Modelagem matemática uma prática no (1)

1. 54
a p
volume CONCRETO = ---- + +--=--- +x
MECJMENTOME AREJA ME PEDRA
(traço em massa)
I dm%vo umeCONCRETO = 2,469 k d. ., g. .e· CImento
Através da Regra de Três: 1Kg de cimento ~ 2,469 drrr'
c ~ 21,2 dm3
k=8,6@
- cimento = 8,6 Kg
- areia = 2,115 . 8,6 = 18,2 Kg
- pedra = 2,654 . 8,6 = 22,8 Kg
- água 1= 0,45 . 8,6 = 3,87 kg
- água 2= 0,50 . 8,6 = 4,30 kg
- água 3= 0,55 . 8,6 = 4,73 kg
- água 4= 0,60.8,6 = 5,16 kg
- água acrescentada = 0,05 . 8,6 = 0,430 Kg = 430g
Tabela 04: Quantidade de materiais para resolver a situação Ilroblema, em Kg.
~ICimento areia pedra I água
Traços I 1 (a) (p) (x)
Traço 1 8,6 18,2 22,8 3,87
Traço 2 8,6 18,2 22,8 4,30
Traço 3 8,6 18,2 22,8 4,73
Traço 4 8,6 18,2 22,8
I
5,16
A tabela acima mostra a idéia da situação problema. Mantendo a quantidade dos
materiais secos e acrescentando uma porção constante de água de 430 gramas para cada
situação (que significa o acréscimo de água "inconsciente" pelo operário).

2. 55
o desenvolvimento acima visou o preparo dos 12 corpos de prova pelo professor e
acadêmicos como parte da resolução da situação problema. Os sacos com materiais
previamente separados e pesados foram misturados na betoneira (máquina de preparar o
concreto) na seqüência: pedra, água, cimento e areia. Após a moldagem de cada três corpos a
betoneira era lavada e novamente misturado os materiais na mesma seqüência.
No decorrer das atividades surgiu a dúvida de quanto seria o volume de água numa
situação real, quando normalmente para o preparo do concreto para grandes quantidades se
faz tomando como padrão base o saco de 50 kg de cimento. Aproveitando a dúvida, o
professor interrogou se possuíam alguma idéia de como os operários saberiam as exatas
quantidades de materiais, sendo que na maioria das obras não é utilizada a balança. Para isso
tem-se o item a seguir.
Situação de obra
a) Normalmente em obra considera-se o saco de cimento de 50 kg, como base da
proporção. Sabe-se que para a situação acima 1 kg de cimento equivale a 430 kg de água,
então para 50 kg de cimento equivale a quanto de água?
Calcule as dimensões das caixas de materiais e o volume de água para a situação do saco de
50kg, através do traço:
1 : 2,115 : 2,654 : 0,45
Cálculos:
cimento = 1 = 50Kg
areia = valor do traço. 50 = 2,l15. 50 = 105,75 kg
pedra = valor do traço. 50 = 2,654 . 50 = 132,70 Kg
água = valor do traço. 50 = 0,45 . 50 = 22,5 Kg
• Equivale de água = acrescentada. 50 = 0,05. 50 = 2,5 Kg ( ~ 2,5 litros de água ).

3. 56
. b) Você como Engenheiro/para facilitar o andamento dos trabalhos padrorúza caixas para
o transporte dos materiais devem possuir as duas primeiras dimensões de 3
1{45cm
respectivamente, e a terceira (altura = H) deve ser calculada de acordo com o volume a ser
transportado.
135 x 45 x H I (em centímetros)
Sabendo que a MUAREIA=I,458 Kg/drrr' e MUPEDRA=1,532 Kg/drrr'{Sern considerar a
umidade da areia).
Portanto:
,.... Cimento = um saco de cimento de 50 kg:
massa
volume=---
MU
_m_a_s_s_a_= 105,75 = 7') 53dm3volume . = - _,
areia MU. 1,458
areia
massa
volume d = ---
pe ra MU
pedra
132,70 = 86 62dm3
1,532 '
Dimensões:
H caixa de areia = 72,53 -:-(3,5 x 4,5) = 46, 1 ~ 47 em
H caixa de pedra = 86,62 -:-(3,5 x 4,5) = 55,0 em
• Dimensões da caixa para areia: 35 x 45 x 47 cm
• Dimensões da caixa para pedra: 35 x 45 x 55 cm
-

