Teoria Piaget Aprendizagem

-
claro que não será possível usar o esquema "velho" com o novo objeto. Mas, será ele a
base par o novo esquema que adaptará a esse objeto novo: Talvez, neste exemplo,
"aperta e bába" seria um título apropriado para o esquema novo. Este processo é
chamado acomodação, especificamente acomodando um esquema velho para um
objeto novo.
Assimilação e acomodação são os dois lados da adaptação, o termo de
Piaget para o que a maioria de nós chamaria aprendizagem. Porém, Piaget viu a
adaptação como um processo bem mais amplo e influente sobre a aprendizagem do
que a que os Behavioristas nos EUA estavam falando. Ele viu isto como um processo
fundamentalmente biológico. Todos os seres vivos se adaptam às coisas, até mesmo
aqueles que não possuem um sistema nervoso central ou cérebro.
A assimilação e o trabalho de acomodação como pêndulo balançam para
avançar nossa compreensão do mundo e nossa competência nisto. De acordo com
Piaget, eles são dirigidos a um equilíbrio entre a estrutura da mente e o ambiente,
levando a um certo ponto em comum entre os dois, que isso indicaria que você tem um
bom (ou pelo menos um razoável) modelo de compreensão do universo. A este estado
ideal ele chama equilíbrio.
Em sua investigação sobre como as cnanças aprendem, notou que havia
períodos onde assimilação dominava, períodos onde a acomodação dominava, e
períodos de equilíbrio relativo, e que estes períodos eram semelhantes entre todas as
crianças observadas em suas pesquisas. E assim ele desenvolveu a idéia de fases ou
estágios de desenvolvimento cognitivo.
Não é nossa intenção, no presente trabalho abordar cada um dos estágios
citados por Piaget, visto que nossa proposta é dirigida a uma faixa etáría específica,
logo não discutiremos passo-a-passo a teria Piagetiana, mas apenas o ceme de suas
pesquisas, que é a constatação que o indivíduo aprende a partir de estruturas já
existentes, onde a assimilação de novos conhecimentos só ocorre quando há um
desequilíbrio de forma que o indivíduo vai assimilar para novamente acomodar.
27

3.2 COMO PIAGET PODE AJUDAR NO ENSINO DE MATEMÁTICA DO
ENSINO MÉDIO
Piaget coloca que aprender é antes de tudo, uma atitude biológica geral
consistindo de acomodações e assimilações (BRASIL, 1977).
Compreendendo que um indivíduo aprende por desequilíbrio das estruturas
que já possui, vindo a ter necessidades de novos esquemas que lhe permitam
assimilação e acomodação, podemos desenvolver atividades e estratégias de ensino
que favoreçam esse desequilíbrio. Onde partir de esquemas que o indivíduo julga
dominar, mas que se tomam insolúveis para o seu atual estágio forçando-o a mudar,
buscar estratégias e novas posturas diante do problema (obtendo o perfil que citamos
no capítulo 4).
Outro aspecto da teoria de Piaget que é extremamente relevante para a
aquisição do conhecimento matemático é a possibilidade de o indivíduo poder retomar
ao objeto de estudo (problema) abordando-o a partir de outro nível, mais elevado, que
lhe trará outros significados e novas possibilidades de conhecer, através de uma
abstração reflexionante (ROSSO, 1998).
Lembrando que abstrato, na teoria de Piaget é o concreto quer foi abstraído
e, dependendo do nível que se encontra, o indivíduo não há a necessidade de se usar
material manipulável para que ele construa seu conhecimento, logo o simples uso de
um material que o aluno manipule não lhe garante que estará construindo seu
conhecimento. Esse foi um cuidado que tivemos na elaboração das atividades
propostas e que muito contribuiu na execução do trabalho.
28

4. APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA
"Para que haja aprendizagens realmente significativas e que promovam a
evolução de estruturas cognitivas". Talvez este seja um dos grandes princípios, ou
deveria ser, que um professor deveria direcionar sua atividade docente.
É nesse sentido que se apresentamos um breve resumo da Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel (BRIGUENTI, 1991) onde discutiremos
rapidamente algumas de suas características e implicações para a prática educativa,
onde procuraremos diferenciar a Aprendizagem Significativa da Aprendizagem
Mecânica, esta com assimilações na estrutura cognitiva aquela se apoiando na
atividade mnemônica.
4.1 DAVID AUSUBEL
,.-. Durante muito tempo considerou-se que a aprendizagem era simplesmente a
troca de informações entre o professor que "sabe" e o aluno que "não sabe". Onde o
aluno se apresenta "vazio" de conhecimento e que deve ser "preenchido" pelos
conhecimentos do professor. Porém podemos afirmar que ela é muito mais que isso,
ela deve levar em consideração não só a experiência, mas também a afetividade do
indivíduo. Ausubel trabalha mais sobre a questão das experiências do indivíduo, para
ele o principal no processo de ensino é que a aprendizagem seja significativa. Isto é, o
conhecimento a ser aprendido precisa fazer algum sentido para o educando. E isto só
acontece quando a nova informação "ancora-se" nos conceitos relevantes já existentes
na estrutura cognitiva do aprendiz. Neste processo a nova informação interage como
uma estrutura de conhecimento específica, que Ausubel chama de conceito
"subsunçor" .
Quando o conhecimento a ser aprendido não consegue ligar-se a algo já
conhecido pelo aluno, ocorre o que Ausubel (BRUGUENTI, 1991) chamou de
aprendizagem mecânica, ou memorização passageira. Ou seja, isto ocorre quando as
29

aprendidas sem interagirem ou se "ancorarem" com conceitos relevantes existentes na
estrutura cognitiva do aprendiz. Este processo, de informações desvinculadas dos pré-
conhecimentos ao quais podemos chamar de Aprendizagens Mecânicas, se evidencia
quando os alunos sentem que devem decorar fórmulas, leis e macetes para provas ou
avaliações, sendo que os esquece logo em seguida.
Assim, podemos dizer que para haver aprendizagem significativa é preciso
haver duas condições básicas:
a) o educando precísa ter uma pré-disposição para aprender;
b) o material a ser aprendido tem que ser potencialmente significativo.
Outra proposta de Ausubel se refere à utilização de organizadores prévios,
que servem como ancoras da nova informação, agindo como ligação entre a nova
informação e os subsunçores relevantes específicos. Ele distingue dois tipos de
organizadores prévios os expositivos e os comparativos. São esses organizadores que
permitem chegar-se a uma estratégia pedagógica que dará ao processo educativo os
principios da diferenciação progressiva e da reconciliação integrativa. Vale ressaltar
que deve cuidar-se de não confundir os organizadores prévios com introdução, esta
tem a função de apresentar o conteúdo ao aluno, enquanto os organizadores prévios
fazem com que o aluno interaja com o conteúdo a ser ministrado objetivando ativar os
conhecimentos prévios para que a aprendizagem que virá seja significativa.
