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  • 1. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año PROPÓSITO 12: INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Inecuación Es una expresión matemática que contiene números y al menos una variables, en la que hay se establece relación de desigualdad entre sus miembros. Es decir, una inecuación es una desigualdad algebraica. Por ejemplo: • 324 <−m Es una inecuación (con una variable) • 7)29(8 −>+ No es una inecuación, es una desigualdad (porque no tiene variables) • kx +−≥ 3525 Es una inecuación (con dos variables) • hmy 83 5 2 −< Es una inecuación (con tres variables) • 4824 <=p No es válido • 2 1 53 +−=− yx No es una inecuación, es una ecuación (porque tiene signo de igualdad) • 393 2 ≤−+ xx Es una inecuación (de segundo grado con una variable) • k 7 4 35 ≠ No es una inecuación (porque tiene signo de diferencia) • a>− 2 Es una inecuación (con una variable) Inecuación de primer grado con una incógnita Es una desigualdad algebraica que contiene sólo una variable cuyo grado es uno (con exponente uno), y tiene la forma: 0>+ bax Observación: el número a siempre es un valor que está multiplicando a la variable y el número b es un valor que suma (algebraicamente: suma o resta) de la variable. Coeficiente (nunca puede ser cero) Variable (cualquier letra) Signo de desigualdad (<, >, ≤, ≥) Término independiente
  • 2. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Ejemplos: • 2355 +−≥− x Es una inecuación de primer grado con una incógnita Ordenada de la forma básica quedaría: 7350 +−≥ x donde a=-35 y b=7 • m4 3 11 3 11 +≤ Es una inecuación de primer grado con una incógnita Ordenada de la forma básica quedaría: 3 11 4 3 11 0 −+≤ m m40 ≤ donde a=4 y b=0 • 6 5 2 <y Es una inecuación de primer grado con una incógnita Ordenada de la forma básica quedaría: 06 5 2 <−y donde a=2/5 y b=-6 • pp 43 < Es una inecuación de primer grado con una incógnita Ordenada de la forma básica quedaría: 043 <− pp 0<− p donde a=-1 y b=0 • yy 2 4 2 −=− No es una inecuación • kk 2 4 −≥− Es una inecuación de primer grado con una incógnita Ordenada de la forma básica quedaría: kk 2 4 −≥− 02 ≥+− kk ∴ 0≥k donde a=1 y b=0 Solución de una inecuación Es un intervalo (o más) de la Recta Real cuyos elementos (números reales) hacen que la relación de desigualdad se cumpla. ¿Cómo hallar la solución de una inecuación de primer grado con una incógnita? El proceso para resolver una inecuación se parece al proceso que se utiliza para resolver ecuaciones. Lo que se requiere es “despejar la variable”.
  • 3. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Por ejemplo: 3 2 5 >+x 2 5 3−>x 2 1 >x El resultado obtenido al resolver indica que la solución (S) a la ecuación son todos los números (x) mayores que ½. Por lo tanto:       ∞= ; 2 1 S Importante: Además de todas las normas y pasos del despeje, en inecuación agregamos uno más: Si se quiere despejar un número negativo que está multiplicando o dividiendo, al ser despejado el sentido de la desigualdad cambia. Es decir, se invierte el signo de desigualdad. Por ejemplo: 795 ≥+− m 975 −≥− m 5 2 − − ≤m 5 2 ≤m       ∞−= 5 2 ;S Inecuación dada La fracción se pasó al miembro derecho, restando Resolviendo la suma (algebraica) Escribiendo el resultado como intervalo Inecuación dada El término que no contiene a la variable pasa al segundo miembro, restando El coeficiente (-5) pasó de multiplicar en el primer miembro, a dividir en el segundo miembro Como el número que se despejó era negativo y estaba multiplicando, “el sentido de la desigualdad cambió” El resultado es el intervalo de todos los números menores o iguales que 2/5 Escribiendo el resultado como intervalo
  • 4. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Tipos de inecuaciones de primer grado con una incógnita y su proceso de solución 1. Inecuación simple: es una inecuación que contiene un solo signo de desigualdad. Procedimiento de solución: • Despejar la variable • Expresar el conjunto solución como intervalo • Representar gráficamente la solución Ejercicio resuelto: Resolver la inecuación 6 3 2 4 −≤+− x Solución 6 3 2 4 −≤+− x 3 2 64 −−≤− x 3 20 4 −≤− x 4 3 20 − − ≥x 12 20 − − ≤x 3 5 ≤x      ∞−= 3 5 ;S Gráfica Inecuación dada Resolviendo la suma (algebraica) El término que no contiene a la variable pasa al segundo miembro, restando Despejando el coeficiente (-4) La desigualdad cambió de sentido Resolviendo la división de fracciones Simplificando Conjunto solución
