Coordinate systems
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Coordinate systems

on

  • 1,531 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,531
Views on SlideShare
349
Embed Views
1,182

Actions

Likes
0
Downloads
12
Comments
0

7 Embeds 1,182

http://eisatopon.blogspot.gr 1062
http://eisatopon.blogspot.com 99
http://www.eisatopon.blogspot.gr 15
http://eisatopon.blogspot.co.uk 3
http://eisatopon.blogspot.ch 1
http://eisatopon.blogspot.ru 1
http://eisatopon.blogspot.com.br 1
More...

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Coordinate systems Coordinate systems Presentation Transcript

  • Στη γενική περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε άπειρα συστήματα συντεταγ- μένων τα οποία να μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου.Στη Φυσική χρησιμοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουμε εδώ. Θα εξετάσουμε τα συστήματα ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Ορίζουμε τον άξονα x − + Ορίζουμε την αρχή 0 −1,5Προσανατολίζουμε (+/−) +3 Κάθε σημείο προσδιορίζεται μονοσήμανταΜονάδα μέτρησης π.χ. m
  • ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΚαρτεσιανό Σύστημα yΔυο κάθετοι μεταξύ τουςπροσανατολισμένοι Ακαι βαθμονομημένοι άξονες yAΈστω σημείο Α στο επίπεδοΗ θέση του προσδιορίζεταιαπό τις προβολές στους 0 xA xάξονες xA, yA Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών x, y.
  • ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Πολικό Σύστημα Το σχεδιάζουμε μαζί με το καρτεσιανό για να καταλάβουμε τη σχέση μεταξύ τους yΓια να προσδιορίσουμε τηθέση του σημείου Α Απρέπει να χρησιμοποι-ήσουμε και πάλι ρένα ζεύγος τιμών.Την απόσταση από την φαρχή των αξόνων ρ 0 x Τη γωνία φ που μετριέται από το θετικό ημιάξονα αντίθετα από τη φορά Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται των δεικτών του ρολογιού από ζεύγος τιμών ρ, φ.
  • Σχέση μεταξύ Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένωνΓεωμετρικά εύκολα yβρίσκουμε ότι x = ρ cos ϕ Α y y = ρ sin ϕ ρΣυμβολισμοί που θαχρησιμοποιούμε φ 0 x x
  • ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z Καρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο) zA Τρεις κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι Α και βαθμονομημένοι άξονεςΈστω σημείο Α στο χώρο yA 0 yΗ θέση του προσδιορίζεται xAαν φέρουμε την προβολή του Α΄ xΑ΄στο xy επίπεδο και βρούμεΤις xΑ , yΑ και την προβολή τουzΑ στον z άξονα. Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη x, y, z.
  • ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ z Κυλινδρικό Σύστημα zAΟυσιαστικά πρόκειται γιαΤο πολικό σύστημα στο ΑΕπίπεδο (π.χ. το x,y)Με την προσθήκη ενόςάξονα (π.χ.) του z)Έστω σημείο Α στο χώρο 0 y ρΑΗ θέση του προσδιορίζεται φΑαν φέρουμε την προβολή του Α΄ xΑ΄στο xy επίπεδο και βρούμετις ρΑ, φΑ και την προβολή τουzΑ στον z άξονα. Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη ρ, φ, z.
  • ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση συντεταγμένων Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος zΑπό το σχήμα, αλλά και από zτις σχέσεις τις οποίες βρήκαμεγια το πολικό σύστημα στο Αεπίπεδο έχουμε: x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ 0 y ρ φ x Α΄
  • ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό;Εάν διατηρήσουμεσταθερό το ρ, ενώ θαμεταβάλλουμε το φ και zτο z σχηματίζεται zκύλινδρος ΑΤο σύστημαχρησιμοποιείται σε 0προβλήματα με yκυλινδρική συμμετρία,π.χ. μαγνητικό πεδίο xρευματοφόρουαγωγού.
  • ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σφαιρικό Σύστημα zΗ θέση του Α προσδιορίζεταιαπό τα εξής μεγέθη: θΑ ΑΤην απόσταση rΑ από την rΑαρχήΤην γωνία φΑ που ορίζεται 0 yόπως και η πολική. φΑΤην γωνία θΑ που μετριέται Α΄ xπάντα από τοθετικό ημιάξονα z Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη r, θ, φ.
  • ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση μεταξύ Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένωνΑπό το σχήμα εύκολα παίρνουμε: x = (ΟΑ′) cos ϕ z Ρ y = (ΟΑ′)sin ϕ (ΟΑ′) = r sin θ θ Α z = (OP) = r cosθ rΤελικά: θx = r sin θ cos ϕ y 0 y = r sin θ sin ϕ φ z = r cos θ x Α΄
  • ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό;Εάν διατηρήσουμεσταθερό το r, ενώ θα zμεταβάλλουμε το φ καιτο θ σχηματίζεταισφαίρα r 0Το σύστημαχρησιμοποιείται σε yπροβλήματα μεσφαιρική συμμετρία, xπ.χ. βαρυντικό πεδίοΤης Γης.
  • Είναι γνωστό ότι πολλά φυσικά μεγέθη θεωρούνται διανυσματικά(π.χ. Δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα κ.τ.λ) r Συμβολισμός του διανύσματος: a≡a r Συμβολισμός του μέτρου του διανύσματος: a ≡a Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων z r (όπως θα μάθουμε και σε όλα τα συστήματα k r συντεταγμένων) μπορούμε να ορίσουμε ένα r j σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων: i y r r r х ˆ ˆ ˆ i = u x , j = u y , k = uz Τότε ένα διάνυσμα μπορούμε να το γράψουμε με τη βοήθειά τους r r r r a = a x i + a y j + a z k ≡ {a x ,a y ,a z } r Όπου a x , a y , a z οι συνιστώσες του διανύσματος a .
  • r r r r r rr b ( ) a ⋅ b ≡ a,b ≡ ab = ab cos θ θ Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος r a r r rr r r r r r rrΙΔΙΟΤΗΤΕΣ r ab = r ba arb + c )r= ab + ac ( ( ) r r ( ) ( ) r m ab = ( ma ) b = a mb = ab m rr rr rr r rr rr r r ii r= jj = kk =r1, r ij = r = ki = 0 r r jk r r a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + bz k ⇒ rr ab = a x bx + a y b y + a z bz rr rr ο r r Άν a,b ≠ 0 και ab = 0 ⇔ θ = 90 , a ⊥ b.
  • r r r r r r rr a × b ≡ [a,b ] = nab sin φ ˆ a × b ≡ [a,b ] r r α είναι το μέτρο του r a και b το b μέτρο του b. φ r φ είναι η μικρότερηrγωνία r ˆ n a μεταξύ των a και b. ˆ Το n είναι μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο προκύπτει ως εξής: Στρέφουμε το πρώτο διάνυσμα του γινομένου (στην r προκειμένη περίπτωση το a ) προς το δεύτερο (εδώ r ˆ το b ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το n έχει τη φορά δεξιόστροφης βίδας.Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναιδιάνυσμα, κάθετο και στα δύο διανύσματα
  • r rΙΔΙΟΤΗΤΕΣ b ×a = ? r b φ r a ˆ n r r rr r r b × a ≡ [b,a ] = −a × b
  • r r r r r r rΙΔΙΟΤΗΤΕΣ a × (b + c ) = a × b + a × c r r r r r r r r m (a × b ) = (ma × b ) = (a × mb ) = (a × b )mr r r r r r r r r r r r r r ri ×i = j × j = k ×k = 0 i × j = k, j × k = i, k × i = j rr r r ο r r Άν a,b ≠ 0 και a × b = 0 ⇔ ϕ = 0 , a // b. r r r r r r r r a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + bz k ⇒ r r r i j k r r a × b = ax ay az bx by bz