No trabalho que desenvolvemos, e que apresentamos como anexo, com
alunos do ensino médio, em nossas atividades procuramos propor atividades que se
"ancoravam" nos subsunçores dos alunos procurando iniciá-Ias sempre com os
organizadores prévios.
30

5. A PRÁTICA - APLICAÇÕES DAS IDÉIAS
5.1 PROCESSO DE CRIAçÃO
No ano de 2 000 assumimos as aulas de Matemática, para o início do Ensino
Médio do Centro de Estudos Supletivos "Universidade Estadual de Ponta Grossa", que
no mesmo ano passou à ser denominado CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO
BÁSICA DE JOVENS E ADULTOS "UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA
GROSSA" que começava, então, a oferecer esse nível de ensino pela autorização da
Secretaria de Estado de Educação do Paraná, até então a escola só oferecia o curso de
Ensino Fundamental. O então diretor Prof. José Tadeu Dolinski, nos incumbiu de
elaborar o material didático que deveríamos utilizar com os nossos alunos.
Inicialmente, para ter uma base, ele me apresentou o material, em forma de apostila,
que era utilizado em uma outra escola de Ponta Grossa que oferece também a
modalidade de ensino supletivo. Ao analisar aquele material ficamos muito
insatisfeitos quanto a sua proposta metodológica e de aquisição de conhecimentos,
pois para nós, como já dissemos no capítulo 2 (item 2.2), o Homem que queremos para
nossa sociedade deve ter algumas características especiais, e ao refletirmos sobre isso,
essa necessidade que acreditamos ser o caminho, buscamos uma forma que a
matemática pudesse contribuir para que o indivíduo possa:
../ Construir seu próprio conhecimento;
../ Resolver problemas;
../ Usar a Matemática como uma ferramenta tecnológica;
../ Para a construção das atividades do Caderno Didático, tomamos como
parâmetro as seguintes condições .
../ Criar atividades que causem desequilíbrio, e que sejam significativas
aos alunos;
31

v Buscar cnar problemas ae apucaçao e lJIUUlClUê1:' ê1UCllV;',
./ Guiar a organização do material de forma a possibilitar aulas dentro
da metodologia da resolução de problemas.
Para nós a resolução de problemas é uma das alternativas metodológicas do
ensmo da Matemática, e acreditamos que seja importante, nesse momento
esclarecermos um pouco mais sobre como vemos essa questão, para isso usaremos
dois documentos, cujos títulos são, respectivamente: Sobre a Resolução de Problemas
I e Sobre a Resolução de Problemas lI, utilizados pela Prof". Dr'. Regina luzia C de
Buriasco, durante suas aulas no curso de Especialização em Educação Matemática da
Universidade Estadual de Londrina em 1997, é ele que segue em sua integra:
SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS I
Uma das atuais grandes tendências da Educação Matemática é a Resolução
de Problemas, assim chamada porque considera que o estudo da matemática é resolver
problemas. Segundo ela, o ensino da Matemática deve ser resolvido sempre partindo
de problemas. Examinemos a tabela abaixo:
Esquema de aula na Tendência Esquema de aula na Tendência da
Tradicional Resolução de Problemas
1) O prof" explica a matéria (teoria). 1) O prof' apresenta um problema - escolhido
por ele ou pelo (s) aluno (s).
2) O prof" mostra exemplos. 2) Os alunos tentam resolver o problema com o
conhecimento que têm.
3) O prof' propõe "exercícios" semelhantes 3) Quando os alunos encontram algum
aos exemplos dados para que os alunos obstáculo (falta algum conteúdo necessário
resolvam. para a resolução do problema) o prof'
apresenta, de alguma forma, esse conteúdo.
4) O prof" (ou um aluno) resolve no quadro 4) Resolvido o problema, os alunos discutem
de giz os exercícios. sua solução, se necessário com a ajuda do
prof", Essa discussão envolve todos os
aspectos da resolução do problema, inclusive
os do conteúdo necessário. Fazendo a
sistematização do conteúdo.
5) O prof' propõe aos alunos outros 5) O prof' apresenta outro problema -
"exercícios" já não tão semelhantes aos escolhido por ele ou pelo (s) aluno (s).
exemplos que ele resolveu.
6) prof" (ou um aluno) resolve os exercícios
no quadro de giz.
7) O prof' propõe "problemas", se for o caso,
32

ou mais "exercícios".
8) correção dos "problemas" e/ou exercícios
dos "exercícios".
9) O prof" começa outro assunto.
Podemos observar que no esquema Tradicional temos uma aula trabalhada
linearmente enquanto dentro da tendência da Resolução de Problemas o conteúdo é
trabalhado de maneira a se ter uma espiralidade, de maneira que a intervenção do
professor, quando necessária, é unicamente para fornecer um conhecimento que os
alunos ainda não têm.
De acordo com a tendência da Resolução de Problemas, o prazer em se
estudar é a alegria de resolver um problema, de sorte que, quanto maior a dificuldade
a resolução, maior a satisfação.
Na proposta de se ensinar Matemática através da Resolução de Problemas,
uma das questões mais importantes é: "Como apresentar um problema de modo que os
alunos":
1°) queiram resolver o problema;
2°) compreendam e retenham o conteúdo envolvido na sua resolução.
Se o estudo da Matemática é resolver problemas, então é incumbência do
professor nas aulas de matemática, ensinar a "arte de resolver problemas".
SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 11
Na Resolução de Problemas, atual tendência da Educação Matemática,
podemos classificar os "problemas" em cinco categorias, a saber:
1. exercícios de Reconhecimento - são os que pedem apenas que o aluno
reconheça ou relembre um fato, uma definição, etc. Requerem simples
memória;
2. exercício algoritmico - são os que podem ser resolvidos através do uso
de um algoritmo, ou procedimento passo-a-passo;
3. problemas de aplicação - são os que precisam da mudança da
33

linguagem escrita com palavras para uma linguagem matemática
adequada de modo que se possam utilizar os algoritmos apropriados.
São os problemas de palavras;
4. problemas em aberto - são que não contém no seu enunciado pista
alguma para sua resolução;
5. situação - problema - são aquelas nas quais a primeira coisa a fazer é
identificar o problema inerente, cuja solução vai ajudar a "manejar" as
próprias situações. Dão origem às situações que originam a
modelagem ou modelação, conforme a forma que ele surge.
Eis alguns exemplos:
Exercícios de O triângulo que possur todos os lados de mesmo
Reconhecimento comprimento é chamado ........
Exercício Algoritmico Calcule:
324 + 54 - 21
Resolva: 2x +5 = 17
Problema de Quantos metros de um tecido que custa R$ 15,00 posso
Aplicação comprar com R$ 250,00?
Problema em aberto Quantos triângulos diferentes podem ser desenhados
tendo os dois maiores lados com comprimentos 6 em 8
cm?
