Análisis Matemático

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Análisis Matemático I - Ivorra Castillo

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Análisis Matemático

  1. 1. Carlos Ivorra ´ ANALISIS NO ´ ESTANDAR
  2. 2. Si una cantidad no negativa fuera tan peque˜a nque resultara menor que cualquier otra dada, cier-tamente no podr´ ser sino cero. A quienes pregun- ıatan qu´ es una cantidad infinitamente peque˜a en e nmatem´ticas, nosotros respondemos que es, de he- acho, cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos ıen este concepto como se suele creer. Esos supues-tos misterios han convertido el c´lculo de lo infinita- amente peque˜o en algo sospechoso para mucha gente. nLas dudas que puedan quedar las resolveremos porcompleto en las p´ginas siguientes, donde explicare- amos este c´lculo. a Leonhard Euler
  3. 3. ´Indice GeneralIntroducci´n o viiCap´ ıtulo I: Preliminares conjuntistas 1 1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Los conceptos conjuntistas b´sicos . . . . a . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Elementos de teor´ de conjuntos . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Estructuras algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.5 Elementos de aritm´tica . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 La teor´ de conjuntos no est´ndar . . . . ıa a . . . . . . . . . . . . . 30Cap´ ıtulo II: Los n´ meros reales u 43 2.1 Los n´meros naturales . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 La incompletitud de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.5 La construcci´n de R . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 Consecuencias de la completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . 70Cap´ ıtulo III: Calculo diferencial de una variable 77 3.1 La gr´fica de una funci´n . . . . . . . . . . . . a o . . . . . . . . . . 77 3.2 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.4 Derivadas sucesivas, la f´rmula de Taylor . . . o . . . . . . . . . . 99 3.5 Exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.6 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Cap´ ıtulo IV: C´lculo integral de una variable a 117 4.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2 Las funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 133 4.3 C´lculo de longitudes, areas y vol´menes . . . . . . . . . . . . . . a ´ u 141 v
  4. 4. vi ´ INDICE GENERALCap´ ıtulo V: Series infinitas 153 5.1 Series num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 153 5.2 Sucesiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Cap´ ıtulo VI: C´lculo diferencial de varias a variables 179 6.1 Espacios m´tricos y espacios normados e . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2 Elementos de topolog´ . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.3 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.4 Derivadas y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.5 El teorema de la funci´n impl´ o ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.6 Optimizaci´n cl´sica . . . . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . 212Cap´ ıtulo VII: C´lculo integral de varias variables a 219 7.1 Resultados b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . 219 7.2 Dominios de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 223 7.3 C´lculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . 231 7.4 El teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 ´ 7.6 Areas de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.7 Ap´ndice: Descomposici´n de aplicaciones lineales e o . . . . . . . . 257Ap´ndice A: La teor´ de Nelson e ıa 261Ap´ndice B: La teor´ de Hrbacek e ıa 271Ap´ndice C: El teorema de conservaci´n e o 285 C.1 Modelos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 C.2 Ultrapotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 C.3 L´ımites inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 C.4 El teorema de conservaci´n para la teor´ de Hrbacek o ıa . . . . . . 303Bibliograf´ ıa 315´Indice de Materias 316
  5. 5. Introducci´n o En la historia de las matem´ticas nos encontramos con muchos momen- atos en que los matem´ticos han manejado con seguridad —por no decir con avirtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades b´sicas eran incapaces ade precisar. El ejemplo t´ ıpico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVIy XVII, que eran capaces de encontrar ra´ ıces reales de polinomios pasando, encaso de ser necesario, por ra´ “imaginarias” de otros polinomios que aparec´ ıces ıana lo largo del c´lculo. Los n´meros imaginarios eran concebidos como unos con- a uceptos ficticios en los que, sin saber c´mo ni por qu´, se pod´ “confiar”, en el o e ıasentido de que al incluirlos en los c´lculos llevaban a conclusiones correctas. a Naturalmente, la raz´n por la que los c´lculos con n´meros complejos eran o a ucorrectos es que es posible construir los n´meros complejos, de tal modo que ulo que hac´ los algebristas —aunque no lo supieran— era usar una serie de ıanteoremas que no sab´ demostrar o siquiera enunciar (los n´meros complejos ıan uforman un cuerpo, etc.) Hay muchos otros casos similares: los f´ ısicos han estado derivando funcionesno derivables durante mucho tiempo, con la convicci´n de que las derivadas eran ounas “funciones generalizadas” que no sab´ definir, pero en la que tambi´n “se ıan epod´ confiar”. La raz´n por la que estos c´lculos con funciones misteriosas que ıa o ano eran funciones no llevaban a paradojas y contradicciones es, por supuesto,que es posible construir unos objetos (las distribuciones) con las propiedadesque los f´ısicos postulaban impl´ ıcitamente en el uso que hac´ de sus funciones ıangeneralizadas. Tambi´n Kummer us´ unos “divisores primos ideales” que no e oexist´ıan, y que finalmente formaliz´ Dedekind a trav´s de la noci´n de ideal de o e oun anillo, los propios n´meros reales no estuvieron exentos de pol´micas sobre u esus propiedades hasta que Dedekind y Cantor dieron las primeras construccionesexpl´ıcitas, etc. El an´lisis no est´ndar es la respuesta ultima a una asignatura pendiente a a ´que ten´ la matem´tica. En su origen, el c´lculo diferencial se bas´ tambi´n en ıa a a o eunos “n´meros ideales” que nadie sab´ definir porque ten´ que ser no nulos u ıa ıany a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los infinit´simos. Por eejemplo, Leibniz explicaba as´ el c´lculo de la derivada de f (x) = x2 : tomamos ı aun infinit´simo dx, calculamos el incremento df = f (x+dx)−f (x) y lo dividimos eentre la cantidad (no nula) dx. Resulta df = 2x + dx. dx vii
  6. 6. viii Introducci´n o Ahora bien, puesto que dx es una cantidad infinitesimal, la presencia delultimo t´rmino es insignificante, por lo que podemos eliminarla y as´´ e ı df = 2x + dx = 2x. dx Leibniz era consciente de las contradicciones de este argumento: primerosuponemos que dx = 0 pero luego lo eliminamos como si fuera dx = 0. Pese aello, tambi´n era consciente de que los resultados a los que se llegaba con este etipo de razonamientos eran correctos y estaba convencido de que los argumentoscon infinit´simos ten´ que poder reformularse como argumentos “del estilo de e ıanArqu´ ımedes”, lo cual hoy es f´cil traducir a “mediante pasos al l´ a ımite”. Uno de los grandes virtuosos de los infinit´simos fue Euler, quien parec´ e ıaconvencido de que bastaba concebirlos como n´meros arbitrariamente peque˜os u n(pero no nulos) en lugar de como n´meros infinitamente peque˜os. Sin embargo u nsus razonamientos est´n bastante lejos del estilo moderno -δ. a Al contrario de lo que sucedi´ con los n´meros reales, los n´meros complejos, o u ulas distribuciones o los n´meros ideales de Kummer, los matem´ticos del siglo u aXIX y la primera mitad del siglo XX fueron incapaces de construir unos objetosque se comportaran como deb´ comportarse los infinit´simos, y el resultado ıan efue que los erradicaron de la matem´tica te´rica. Cauchy introdujo (con in- a ofinit´simos a´n) la noci´n de l´ e u o ımite y mostr´ que los restantes conceptos del oan´lisis pod´ expresarse en t´rminos de l´ a ıan e ımites. Posteriormente Weierstrassintrodujo las definiciones y los razonamientos -δ. Ahora