4. 57
Tabela 04: Quantidade de materiais para um saco de 50 Kg.
~
cimento Areia Pedra água
(1) (a) (p) (x)
kg dnr' dnr' litros
Traço 1 50 105,75 132,70 22,5
Traço 2 50 105,75 132,70 25,0
Traço 3 50 105,75 132,70 27,5
Traço 4 50 105,75 132,70 30,0
A tabela acima mostra a idéia da situação problema da obra. Mantendo a quantidade
dos materiais secos e acrescentando uma porção constante de água de 2,5 litros para cada
situação.
Se o operário despejar 2,5 kg de água (proporcionalmente 2,5 litros de água) a mais, a
resistência do concreto terá o mesmo comprometimento da situação calculada no item
Moldagem dos corpos. Esse comprometimento será avaliado no próximo Contato.
Quarto encontro
o desenvolvimento desse encontro se deu no Laboratório de Materiais de Construção. Os
22 acadêmicos ficaram distribuídos nas quatro bancadas do laboratório. Para esse encontro
dedicou-se 4 horas para o desenvolvimento das atividades.
Os 12 corpos de prova previamente preparados permaneceram nas condições de cura
inicial durante 48 horas. Após a desforma(retirar o bloco de concreto dos moldes metálicos),
para a cura final, os corpos de prova foram conservados em água saturada de cal em
temperatura d L23 ± 2° C até o instante do ensaio. f '?.J }
Antes da realização do ensaio de compressão, os corpos de prova foram capeados com
mistura quente de enxofre e materiais granulosos (por exemplo, calcário moído), a fim que
suas faces se tornem planas e paralelas.
-

5. 58
Os acadêmicos não participaram da desfonna, pois não seria importante prevendo o tempo
gasto por essa etapa. O texto do parágrafo anterior foi lido e ao mesmo tempo mostrado os
locais e materiais utilizados para o mesmo.
Construção dos modelos matemáticos
Após a explicação dos passos anteriores foi montada a seguinte tabela no quadro de
giz. E assim foi dado inicio a ruptura dos corpos (ANEXO 05: Corpos de prova)e leitura dos
valores na Prensa Hidráulica(ANEXO 06:.Foto 05 -Prensa hidráulica com o corpo de prova).
Tabela 05: Leitura dos valores na prensa hidráulica.
Tensão de
Carga de Tensão de Tensão de
água água Corpo ruptura
Pontosruptura ruptura ruptura
X X de prova MPa-média
número
(Kgf) (Kgf/cm") (MPa)
dos valores
1 67000 379,15 37,2
0,45 0,05 2 66000 373,48 36,6 36,6 Pl
3 65000 367,82 36,1
1 54800 310,10 30,4
0,50 0,10 2 48600 275,02 27,0 28,0 P2
3 48000 271,62 26,6
1 43200 244,46 24,0
0,55 0,15 2 42700 241,63 23,7 22,7 P3
3 36800 208,24 20,4
1 33000 186,74 18,3
0,60 0,20 2 32400 183,35 18,0 17,6 P4
3 29600 167,50 16,4
Legenda das cores:
- Maiores valores
- Médios valores
- Menores valores
- Valores médios
J,.......

6. 59
Os valores (Carga de ruptura) obtidos da prensa hidráulica são expressos em Kg e
calculado a Tensão de ruptura (kgf/cm"), Para isso foi necessário comentar sobre o conceito
de pressão estudada pelo francês Blaise Pascal que diz: pressão é um fenômeno fisico que
resulta da ação de uma força sobre uma superficie.
fiorça
pressão = -, -
area
ou seja: p=F
A
I
Como se tinha as dimensões do corpo de prova medida anteriormente(raio=r = 7,5cm)
I
e a carga de ruptura ou força peso foi obtida pela leitura na prensa e a superficie de atuação da
carga pela prensa é a base do cilindro: A = 11:.r 2 .
Calculou-se a tensão de ruptura em kgf/cm",
Usualmente na engenharia se utiliza a unidade de medida Mega Pascal (MPa) para a
tensão de ruptura. Para isso se divide a medida em kgf/cm" por 10,2. Quando no decorrer dos
i
comentários um aluno perguntou: Por que se divide por 10,2? ., F"J
Para responder deu-se uma noção inicial e a partir daí {;,onstruído o desenvolvimento
com os alunos da seguinte forma:
- Para transformar kgf/cm" em N/m2
tem-se o seguinte desenvolvimento:
p= F = C1RGA
A AREA
como:
lkgf =9,8N
lcm2
= 10-4
m'
e
N
- Devido aos estudos do fisico Blaise Pascal: lPa = 1-,
m-
ficando

