Modelos de mercados aleatorios: distribuciones de equilibrio.

1. ECONOFÍSICA:
MODELIZACIÓN DE
MERCADOS LIBRES
Autor: Alejandro Nicolás Serban Cordos
Director: Ricardo López Ruiz

2. ÍNDICE
1. Introducción
2. Mercados libres: distribución exponencial de la riqueza
3. Mercados con ahorro: distribución Gamma de la riqueza
4. Sociedad heterogénea: pobreza y “oligarcas”
5. “Take home message”

3. INTRODUCCIÓN
MECÁNICA
ESTADÍSTIC
A
ECONOMÍA
OBJETIVO
COMÚN
Análisis del comportamiento
macroscópico a través de las
interacciones a nivel microscópico
¿CONEXIÓN ENTRE LA FÍSICA
Y LA ECONOMÍA?

4. INTRODUCCIÓN
MECÁNICA
ESTADÍSTIC
A
ECONOMÍA
OBJETIVO
COMÚN
Análisis del comportamiento
macroscópico a través de las
interacciones a nivel microscópico
¿CONEXIÓN ENTRE LA FÍSICA
Y LA ECONOMÍA?
ECONOFÍSICA
• Modelización basada en agentes
• Variables/Elementos empleados: dinero, riqueza
y salarios
• Diferenciación entre capa física y capa monetaria
¿CONEXIÓN ENTRE LA FÍSICA
Y LA ECONOMÍA?

5. • Sistema económico multi-agente cerrado
• La distribución en el equilibrio sigue la
forma del factor de Boltzmann-Gibbs:
2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE LA
RIQUEZA
Modelo Dragulescu-Yakovenko
𝑇𝑚 =
𝑀
𝑁
= < 𝑚 >
𝑃(𝑚) = c𝑒−𝑚/𝑇𝑚
Simulación numérica del modelo
• Ley de intercambio:
(𝑚𝑖, 𝑚𝑗) → 𝑚𝑖
′
, 𝑚𝑗
′
con
𝑚𝑖
′
= 𝜖(𝑚𝑖 + 𝑚𝑗)
𝑚𝑗
′
= (1 − 𝜖)(𝑚𝑖 + 𝑚𝑗)
• Elección random de los pares de agentes
• 𝜖 ∈ 0,1 número random plano
• Distribución de riqueza en el equilibrio:
𝑃 𝑚 =
1
< 𝑚 >
𝑒
−
𝑚
<𝑚>
• 𝑚𝑖 ≡ dinero del agente 𝑖 en 𝑡, 𝑚𝑖
′
≡
dinero del agente 𝑖 en 𝑡 + 1

6. 2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE LA
RIQUEZA
Se proponen diferentes distribuciones iniciales y observamos su convergencia al estado de
equilibrio:
1. Distribución inicial delta de Dirac
2. Distribución inicial triple delta de Dirac

7. 2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE LA
RIQUEZA
1. Distribución inicial delta
de Dirac
• <m>=1
• N= 1000 (# de agentes)
• Tiempo ≡ transacciones

8. 2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE LA
RIQUEZA
1. Distribución ESTACIONARIA
de la distribución inicial delta de
Dirac
• <m>=1
• N= 1000 (# de agentes)
• Tiempo ≡ transacciones ≡ 𝑁2
• 100 barridos de las 𝑁2
transacciones
COINCIDE CON:
𝑃 𝑚 =
1
< 𝑚 >
𝑒
−
𝑚
<𝑚> ≡ 𝑒−𝑚
¡con <m>=1!

