Loading…

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

Like this document? Why not share!

Book2013 jan 04_2013_math

on

  • 1,382 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,382
Views on SlideShare
1,382
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
36
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Book2013 jan 04_2013_math Book2013 jan 04_2013_math Document Transcript

  • สวนที่ 1 (O NET) ........โดย อ.ไพโรจน โองตั๋ว ......................................หนา 2-52สวนที่ 2 (PAT 1) .........โดย อ.ภาคภูมิ อรามวารีกุล (พี่แทป)...............หนา 53-109สวนที่ 3 (PAT 1) .........โดย อ.ศุภฤกษ สกุลชัยพรเลิศ (ครู sup’k) .....หนา 110-208
  • เซต เซตที่ควรรูจัก 1. เซตจํากัด (Finite Set) หมายถึง เซตที่มีจํานวนสมาชิกจํากัด 2. เซตอนันต (Infinite Set) หมายถึง เซตที่มีจํานวนสมาชิกไมจํากัด เปนเซตซึ่งไมใชเซตจํากัด 3. เซตวาง (Empty Set) หมายถึง เซตที่ไมมีสมาชิก เขียนแทนดวยสัญลักษณ φ หรือ { } 4. สมบัติของสับเซต ถา A เปนเซตจํากัดใดๆ ที่มีสมาชิก n ตัว 1. จํานวนสับเซตทั้งหมดของเซต A = 2n ตัว 2. จํานวนสับเซตแททั้งหมดของเซต A = 2n – 1 ตัว 5. สมบัติของเพาเวอรเซต ให A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของ A เขียนแทนดวย P(A) 1. P(A) ≠ φ สําหรับทุกๆ เซต A 2. A ∈ P(A) 3. nP(A) = 2n 4. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 5. P(A) I P(B) = P(A I B) 6. P(A) U P(B) ⊂ P(A U B) ขอสังเกต * A ⊂ (A U B) และ B ⊂ (A U B) ** (A I B) ⊂ A และ (A I B) ⊂ Bคณิตศาสตร (2) ______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สมบัติของเซต ยูเนียน อินเตอรเซคชัน AU A = A AI A = A 1. Idempotent Laws AU φ = A AI φ = φ AU U = U AI U = A 2. สมบัติการเปลี่ยนกลุม (A U B) U C = A U B U C (A I B) I C = A I B I C 3. สมบัติการสลับที่ AU B = BU A AI B = BI A 4. สมบัติการแจกแจง A U (B I C) = (A U B) I (A U C) A I (B U C) = (A I B) U (A I C) 5. เอกลักษณของเซต AU φ = A AI U = A 6. Complement Laws A U A′ = U A I A′ = φ 7. De Morgan’s Laws (A U B)′ = φ (A I B)′ = U สมบัติอื่นๆ 8. A - B = A I B′ 9. (A U B)′ = A′ I B′ (A I B)′ = A′ U B′ 6. การหาจํานวนสมาชิกของเซต 1. ถา A และ B เปนเซตจํากัด และ A I B = φ แลว n(A U B) = n(A) + n(B) 2. ถา A และ B เปนเซตจํากัด และ A I B ≠ φ แลว n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A I B) 3. n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A I B) – n(A I C) – n(B I C) + n(A I B I C) 4. n(A′) = n(U) – n(A) ตัวอยางขอสอบ1. ให A เปนเซตจํากัด และ B เปนเซตอนันต ขอความใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ A 2) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ B 3) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ A 4) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ B2. ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเท็จ 1) A - B มีสมาชิก 5 ตัว 2) จํานวนสมาชิกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากับ 4 3) จํานวนสมาชิกของ (A - B) U (B - A) เปนจํานวนคู 4) A I B คือ เซตของจํานวนนับที่มีคามากกวา 5 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _______________________________________ คณิตศาสตร (3)
  • 3. ถา A – B = {2, 4, 6}, B – A = {0, 1, 3} และ A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว A I B เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8}4. กําหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ซึ่ง A ⊂ B พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. (C – A) ⊂ (C – B) ข. Ac I C ⊂ Ac I B ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด5. กําหนดให A และ B เปนเซต ซึ่ง n(A U B) = 88 และ n[(A – B) U (B – A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 45 2) 48 3) 53 4) 556. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 46 คน แตละคนมีเสื้อสีเหลืองหรือเสือสีฟาอยางนอยสีละหนึ่งตัว ถานักเรียน 39 ้ คนมีเสื้อสีเหลือง และ 19 คนมีเสื้อสีฟา แลวนักเรียนกลุมนี้ที่มีเสือสีเหลืองและเสือสีฟามีจํานวนเทากับขอใด ้ ้ 1) 9 คน 2) 10 คน 3) 11 คน 4) 12 คน7. ในการสํารวจความชอบในการดืมชาเขียวและกาแฟของกลุมตัวอยาง 32 คน พบวา ่ ผูชอบดื่มชาเขียวมี 18 คน ผูชอบดื่มกาแฟมี 16 คน ผูไมชอบดื่มชาเขียวและไมชอบดืมกาแฟมี 8 คน ่ จํานวนคนที่ชอบดื่มชาเขียวอยางเดียวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 คน 2) 8 คน 3) 10 คน 4) 12 คน8. