Your SlideShare is downloading. ×
Konsep dan Terapan Matriks
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Konsep dan Terapan Matriks

314
views

Published on

this article describes about matrix concept in advanced mathematics topic

this article describes about matrix concept in advanced mathematics topic

Published in: Education

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
314
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Matematika Teknik (3 sks) Dosen: Ir. Sihar, MT. Departemen Sistem Komputer Fak. Teknik Bandung 2002 Referensi: [1]. ___Bahan kuliah Matematika Teknik, Departemen Elektroteknik, FT-ITB. 1996. [2]. Bird, J. Higher Engineering Mathematics, sixth-edition. Elsevier. 2010 [3]. Schildt, H. Turbo C/C++: The Complete Reference. Osborne Publishing. 1992. [4]. Strang, G. CALCULUS. MIT. 2009. [5]. Wrede, R.C., Spiegel, M. Theory and Problems of Advanced Calculus, second edition. Schaum's Outlines. McGraw-Hill. 2002. MATRIKS Matriks adalah sejumlah elemen-elemen yang tersusun secara indeks mulai dari 0 atau 1 pada dimensi kolom dan baris, dan biasanya setiap ukurannya disebut dengan ordo; ordo matriks terdiri dari baris x kolom. Misalkan matriks dengan ordo 2 x 3, artinya matriks tsb. terdiri dari 2-baris dan 3kolom. Skema umum matriks ditunjukkan sbb: kolom 1 kolom 2 kolom 3 kolom 4 baris 1 s[0][0] s[0][1] s[0][2] s[0][3] baris 2 s[1][0] s[1][1] s[1][2] baris 3 s[2][0] s[2][1] baris 4 s[3][0] s[3][1] ... ... baris i s[i][0] s[i][1] kolom j s[2][3] ... s[2][j] s[3][2] s[3][3] ... s[3][j] ... s[i][j] s[i][3] s[1][j] ... s[i][2] ... s[2][2] ... s[0][j] s[1][3] ... ... Contoh sintaks pemrograman pengurangan matriks: #include<iostream.h> void main() { int i,j; float z2[2][3],A[2][3]={ 2,-1.8,2, 3,-1,-8.3 }; float B[2][3]={ 2.1,-1.7,-2, 0.3,-1,-8 }; Halaman | 1 Ir. Sihar, MT. – Dept. SK
  • 2. cout << "Pengurangan Matriks =n"; for(i=0;i<2;i++) { for(j=0;j<3;j++) { z2[i][j]=A[i][j]-B[i][j]; } } for(i=0;i<2;i++) { for(j=0;j<3;j++) { cout << " " << z2[i][j]; } cout << endl; } } Penjelasan: 2 െ1.8 2 2.1 െ1.7 െ2 െ0.1 െ0.1 4 ቂ ቃെቂ ቃൌቂ ቃ 3 െ1 െ8.3 0.3 െ1 െ8 2.7 0 െ0.3 Contoh sintaks pemrograman perkalian matriks: #include<iostream.h> void main() { int i,j,k; float z2[2][4],A[2][3]={ 2,-1.8,2, 3,-1,-8.3 }; float B[3][4]={ 2.1,-1.7,-2,1.1, 0.3,-1.2,-8,-1.1, 0.3,-1,-0.8,-0.1 }; cout << "Perkalian Matriks =n"; for(i=0;i<2;i++) { for(k=0;k<4;k++) { z2[i][k]=0; for(j=0;j<3;j++) { z2[i][k]+=A[i][j]*B[j][k]; } } } for(i=0;i<2;i++) { for(k=0;k<4;k++) { cout << " " << z2[i][k]; } cout << endl; } } Penjelasan: Perkalian dan pembagian matriks harus memenuhi syarat sbb: ada dua matriks, A dan B, maka untuk A dan B dapat dikali atau dibagi, jika dan hanya jika jumlah kolom A == jumlah baris B 2.1 െ1.7 െ2 1.1 2 െ1.8 2 ቂ ቃ ൈ ൥0.3 െ1.2 െ8 െ1.1 ൩ 3 െ1 െ8.3 0.3 െ1 െ0.8 െ0.1 Halaman | 2 Ir. Sihar, MT. – Dept. SK