bien, la rebeld´ de los ıainfinit´simos a dejarse formalizar no los hac´ menos pr´cticos, por lo que los e ıa af´ ısicos siguieron us´ndolos, con la convicci´n de que son mucho m´s intuitivos a o ay c´modos que los ´psilons y las deltas. o e El hecho de que los infinit´simos “funcionaran” indicaba claramente que edeb´ poder construirse. Hubo algunos intentos previos poco satisfactorios, ıanpero s´lo a finales de los 60, Abraham Robinson consigui´ este objetivo. Del o otrabajo de Robinson se sigue que es posible formalizar el c´lculo diferencial adefiniendo las derivadas como cocientes de incrementos infinitesimales, porque,si bien en R no hay infinit´simos (como tampoco hay n´meros con ra´ cuadrada e u ıznegativa), lo cierto es que es posible extender R a un cuerpo que los tenga (igualque puede extenderse a C, donde los n´meros negativos s´ que tienen ra´ u ı ıcescuadradas). Por desgracia, los infinit´simos de Robinson se constru´ y se manejaban e ıanmediante t´cnicas de l´gica matem´tica, que resultan bastante complejas y arti- e o aficiales para los matem´ticos no familiarizados con esta disciplina. No obstante, aa finales de los 60 y principios de los 70 surgieron aproximaciones axiom´ticas aal an´lisis no est´ndar, es decir, aproximaciones que, en lugar de construir los a ainfinit´simos —que es complicado—, lo que hacen es postular mediante unos eaxiomas sencillos su existencia y sus propiedades. Es como si en un curso de in-troducci´n al an´lisis no construimos los n´meros reales, sino que postulamos la o a uexistencia de un cuerpo ordenado completo. El resultado es que partimos exac-tamente del mismo punto a donde habr´ ıamos llegado si hubi´semos empezado epor la construcci´n de R. Naturalmente, al eliminar la construcci´n perdemos o o
  7. 7. ixuna informaci´n, y es que el axioma que postula la existencia de R es en realidad oun axioma inesencial, en el sentido de que todo lo que se demuestra con ´l, se epuede demostrar tambi´n sin ´l (simplemente, demostr´ndolo y convirti´ndolo e e a eas´ en un teorema). Lo mismo sucede con el an´lisis no est´ndar. ı a a De entre las distintas versiones axiom´ticas del an´lisis no est´ndar, aqu´ a a a ıvamos a exponer una especialmente “fuerte”, en el sentido de que no vamos apostular axiom´ticamente la mera existencia —por ejemplo— de un cuerpo que acontiene al cuerpo de los n´meros reales y que adem´s tiene infinit´simos, sino u a eque vamos a presentar toda una teor´ de conjuntos no est´ndar, a˜adiendo ıa a na los axiomas usuales de la teor´ de conjuntos otros axiomas que postulan ıala existencia de elementos ideales en todos los conjuntos infinitos. Dado queno vamos a comparar este enfoque con otros posibles, el lector no tendr´ la aoportunidad de constatarlo (salvo que compare con otros textos), pero estaversi´n supone una simplificaci´n enorme de la teor´ tanto en sus aspectos o o ıa,t´cnicos como en los conceptuales. e Ahora bien, tal y como explic´bamos un poco m´s arriba, debemos tener a apresente que los objetos cuya existencia postulan estos axiomas pueden ser cons-truidos, de modo que los axiomas del an´lisis no est´ndar no son como otros a aaxiomas que pueden a˜adirse a la teor´ de conjuntos (tales como la hip´tesis n ıa odel continuo, el axioma de Martin, etc.) sino que son “eliminables”, en el sentidode que cualquier afirmaci´n “est´ndar” que pueda demostrarse con ellos, puede o ademostrarse tambi´n sin ellos. e De este modo, la teor´ de conjuntos no est´ndar no es una teor´ “nueva” que ıa a ıaproporcione nuevos resultados, sino una teor´ alternativa que permite probar ıalos mismos resultados que la teor´ cl´sica pero de forma distinta. As´ mientras ıa a ı,que una teor´ matem´tica “usual” se valora normalmente en funci´n de los ıa a oresultados “nuevos” que permite demostrar, este criterio no es aplicable paravalorar la teor´ de conjuntos no est´ndar (ya que la respuesta es que no permite ıa ademostrar nada nuevo), sino que su valor depender´ m´s bien de la comparaci´n a a oentre las t´cnicas cl´sicas y las t´cnicas no est´ndar. El prop´sito de este libro e a e a oes, precisamente, poner al lector en condiciones de realizar esa comparaci´n y opara que pueda sopesar por s´ mismo las ventajas y los inconvenientes de la ıteor´ de conjuntos no est´ndar frente a la teor´ de conjuntos cl´sica. ıa a ıa a En esta comparaci´n, probablemente, el factor de m´s peso es un hecho o aexterno a la teor´ misma: por razones hist´ricas, la teor´ de conjuntos cl´sica ıa o ıa aest´ profundamente arraigada, mientras que la teor´ de conjuntos no est´ndar a ıa ano es m´s que una curiosidad, y es casi impensable que alg´n d´ pase a ser a u ıam´s que eso. No obstante, siempre queda el —cuanto menos— “divertimento” ate´rico de juzgar ambas teor´ en pie de igualdad, prescindiendo de su grado de o ıaspopularidad. Entonces, los dos platos de la balanza quedan bastante igualados: Por una parte, la teor´ de conjuntos no est´ndar da lugar a pruebas ıa a m´s ¿intuitivas?, ¿elegantes?, ¿sencillas? que la teor´ cl´sica. a ıa a Por otra parte, la teor´ de conjuntos no est´ndar requiere un marco ıa a de razonamiento l´gico ¿un poco?, ¿bastante?, ¿mucho? m´s com- o a plejo que la teor´ de conjuntos cl´sica. ıa a
  8. 8. x Introducci´n o Lo que el lector deber´ juzgar es cu´les de las palabras entre interrogantes a ason apropiadas (o si hay que cambiarlas por otras). Si considera que la teor´ no ıaest´ndar no es ni intuitiva, ni elegante, ni sencilla, ni nada parecido, concluir´ a aque lo mejor es olvidarse de ella, al igual que si considera que sus sutilezasl´gicas la vuelven inmajenable en la pr´ctica. o a Quiz´ convenga destacar que no hay contradicci´n en afirmar que las pruebas a ono est´ndar pueden ser m´s sencillas y que su l´gica subyacente puede ser m´s a a o acomplicada. Esto quiere decir que, para alguien que haya asimilado esa l´gicaosubyacente, las pruebas pueden resultar mucho m´s sencillas, y la cuesti´n es, a oentonces, si la (presunta) simplificaci´n (o cualquier otra ventaja) que supone oel uso de la teor´ no est´ndar compensa el (presunto) esfuerzo de familiarizarse ıa acon ella. Probablemente, ´sta es la pregunta principal sobre la que deber´ e ameditar el lector. Aunque una valoraci´n adecuada de la teor´ de conjuntos no est´ndar re- o ıa aquiere, evidentemente, un examen a fondo de sus principios y su funcionamiento(que es lo que pretende ofrecer este libro), podemos formarnos una primera im-presi´n considerando el teorema siguiente, de Sierpinski: o Si a1 , . . . , an , b son n´meros reales positivos, la ecuaci´n u o a1 an + ··· + =b x1 xn tiene a lo sumo un n´mero finito de soluciones naturales. u Ahora vamos a ver el aspecto de una demostraci´n no est´ndar. Evidente- o amente, a menos que el lector ya est´ familiarizado con la teor´ de conjuntos no e ıaest´ndar, no estar´ en condiciones de entenderla con detalle, pero aqu´ se trata a a ısimplemente de comparar su aspecto con el de una demostraci´n cl´sica. (Lo o aque s´ puede tratar de hacer el lector es demostrar el teorema por s´ mismo por ı ımedios cl´sicos y comparar las pruebas.) a Demostracion: Podemos suponer que n, a1 , . . . , an y b son est´ndar.1 Si el ´ aconjunto de n-tuplas (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn que cumplen la ecuaci´n fuera infinito, otendr´ que contener un elemento no est´ndar. Una n-tupla (con n est´ndar) ıa a aque tenga todas sus componentes est´ndar ser´ est´ndar, luego tenemos una a a asoluci´n (x1 , . . . , xn ) en la que alg´n xi es infinitamente grande. o u Ahora bien, no puede ser que todos los xi sean infinitamente grandes, ya queentonces el miembro izquierdo de la ecuaci´n ser´ infinitamente peque˜o, y el o ıa nmiembro derecho no. Por consiguiente, tambi´n existe alg´n xi que no es infini- e utamente grande. Reordenando los ´ ındices, podemos suponer que x1 , . . . , xr soninfinitamente grandes y xr+1 , . . . , xn no lo son. Pero esto nos lleva igualmentea una contradicci´n, ya que podemos despejar o a1 ar ar+1 an + ··· + =b− − ··· − x1 xr xr+1 xny, nuevamente, el miembro izquierdo es infinitesimal, y el derecho no. 1 Esto implica, en particular, que no son n´ meros infinitamente peque˜ os o infinitamente u ngrandes.