Situação - Problema Faça a planta do quarto que você gostaria de ter.
Uma grande parte das atividades que constam dos livros didáticos são das
três primeiras categorias. A característica comum entre às três é o fato de conterem a
estratégia para sua resolução nos próprios enunciados. Por essa razão, apenas os
problemas das duas últimas categorias são considerados problemas de fato.
A experiência de "modelar" uma situação, ou de resolver um problema em
aberto, absolutamente necessária no estudo da Matemática, deveria ser dada em todos
os níveis de ensino. Para que os alunos aprendam Matemática, é preciso que lhes seja
dada a oportunidade de resolver problemas de fato, ou seja, problemas em aberto e
34

situações - problema.
Devemos notar que a Resolução de Problemas pode ser o primeiro passo em
direção à Modelagem (Texto elaborado pela professora Regina Luzia C. de Buriasco,
baseado no artigo de Thomas Butts, in NTCM, YEARBOOK, 1980.)
Como infelizmente dentre os livros didáticos existentes não havia nenhum
que se enquadrava, a nosso ver, dentro do que julgávamos ideal, a saída encontrada foi
criar um material que satisfizesse esses nossos anseios.
Ao refletirmos sobre as necessidades desse material, começamos a imaginar
suas característica, tais como a de ter o conteúdo específico como um todo interligado
e de conteúdos fosse enxuto e ao mesmo tempo suficiente para os objetivos traçados,
que abrisse a possibilidade de integrar outras disciplinas, começamos, então a buscar
em outros livros didáticos, de Matemática, Física, Química e de Biologia questões ou
situações que pudessem ser interligadas.
Durante essa pesquisa reunimos muitos materiais (os livros pesquisados são
citados como bibliografia da apostila) em termos de conteúdo específico, após esse
levantamento começamos a segunda etapa que era a de construir o material didático
que utilizaríamos. Nesse momento acreditamos ser interessante que apresentemos um
exemplo de como foi feita a construção de alguns problemas que estão na apostila.
Na página 6 da apostila apresentamos um problema geométrico com o título
"MODELOS MATEMÁTICOS: UM EXEMPLO GEOMÉTRICO", esse problema foi
assim apresentado inicialmente no livro "Matemática na Medida Certa" - 2a
edição, de
Jakubo e Lellis da T" série editado pela Scipione de 1994, nas páginas 33 e 34. Como
poderão perceber o exercício na forma em que aparece no livro citado, explora apenas
o aspecto geométrico, iniciando com um bom raciocínio dedutivo, porém ele não
permite que os alunos concluam a fórmula das diagonais, na página 34 ele
simplesmente apresenta a fórmula já pronta.
35

~,.:...~
--
Usando variáveis: cálculo do número
de diagonais
Quantas diagonais tem um polígono convexo 7
Para responder a essa pergunta, podemos contar as diagonais:
.•...,:-' ~.
o diagonal 2 diagonais 5 diagonais 9 diagonais
Mas nem sempre é fácil contar as diagonais de um polrgono. Veja este polígono de
10 lados:
c
E
J
H
Observe que, neste caso, de cada vértice saem 7 diagonais. Como são 10 vértices,
poderfamos pensar que o total de diagonais é 10 . 7. S6 que, desse jeito, contamos
cada diagonal duas vezes. Veja, por exemplo, a diagonal AO. Ela foi contada quando
pensamos nas diagonais que saem de A e quando pensamos nas que saem de O.
Portanto, o número de diagonais do polígono de 10 lados é:
10 . 7 - 35
2 -
Muito bem, respondemos à pergunta para o polígono de 10 lados. E os polígonos de
11 lados, 20 lados, ete.?
Para esses infinitos casos vamos calcular o número de diagonais usando uma
variável que representa o número de lados do polígono.
36

A fórmula do número de diagonais
Imagine um polígono de n lados. Neste caso, a variável n representa qualquer número
natural maior que 2.
Esse polfgono tem também n vértices. Quantas diagonais saem de cada vértice?
v
Veja: do vértice V saem díagonais para todos os outros vértices, exceto para o
próprio V e para os dois vértices vizinhos a ele.
Conclusão: de cada vértice saem n - 3 diagonais.
Para obter o total de diagonais, multiplicamos n - 3 por n (porque são n vértices) e
dividimos por 2 (para não contar duas vezes cada diagonal).
d = n(n - 3)
2
Essa é a fórmula que fornece o número de diagonais (d) de um polígono convexo de
n lados.
;
~i
I' Exemplo
Se o poJ(gono tiver 15 lados, calculamos o valor numérico da expressão para n 15:
n(n - 3)
2
d = 15· (15-3)
2
d
6
15· ~ 90
r =
1
Um polfgono de 15 lados tem 90 diagonais.
-'34
---------------------------------------
37

Em nosso trabalho utilizamos essa mesma situação, porém procuramos dar
seqüência nesse raciocínio dedutivo, fazendo apenas o papel de condutores do
processo. Usamos como base dessa condução as idéias apresentadas no início deste
trabalho, norteados por Piaget, Ausubel, Goleman, etc. Buscamos pautar a
apresentação do problema aos alunos de forma a que ele se apoiasse nos subsunçores
ausubelianos através dos organizadores prévios. Como? Talvez seja a pergunta que os
adeptos de uma aplicação direta e arreflexiva de conteúdos matemáticos possam fazer,
a resposta que podemos dar, de acordo com o nosso referencial bibliográfico e a nossa
prática seria que:
../ ao propormos o problema discutimos com os alunos sobre ele de
~
maneira indireta" ~ exemp o, no problema transcrito abaixo
iniciamos comentando sobre as formas geométricas que os cercavam,
levamos latas de óleo vazias, caixas de pasta de dente, cesto de lixo,
caixa do chocolate toblerone, etc., na seqüência começamos por
perguntar que formas eles lembravam de coisas de suas casas, sugiram
lembranças da geladeira, do guarda-roupas e, fmalmente a que eu
queria, televisão, foi quando eu lancei a pergunta - que dentro do meu
planejamento seria o agente desequilibrador citado por Piaget, ao
mesmo tempo, com as lembranças forçadas eu os fiz iniciar o
processo de organizadores prévios, sob os quais eu iria fazer a
ancoragem do assunto em si, que era levar ao conceito de função -
como era que as pessoas se referiam à medida de uma televisão, eles
responderam em polegadas, nesse momento perguntei-lhes se eles
sabiam o que era polegada, (como havia dois torneiros mecânicos em
uma das turmas), eles conseguiram explicar para os colegas já as
demais turmas já tinham ouvido falar, mas, (não conseguiam
conceituar), nesse momento trabalhamos o que são e para que servem
as medidas, discutimos o sistema arcaico e depois, voltamos a
pergunta sobre como se media a televisão. É importante notar que já
38

de insngá-Ios em seus conhecimentos previos, e estavamos
procurando fazer com eles passassem a se sentir ínteragindo com o
problema, de forma que ele tomasse "seu" problema. Quando
sentimos que já estávamos com os alunos em condições de seguirmos
com a atividade trabalhamos a diagonal da televisão, a partir daí
entramos no tema diagonal e desenvolvemos a seqüência didática que
o problema estruturado permitia.