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 50 คน มี 32 คน ไมชอบเลนกีฬาและไมชอบฟงเพลง ถามี 6 คน ชอบฟงเพลงแต ไมชอบเลนกีฬา และมี 1 คน ชอบเลนกีฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนักเรียนในกลุมนี้ที่ชอบเลนกีฬาและชอบ ฟงเพลงมีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน9. ถากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปนี้ เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จํานวนสมาชิก 25 27 26 30 7 จํานวนสมาชิกของ (A I B) U C เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 23 2) 24 3) 25 4) 26คณิตศาสตร (4) ______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 10. ให A และ B เปนเซตซึ่ง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(A I B) = 2 ถา C = (A – B) U (B – A) แลว n(P(C)) เทากับเทาใด11. ในการสํารวจงานอดิเรกของนักเรียน 200 คนปรากฏวา ชอบอานหนังสือมี 120 คน ชอบดูภาพยนตรมี 110 คน ชอบเลนกีฬามี 130 คน ชอบอานหนังสือและดูภาพยนตรมี 60 คน ชอบอานหนังสือและเลนกีฬามี 70 คน ชอบดูภาพยนตรและเลนกีฬามี 50 คน นักเรียนที่ชอบเลนกีฬาเพียงอยางเดียวมีกี่คน12. ในการสอบถามพอบานจํานวน 300 คน พบวา มีคนที่ดื่มชา 100 คน มีคนที่ดื่มกาแฟ 150 คน มีคนที่ไมดื่มทั้งน้ําชาและกาแฟ 100 คน พอบานที่ดื่มทั้งชาและกาแฟมีจํานวนเทาใด13. ในการสอบของนักเรียนชั้นประถมศึกษากลุมหนึ่ง พบวา มีผูสอบผานวิชาตางๆ ดังนี้ คณิตศาสตร 36 คน สังคมศึกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ภาษาไทยและสังคมศึกษา 12 คน คณิตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทั้งสามวิชา 5 คน จํานวนผูที่สอบผานอยางนอยหนึ่งวิชามีกี่คน โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _______________________________________ คณิตศาสตร (5)
  • การใหเหตุผล การใหเหตุผลทางคณิตศาสตรโดยทั่วไปสามารถแบงออกได 2 ลักษณะ คือ 1. การใหเหตุผลแบบอุปนัย เปนการใหเหตุผลโดยอาศัยขอสังเกต หรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอยาง มาสรุปเปนขอตกลง หรือขอคาดเดาทั่วไป หรือคําพยากรณ 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัย เปนการใหเหตุผลโดยนําขอความที่กาหนดให ซึ่งตองยอมรับวาเปนจริงทั้งหมด ํมาเปนขออางและสนับสนุนเพื่อสรุปเปนขอความจริงใหม การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชแผนภาพเวนน–ออยเลอร รูปแบบที่ 1 “a เปนสมาชิกของ A” รูปแบบที่ 2 “a ไมเปนสมาชิกของ A” a A a A เขียนวงกลม A โดยให a อยูภายใน A เขียนวงกลม A โดยไมให a อยูภายใน A รูปแบบที่ 3 “A ทุกตัวเปน B” รูปแบบที่ 4 “A บางตัวเปน B” B A B A เขียนวงกลม A และ B ซอนกัน โดย A อยูภายใน B เขียนวงกลม A และ B ตัดกัน สวนที่แรเงาแสดงวา “A ทุกตัวเปน B” สวนที่แรเงาแสดงวา “A บางตัวเปน B” รูปแบบที่ 5 “A บางตัวไมเปน B” รูปแบบที่ 6 “ไมมี A ตัวใดเปน B” A B A B เขียนวงกลม A และ B ตัดกัน เขียนวงกลม A และ B แยกกัน สวนที่แรเงาแสดงวา “A บางตัวไมเปน B” เพื่อแสดงวา “ไมมี A ตัวใดเปน B”คณิตศาสตร (6) ______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ตัวอยางขอสอบ1. เหตุ (1) ไมมีคนขยันคนใดเปนคนตกงาน (2) มีคนตกงานที่เปนคนใชเงินเกง (3) มีคนขยันที่ไมเปนคนใชเงินเกง ผล ในขอใดตอไปนี้เปนการสรุปผลจาก เหตุ ขางตนที่เปนไปอยางสมเหตุสมผล 1. มีคนขยันที่เปนคนใชเงินเกง 2. มีคนใชเงินเกงที่เปนคนตกงาน 3. มีคนใชเงินเกงที่เปนคนขยัน 4. มีคนตกงานที่เปนคนขยัน2. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ (1) นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี (2) คนที่มีสุขภาพดีบางคนเปนคนดี (3) ภราดรเปนนักกีฬา และเปนคนดี แผนภาพในขอใดตอไปนี้มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขอขางตน เมื่อจุดแทนภราดร 1) 2) 3) 4)3. จากแบบรูปที่กาหนดให ํ 7 14 21 77 1 2 4 2 4 8 3 6 12 ... a b c โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย 2a – b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 22 3) 33 4) 444. พิจารณาผลตางระหวางพจนของลําดับ 2, 5, 10, 17, 26, ... โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย พจนที่ 10 ของ ลําดับคือขอใดตอไปนี้ 1) 145 2) 121 3) 101 4) 84 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _______________________________________ คณิตศาสตร (7)
  • 5. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. คนตีกอลฟเกงทุกคนเปนคนสายตาดี 2. คนที่ตีกอลฟไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาดี 3. ธงชัยตีกอลฟเกงแตตีไมไดไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดท่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขางตน เมื่อจุดแทนธงชัย ี 1) 2) 3) 4)6. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้ เหตุ 1. A 2. เห็ดเปนพืชมีดอก ผล เห็ดเปนพืชชั้นสูง ขอสรุปขางตนสมเหตุสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พืชชั้นสูงทุกชนิดมีดอก 2) พืชชั้นสูงบางชนิดมีดอก 3) พืชมีดอกทุกชนิดเปนพืชชั้นสูง 4) พืชมีดอกบางชนิดเปนพืชชั้นสูง7. พิจารณาการอางเหตุตอไปนี้ ก. เหตุ 1. ถาฝนไมตกแลวเดชาไปโรงเรียน 2. ฝนตก ผล เดชาไมไปโรงเรียน ข. เหตุ 1. รัตนาขยันเรียน หรือ รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได 2. รัตนาไมขยันเรียน ผล รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. สมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล 3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผลคณิตศาสตร (8) ______________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ระบบจํานวนจริง แผนผังของระบบจํานวน จํานวนจริง จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ จํานวนเต็ม เศษสวนที่ไมใชจํานวนเต็ม จํานวนเต็มลบ ศูนย จํานวนเต็มบวก จํานวนจริง : Real Number (ใชสัญลักษณ R แทนเซตของจํานวนจริง) คือ เซตที่เกิดจากการยูเนียนกันของเซตของจํานวนตรรกยะกับเซตของจํานวนอตรรกยะ เขียนบนเสนจํานวนไดแบงออก ดังนี้ 1. จํานวนอตรรกยะ (ใชสัญลักษณ Q′ แทนเซตของจํานวนอตรรกยะ) คือ จํานวนที่ไมสามารถเขียนในรูปเศษสวนของจํานวนเต็มได ซึ่งก็คือทศนิยมไมซ้ําทั้งหลาย เชน π, e, ทศนิยมไมรูจบที่ไมซ้ํา 2. จํานวนตรรกยะ (ใชสัญลักษณ Q แทนเซตของจํานวนตรรกยะ) คือ จํานวนที่เขียนเปนเศษสวนของจํานวนเต็มได ซึ่งก็คือ ทศนิยมซ้ําทั้งหลายดังนั้น Q = {x | x = a เมื่อ a, b ∈ I และ b ≠ 0} b จํานวนเต็ม แบงออกเปน 3 ชนิด คือ 1. จํานวนเต็มบวก เขียน I+ หรือ I+ แทนเซตของจํานวนเต็มบวก หมายถึง {1, 2, 3, ...