Presentation

470 views
359 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
470
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
6
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Presentation

  1. 1. Μια μέθοδος κατασκευής fractal επιφανειών παρεμβολής και εφαρμογή αυτών στην επεξεργασία εικόνωνΤο πρόβλημαΜας δίνεται μια εικόνα και θέλουμε να την αναπαράγουμεχρησιμοποιώντας τις δυνατόν λιγότερες πληροφορίες με τηνβοήθεια επαναληπτικής μεθόδου.
  2. 2. Οι γνωστές μέθοδοι αντιμετώπισης αυτού του προβλήματοςείναι: 1) Ανάλυση με σειρά Fourier (Discrete Cosine Transformation - DCT) 2) Ανάλυση με κυματίδια (Wavelets) 3) Fractal κατασκευή (Μονοδιάστατη, Δισδιάστατη) 4) Υβριδικές μέθοδοι (Wavelets + Fractals)Θα ασχοληθούμε με την 3η μέθοδο Η διαδικασία εφαρμόστηκε από τους Barnsley και Sloan (1987) και βελτιώθηκε (από πλευράς αλγορίθμων) από τους Jacquin (1989) και Fisher (1994). Χρησιμοποίησαν fractal συναρτήσεις παρεμβολής μιας μεταβλητής f:[0,1] → R για την επεξεργασία 1-διάστατου σήματος και 2-διάστατης εικόνας Από τους Δάλλα, Δρακόπουλο ,Θεοδωρίδη και Μπουμπούλη (2000- ) δόθηκε το θεωρητικό υπόβαθρο ώστε να έχουμε επεξεργασία εικόνας χρησιμοποιώντας fractal συναρτήσεις παρεμβολής δύο μεταβλητών f:[0,1] ×[0,p] → R
  3. 3. Το Μαθηματικό ΥπόβαθροΘεώρημα Σταθερού Σημείου (S. Banach, 1892-1945)Έστω <Χ,d> πλήρης μετρικός χώρος και Τ:Χ → Χ συνάρτησησυστολής με συντελεστή συστολής s∈(0,1), d ( T ( x ) , T ( y ) ) ≤ sd ( x, y ) x, y ∈ XΤότε υπάρχει μοναδικό x0 ∈X ώστε T(x0)=x0.Το x0 = lim T n ( x ) , x ∈ X (T n = T °T °...°T ) n→∞καλείται σταθερό σημείο ή ελκυστής της Τ.
  4. 4. Το θεώρημα εφαρμόζεται στους εξής μετρικούς χώρους:(Ι) Στον χώρο των fractals <H(X),h>, όπουH(X)={K⊆Χ: Κ συμπαγές σύνολο, Κ≠∅} ~ ~ h ( A, B ) = max{d ( A, B ), d ( B, A)} ~ d ( A, B ) = max{d ( a , B ) : a ∈ A}, A, B ∈ H ( X ) d(B,A) d(A,B) Β Α(h η μετρική του Hausdorff (1914))Το θεώρημα πληρότητας (Blaschke 1917, Hausdorff 1917)αποδεικνύει ότι:Ο μετρικός χώρος <H(X),h> είναι πλήρης (συμπαγής) αν καιμόνο αν ο <X,d> είναι πλήρης (συμπαγής).Mε συνάρτηση συστολήςΌπου wi:X → X, i=1,2,…,N συναρτήσεις συστολής. Οσυντελεστής συστολής s της W είναι s=max{s1,s2,…,sN}, όπου siο συντελεστής συστολής της wi, i=1,2,…,N.(ΙΙ) Στον χώρο C(Y)={f:Y → R, f συνεχής} εφοδιασμένο με την •∞ μετρική, με κατάλληλη συνάρτηση συστολής.
