » V.2 Structure cubique ` faces centr´es : c.f.c (F) a e Exemples : - Métaux de transition (𝐶𝑢, 𝑁 𝑖, 𝐴𝑔, 𝐴𝑢, 𝐹 𝑒 𝛾 ,. . . ) et métal (𝐴𝑙) - gaz rares : 𝑁 𝑒, 𝐴𝑟, 𝐾𝑟, 𝑋𝑒 - alcalino-terreux : 𝐶𝑎, 𝑆𝑟 z c β a α b y γ x a a a 2 Param`tres de maille et relation entre 𝑎 et 𝑅 e • Pour une maille c.f.c. : 𝑎= 𝑏= 𝑐 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90∘ • Cf. schéma page suivante. √ √ Les atomes sont tangents le long de la diagonale d’une face : 4𝑅 = 𝑎 2, soit 𝑎 𝐹 = 2 2.𝑅 b Nombre de motifs (atomes) par maille ( ) 1 8 × aux sommets ( 8) 1 6 × aux centres des faces 2 Qadri J.-Ph. ∣ PTSI ⎫   ⎬   ⎭ ⇒ 𝑍 =8× 1 1 +6× 8 6 ⇒ http ://atelierprepa.over-blog.com/ 𝑍 = 4 at/maille 15
    • V. Cristaux m´talliques et de gaz rares e SM4 a 2010-2011 C a 2 a a π 4 A C B B A C B A c Coordinence Chaque atome est tangent à : ⎫ - 6 atomes dans la même couche 𝐴 ⎬ - 3 atomes sur la couche inférieure 𝐵 ⇒ ⎭ - 3 atomes sur la couche supérieure 𝐶 d A 𝐶(𝐸/𝐸) = 12 Compacit´ e 4 4. .𝜋.𝑅3 𝑍. 4 𝜋.𝑅3 Volume des atomes 3 3 𝒞= = = √ Volume d’une maille 𝑎3 (2 2.𝑅)3 ⇒ 𝜋 𝒞F = √ = 0, 74 = 74% 3 2 Dans une structure compacte c.f.c. : • il y a 74% de volume occupé par les atomes • il y a 26% de vide qui peut être occupé sous deux types de cavités : - les sites tétraédriques [𝑇 ] - les sites octaédriques [𝑂] e Sites interstitiels ♦ D´finition : L’habitabilit´ d’un site est le rayon du plus gros atome qui puisse e e s’ins´rer dans le site consid´r´ sans d´former la structure. e ee e 𝛼) Sites octaédriques [𝑂] • Localisation des sites [𝑂] dans une maille 𝐹 : - 1 au centre de la maille - 12 au milieu des arêtes. • Nombre de sites octaédriques appartenant à la maille c.f.c. : 1 𝑁 𝑂 = 1 × 1 + 12 × 4 ⇒ 𝑁𝑂=4 • Règle 1 : Dans une structure c.f.c., et plus généralement dans une structure compacte, il y a autant de sites octaédriques [𝑂] que d’atomes constituant le réseau hôte : 𝑁 𝑂 = 𝑍 16 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
    • V. Cristaux m´talliques et de gaz rares e 2010-2011 SM4 Le schéma b) de la page précédente permet de conclure que : • Dans une structure c.f.c, les sites [𝑂] sont - sur les nœuds d’un réseau c.f.c. - de paramètre 𝑎 ) ( 1 - d’origine , 0, 0 au lieu de (0, 0, 0) 2 • Habitabilité d’un site octaédrique [𝑂] : √ - les atomes du réseau hôte sont tangents le long des diagonales des faces soit : 𝑎. 2 = 4.𝑅 - l’atome interstitiel [𝑂] va au plus être tangent aux atomes 𝑉 du réseau selon une arête du réseau c.f.c.. Donc : 2(𝑅 + 𝑟 𝑂 ) ≤ 𝑎 ⎫ √ - D’où : 𝑎. 2 = 4.𝑅 ⎬ √ 4.𝑅 𝑟𝑂 ⇒ 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ √ ⇔ ≤ 2 − 1 ≃ 0, 414 𝑎 𝑅 𝑅+ 𝑟𝑂 ≤ ⎭ 2. 2 2 Soit une habitabilité : 𝑟 𝑂lim = 0, 414.