} จํานวนเต็มบวกเรียกชื่ออีกอยางวา จํานวนนับหรือจํานวนธรรมชาติ ซึ่งเขียนแทนเซตของจํานวนธรรมชาติไดดวย N 2. จํานวนเต็มศูนย เซตที่มี 0 เปนสมาชิกเพียงตัวเดียว นั่นคือ {0} 3. จํานวนเต็มลบ เขียน I- หรือ I- แทนเซตของจํานวนเต็มลบ หมายถึง {..., -3, -2, -1} เซตของจํานวนเต็มเขียนแทนดวย I ดังนั้น I = I+ U I- U {0} โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _______________________________________ คณิตศาสตร (9)
  • การบวกและการคูณในระบบจํานวนจริง ระบบจํานวนจริงประกอบดวยเซตของจํานวนจริง R กับการบวกและการคูณ ซึ่งมีสมบัติดังนี้ ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง สมบัติ การบวก การคูณ ปด 1. a+b∈R 6. ab ∈ R การสลับที่ 2. a+b=b+a 7. ab = ba การเปลี่ยนกลุม 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab)c = a(bc) การมีเอกลักษณ 4. มีจํานวนจริง 0 9. มีจํานวนจริง 1, 1 ≠ 0 ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 ซึ่ง 1a = a การมีอินเวอรส 5. สําหรับ a จะมีจํานวนจริง -a โดยที่ 10. สําหรับ a ที่ไมเปน 0 จะมี จํานวนจริง (-a) + a = 0 = a + (-a) อาน -a วา a-1 โดยที่ (a-1) อินเวอรสการบวกของ a (a-1)a = 1 อาน a-1 วา อินเวอรสการ คูณของ a การแจกแจง 11. a(b + c) = ab + ac การแกสมการกําลังสอง การแกสมการ หรือการหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว หมายถึง การหาคําตอบของสมการที่เขียนอยูในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว และ a ≠ 0 ทําไดโดยอาศัยความรูเกี่ยวกับจํานวนจริงและการแยกตัวประกอบของพหุนาม ดังนี้ แยกตัวประกอบของพหุนาม • พหุนามในรูปกําลังสองสมบูรณ จะแยกตัวประกอบ ดังนี้ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • พหุนามในรูปผลตางกําลังสอง จะแยกตัวประกอบดังนี้ A2 – B2 = (A – B)(A + B) • พหุนามในรูปผลบวกกําลังสาม จะแยกตัวประกอบดังนี้ A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) • พหุนามในรูปผลตางกําลังสาม จะแยกตัวประกอบดังนี้ A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) การหาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยใชสูตร x = -b ± b 2 - 4ac 2aคณิตศาสตร (10) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สมบัติของกรณฑที่สอง 1. x = x1/2 เมื่อ x ≥ 0 2. x 2 = |x| 3. ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว x y = x ⋅ y 4. ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว x = xy yการไมเทากัน ความหมายและสัญลักษณแทนการไมเทากัน ในการเปรียบเทียบจํานวนสองจํานวน นอกจากการเปรียบเทียบวาเทากันและไมเทากันแลว ยังมีการเปรียบเทียบวา มากกวาหรือนอยกวาไดโดยเขียนอยูในรูปประโยคสัญลักษณ การเขียนสัญลักษณแทนชวง ถา a, b ∈ R และ a < b 1. ชวงเปด a, b เขียนแทนดวย (a, b) และ (a, b) = {x|a < x < b} 2. ชวงปด a, b เขียนแทนดวย [a, b] และ [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} 3. ชวงครึ่งปดครึ่งเปด a, b เขียนแทนดวย [a, b) และ [a, b) = {x|a ≤ x < b} หรือ (a, b] และ (a, b] = {x|a < x ≤ b} 4. ชวงอนันต 4.1 (a, ∞) = {x|a < x < ∞} = {x|x > a} 4.2 [a, ∞) = {x|a ≤ x < ∞} = {x|x ≤ a} 4.3 (-∞, a) = {x|-∞ < x < a} = {x|x < a} 4.4 (-∞, a] = {x|-∞ < x ≤ a} = {x|x ≤ a} 4.5 (-∞,∞) = เซตของจํานวนจริง = R การเขียนชวงบนเสนจํานวนจริง (a, b) = a b [a, b] = a b [a, b) = a b (a, b] = a b (a, ∞) = a [a, ∞) = a (-∞, a) = a (-∞, a] = a (-∞, ∞) = 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (11)
  • สมบัติของการไมเทากัน กําหนด x, a, b เปนจํานวนจริง และ a < b แลว 1. ถา (x – a)(x – b) > 0 จะได x < a หรือ x > b 2. ถา (x – a)(x – b) < 0 จะได a < x < b 3. ถา (x – a)(x – b) ≥ 0 จะได x ≤ a หรือ x ≥ b 4. ถา (x – a)(x – b) ≤ 0 จะได a ≤ x ≤ b 5. ถา x - a > 0 จะได x < a หรือ x > b x- b 6. ถา x - a < 0 จะได a < x < b x- b 7. ถา x - a ≥ 0 จะได x ≤ a หรือ x > b x- b 8. ถา x - a ≤ 0 จะได a ≤ x < b x- b คาสัมบูรณของจํานวนจริง คาสัมบูรณของ a เขียนแทนดวยสัญลักษณ |a| หมายถึง ระยะหางระหวางจุดแทน 0 กับจุดแทน aบนเสนจํานวน บทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง a ถา a > 0 |a| = 0 ถา a = 0 -a ถา a < 0 สมบัติการเทากันของคาสัมบูรณ เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง 1. |x| = |y| ก็ตอเมือ x = y หรือ x = -y ่ 2. |x| = |-x| 3. |xy| = |x||y| 4. x = |x| , y ≠ 0 y |y | 5. |x – y| = |y – x| 6. |x2| = |x|2 = x2 7. |x + y| = |x| + |y| ก็ตอเมือ xy ≥ 0 ่ 8. |x - y| = |x| + |y| ก็ตอเมือ xy ≤ 0 ่ 9. x 2 = |x|คณิตศาสตร (12) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สมบัติการไมเทากันของคาสัมบูรณ เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง และ a เปนจํานวนจริงบวก 1. |x| < a ความหมายตรงกับ -a < x < a 2. |x| ≤ a ความหมายตรงกับ -a ≤ x ≤ a 3. |x| > a ความหมายตรงกับ x < -a หรือ x > a 4. |x| ≥ a ความหมายตรงกับ x ≤ -a หรือ x ≥ a 5. x2 < y2 ก็ตอเมื่อ |x| < |y| 6. |x + y| ≤ |x| + |y| 7. |x| - |y| ≤ |x - y| 8. |y| - |x| ≤ |x - y| 9. -|x| ≤ x ≤ |x| ตัวอยางขอสอบ1. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. มีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0 ข. มีจํานวนอตรรกยะที่นอยที่สดที่มากกวา 0 ุ ขอสรุปใดตอไปนี้กลาวถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด2. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. จํานวนที่เปนทศนิยมไมรูจบบางจํานวนเปนจํานวนอตรรกยะ ข. จํานวนที่เปนทศนิยมไมรูจบบางจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด3. กําหนดให s, t, u และ v เปนจํานวนจริง ซึ่ง s < t และ u < v พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด4. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a และ b เปนจํานวนจริงซึ่ง |a| < |b| แลว a3 < b3 ข. ถา a, b และ c เปนจํานวนจริงซึ่ง ac = bc แลว a = b ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (13)
  • 5. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงซึ่ง |a|b3c > 0 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ac > 0 ข. bc > 0 ขอใดถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด6. กําหนดใหคาประมาณที่ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่ 3 ของ 3 และ 5 คือ 1.732 และ 2.236 ตามลําดับ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 – 1.731 ≤ 5 – 3 ≤ 2.237 – 1.733 ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด7. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. สมบัติการมีอินเวอรสการบวกของจํานวนจริงกลาววา สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง b ที่ b + a = 0 = a + b ข. สมบัติการมีอินเวอรสการคูณของจํานวนจริงกลาววา สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง b ที่ ba = 1 = ab ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด8. ให a และ b เปนจํานวนตรรกยะที่แตกตางกัน และให c และ d เปนจํานวนอตรรกยะที่แตกตางกัน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. a – b เปนจํานวนตรรกยะ ข. c – d เปนจํานวนอตรรกยะ ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก ข. ถูก 2) ก. ถูก ข. ผิด 3) ก. ผิด ข. ถูก 4) ก. ผิด ข. ผิด9. คาของ ( 3 - 1)-2 เปนจริงตามขอใดตอไปนี้ 1) เปนจํานวนอตรรกยะที่นอยกวา 1.8 2) เปนจํานวนอตรรกยะที่มากกวา 1.8 3) เปนจํานวนตรรกยะที่นอยกวา 1.8 4) เปนจํานวนตรรกยะที่มากกวา 1.810. (|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | + |4 3 - 3 5 |)2 เทากับขอใด 1) 0 2) 180 3) 192 4) 20011. ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 4) 200คณิตศาสตร (14) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 5 612. 3 -32 + 2 3/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 27 (64) 1) - 13 24 2) - 56 3) 2 3 4) 19 24  213.  5 - 2  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้    6 15   3 1) 10 2) 107 3) 5 - 2 4) 6 -214. ( 18 + 2 3 -125 - 3 4 4 )3 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –1000 2) 1000 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5  1/2 15. คาของ (-2)2 +  8 + 2 2  เทากับขอใดตอไปนี้   32   1) -1 2) 1 3) 3 4) 516. 1 - 1 - |2 - 2 | มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2 2 1) 3 - 22 2 2) 22 - 3 2 3) 5 - 3 2 2 2 4) 3 2 2 - 5 217. (1 - 2 )2(2 + 8 )2(1 + 2 )3(2 - 8 )3 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –32 2) -24 3) -32 - 16 2 4) -24 - 16 218. ถา x ≤ 5 แลวขอใดตอไปนีถูก ้ 1) x2 ≤ 25 2) |x| ≤ 25 3) x|x| ≤ 25 4) (x - |x|)2 ≤ 2519. ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยูในชวงใด 1) (-10 , -5) 2) (-6 , -4) 3) (-4 , 5) 4) (-3 , 6)20. ถา 3 เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมื่อ b เปนจํานวนจริงแลว อีกผลเฉลยหนึ่งของ 4 สมการนี้มีคาตรงกับขอใด 1) –2 2) - 1 2 3) 12 4) 221. พิจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรุปใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) คําตอบหนึ่งของสมการมีคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการมีคาเทากับ 14 3) สมการนี้มคําตอบมากกวา 2 คําตอบ ี 4) ในบรรดาคําตอบทั้งหมดของสมการ คําตอบที่มีคานอยที่สุดมีคานอยกวา 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (15)