  • r h r r b S a × b = a b sin φ hφ r r r a a×b = a h = S r r r a×b = S r r b b S S r r a a r r r b × a = S′S = S ′ = εμβαδόν παραλληλογράμμου
  • Μήπως θα ήταν σκόπιμο να παριστάνουμε ΚΑΘΕ επίπεδο με διάνυσμα; z Ας υποθέσουμε ότι έχουμε θ S το επίπεδο S στο χώρο. S Βρίσκουμε την προβολή θ του S΄ στο επίπεδο xy. Ξέρουμε ότι S ′ = S cos θ y S΄ Αν σύμφωνα με όσα είπαμεx προηγουμένως S΄ r r παριστάναμε ταr2 επίπεδα σματα S και S ′, r τότε είναι κατανοητό, πως τοS ′ θα ήταν με 2 διανύ- η προβολή του S στον άξονα z (ΒΟΛΙΚΟ). ΕΠΟΜΕΝΩΣ: ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΑΣΤΗΣΟΥΜΕ ΜΕ
  • Διανύσματα είναι μόνο τα επίπεδα; ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ; r ΔS i ΔSiS Έστω τυχαία επιφάνεια S στο χώρο. Τη χωρίζουμε σε πολύ μικρές επιφάνειες ΔSi. Επειδή είναι μικρές κάθε μια τη θεωρούμε επίπεδο rκαι σ’ αυτό αντιστοιχούμε διάνυσμα ΔS i r r r S = ∑ ΔS i ∑ όμως S ≠ ΔS i i i
  • ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ y y = f(x) Δy φ Δy Δy φ tan ϕ = Δx Δx Δx dy tan ϕ = dxΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ x1x1+Δх +Δх x1 x Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). dx dυ Ταχύτητ υ= Επιτάχυνσ a= α dt η dt dU Θερμοχωρητικότητα CV = dT dx d2x d3xΣυμβολισμοί: dt dt 2 dt 3
  • Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x. Έστω Δх μια μεταβολή της x. Αν Δх→ 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομά-ζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x. ΕΡΩΤΗΜ Α Εάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y;ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ y y = f(x )Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθείκατά Δx, τότε θα έχουμε: φ Δy Δy = tan ϕ ×Δx ΔxΚαι για Δх→ 0 dy xΔy ≡ dy = tan ϕ ×dx = dx x1 x1+Δx dx
  • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΈστω συνάρτηση y=f(x) y=x Α 3Τότε y΄=f(x+Δx) y ′ = ( xΔx 3 + )Με τι ισούται η διαφορά Δy = ( x + Δx )3 − x 3 =;Δy=y΄− y=f(x+Δx) − f(x);Αποδεικνύεται ότι + ( xΔx )3 x− 3 = x 3 + 3Δx x 2Δy=ΑΔx+ο(Δx)όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ- +3 xΔx ) 2 + Δx )3 − ( ( x 3 =τάται από το x) και ο(Δx)συνάρτηση του Δx δύνα- = 3 xΔx + [3 Δx ) 2 + Δx )3 ] 2 x ( (μης μεγαλύτερης της 1ης Για Δx→ 0Για Δx→ 0 A=(dy/dx) καιο(Δx) → 0 dy = 3x 2 dx = dy dy dy = dx dy = dx dx dx
  • ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ dy Ο γενικός τύπος dy = dx μας επιτρέπει να θεωρούμε dx την παράγωγο ως λόγο.Έστω κύκλος ακτίνας r. drΠόσο θα αυξηθεί το εμβαδόντου, αν η ακτίνα του αυξηθείκατάβατική απάντηση: Συμ dr ; r S = π r2 dS = π (r + dr ) 2 − π r 2 = = 2π rdr + (dr ) 2 = 2π rdr 0 dS Διαφορικό: dS = dr = 2π rdr dr
  • ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΜε τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στοερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνατου αυξηθεί κατά dr ; 4 3 dV V = πr dV = dr = 4π r 2 dr 3 drΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣΜπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό τουδιαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗπροσεγγίσεις.Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε ναπεράσουμε στον προσεγγιστικό dy dy dy = dx Δy = y ( x + Δx ) − y ( x) ≈ Δx ⇒ dx dx dy y ( xΔx ) y x ( ) + Δx + ≈ dx
  • ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ dy + y ( xΔx ) y x ( ) + Δx ≈ dxΤον τύπο αυτό μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε μεμεγάλη επιτυχία, υπό την προϋπόθεση ότι Δx<<x 1Παραδείγματα: ≈ = 0,97 ≈ 1,04 = 1,02 1,03 ; ; 1 1 Έστω y ( x) = . Τότε y ( xΔx ) = + . x + xΔx dy ( x) 1 1 y ( xΔx ) y x ( ) + + ≈ Δx = − Δx dx x x2 1 1 1 = xΔx1, = 0,03 ⇒ ≈ − 0,03 = 0,97 1 + 0,03 1 1
  • ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ – ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ(1 ± а) ±ν ≈ [1 ± ( ±ν ) a] 0 ≤ a << 1 ln(1 ± а) ≈ ± a ν – ρητός αριθμός e± a ≈ 1 ± a sin ϕ ≈ ϕ cos ϕ ≈ 1 ϕ →0Αυτοί οι τύποι είναι μερικές περιπτώσεις της σειράςTaylor 1 1 1 f ( x) = f (0) + f ′(0) x + f ′′(0) x 2 + f ′′′(0) x 3 + ... 1! 2! 3!
  • Η παράγωγος που ξέρουμε αναφέρεται σε συνάρτηση μιας με-ταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλώνμεταβλητών; s Π.χ. υ = Και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το υ t όταν μεταβληθεί είτε το s είτε το t.Για συνάρτηση f(x, y, z,…) χρησιμοποιούμε την έννοια τηςμερικής παραγώγου. ∂f Παραγωγίζουμε ως προς ∂υ 1 x, θεωρώντας τις άλλες = ∂x μεταβλητές σταθερές. ∂s t Παραγωγίζουμε ως προς ∂f ∂υ s y, θεωρώντας τις άλλες =− 2 ∂y μεταβλητές σταθερές. ∂t t
  • Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε μερικών ειδών: ∂ f 2 ∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂ 2υ ∂ 2υ 2s ∂ 2υ 1 ∂ 2υ 1 =0 = 3 =− 2 =− 2 ∂s 2 ∂t 2 t ∂s∂t t ∂t ∂s t Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x, y, z). ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
  • r r r rΈστω διάνυσμα a (t ) = a x (t )i + a y (t ) j + a z (t )kΑν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει r r r r a (tΔt )a t x ( Δt i ) a+ t y ( Δt j ) a+ t z ( Δt k ) + = + + +Εξετάζουμε την παράσταση r r r a (tΔt )a−t ( ) + Δa ax (tΔt )a− t x ( ) r + lim = lim = lim[ i+ Δt →0 Δt Δt → 0 Δt Δt →0 Δt a y (tΔt )a− t y ( ) r az (tΔt )a− t z ( ) r + + + j+ k ]= Δt r Δt dax r da y r daz r da= i+ j+ k = dt dt dt dt Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσματος
  • ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ r r daΕάν a σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση) =0 dt r r r r r r d (ma ) da d (a + b ) da db =m = + dt dt dt dt dt rr r r r r r r rd (ab ) r da r db d (a × b ) da r db =b +a = ×b + a × dt dt dt dt dt dt
