2. Tipos de agrupamentos
• Diferem um do outro pela
ordem ou natureza dos
elementos.
Arranjo
• Não diferem pela ordem dos
seus elementos.
Combinação
• São grupos fazendo a troca de
posições de todos os elementos.
Permutação
4. O quadrangular final de um torneio mundial
de basquete é disputado por quatro
seleções: Brasil, Finlândia, Grécia e Turquia.
De quantas maneiras distintas podemos ter
os três primeiros colocados?
5. Arranjos (Definição)
• Arranjos são agrupamentos nos quais a
ordem ou a natureza dos seus
elementos FAZ A DIFERENÇA.
• É preciso ter um conjunto de elementos
distintos com uma quantidade qualquer
de elementos, sendo que os arranjos
simples formados irão possuir n
elementos, sendo que essa quantidade
será igual ou menor que a quantidade
de elementos do conjunto.
6. Arranjos (Fórmula)
Dado um conjunto com n elementos distintos,
chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a
qualquer sequência ordenada de k elementos distintos
escolhidos entre os n existentes.
7. Exemplo 1: A senha
• A senha de um cartão eletrônico é formada por
duas letras distintas acompanhadas por uma
sequência de três algarismos distintos. Quantas
senhas poderiam ser “confeccionadas”?
8. Exemplo 2: Pares ordenados
• Dado o conjunto A={1,2,3,4}, vamos escrever
todos os arranjos desses quatro elementos
tomados dois a dois (pares ordenados).
10. Cinco pessoas, entre elas Antônio e Pedro,
vão fazer uma selfie. De quantas maneiras
elas podem ser dispostas, colocadas lado a
lado?
11. Permutação (Definição)
• São grupos formados, fazendo a
troca de posições de todos os
elementos envolvidos.
• Notemos que a permutação é
um caso particular de arranjo,
pois, dado um conjunto com n
elementos distintos,
selecionamos exatamente n
elementos para formar a
sequencia ordenada.
13. Exemplo 1: Centenas distintas
• Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos formar utilizando os algarismos 2, 5 e
8? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja,
sem repetir o mesmo algarismo.
14. Exemplo 2: ANAGRAMAS
• Anagramas são todas as palavras formadas, com
ou sem sentido, pelas letras da palavra dada,
embaralhando a sua ordem. Quantos anagramas
existem da palavra azul?
15. 15
Permutação com repetição
É a permutação onde aparecem elementos
repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não
aparecerá mudanças na posição.
Generalizando:
n
n!
P,,
!! !
16. Exemplo 3: ANAGRAMAS
Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.
Ao mudar as letras “m” com outra “m”
aparentemente não houve mudança. O mesmo
com as letras “a” ou “t” . Assim, seguimos o
raciocínio:
Pn 10!
10 9 8 7 6 5 4 3!
151200
P1 P2 P3 2!3! 2! 2 3!2
18. Quatro alunos – Pedro, Luís, Abel e Márcio –
participam de um concurso em que serão
sorteadas três bicicletas do tipo mountain
bike. Quais os possíveis resultados do
concurso?
19. Combinação (Definição)
• Dado um conjunto A com n
elementos distintos, chama-se
combinação dos n elementos
de A, tomados k a k, a qualquer
subconjunto de A formado por
k elementos.
• Notemos que neste caso a troca
da ordem dos elementos não
caracteriza novos
agrupamentos
21. Exemplo 1: A comissão
• Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6
meninas. Quantas comissões de dois meninos de
duas meninas podem ser formadas?
22. Exemplo 2: DIA DE PIZZA
• Um pizzaria oferece 15 diferentes sabores de
pizza e seus clientes. De quantas maneiras uma
família pode escolher três desses sabores?
23. Observação
• Tanto arranjo como combinação são
agrupamentos de k elementos
distintos escolhidos a partir de um
conjunto de n elementos. A diferença é
que, no arranjo, se mudarmos a
ordem dos elementos de certo
agrupamento, obteremos um novo
agrupamento; na combinação,
mudando a ordem dos elementos de
certo agrupamento, obteremos o
mesmo agrupamento.
24. Carlos Santos Junior
Professor de Matemática
Unidade Integrada SESI/SENAI – EBEP
Carlos Guido Ferrario Lobo
carlos.dasilva@al.sesi.org.br
carlossantosjr@outlook.com.br