  • 22. ถาสมการ (x2 + 1)(2x2 – 6x + c) = 0 มีรากที่เปนจํานวนจริงเพียง 1 ราก คาของ c จะอยูในชวงใด ตอไปนี้ 1) (0, 3) 2) (3, 6) 3) (6, 9) 4) (9, 12)23. สมการในขอใดตอไปนี้ มีคําตอบที่เปนจํานวนจริงมากกวา 2 คําตอบ 1) (x – 2)2 + 1 = 0 2) (x2 + 2)(x2 – 1) = 0 3) (x – 1)2(x2 + 2) = 0 4) (x – 1)2(x + 2)2 = 0   2 224. จํานวนสมาชิกของเซต {x | x =  a + |1| - |a|- 1  เมื่อ a เปนจํานวนจริงซึ่งไมเทากับ 0} เทากับ  a   a  ขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรือเทากับ 425. ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 3 3) 3 - 1 4) 3 +1  26. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม และ A =  x ∈ I |x|x -|1| 1 ≤ 2  แลวจํานวนสมาชิกของเซต A   -1 - 3   เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 6 4) 727. ถา x = - 1 เปนรากของสมการ ax2 + 3x - 1 = 0 แลวรากอีกรากหนึ่งของสมการนี้มคาเทากับขอใด 2 ี ตอไปนี้ 1) –5 2) - 5 1 3) 51 4) 528. เซตของจํานวนจริง m ซึ่งทําใหสมการ x2 - mx + 4 มีรากเปนจํานวนจริง เปนสับเซตของเซตใดตอไปนี้ 1) (-5, 5) 2) (-∞, -4) U [3, ∞) 3) (-∞, 0) U [5, ∞) 4) (-∞, -3) U [4, ∞)29. เซตคําตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + x ≤ 1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1- 2 1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2]30. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมที่มมม C เปนมุมฉาก มีดาน BC ยาวเทากับ 10 3 หนวย และดาน AB ีุ ยาวเทากับ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจุด C ไปตั้งฉากกับดาน AB ที่จุด D แลวจะไดวาดาน CD  ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย31. ตองการลอมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพื้นที่ 65 ตารางวา โดยดานยาวของที่ดนยาวกวาสองเทาของ ิ ดานกวางอยู 3 วา จะตองใชร้วที่มความยาวเทากับขอใดตอไปนี้ ั ี 1) 30 วา 2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วาคณิตศาสตร (16) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 32. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีพื้นที่ 600 ตารางเซนติเมตร ถาดานประกอบมุมฉากดานหนึ่งยาวเปน 75% ของดานประกอบมุมฉากอีกดานหนึ่งแลว เสนรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปนี้ยาวกี่เซนติเมตร 1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 233. ขบวนพาเหรดรูปสี่เหลี่ยมผืนผาขบวนหนึ่ง ประกอบดวยผูเดินเปนแถว แถวละเทาๆ กัน (มากกวา 1 แถว และแถวละมากกวา 1 คน) โดยเฉพาะผูอยูริมดานนอกทั้งสี่ดานของขบวนนั้น ที่สวมชุดสีแดง ซึ่งมีทั้งหมด 50 คน ถา x คือจํานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คือจํานวนคนที่อยูในขบวนพาเหรดแลว ขอใด ถูกตอง 1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N 3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N34. รูปสี่เหลี่ยมผืนผาสองรูป มีขนาดเทากัน โดยมีเสนทแยงมุมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานํารูป สี่เหลี่ยมผืนผาทั้งสองมาวางตอกันดังรูป จุด A และจุด B อยูหางกันเปนระยะกี่เทาของดานกวาง A B C 1) 1.5 2) 3 3) 2 4) 2 235. ถา x = 2 + 3 และ y = 2 - 3 แลว x2 – 4xy + y2 เทากับเทาใด 2- 3 2+ 3  4 1/x36. ถา   8  =  16  และ y = 3x แลว y เทากับเทาใด      27   81 37. ถา a, b, c และ d เปนจํานวนจริงซึ่ง (x – 1)2(ax + b) = cx2 + dx + 4 ทุกจํานวนจริง x แลว a + b + c + d เทากับเทาใด38. ถา (p – 2)2 = 25 และ (q + 1)2 = 81 แลว คามากที่สุดที่เปนไปไดของ p – 2q เทากับเทาใด39. ถาชวงเปด (a, b) เปนเซตคําตอบของอสมการ |x - 1| + |6 - 3x| < 17 และ x > 2 แลว a + b เทากับเทาใด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (17)
  • เลขยกกําลัง เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม บทนิยาม ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก แลว an = a × a × a × ... × a (เมื่อ a มีจํานวน n ตัว) เรียก an วา เลขยกกําลัง มี a เปนฐาน และ n เปนเลขชี้กําลัง เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ บทนิยาม ถา a เปนจํานวนจริงบวกใดๆ และ n เปนจํานวนตรรกยะที่มากกวา 1 n a = a1/n สมบัติของเลขยกกําลัง ถา x และ y เปนจํานวนจริงใดๆ m และ n เปนจํานวนเต็มบวก 1. xm ⋅ xn = xm+n 2. (x ⋅ y)n = xn ⋅ yn 3. (xm)n = xmn m n n 4. x n = xm-n 5.  x  = x n    y 6. 1n = x-n x y x ขอสังเกต : x0 = 1 สมการของเลขยกกําลัง ถา x และ y เปนจํานวนจริงบวกใดๆ m และ n เปนจํานวนตรรกยะ 1. xm = xn ก็ตอเมื่อ m = n 2. xm = ym ก็ตอเมื่อ m = 0 โดยที่ x, y ≠ 0 อสมการของเลขยกกําลัง ถา x และ y เปนจํานวนจริงบวกใดๆ m และ n เปนจํานวนตรรกยะ 1. xm < xn และ x > 1 จะไดวา m < n 2. xm < xn และ 0 < x < 1 จะไดวา m > n ตัวอยางขอสอบ1. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ แลวขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ถา a < b แลวจะได a 2 < b2 2) ถา a < b < 0 แลวจะได ab < a2 3) ถา |a| < |b| แลวจะได a < b 4) ถา a2 < b2 แลวจะได a < b2. กําหนดให a และ x เปนจํานวนจริงใดๆ ขอใดตอไปนีถกตอง ้ ู 1) ถา a < 0 แลว ax < 0 2) ถา a < 0 แลว a-x < a 3) ถา a > 0 แลว a-x > 0 4) ถา a > 0 แลว ax > aคณิตศาสตร (18) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 3. ขอใดมีคาตางจากขออื่น 1) (-1)0 2) (-1)0.2 3) (-1)0.4 4) (-1)0.84. ขอใดตอไปนี้ผิด 1) 0.9 + 10 < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) 4) 300 125 < 200 1005. อสมการในขอใดตอไปนีเปนจริง ้ 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 36006. ขอใดตอไปนี้ผิด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 330 ⋅ 440 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 (4x)7. คาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 2 ( 2 x ) = 2 4 4 1) 2 2) 3 3) 4 4) 58. 82/3 ⋅ (18)1/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 144 6 1) 2 3 2) 3 2 3) 2 4) 3 3x9. ถา  3 + 3  = 16 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้   8 81 1) - 9 4 2 2) - 9 3) - 91 1 4) 910. ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 3 2) 2 3 3) 34 4) 5 3 111. เซตคําตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1) -5 , 5   2 2   2) -5 , 1  2    3) -1 , 1  2    4) -1 , 5   2 2   412. ถา    8  =  16  1/x แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้    125    625  1) 3 4 2) 23 3) 32 4 4) 313. ถา 4a = 2 และ 16-b = 1 แลว a + b เทากับเทาใด 4 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (19)