9. 2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE LA
RIQUEZA
2. Distribución inicial triple
delta de Dirac
• m=1/2 , m=1 , m=2 →
<m>=7/6
• N= 1000 (# de agentes)
• Tiempo ≡ transacciones

10. 2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE LA
RIQUEZA
1. Distribución ESTACIONARIA
de la distribución inicial triple
delta de Dirac
• <m>=7/6
• N= 1000 (# de agentes)
• Tiempo ≡ transacciones ≡ 𝑁2
• 500 barridos de las 𝑁2
transacciones
COINCIDE CON:
𝑃 𝑚 =
1
< 𝑚 >
𝑒
−
𝑚
<𝑚> ≡
6
7
𝑒
−6𝑚
7
¡con <m>=7/6!

11. 2. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL DE LA
RIQUEZA
¡ Dada cualquier distribución inicial, esta converge
al factor de Boltzmann-Gibbs cuando se alcanza el
equilibrio !

12. 2.MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA OBTENCIÓN
DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
MÉTODO
GEOMÉTRICO
MÉTODO
FÍSICO
MÉTODO
FUNCIONAL

13. 2. RECREACIÓN DE LAS CLASES SOCIALES EN EL
MODELO
DRAGULESCU-YAKOVENKO
• Definición de las clases sociales:
-Clase baja→ 𝑚𝑖 ≤ 1/2
-Clase media→ 1/2 ≤ 𝑚𝑖 ≤ 2
-Clase alta→ 𝑚𝑖 ≥ 2
Parámetros simulación:
• N=1000 (# agentes)
• <m>=1
• 𝑁2 transacciones≡ tiempo
• 100 barridos de las 𝑁2 transacciones

14. 2. DECAIMIENTO AL EQUILIBRIO
¿Cómo escala el tamaño del sistema N con el decaimiento al equilibrio de las distribuciones en función del
tiempo?
• Definimos 𝑑(t) como la distancia
entre la distribución a tiempo t y la
distribución estacionaria teórica:
𝑑 𝑡 =
𝑚
𝑃𝑡 𝑚 − 𝑃𝑒𝑞(𝑚) =
𝑚
𝑛𝑚
𝑡 − 𝑛𝑚
𝑒𝑞
𝑁
• Cualitativamente deducimos que
d(t): 𝑑 𝑡 ∝ 𝑒−𝛼𝑡
¡BUSCAMOS 𝜶(𝑵)!
Veamos que ocurre numéricamente…

15. 2. DECAIMIENTO AL EQUILIBRIO
¿Cómo escala el tamaño del sistema N con el decaimiento al equilibrio de las distribuciones en función del
tiempo?
• Definimos 𝑑(t) como la distancia
entre la distribución a tiempo t y la
distribución estacionaria teórica:
𝑑 𝑡 =
𝑚
𝑃𝑡 𝑚 − 𝑃𝑒𝑞(𝑚) =
𝑚
𝑛𝑚
𝑡 − 𝑛𝑚
𝑒𝑞
𝑁
• Cualitativamente deducimos que
d(t): 𝑑 𝑡 ∝ 𝑒−𝜶𝑡
¡BUSCAMOS 𝜶(𝑵)!
Veamos qué ocurre numéricamente…
• Fit exponencial a los
resultados:
𝑑 𝑡 = 𝑎𝑒−𝑏𝑡 + 𝑐
Obtengamos estos
parámetros del ajuste
en el límite
termodinámico 𝑁 → ∞

16. 2. DECAIMIENTO AL EQUILIBRIO
Cuando 𝑁 → ∞:
• Cuando 𝑡 → ∞ d t → 0 𝑐 = 0
• En el caso de
a:
• Pero nos interesa más b, el software proporciona los siguientes
valores de b para los diferentes N…
Valores de los parámetros
¡ 𝑏 ≡ 𝛼(𝑁) buscado en 𝑑 𝑡 ∝ 𝑒−𝜶𝑡
!
𝑑 𝑡 = 2 ∙ 𝑒−𝑏𝑡/𝑁
Expresión final:
𝑑 𝑡 = 𝑎𝑒−𝑏𝑡 + 𝑐
𝑏 =
𝑏
𝑁

