Cinematica moti nonunidimensionali

  • 2,142 views
Uploaded on

descrive la cinematica dei moti nonunidimensionali

descrive la cinematica dei moti nonunidimensionali

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
2,142
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
34
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide
  • Le grandezze fisiche si possono distinguere in grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le grandezze scalari sono completamente determinate da un numero che ne esprime la misura in una certa scala ed eventualmente da un segno positivo o negativo. Per esempio la lunghezza, la massa, il tempo e la temperatura sono grandezze scalari. Le grandezze vettoriali, o semplicemente i vettori, invece non sono completamente determinate dalla misura. Esse infatti sono caratterizzate, oltre che dalla misura (detta anche intensità o modulo del vettore), anche da altri due elementi: la direzione e il verso. Consideriamo come esempio la posizione occupata da un punto materiale in un certo istante rispetto ad un punto fisso indicato con la lettera “O” nello spazio x, y,z . L’informazione che ci viene data dalla misura non basta a definire la posizione di un punto materiale nello spazio, infatti sapere che il punto materiale si trova a 2m di distanza dal punto fisso O ci dice solo che il punto materiale potrebbe trovarsi in un qualsiasi punto di una superficie sferica con centro in O e raggio di 2m. Se conosciamo anche la direzione in cui si trova il punto, le sue posizioni possibili si riducono ad essere due ovvero i punti A e A’ in cui la retta che individua la direzione interseca la sfera Per determinare in maniera univoca la posizione del punto e’ necessario sapere il verso col quale percorrere la retta su cui si trova a partire dal punto fisso O.
  • Le Grandezze vettoriali o vettori sono graficamente rappresentate da segmenti orientati. Il punto in cui inizia la freccia e’ detto un’origine del vettore mentre quello in cui termina e’ detto coda del vettore. I segmenti orientati hanno direzione e verso coincidenti con quelli della grandezza vettoriale rappresentata e lunghezza proporzionale al suo modulo rispetto ad una scala di misura fissata ad arbitrio. I vettori di modulo unitario si dicono versori. Se il segmento di lunghezza u rappresenta l’unita della scala di misura delle lunghezze, il segmento orientato di lunghezza u con direzione e verso corrispondente a quello della grandezza vettoriale da rappresentare rappresenta il versore che individua l’unita di misura del vettore preso in considerazione. Supponiamo di voler rappresentare il vettore posizione a. di modulo pari a 4u e direzione verso individuati dal versore u. Il vettore a e’ rappresentato dal segmento orientato avente una lunghezza pari a 4 volte quella dell’elementino u, la direzione del vettore individuata dalla retta r giace il segmento orientato e il verso del vettore. Una lettera sormontata da una freccia e’ uno dei modi piu utilizzati per indicare la rappresentazione di un vettore, ma ve ne sono diversi altri, alcune volte vengono indicati gli estremi del segmento orientato sormontati da una freccia oppure semplicemente una lettera in grossetto.
  • La rappresentazione grafica delle grandezze vettoriali permette di utilizzare dei metodi grafici per effettuare alcune operazioni elementari tra vettori. Supponiamo di voler sommare i due vettori a e b rappresentati in figura. E’ possibile rappresentare il vettore somma (detto anche vettore risultante) in due diversi modi seguendo due metodi diversi, il metodo punta-coda e il metodo del parallelogramma Col Metodo Punta-Coda si fa coincidere l’origine del vettore b con l’estremo del vettore a; il segmento orientato avente l’origine coincidente con l’origine del vettore a e l’estremo coincidente con l’estremo del vettore b rappresenta il vettore risultante. Col Metodo del Parallelogramma si fa coincidere l’origine del vettore b con l’origine del vettore a e si costruisce il parallelogramma avente come lati quelli individuati dai due vettori a e b; il vettore risultante e’ rappresentato dal segmento orientato avente la stessa origine di a e b e coincidente con la diagonale maggiore del parallelogramma cosi costruito. E’ importante osservare che in generale il modulo del vettore risultante non e’ uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi a e b. Dal modo in cui e’finita la somma, infatti, i moduli dei vettori componenti e del vettore risultante corrispondono alle misure dei lati di un triangolo e per una proprietà dai triangoli si ha che in generale il modulo della somma di due vettori