7. 60
Um Mega Pascal(lMPa) equivale a quantos k~ ? Pela regra de três tem-se:
em
Xx9,8x104
pa=1 k~ .106
Pa
em
1 k~ ---+9,8x104
Pa
em
~MPa=106 pa)
X~lMPa
kgf
1MPa = 10,2-2
em
Após determinar as tensões em MPa foi calculada a média dos valores de cada conjunto
de corpos (na última coluna da tabela 05).
- Análise dos valores (pontos) resumidos da tabela 05:
a) Os valores da tabela foram colocados entre eixos cartesianos, visando observar a
situação de cada curva.
~ maiores valores
---- médios valores
-j,- menores valores
-+- valores médios - utilizado nos cálculos
40 .~-
Ó
1«1
rn
rn
ec.
E-o «I
(.)0..
,«I ~
.!! '>.(.)
c:
.(1)
-rn
rn
e
20 +---------r-------~------=_~~~--~
15
0,45 0,50 0,55
relação água-cimento x(l/kg)
0,60
Gráfico 04: Valores encontrados na leitura da prensa hidráulica
Normalmente as médias dos valores são ideais para a construção do modelo
matemático. Nesta prática não foi diferente. Então foi decidido o trabalho com os valores
médios. Gráfico no item a seguir.

8. 61
Normalmente as médias dos valores são ideais para a construção do modelo
matemático. Nesta prática não foi diferente. Então foi decidido o trabalho com os valores
médios. Gráfico no item a seguir.
É importante destacar a possibilidade de desenvolver modelos matemáticos para cada
conjunto de valores, com o intuito de ampliar o exercício matemático e a discussão sobre os
mesmos. Ficando essas situações como proposta de trabalho.
b)Qual seria a função que melhor se adaptaria aos pontos encontrados?
-+- valores médios - utilizado nos cálculos
40
35
30 -+------l-----=~_______l
25
20 -+-------+~~------r---------~~--~
15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~-+~~~--~~
0,45 0,50 0,55 0,60
Gráfico 05: Valores(pontos) dos valores médios
A dúvida maior foi entre a reta e a exponencial. Os grupos construíram os modelos da
seguinte maneira:
- b.l.l) ajuste linear com dois pontos extremos;
- b.I.2) ajuste linear com todos os pontos;
- b.2.I) ajuste exponencial- modo OI -corn dois pontos;
- b.2.2) ajuste exponencial - modo 02 - com dois pontos;
O ajuste exponencial com todos os pontos ( b.2.3) foi resolvido para os alunos, pois não se
tratava da construção do modelo pelo raciocínio, mas sim por uma formulação apresentada
em livros de cálculo numérico:
b.2.3) ajuste exponencial com todos os pontos.

9. r
62
b.1) Ajuste linear.
b.1.1) Ajuste linear com dois pontos extremos.
r
Equação do 10
grau: y = a.x +b
r -dado os pontos:
P1(0,05 ; 36,0) e P4(0,20 ; 17,6)
-consideremos o sistema linear:
{
a.(0,05) + b : 36,0
a.(0,20) +b - 17,6
cuja solução é
a = -126,67
b = 42,93
Chegando a :função que representa a curva:
y = a.x+b
y = -126,67.x + 42,93
Gráfico obtido a partir do modelo encontrado:
• curva obtida na prática
Ajuste linear - Dois pontos extremos
40 ~~~~~~~--~~~~~----~~~~~~
0,45 0,50 0,55 0,60
Gráfico 06: Ajuste linear - Dois pontos extremos

10. r
r b.1.2) Ajuste linear com todos os pontos.
Resolvido por escalonamento.
-a partir dos pontos:
P1(0,05; 36,6), P2(0,1O;28,0), P3(0, 15;22,7) e P4(0,20 ; 17,6)
a.(0,05) + b = 36,6 0,05 1 36,6
a.(0,10) + b = 28,0 0,10 1 28,0 a = -172,0
cuja solução é
a.(0,15) +b = 22,7 0,15 1 22,7 b = 45,20
a.(0,20) + b = 17,6 0,20 1 17,6
a função que representa a curva é:
y = a.x+b
y = -172,0.x + 45,20
Gráfico obtido a partir do modelo encontrado:
• curva obtida na prática
Ajuste Linear - Todos os pontos
40
30 +-----------~~--------------------------~
25 +---------~--------~~--------------~
20 +---------------------------~~~----~
0,45 0,50 0,55 0,60
Gráfico 07: Ajuste linear - Todos os pontos.
63