  9. 9. xi La prueba puede parecer extremadamente simple, pero en esta aparienciahay algo de enga˜oso, y esto nos lleva precisamente hacia el otro plato de la nbalanza. Las sutilezas l´gicas inherentes a la teor´ de conjuntos no est´ndar o ıa aest´n relacionadas con las causas por las que los matem´ticos tuvieron que a aabandonar el uso de infinit´simos a la hora de fundamentar el an´lisis: si no se e atoman las precauciones debidas, los infinit´simos dan lugar a contradicciones. e El problema es an´logo al que tuvieron que resolver los matem´ticos para a afundamentar la teor´ de conjuntos. Si no se toman las precauciones debidas, ıadeterminados “conjuntos” como “el conjunto de todos los conjuntos”, “el con-junto de todos los cardinales”, etc. dan lugar a contradicciones por el merohecho de aceptar su existencia. Cantor llamaba a estos conjuntos parad´jicos o“multiplicidades inconsistentes”, y hay esencialmente dos formas de abordar elproblema de extirpar de la teor´ matem´tica las contradicciones que generan: ıa a • La teor´ de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) es una teor´ axiom´tica ıa ıa a en la que, simplemente, las “multiplicidades inconsistentes” no existen: a partir de sus axiomas se puede demostrar que no existe ning´n conjunto u que contenga a todos los conjuntos, ni existe ning´n conjunto que contenga u a todos los cardinales, etc. No obstante, informalmente se puede hablar de la “clase” de todos los conjuntos o la “clase” de todos los cardinales, pero s´lo en afirmaciones que claramente pueden reformularse eliminando estos o conceptos (por ejemplo, si decimos que la clase de todos los cardinales est´ a contenida en la clase de todos los conjuntos, esto es equivalente a decir que todo cardinal es un conjunto, y as´ hemos eliminado toda menci´n a ı o “clases” inexistentes). • La teor´ de conjuntos de von Neumann-Bernays-G¨del introduce formal- ıa o mente la diferencia entre “conjuntos” y “clases propias”, de modo que las multiplicidades inconsistentes de Cantor se corresponden con las “clases propias”. Las contradicciones aparecen si se confunden ambos conceptos y se tratan las clases propias como si fueran conjuntos. Estableciendo la distinci´n, los argumentos que originalmente daban lugar a contradiccio- o nes se transforman en los argumentos que demuestran que determinadas clases son propias y no son conjuntos. A la hora de fundamentar el uso de infinit´simos, nos encontramos con pro- eblemas similares: determinados “conjuntos” como “el conjunto de todos losn´meros reales infinitesimales” dan lugar a contradicciones, y en este libro pre- usentaremos dos teor´ axiom´ticas que resuelven el problema: ıas a • La teor´ de Nelson resuelve el problema negando la existencia de los ıa conjuntos “problem´ticos”. As´ por ejemplo, a partir de sus axiomas se a ı demuestra, desde luego, que existen n´meros reales infinitesimales, pero u tambi´n que no existe ning´n conjunto cuyos elementos sean los n´meros e u u reales infinitesimales. Esto es t´cnicamente an´logo al caso de la teor´ de e a ıa conjuntos de ZFC, en la que se demuestra que existen los n´meros cardi- u nales (finitos e infinitos), pero se demuestra que no existe ning´n conjunto u
  10. 10. xii Introducci´n o cuyos elementos sean todos los cardinales. La unica diferencia (de car´cter ´ a psicol´gico) es que uno puede estudiar algebra, an´lisis, topolog´ etc. y o ´ a ıa, hablar de cardinales de conjuntos finitos e infinitos, sin tener realmente necesidad de hablar en ning´n momento del conjunto de todos los cardi- u nales, por lo que apenas se nota la prohibici´n que la teor´ impone como o ıa precio para excluir las contradicciones. En cambio, cuando uno habla de n´meros reales infinitesimales, resulta tentador en muchas ocasiones razo- u nar considerando el conjunto de todos los infinitesimales, y la prohibici´n o de hacerlo puede resultar desconcertante. • La teor´ de Hrbacek distingue entre “conjuntos internos” y “conjuntos ex- ıa ternos” de un modo similar a como la teor´ NBG distingue entre conjun- ıa tos y clases propias. Es posible hablar del “conjunto de todos los n´meros u infinitesimales”, pero los argumentos que, a partir de este concepto, dan lugar a contradicciones se convierten ahora en razonamientos que prueban que tal conjunto es externo. En realidad, la teor´ de Nelson permite ha- ıa blar de conjuntos externos en el mismo sentido informal (pero riguroso) en que es posible hablar de clases en ZFC, es decir, como conceptos que es posible introducir en las afirmaciones a condici´n de que ´stas puedan o e reformularse eliminando toda menci´n a ellos. o Volviendo a la demostraci´n que hemos dado m´s arriba del teorema de Sier- o apinski, uno de los pasos que hemos dado, aunque es correcto, no es, en realidad,evidente. Se trata del punto en que hemos reordenado los sub´ındices para poneren primer lugar los n´meros infinitos y luego los finitos. La reordenaci´n en u os´ es intrascendente. Lo que no es trivial es que, impl´ ı ıcitamente, ah´ estamos ıconsiderando el conjunto I = {i ≤ n | xi es infinitamente grande}. En general, conjuntos como ´ste son los que dan lugar a contradicciones si no ese toman las precauciones debidas. Por ejemplo, si aceptamos sin m´s reflexi´n a ola existencia del conjunto I, deber´ ıamos aceptar igualmente la existencia de J = {i ∈ N | i es infinitamente grande},y este conjunto nos lleva a una contradicci´n, ya que es f´cil probar que si o ai ∈ J, entonces i − 1 ∈ J, luego tendr´ ıamos un subconjunto de N no vac´ y ıosin m´ınimo elemento. En la teor´ de conjuntos de Nelson se demuestra que I ıaexiste, mientras que J no existe, pero, por la misma raz´n que no es obvio que oJ no exista, tampoco es obvio que I s´ que exista.2 ı El precio que hay que pagar para trabajar consistentemente en la teor´ ıade conjuntos no est´ndar —el precio que el lector deber´ juzgar si es caro o a abarato— es asimilar las sutilezas l´gicas que determinan que I s´ que existe o ıpero J no. 2 Cuando el lector est´ familiarizado con la teor´ de conjuntos no est´ndar podr´ entender e ıa a ala raz´n por la que I s´ que existe: I = {i ≤ n | xi ∈ A}, donde A = ◦ {x1 , . . . , xn }, que es un o ıconjunto est´ndar por el teorema A.7. a
  11. 11. xiii En la teor´ de Hrbacek, esta sutileza desaparece de la prueba del teorema ıade Sierpinski, ya que tanto I como J existen trivialmente. La diferencia entreambos es ahora que I es interno, mientras que J es externo, pero que I seainterno o externo es irrelevante para la demostraci´n del teorema. Lo unico o ´necesario era hacer referencia a I para despejar en la ecuaci´n. Sin embargo, la oteor´ axiom´tica de Hrbacek requiere bastante m´s familiaridad con la l´gica ıa a a omatem´tica que la teor´ de Nelson. a ıa De todos modos, debemos tener presente que cualquier teor´ axiom´tica ıa aes ardua para un lector sin la suficiente preparaci´n matem´tica. Incluso hay o amuchos matem´ticos que son expertos en su campo y que s´lo tienen un vago a oconocimiento de lo que es la l´gica matem´tica (formal) y la teor´ axiom´tica o a ıa ade conjuntos. Por ello, no ser´ justo comparar una exposici´n de la teor´ ıa o ıade conjuntos no est´ndar seg´n los patrones de rigor propios de la l´gica ma- a u otem´tica con una exposici´n de la teor´ cl´sica al nivel semiformal que emplean a o ıa atodos los libros de matem´ticas (excepto los que tratan temas directamente re- alacionados con la l´gica matem´tica o est´n escritos