Transcript

  • 1. CINEMATICA Moti nel piano
  • 2. Grandezze scalari e grandezze vettoriali
    • Grandezze vettoriali o vettori
    misura (detta anche intensità o modulo) direzione verso
    • Grandezze scalari
    misura (valore numerico + unità di misura) Esempi : lunghezza, tempo, massa, temperatura Esempio: posizione di un punto materiale in un certo istante rispetto ad un punto fisso O O A x y z A A A’
  • 3. Rappresentazione dei vettori I vettori sono rappresentati da segmenti orientati aventi direzione e verso della grandezza vettoriale rappresentata e lunghezza proporzionale al modulo rispetto ad una scala di misura fissata ad arbitrio
    • una lettera sormontata da una freccia
    • gli estremi del segmento sormontati da una freccia
    • una lettera in grassetto
    I vettori si possono indicare in diversi modi: I vettori di modulo unitario si dicono versori r u u
  • 4. Operazioni elementari con i vettori - i metodi grafici - Somma Il vettore somma ha come primo estremo la coda di a e come secondo estremo la punta di b Il vettore somma è rappresentato dal segmento orientato AC del parallelogramma Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma IN GENERALE il modulo del vettore somma NON è uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi, si può solo dire che è sempre minore o uguale alla somma dei moduli dei vettori addendi e maggiore o uguale alla loro differenza È importante osservare che A B D C
  • 5. Prodotto di un vettore a con uno scalare m il vettore “ma” ha la stessa direzione di a, lo stesso verso di a o quello opposto a seconda che m sia positivo o negativo e modulo uguale al prodotto tra il numero m in valore assoluto e il modulo di a Il vettore differenza ha come primo estremo la coda di a e come secondo estremo la punta di -b Il vettore differenza è rappresentato dal segmento orientato DB del parallelogramma Metodo punta-coda Metodo del parallelogramma Differenza Esempio: A B D C
  • 6. Rappresentazione cartesiana di un vettore
    • a x e a y sono le componenti cartesiane del vettore :
    • i e j sono i versori degli assi x e y
    • α è l’angolo che il vettore forma con l’asse x
    y A 0 x
    • Note le componenti di un vettore è sempre possibile
    • Ricavarne il modulo:
    • Determinare l’angolo α :
  • 7. Il vettore spostamento B A 0 Si definisce vettore spostamento la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale
      • lo spazio percorso è una grandezza scalare corrispondente alla lunghezza del percorso compiuto tra la posizione iniziale e finale, a differenti percorsi può corrispondere lo stesso spostamento
    • In generale lo spostamento non coincide con lo spazio percorso
    B A Lo spostamento coincide con lo spazio percorso solo se il moto è rettilineo
  • 8. Il vettore velocità Il vettore velocità media ha stessa direzione e stesso verso di Δs e modulo pari a quello di Δs diviso per Δt Sia Δ s lo spostamento di un corpo nell’intervallo di tempo Δ t Il vettore velocità istantanea varia istante per istante e ha la stessa direzione della tangente alla traiettoria nella posizione occupata dal corpo nell’istante considerato ( velocità tangenziale ) Nello studio di un moto curvilineo bisogna tenere conto del fatto che in ogni istante la direzione puo essere diversa, è necessario quindi introdurre la velocità come vettore B A 0 B A 0 B A 0 B A 0 B A 0
  • 9. Il vettore accelerazione Sia Δv la variazione di velocità di un corpo nell’intervallo di tempo Δt Il vettore accelerazione media ha stessa direzione e stesso verso di Δ v e modulo pari a quello di Δ v diviso per Δ t Il vettore accelerazione istantanea varia istante per istante. Se il moto è curvilineo uniforme l’accelerazione istantanea è una accelerazione centripeta, diretta perpendicolarmente alla traiettoria
  • 10. Il moto di un proiettile Qualunque corpo lanciato lungo una certa direzione segue un moto curvilineo in due dimensioni detto moto di un proiettile Lancio diretto orizzontalmente Mentre il corpo si muove orizzontalmente, è soggetto per effetto della gravit à ad un moto verticale
    • Il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti e non si influenzano a vicenda
    • Il moto orizzontale è rettilineo uniforme
    • Il moto verticale è rettilineo uniformemente accelerato
    Sperimentalmente si può evidenziare che: x y
  • 11. Il moto di un proiettile L’ equazione che descrive la traiettoria del moto è l’equazione di una parabola simmetrica rispetto alla verticale passante per il punto di lancio , posto si ha Se v 0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t 0 =0 si ha: mentre in un generico istante t successivo a t 0 si ha: e Da cui si ottiene