11. 64
b.2) Ajuste exponencial.
Utilizando as propriedades da exponencial e de seu inverso o logaritmo natural (ln).
b.2.1) Ajuste exponencial- modo 01 - com dois pontos.
Equação do exponencial: y = b.e""
-a partir dos pontos:
Pl(0,05 ; 36,0) e P4(0,20 ; 17,6)
-com o sistema:
{
36,6 = b.eoO
,05
17,6= b.eoO
,20
A = ln(17,6)-ln(36,6)
A =-0,7321493
ou resolver assim
A = ln(17,6)
36,6
A = -0,7321493
e" = 0,20 = 04808743
005 ',
ou resolver assim e" = e" = 0,4808743
- cálculo de a: - cálculo de b:
A
a=--
0,20
a = -3,6607467
b = 36,6
(17,6/36,6t,05
b = 37,9646592
b t: 37,965
a função que representa a curva é:
y = b.e'"
y = 37,965.e-3,6607467x

12. Gráfico obtido a partir do modelo encontrado:
65
• valores médios - utilizado nos cálculos
• Po - ponto suposto
-Ajuste exponencial- modo 01- com dois pontos
50
45~~------~~~----~~~~~~+-~------~
40 +--~---"-~~..,.---1I---"-....,,..,.....~~--=.,,--ji
35+---~~~~~~~~~~~~~~+-~~~--~
30 +-__~~--~~~~~~~~~----+_L-~~--~
25 +-~~~~-r~~~~~~~~~~4-r-------~
20 +-~~~--~~~~~~~~~--~+-~~-=~~
15 +--=-~~~..,.---1~~~~~~~~~~~~~~~~~
0,00 0,50 0,55 0,600,45
Gráfico 08: Ajuste exponencial- modo 01 - com dois pontos.
Os valores encontrados através do modelo acima são muito semelhantes aos do modo
02 (próximo item), e para melhorar a continuidade da curva foi suposto o ponto Po, embora a
situação seja impossível, pois está prevendo uma determinada (aproximadamente 46 MPa)
resistência para uma mistura sem a presença de água. Mas mesmo assim é válida, para
mostrar aos alunos que a curva realmente apresenta as características exponenciais, pOIS
algumas vezes dependendo dos valores encontrados na modelagem (prática) não descrevem
visualmente a exponencial, ficando mais próxima de uma reta.
O prolongamento com a suposição do ponto Po , alerta os modeladores para os resultados
fornecidos pelos modelos, que devem ser analisados quanto à validade dos valores
encontrados.
b.2.2) Ajuste exponencial- modo 02 - com dois pontos.
Equação do exponencial: y=b.ea
.
x

13. 66
Fazendo b = bo , tem-se: b
a.x
Y= o·e
como
bo = 36,6
Y = 17,6
x = 0,20
substituindo em y = bo .eax
tem-se:
17,6 = 36,6.eao,20
ln(17,6) = a.O 20
366 ',
a = (-0,7321493/0,20)
a = -3,6607467
portanto a função que representa a curva é:
y = bo·e
ax
y = 36,6.e-3,6607467x
Gráfico obtido a partir do modelo encontrado:
• valores médios - utilizado nos cálculos
- - - - Ajuste exponencial - modo 02 - com dois pontos
40
25 +---------~~---=-=--~~--------+---------~
20 +----------+----------+-----~~~=---------.
0,45 0,50 0,55 0,60
Gráfico 09: Ajuste exponencial- modo 02 -com dois pontos.

14. 67
b.2.2) Ajuste exponencial com todos os pontos.
Para a resolução foi utilizado o método dos mínimos quadrados. O grupos conheciam o
método dos mínimos quadrados para a reta, ficando mais fácil o desenvolvimento para a
exponencial.
y = b.e'"
ln y = ln(b.eOX
)
lny = ln b + ln e""
lny = lnb +a.x.lne
lny = lnb+a.x
fazendo:
lny=Y
lnb=B
a=A
lne =1
com a linearização fica: Y = B + A.x
Da teoria de ajustamento de curvas pelo Método dos mínimos quadrados, tem-se, para a
regressão linear STARK (1979, p.37):
n n n
a'Lx/ +B'LXi = LXi·1nf(xJ
i=1 i=1 i=1
n n
a'Lxi + B.N = Llnf(Xi)
i=1 i=l
{
0,075.a+ 0,5.B = 1,5551574
0,5.a +4.B = 12,9225166 (
0,075
0,5
0,5
4
1,5551574 J por escalonamento
12,9225166
a = -4,8125752
a solução fica
B = 3,83220]0 ~
Inb = B
b = e" = 46164,

