Nevienadibas un sistemas_teorija

516 views
265 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
516
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Nevienadibas un sistemas_teorija

  1. 1. Līga Blumfelde, Liepājas 15.vidusskola Nevienādības, nevienādību sistēmas. Aplūkosim uzdevumu. Cilvēks, kurš vēlas uzsāk savu uzņēmējdarbību vēlas noskaidrot pēc cik ilga laika viņaieguldītais darbs un līdzekļi nesīs peļņu. Viņš plāno savā uzņēmumā ražot skaidu granulas, kurastiks izmantotas apkurei. Neatkarīgi no saražoto granulu daudzuma (kg), fiksētas ražošanas izmaksas ir Ls 1500.Viena kilograma ražošanas izmaksas ir Ls 0,08. Uzņēmums skaidru briketes pārdos pircējam parLs 0,12 kilogramā. Lai noskaidrotu pēc cik ilga laika uzņēmums varētu sākt gūt peļņu, nepieciešamsnoskaidrot, cik kilogramu skaidu brikešu jāsaražo? Vēl uzņēmumam ir svarīgi, lai kopējāsražošanas izmaksas nepārsniegtu Ls 9000, bet peļņa būtu lielāka par Ls 1000. Izveidosim situācijas matemātisko moduli. Ja saražoto vienības daudzumu pazīme ar x, tad ražošanas kopējās izmaksas var uzrakstītkā argumenta x funkciju I ( x) = 1500 + 0,08 ⋅ x , bet realizācijas ieņēmumus raksturo argumenta xfunkcija R ( x ) = 0,12 ⋅ x . Peļņa tiks gūta tad, ja ieņēmumi būs lielāki par ražošanas izmaksām. Proti, R ( x) > I ( x) jeb 0,12 x >1500 + 0,08 x Esam sastādījuši lineāru nevienādību. Lai noskaidrotu cik kilogrami skaidu brikešujāsaražo (apzīmēts ar x), jāatrisina sastādītā lineārā nevienādība. 0,12 x >1500 +0,07 x 0,12 x −0,08 x >1500 0,04 x >1500 x >1500 : 0,04 x >37500 Pēc atrisinātās lineārās nevienādības redzams, ka uzņēmumam, lai gūtu peļņu ir jāsaražovismaz 37500 kg skaidu brikešu. Jāatceras, ka peļņa ir starpība starp ieņēmumiem un izdevumiem, tas nozīme, ka arī peļņuP ( x ) var uzrakstīt kā argumenta x funkciju. P( x) = R( x ) − I ( x) P ( x) = 0,12 x − (1500 + 0,08 x) = 0,12 −1500 − 0,08 x = 0,04 x −1500
  2. 2. Tā kā uzņēmums vēlas, lai izdevumi vienlaikus nepārsniegtu Ls 9000 un peļņa būtulielāka par Ls 1000, tad vienlaikus jāizpildās diviem nosacījumiem:  I ( x) ≤ 9000  1500 + 0,08x ≤ 9000  jeb   P( x) > 1000  0,04 x − 1500 > 1000 Ir sastādīta nevienādību sistēma, kuras risinājums ir:  150 + 0,08x ≤ 90 0  x ≤ 143750  ⇒ jeb x ∈(62500;143750]  0,04x − 150 > 10 0  x > 6250 Tātad uzņēmuma ir jāsaražo vismaz 62501 kg un ne vairāk kā 143750 kg skaidu brikešu,lai realizētu savas vēlmes. Lai atrisinātu doto uzdevumu bija jāatrisina: • nevienādība R ( x) > I ( x) ;  I ( x) ≤ 9000 • nevienādību sistēma  .  P( x) > 1000 Divas mainīgā x izteiksmes A( x ) un B ( x ) , kas savienotas ar vienu no zīmēm >, <vai ≥ ≤ veido viena mainīgā nevienādību. , Nevienādības atrisinājumu kopu veido visas tās mainīgā x vērtības, kuras ievietojotnevienādībā iegūst pareizu skaitlisku nevienādību.  Ievēro! Atrisināt nevienādību nozīmē atrast visus tās atrisinājumus.  Piemērs. Nevienādībai 12 x + 55 > x ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, un tās atrisinājumu kopa irskaitļu intervāls x ∈( −5;+∞) 12 x +55 > x 12 x − x > −55 11x > − 55 x >− 5