Como perceberão a introdução ao cálculo de diagonais apresentado no livro
do Jakubo e Lellis, passa em nosso trabalho, a ser uma seqüência didática completa
como podemos observar na transcrição de um trecho das páginas 6, 7 e 8 da apostila:
Quantas diagonais tem, por vértice, um polígono convexo: (diagonal é o
segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de uma figura geométrica)
Para responder a essa pergunta, podemos desenhar os polígonos e contar as
diagonais:
o diagonais
12 diagonais
2 diagonais 5 diagonais
20 diagonais
39

Mas nem sempre contar é o melhor método, pois veja a figura abaixo e tente
dizer quantas diagonais ela tem.
~~~
E agora?
Para obtermos uma resposta que nos tome menos tempo e nos seja
conveniente podemos dar nome aos elementos que compõem o problema, assim:
d pode ser o n.o de diagonais do polígono;
n pode ser o nosso número de lados.
Observando todas as figura e montando uma tabela teremos
(complete as duas últimas linhas):
Tabela 01
Número de Número de Norne da figura
lados (o) diagonais de cada vértice
" O Triângulo-'
4 1 Quadrado
5 2 Pentágono
6 " Hexágono-'
8 5 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
n
Você consegue estabelecer a relação entre o número de vértices e de
diagonais de cada vértice?
Com os dados que já temos e com o que já observamos podemos montar um
40

Modelo Matemático para nos dizer quantas aiagonats partem ae um uruco veruce ut:
um polígono, cuja expressão matemática você escreverá no espaço abaixo:
Sabendo quantas diagonais partem de cada vértice, é possível saber também
quantas são as diagonais totais de um polígono qualquer, observando a tabela abaixo
(complete as linhas que faltam):
Tabela 02
Número de Número de Total de
lados diagonais de cada vértice diagonais
3 O O
4 2 2
5 2 5
6 3 9
8 5 20
9
10
n
Portanto o Modelo Matemático para que o número de diagonais de um
polígono qualquer é expresso por:
Qual é a vantagem de se ter um modelo matemático para uma determinada
situação, é simples, no caso do último polígono dado, aplicando o modelo matemático,
teríamos:
41

2
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO 3
2. FUNÇÕES 4
2. 1 Introdução: 4
3. EQUAÇÕES - "O RESGATE" 5
4. MODELOS MATEMÁTICOS: UM EXEMPLO GEOMÉTRlCO 6
5- FUNÇÕES APLICADAS ÀS CIÊNCIAS 8
5.1. BIOLOGIA 8
5.2 FÍSICA 11
5.3 VOLTANDO À BIOLOGIA 13
6. PROGRESSÃO ARlTMÉTICA (P.A.) 14
7. PROGRESSÕES GEOMÉTRlCAS (P.G.) 16
8. LOGARlTMO 19
9. ESTATÍSTICA 20
9.1 MÉDIA ARlTMÉTICA 23
9.2. MODA (Mo) 24
9.3 MEDIANA (Md) 24
10. APROXIMAÇÕES 24
11- PROBLEMAS 26
12. BIBLIOGRAFIA 34

3
1. APRESENTAÇÃO
Caro aluno, bem vindo ao curso de Matemática do Ensino Médio do Centro Estadual
de Educação Básica para Jovens e Adultos da Universidade Estadual de Ponta Grossa (CEEBJA-
UEPG), procuraremos nesse tempo que estaremos juntos tornar o aprendizado da Matemática
simples e objetivo, procurando aplicar seus conceitos em situações o mais próximo possível das
enfrentadas por vocês no dia-a-dia.
Desta forma, acreditamos estar propiciando a vocês a aquisição de um conjunto de
ferramentas e conhecimentos extremamente úteis que podem agilizar, e muito, os seus afazeres, pois a
quantidade de Matemática que usamos diariamente é incomensurável (impossível de ser medida) e
muitas vezes não nos apercebemos disso. Ao irmos num supermercado; ao fazermos um bolo; uma
reforma na casa; uma leitura de jornal; ou executarmos uma manutenção preventiva de automóveis,
motocicletas, bicicletas, etc.; ou mesmo se pretendemos ter uma compreensão clara e objetiva do
mundo que nos cerca, para isso estaremos usando a Matemática.
O Matemático, Físico e Artista italiano Galileu Galilei disse certa vez: "A Matemática
é a linguagem com a qual Deus escreveu o Universo" esta frase é bastante expressiva no sentido de
entendermos o porque de se aprender Matemática, ainda nos dá uma pista sobre o significado da
palavra Matemática. A Palavra Matemática tem origem na conjunção de duas palavras gregas
Materna que significa Conhecimento e tica que significa arte, assim, Matemática quer dizer A arte
.-- do conhecimento. Também entendemos que nos dias atuais a palavra Matemática significa resolver
problemas.
Assim trabalharemos a Matemática em dois sentidos:
• no de que ela nos fornece Conhecimentos para "ler" o mundo;
• no de que é uma ferramenta muito útil para Resolver Problemas.
Dificuldades'? É claro que as teremos! Porém, não podemos desanimar ou desistir ao
encontrarmos algumas dificuldades, que sem dúvida virão, mas juntos com certeza avançaremos.
BOAS AULAS!
Prof. Waguer Siudici Sebastião

4
2. FUNÇÕES
2.1 Introdução:
"A Matemática tem sido uma atividade humana por milhares de anos. Em certa medida
todos são matemáticos e fazem matemática conscientemente. Comprar no supermercado, medir
um rolo de papel de parede ou decorar uma jarra de cerâmica com desenhos regulares éfazer
matemática." (Davis e Hersh, 1989.)
Desde o seu aparecimento na terra, o homem tem recorrido à matemática. A utilização
da Matemática em nossas vidas é tão grande e tão intuitiva que muitas vezes torna-se dificil quando
nos perguntam da sua importância, citar alguma coisa, porque ela é parte integrante da nossa vida.
Desde as coisas mais simples do cotidiano até a sofisticação da tecnologia moderna dependem da
Matemática.
Na história da humanidade, a matemática foi descrita inicialmente como a ciência da
quantidade e do espaço. A própria natureza forneceu elementos para que as noções iniciais sobre
quantidade e forma se desenvolvessem paralelamente no processo de aquisição do conhecimento
matemático pela humanidade. Cabe observar, que na ânsia de compreender a realidade, o homem foi
desenvolvendo e aprimorando esse conhecimento através da observação, análise, comparação,
interpretação, etc.