15. 68
. - 46164 -48125752
Desta manerra a equaçao fica: y = , .e :
Gráfico obtido a partir do modelo encontrado:
0,45 0,50 0,55 0,60
• curva obtida na prática
- - - - Ajuste Exponencial - Todos os pontos
Gráfico 10: Ajuste exponencial- todos os pontos.
- Montar uma tabela comparando os valores da média da prática e os modelos obtidos:
Agua média da Função do 10
grau Exponencial
valor prática dois pontos todos OS dois pontos dois pontos todos os
Nwnérico Extremos Pontos 1 2 pontos
X y = - 126,67 + 42,93 y= - 172,0 + 42,20 Y=37,965.e3,6607x y =36,6.e3,6607x y = 46, 164.e4,8125x
- - A B C D E
0,00 * impossível 42,93 45,20 37,97 36,60 46,16
0,05 36,60 36,60 36,60 31,61 30,48 37,45
0,10 28,00 30,27 28,00 26,33 25,38 30,39
0,15 22,70 23,93 19,40 21,92 21,14 24,66
0,20 17,60 17,60 10,80 18,26 17,60 20,00
- ,
Tabela 06: comparacão entre a média da prática e os modelos.
* nao e possível preparar concreto sem a presença da agua
Para a modelagem o resultado final (modelo ou tabela) é apenas uma das etapas no
processo da resolução. Os alunos quando se deparam com a realidade problernatizada
procuram a sua resolução, favorecendo a discussão (troca de informações entre elementos do

16. 69
grupo ), manipulação das ferramentas matemáticos somando e ampliando a relação do
professor e aluno, melhorando a comunicação e formalização dos conceitos matemáticos.
Ao analisar a tabela 06, comparando os valores encontrados na literatura da prensa
hidráulica (média da prática) com os valores obtidos a partir dos modelos matemáticos
desenvolvidos pelos grupos de trabalho, é possível obter algumas conclusões.
Ao comparar os resultados numéricos obtidos pelos modelos com a média da prática,
tem-se a classificação dos melhores modelos na ordem decrescente: A, E, C, B e D.
Comentou-se para os alunos que essa prática com o concreto é desenvolvida de
maneira diferente, no terceiro ano do curso de engenharia na disciplina de Materiais de
Construção, sendo que na presente prática é alterada apenas a quantidade de água, e no curso
de engenharia ocorre a alteração da quantidade de todos os materiais proporcionalmente. A
importância desse comentário foi para deixar claro que é muito conhecido o processo químico
intrínseco aos materiais, na formação de cristais responsáveis pela resistência do concreto que
se dá num processo exponencial. Então os ajustes exponenciais certamente são os melhores,
mas existem outras variáveis externas a serem consideradas e que em principio não deveriam
existir pois alteram de alguma maneira os resultados, como: a manipulação das ferramentas, a
escolha do traço inicial com relação a quantidade de água acrescentada entre outros.
Os valores encontrados através do modelo A são muito próximos da média prática,
encontrada na segunda coluna da tabela 06. Mas é importante destacar que os valores são
apenas próximos para o intervalo de 0,05 < x < 0,20( da primeira coluna da tabela 06). Se for
analisado para valores numéricos para x > 0,20, a proximidade dos valores deixa de ser
válido pela linearidade da curva.
Então, para o intervalo de valores estudados confia-se no modelo A e normalmente
quando em uma situação prática em que o engenheiro necessita tomar uma decisão os
modelos exponenciaís seriam os melhores, pois em necessárias previsões para x >0,20 são
mais confiáveis.
A apresentação da resolução do ajuste exponencial pelo método dos minimos
quadrados (b.2.3) foi oportuna no momento em que as discussões e modelos desenvolvidos
pelos alunos estavam concretizados. Nesse momento o professor de cálculo numérico poderia
ampliar a situação para todos os ajustes de curvas possíveis, dinamizando aproveitando a
busca da curva que melhor representaria a situação problematizada.
r

