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Vettori
 

Vettori

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descrive vettori e relative operaz

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  • Le grandezze fisiche si possono distinguere in grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze scalari sono completamente determinate da un numero che ne esprime la misura in una certa scala ed eventualmente da un segno positivo o negativo. Per esempio la lunghezza, la massa, il tempo e la temperatura sono grandezze scalari. Le grandezze vettoriali, o semplicemente i vettori, invece non sono completamente determinate dalla misura. Esse infatti sono caratterizzate, oltre che dalla misura (detta anche intensità o modulo del vettore), anche da altri due elementi: la direzione e il verso. Consideriamo come esempio la posizione occupata da un punto materiale in un certo istante rispetto ad un punto fisso indicato con la lettera “O” nello spazio x, y,z . L’informazione che ci viene data dalla misura non basta a definire la posizione di un punto materiale nello spazio, infatti sapere che il punto materiale si trova a 2m di distanza dal punto fisso O ci dice solo che il punto materiale potrebbe trovarsi in un qualsiasi punto di una superficie sferica con centro in O e raggio di 2m. Se conosciamo anche la direzione in cui si trova il punto, le sue posizioni possibili si riducono ad essere due ovvero i punti A e A’ in cui la retta che individua la direzione interseca la sfera Per determinare in maniera univoca la posizione del punto e’ necessario sapere il verso col quale percorrere la retta su cui si trova a partire dal punto fisso O.
  • Le Grandezze vettoriali o vettori sono graficamente rappresentate da segmenti orientati. Il punto in cui inizia la freccia e’ detto un’origine del vettore mentre quello in cui termina e’ detto coda del vettore. I segmenti orientati hanno direzione e verso coincidenti con quelli della grandezza vettoriale rappresentata e lunghezza proporzionale al suo modulo rispetto ad una scala di misura fissata ad arbitrio. I vettori di modulo unitario si dicono versori. Se il segmento di lunghezza u rappresenta l’unita della scala di misura delle lunghezze, il segmento orientato di lunghezza u con direzione e verso corrispondente a quello della grandezza vettoriale da rappresentare rappresenta il versore che individua l’unita di misura del vettore preso in considerazione. Supponiamo di voler rappresentare il vettore posizione a. di modulo pari a 4u e direzione verso individuati dal versore u. Il vettore a e’ rappresentato dal segmento orientato avente una lunghezza pari a 4 volte quella dell’elementino u, la direzione del vettore individuata dalla retta r giace il segmento orientato e il verso del vettore. Una lettera sormontata da una freccia e’ uno dei modi piu utilizzati per indicare la rappresentazione di un vettore, ma ve ne sono diversi altri, alcune volte vengono indicati gli estremi del segmento orientato sormontati da una freccia oppure semplicemente una lettera in grossetto.
  • La rappresentazione grafica delle grandezze vettoriali permette di utilizzare dei metodi grafici per effettuare alcune operazioni elementari tra vettori. Supponiamo di voler sommare i due vettori a e b rappresentati in figura. E’ possibile rappresentare il vettore somma (detto anche vettore risultante) in due diversi modi seguendo due metodi diversi, il metodo punta-coda e il metodo del parallelogramma Col Metodo Punta-Coda si fa coincidere l’origine del vettore b con l’estremo del vettore a; il segmento orientato avente l’origine coincidente con l’origine del vettore a e l’estremo coincidente con l’estremo del vettore b rappresenta il vettore risultante. Col Metodo del Parallelogramma si fa coincidere l’origine del vettore b con l’origine del vettore a e si costruisce il parallelogramma avente come lati quelli individuati dai due vettori a e b; il vettore risultante e’ rappresentato dal segmento orientato avente la stessa origine di a e b e coincidente con la diagonale maggiore del parallelogramma cosi costruito. E’ importante osservare che in generale il modulo del vettore risultante non e’ uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi a e b. Dal modo in cui e’finita la somma, infatti, i moduli dei vettori componenti e del vettore risultante corrispondono alle misure dei lati di un triangolo e per una proprietà dai triangoli si ha che in generale il modulo della somma di due vettori