  5. 5. Πώς χρησιμοποιείται για την κατασκευή fractal επιφάνειαςπαρεμβολής(Ι) Θεωρούμε τον πλήρη μετρικό χώρο X=[0,1] ×[0,p] ×R όπουέχουμε τα δεδομένα p 1 P = {( xn , y m , znm ) : n = 0,1,..., N , m = 0,1,..., M } ⊆ X , = M N 1Όπου 0 = x0 < x1 < ... < x N = 1, xn +1 − xn = N p 0 = y0 < y1 < ... < y M = p, y m−1 − ym = MΘεωρούμε  x  anm x + bnm     wnm : X → X με wnm  y  =  cnm y + d nm   z   e x + f y + g xy + s z + k     nm nm nm nm nm όπου όλες οι παράμετροι εκτός των snm προσδιορίζονται από τιςσυνθήκες  x0   xn −1   x N   xn          wnm  y0  =  ym−1 , wnm  y0  =  ym−1  z  z  z  z   00   n −1,m−1   N 0   n ,m−1   x0   xn −1   x N   xn          wnm  y M  =  ym , wnm  y M  =  ym  z  z  z  z   0 M   n −1,m   NM   n ,m 
  6. 6. Στον χώρο Χ ευρίσκουμε μετρική (εξαρτώμενη από τα δεδομέναP) ισοδύναμη της ευκλείδειας ώστε οι wnm, n=1,…,N, m=1,…,Mνα γίνουν συστολές. Οπότε για την N ,M W : H ( X ) → H ( X ), W ( A) =  wnm ( A) με Α ∈ Η ( Χ ) n =1,m =1υπάρχει μοναδικό σταθερό «σημείο» G⊆X, G συμπαγές σύνολο,W(G)=G και P⊆G.(II) Εφ’ όσον το σύνολο P των δεδομένων ικανοποιεί ορισμένεςσυνθήκες, «συνθήκες συνέχειας», μπορούμε να εξασφαλίσουμεώστε το σύνολο G να είναι το γράφημα συνεχούς συνάρτησης f:[0,1] ×[0,p] → R, η οποία να είναι συνάρτηση παρεμβολής,f(xi,yj)=zij, i=1,…,N, j=1,…,M. Η συνάρτηση f είναι το σταθερό«σημείο» του τελεστού Read Bajraktarovic. T : C ([0,1] × [0, p]) → C ([0,1] × [0, p]) με Tf ( x, y ) = enmϕ n−1 ( x) + f nmψ m1 ( y ) + g nmϕ n−1 ( x)ψ m1 ( y) + − − snm f (ϕ n−1 ( x),ψ m1 ( y )) + knm − αν (x,y) ∈ [ xn −1 , xn ] × [ ym −1 , ym ]
  7. 7. w11 w12w21 w22 2,2 W ( P) =  wnm ( P ) n =1,m =1
  8. 8. ΓενίκευσηΜε την ανωτέρω κατασκευή μπορούμε να κατασκευάσουμεσυναρτήσεις παρεμβολής και να επεξεργαζόμαστε εικόνες πουτο «μέρος» ομοιάζει με το «όλον».Επειδή αυτό δεν συμβαίνει συχνά γενικεύουμε την κατασκευήως εξής:Ορίζουμε ένα σύνολο σημείων Q⊂P (Q≠P) p 1 Q = {( xk ,yl ,z kl ): k = 0,1,...,K, l = 0,1,..., L} ⊆ X , ˆ ˆ ˆ = L K 1 0 = x0 < x1 < ... < xK = 1, ˆ ˆ ˆ xk +1 − xk = ˆ ˆ K p 0 = y0 < y1 < ... < y L = p, ˆ ˆ ˆ ym −1 − ym = ˆ ˆ Mκαι μια απεικόνιση J : {1,2,..., N } × {1,2,..., M } → {1,2,..., K } × {1,2,..., L}, µε J ( n, m) = (k , l )όπου όλες οι παράμετροι εκτός των snm προσδιορίζονται από τιςσυνθήκες  xk −1   xn −1  ˆ  xk   xn  ˆ         wnm  yl −1  =  ym −1 , wnm  yl −1  =  ym −1  ˆ ˆ zˆk −1,l −1   z n −1,m −1  z  z ˆk ,l −1   n ,m −1         xk −1   xn −1  ˆ  xk   xn  ˆ         wnm  yl  =  ym , wnm  yl  =  ym  ˆ ˆ z  z ˆk −1,l   n −1,m  z  z     ˆ k ,l   n , m 