  • Έστω σωματίδιο που κινείται x στο επίπεδο διαγράφοντας μια Αr συγκεκριμένη τροχιά και τη ds ( t ) r χρονική στιγμή t βρίσκεται στη r dr r r (t ) Δr θέση Α. Η στιγμιαία ταχύτητά του θα r r ( t +Δt ) δίνεταιrαπό τη γνωστή σχέση: r ds r y υ= Όπου ds η στοιχειώδης μετατόπιση σε χρόνο dt. dt rΤο διάνυσμα r (t ) δείχνει τη θέση του σωματιδίου τηχρονική στιγμή t και ονομάζεται διάνυσμα θέσης. r +Μετά από χρόνο Δt το διάνυσμα θέσης θα είναι τοr (tΔt ) r r rΒλέπουμε εύκολα, ότι Δr = r (t + Δt ) − r (t ) r r rΚατανοούμε ότι για Δt → 0, Δr → dr = ds
  • r r x dr = dsΕπομένως η στιγμιαία ταχύτητα Ατου σωματιδίου θα είναι: r r dr r υ= r (t ) dtΈστω x, y οι συντεταγμένες τουσημείου Α. Τότε θα έχουμε: r r r y r (t ) = x(t )i + y (t ) j r r dr dx r dy r r r Επομένω υ = = i+ j = υх i + υ y j ς: dt dt dt dx dy Θα ισχύει: υ х = , υy = Εντελώς ανάλογα: r dt dt r dr dx r dy r dz r r r r υ= = i+ j + k = υxi + υ y j + υz k dt dt dt dt
  • Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω για την επιτάχυνση (στις2 διαστάσεις) θα ισχύει: r r dυ dυ x r dυ y r d x r d y r = a i + a r r 2 2 a= = i+ j= 2 i+ 2 j x y j dt dt dt dt dtΕνώ για τις 3 rδιαστάσεις:r dυ dυ x r dυ y r dυ z r r r ra= = i+ j+ k = ax i + a y j + az k = dt dt dt dt d 2x r d 2 y r d 2z r = 2 i + 2 j+ 2 k dt dt dt ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όλα αυτά ισχύουν στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων!
  • Βρείτε, στη γενική περίπτωση, την ταχύτητα (για κίνηση σε 2 διαστάσεις) στο πολικό σύστημα συντεταγμένων Για ΚΑΘΕ σύστημα συντεταγμένων, για την ταχύτητα θα ισχύει ο γενικός ορισμός r r dr υ= dtΓια το πολικόrσύστημα συντεταγμένων επομένως πρέπει ναορίσουμε το r .Για να το κάνουμε πρέπει να έχουμε τα μοναδιαίαδιανύσματα του πολικού συστήματος.
  • yΤα μοναδιαία διανύσματαορίζονται ως εξής: ˆ uϕ ˆ uρ1. Για σημείο Α φέρουμε Α την ΟΑ που ορίζει το ρ. ρ Το μοναδιαίο ˆ uρ διάνυσμα ϕ ορίζεται κατά х Ο μήκος του ρ και φορά από το Ο προς το Α. ˆ2. Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη γωνία φ, τοuϕ , ˆ uρ είναι κάθετο στο ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟδείχνει τηΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ φ. και ΕΙΝΑΙ φορά μέτρησης του ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΟΥ ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ
  • Επιστρέφουμε στο πρόβλημά μαςΕξετάζουμε και πάλι το σημείο Α, το yοποίο περιγράφει τη θέση του ˆ uϕ ˆ uρσωματιδίου μια τυχαία χρονική στιγμή.Ας εκφράσουμε το διάνυσμα ρ r r Αθέσης του σωματιδίου στις πολικέςσυντεταγμένες ϕ r r =ρuˆ ρ Ο хΤότε, σύμφωνα με τα γνωστά για rτην ταχύτητα θα έχουμε dr dρu ˆ ρ ) ( = dt dtΚατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουμε υπόψη μας ότι και το ˆρ και τοu ρ είναι μεταβλητά Πρέπει να υπολογίσουμε το r dr dρu ˆ ρ ) ( dρ du ˆ ρ ˆ duρ = = uρ + ˆρ dt dt dt dt dt