𝑅 • La coordinence d’un site octaédrique est 𝑂/𝑉 = 6 . 𝛼) Sites tétraédriques [𝑇 ] • Localisation des sites [𝑇 ] dans une maille 𝐹 : 𝑎 8 au centre de 8 cubes de côté . 2 • Nombre de sites tétraédriques appartenant à la maille c.f.c. : 𝑁𝑇 =8 • Règle 2 : Dans une structure c.f.c., et plus généralement dans une structure compacte, il y a deux fois plus de sites tétraédriques [𝑇 ] que d’atomes constituant le réseau hôte : 𝑁 𝑇 = 2.𝑍 Le schéma b) permet de conclure que : • Dans une structure c.f.c, les sites [𝑇 ] sont - sur les nœuds d’un réseau Cubique Simple (P) 𝑎 - de paramètre 𝑎 𝑠 = ( )2 1 1 1 - d’origine , , au lieu de (0, 0, 0) 4 4 4 • Habitabilité d’un site tétraédrique [𝑇 ] : √ - les atomes du réseau hôte sont tangents le long des diagonales des faces soit : 𝑎. 2 = 4.𝑅 - l’atome interstitiel [𝑇 ] va au plus être tangent aux atomes √ du réseau selon le quart d’une 𝑉 𝑎 3 grande diagonale du cube du réseau c.f.c.. Donc : 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ 4 √ ⎫ √ √ - D’où : 𝑎. 2 = 4.𝑅 ⎬ 4.𝑅 3 𝑟𝑇 3 √ ≤ − 1 ≃ 0, 225 𝑎 3 ⎭ ⇒ 𝑅 + 𝑟 𝑇 ≤ √2 . 4 ⇔ 𝑅 2 𝑅+ 𝑟𝑇 ≤ 4 Soit une habitabilité : 𝑟 𝑇lim = 0, 225.𝑅 • La coordinence d’un site tétraédrique est 𝑇 /𝑉 = 4 . Qadri J.-Ph. ∣ PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 17
    • V. Cristaux m´talliques et de gaz rares e SM4 V.3 Structure hexagonale compact : h.c. (H) Exemples : a 2010-2011 - 𝐻, 𝐻𝑒 - alcalino-terreux : 𝑀 𝑔, 𝐵𝑒 - 𝑇 𝑖, 𝑍𝑛, 𝐶𝑑,. . . Param`tre de maille et g´om´trie e e e • La nature de la maille est un prisme droit à base hexagonale, constituée de 3 mailles primitives. La maille primitive (cf. ci-dessous) est un prisme droit à base losange : z c c c D 2 α β a γ a a h b C y x a A • Pour une maille h.c. primitive : H a a a B 𝑎 = 𝑏 ∕= 𝑐 𝛼 = 𝛽 = 90∘ 𝛾 = 120∘ • Catactéristiques géométriques : 𝑎 désigne l’arête de l’hexagone ou celle d’un losange et 𝑅 le rayon d’un atome. On a : - relation entre 𝑎 et 𝑅 : les atomes sont tangents suivant une arête de l’hexagone : 𝑎 𝐻 = 2.𝑅 √ 2 - relation entre 𝑎 et 𝑐 : 𝑐 = 2. .𝑎 ≃ 1, 633.𝑎 (§ à connaître par cœur et à savoir établir !) 3 Dém : (Voir les deux figures p.20) - On considère les sommets 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 (sommets d’un tétraèdre régulier de côté 𝑎) - On définit 𝐻 le projeté orthogonal de 𝐷 sr le plan (𝐴𝐵𝐶) ; ce point est également l’intersection des hauteurs (et bissectrices) du triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 de côté 𝑎 18 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