  • 5. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año 2. Inecuación doble: es una inecuación que tiene dos signos de desigualdad Procedimiento de solución: • Separar la inecuación en dos inecuaciones simples. Del centro a la izquierda (inecuación 1) y del centro a la derecha (inecuación 2) • Resolver cada inecuación simple por separado, expresando el conjunto solución como intervalo en cada una (S1 y S2) • Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección de las soluciones parciales. • Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de los dos intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ambos. Ejercicio resuelto: Hallar la solución de xx 5 4 6 534 −≤+−<− Solución Separación en inecuaciones simples xx 5 4 6 534 −≤+−<− Parte I 534 +−<− x x354 −<−− x> − − 3 9 x>3 3<x ( )3;1 ∞−=S Parte II xx 5 4 6 53 −≤+− 5 4 6 53 −≤+− xx 4 14 2 −≤x 2 4 14 − ≤x 8 14 −≤x 4 7 −≤x       −∞−= 4 7 ;2S Parte I Parte II
  • 6. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Solución general ( )3;1 ∞−=S       −∞−= 4 7 ;2S Analítica      −∞−= 4 7 ;21 SS I Gráfica 3. Inecuación con valor absoluto: es una inecuación cuya variable está dentro de las barras de valor absoluto. Procedimiento de solución: • Separar la inecuación en dos inecuaciones simples, una positiva y otra negativa. Parte positiva: escrita como fue dada, sin las barras de valor absoluto. Parte negativa: escrita con valor negativo en uno de sus miembros y cambiando el sentido de la desigualdad. • Resolver cada inecuación simple por separado, expresando el conjunto solución como intervalo en cada una (S1 y S2) • Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección o unión de las soluciones parciales. Se hace intersección: cuando la el valor absoluto es < o ≤ Se hace unión: cuando la el valor absoluto es > o ≥ • Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de los dos intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ambos. NOTA: el proceso es semejante a una inecuación doble, sólo que la separación se hace en “parte positiva” y “parte negativa”
  • 7. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Ejercicio resuelto 1: Determinar la solución de 84 5 4 >− x Solución Parte positiva 84 5 4 >− x 5 4 84 −>− x 5 36 4 >− x 4 5 36 − <x 20 36 −<x 5 8 −<x       −∞−= 5 8 ;1S Parte negativa 84 5 4 −<− x 5 4 84 −−<− x 5 44 4 −<− x 4 5 44 − − >x 20 44 − − >x 5 11 >x       ∞= ; 5 11 2S Solución general       −∞−= 5 8 ;1S       ∞= ; 5 11 2S Analítica       ∞      −∞−= ; 5 11 5 8 ;21 UU SS
  • 8. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Gráfica Ejercicio resuelto 2: Hallar la solución de la inecuación 51 3 2 ≤+− x Solución Parte positiva 51 3 2 ≤+− x 15 3 2 −≤− x 3 2 1 4 − ≥x 2 12 −≥x 6−≥x )[ ∞−= ;61S Parte negativa 51 3 2 −≥+− x 15 3 2 −−≥− x 6 3 2 −≥− x 3 2 1 6 − − ≤x 2 18 − − ≤x 9≤x ]( 9;2 ∞−=S ∞→
  • 9. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Solución general )[ ∞−= ;61S ]( 9;2 ∞−=S Analítica ][ 9;621 −=SS I Gráfica 4. Sistema de inecuaciones: es el conjunto formado por dos o más inecuaciones de primer grado. La solución de un sistema de inecuaciones lineales es un intervalo (o más) que permiten que todas las inecuaciones del sistema sean válidas simultáneamente. Procedimiento de solución: • Resolver cada inecuación simple por separado, expresando el conjunto solución como intervalo en cada una (S1, S2, S3…) • Determinar la solución analítica de todo el sistema: haciendo la intersección de las soluciones parciales. • Determinar la solución gráfica de todo el sistema: haciendo representación de todos los intervalos (soluciones parciales) en la recta real y señalando la intersección entre ellos. NOTA: cuando, al resolver un sistema de inecuaciones lineales, el resultado de la intersección de las soluciones parciales sea un conjunto vacío (φ ) significa que el sistema no tiene solución. Ejercicio resuelto 1: Hallar la solución del sistema     +≥− > +− 4511 3 6 52 x x
  • 10. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Solución Inecuación 1 3 6 52 > +− x 6.352 >+− x 2185 +>x 5 20 >x 4>x ( )∞= ;41S Inecuación 2 4511 +≥− x x5411 ≥−− x515 ≥− x≥− 5 15 x≥−3 3−≤x ]( 3;2 −∞−=S Solución general ( )∞= ;41S ]( 3;2 −∞−=S Analítica ]( 3;421 −=SS I No es coherente. Este intervalo no existe φ=∴S y el sistema de inecuaciones lineales no tiene solución Gráfica
  • 11. Prof. Solange Zambrano Matemática – 3er año Ejercicio resuelto 2: Hallar la solución del sistema       + ≥+ −≤ 6 45 1 2 3 4 x x x Solución Inecuación 1 x−≤ 2 3 4 x−≤− 2 3 4 x−≤− 3 2 x≥ 3 2       ∞−= 3 2 ;1S Inecuación 2 6 45 1 + ≥+ x x ( ) 4516 +≥+ xx 4566 +≥+ xx 6456 −≥− xx 2−≥x )[ ∞−= ;22S Solución general       ∞−= 3 2 ;1S )[ ∞−= ;22S Analítica       −= 3 2 ;221 SS I Gráfica (-1) (-1)