  • 1ος ΤΡΟΠΟΣ y ˆ uϕ ˆ uρΣχεδιάζουμε r μοναδιαία τα r Αδιανύσματα i και j του ρκαρτεσιανού συστήματος στο r j ϕίδιο σχήμα r х Ο i ry ˆ uϕ j ˆ uρΣχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία ϕδιανύσματα στους x, y άξονες ϕμε κοινή κορυφή το Ο r х Ο i
  • y ˆ Φέρνουμε τις προβολές τουu ρ r στους άξονες x και y. ˆ uϕ j ˆ uρΤότε, από το σχήμα βλέπουμε ϕότι ισχύει: r r ϕ u ρ = cos ϕ i + sin ϕ j ˆ (1) r Ο х ˆΦέρνουμε τις προβολές του uϕ στους άξονες x και y. i r rΘα uϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j ˆ (2)ισχύει: ˆΓια να υπολογίσουμε την du ρ / dt πρέπει ναπαραγωγίσουμε την (1) ως προς το χρόνο ˆdu ρ dϕ r dϕ r r r dϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j = ( − sin ϕ i + cos ϕ j ) dt dt dt dt ˆ du ρ dϕ Από τη (2) = uϕ ˆ παίρνουμε: dt dt
  • 2ος ΤΡΟΠΟΣ y ˆ uϕ ˆ′ uρ Έστω ότι σε χρόνο dt το ˆ′ uϕ σωματίδιό μας μετατοπίσθηκε ˆ uρ Α΄ από τη θέση Α στη θέση Α΄. ρ′ ρ ΑΤότε η θέση του θα προσδι-ορίζεται από τις συντεταγμένες dϕ ϕρ΄=ρ+dρ (το dρ μπορεί να είναιθετικό ή αρνητικό) και φ΄=φ+dφ Ο х(το ίδιο και το dφ).Τα μοναδιαία διανύσματα θα ˆ′ ˆ′είναι τώρα u ρ και uϕ . ˆ uϕ u ρ dϕ ˆ′Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία dϕ ˆ uρδιανύσματα με κοινή κορυφή. ˆ′ uϕ
  • Στην περίπτωση αυτή η ˆ du ρ ˆ uρ ˆμεταβολή του du ρ είναι θα .Ενώ η μεταβολή τουuˆϕ ,duϕ . duϕ ˆ ˆ ˆ uϕ u ρ dϕ ˆ′ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ dϕ ˆ uρΟΤΙ ΑΥΤΕΣ ΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ˆ′ uϕΚΑΙ ΤΟ dφ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΑΞέρουμ ˆ ˆ′ΜΙΚΡΕΣε ότι u ρ = u ρ = 1 . Επειδή το dφ είναι απειροστάμικρό μπορούμε να θεωρήσουμε το du ρ ˆ τόξο κύκλουακτίνας μένως: du ρ = R ×dϕ = 1 ×d ϕ = dϕ . Επο1. ˆΕπειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να ˆ du ρθεωρήσουμε ότι το είναι ταυτόχρονα κομμάτι τηςεφαπτομένης, δηλαδήΕπομένως θαστο παράλληλο προς τοˆϕ ˆ u ρ είναι κάθετο είναι . u . ˆ du ρ dϕ du ρ = du ρ uϕ = dϕ uϕ ˆ ˆ ˆ ˆ = uϕ ˆ dt dt
  • ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης dFΔηλαδή αν ισχύει = f ( x) dxΘα έχουμε ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Όπου C σταθερά.Στη Φυσική η σταθερά C υπολογίζεται από κάποιεςσυνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος.Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμαχρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσηςΑΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΤο αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
  • ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΈστω συνάρτηση y=f(x) με yπεδίο ορισμού a≤x ≤b.Χωρίζουμε το πεδίο y=f(x)ορισμού σε πολλά μικρά f(xi)τμήματα Δxi το κέντρο τωνοποίων είναι το xi.Εάν από το xi και με βάση το a xi b xΔxi φέρουμε ορθογώνια Δxi Nπαραλληλεπίπεδα με ύψος το S ′ = ∑ f ( xi ) Δxif(xi) θα έχουμε: i =1Όπου Ν το πλήθος των Δxi στα οποία χωρίσαμε τοδιάστημα ab και S΄ εμβαδόν που διαφέρει λίγο από τοεμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) καιτου άξονα x.
  • ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΕάν τώρα Ν→∞ είτε (πράγμα yπου είναι το ίδιο) Δxi→0 είναιπροφανές ότι το εμβαδόν θα είναι y=f(x)ακριβώς ίσο με το εμβαδόν τηςπεριοχής που περιέχεται μεταξύ f(xi)της f(x) και του άξονα x. Τότεγράφουμε: a xi b x N Δxi ∑ f ( x ) Δx ≡ ∫ bS = lim i i f ( x ) dx ∆xi → 0 a i =1
  • ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ zΟ γενικός τύπος για το διάνυσμα CMθέσης του ΚΜ στην περίπτωση rπου έχουμε σημειακές (διάκριτες) rC r mi riμάζες είναι: N r r ∑m r i i y rC = i =1 N ∑ mi i =1 x N N NΑυτή η σχέσηείναι στην ∑m x i i ∑m y i i ∑m z i iπραγματικό- xC = i =1 yC = i =1 zC = i =1 M M Mτητα 3 σχέσεις N M = ∑ mi i =1
  • ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα Φυσικής z ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣΣτην περίπτωση συνεχούς CMκατανομής της μάζας το r rC dmάθροισμα μετατρέπεται σε rολοκλήρωμα. r r r yrrC = ∫ (M ) rdm = ∫ (M ) rdm x Μ M ∫(M ) dm xC = ∫ (M ) xdm yC = ∫ (M ) ydm zC = ∫ (M ) zdm M M M
  • ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα ΦυσικήςΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΣτην περίπτωση σημειακώνμαζών (διάκριτη κατανομή μάζας)η ροπή αδράνειας τουσυστήματος ως προς άξονα Ο riδίνεται από τη σχέση: mi N I O = ∑ mi ri 2 O i =1 όπου mi η μάζα κάθε σωματιδίου και ri η απόστασή του από τον άξονα Ο.
  • ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Παραδείγματα ΦυσικήςΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣΣτην περίπτωση συνεχούςκατανομής της μάζας το rάθροισμα μετατρέπεται σε dmολοκλήρωμα και συνεπώς η ροπήαδράνειας του συστήματος ωςπρος άξονα Ο δίνεται από τησχέση: O IO = ∫ 2 r dm (M )
  • r rΑς υποθέσουμε ότι δύναμη F ( x, y ) ds Lμετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά rμήκος της καμπύλης L. FΤότε μπορούμε να μιλάμε για r στοιχειώδες έργο που θα είναι r dW = FdsΣτη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιάπου ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή), δηλαδή από την L.Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα ταστοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε) ακολουθώνταςτην τροχιά L. Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
  • r rΞέρουμε ήδη ότι: ds = dr Επομένως για το έργο θα έχουμε: r r W =∫ Fdr L r r rΑς υποθέσουμε τώρα ότι: F = P ( x, y )i + Q ( x, y ) j r r r r r rΞέρουμε επίσης ότι: r = xi + yj Επομένως: dr = dxi + dyj Άρα: W = ∫ [ P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy ] L = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q ( x, y )dy L L Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα απλών, στα οποία το L χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε το x συναρτήσει του y ή αντίστροφα.
  • r rΒΑΘΜΙΔΑ Όπως είπαμε, το έργο δύναμης είναι: dW = FdrΣτην περίπτωση που η δύναμη είναι συντηρητική υπάρχειδυναμική ενέργεια για την οποία ξέρουμε ότι: dEP = − dW r rΕπομένως, σ’ αυτή την περίπτωση: dEP = − FdrΗ εξίσωση αυτή μας επιτρέπει, αν ξέρουμε τη δύναμη, ναυπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια.Πως όμως μπορούμε να τη λύσουμε, έτσι ώστε, αν ξέρουμε τηδυναμική ενέργεια, να υπολογίσουμε τη δύναμη;Ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση. r rΈστω ότι, από τη σχέση: df = Adr rΘέλουμε να υπολογίσουμε το A.