    • V. Cristaux m´talliques et de gaz rares e 2010-2011 SM4 - Puisque 𝐴𝐷𝐻 est orthogonal en 𝐻, le théorème de Pythagore donne : ℎ2 = 𝑎2 − 𝐴𝐻 2 (★) - Puisque 𝐴𝐻𝐶 ′ est orthogonal en 𝐶 ′ : cos ( 𝜋) 𝐴𝐶 ′ 𝑎 = = 6 𝐴𝐻 2.𝐴𝐻 ⇔ 𝐴𝐻 = 𝑎 𝑎 (★★) 𝜋 = √ 2. cos( 6 ) 3 - On en déduit : 𝑎2 2𝑎2 − → ℎ2 = 𝑎2 − − = 3 3 (★★) (★) √ ⇒ ℎ= 2 .𝑎 3 √ et donc : 𝑐 = 2ℎ = 8 .𝑎 ≃ 1, 633.𝑎 3 𝑐 est un critère pour tester un cristal réel hexagonal compact : 𝑎 Les valeurs fournies dans le tableau périodique (p. 11) permet d’évaluer ce rapport pour quelques éléments suceptibles d’être concernés par la structure « hexagonal compact » : Rq : Le rapport Mg = 1, 63 empilement parfait de sphères → empilement compact Be 𝑐 𝑎 = 1, 57 empilement d’ellipsoïdes aplatis selon 𝑂𝑧 Zn 𝑐 𝑎 = 1, 86 empilement d’ellipsoïdes allongés selon 𝑂𝑧 C b 𝑐 𝑎 𝑐 𝑎 = 2, 73 empilement absolument non compact (→ structure graphite) Nombre de motifs/Nœuds et nombre d’atomes par maille Attention : la structure « hexagonal compact » : - est une structure critalline (modèle de cristal) - mais elle n’est pas un système cristallin (réseau de Bravais) Se souvenir que : )} { ( → → → − , − , − ) + motif (0, 0, 0); 2 , 1 , 1 Structure cristalline = réseau ( 𝑎 𝑏 𝑐 3 3 2 Rq : Effectivement (Cf. schéma ci-dessous), comme 𝐻 est situé aux 2/3 de la hauteur du triangle 𝐶𝐶 ′ et puisque 𝐶𝐴𝐶 ′ et 𝐶𝐵 ′′ 𝐻 sont homologues, en appliquant le Thm de Thalès : 𝐶𝐵 ′′ 𝐵 ′′ 𝐻 𝐶𝐻 2 2 = ⇒ donc : 𝐶𝐵 ′′ = .𝑎 et = = 𝐶𝐴 𝐴𝐶 ′ 𝐶𝐶 ′ 3 3 ( ) → 2 1 → − → Donc les coordonnées de 𝐻 sont , , 0 dans la base (− , 𝑏 , − ) 𝑎 𝑐 3 3 ( ) 2 1 1 On en déduit les coordonnées de 𝐷 : , , 3 3 2 c Coordinence Chaque atome est tangent à : ⎫ - 6 atomes dans la même couche 𝐴 ⎬ - 3 atomes sur la couche inférieure 𝐵 ⇒ ⎭ - 3 atomes sur la couche supérieure 𝐵 d 1 𝐵 ′′ 𝐻 = .𝑎 3 𝐶(𝐸/𝐸) = 12 Compacit´ e • Pour exprimer la compacité, il faut connaître le volume 𝑉 𝑒 de la maille élémentaire. Or, le volume d’un prisme de hauteur 𝑐 à base losange est : 𝑉 𝑒 = 𝑐.𝑆base avec Qadri J.-Ph. ∣ PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 19
    • V. Cristaux m´talliques et de gaz rares e SM4 𝑆base = 2 × aire triangle équil. de côté 𝑎 ( ) 1 .base tr. éq. × hauteur tr. éq. = 2× 2 √ 1 3 = 2 × .𝑎 × 𝑎. 2 2 √ A 3 2 = .𝑎 2 √ ⇒ 𝑉 𝑒 = 𝑐.𝑆base = 2.𝑎3 2010-2011 D C a a h π a 6 B'' H π a/3 3 a/2 C' A C a a 2a 3 a H B B 4 2. .𝜋.𝑅3 𝑍at . 4 𝜋.𝑅3 8 1 𝜋. 𝑅3 𝜋 Volume des atomes 3 3 = = √ = √ . = √ 𝒞= 3 3 Volume d’une maille 𝑉𝑒 3 2 8. 𝑅 2.𝑎 3. 2 𝜋 𝒞H = √ = 0, 74 = 74% 3 2 ⇒ Dans une structure compacte h.c. : • il y a 74% de volume occupé par les atomes • il y a 26% de vide qui peut être occupé sous deux types de cavités : - les sites tétraédriques [𝑇 ] - les sites octaédriques [𝑂] e Sites interstitiels Pour les deux empilements compacts (c.f.c. ou h.c., même compacité et même coordinence), les règles Règle 1 et Règle 2 sont valables : - il y a autant de sites [𝑂] que d’atomes du réseau-hôte - il y a deux fois plus de sites [𝑇 ] que d’atomes du réseau-hôte ⇒ on en déduit que, pour l’empilement h.c. : 𝑁 𝑂 = 𝑍at = 2 et 𝑁 𝑇 = 2.