  9. 9. Στη διαδικασία υπεισέρχεται και ένας στοχαστικός πίνακας.Με ανάλογες αποδείξεις κατασκευάζεται συμπαγές σύνολοG που αποτελεί (υπό προϋποθέσεις) το γράφημα μιαςσυνεχούς συνάρτησης παρεμβολής R13 R14 R15 R16 D3 D4 R9 R10 R11 R12 R5 R6 R7 R8 D1 D2 R1 R2 R3 R4 1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0    1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0   0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0     0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0  1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0    1 / 6 1/ 6 0 1/ 6 0 1/ 6 0 0 1/ 6 0 0 0 0 1/ 6 0 0   0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0     0 0 1/ 4 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 1/ 4 0 0 0 0 0 Π=   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0     0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3  0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3    0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 1/ 3 0 1/ 3 0     0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3  0 0 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 0 1/ 3 0 0 0 1 / 3  
  10. 10. Διάσταση του γραφήματος G της συνάρτησης παρεμβολής log N (ε )Εαν dim B G = lim + ε →0 − log ε(Ν(ε): ο ελάχιστος αριθμός κύβων ακμής ε που καλύπτουν το G)είναι η box διάσταση του G αποδεικνύεται ότι 1 + log a λ , λ >α Ν dim B G =  όπου α = 2, λ ≤α Κκαι λ η φασματική ακτίνα του πίνακα SC. S είναι ο διαγώνιοςπίνακας με στοιχεία στην κύρια διαγώνιο τους συντελεστές |s11|, |s12|, …, |sNM| και C ο πίνακας μετάβασης που προκύπτει από τονστοχαστικό πίνακα Π ως εξής: 1 αν Π ji > 0 Cij =  0 αν Π ji = 0(εφ’ όσον ο πίνακας C είναι «καλός»)
  11. 11. dim B G ≈ 2.38dim B G ≈ 2.57
  12. 12. Πώς εφαρμόζεται η μέθοδος της fractal παρεμβολής γιασυμπίεση εικόναςΧωρίζουμε την εικόνα σε τομείς (μικρά τετράγωνα) πλευράς δ[xn-1,xn] ×[ym-1,ym] με n=1,2,…,N και j=1,2,…,M. Θεωρούμε ταδεδομένα P = {( xn , y m , znm ) : i = 1,2,..., N , j = 1,2,..., M }όπου znm είναι το «χρώμα» στην κορυφή (xn,ym)Χωρίζουμε την εικόνα σε τμήματα (μεγάλα τετράγωνα) πλευράςψ=αδ (α φυσικός),[ xk −1 , xk ] × [ yl −1 , yl ] με k = 1,2,..., K και l = 1,2,..., L. ˆ ˆ ˆ ˆΠροσπαθούμε να «ταιριάξουμε» τον κάθε τομέα με κάποιοτμήμα και επιλέγουμε τα |sij| ώστε να πληρούνται οι συνθήκεςσυνέχειας.H fractal συνάρτηση παρεμβολής που θα προκύψει είναι μιαπροσέγγιση της εικόνας.
  13. 13. Ο Καθηγητής Δημ. Κάππος εν μέσω Βετώνμαθηματικών και φυσικών. Ακαδ. Έτος 1957-58
  14. 14. Η πρωτότυπη φωτογραφία μοντελοποιήθηκε μετη μέθοδο που αναφέραμε με αποτέλεσμα ναχρειάζεται 26 φορές μικρότερο χώροαποθήκευσης.

×