Espacios vectoriales, subespacios, combinación lineal y dependencia lineal

1. MSc.Ing. Leiny Rivas

2. Un Espacio vectorial V es aquel conjunto de vectores,
junto con dos operaciones llamadas sumas y
multiplicación por un escalar, y que cumplen las
nueve propiedades o axiomas.
Un conjunto
• El conjunto de los estudiantes que cursan Álgebra lineal en la UTEPSA
• El conjunto de los marcadores sobre el escritorio del profesor
Matemáticas
• Conjuntos numéricos de los
número naturales, enteros,
racionales, irracionales, complejos
entre otros.
• Conjunto de polinomios,
conjunto de las funciones,
conjunto de las matrices 2x2,3x3
entre otros.
Hay conjuntos que
satisfacen unas
propiedades especiales,
que se les puede definir.
• Sumas y Multiplicación entre
sus elementos
• Multiplicación de dos
conjuntos (elementos de un
conjunto se multiplican con
elementos del otro conjunto)
CONJUNTOS ESPECIALES
“ESPACIOS VECTORIALES”
CUERPOS, ANILLOS, RETICULOS ENTRE OTROS
Espacio Vectorial

3. Un vector es un segmento de recta que tiene una magnitud, dirección y sentido
YYY
X
Y
(X0, Y0)
Anclados en el origen
v
u
U+V
C. V C € Ɽ
Estas dos operaciones son permitidas por R2 , al
aplicar estas dos operaciones la suma de
vectores y el producto de un vector por un
número real vuelve a ser un vector en R2
U+V
C. V
V = (X0 , Y0 )
U = (X1 , Y1)
VECTORES EN R2
(X1 , Y1)
Entonces podemos sumar los vectores de la siguiente manera:
V + U = (X0 + X1 , Y0 + Y1) Representación analítica de representar la suma de vectores
y debe coincidir con*
C. V = (CX0 ,CY0) * (producto por escalar)
Espacio Vectorial

5. REALIZAR EJERCICIOS

6. Norma de un Vector
a) (-3, 5) b) (2, 0) a) (4, -1, 2) b) (7, 1, 0)

7. Producto vectoriales entre dos vectores
u = (2, -1, 1) v = (0, 3, -1)
Considere los vectores:
y
Vector unitario
X: i, y: j , z : k
Preserva su
misma dirección
y sentido.
+ - +
- + -
+ - +
Matriz 3x3x
El producto vectorial se
pueda calcular mediante
determinantes
z
y
x
k
j
i
(-2 , 2 , 6)

8. Producto vectoriales entre dos vectores
u = (3, 1, 1) v = (2, 3, -1)
y
u = (2, 4, -3) v = (2, 3, 0)
y
u = (1, 0, -2) v = (4, -3, 0)
y
a.
b.
c.

9. Propiedades ( axiomas) que satisfacen los vectores en Rn
Dado tres vectores en Rn
U, V, W y dos números reales c, d R
1.- U + V Rn
2.- Conmutativa de la suma
U+V = V+U
3.- Existencia del elemento un cero (0,0…0); en
Rn el “0 “va ser el vector que tiene todas las
coordenadas 0.
U+0= U
4.- U+ (-U) =0
5.- Propiedad Asociativa (U+V) +W= U+ (V+W)
Propiedad de producto por Escalar
6.- c.v ∈ R
7.-Propiedad distributiva
(c + d). V= c.V+d.V
8.- propiedad Asociativa
(c.d). V= c(d.V)
9.- 1V=V
“CUALQUIER ESPACIO VECTORIAL SERÁ UN CONJUNTO QUE SATIFAGA ESTAS NUEVE PROPIEDADES”
∈
∈
Espacio Vectorial
Propiedad de la suma