Devido em parte à necessidade comunicação, os matemáticos, estabeleceram
convenções, criando símbolos. Assim a Matemática adquiriu uma característica especial: a
possibilidade de ser descrita por uma linguagem formal, que em certo sentido espelha exatamente o
seu conteúdo, mas que se constitui em um conjunto de fórmulas e regras que se distanciam do real,
mas que não devem, de maneira alguma dar a você, aluno, a sensação de que lhe é impossível
aprendê-la, pois, historicamente, o fazer matemático nas várias sociedades esteve e está permeado
pela necessidade de solucionar problemas que podem ser gerados por uma necessidade social ou uma
questão puramente matemática. Em conseqüência disto, já não é mais possível estudar-se a
matemática isoladamente das demais disciplinas e do mundo real. As idéias matemáticas devem estar
ao alcance de todos e devem ser compreendidas não só pelos matemáticos, mas por todos aqueles que
dela irão utilizar-se de algum modo. Concluímos então, que todos devemos aprendê-Ia, pois a sua
compreensão irá possibilitar a leitura e organização dos eventos do mundo e também, porque a
matemática, representa um aspecto da nossa existência enquanto seres humanos.
A matemática nunca está pronta, acabada, nenhuma formalização é estabelecida de uma vez
por todas. Uma definição, um conceito serão enunciados cada vez mais precisamente à medida que
forem necessários à resolução de problemas mais e mais complexos. O atual conceito de função, por
exemplo, só foi alcançado pelos matemáticos após um longo período (de aproximadamente um século
e meio) de evolução do Cálculo e é exatamente este conceito que vamos explorar a partir de já.

5
3. EQUAÇÕES - "O RESGATE"
Vamos imaginar a seguinte situação:
Supomos que a massa de uma célula seja função do tempo, isto é, se formos
cronometrar o desenvolvimento dela diremos que ela possui uma determinada massa no momento que
começamos a cronometrar, e que ela cresce em determinada velocidade causando unicamente pelo
seu metabolismo interior. Ora como você poderia determinar a taxa de crescimento dessa célula?
Tente traduzir o que foi proposto usando apenas números, você consegue? Não!!!?
Ora então você está diante da mesma dificuldade que o Homem já teve ao tentar
compreender e explicar os fenômenos do mundo que o cerca. Para poder sair de um problema como
esse que um hindu Bháskara que por volta do ano 1000d.C. Escreveu o livro Lilavat e mais ou menos
em 900 d.C. que um árabe chamado Mohamed Ibn-Musa Al-Khowarism escreveu o livro Al-Jebr
r' que trazia uma nova representação de números (foi nesse livro que o povo europeu conheceu os
Algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e uma nova forma de fazer contas utilizando letras e não mais
o ábaco. Assim, quando você usa uma letra para representar um número você não está usando a
"matemática moderna" como muitos pensam, pois matemática moderna é uma coisa totalmente
diferente disso.
Portanto para resolvermos um problema de forma a ele poder ser aplicado em
qualquer caso semelhante usamos letras que podem representar as palavras que desejo encontrar.
Quando procedemos desta forma, usando letras para descobrirmos aquilo que desejamos descobrir
estamos usando a parte da álgebra conhecida como Equações. Equação é uma palavra de origem
latina, que por sua vez deriva do árabe "adala" que quer dizer igualar em peso. É por esse motivo que
a resolução de equações está envolvida com o sentido de igualdade, mantendo o "peso".
A partir de agora vamos relembrar a maneira que isso é feito:
1- Dois Homens, trabalhando carpem um terreno em 8h. Seis Homens levarão quanto tempo para
carpirem um terreno de igual tamanho?
2- O litro de gasolina custava, no final do mês de julho de 2000, R$ 1,389 (em média). Após uma
multa de R$ 50000000,00, dada à Petrobrás, por um acidente ecológico causado pelo vazamento de
óleo em Araucária no Paraná, houve um aumento do preço dos combustíveis. Assim, a gasolina
passou a custar R$ 1,499(também em média). Qual foi a taxa de aumento do preço da gasolina
(porcentagem de aumento)?
3- O ar que respiramos é composto de 79% de nitrogênio, 21% de oxigênio e 0,03% de gás
carbônico e diversos outros gases. O pulmão de um adulto saudável tem capacidade para
aproximadamente 1,51 de ar. Calcule a quantidade de oxigênio e de nitrogênio que temos ao
respirarmos (inflando totalmente) nossos pulmões.

&fo •••.• VL.l •.•L."'....., .w." ,----.. ~""" _ _
Exemplo:
1) Quantas diagonais tem, por vértice, um polígono convexo: (diagonal é o segmento de reta que
une dois vértices não consecutivos de uma figura geométrica)
Para responder a essa pergunta, podemos desenhar os polígonos e contar as diagonais:
o diagonais 2 diagonais 5 diagonais
12 diagonais
Mas nem sempre contar é o melhor método,
quantas diagonais ela tem
20 diagonais
pois veja a figura abaixo e tente dizer
E agora?
Para obtermos uma resposta que nos tome menos tempo e nos seja conveniente
podemos dar nome aos elementos que compõem o problema, assim:
d pode ser o n.? de diagonais do polígono;
n pode ser o nosso número de lados.
Observando todas as figura e montando uma tabela teremos (complete as duas últimas
linhas):

Tabela 01
Número de lados (n) Número de diagonais de Nome da figura
cada vértice
3 O Triângulo
4 1 Quadrado
5 2 Pentágono
6
,.,
Hexágono-'
8 5 Octógono
9 láf Eneágono
10 + Decágono
n 0-3
Você consegue estabelecer a relação entre o número de vértices e de diagonais de
cada vértice?
Com os dados que já temos e com o que já observamos podemos montar um Modelo
Matemático para nos dizer quantas diagonais partem de um 6nico vértice de um polígono, cuja
expressão matemática você escreverá no espaço abaixo:
Sabendo quantas diagonais partem de cada vértice, é possível saber também quantas
são as diagonais totais de um polígono qualquer, observando a tabela abaixo (complete as linhas que
faltam):
Tabela 02
Número de lados Número de diagonais de cada Total de diagonais
vértice
3 O O
4 17J. 2
5 2 5
6
,.,
9-'
8 5 20
9 c;, J::;'
10 J- 3Ç-
n VI - .~ 'VL ( l/l 'S)
2-
Portanto o Modelo Matemático para que o número de diagonais de um polígono
qualquer é expresso por:
Qual é a vantagem de se ter um modelo matemático para uma determinada situação, é
simples, no caso do último polígono dado, aplicando o modelo matemático, teríamos:
Dados:

8 )
n= 12 lados
usando o
d = n.(n-3)
I d= 54
2
1
modelo matemático:
d = 12.(12 - 3) d = 12.9
2 2
d= ?
Assim, podemos também estabelecer um gráfico do modelo acima:
Cl
j~
'1
->
Como você pode perceber é muito mais rápido e fácil saber o resultado sabendo
utilizar o modelo.