  • r r r rΒΑΘΜΙΔΑ Ξέρουμε ότι: dr = dxi + dyj + dzk r r r r A = Ax i + Ay j + Az k Ξέρουμε επίσης, ότι για τη συνάρτηση f(x,y,z) ισχύει: ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz ∂x r r ∂y ∂z Τότε η σχέση df = Adr γράφεται: ∂f ∂f ∂f df = dx + dy + dz = Ax dx + Ay dy + Az dz ∂x ∂y ∂zΕπειδή η σχέση αυτή ισχύει για όλα τα ανεξάρτητα dx, dy,dz, εύκολα προκύπτει ότι: Επομένως: ∂f ∂f ∂f r ∂f r ∂f r ∂f rAx = Ay = Az = A= i + j+ k ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
  • r rΒΑΘΜΙΔΑ Επομένως, από τη σχέση: df = Adr r ∂f r ∂f r ∂f r Καταλήξαμε στη: A = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Αυτό μπορούμε να το συμβολίσουμε ως εξής: r ∂f r ∂f r ∂f r A = ∇f ≡ i + j+ k ∂x ∂y ∂z Όπου το ∇ ονομάζεται ΑΝΑΔΕΛΤΑ ή NABLA και θεωρείται τελεστής: ∂ r ∂ r ∂ r ∇≡ i + j+ k ∂x ∂y ∂zΤελεστής είναι ένα σύμβολο που μας δίνει την εντολή ναεκτελέσουμε μια πράξη (ενέργεια).
  • ΒΑΘΜΙΔΑ Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το συμβολισμό: r ∂f r ∂f r ∂f r A = ∇f ≡ gradf ≡ i + j+ k ∂x ∂y ∂z και τον όρο ΒΑΘΜΙΔΑ. r r Από το αρχικό μας πρόβλημα: dEP = − Fdr καταλήγουμε στο συμπέρασμα: r ∂EP r ∂EP r ∂EP r F = −∇EP ≡ − gradEP ≡ −( i+ j+ k) r r ∂x ∂y r∂z Εάν Εr =const θα έχουμε Fdr = 0 και για κάθε dr θα ισχύει r P F ⊥ dr , επομένως θα υπάρχει μια επιφάνεια, πουΣυνεπώς η βαθμίδα μας δείχνει πόσο «κοντά» ή πόσο «μακριά» ονομάζεται ισοδυναμική.είναι οι ισοδυναμικές επιφάνειες, δηλ. πόσο «γρήγορα»μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια.
  • ΑΠΟΚΛΙΣΗ Στα προηγούμενα είδαμε, ότι ο τελεστής ∇ επιδρά σε ένα βαθμωτό μέγεθος και το μετατρέπει σε διάνυσμα : Τι γίνεται αν ο τελεστής αυτός επιδράσει σε διάνυσμα; r ∂ r ∂ r ∂ r r r r ∇A = ( i + j + k )( Ax i + Ay j + Az k ) = ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az r =( + + ) ≡ divA ∂x ∂y ∂z r Αυτό λέγεται ΑΠΟΚΛΙΣΗ του διανύσματος A Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΙΣΧΥ ΤΗΣ ΠΗΓΗΣ r ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ A
  • ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ Ο τελεστής ∇ έχει τη μορφή διανύσματος, επομένως μπορεί να επιδράσει σε ένα διάνυσμα και εξωτερικά. r ∂ r ∂ r ∂ r r r r ∇× A = ( i + j + k ) × ( Ax i + Ay j + Az k ) = ∂x ∂y ∂z r r r i j k ∂ ∂ ∂ r r = ≡ rotA ≡ curlA ∂x ∂y ∂z ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ r Ax Ay Az ΤΟΥ AΟ ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΑΝ ΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ r A ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟ Η ΟΧΙ (Αν όχι είναι δυναμικό)