17. 70
,r-..
comprometida
r- provocasse.
'"""'
r
r-
r--
r
r-
r>
r-
r---
r---
r
r-
r--
r'
r'
A presente prática veio se ajustar ao Caso 3, de modelagem, defendido por
BARBOSA e citado neste trabalho na Tabela 01, no Capítulo II, em que partir de temas não-
matemáticos, os alunos formulam e resolvem problemas. Eles também são responsáveis pela
coleta de informações e simplificação das situações problema.
Retomando as respostas (hipóteses) dos alunos transcritas no final do segundo
encontro, quanto aos efeitos do excesso de água na mistura do concreto. Se analisada as
respostas dos alunos no aspecto fisico, estão corretas porque sem dúvida o excesso de água: ...
deixa o concreto mole. Outras hipóteses mais corretas encontradas: Compromete a qualidade
do concreto. Compromete a resistência. Sem dúvida alguns dos alunos possuíam alguma
noção sobre o assunto, mas ficou a dúvida: Em que proporção esse acréscimo de água
comprometeria a qualidade do concreto? No sub-item Situação de obra, do Capítulo III
mostra que a cada 2,5 litros de água (em relação a um saco de cimento de 50Kg) acrescentado
por um pedreiro, sem o conhecimento técnico apropriado, prejudicaria de aproximadamente 6
MPa ou 600Kg1Jcm
2
(ver, Tabela 06)a resistência do concreto. Isto é, se for necessário em
uma obra o concreto com resistência de 36,6 MPa para um determinado carregamento sobre a
estrutura .f?e o pedreiro adicionar seis porções de 2,5 litros de água na mistura do concreto,
.J
para o traço dado, a resistência do concreto seria extremamente reduzida. A estrutura estaria
e o engenheiro seria o responsável pelos possíveis danos que a obra

18. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A partir dessa pesquisa foi possível ampliar o conhecimento sobre a Modelagem
matemática com o estudo bibliográfico possibilitando a partir daí o desenvolvimento de uma
prática para os acadêmicos do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Ponta
Grossa.
Inicialmente pretendia fazer apenas um estudo bibliográfico, mas a necessidade
pessoal de mostrar para o calouro de engenharia a possibilidade de transpor as barreiras que
nos mantêm presos ao método tradicional e melhorar o entendimento do porque da grande
----carga horária matemática dos primeiros anos do curso, aumentou a necessidade de um
trabalho prático.
A modelagem promove a interdisciplinaridade no curso supenor, principalmente nas
áreas de tecnologia, mantendo o acadêmico consciente de onde e para onde está caminhando.
Para que no final do curso saiba onde está! Porque muitas vezes o caminho de volta é muito
longo e penoso.
O primeiro obstáculo que a modelagem encontra infelizmente é o professor. Não
porque o professor é uma pessoa má. Mas sim porque o professor é também um ser humano e
o ser humano quando ensina algo para alguém diz sempre a seguinte frase: "No tempo dos
meus avós era assim ...". Ou quando não lembra desta frase lembra do presente. Que bom até
que enfim está pensando no presente, então agora vai melhorar! Vai melhorar não, está
lembrando agora é do baixo salário. E as justificativas nunca terminam.
A modelagem é sinônimo de inovação, quebra de paradigmas. É o momento do
professor "arregaçar as mangas" e direcionar a formalização dos conceitos da maneira como
deve ser, aos poucos, partindo da realidade do aluno. Quando se parte de uma realidade que
não seja a sua, a situação se torna mais complicada. O professor necessita de um estudo mais
ampliado, prevendo as situações que possam ocorrer durante a prática. Não para evitar que
seja surpreendido. Mas sim para não perder a oportunidade de uma introdução a conceitos que
serão à frente formalizados.
A matemática trabalhada no curso de engenharia pode ser fundamentada com modelos
voltados para a própria engenharia. Buscando em disciplinas técnicas como em: mecânica dos
solos, teoria das estruturas, concreto armado, hidráulica e outros. Basta o professor quando
não for engenheiro buscar junto aos demais professores das áreas especificas os

19. 72
conhecimentos necessários, além do estudo individual. A modelagem levaria a uma
integração docente melhorando a relação entre as áreas de ensino, hoje distanciadas.
Durante o desenvolvimento das atividades os alunos ficavam passivos esperando
sempre a iniciativa do professor. Infelizmente o sistema de ensino esculpiu o aluno dessa
maneira. A modelagem matemática é uma proposta metodológica que poderá remodelar o
ensino, proporcionando a aproximação professor/aluno, coletando informações e
simplificando as situações problema através de modelos matemáticos, não necessariamente
pr-r-
perfeitjmaiS próximos da realidade, valorizando também o processo de construção.