5- FUNÇÕES APLICADAS ÀS CIÊNCIAS
5.1. BIOLOGIA
"Não há dúvidas de que crescimento é um problema biológico, e que deve ser
resolvido por experimentação, e não na mesa de um matemático. Mas, para se penetrar
profundamente na natureza deste fenômeno, devemos combinar o método experimental com a teoria
matemática. Uma possibilidade que tem sido desenvolvida por brilhantes pesquisadores. A
combinação do método experimental com a teoria quantitativa é, em geral, uma das mais potentes
ferramentas nas mãos da Ciência Contemporânea." (G.F. Gause - biólogo)
A exemplo da palavra Matemática, a palavra Biologia também tem origem em duas
palavras gregas Bios que significa vida e logos que significa estudo, logo, Biologia é a ciência que se
dedica ao estudo de todas as coisas vivas, o Homem, os vegetais e animais, porém a Biologia não
estuda a vida em si mas os fenômenos vitais e as leis que os regem.
Um dos importantes campos da Biologia é a Citologia que é o estudo das células. Mas o que é
uma célula? Podemos dizer que é a menor porção da componente dos seres vivos, que possui uma
característica morfológica (tem forma definida) e fisiológica (desempenha funções excretoras,
alimentícias, etc.) que crescem e se reproduzem. Assim, todos os seres vivos são compostos de
células.
Do ponto de vista Biológico é importante saber até quanto a célula crescerá, sua
reprodução, seu volume, seu tamanho, etc. São nessas questões que a Matemática pode auxiliar a
Biologia, como uma ferramenta que auxilia o trabalho de um mecânico, a Matemática fornecerá os
instrumentos de cálculo que possui para ajudar a Biologia a compreender melhor essas questões.

9
Um tipo de célula especial, conhecida como "linfócito T3", que é a célula que
comanda o sistema imunológico do nosso corpo, mantendo-nos seguros de agentes nocivos, como os
vírus e as bactérias.
Atividade
Instruções:
Você recebeu um cartão com uma letra no canto superior esquerdo conforme o indicado abaixo.
A
A seguir, será tocada uma música e você deve dançar, trocando constantemente de par. Quando a
música parar, você deve anotar no seu cartão a letra do cartão da pessoa que estava com você no
momento que a música parou. Vamos fazer isso várias vezes, e você sempre deverá anotar todas as
letras que estiverem no cartão do seu colega. Ao final preencheremos a tabela abaixo:
1 - Complete a tabela
n." de pessoas com a letra A na rodada O
n.o de pessoas com a letra A na rodada 1
2. Monte o Diagrama da Tabela Acima
3- Faça um gráfico do quadro acima:
y
-----1----------------------------~x

4- Monte o modelo matemático do problema:
10
5- A situação problema acima pode ser considerada uma função? Por que? Se for uma função, que
tipo de função será?
R:
---------------------------------------------------------------------
"Função é toda relação entre dois conjuntos onde todo elemento do r conjunto está
relacionado a um único elemento do 2° conjunto",
a)
(n." de contatos) (contaminados)
é função
c)
A B
não é função
b)
d) A B
5
6
7
8
é função
Os tipos de função que podemos ter são muitos:
a) será uma função Afim ou do 10
grau (representado graficamente por uma linha reta), se sua forma
geral for do tipo f(x) = a + bx;

11
b) será uma função Quadrática do 2° grau (representado graficamente por uma parábola), se sua
forma geral for do tipo f(x) = ax2
+ bx + c;
c) será uma função exponencial (representado graficamente por uma curva exponencial), se sua
forma geral for do tipo f(x) = ; a"
d) será uma função logarítmica (representado graficamente por uma curva logarítmica), se sua forma
geral for do tipo f(x) =log, x (com b > O);
d) será uma função trigonométrica, se sua forma geral for do tipo f(x) = sen x, ou cos x, ou tg x, ou
cossec x, ou sec x ou cotg x..
A situação proposta, na atividade da "Dança da AIDS" , como percebemos, simula a
transmissão de uma doença infecto-contagiosa. Toda doença dessa natureza precisa, para se
propagar, de um vetor ou agente transmissor e o número de pessoas infectadas aumenta numa
velocidade exponencial. A AIDS ou SIDA (Síndrome da Imuno-Deficiência Adquirida) tem, segundo
consta, sua origem no continente Africano, sendo que os primeiros casos foram registrados na década
de 60, ainda como uma doença desconhecida, o vírus destrói o sistema imunológico e tem um período
de incubação de cerca de 5 anos (período que a pessoa ainda não demonstra os sintomas e mais
infecta outras pessoas).O vírus da AIDS chama-se HfV, sendo transmitindo pelo sangue
(principalmente transfusões) e por relações sexuais diretas (sem preservativos). Hoje sabemos que ela
tinha como hospedeiro (organismo que aloja o vírus sem, porém, ser infectado por ele) um macaco
não se sabendo ao certo como o vírus foi transportado para o ser humano. Não existe cura para a
AIDS, o que existe é uma combinação de vários medicamentos que impedem as ações do vírus,
deixando-o incubado. Sem esse "coquetel" de medicamentos o indivíduo morre no prazo médio de
um ano depois do vírus eclodir. Normalmente a pessoa morre de doenças respiratórias como gripes,
pneumonias, etc. Outros exemplos de vírus, com potencial devastador ao se humano, descoberto nas
últimas décadas são:
• O Ebola, com os primeiros casos de incidência registrados no Zaire (África), após o
contágio leva indivíduo em 7 dias, seus sintomas são: febre alta e erupções cutâneas
(feridas), destruição dos órgãos internos;
• Gripe espanhola, seus primeiros casos são registrados no início do século no continente
europeu, de tempos em tempos ela surge e faz suas vítimas;
• O Influenza um vírus de gripe também muito forte.
• A Hepatite B, que é um que ataca o sangue
Entre outros.
5.2 FíSICA
A velocidade com que um vírus se propaga pode ser encontrada facilmente através da
Mecânica que é a parte da Física que estuda os movimentos.