por pedantes). Debido a o a aestas consideraciones, la estructura de este libro es la siguiente: • El primer cap´ ıtulo est´ dedicado a describir informalmente la l´gica de a o la teor´ de conjuntos cl´sica (en sus tres primeras secciones) y la de la ıa a teor´ de conjuntos no est´ndar (en la cuarta secci´n). Su objetivo es ıa a o preparar al lector para que pueda manejar la teor´ no est´ndar con el ıa a mismo nivel de seguridad con que un estudiante de matem´ticas medio a maneja la teor´ est´ndar. En el caso de la teor´ est´ndar, para conseguir ıa a ıa a este dominio informal es posible prescindir pr´cticamente por completo de a toda alusi´n a la l´gica matem´tica, pero la teor´ no est´ndar requiere, o o a ıa a como m´ ınimo, unas nociones b´sicas sobre la l´gica subyacente para no a o caer en contradicciones. Es importante insistir en que todas las explicaciones, ejemplos, analog´ ıas, etc. presentadas en este primer cap´ ıtulo (incluso en las secciones sobre la teor´ cl´sica) s´lo pretenden sugerir al lector una forma pragm´tica de ıa a o a concebir la teor´ no est´ndar para desenvolverse en ella con soltura. En ıa a particular, no pretenden defender ninguna posici´n filos´fica sobre c´mo o o o han de concebirse las matem´ticas en general o los infinit´simos en par- a e ticular. La secci´n 1.3 contiene un resumen (con demostraciones) de los resulta- o dos b´sicos sobre funciones, relaciones, estructuras algebraicas, n´meros a u naturales, etc., en definitiva, de los hechos y conceptos que el lector debe conocer para leer este libro. Su finalidad es servir de ayuda a un hipot´tico e lector obstinado en que la teor´ no est´ndar contradice en algo a la teor´ ıa a ıa est´ndar. La secci´n 1.3 le dar´ la oportunidad de buscar concretamente a o a qu´ resultado contradice a la teor´ no est´ndar, y tal vez el no encontrar e ıa a ninguno le ayude a entender que la contradicci´n s´lo est´ en su imagi- o o a naci´n. (Si encuentra alguno, entonces su problema es m´s grave, pero o a puede estar seguro de que ser´ su problema, no un problema de la teor´ a ıa
  12. 12. xiv Introducci´n o no est´ndar.) Los lectores que no sean especialmente suspicaces pueden a saltarse esa secci´n sin riesgo a echar nada en falta m´s adelante. o a • Segundo cap´ ıtulo pretende familiarizar al lector con el uso pr´ctico de la a teor´ de conjuntos no est´ndar —siempre a un nivel informal, lo m´s ıa a a parecido posible al nivel de cualquier libro de matem´ticas serio, pero a no t´cnico—, a trav´s del estudio de los n´meros naturales, los n´meros e e u u racionales y la construcci´n de los n´meros reales. o u • Los cap´ ıtulos siguientes desarrollan los contenidos t´ ıpicos de un curso uni- versitario de an´lisis matem´tico: c´lculo diferencial e integral para funcio- a a a nes de una y varias variables. La exposici´n pretende ser natural o, mejor o dicho, pretende ser lo que ser´ una exposici´n natural si la teor´ de con- ıa o ıa juntos no est´ndar fuera considerada una teor´ “normal” en la pr´ctica a ıa a matem´tica. Desarrollamos la teor´ no est´ndar como si la teor´ cl´sica a ıa a ıa a no existiese, exactamente igual que los libros cl´sicos desarrollan la teor´ a ıa cl´sica como si la teor´ no est´ndar no existiese. En particular, cada con- a ıa a cepto se define de la forma que resulta natural en el contexto de la teor´ ıa no est´ndar, sin mostrar la equivalencia con la definici´n cl´sica corres- a o a pondiente, salvo que ello tenga inter´s en la propia teor´ no est´ndar. e ıa a El lector no necesita ning´n conocimiento matem´tico previo m´s all´ u a a a de cierta familiaridad con los conceptos matem´ticos b´sicos (los mismos a a que se exponen en el primer cap´ ıtulo), excepto para las secciones 6.5, 6.6 y 7.5, en las que necesitar´ conocer algunos hechos b´sicos del ´lgebra a a a lineal (matrices, determinantes, espacios vectoriales, y poco m´s). a • Los ap´ndices A y B presentan con rigor la axiom´tica de Nelson y la e a de Hrbacek, respectivamente. Aqu´ el lector necesitar´ cierta familiaridad ı a con la l´gica matem´tica y con la teor´ axiom´tica de conjuntos.3 Toda o a ıa a la teor´ desarrollada en los cap´ ıa ıtulos precedentes puede formalizarse en la teor´ de Nelson sin m´s esfuerzo que el necesario para formalizar en ıa a ZFC cualquier exposici´n razonable del an´lisis cl´sico. o a a • El ap´ndice C contiene la demostraci´n del teorema de conservaci´n, seg´n e o o u el cual, todo teorema “est´ndar” que pueda demostrarse en la teor´ de a ıa conjuntos no est´ndar puede demostrarse tambi´n en la teor´ de con- a e ıa juntos cl´sica. En particular, si la teor´ cl´sica es consistente, la teor´ a ıa a ıa no est´ndar tambi´n lo es. La prueba es metamatem´tica y finitista. Eso a e a quiere decir, en t´rminos m´s llanos, que cualquiera que afirme convencido e a que la teor´ de conjuntos no est´ndar no sirve porque es contradictoria, ıa a no tiene ni idea de la estupidez que est´ diciendo. Para este ap´ndice, el a e lector necesitar´ un buen conocimiento de la l´gica matem´tica y de la a o a teor´ de conjuntos. ıa 3 Los dos cap´ ıtulos I, II y VIII de mi libro de L´gica son m´s que suficientes, al menos o apara la teor´ de Nelson. En el caso de la teor´ de Hrbacek, el primer cap´ ıa ıa ıtulo de mi libro dePruebas de consistencia ser´ conveniente tambi´n. ıa e
  13. 13. xv Hay un aspecto de la comparaci´n entre la teor´ cl´sica y la teor´ no o ıa a ıaest´ndar en el que no vamos a entrar aqu´ y es si la teor´ no est´ndar ofrece a ı, ıa aventajas frente al teor´ cl´sica de cara a la investigaci´n. Hasta la fecha no ıa a ohay ning´n resultado demostrado con t´cnicas no est´ndar y que no pueda u e ademostrarse de forma razonablemente pareja en dificultad mediante t´cnicas eest´ndar. Los defensores del an´lisis no est´ndar citan ejemplos como ´ste, a a a eaunque —la verdad sea dicha— no hay muchos otros que citar: El quinto problema de Hilbert consist´ en determinar si todo grupo to- ıapol´gico localmente eucl´ o ıdeo es un grupo de Lie. El problema fue resuelto afir-mativamente en 1952 por Montgomery, Zippin y Gleason. En 1964 Kaplanskipublic´ otra demostraci´n. Sin embargo, en 1976 se celebr´ un congreso sobre o o olos problemas de Hilbert en el que un especialista de cada rama deb´ explicar ıala soluci´n de los que ya hab´ sido resueltos, pero el correspondiente a este o ıanproblema dijo que las demostraciones conocidas eran tan t´cnicas y tan comple- ejas que no pod´ siquiera esbozarlas. En 1990 J. Hirschfeld public´4 una prueba ıa ono est´ndar mucho m´s simple y, cuanto menos, esbozable. a a Para terminar, a˜adiremos unicamente que la exposici´n del c´lculo dife- n ´ o arencial e integral que contiene este libro s´lo es una muestra reducida de las oposibilidades de la teor´ de conjuntos no est´ndar. Al igual que es posible ıa auna exposici´n no est´ndar del an´lisis matem´tico, podemos desarrollar una o a a atopolog´ no est´ndar, una geometr´ diferencial no est´ndar, una teor´ de la ıa a ıa a ıamedida no est´ndar, un an´lisis funcional no est´ndar y, en general, cualquier a a arama de la matem´tica que estudie conjuntos infinitos es susceptible de un enfo- aque no est´ndar. Las teor´ axiom´ticas que presentamos aqu´ son suficientes a ıas a ıpara formalizar tales enfoques. La pregunta sigue siendo si merece la pena.Dejamos al lector la ultima palabra. ´ 4 J. Hirschfeld, The nostandard treatment of Hilbert’s fifth problem, Trans. Amer. Math.Soc. 321 (1) (1990).