20. ANEXOS
r

21. ANEXO 1
Questionário aplicado no primeiro encontro
MODELAGEM MATEMÁTICA
Questionário
Ponta Grossa, de de 2003.
01) Quantos anos você completa no ano de 2003?
02) No período do ensino médio você estudou a maior parte do tempo, em escola pública ou
particular? Fez curso pré-vestibular?
03) Foi aprovado no primeiro vestibular? Caso a resposta seja negativa, para qual curso
prestou nas tentativas anteriores?
04) Qual a razão que o levou a optar pelo Curso de Engenharia Civil:
a) afinidade d) não sei.
b) por influência dos seus pais, tios, amigos. e)outras _
c) as duas alternativas anteriores
05) Qual a área da engenharia que você possui maior afinidade?
a) construção civil b) saneamento
c) estruturas e fundações d) transportes
e) hidráulica f) projetos
g) mecânica dos solos g) outra _
h) ainda não sei, pois comecei os estudos há pouco tempo.
06) Quais são suas expectativas quanto a metodologia de ensino das disciplinas
matemáticas no curso de Engenharia?
a) a mesma aplicada no ensino médio.
b) a mesma aplicada nos cursos pré-vestibular.
c)uma metodologia relacionando o conteúdo à futura vida profissional
d) nenhuma expectativa diferenciada da tradicional, pois o modo ensinar matemática é sempre
a mesma.
e)outra _
r
07) Qual a influência do excesso d'água na mistura do concreto?

22. ANEXO 02
Transparências: utilizadas no primeiro encontro
MODELAGEM MATEMÁTICA
ÁTOMO DE BOHR, RATOS DE LABORATÓRIO, GISELE BUDCHEN
O QUE É QUE ELES TÊM EM COMUM?
Roberto J M Covofan e Li Li Min
O átomo ~ é um modelo teórico
O rato ~ é um modelo experimental
Gisele ~ é um ilustre modelo do mundo da moda.
1- MODELOS TEÓRICOS
2- MODELOS EXPERIMENTAIS
TEORIAS CIENTlFICAS:
1- MODELOS TEÓRICOS
Na Química: no inicio do século XX a única partícula subatômica conhecida era o elétron
a) Thompson formulou o primeiro modelo atômico "modelo do pudim de ameixas"
teoricamente, ou seja, qualitativamente era consistente, mas experimentalmente
(quantitativamente) indicava que deveria ser abandonado.
b) Emest Rutherford (1911) fez uma série de brilhantes experimentos, entre elas emitiu
partículas alfa sobre delgadas folhas de ouro, provando a existência do núcleo central com alta
concentração de carga positivas e os elétrons estariam ao seu redor. Este modelo caiu devido à
alta atração que o núcleo faria sobre os elétrons, colapsando sobre ele.
c) Niels Bohr chegou à formulação do modelo mais avançado, os elétrons orbitando em tomo
do núcleo.
d) Mecânica quântica com os orbitais derruba a teoria anterior, pois não admite o conceito de
trajetória. Mas abre caminho para a descoberta da estrutura do DNA.
Um bom modelo teórico deve dar conta tanto dos aspectos qualitativos (teóricos) quanto dos
resultados quantitativos obtidos em observações experimentais de um determinado fenômeno
ou processo;
Modelos teóricos concebidos a partir de certas observações experimentais eventualmente
devem ser abandonadas em decorrência de outras observações com as quais entrem em
conflito;
Em geral modelos teóricos apresentam uma estrutura matemática por se apoiarem em leis
naturais que são expressas em termos matemáticos,

23. r
Concluindo: A busca de modelos que condizem exatamente à realidade, onde as hipóteses
anteriores confrontando com dados experimentais fazem que novos modelos, mais
aperfeiçoados e adequados apareçam. Quanto mais preciso e mais abrangente, ele passa a
contribuir para formulação de uma teoria científica.
Os modelos teóricos possibilitam a simulação de eventos neurológicos através de redes
neurais inteligentes.
Os modelos devem conter variáveis representando os fenômenos que acontecem na atmosfera,
os processos de formação de nuvens, chuvas, ventos. O objetivo da modelagem é alcançar
previsões cada vez mais confiáveis e de rápido acesso para a população e assim auxiliar no
planejamento dos governos, alertando e evitando possíveis catástrofes.
Devido às capacidades preditiva e comparativa, os modelos matemáticos estão ocupando uma
posição muito importante na epidemologia contemporânea.
2- MODELOS EXPERlMENT AIS
Os novos medicamento e terapias requerem provas que garantam uma margem de segurança
mínima para a sua aplicação. Desta maneira, por motivos éticos, utilizam-se, outros vivos
(não-humanos) que permitam a experimentação e/ou sirvam de modelos para o estudo de
determinados sistemas biológicos. Os animais utilizados são os mais variados, sendo mais
comum o camundongo, conhecido popularmente como "ratinho de laboratório"
3- MODELOS DE PASSARELA
Modelos teóricos tem a base em conceitos e uma modelo certamente é portadora de conceitos.
Os modelos não seriam modelos experimentais resultantes de mutações transgênicas?
MODELAGEM MATEMÁTICA
A modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo.
O modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o
contexto, saber discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e também ter senso
lúdico para jogar com as variáveis envolvidas.
r
A modelagem matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que
valham, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias.