Isto é muito parecido com o que nos apresenta a Física que nos diz que a velocidade é
a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-Io, assim se considerarmos um
móvel que se desloca com uma velocidade de 30Km/h, teremos:

Obs. Preencha os dados que faltam:
Tabela 03
Velocidade Tempo 2asto (em h) Distância percorrida (em Km)
30 1 30
30 2 60
30 3 90
30 4
30 5
30 6
V t
Chamando d de distância percorrida, v de velocidade e t de tempo, o modelo
matemático que descreve a condição acima pode ser escrito da seguinte forma:
Podemos perceber que a partir da tabela acima se pode visualizar melhor, em um
gráfico, que relacione a distância percorrida com o tempo gasto para percorrê-Ia:
Esse tipo de gráfico é composto por dois segmentos de retas perpendiculares entre si e
formando um ângulo de 90° Essas retas recebem o nome eixo cartesiano. O nome eixo cartesiano se
deve ao matemático francês René Descartes (1596-1650) - que era formado em Direito e trabalhou
em atividades militares em vários países, inclusive com o holandês Maurício de Nassau - que em 1637
escreveu o livro "Discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências"
também conhecido como "Discurso sobre a ordem e o método" e por volta de 1628 escreveu sua
obra de maior contribuição para a matemática chamada simplesmente de La Géométrie e La
Dioptrique, ambos como um apêndice do Discurso, em La Géométrie Descartes apresentou a
matemática que unia Álgebra com a Geometria, que passou a ser conhecida como Geometria
Analítica ou Geometria Cartesiana (o nome Cartesiana se deve ao fato de que na época todas as
publicações científicas deviam ser feitas em latim e o nome de René Descartes em latim era Renatu
Cartesianus). Assim, hoje usamos os chamado eixo cartesiano quando desejamos representar
geometricamente (gráfico) um acontecimento ou fenômeno observado e estudado.
Logo:
t

13
o v
No gráfico acima podemos identificar alguns elementos e tirar algumas conclusões,
tais como:
a) o eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas;
b) o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas;
c) os valores, nas abscissas à esquerda do ponto Osão negativos e os da direita positivos;
d) os valores, nas ordenadas abaixo do ponto Osão negativos e os acima são positivos;
e) o segmento que representa a distância percorrida pelo móvel é uma reta.
5.3 VOLTANDO À BIOLOGIA
Assim, a exemplo do que ocorre na Física, a velocidade de crescimento de uma célula
também pode ser obtida por uma função, pois quando dizemos que mo = m(t) é muito parecido com d
= V.t (da tabela 03), lembrando que se quisermos saber a velocidade teremos v = lis , logo:
li!
lim
km=-
M
onde k é a constante de proporcionalidade da taxa de crescimento da equação da equação
Porém, essa célula não continuará crescendo para sempre, chegará um momento em
que o crescimento irá se estabilizar. Portanto sua representação gráfica não será a mesma da
velocidade, que é uma crescente constante, mas como ficaria então?
Sendo que uma planta de massa m=100g cresce 4g nas próximas 24 horas, queremos
determinar:
1) Em quanto tempo se tornará uma árvore de 10Kg?
Instante 1° dia 2° dia 3° dia 4° dia 5° dia 6° dia 7° dia 8° dia 9° dia
Massa(2) 100 104 108,25
2° dia Mfmal= Minieial.(l+ir
Mtlnal=100.(1+0.04)2
M2 = 100.
2)De quanto aumentará sua massa em um dia quando a planta estiver com 100kg?
3)Monte o modelo matemático que expresse o problema proposto.

14
4)Utilizando o modelo matemático do problema complete a tabela abaixo referente ao crescimento
mensal dessa planta durante o período de um ano.
Mês 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12°
Ano
5)Esboce um gráfico representativo do problema de acordo com os dados obtidos na tabela do
exercício 4.
Também em relação à propagação de um vírus, o que nos importa é que podemos
utilizar a Matemática para ajudar a prever o aumento da incidência desses vírus e até traçar metas
para atingir o seu controle, entendendo o problema como uma série numérica ou seqüência numérica
que pode ser analisada. Porém o que é uma seqüência numérica?
"É todo o conjunto de números cujos elementos seguem uma certa ordem. "
No caso do contágio da AIOS do problema trabalhado, nele a ordem é dada
por:
y = 2x
ou seja f(x) = 2x
Que chamamos de seqüência exponencial.
Mas existem outros tipos de seqüências numéricas, tais como as Progressões
Aritméticas e as Progressões Geométricas.
6. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
"É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à
soma do termo precedente (anterior) com uma constante r, chamado de razão da
progressão" .
Fórmula do termo geral de uma P.A.
an = aI + (n - 1).r
onde: a, = último termo

15
a, = 10
termo
n = n.o de termos
r = razão
Fórmula da Soma de uma P.A. Finita
Exercícios:
1- Em uma estrada são instalados telefones SOS a cada 2,8 km. Calcule o número de telefones
instalados num trecho que vai do km 5 até o km 61, sabendo que nessas marcas há telefones
instalados. Conte inclusive com esses dois telefones.
2- Um cidadão comprou na loja Baxi-Jango, roupas e calçados, em 12 prestações, uma em cada mês,
sendo que a primeira será de R$ 50,00, a segunda será de R$ 52,00, a terceira será de R$ 54,00, a
quarta de R$ 56,00, e assim sucessivamente. Responda:
a) qual será o valor da 123
prestação?
b) qual foi o total da compra?
c) Faça um gráfico das prestações.
3- Um terreno será vendido através de um plano de pagamentos mensais em que o primeiro
pagamento de R$ 500,00 será feito 1 mês após a compra, o segundo, de R$ 550,00, será feito dois
meses depois da compra, o terceiro, de R$ 600,00, será feito 3 meses após a compra e assim por
diante (isto é, cada pagamento mensal é igual ao anterior acrescido de R$ 50,00). Sabendo que o

16
preço total do terreno é de R$ 19 500,00, calcule o número de prestações mensais que devem ser
pagas.
7. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G.)
"Progressão Geométrica é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao produto do termo precedente (anterior) por uma constante q que a razão da
P.G."
Fórmula do Termo Geral da P.G.
onde: ao= último termo
a, = 1° termo
q = razão
n = n.° de termos
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. finita
s = a1·(1-qn)
n l-q
onde: Sn= Soma dos n primeiros termos
n = n.° de termos
q = razão
ai = 1° termo
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. infinita
onde: SOC! = Soma dos n primeiros termos
q = razão
aI = 1°termo
Uma das maiores aplicações das P.G. encontra-se na Matemática Financeira,
para calcular juros. Juro é o "aluguel" que se cobra do uso do dinheiro. Assim, quando você faz uma
compra em uma loja, e vai pagar a prazo é como se o dono da loja lhe emprestasse o dinheiro para a
compra e você o devolvesse aos poucos. Quando, você paga parte do Capital emprestado, junto com

17
parte do juro, dizemos que você está amortizando a dívida, e quando pagar a última parcela, você
terá pagado o juro e o capital juntos. Esta é a modalidade mais comum do mercado, porém se você
paga apenas o juro da dívida, chegará um momento que você deverá pagar todo o capital emprestado,
esse é o caso da dívida externa brasileira, que parece nunca ter fim.
Há dois tipos de juros, o Juro Simples, onde a taxa de juros incide apenas uma
vez sobre o capital, e o Juro Composto, onde calculamos juros sobre juros.
Fórmula do Juro Composto
I M = C.(1+i)"
M = montante
C = capital
i = taxa
n = período ou tempo.