  14. 14. Cap´ ıtulo IPreliminares conjuntistas Suponemos que el lector tiene cierta familiaridad con las matem´ticas ele- amentales, especialmente con la manipulaci´n de expresiones algebraicas (como oque am an = am+n o que a/b + c/d = (ad + bc)/bd, etc.) M´s en general, su- apondremos que el lector conoce los n´meros naturales, enteros y racionales, y utambi´n ser´ conveniente cierta familiaridad con los n´meros reales. e ıa u El prop´sito de este primer cap´ o ıtulo es conectar estos conocimientos infor-males que suponemos al lector con otros conceptos m´s abstractos en que es anecesario enmarcarlos para abordar con el rigor necesario otros temas m´s de- alicados, como el an´lisis matem´tico, especialmente desde el punto de vista no a aest´ndar que vamos a adoptar. Con “el rigor necesario” no nos referimos al arigor absoluto, consistente en trabajar en un sistema axiom´tico formal, lo cual aexigir´ un esfuerzo al lector que incluso muchos licenciados en matem´ticas no ıa ason capaces de realizar, sino al rigor necesario para que el lector pueda distinguirinformalmente un razonamiento v´lido de otro que no lo es, que es como —de ahecho— trabaja la mayor´ de los matem´ticos profesionales cuya especialidad ıa ano est´ relacionada con la fundamentaci´n de las matem´ticas. a o a De todos modos, conviene tener presente que, del mismo modo que lo quedetermina la validez de los razonamientos que hacen los matem´ticos profesio- anales es el hecho de que podr´ expresarse con todo rigor en el seno de una ıanteor´ axiom´tica formal (por ejemplo, la teor´ de conjuntos ZFC), y ello sin ıa a ıaperjuicio de que muchos matem´ticos no sepan en qu´ consiste exactamente esta a eteor´ tambi´n sucede que los patrones de razonamiento que vamos a tratar de ıa, einculcar al lector en este libro se corresponden con los que pueden expresarsecon todo rigor en otra teor´ axiom´tica formal. En otras palabras, lo que trata- ıa aremos de conseguir es que el lector pueda razonar correctamente en el seno de lamatem´tica no est´ndar de forma intuitiva, sin necesidad de asimilar para ello a alas sutilezas y los tecnicismos de la l´gica matem´tica, pero de tal modo que el o aresultado pr´ctico sea el mismo que si el lector conociera todos esos tecnicismos. a Quiz´ esta comparaci´n pueda ser util: un ciudadano honrado puede res- a o ´petar la ley sin haber le´ nunca un c´digo legal. Su buen juicio le permite ıdo odeterminar qu´ conductas ser´n sin duda ilegales y cu´les son admisibles. S´lo e a a o 1
  15. 15. 2 Cap´ ıtulo 1. Preliminares conjuntistasen caso de verse en una situaci´n delicada que escape a lo que le es familiar onecesitar´ asesoramiento legal. Del mismo modo, el lector deber´ tener pre- a asente que, en cualquier momento en que se d´ cuenta de que no “domina” una esituaci´n y no est´ seguro de si un razonamiento es “legal” o “ilegal”, deber´ o e aconsultar a un experto en “leyes”, es decir, a alguien que s´ domine el sistema ıaxiom´tico formal que determina sin margen de ambig¨edad lo que puede y lo a uque no puede hacerse.1.1 Conjuntos Invitamos al lector a que conciba todo cuanto vamos a ver aqu´ como una ıpel´ ıcula de cine. Seg´n su argumento, una pel´ u ıcula puede ser fant´stica, en el asentido de que lo que se narra en ella no tiene nada que ver con la realidad; puedeser hist´rica, en el sentido de que todo cuanto se narra en ella es una r´plica de lo o eque ha sucedido realmente en una determinada ´poca y un determinado lugar; o ebien puede combinar en diferentes proporciones elementos reales con elementosfant´sticos (por ejemplo, si narra una historia ficticia fielmente enmarcada en aun contexto hist´rico real). o Dejamos al lector la libertad de clasificar nuestra “pel´ ıcula” en el g´nero eque considere oportuno. Los lectores que consideren que nuestra “pel´ ıcula” eshist´rica son los que los fil´sofos llaman platonistas; los que consideren que es o opura fantas´ son los llamados formalistas; mientras que los que adopten una ıapostura intermedia se distribuir´n en una amplia gama de posibilidades entre ael platonismo y el formalismo, entre las cuales, una de las m´s populares es el afinitismo. En cualquier caso, el lector debe tener presente que cualquier espectador quequiera entender una pel´ ıcula ha de ser consciente de que cada pel´ ıcula tiene supropia realidad interna, y que es necesario remitir a ella los juicios sobre cadaescena, y no a la realidad externa a la pel´ ıcula. Por ejemplo, pensemos en unespectador sensato que sabe que creer en fantasmas es rid´ ıculo, pero va a veruna pel´ ıcula en la que un personaje advierte a otros que no deben entrar en unadeterminada casa, porque en ella habitan fantasmas. Para entender la pel´ ıcula,deber´ estar abierto a dos posibilidades: a Puede tratarse de una pel´ ıcula de fantasmas, de modo que, internamente,sea verdad que en la casa hay fantasmas, en cuyo caso el espectador deber´ aconcluir que los incr´dulos que se adentran en la casa son unos insensatos que eno saben lo que hacen. Pero tambi´n puede tratarse de una pel´ e ıcula realista, en la que el personajeque previene contra los fantasmas lo hace, digamos, porque est´ buscando un atesoro oculto en la casa y emplea ciertos trucos para ahuyentar a otras personasque pudieran encontrarlo antes. En tal caso, los incr´dulos que se adentran en ela casa son personajes m´s inteligentes que los bobos a los que el “malo” ha aconseguido acobardar. Lo importante es que el juicio que el espectador se forme sobre los perso-najes no debe depender de su opini´n personal sobre si existen o no fantasmas o
  16. 16. 1.1. Conjuntos 3(su concepci´n de la realidad externa) sino de la realidad interna que presenta ola pel´ ıcula. De otro modo, si, por ejemplo, la pel´ ıcula es de fantasmas y el es-pectador se niega a aceptar internamente la existencia de fantasmas, no podr´ aentender el final, cuando los fantasmas se manifiesten abiertamente y no dejenlugar a dudas de su existencia (interna). Los personajes de nuestra pel´ıcula se llaman conjuntos. Los matem´ticos los allaman habitualmente conjuntos, sin m´s, pero nosotros necesitamos introducir auna precisi´n y, por ello, los llamaremos conjuntos internos. Del mismo modo oque un personaje de una pel´ ıcula pretende ser (y es internamente) una persona(aunque externamente pueda no existir, por ejemplo, porque sea una imagencreada por ordenador), los conjuntos internos de nuestra pel´ ıcula pretenden ser(y son internamente) colecciones de objetos. ¿De qu´ objetos? Nuestra pel´ e ıculaes, en este sentido, bastante econ´mica: los objetos que forman parte de un oconjunto interno son otros conjuntos internos. En nuestra pel´ ıcula no hay nadam´s que conjuntos internos. a As´ pues, un conjunto interno B es, en nuestra pel´ ı ıcula, una colecci´n de oconjuntos internos. Si A es uno de estos conjuntos internos que forman partede B, representaremos este hecho con la notaci´n o A ∈ B. Habitualmente se lee “A pertenece a B”, aunque tambi´n podemos decir que e“A es un elemento de B” o que “A est´ en B”, etc. Para indicar lo contrario ase escribe A ∈ B. / Una pel´ıcula coherente ha de respetar unas normas, que pueden fijarse ar-bitrariamente (siempre que no se incurra en contradicciones) pero que, una vezfijadas, se han de respetar. Por ejemplo, en una pel´ ıcula que narre una ficticiaconspiraci´n para matar al presidente de los Estados Unidos, podr´n aparecer o apersonajes ficticios, incluso un presidente de los Estados Unidos ficticio, pero nopodr´ aparecer un asesino con cuatro manos. En otro tipo de pel´ a ıculas s´ que ıpodr´ aparecer un personaje con cuatro manos, pero en ´sta no. Por el contra- a erio, para que la trama del complot resulte interesante, tendr´ que someterse al aprincipio de que todos los personajes sean seres humanos “normales”. Nuestra pel´ıcula tambi´n tiene sus leyes internas, llamadas axiomas. Son eprincipios que los conjuntos internos respetan para que el argumento resulte ala vez coherente e interesante. Del mismo modo que muchas pel´ ıculas exigenque sus personajes tengan el aspecto y el comportamiento de seres humanos“normales”, nosotros vamos a pedir a nuestros conjuntos internos que se com-porten como lo que queremos que sean internamente, es decir, meras coleccionesde elementos. El principio que garantiza esto se conoce como axioma de exten-sionalidad:Axioma de extensionalidad Si dos conjuntos tienen los mismos elementos,entonces son iguales.