  • ความสัมพันธและฟงกชันคูอันดับ (a, b) โดยที่ a คือ สมาชิกตัวหนา และ b คือ สมาชิกตัวหลังผลคูณคารทีเซียน “ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคูณคารทีเซียนของ A และ B เขียนแทนดวย A × B” นิยาม A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบัติของผลคูณคารทีเชียน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว n(A × B) = n(B × A) = mn 2. A × B = B × A ก็ตอเมื่อ A = B หรือ A = φ หรือ B = φ แลวจะไดวา 3. A × (B U C) = (A × B) U (A × C) 4. A × (B I C) = (A × B) I (A × C) 5. A × (B - C) = (A × B) - (A × C)ความสัมพันธ นิยาม ให A และ B เปนเซต r เปนความสัมพันธจาก A ไป B ก็ตอเมือ r เปนสับเซตของ A × B ่ โดเมนของความสัมพันธ คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของทุกคูอันดับ (Dr) นั่นคือ Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของความสัมพันธ คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคูอันดับ (Rr) นั่นคือ Rr = {y | (x, y) ∈ r} ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B เทากับ 2mn การหาโดเมนและเรนจในกรณีที่ r ⊂ R × R 1. ถาเงื่อนไขของความสัมพันธอยูในรูป y = ax + b โดยที่ a ≠ 0 จะได โดเมนและเรนจเปนจํานวนจริง 2. ถาเงื่อนไขของความสัมพันธอยูในรูป y = bxa+ c โดยที่ a, b ≠ 0 จะได โดเมน = {x|x ≠ - d }c เรนจ = {y|y ≠ 0} 3. ถาเงื่อนไขของความสัมพันธอยูในรูป y = ax + d โดยที่ a, c ≠ 0 cx +b จะได โดเมน = {x|x ≠ - d }c เรนจ = {y|y ≠ a }c 4. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = |ax + b| โดยที่ a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ 0}คณิตศาสตร (20) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 5. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = |ax + b| + c โดยที่ a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ c} 6. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = ax2 + b ; a ≠ 0 และ a > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b} 7. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = ax + b จะได โดเมน = {x|x ≥ - b }; a ≠ 0 a เรนจ = {y|y ≥ 0} 8. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = x 2 + b ; b > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b } 9. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = x 2 - a 2 จะได โดเมน = {x|x ≤ -a หรือ x ≥ a} เรนจ = {y|y ≥ 0} 10. ถาเงื่อนไขความสัมพันธอยูในรูป y = a 2 - x 2 จะได โดเมน = {x|-a ≤ x ≤ a} เรนจ = {y|0 ≤ y ≤ a}ฟงกชัน นิยาม ความสัมพันธ r จะเปนฟงกชัน ก็ตอเมื่อ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z การพิจารณาฟงกชัน 1. ความสัมพันธแบบแจกแจงสมาชิก : ใหพิจารณาวาเปนฟงกชันหรือไม สังเกตสมาชิกตัวหนาของคูอันดับที่เปนสมาชิกแตละตัว ถาสมาชิกไมซ้ํากัน 2. ความสัมพันธเปนกราฟของความสัมพันธ : ใหพิจารณาวาเปนฟงกชันหรือไม โดยลากเสนตรงขนานแกน y ใหตัดกราฟ ถาเสนตรงที่ลากตัดกราฟเพียง 1 จุด ความสัมพันธน้นเปนฟงกชัน ถาเสนตรงที่ลากตัดกราฟ ัมากกวา 1 จุด ความสัมพันธนั้นไมเปนฟงกชัน 3. ความสัมพันธเปนแบบบอกเงื่อนไข : พิจารณาจากตัวแปร y ของสมการในเงื่อนไขดังนี้ 3.1 ถา yn เมื่อ n เปนจํานวนคู จะไมเปนฟงกชัน 3.2 ถา y เปนคาสัมบูรณ จะไมเปนฟงกชัน 3.3 ถาไมมีตัวแปร y จะไมเปนฟงกชัน 3.4 ถาเปนอสมการ จะไมเปนฟงกชัน การหาคาของฟงกชัน : การหาคาของฟงกชัน ทําไดโดยการแทนคา ตัวแปรในฟงกชันนั้นดวยคาที่ตองการ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (21)
  • ฟงกชันประเภทตางๆ ฟงกชันเชิงเสน นิยาม ฟงกชันเชิงเสน คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง และ a ≠ 0 ฟงกชันคงตัว คือ ฟงกชัน f(x) = ax + b เมื่อ a = 0 และ b เปนจํานวนจริง จะไดฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = b ฟงกชันกําลังสอง นิยาม ฟงกชันกําลังสอง (Quadratic function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, cเปนจํานวนจริงใดๆ และ a ≠ 0 ลักษณะของกราฟของฟงกชันขึ้นอยูกับคาของ a, b และ c เมือคาของ a เปนบวกหรือลบ จะทําใหได ่กราฟเปนเสนโคงหงายหรือคว่ํา เรียกวา กราฟพาราโบลา ดังรูป เมื่อ a > 0 เมื่อ a < 0 พิจารณา ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ และ a ≠ 0 สามารถจัดฟงกชันในรูป f(x) = a(x – h)2 + h เมื่อ h และ k เปนจํานวนจริงใดๆ และ a ≠ 0  - 2 1. จุดวกกลับ (h , k) =  -b , 4ac4a b   2a    2. คาสูงสุดหรือคาต่ําสุด คือ k 3. สมการแกนสมมาตร คือ x = h 4. โดเมน คือ R และเรนจ คือ [h, ∞) กรณี a > 0 หรือ (-∞, h] กรณี a < 0 