24. - MODELO 01
As funções são modelos matemáticos importantes e freqüentemente descrevem uma lei fisica.
Como exemplo, considere que uma bola é atirada verticalmente para cima, no instante t = O,
com uma velocidade de 200 cm/s. Nesta situação, a velocidade da bola, em cm/s, como
função do tempo é dada por v(t) = 200 - 96t. Assim, é correto afirmar que a altura máxima
atingida pela bola ocorre:
a) Menos de 2 s após o seu lançamento.
b) Entre 2 se 2,5 s após o seu lançamento.
c) Entre 2,6 s e 3 s após o seu lançamento.
d) Entre 3,1 s e 3,5 s após o seu lançamento.
e) Mais de 3,5 s após o seu lançamento.
MODELO 02
Uma prefeitura que dispõe de uma verba que pode ser destinada à construção de casas
populares ou a pavimentação de ruas. Se optar por investir em casas populares, poderá
construir 300 casas, se optar por investir em pavimentação de ruas, a verba é suficiente para a
pavimentação de apenas 150 km. Mas a verba pode ser destinada a outros planos. Fazendo
uma pesquisa de preços junto a empreiteiras, chegou-se aos seguintes planos:
Tabela Dados coletados junto a empreiteiras
Kmde ruas Casas populares
O 300
20 290
60 240
90 180
105 140
135 50
150 O
-Mostrar o gráfico correspondente.
-Qual a função que melhor descreve a curva?
-Montar tabela comparando os dados reais e os dados com a equação obtida através do ajuste
de curva.

25. ÁREAS DE ATUAÇÃO DO ENGENHEIRO CIVIL
Construção civil: projeto e construção de imóveis
Estruturas e Fundações: projeto e construção de barragens, canais, instalações
hidráulicas para produção de energia elétrica, sistemas de irrigação e drenagem.
Mecânica dos Solos: estudo da atmosfera, do solo e subsolo do local de uma obra.
Saneamento: projeto e execução de obras de saneamento básico.
Transportes: projeto, construção e manutenção de obras como ferrovias, rodovias e
aeroportos.
Confiabilidade nos modelos desenvolvidos.
o Engenheiro quando modela uma determinada situação em uma determinada obra, pode
ficar tranqüilo, pois poderá sempre utilizar a mesma "receita", ou seja, modelo para todas as
situações em qualquer região, com qualquer material.
Modelar significa qualidade
Modelar significa economia
Modelar significa rapidez

26. ANEXO 03 - Fotos do grupo de estudo, no laboratório
Foto 01
Foto 02
-

27. ANEXO 04
Foto 03: materiais - pedra, cimento e areia.

28. - ANEXO 05
Foto 04: Corpos de prova

29. ANEXO 06
Foto 05-Prensa hidráulica com o corpo de prova
r

30. S
G
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
(7ANASTÁCIO, Maria Queiroga.A. Tese de mestrado. UNESP. Rio Claro, 1991.
Associação Brasileira de Normas Técnicas - NBR 12655. Concreto - Preparo, controle e
recebimento. 7p, maio de 1996.
BARBOSA, J. C. O que pensam os professores sobre Modelagem Matemática? Zetetiké,
Campinas, v.7,n.11 ,p.67-85, jan./jun.1999.
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I _
eórico. In: REUNIAO ANUAL DA ANPED, 24., 2001.
ARBOSA, J. C. Uma perspectiva para a Modelagem Matemática. ln; Anais do Encontro
Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática. Rio Claro: Programa
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BARBOSA, 1. C. Mesa Redonda Matemática na Formação de Professores - I CNMEM,
1999.
BEAN, Dale.O que é a modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, número
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I
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem matemática e implicações no ensino-aprendizagem de
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!BURAK, D. Modelagem Matemática: ações e interpretações no processo de ensino-
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BURAK, Dionísio. Uma experiência com a modelagem matemática. Revista Pró-Mat
Paraná. Numero O'l.dez/ 98. Imprensa oficial, p32.
-
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31. r-
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