  17. 17. 4 Cap´ ıtulo 1. Preliminares conjuntistas En la pr´ctica, esto significa que si tenemos dos conjuntos A y B y queremos aprobar que A = B, bastar´ con que tomemos un elemento arbitrario x ∈ A y alogremos probar que tambi´n x ∈ B, y viceversa. e Conviene introducir la notaci´n A ⊂ B para referirse a “la mitad” de este ohecho. Diremos que un conjunto interno A es un subconjunto de un conjuntointerno B (y se representa como acabamos de indicar) si todo elemento de Aes tambi´n un elemento de B. En estos t´rminos, el axioma de extensionalidad e eafirma que la igualdad A = B equivale a las dos inclusiones A ⊂ B y B ⊂ A. Desde un punto de vista m´s te´rico, el axioma de extensionalidad puede a overse as´ llamamos extensi´n de un conjunto interno B a todos los conjuntos ı: ointernos A que cumplen A ∈ B. El axioma de extensionalidad afirma que dosconjuntos internos son iguales si y s´lo si tienen la misma extensi´n. Es este o oaxioma el que nos permite afirmar que un conjunto no es ni m´s ni menos que asu extensi´n1 y, por consiguiente, que es una colecci´n de conjuntos internos. o o En este punto es crucial que hagamos una observaci´n: el hecho de que los oconjuntos internos sean colecciones de conjuntos internos no nos garantiza quetoda colecci´n de conjuntos internos sea (la extensi´n de) un conjunto interno. o oDe hecho, sucede que es l´gicamente imposible que esto sea as´ Vamos a ver o ı.por qu´. e Podemos especificar una colecci´n de conjuntos internos a trav´s de una o epropiedad com´n a todos ellos. Por ejemplo, vamos a considerar la propiedad uP (x) ≡ x ∈ x. M´s claramente: dado un conjunto interno x, diremos que / acumple la propiedad P (x) si no se pertenece a s´ mismo. Nadie dice que tenga ıque haber conjuntos internos que se pertenezcan a s´ mismos. Si no los hay, lo ıque tenemos es que todos los conjuntos cumplen la propiedad P (x). En cualquier caso, podemos llamar R a la colecci´n de todos los conjuntos ointernos que cumplen P (x). Ciertamente, se trata de una colecci´n de conjuntos ointernos definida con toda precisi´n. Pero nos formulamos la pregunta siguiente: o¿Es R la extensi´n de un conjunto interno? o, dicho de otro modo, ¿existe un oconjunto interno R cuyos elementos sean precisamente los conjuntos internosque no se pertenecen a s´ mismos? ı La respuesta es negativa. Si existiera tal conjunto R, tendr´ que darse ıauna de estas dos alternativas: o bien R ∈ R, o bien R ∈ R. Pero sucede que /ambas nos llevan a una contradicci´n. Si suponemos que R ∈ R, entonces, por odefinici´n de R, tenemos que R es un conjunto interno que cumple la propiedad oP (R), es decir, que cumple R ∈ R, y est´bamos suponiendo lo contrario. Es / aimposible. Por otra parte, si R ∈ R, entonces R es un conjunto interno que / 1 Conviene tener presente que esto no es una necesidad l´gica. o En nuestra pel´ ıculapodr´ıamos haber decidido que los conjuntos tuvieran otras propiedades relevantes adem´s ade su extensi´n. Por ejemplo, podr´ o ıamos haber decidido que hubiera conjuntos blancos ynegros, de modo que podr´ haber dos conjuntos distintos A y B que tuvieran ambos un unico ıa ´elemento C, pero que fueran distintos porque A fuera blanco y B fuera negro. Lo que afirmael axioma de extensionalidad es que un conjunto interno no tiene ninguna otra propiedaddistintiva m´s que su extensi´n. a o
  18. 18. 1.1. Conjuntos 5cumple la propiedad P (R), luego deber´ ser R ∈ R, lo cual es nuevamente ıaabsurdo. Los matem´ticos suelen expresar esto diciendo que no existe ning´n conjunto a uque contenga a los conjuntos que no se pertenecen a s´ mismos, pero, dicho as´ es ı ı,dif´ de digerir, porque parece que se nos est´ negando la posibilidad de pensar ıcil een la colecci´n de los conjuntos que verifican una determinada propiedad que ono tiene nada de ambiguo. Sin embargo, bien entendida, esta “paradoja” no tiene nada de extra˜o. Lo nque acabamos de probar es que la colecci´n R no es la extensi´n de ning´n o o uconjunto interno. Los matem´ticos expresan esto de forma m´s afortunada a adiciendo que R es una “clase propia”, una colecci´n de objetos formada por opersonajes de nuestra pel´ ıcula pero que no es ella misma un personaje de nuestrapel´ıcula, una colecci´n externa a ella, que est´ “detr´s de las c´maras”. o a a a Quiz´ esta comparaci´n sirva de ayuda: imaginemos un decorado para una a opel´ıcula de romanos. Es una sala de un palacio y en un punto hay un jarr´n con oflores, y dentro del jarr´n con flores est´ oculto un micr´fono. Podemos decir o a oque el jarr´n es un objeto interno de la pel´ o ıcula. El espectador lo ver´ y deber´ a aentender que es un jarr´n. En cambio, el micr´fono es un objeto externo. El o oespectador no debe verlo o, si lo ve, debe aparentar ser otra cosa, por ejemplo,una flor. Podemos decir que el micr´fono no existe internamente, en el sentido de que, osi existiera, la pel´ ıcula se volver´ contradictoria, ya que en un palacio romano ıadel siglo I a.C. no puede haber un micr´fono. En la pr´ctica, que no exista o ainternamente no significa que no exista, porque lo cierto es que est´ ah´ sino a ı,que no puede verse y que ning´n personaje de la pel´ u ıcula puede aludir a ´l como epodr´ aludir al jarr´n con flores. ıa o Igualmente, la clase R “est´ ah´ pero es externa a nuestra pel´ a ı”, ıcula. Sila consideramos como parte de sus personajes llegamos a una contradicci´n, ocomo ser´ una contradicci´n que Julio C´sar llevara un crucifijo. Podemos ıa o edemostrar que R no existe igual que podemos “demostrar” que Julio C´sar no elleva crucifijo, sin perjuicio de que, si, en una determinada escena, Julio C´sar elleva una coraza, debajo de la coraza pueda llevar un crucifijo colgado del cuellosi el actor es cristiano. Observemos que, visto as´ la clase R no es contradictoria. Haciendo un uso ı,externo del signo ∈, podemos decir que R ∈ R, y no hay contradicci´n porque / oR es la clase de todos los conjuntos internos que no se pertenecen a s´ mismos. ıPara pertenecer a R hay que cumplir dos requisitos: 1) ser un conjunto internoy 2) no pertenecerse a s´ mismo. Tenemos que R cumple 2), pero le falla 1), ıy por eso no podemos concluir que R ∈ R, y no llegamos, pues, a ningunacontradicci´n. o M´s en general, hemos de tener presente que un conjunto interno es una acolecci´n de conjuntos internos, luego en ning´n caso puede pertenecerle una o ucolecci´n de conjuntos que no sea un conjunto interno. Una colecci´n de conjun- o otos externa puede estar formada por algunos conjuntos internos, pero no puedeformar parte de un conjunto interno. Esto nos plantea el problema de especificar con qu´ colecciones de conjuntos e