𝑍at = 4 V.4 Structure cubique centr´e : c.c. (I) e Exemples : a - métaux alcalins : 𝐿𝑖, 𝑁 𝑎 , 𝐾, 𝑅𝑏, 𝐶𝑠 - métaux de transition : 𝐹 𝑒 𝛼 , 𝑀 𝑜 Param`tre de maille et g´om´trie e e e Les sphères modélisant les atomes (de rayon 𝑅) sont tangentes le long de la diagonale du cube : √ 4𝑅 = 𝑎. 3 ⇒ 4 𝑎 𝐶 = √ .𝑅 3 a 3 a b Coordinence a Chaque atome est tangent à 8 voisins immédiats (cf. l’atome central de la maille primitive et les 8 atomes qui occupent les sommets de cette maille) : ⇒ 𝐶(𝐸/𝐸) = 8 c 2 a a Nombre de motifs/nœuds/atomes Dans une maille élémentaire : - chaque sommet est à partager avec les 7 autres mailles auxquelles il appartient. Donc chacune des 8 motifs/atomes correspondant aux 8 sommets du cube de la maille élémentaire est à partager entre 8 mailles. 20 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. ∣ PTSI
    • V. Cristaux m´talliques et de gaz rares e 2010-2011 SM4 - le centre, où se trouve un motif/atome, est à comptabiliser entièrement pour la maille. - donc, le nombre de motifs (atomes pour un cristal métallique ou de gaz rare) par maille est : 𝑍 =8× d 1 +1 8 ⇒ 𝑍=2 Compacit´ e 4 √ 2. .𝜋.𝑅3 𝑍at . 4 𝜋.𝑅3 Volume des atomes 4 𝑅3 𝜋. 3 3 3 𝒞= = = = 2. .𝜋. 3 = Volume d’une maille 𝑉𝑒 𝑎3 2.4 3 4 3 √ .𝑅 3. 3 √ 𝜋. 3 ⇒ 𝒞I = ≃ 0, 68 = 68% 8 Dans une cubique centrée c.c. : • il y a 68% de volume occupé par les atomes • il y a 32% de vide qui peut être occupé par des atomes étrangers (impuretés qui se logent les les sites interstitiels) - comme 𝒞I = 0, 68 ≤ 0, 74 = 𝒞max on parle de structure « pseudo-compacte » e Exercice ♦ D´finition : On appelle rayon m´tallique la demi-distance d’´quilibre entre les e e e noyaux des 2 plus proches voisins d’un cristal m´tallique. e Énoncé : Le fer 𝛼 cristallise dans le système « cubique centrée » (c.c.). → Déterminer le rayon métallique de 𝐹 𝑒 𝛼 sachant que sa densité est 𝑑 = 7, 86. Données : 𝑀 (𝐹 𝑒) = 55, 8 𝑔.𝑚𝑜𝑙−1 ; 𝒩 𝐴 = 6, 02.1023 𝑚𝑜𝑙−1 Réponse : Puisque la définition de la densité d’un corps est le rapport de sa masse volumique par la masse volumique de l’eau liquide : 𝑑= 𝜌(𝐹 𝑒 𝛼 ) 𝜌eau ⇒ 𝜌(𝐹 𝑒 𝛼 ) = 𝑑.𝜌eau = 7 860 𝑘𝑔.𝑚−3 En notant 𝑍 le nombre d’atomes par maille cubique centrée, de paramètre de maille 𝑎, on a : 𝑀 𝑍. 𝑚 masse d’une maille c.c. 𝑍.masse d’un atome de 𝐹 𝑒 𝒩𝐴 𝜌= = = =( )3 𝑉 𝑉maille 𝑎3 4 √ .𝑅 3 Soit : √ 3 𝑅= . 4 ( 𝑍.𝑀(𝐹 𝑒) 𝒩 𝐴 .𝜌(𝐹 𝑒) Qadri J.-Ph. ∣ PTSI )1 3 √ 3 . = 4 ( 2 × 55, 8.10−3 6, 02.1023 × 7 860 )1 3 ⇒ 𝑅 = 1, 24.10−10 𝑚 = 0, 124 𝑛𝑚 http ://atelierprepa.over-blog.com/ 21