17. 3. DISTRIBUCIÓN GAMMA DE LA
RIQUEZA
• Sistema económico multi-agente cerrado
y homogéneo
Modelo Dragulescu-Yakovenko con ahorro uniforme
• Ley de intercambio:
(𝑚𝑖, 𝑚𝑗) → 𝑚𝑖
′
, 𝑚𝑗
′
con
𝑚𝑖
′
= 𝜆𝑚𝑖 + 𝜖(1 − 𝜆)(𝑚𝑖 + 𝑚𝑗)
𝑚𝑗
′
= 𝜆𝑚𝑗 + (1 − 𝜖)(1 − 𝜆)(𝑚𝑖 + 𝑚𝑗) • Elección random de los pares de agentes
• 𝜖 ∈ 0,1 número random plano
• 𝑚𝑖 ≡ dinero del agente 𝑖 en 𝑡, 𝑚𝑖
′
≡
dinero del agente 𝑖 en 𝑡 + 1
¡Más realista!
• Se introduce un parámetro de ahorro λ cte
y λ ∈ [0,1]

18. 3. DISTRIBUCIÓN GAMMA DE LA
RIQUEZA
Modelo Dragulescu-Yakovenko con ahorro uniforme
¿Cómo será su distribución en el equilibrio?
APROXIMACIÓN GAMMA:
Γ 𝑛 es la función
Gamma
En este capítulo se ha empleado siempre una <m>=1

19. 3. DISTRIBUCIÓN GAMMA DE LA
RIQUEZA
Modelo Dragulescu-Yakovenko con ahorro uniforme
Simulación numérica frente a aproximación
Gamma teórica
• Líneas sólidas → curva teórica
• Puntos → resultados numéricos
¿Es buena esta
aproximación?

20. 3. DISTRIBUCIÓN GAMMA DE LA
RIQUEZA
¿Es buena esta
aproximación?
Sí que lo es… ¡pero se puede mejorar! Z-Model en un modelo con ahorro uniforme

21. 3. RECREACIÓN DE LAS CLASES SOCIALES EN EL
MODELO
DRAGULESCU-YAKOVENKO CON AHORRO
• Mejora de la clase media respecto
a la del modelo DY (%47,31)

22. 4. SOCIEDAD HETEROGÉNEA
• Proporción p de agentes con 𝜆1 y el resto de agentes con 𝜆2 =
0

23. 4. SOCIEDAD HETEROGÉNEA
¡Durante la evolución de esta distribución, existirá una proporción de ahorradores crítica (𝑝𝑐)
donde la pobreza extrema m = 0 dejará de ser un máximo global!
ERRADICACIÓN DE LA POBREZA
EXTREMA

24. 4. SOCIEDAD HETEROGÉNEA
ERRADICACIÓN DE LA POBREZA
EXTREMA

25. 4. SOCIEDAD HETEROGÉNEA
SOCIEDAD CON OLIGARCAS
• “Oligarca” → agente con 𝜆 = 1
• N=1000, M=1000, <m>=1
• ¡Acumula toda la riqueza del sistema!

26. TAKE HOME MESSAGE
• Distribución inicial + definición de interacciones locales→
siempre se alcanza la distribución estacionaria. ¡No
existencia de una “mano negra”!
• La convergencia al equilibrio escala con la inversa del
tamaño del sistema ∝ 𝑒−1/𝑁
• Existe un mínimo de ahorradores necesario (𝑝𝑐 = 0.273)
con 𝜆 = 0.3, el cual elimina la pobreza extrema m=0

27. TAKE HOME MESSAGE
ÍNDICE 33
• Dada cualquier distribución inicial a un sistema
económico, siempre alcanza la distribución del equilibrio
• La convergencia al equilibrio va con la inversa del
tamaño del sistema ∝ 𝑒−1/𝑁
• Un parámetro de ahorro pequeño en una sociedad
homogénea es suficiente para aumentar la clase media
significativamente