  19. 19. 6 Cap´ ıtulo 1. Preliminares conjuntistasinternos podemos contar en nuestra pel´ ıcula. No podemos afirmar que, paratoda propiedad P (x), existe un conjunto interno formado por todos los conjuntosinternos que cumplan P (x), ya que, tomando P (x) ≡ x ∈ x, esto nos permitir´ / ıaconcluir que R es un conjunto interno y nuestra pel´ ıcula se derrumbar´ como ıa,si Julio C´sar exhibiera un crucifijo. e Los matem´ticos tuvieron que pensar durante mucho tiempo sobre qu´ pro- a epiedades P (x) son admisibles para definir conjuntos y cu´les no. Aparte de ax ∈ x, hay muchas otras propiedades que dan lugar a clases propias, es decir, /a colecciones de conjuntos internos que dar´ lugar a contradicciones si les ıanconcedi´ramos la existencia interna en nuestra pel´ e ıcula. Afortunadamente, las unicas propiedades que dan lugar a clases propias son ´las que definir´ conjuntos “demasiado grandes”. Por ejemplo, puede probarse ıanque no existe un conjunto interno que contenga a todos los conjuntos internos o,equivalentemente, que la clase de todos los conjuntos internos no es un conjuntointerno, como tampoco lo es la clase de todos los conjuntos internos que tienenun unico elemento, etc. ´ Decimos “afortunadamente” porque la pr´ctica matem´tica usual no re- a aquiere considerar tales colecciones enormes. Podemos hablar de conjuntos in-ternos con un elemento sin necesidad de tratar con la clase enorme de todos losconjuntos internos con un elemento, podemos hablar de conjuntos internos sinnecesidad de hablar de la clase enorme de todos los conjuntos internos, etc. El axioma m´s general que vamos a aceptar sobre formaci´n de conjuntos a a opartir de propiedades es el siguiente:Axioma de especificaci´n Si A, x1 , . . . , xn son conjuntos internos y con- osideramos una propiedad interna P (x, x1 , . . . , xn ), entonces existe un conjuntointerno cuyos elementos son los conjuntos internos x ∈ A que cumplen la pro-piedad P . Lo representaremos por {x ∈ A | P (x, x1 , . . . , xn )}. Aqu´ hemos empleado por primera vez la expresi´n propiedad interna para ı oreferirnos, concretamente, a cualquier propiedad que pueda expresarse exclu-sivamente en t´rminos del signo ∈ y de conceptos l´gicos, como “y”, “o”, e o“si. . . entonces. . . ”, “existe”, “para todo”, “=”, etc. Esto significa que, por ejemplo, no podemos definir el conjunto de todos losconjuntos que son “verdes”, ya que “verdes” no es un concepto definido a partirde ∈ y de conceptos l´gicos. o La clave del axioma de especificaci´n es que s´lo permite que una propie- o odad seleccione algunos conjuntos internos de entre los conjuntos internos quepertenecen a un conjunto interno dado A. Aunque podamos escribir {x | P (x, x1 , . . . , xn )}para referirnos a la colecci´n de todos los conjuntos internos x que cumplen la opropiedad P , no podemos pretender que tal colecci´n de conjuntos internos sea o
  20. 20. 1.2. Los conceptos conjuntistas b´sicos a 7la extensi´n de un conjunto interno. Al contrario, podemos encontrarnos con ouna contradicci´n que demuestre que tal colecci´n de conjuntos es una clase o opropia, externa a nuestra pel´ ıcula. As´ dado un conjunto interno A, podemos considerar como personaje de ı,nuestra pel´ ıcula al conjunto RA = {x ∈ A | x ∈ x}, /y este conjunto no da lugar a ninguna contradicci´n. Ser´ una contradicci´n o ıa oque cumpliera RA ∈ RA , por lo que podemos deducir que RA ∈ RA , de donde /a su vez se desprende que RA ∈ A (pues si fuera RA ∈ A podr´ / ıamos concluirque RA ∈ RA , y tendr´ ıamos otra contradicci´n). o No obstante, el axioma de especificaci´n no es suficiente para garantizar ola existencia de todos los conjuntos internos que nos gustar´ ver en nuestra ıapel´ ıcula. Por ejemplo, dados dos conjuntos internos u y v, nos gustar´ tener ıaun conjunto interno w formado ni m´s ni menos que por u y v, es decir, a w = {x | x = u o x = v},pero esta expresi´n no es de la forma que nos permite apelar al axioma de oespecificaci´n. o Problemas como ´ste se nos presentar´n en muy pocas ocasiones, y s´lo ne- e a ocesitaremos unos pocos axiomas espec´ ıficos para asegurar la existencia algunosconjuntos internos como w. Ahora bien, una vez dispongamos de estos con-ceptos b´sicos, el unico principio general de formaci´n de conjuntos que vamos a ´ oa necesitar (y el unico que tendremos derecho a usar si no queremos caer en ´contradicciones) ser´ el axioma de especificaci´n. a o1.2 Los conceptos conjuntistas b´sicos a En esta secci´n describiremos los personajes b´sicos de nuestra pel´ o a ıcula.Empezamos observando que el axioma de especificaci´n que ya hemos discutido orequiere conocer la existencia de al menos un conjunto interno A para generara partir de ´l nuevos conjuntos internos, y de momento no conocemos ninguno. ePor eso necesitaremos algunos axiomas espec´ ıficos que nos garanticen la exis-tencia de algunos conjuntos que encabecen nuestro “reparto”.Axioma del conjunto vac´ ıo Existe un conjunto interno que no tiene ning´n uelemento. El axioma de extensionalidad implica que tal conjunto es unico, pues si ´existieran dos conjuntos internos sin elementos, entonces ambos tendr´ los ıanmismos elementos (a saber, ninguno), luego tendr´ que ser el mismo. Esta ıanunicidad nos permite darle un nombre. Lo llamaremos conjunto vac´ y lo ıorepresentaremos por ∅.
  21. 21. 8 Cap´ ıtulo 1. Preliminares conjuntistasAxioma del par Dados dos conjuntos internos u y v, existe un conjuntointerno cuyos elementos son exactamente u y v. Nuevamente, el axioma de extensionalidad garantiza que s´lo puede haber oun conjunto interno cuyos elementos sean u y v, pues dos de ellos ser´ dos ıanconjuntos con los mismos elementos. Por ello podemos llamar a tal conjunto elpar desordenado formado por u, y v, y lo representaremos por {u, v}. Observemos que, si tenemos dos conjuntos internos u y v, no necesitamosning´n axioma que nos de derecho a pensar coherentemente en la colecci´n u oformada por ellos dos. Lo que garantiza el axioma del par es que dicha colecci´n ono es externa a nuestra pel´ ıcula, sino que tambi´n forma parte de ella. e Tambi´n es importante destacar que el axioma no requiere que los conjuntos eu y v sean distintos. Si son iguales abreviaremos {u, u} = {u}, que es unconjunto interno que tiene a u como unico elemento. ´ El nombre de “par desordenado” hace referencia a que, evidentemente, secumple {u, v} = {v, u}, dado que ambos conjuntos tienen los mismos elementos.Cuando queramos dar importancia al orden en que consideramos dos conjuntospodemos agruparlos en lo que llamaremos un par ordenado: (u, v) = {{u}, {u, v}}. Observemos que (u, v) es un conjunto interno cuya existencia se demuestraaplicando tres veces el axioma del par. Es f´cil demostrar que la igualdad a(u, v) = (p, q) s´lo se da cuando u = v y p = q. En particular, si u = v, tenemos oque (u, v) = (v, u). Ahora podemos definir una terna ordenada (u, v, w) = ((u, v), w), e igual-mente, una cu´drupla ordenada (u, v, w, x) = ((u, v, w), x), etc. a Dados dos conjuntos u y v, definimos su uni´n y su intersecci´n como o o u ∪ v = {x | x ∈ u o x ∈ v}, u ∩ v = {x | x ∈ u y x ∈ v}. El lector deber´ protestar ante estas definiciones, ya que parecen aplicacio- ıanes del axioma de especificaci´n y, sin embargo, no respetan su estructura, ya oque no estamos restringiendo la selecci´n a los x que pertenecen a un conjunto oA prefijado. En el caso de la intersecci´n esto se puede arreglar, ya que podemos oescribir u ∩ v = {x ∈ u | x ∈ v},sin embargo, con la uni´n la objeci´n es irrefutable, por lo que necesitamos un o oaxioma espec´ıfico:Axioma de la uni´n Dados dos conjuntos internos, existe un conjunto in- oterno cuyos elementos son los conjuntos internos que pertenecen a cualquierade los dos conjuntos dados.2 2 En realidad, la teor´ de conjuntos requiere un axioma de la uni´n m´s fuerte que ´ste, ıa o a epero no necesitamos explicitar este hecho.