ฟงกชันเอ็กซโพเนนเชียล คือ ฟงกชันที่อยูในรูปของ y = ax เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 y = ax a > 0 และ a ≠ 1 (0, 1) (0, 1) - a > 1 เปนฟงกชันเพิ่มหรือกลาวไดวา - 0 < a < 1 เปนฟงกชันลดหรือกลาวไดวา เมื่อ x มีคาเพิ่มใน y จะมีคาเพิ่มขึ้น เมื่อ x มีคาเพิ่มขึ้น y จะมีคาลดลง - Dr = R - Dr = R - Rr = R+ - Rr = R+คณิตศาสตร (22) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ฟงกชันคาสัมบูรณ คือ เปนฟงกชันที่อยูในรูป y = |x – a| + c เมื่อ a และ c เปนจํานวนจริง กราฟจะมีลักษณะเปนรูปตัววี (V) ฟงกชันขั้นบันได คือ ฟงกชนที่มีโดเมนเปนสับเซตของ R และมีคาฟงกชันเปนชวงมากกวา 2 ชวง ั ตัวอยางขอสอบ1. ความสัมพันธในขอใดเปนฟงกชัน 1) {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3)} 2) {(0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0)} 3) {(1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1)} 4) {(1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2)}2. ความสัมพันธในขอใดเปนฟงกชัน 1) {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2) {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3) {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} 4) {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)}3. กําหนดให A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟงกชันในขอใดตอไปนี้ เปนฟงกชันจาก B ไป A 1) {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 2) {(0, b), (1, a), (1, c)} 3) {(b, 1), (c, 0)} 4) {(0, c), (1, b)}4. กําหนดให A ={1, 2} และ B = {a, b} คูอันดับในขอใดตอไปนี้ เปนสมาชิกของผลคูณคารทเชียน A × B ี 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2)5. ให A = {1, 99} ความสัมพันธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชัน 1) เทากัน 2) ไมเทากัน 3) หารลงตัว 4) หารไมลงตัว6. กําหนดให f(x) = -x2 + 4x – 10 ขอความใดตอไปนีถกตอง ้ ู 1) f มีคาต่ําสุดเทากับ 6  2) f ไมมีคาสูงสุด   3) f มีคาสูงสุดเทากับ 6  4) f  9  < -6  2  7. ถา P เปนจุดวกกลับของพาราโบลา y = -x2 + 12x – 38 และ O เปนจุดกําเนิดแลวระยะทางระหวางจุด P และจุด O เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 10 หนวย 2) 2 10 หนวย 3) 13 หนวย 4) 2 13 หนวย8. ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจํานวนสมาชิกในความสัมพันธ r เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 8 2) 10 3) 12 4) 169. กําหนดให r = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตัว} ถา A = {2, 3, 5} แลวความสัมพันธ r จะเปนฟงกชน เมื่อ B เทากับเซตใดตอไปนี้ ั 1) {3, 4, 10} 2) {2, 3, 15} 3) {0, 3, 10} 4) {4, 5, 9} โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (23)
  • 10. ฟงกชัน y = f(x) ในขอใดมีกราฟดังรูปตอไปนี้ Y y = f(x) (0,1) X X 1) f(x) = 1 - |x| 2) f(x) = 1 + |x| 3) f(x) = |1 - x| 4) f(x) = |1 + x|11. พาราโบลารูปหนึ่งมีเสนสมมาตรขนานกับแกน Y และมีจุดสูงสุดอยูที่จุด (a, b) ถาพาราโบลารูปนี้ตัดแกน X ที่จด (-1, 0) และ (5, 0) แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ุ 1) 0 2) 1 3) 2 4) 312. กราฟของฟงกชันในขอใดตอไปนี้ ตัดแกน X มากกวา 1 จุด x 1) y = 1 + x2 2) y = |x| - 2 3) y = |x - 1| 4) y =  1    213. ถากราฟของ y = x2 – 2x – 8 ตัดแกน X ที่จุด A, B และ มี C เปนจุดวกกลับแลวรูปสามเหลี่ยม ABC มี พื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 21 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 27 ตารางหนวย 4) 30 ตารางหนวย14. ทุก x ในชวงใดตอไปนี้ที่กราฟ y = -4x2 - 5x + 6 อยูเหนือแกน X 1)  -2, -1    3 3  2)  -5 , -3    2 2  3)  1 , 6    4 7  4)  1 , 3   2 2 15. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชัน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 – 10) เมื่อ k เปน จํานวนจริง แลว f มีคาสูงสุดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –4 2) 0 3) 6 4) 1416. กําหนดให f(x) = x2 – 2x – 15 ขอใดตอไปนีผิด ้ 1) f(x) ≥ -17 ทุกจํานวนจริง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) 4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 )17. จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของโดเมนของฟงกชัน y = 2 x + 2x - 1 x + 3x + 2 x 2 - 1 1) –2 2) –1 3) 0 4) 118. คาของ a ที่ทําใหกราฟของฟงกชน y = a(2x) ผานจุด (3, 16) คือขอใดตอไปนี้ ั 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5คณิตศาสตร (24) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 19. เมื่อเขียนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยที่ a ≠ 0 เพื่อหาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนี้แสดงวาสมการไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง Y Y 5 5 1) 2) X X X -5 5 X -5 5 -5 -5 YY Y Y 5 3) X 4) 5 -5 5 X -5 -5 -5 520. ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอสรุปใดถูกตอง 1) f(x) ≥ 0 เมื่อ -1 ≤ x ≤ 2 2) จุดวกกลับของกราฟของฟงกชัน f อยูในจตุภาคที่สอง 3) ฟงกชัน f มีคาสูงสุดเทากับ 2 4) ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดเทากับ 221. ถา f(x) = 3 - x และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว Df U Rg คือขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] 4) (-∞, ∞)22. ถา f(x) = 3 - 4 - x 2 แลว ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) Df = [-2, 2] และ Rf = [0, 3] 2) Df = [-2, 2] และ Rf = [1, 3] 3) Df = [0, 2] และ Rf = [0, 3] 4) Df = [0, 2] และ Rf = [1, 3]23. ถา f(x – 2) = 2x – 1 แลว f(x2) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2x2 – 1 2) 2x2 + 1 3) 2x2 + 3 4) 2x2 + 9 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (25)