  • 3. ൤ ሺ2ሻሺ2.1ሻ ൅ ሺെ1.8ሻሺ0.3ሻ ൅ ሺ2ሻሺ0.3ሻ ሺ3ሻሺ2.1ሻ ൅ ሺെ1ሻሺ0.3ሻሺെ8.3ሻሺ0.3ሻ ሺ2ሻሺെ1.7ሻ ൅ ሺെ1.8ሻሺെ1.2ሻ ൅ ሺ2ሻሺെ1ሻ ሺ2ሻሺെ2ሻ ൅ ሺെ1.8ሻሺെ8ሻ ൅ ሺ2ሻሺെ0.8ሻ ሺ3ሻሺെ1.7ሻ ൅ ሺെ1ሻሺെ1.2ሻ ൅ ሺെ8.3ሻሺെ1ሻ ሺ3ሻሺെ2ሻ ൅ ሺെ1ሻሺെ8ሻ ൅ ሺെ8.3ሻሺെ0.8ሻ 4.26 െ3.24 8.8 3.98 ቂ ቃ 3.51 4.4 8.64 5.23 ሺ2ሻሺ1.1ሻ ൅ ሺെ1.8ሻሺെ1.1ሻ ൅ ሺ2ሻሺെ0.1ሻ ൨ ሺ3ሻሺ1.1ሻ ൅ ሺെ1ሻሺെ1.1ሻሺെ8.3ሻሺെ0.1ሻ Vektor merupakan salah satu pencabangan matriks, oleh sebab vektor (vector) bisa disebutkan sebagai matriks dengan ordo 2x1. െ2 Contoh: A ቀ ቁ ⇒ vektor A dengan isi elemen: A11=-2 ; A12=3 3 Contoh perkalian matriks dan vektor: 1 െ1 െ0.5 ൥െ2.5 െ2൩ ൈ ቂ ቃ 2 െ1 4 ሺ1ሻሺെ0.5ሻ ൅ ሺെ1ሻሺ2ሻ ቎ሺെ2.5ሻሺെ0.5ሻ ൅ ሺെ2ሻሺ2ሻ቏ ሺെ1ሻሺെ0.5ሻ ൅ ሺ4ሻሺ2ሻ െ2.5 ൥െ2.75൩ 8.5 െ2.5 Didapatkan vektor baru: ൥െ2.75൩ 8.5 Jika A dan B adalah dua matriks dengan ordo m1 x n1 dan m2 x n2, maka A x B ≠ B x A namun dapat dikerjakan apabila m1=n2 dan m2=n1. Contoh: A=ሾെ1 1 2ሿ െ2 B=൥ 3 ൩ 1 Maka: A x B sbb: ሾሺെ1ሻሺെ2ሻ ൅ ሺ1ሻሺ3ሻ ൅ ሺ2ሻሺ1ሻሿ = ሾ7ሿ Sintaksnya sbb: #include<iostream.h> void main() { int i,j,k; float z2[1][1],A[1][3]={ -1,1,2, }; float B[3][1]={ -2, 3, 1 }; cout << "Perkalian Matriks =n"; for(i=0;i<1;i++) { for(k=0;k<1;k++) { z2[i][k]=0; for(j=0;j<3;j++) { z2[i][k]+=A[i][j]*B[j][k]; } } Halaman | 3 Ir. Sihar, MT. – Dept. SK
  • 4. } for(i=0;i<1;i++) { for(k=0;k<1;k++) { cout << " " << z2[i][k]; } cout << endl; } } Dan B x A sbb: ሺെ2ሻሺെ1ሻ ሺെ2ሻሺ1ሻ ሺെ2ሻሺ2ሻ 2 െ2 െ4 ሺ3ሻሺ1ሻ ሺ3ሻሺ2ሻ ቏ ൌ ൥െ3 3 ቎ ሺ3ሻሺെ1ሻ 6൩ ሺ1ሻሺെ1ሻ ሺ1ሻሺ1ሻ ሺ1ሻሺ2ሻ െ1 1 2 Sintaksnya sbb: #include<iostream.h> void main() { int i,j,k; float z2[3][3],A[1][3]={ -1,1,2, }; float B[3][1]={ -2, 3, 1 }; cout << "Perkalian Matriks =n"; for(i=0;i<3;i++) { for(k=0;k<3;k++) { z2[i][k]=0; for(j=0;j<1;j++) { z2[i][k]+=B[i][j]*A[j][k]; } } } for(i=0;i<3;i++) { for(k=0;k<3;k++) { cout << " " << z2[i][k]; } cout << endl; } } Penjelasan: Dapat disimpulkan dua matriks A dan B dapat saling dikalikan akan menghasilkan masing-masing matriks bujursangkar. Untuk pembagian matriks dapat dijelaskan sebagai berikut: Jika A.K = 1 ; dimana 1 dalam matriks disebut sebagai matriks identitas dengan anggota/elemen sbb: 1 0 ቂ ቃ 0 1 ଵ Maka K = = A-1 ⇒ invers-A ; dengan catatan masing-masing A dan K merupakan matriks ஺ bujursangkar, yakni jumlah baris dan kolom adalah sama atau dengan kata lain masing-masing matriks memiliki ordo yang sama. Untuk mencari invers dari suatu matriks dilakukan sbb: Halaman | 4 Ir. Sihar, MT. – Dept. SK