Vettori Vettori Presentation Transcript

  • I vettori
    • Grandezze scalari:
      • vengono definite dal loro valore numerico
      • esempi: lunghezza di un segmento, area di una figura piana, temperatura di un corpo, ecc.
    • Grandezze vettoriali
      • vengono definite, oltre che dal loro valore numerico, da una direzione e da un verso
      • esempi: velocità di un corpo, forza agente su un corpo, ecc.
  • Grandezze scalari e grandezze vettoriali
    • Grandezze vettoriali o vettori
    misura (detta anche intensità o modulo) direzione verso
    • Grandezze scalari
    misura (valore numerico + unità di misura) Esempi : lunghezza, tempo, massa, temperatura Esempio: posizione di un punto materiale in un certo istante rispetto ad un punto fisso O O A x y z A A A’
  • Rappresentazione dei vettori I vettori sono rappresentati da segmenti orientati aventi direzione e verso della grandezza vettoriale rappresentata e lunghezza proporzionale al modulo rispetto ad una scala di misura fissata ad arbitrio
    • una lettera sormontata da una freccia
    • gli estremi del segmento sormontati da una freccia
    • una lettera in grassetto
    I vettori si possono indicare in diversi modi: I vettori di modulo unitario si dicono versori r u u
  •  
  • Operazioni elementari con i vettori - i metodi grafici - Somma Il vettore somma ha come primo estremo la coda di a e come secondo estremo la punta di b Il vettore somma è rappresentato dal segmento orientato AC del parallelogramma Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma IN GENERALE il modulo del vettore somma NON è uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi, si può solo dire che è sempre minore o uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi e maggiore o uguale alla loro differenza È importante osservare che A B D C
  • Vettori nel piano O x y A B A’ B’ A’’ B’’ φ componente v x = lunghezza di A’B’ componente v y = lunghezza di A’’B’’ modulo di = lunghezza del segmento AB la direzione di è definita dall’angolo φ
  • Versori versore = vettore di lunghezza unitaria î î (1,0) = versore dell’asse x ĵ ĵ(0,1) = versore dell’asse y x y 0
  • Prodotto di un vettore per uno scalare Dati uno scalare c ed un vettore v , si definisce il prodotto u=cv . Il vettore u è parallelo a v . Il modulo di u è dato da: Il verso di u è lo stesso di v se c>0 , è opposto a quello di v se c<0
  • Somma di due vettori c x c y θ a x b x a y b y x y 0 a b c Il vettore somma c=a+b è la diagonale del parallelogramma avente per lati i vettori a e b
  • Differenza di due vettori La differenza a - b si calcola sommando al vettore a il vettore -b , opposto del vettore b x y 0 a b -b c = a - b
  • Somma di N vettori
    • Dati i vettori a 1 , a 2 , ... , a N il vettore somma b = a 1 +a 2 + ... +a N si calcola nel modo seguente:
    • si costuisce la spezzata formata dai vettori a 1 , a 2 , ..., a N
    • si congiungono i due estremi liberi di tale spezzata
    x y 0 a 1 a 2 a 3 a 4 b
    • Definiamo i vettori spostamento
    • Lo spostamento finale è la somma dei tre
    • Per tornare alla casa, lo spostamento totale e’:
    • Con modulo:
    (km) E: Un robot parte da una base militare e cammina per 4.0 km a N, per 3.5 km a E, per 2.7 km a SE. In che direzione deve muoversi, e per che distanza deve camminare per tornare alla stessa base?
  • Scomposizione di un vettore lungo due direzioni orientate r ed s r s Determinare due vettori v r e v s paralleli rispettivamente a r ed s e tali che v = v r + v s v Dall’estremo libero di v si mandano la parallela a r verso s e la parallela a s verso r . Restano così definiti i vettori v r e v s v r v s
  • Scomposizione lungo gli assi cartesiani Si tratta di un caso particolare di scomposizione, lungo le direzioni ortogonali degli assi cartesiani v x î v y ĵ x y v
  • Vettori nello spazio z x y v x î v y ĵ θ φ v v z k ^ La direzione di v risulta definita dagli angoli θ e φ
  • Prodotto scalare bcos α acos α Dati due vettori a e b , il prodotto scalare tra a e b è una grandezza scalare definita nel modo seguente: a b α Il prodotto scalare tra a e b è un numero che è pari al prodotto del modulo di a per la componente di b lungo la direzione di a Ovviamente il prodotto scalare a · b è anche pari al prodotto del modulo di b per la componente di a lungo la direzione di b
  • Prodotto scalare in componenti cartesiane Tenendo conto del fatto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, si ha che: Di conseguenza, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha: Caso particolare: b = a
  • Prodotto vettoriale
    • Dati due vettori a e b , il prodotto vettoriale c = a × b è un vettore che gode delle proprietà seguenti:
    • il modulo di c è dato da absin θ , dove θ è l’angolo minore di 180° compreso tra a e b
    • la direzione di c è perpendicolare al piano individuato da a e b
    • il verso di c è calcolato applicando la regola della mano destra
    a b c θ
  • La regola della mano destra
    • Prima formulazione
      • Si dispone il pollice lungo il primo vettore
      • Si dispone l’indice lungo il secondo vettore
      • Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale
    • Seconda formulazione
      • Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice
      • Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l’angolo θ di rotazione sia minore di 180°
      • Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale
    a b a × b a b a × b
  • Proprietà del prodotto vettoriale
    • Il modulo del prodotto vettoriale è pari all’area del parallelogramma individuato dai due vettori
    • Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli ( θ =0)
    • Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa:
    a b θ
  • Prodotto vettoriale in componenti cartesiane Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si hanno le seguenti relazioni: Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha che:
  • Posizione di un punto nello spazio x î y ĵ In coordinate cartesiane, se P(x,y) il vettore posizione è dato da: Una volta fissato un sistema di riferimento nello spazio, la posizione di un qualsiasi punto P dello spazio è individuata tramite il vettore posizione , ossia il vettore r che congiunge l’ origine con il punto P x O y P r
  • Posizione in coordinate polari û r = versore nella direzione radiale û φ = versore perpendicolare a û r nella direzione delle φ crescenti I versori û r e û φ dipendono dalla posizione del punto P !!! asse polare O P φ r û r û φ La posizione di P è sempre data dal vettore posizione r Il vettore posizione r è ora espresso in termini dei versori û r e û φ