  3. 3. Ievietojot jebkuru skaitli no intervāla (− ;+ ) dotajā nevienādībā, iegūst pareizu 5 ∞skaitlisku nevienādību.  Atceries! Nevienādību, kuras vispārīgais veids ir ax 2 + bx + c < 0 (arī >, ≥ ≤), kur a, ,b, c ir reāli skaitļi un a ≠ 0 , bet x ir mainīgais, sauc par kvadrātnevienādību.
  4. 4.  Piemēri. 1) − 2 x 2 + 3 x − 1 < 0 Atrod atbilstošā kvadrātvienādojuma saknes (ja tādas ir). − 2 x 2 + 3x − 1 = 0 D = b 2 − 4ac a =−2 −b + D x1 = b =3 2a c =−1 −b − D x2 = 2a  Atceries! Ja D > 0 , tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Ja D = 0 , tad kvadrātvienādojumam ir viena saknes. (divas saknes, bet abas vienādas) Ja D < 0 , tad kvadrātvienādojumam nav sakņu. D = 3 2 − 4 ⋅ ( −2) ⋅ ( −1) = 9 − 8 = 1 − 3 + 1 − 3 +1 − 2 1 x1 = = = = 2 ⋅ ( −2) −4 −4 2 − 3 − 1 − 3 −1 − 4 x2 = = = =1 2 ⋅ ( −2) −4 −4 Saknes atliek uz skaitļu stara un uzskicē atbilstošu parabolu, ievērojot zaru vērsumu.  Atceries! Ja a > 0 , tad parabolas zari vērsti uz augšu. Ja a < 0 , tad parabolas zari vērsti uz leju. Noskaidro funkcijas vērtību zīmes skaitļu intervālos. Pēc dotās kvadrātnevienādības nosaka, kādas vērtības ir nepieciešamas (pozitīvās vainegatīvās). Negatīvās vērtības, ja nevienādība < 0 . Pozitīvās vērtības, ja nevienādība > 0 . + /////////// ///////// − − x 1 1 2  1 Atbilde. x ∈  − ∞;  ∪ (1;+∞)  2 2) 4 x 2 + x + 2 ≥ 0 4x 2 + x + 2 = 0
  5. 5. a =4 b =1 c =2 D = 12 − 4 ⋅ 4 ⋅ 2 = 1 − 32 = −31 D = −31 < 0 , kvadrātvienādojumam 4 x 2 + x + 2 = 0 sakņu nav, tas nozīmē, ka grafiksnekrusto x asi. + ////////////////////////////////////// − x Atbilde. x ∈( −∞ +∞) ; Nevienādību sistēmas ar vienu mainīgo atrisinājumu kopa sastāv tikai no tām mainīgāvērtībām, kas pieder katras sistēmā ietvertās nevienādības atrisinājumu kopai. Tāpēc nevienādību sistēmas atrisinājumu kopa ir atsevišķo nevienādību atrisinājumukopu šķēlums.  Piemērs.  x 2 − 4x − 5 ≥ 0 Atrisināt nevienādību sistēmu  .  4x − 4 > 2 + 7 x Atrisina katru nevienādību atsevišķi un atrod nevienādības atrisinājumu. x 2 − 4x − 5 ≥ 0 4 x −4 > 2 +7 x 4 x −7 x > 2 + 4 x 2 − 4x − 5 = 0 −3 x > 6 : ( −3) x1 = 5 x <−2 x 2 = −1 + + ///////////////////// ///////// ///////// x −1 5 x −2 − ( − ;− ) ∞ 2 ( − ;− ] ∪ 5;+ ) ∞ 1 [ ∞ Nevienādību sistēmas atrisinājums ir intervālu ( − ;− ] ∪[5;+ ) un ( − ;− ) ∞ 1 ∞ ∞ 2šķēlums (kopīgā daļa). /////////////////////////// ////////////// /////////////////// x −2 −1 5
  6. 6. Atbilde. x ∈( − ;− ) ∞ 2  Atceries! Ja nevienādības abas puses dala ar negatīvu skaitli, tad nevienādības zīme mainās uzpretējo. −3x > 6 : (− ) 3 x < −2
  7. 7. Atbilde. x ∈( − ;− ) ∞ 2  Atceries! Ja nevienādības abas puses dala ar negatīvu skaitli, tad nevienādības zīme mainās uzpretējo. −3x > 6 : (− ) 3 x < −2

×