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Trigonometría

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Trigonometría y Física integradas y con ejercicios de aplicación

Trigonometría y Física integradas y con ejercicios de aplicación

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  • 1. Trigonometría Prof. Elba M. Sepúlveda Aug 2003
  • 2. Instrucciones
    • Esta presentación muestra como obtener las ecuaciones para contestar problemas de trigonometría .
    • Puedes leer cada problema y activar el sonido.
    • Luego puedes cotejar tu solución con la solución demostrada en la próxima página.
    • Cualquier duda puedes escribirme a
    • [email_address]
  • 3. La trigonometría de los ángulos rectos
    • Trigonometría - estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos.
    • Triángulo rectángulo - triángulo que contiene un ángulo recto o de 90°.
  • 4. Funciones trigonométricas
    • sen  =
    • cos  =
    • tan  =
    • csc  =
    • sec  =
    • cot  =
     a c b a c b c a b c a c b b a
  • 5. Ejemplo #1
    • Conociendo 2 de estas variables podemos resolver cualquier problema relacionado.
    • Ejemplo # 1. Nos podemos aprender por lo menos un dato interesante: Sen 30°= ½
    • Determina la medida del lado b. Usando el teorema de pitágoras.
    30° 1 2 b
  • 6. Resultado #1
    • c 2 = a 2 + b 2
    • 2 2 = 1 2 + b 2
    • 4 – 1 = b 2
    • b 2 = 3
    • b = √ 3
    30° 1 2 b= √ 3
  • 7.
    • Para un  de 30° entonces:
    • sen 30° = ½ csc 30° = 2
    • cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2/ √ 3
    • tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3
    30° 1 2 b= √ 3
  • 8. ¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°?
    • sen 60° =_________
    • cos 60°=__________
    • tan 60°=__________
    • sec 60° =_________
    • csc 60°=__________
    • cot 60°=___________
    • sen 60° = √ 3/2
    • cos 60° = ½
    • tan 60° = √ 3
    • sec 60° = 2/ √ 3
    • csc 60° = 2
    • cot 60° = 1/ √ 3
  • 9. Ejemplo #2: Un triángulo de 45°
    • Determina la hipotenusa
    • c 2 = a 2 + b 2
    • c 2 = 1 2 + 1 2
    • c 2 = 1 + 1
    • c 2 = 2
    • c= √ 2
    • Determina: sen 45°, cos 45°, tan 45° , csc 45° , sec 45° y cot 45°
     1 c 1
  • 10. Ejemplo #3
    • Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 37°. El lado adyacente mide 4 m. Determina la longitud del lado opuesto al ángulo dado.
    • Determina la hipotenusa
     ? ? 4m
  • 11. Resultado #3
    • tan  = op/ady
    • op = ady tan 
    • = 4m tan 37 °
    • op = 3m
    • cos q = ady/hip
    • hip = ady/cos 
    • = 4m/cos37°
    • hip= 5m
     ? ? 4m
  • 12. Ley de los senos
    • Existen ciertas relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos aunque éstos no sean rectos. Esto sucede con la ley de los senos.
    • Consideremos cualquier triángulo ABC
    B A C b a c y M
  • 13. Ley de los senos
    • En <AMC  y/b = sen A  y= b sen A
    • En <BMC  y/a = sen B  y= a sen B
    • b sen B = a sen A
    • Entonces:
    • b sen A = a sen B
    B A C b a c y M b sen B = a sen A
  • 14. Para cualquier < ABC:
    • Ley de los senos:
    a sen A = b sen B = c sen C B A C b a c y M
  • 15. Ejemplo #4
    • En este <ABC, A=30°, B=40° y a= 10 m determina b y c
    B A C b a c
  • 16. Resultado #4
    • b= a sen b/sen a
    • = (10m) (sen 40 °)/(sen30°)
    • = 12.85m
    • =13 m
    a sen A = b sen B = c sen C
  • 17. Ley de los cosenos
    • Otra relación entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo. Dado un < supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b y la medida de c.
       (x,y) a c b y x b-x M
  • 18. <aMb tiene lados: y, c , b-x
    • Usando el teorema de Pitágoras:
    • c 2 = y 2 + (b – x) 2
    • = y 2 + b 2 – 2bx + x 2
    • c 2 = (x 2 +y 2 ) + b 2 – 2bx
    • <g M b tiene lados: x, y, a por lo tanto:
    • a 2 = x 2 + y 2
    • entonces podemos sustituir en la ecuación anterior:
    • c 2 = (a 2 ) + b 2 – 2bx
    • Del <  M b también podemos obtener que
    • cos  = x/a  x= a cos 
    • sustituyendo: c 2 = a 2 +b 2 – 2b(a cos  )
       (x,y) a c b y x b-x M
  • 19. En resumen:
    • Ley de los cosenos
    b 2 = a 2 +c 2 – 2ac cos  a 2 = b 2 +c 2 – 2bc cos  c 2 = a 2 +b 2 – 2ab cos     (x,y) a c b y x b-x M
  • 20. Ejemplo #5
    • En el siguiente triángulo a = 60°, b= 3m y c=4m.
    • ¿Cuánto es a?
       a c=4m b=3m 60°
  • 21. Resultado #5
    • a 2 = (3m) 2 +(4m) 2 – 2(3m)(4m) cos 60°
    • = 9m 2 +16m 2 – 24m 2 (0.5)a= 3.6 m
    • = 25m 2 – 12m 2
    • = 13m 2
    • a= √ 13 m 2 = 3.606 m
    a 2 = b 2 +c 2 – 2bc cos  a= 3.6 m    a c=4m b=3m 60°
  • 22. Ejemplo #6: Resuelve
  • 23. Resultado #6
    • a= c senA /sen C
    • = (50m) sen 30 ° / sen110°
    • = 26.6 m
    • sen B = y/a
    • sen 40°= y/26.6m
    • y= (26.6 m) sen 40°
    • = 17m
    B A C b a c y M
  • 24. Las caricaturas de hoy…

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