  • 5. െ1 െ1 1 0 ቃ maka I = ቂ ቃ sehingga: 1 2 0 1 ݇ ݇ଵଶ െ1 െ1 1 0 ቂ ቃ x ൤ ଵଵ ൨=ቂ ቃ ݇ଶଵ ݇ଶଶ 1 2 0 1 sehingga dapat dikerjakan sbb: (-1)(k11)+(-1)(k21) = 1 (-1)(k12)+(-1)(k22) = 0 A.K = 1 ; jika A = ቂ (1)(k11)+(2)(k21) = 0 (1)(k12)+(2)(k22) = 1 Dilakukan proses eliminasi sbb: -k21 + 2k21 = 1 ⇒ k21=1 ; k11=-2 dan -k22 + 2k22 = -1 ⇒ k22=1 ; k12=-1 െ2 െ1 Sehingga didapatkan, K = ቂ ቃ 1 1 Teknik dan metode lain dapat dilakukan dengan rumus: Pembuktian: ଵ െ1 െ1 2 1 െ2 െ1 A= ቂ ቃ ; maka ‫ିܣ‬ଵ ൌ ሺିଶିሺିଵሻሻ ቂ ቃൌቂ ቃ ... terbukti ☺ 1 2 െ1 െ1 1 1 Disebutkan matriks transponse, apabila elemen baris ke-i menjadi kolom ke-i; misalkan diketahui െ2 1 െ2 0 2 suatu matriks Z = ൥ 0 െ1൩ maka ZT = ቂ ቃ ; sehingga bisa disimpulkan jika Z dengan 1 െ1 0 2 0 T ordo 3x2, maka Z = matriks dengan ordo 2x3. Determinan suatu matriks 3x3 dapat dicari dengan cara berikut ini: െ1 1 2 െ1 1 2 A = ൥ 2 0 െ2൩ ⇒ det-A = อ 2 0 െ2อ = -1[(0)(2)-(-2)(1)] – 1[(2)(2)-(-2)(1)] + 2[(2)(1)-(0)(1)] 1 1 2 1 1 2 det-A = -1(2) – 1(6) + 2(2) = -4 Dengan demikian, dapat dirumuskan sbb: ‫ݖ ݕ ݔ‬ Jika A = ൥ܽ ܾ ܿ ൩ , maka: ݀ ݁ ݂ det-A = x[(b)(f)-(c)(e)] – y[(a)(f)-(c)(d)] + z[(a)(e)-(b)(d)] Berikut sintaks pemrogramannya: #include<iostream.h> void main() { int i,j,A[3][3]; Halaman | 5 Ir. Sihar, MT. – Dept. SK
  • 6. for(i=0;i<3;i++) { for(j=0;j<3;j++) { cout << "A[" << i+1 << "][" << j+1 << "]: "; cin >> A[i][j]; } } cout << endl; for(i=0;i<3;i++) { for(j=0;j<3;j++) { cout << A[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << "ndet-A = "; cout << A[0][0]*((A[1][1]*A[2][2])-(A[1][2]*A[2][1]))A[0][1]*((A[1][0]*A[2][2])-(A[1][2]*A[2][0]))+A[0][2]*((A[1][0]*A[2][1])(A[1][1]*A[2][0])); } Matriks juga dapat digunakan untuk mencari variabel pada persamaan linier dengan n-variabel. Misalkan: x + 2y + 3z = 1 2x – y + z = 0 x + y – 2z = -1 Maka ketiga persamaan ini dapat ditransformasikan ke dalam bentuk perkalian matriks terhadap vektor sbb: ‫ݔ‬ 1 2 3 1 ൥2 െ1 1 ൩ ‫ ݔ‬ቈ‫ ݕ‬቉ ൌ ൥ 0 ൩ ‫ݖ‬ 1 1 െ2 െ1 Demikian juga: x–y=2 -4x + y = 1 Maka, jika ditransformasikan ke dalam bentuk perkalian matriks terhadap vektor adalah sbb: ‫ݔ‬ 1 െ1 2 ቂ ቃ ‫ ݔ‬ቂ‫ݕ‬ቃ ൌ ቂ ቃ െ4 1 1 yakni: AxK=Z Untuk mencari nilai-eigen A dilakukan dengan cara sbb: 1 െ ߣ െ1 ቚ ቚ ⇒ (1-λ)(1-λ) – (-1)(-4) = 0 ; (1-2λ+λ2) – 4 = 0 ; -3 – 2λ + λ2 െ4 1 െ ߣ 2 Maka: λ – 2λ – 3 ⇔ (λ-3)(λ+1) = 0 λ1 = 3 dan λ2 = -1 Halaman | 6 Ir. Sihar, MT. – Dept. SK