10. Resolver comprobando las propiedades que satisfacen los
vectores en R2
U= (1, -1)
*Dados los vectores: V= (2, 1) W= (1, 0) R2 ;y dos números reales c=2 , d=3
Ejercicio 1:
Ejemplo en R2
∈ R
∈
Practico
1.- U + V Rn
U + V = ( 1+ 2, -1+1)= (3,0) ∈ R2
2.- Conmutativa de la suma
U+V = V+U
( 1+ 2, -1+1)= (2+1,1+(-1))
(3,0) = (3,0)
3.- Existencia del elemento un cero (0,0)
U+0= U (1,-1)+(0,0)= (1,-1)
4.- U+ (-U) =0
(1, -1)+(-1+1)= (0,0)
5.- Propiedad Asociativa (U+V) +W= U+ (V+W)
((1, -1)+ (2, 1))+ (1, 0)= (4,0)
(1, -1)+ ((2, 1)+ (1, 0))= (4,0)
Propiedad de la suma

11. Propiedades ( axiomas) que satisfacen los vectores en Rn
Propiedad de producto por Escalar
6.- c.v
∈ R2
7.-Propiedad distributiva
(c + d). V= c.V+d.V
8.- propiedad Asociativa
(c.d). V= c(d.V)
9.- 1V=V
Espacio Vectorial
U= (1, -1)
*Dados los vectores: V= (2, 1) W= (1, 0) R2 ;y dos números reales c=2 , d=3
∈ R
∈
2 (2,1)= (4,2)
(2+3). (2, 1)= 2 (2, 1)+3 (2, 1)
5 (2, 1)=(4,2)+(6,3)
(10,5)=(10,5)
(2.3)(2,1)=2(3(2,1))
6(2,1)=2(6,3)
(12,6)= (12,6)
1(2,1)= (2,1)
“CUALQUIER ESPACIO VECTORIAL SERÁ UN CONJUNTO QUE SATIFAGA ESTAS NUEVE PROPIEDADES”
Ejemplo en R2

12. Resolver comprobando las propiedades que satisfacen los
vectores en R2
Ejercicio 1:
Ejemplo en R2
Practico
A= (5, 2)
* Dados los vectores: B= (3, 8) C= (-3, 5) R2 ;y dos números reales c=4 , d=2
∈ R
∈

13. Espacio Vectorial
El espacio vectorial va hacer un conjunto Rn , pero también necesitamos de otro conjunto que
va hacer el conjunto de los escalares, a este conjunto se le llama Cuerpo.
En El Cuerpo tenemos suma de elementos y productos de elementos. El Cuerpo se denota con
la letra K, donde K son los números racionales (Q), números reales (R) y los números
complejos entre otros.
Conjunto Rn
U, V, W c, d ∈R
(CUERPO)
Conjunto de los escalares
Entonces un espacio vectorial son DOS CONJUNTOS ( V, K, +, . )
4 ELEMENTOS
UNA VEZ NOS INDIQUEN LOS 4
ELEMENTOS, SE TIENEN QUE VERIFICAR
LAS NUEVE PROPIEDADES.
Espacio
Vectorial
1 2

14. ( V, K, +, . )
ESPACIO VECTORIAL
V=Rn, K=R , + , .
Polinomios de grado ≤ menor o igual que 5.
(R5 X , R, +, .)
Polinomio con
coeficiente en los reales
(M2X2 (R) , R ,+, .) El conjunto de matrices cuadradas 2x2 con entrada en los
reales, junto con el cuerpo de los reales, con la suma de
matrices y con el producto por escalar. Forman un espacio
vectorial.
Tenemos el escalar dotado de dos propiedades + y .
Será un espacio vectorial:

15. Polinomios de grado ≤ menor o igual que 5.
( V, K, +, . )
ESPACIO VECTORIAL
R5 X :
P(x)= x5 + 3x4- 2x3- x2+ 7x- 1
q(x)= 3x5 - x3+ x + 3
P(x)+q(x)= 4 x5 + 3x4- 3x3- x2+ 8x+ 2
K= 5
5 P(x)= 5x5 + 15x4- 10x3- 5x2+ 35x- 5
Vemos que tanto la suma como el producto
escalar vuelven a ser polinomio de grado
menor o igual a 5. por lo tanto sigue
estando dentro de este conjunto R5 x
Tenemos el escalar dotado de dos propiedades + y .
Ejemplo:

16. SUBESPACIO VECTORIAL
Propiedades (Axiomas)
Sea “W” un subconjunto y “V” un espacio vectorial, decimos que W es un subespacio
vectorial de V si cumple lo siguiente:
1. W c V
2. W ‡ ɸ (conjunto vacío)
3. Para todo
4. Para todo ὰ
u ∈ W y Para todo v W u + v ∈ W
∈ 𝑲 y Para todo u ∈ W ὰ u ∈ W
∈
(C : contenido)

17. SUBESPACIO VECTORIAL
Ejemplo: W = (x ; y)∈ R2 / y = 2x
Subconjunto
Espacio vectorial
Demostrar si el subconjuto W es un subespacio vectorial de R2
✓ Comprobar si se cumples las cuatro propiedades o axiomas
1. W c R2
Si por definición
(C : contenido)
2. W ‡ ɸ
Característica del subconjunto
y = 2x 0 = 2 (0) 0=0 “verdadero”
u =(x1 ; y1)
u ∈ W y Para todo v W u + v ∈ W
∈
3. Para todo
v =(x2 ; y2)
Variable libre (X) y variable condicional (y)
y = 2x tiene que estar en función de la
variable libre
=(x2 ; 2x2)
v
u v
+ = (x1 + x2 ; 2x1 +2x2)
x y
Por lo tanto
u v
+ ∈ W
Tengo que corroborar y = 2x
W es un espacio vectorial de R2
y = 2x
Si por definición
Siempre vamos a seleccionar el vector nulo (0, 0)
u =(x1 ; 2x1)
Característica
4. ὰ u = ὰ (x1 , 2x1)
ὰ u = (ὰ x1 , 2 x1)
ὰ
x y
Multiplico por 2 (ὰ x1)
(2ὰ x1 = 2 x1)
ὰ
Por lo tanto ὰ u ∈ W

18. Práctico
2. Comprobar si el subconjunto W pertenece a un subespacio Vectorial
W= (X , Y) R2 / y= mx+b
∈ ^ b ‡ 0
1. Determinar si el conjunto dado es un espacio vectorial.
Conjunto V= R2 ; Sea (x , y) R2 ; (x2,y2) R2 escalar R
∈ ∈ ὰ ∈
^ ( V, K, +, . )
Cumpla los 9 Axiomas
Un Espacio vectorial V es aquel
conjunto de vectores, junto con
dos operaciones llamadas sumas
y multiplicación por un escalar, y
que cumplen las nueve
propiedades o axiomas.

24. Combinación Lineal
Analizar si el vector Ԧ
𝑝 = 9 , 4 , −1 es combinación Lineal de los
vectores: Ԧ
𝑞 = 1 , 2 , 2 , Ԧ
𝑟 = 1 , −1 , −1 , Ԧ
𝑠 = −2 , 4 , 4
Para que t sea combinación lineal de u, v, w deben existir escalares
para que se cumpla que: 𝒌𝟏𝒒 + 𝒌𝟐𝒓 + 𝒌𝟑𝒔 = 𝒑
Reemplazando los vectores, se tiene:
𝒌𝟏 1 , 2 , 2 + 𝒌𝟐 1 , −1 , −1 + 𝒌𝟑 −2 , 4 , 4 = 9 , 4 , −1
Multiplicando cada vector por su escalar, se tiene:
𝑘1, 2𝑘1, 2𝑘1 + 𝑘2, −𝑘2, −𝑘2 + −2𝑘3, 4𝑘3, 4𝑘3 = 9 , 4 , −1
Sumando vectores, se tiene:
𝑘1 + 𝑘2 − 2𝑘3, 2𝑘1 − 𝑘2 + 4𝑘3, 2𝑘1 − 𝑘2 + 4𝑘3 = 9 , 4 , −1

26. Practico

27. Dependencia e independencia Lineal
K1, K2, ….KN

31. Practico