Exemplo:
1- Você comprou um, televisor de R$ 500,00 em seis prestações de juros simples de 6%. Calcule:
a) Qual o juro cobrado?
b) Qual o valor de cada prestação?
2- Você comprou um, televisor de R$ 500,00 em seis prestações a JUro composto de 6%. a.m.
Calcule:
a) Qual o juro cobrado?
b) Qual o valor de cada prestação?

18
Exercícios
1- Aplica-se um capital de R$ 600,00, na caderneta de poupança, durante um período de 8 meses.
Prevendo uma média de juro de 0,98% a.m. para a caderneta de poupança nesse período, qual
será a estimativa de juros obtido?
2- Uma financeira empresta dinheiro à funcionários públicos a uma taxa de 3,5% a.m. Um
funcionário da UE.P.G. toma emprestado R$ 1 450,00 para pagar em 12 meses. Calcule:
a) o montantente que ele irá pagar do empréstimo;
b) o valor do juro pago.
3- Um cidadão comprou, na loja Baneta-pé, roupas e brinquedos num total de R$ 235,00. Ele
resolveu financiar sua compra em 5 vezes, em parcelas iguais de RS 50,00 por mês. Calcule:
a) o total final da compra;
b) o total de juro pago;
c) a taxa de juros cobrada pela loja.

19
4- Em um rebanho de 15 000 reses, urna foi infectada pelo vírus "vaca louca". Cada animal infectado
vive apenas dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada três é infectado
urna única vez, em quanto tempo o vírus terá exterminado metade do rebanho?
Obs. Para resolvermos este exercício teremos que utilizar urna operação da matemática chamada
Logaritmos. Mas o que são Logaritmos?
8. LOGARITMO
"Logaritmo é a operação que tem por objetivo e princípio básico transformar urna
multiplicação em uma adição ou urna divisão em uma subtração cujos esquemas de cálculo se
baseiam nos estudos de John Napier um matemático escocês que publicou suas obras sobre
logaritmos entre os anos de 1614 e 1619".
o princípio do logaritmo está numa pergunta "a quanto devemos elevar um número
para obter o outro?"
Ou seja:
2X
= 8? ou seja log, 8 = ?
Forma Geral de um Logaritmo
Log, a = x (lê-se logaritmo de a na base b é igual a x) ou seja
bX
= a (lê-se a quanto se deve elevar b para se obter a)
Propriedades dos Logaritmos
e r 3a
4a sa
Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade
loz, b = 1 loz, 1 = O log b aY
= v.log, a log, b" = X b'oga -
b - a
6a
7a ga 9a
Propriedade Propriedade Propriedade Propriedade
Cologaritmo Multiplicação de Divisão de Mudança de Base
lozaritmandos lozaritmandos
C010gba = -10gba log, a.c = log, a + log, c a 1 log, a
log, - =log, a - log, ogba =--
c log, b
Obs. Quando o logaritmo não possuir indicação numérica da base esta será sempre 10. Exemplo: log
100 = 2 (lê-se logaritmo de 100 na base 10 é 2)

20
Exercícios:
1- Calcule os logaritmos:
a) log7 49 = b) log 1000 =
2- Um cidadão fez um empréstimo, no Banespado S/A, de R$ 1 500,00, a uma taxa de 3,6% a.m., o
montante pago foi de R$ 2 189,95. Quanto tempo ele demorou para pagar o empréstimo?
(lembre-se que M= c.(1+i]", onde M é o montante, C é o capital, i é a taxa e n o período ou
tempo do empréstimo).
3- Sendo f(x) = log x, faça o gráfico desta função.
9. ESTATíSTICA
Agora, "voltando ao problema da vaca louca" faça um gráfico da mortande das vacas, porém
para permitir uma melhor visualização desse "evento", vamos fazê-lo usando os Gráficos Estatísticos,
que são: Gráfico de Linha, Gráfico de Barras (Verticais e Horizontais), Gráfico de Setores.
Para compor um gráfico, é necessário que se tenha:
a) Título - que é o nome do gráfico, que deve responder às perguntas "o que?, onde? e quando?";
b) Fonte - que é a informação da origem dos dados;

a) Gráfico de Linha
GRÁFICO 01
21
4500
4000I/)
~ 3500
~ 3000
I/) 2500
C'CS
~ 2000
~ 1500
~ 1000
c: 500
O
Mortalidade das Vacas Atingidas pelo Vírus
"Vaca Louca"
Ponta Grossa - Agosto de 2000
,
/
/
/,/
/
~
~~
~
Tempo (dias)

b) Gráfico de Barras
GRÁFICO 02
22
Mortalidade de Vacas Atingidas pelo Vírus
"Vaca Louca"
4500 4220
4000
11I
3500ta
t:
o 3000~
11I 2500ta
o
2000ta
>
1500ai
"O
o
1000:2
500 3 9
O
" rv <:, b< ~ <o ~ <o ~<::-
~"q)
s&-1>'
q)
Tempo (em dias)

23
Também podemos ter um Gráfico Estatístico do Problema do contágio de AIDS
c) Gráfico de Setores
GRÁFICO 03
Número de Pessoas Infectadas com o Vírus
da AIOS
1
2
4 8
A partir dos gráficos podemos fazer as análises que envolvem conceitos estatísticos,
permitindo fazer inferências a respeito dos dados obtidos, tais como média, mediana e moda.
64
9.1 MÉDIA ARITMÉTICA
"Média é o valor de cada parcela de uma soma, de maneira que elas tenham o mesmo
valor", ou seja, é a soma das parcelas dividida pelo número de parcelas.

24
Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Média
Aritmética:
I 1:4=2+ 4 +8 + 16+32;;,- 64
x= 7 :
127
x=--
7
I x = 71
9.2. MODA (Mo)
"São as freqüências mais repetidas de maior valor possível".
Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Moda:
Mo = 64.
9.3 MEDIANA (Md)
"É o termo central de uma amostra".
Assim, a média para o Gráfico 03, sobre a contaminação, teremos a seguinte Mediana:
Dados: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64
Md=8.
10. APROXIMAÇÕES
Quando se trabalha com valores expressos em casas decimais, pode ser que seja mais
prático e necessário fazer aproximações, para um menor número de casas decimais ou mesmo para o
inteiro.
Porém, para poder fazer isto é necessário seguir certas regras, que descrevemos
abaixo:
1°) se o número a ser excluído for maior do que 5, aumenta-se uma unidade ao número anterior a ele;
2°) se o número a ser excluído for menor ou igual a 5, o número anterior a ele permanece o mesmo.
Exemplos:
1) Faça a aproximação para duas casas decimais os números:
a) 23,432 = 23,43 b)23,435 = 23,43 c)23,436 = 23,44

Teoria Piaget Aprendizagem

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Teoria Piaget Aprendizagem

Similar to Teoria Piaget Aprendizagem (20)

More from slucarz

More from slucarz (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Teoria Piaget Aprendizagem