  22. 22. 1.2. Los conceptos conjuntistas b´sicos a 9 Esto nos permite hablar de conjuntos internos como {a, b, c, d} = {a} ∪ {b} ∪ {c} ∪ {d},que es el unico conjunto interno cuyos elementos son los cuatro conjuntos inter- ´nos a, b, c, d. Otro uso v´lido del axioma de especificaci´n es la definici´n del complemen- a o otario de un conjunto interno en otro: u v = {x ∈ u | x ∈ v}. / El ultimo concepto b´sico que requiere su axioma espec´ ´ a ıfico es el siguiente:Axioma del conjunto de partes Dado un conjunto interno A, existe unconjunto interno cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. A dicho conjunto lo llamaremos conjunto de las partes de A: PA = {x | x ⊂ A}. Observemos que si u ∈ A y v ∈ B, entonces u, v ∈ A ∪ B, luego {u}, {u, v} ∈ P(A ∪ B),luego (u, v) = {{u}, {u, v}} ∈ P(P(A ∪ B)). Esto implica que, aunque la definici´n o A × B = {(u, v) | u ∈ A, v ∈ B}podr´ parecer un uso fraudulento del axioma de especificaci´n, en realidad es ıa oleg´ ıtima, porque podr´ ıamos haber escrito A × B = {(u, v) ∈ P(P(A ∪ B)) | u ∈ A, v ∈ B}. Este conjunto, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados con primeracomponente en A y segunda componente en B, se llama producto cartesiano deA y B. Terminaremos esta secci´n esbozando la construcci´n del conjunto N de los o on´meros naturales. La idea que perseguimos es demostrar la existencia de un uconjunto interno que tenga este aspecto: N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } Pero, para ello, tenemos dos problemas: en primer lugar, para que N sea unconjunto interno hemos de definir sus elementos 0, 1, 2, etc. de tal modo quepodamos considerar a cada uno de ellos como un conjunto interno, y en segundo
  23. 23. 10 Cap´ ıtulo 1. Preliminares conjuntistaslugar hemos de arregl´rnoslas para definir un conjunto N que los tenga a ellos apor elementos y s´lo a ellos. o El primer problema es f´cil de resolver. Si pensamos en los n´meros naturales a ucomo en ciertos “personajes hist´ricos”, lo que necesitamos es seleccionar unos oactores que interpreten estos papeles en nuestra pel´ ıcula. Como n´mero 0, uninguno parece m´s id´neo que el conjunto vac´ En lo sucesivo llamaremos a o ıo.n´mero natural 0 a 0 = ∅. Esto significa que, cuando pensemos en el conjunto uvac´ como en el unico conjunto interno sin elementos, escribiremos ∅, mientras ıo ´que cuando pensemos en ´l como n´mero natural 0 escribiremos 0, si bien se e utrata en ambos casos del mismo conjunto. A continuaci´n definimos, para cualquier conjunto interno x, el que llama- oremos siguiente de x, que ser´ x = x ∪ {x}. En particular, definimos a 1 = 0 = ∅ ∪ {∅} = {∅} = {0}, 2 = 1 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1}, 3 = 2 = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2},y as´ sucesivamente. El problema que nos queda es convertir el “as´ sucesiva- ı ımente” en una propiedad interna que podamos usar para definir el conjuntointerno N. Para ello definimos: Un conjunto interno A es inductivo si 0 ∈ A y, siempre que un conjunto xcumple x ∈ A, tambi´n se cumple que x ∈ A. e Es decir, un conjunto es inductivo si contiene a todos los conjuntos internosque queremos tomar como n´meros naturales. Ahora necesitamos el ultimo u ´axioma que perfilar´ el comportamiento b´sico de los conjuntos internos: a aAxioma de infinitud Existe un conjunto interno inductivo. Se llama axioma de infinitud porque sin ´l es imposible, no ya construir los en´meros naturales, sino siquiera demostrar la existencia de un conjunto interno uque sea infinito. El problema de los conjuntos inductivos es que, adem´s de los n´meros a unaturales, pueden contener otros conjuntos. La definici´n siguiente resuelve oeste problema: Llamaremos conjunto de los n´meros naturales al conjunto interno u N = {x ∈ A | x pertenece a todos los conjuntos internos inductivos},donde A es un conjunto inductivo arbitrario. Es claro que N no depende de laelecci´n de A, pues si llamamos NA y NB a los conjuntos definidos de este modo oa partir de dos conjuntos inductivos A y B, entonces todo x ∈ NA pertenecea todos los conjuntos inductivos, en particular a B, luego tambi´n x ∈ NB , y eviceversa, luego NA = NB . A partir de aqu´ es una pura rutina demostrar los siguientes hechos b´sicos ı, asobre los n´meros naturales: u
  24. 24. 1.2. Los conceptos conjuntistas b´sicos a 11 1. 0 ∈ N y, si n ∈ N, entonces n ∈ N (el cero es un n´mero natural y el u siguiente de un n´mero natural es tambi´n un n´mero natural). u e u 2. No existe ning´n n ∈ N tal que n = 0 (el cero no es el siguiente de ning´n u u n´mero natural). u 3. Si n ∈ N y n = 0, existe un m ∈ N tal que n = m (todo n´mero natural u no nulo es el siguiente de otro n´mero natural. u 4. Si m, n ∈ N y m = n entonces m = n (n´meros distintos tienen siguien- u tes distintos). 5. Si A ⊂ N es un conjunto interno tal que 0 ∈ A y, cuando n ∈ A, tambi´n e n ∈ A, entonces A = N. La ultima propiedad se conoce como principio de inducci´n y, aunque pa- ´ orezca la propiedad m´s compleja de las cinco, es una de las m´s f´ciles de a a ademostrar: un conjunto A en tales condiciones es, por definici´n, inductivo, oluego si n ∈ N, se cumple que n ∈ A por definici´n de N, es decir, porque n oha de pertenecer a todos los conjuntos internos inductivos. Por consiguiente,N ⊂ A, lo que, unido a la hip´tesis de que A ⊂ N, nos da que A = N. o Las propiedades 1. y 2. son inmediatas, 3. se prueba trivialmente usando 5.(que ya est´ probada). aEjercicio: Probar 4. siguiendo este esquema: a) Demostrar por inducci´n sobre n que si m ∈ n ∈ N, entonces m ⊂ n. o b) Demostrar por inducci´n que, si n ∈ N, entonces n ∈ n. o / c) Demostrar 4. por reducci´n al absurdo: si m = n, entonces m ∈ n y n ∈ m. o Llegar de aqu´ a una contradicci´n. ı o A veces es m´s c´modo expresar el principio de inducci´n en t´rminos de a o o epropiedades: Dados unos conjuntos internos x1 , . . . , xn y una propiedad internaP (n, x1 , . . . , xn ), podemos considerar el conjunto interno A = {n ∈ N | P (n, x1 , . . . , xn )}. Lo que dice el principio de inducci´n para el caso del conjunto A es que, si o0 tiene la propiedad P y, supuesto que un n ∈ N tiene P , podemos probar quen tambi´n tiene la propiedad P , entonces podemos asegurar que todo n´mero e unatural tiene la propiedad P . Las cinco propiedades que hemos enunciado sobre los n´meros naturales se uconocen como axiomas de Peano (aunque no son axiomas, sino teoremas denuestra pel´ıcula). Peano cre´ y muchos matem´ticos siguen creyendo actual- ıa, amente, que determinan completamente al conjunto N de los n´meros naturales, uen el sentido de que no puede haber m´s que un conjunto que cumpla esas cinco apropiedades. Esto es cierto si, por “conjunto”, entendemos “conjunto interno”,es decir, un conjunto de los que forman parte de nuestra pel´ ıcula.

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