  • 12. Lancio diretto secondo un angolo θ qualsiasi Il moto di un proiettile se v 0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t 0 =0 si ha: mentre in un successivo istante t si ha: L’equazione della traiettoria e’ una parabola con l’asse di simmetria spostato rispetto alla verticale passante per il punto di lancio
  • 13. Il moto di un proiettile Si definisce gittata ( R ) la massima distanza raggiunta in direzione orizzontale
    • Come si può ottenere la massima gittata possibile?
    dove t v è il tempo di volo del proiettile La gittata massima si ha in corrispondenza di sin 2θ = 1, cioè θ = 45º
  • 14. Il moto circolare uniforme o R P P(t) Il vettore spostamento angolare è definito dal la differenza: Siano r 0 il vettore posizione iniziale di P θ 0 l’angolo che r 0 forma con l’asse x r il vettore posizione finale di P θ l’angolo che r forma con l’asse x Il vettore velocità angolare media è definito da l rapporto: r 0 r θ θ 0 essendo il moto uniforme la velocità angolare istantanea è, in ogni istante, uguale alla velocità angolare media: Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive una circonferenza con velocità di modulo costante
  • 15. Il moto circolare uniforme o R P 0 P Tra il modulo dello spostamento angolare Δθ e il cammino Δ l percorso dal punto materiale sulla circonferenza di raggio R , ovvero la lunghezza dell’arco di circonferenza corrispondente, esiste la relazione: Da questa relazione è possibile ricavare la relazione tra il modulo della velocità angolare ω e il modulo della velocità tangenziale v t , infatti: Δθ Questa relazione vale solo tra i moduli dei vettori ma non tra i vettori stessi e in generale esprime la relazione tra velocita angolare istantanea e velocita tangenziale istantanea in un moto curvilineo qualsiasi IMPORTANTE
  • 16. Il moto circolare uniforme o R P 0 P Δθ L’ accelerazione media è definita dal rapporto Δv t è diretta esattamente verso il centro della circonferenza e si parla di accelerazione centripeta a c In ogni intervallo di tempo Δ t il modulo della velocità tangenziale è costante, ma direzione e verso cambiano inoltre Quando Δ t -> 0 è sempre presente una variazione di velocità Δv t e di conseguenza una accelerazione quindi
  • 17. Il moto circolare uniforme Periodo( T ): il tempo per completare un intero ciclo del moto dopo il quale il moto riassume le stesse proprietà Frequenza( ν ): il numero di cicli compiuti nell’unita di tempo, è legata al periodo dalla relazione: Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto si ripete ciclicamente, con le stesse caratteristiche, lungo la stessa traiettoria, dopo intervalli di tempo uguali
    • il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere un intero giro
    Nel moto circolare uniforme:
    • la frequenza corrisponde al numero di giri che il punto compie in un secondo ed è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:
    o R P P(t) r 0 r θ θ 0
  • 18. Il moto armonico Il moto armonico è il moto di un punto materiale che oscilla attorno ad una posizione di equilibrio ed è un altro esempio di moto periodico x la distanza dalla posizione di equilibrio, può essere una quantità positiva o negativa Spostamento o elongazione: Ampiezza (A): Il valore assoluto dello spostamento massimo dalla posizione di equilibrio Nel moto armonico:
    • il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere un’oscillazione completa
    • la frequenza corrisponde al numero di oscillazioni che il punto compie in un secondo
    o R P A B y
  • 19. Il moto armonico È il moto della proiezione su uno degli assi di un punto P che si muove di moto circolare uniforme x è l’ elongazione al tempo t ω è detta pulsazione del moto armonico ωt è la fase al tempo t dove Se si considera la proiezione orizzontale , si ha:
    • t = 0 -> x = R
    • t = T/4 -> x = 0
    • t = T/2 -> x = -R
    • t = 3T/4 -> x = 0
    • t = T -> x = R
    x o R P r ω t A B y Q t x (t) 0 T/4 T/2 3T/4 T R -R
  • 20. Il moto armonico di moto circolare uniforme, la velocità del punto che si muove di moto armonico sarà la proiezione del vettore v t sull’asse x: Se è la velocità tangenziale del punto che si muove x
    • t = 0 -> v = 0
    • t = T/4 -> v = - ω R
    • t = T/2 -> v = 0
    • t = 3T/4 -> v = + ω R
    • t = T -> v = 0
    0 ω R - ω R v (t) T/4 T/2 3T/4 T t T/4 T/2 3T/4 T o R P ω t A B y Q
  • 21. Il moto armonico Se muove di moto circolare uniforme, l’ accelerazione del punto che si muove di moto armonico sarà la proiezione del vettore sull’asse x: è l’accelerazione centripeta del punto che si Oppure, essendo :
    • t = 0 -> a = - ω 2 R
    • t = T/4 -> a = 0
    • t = T/2 -> a = ω 2 R
    • t = 3T/4 -> a = 0
    • t = T -> a = - ω 2 R
    0 ω 2 R - ω 2 R a (t) 0 T/4 T/2 3T/4 T t o R P ω t A B y Q
  • 22. Limiti della cinematica classica Il moto e’ relativo all’osservatore, variando l’osservatore cambiano le caratteristiche del moto:
  • 23. Limiti della cinematica classica
  • 24. Limiti della cinematica classica