  • 24. กําหนดใหกราฟของฟงกชัน f เปนดังนี้ Y 5 X -10 -5 คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คือขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 4) 8625. ขอใดตอไปนี้เปนความสัมพันธที่มกราฟเปนบริเวณที่แรเงา ี Y y=x X 1 y = -x 1) {(x, y) ||y| ≥ x} 2) {(x, y) ||y| ≤ x} 3) {(x, y) | y ≥ |x|} 4) {(x, y) | y ≤ |x|}26. พาราโบลาหนึ่งเปนกราฟของฟงกชน f(x) = 2x2 – 4x – 6 พิจารณาขอความตอไปนี้ ั ก. พาราโบลารูปนี้มีแกนสมมาตรคือเสนตรง x = -1 ข. พาราโบลารูปนี้มีจุดวกกลับอยูในจตุภาคที่สี่ ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด27. ถา f = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แลว f(2) + f(3) มีคาเทาใด28. กําหนดให n(A) แทนจํานวนสมาชิกของเซต A ถา r1 = {(-1, -2), (0, -1), (1, 2), (2, -3), (3, 4)} r2 = {(x, y) ||y + 1| = x} แลว n(r1 I r2) เทากับเทาใดคณิตศาสตร (26) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • อัตราสวนตรีโกณมิติ B AB คือ ดานตรงขามมุมฉาก (ฉาก) AC คือ ดานประชิดมุม A (ชิด) BC คือ ดานตรงขามมุม A (ขาม) A Cเราจะเรียกอัตราสวนตางๆ ดังนี้ BC1. AB คือ ไซน (sine) ของมุม A เขียนยอวา sin A2. AC คือ โคไซน (cosine) ของมุม A เขียนยอวา cos A AB BC3. AC คือ แทนเจนต (tangent) ของมุม A เขียนยอวา tan A4. AB คือ โคซีแคนต (cosecant) ของมุม A เขียนยอวา cosec A BC AB5. AC คือ ซีแคนต (secant) ของมุม A เขียนยอวา sec A6. AC คือ โคแทนเจนต (cotangent) ของมุม A เขียนยอวา cot A BCโดย 1. sin A = ความยาวของ ดานตรงขามมุม A = ขาม ฉาก ความยาวของ ดานตรงขามมุมฉาก 2. cos A = ความยาวของดานประชิดมุม A = ฉาก ชิด ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก 3. tan A = ความยาวของ ดานตรงขามมุม A = ขาด ชิ ม ความยาวของ ดานประชิดมุม A 4. cosec A = ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก = ฉาก ขาม ความยาวของดานตรงขามมุม A 5. sec A = ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก = ฉาก ชิด ความยาวของดานประชิดมุม A 6. cot A = ความยาวของดานประชิดมุม A = ขาด ชิ ม ความยาวของดานตรงขามมุม A โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (27)
  • คาของอัตราสวนตรีโกณมิติ ขนาดของมุม π π π π มุม π (0°) 6 (30°) 4 (45°) 3 (60°) 2 (90°) sin θ 0 1 2 3 1 2 2 2 cos θ 1 3 2 1 0 2 2 2 tan θ 0 1 1 หาคาไมได 3 3 ความสัมพันธระหวาง sin θ, cos θ, tan θ, cosec θ, sec θ และ cot θ 1 1. cosec θ = sin θ 1 2. sec θ = cos θ sin 3. tan θ = cos θ 1 4. cot θ = tan θ θ 5. sin2 θ + cos2 θ = 1 6. tan2 θ + 1 = sec2 θ 7. 1 + cot2 θ = cosec2 θ สูตรการหาความสัมพันธของอัตราสวนตรีโกณมิตเพิ่มเติม ิ sin(π - θ) = sin θ sin  π - θ  = cos θ  2   sin(π + θ) = -sin θ sin  π + θ  = -cos θ  2   cos(π - θ) = cos θ cos  π - θ  = sin θ  2   cos (π + θ) = -cos θ cos  π + θ  = -sin θ  2   การประยุกตของอัตราสวนตรีโกณมิติ เสนระดับสายตา คือ เสนตรงที่ขนานกับผิวน้ําทะเลหรือขนานกับพื้นราบ มุมเงย (Angle of Elevation) คือ มุมที่วัดสูงกวาระดับสายตาขึ้นไป มุมกม (Angle of Depression) คือ มุมที่วัดต่ํากวาระดับสายตาลงมา B A C แนวระดับสายตา มุมกม มุมเงย A C แนวระดับสายตา Bคณิตศาสตร (28) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ตัวอยางขอสอบ1. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม B เปนมุมฉาก มีมุม A เทากับ 30° และมีพื้นที่เทากับ 24 3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 หนวย 2) 14 หนวย 3) 16 หนวย 4) 18 หนวย2. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน BC ยาวเทากับ 10 3 หนวย และดาน AB ยาวเทากับ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจุด C ไปตั้งฉากกับดาน AB ที่จุด D แลว จะไดวาดาน CD ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย3. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เทากับ 15 ตารางหนวย และมีมุม C เปนมุมฉาก ถา sin B = 3 sin A แลวดาน AB ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 5 2 หนวย 4) 10 หนวย4. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลียมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และดาน BC ยาว 6 นิ้ว ถา D เปนจุดบน ดาน ่ ˆ ˆ AC โดยที่ BDC = 70° และ ABD = 10° แลวดาน AB ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 3 นิ้ว 2) 5 3 นิ้ว 3) 8 นิ้ว 4) 10 นิ้ว5. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีมุม A เปนมุมฉาก และมีมุม B = 30° ถา D และ E เปนจุด บนดาน AB และ BC ตามลําดับ ซึ่งทําให DE ขนานกับ AC โดยที่ DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 7.5 หนวย 2) 8 หนวย 3) 8.5 หนวย 4) 9 หนวย6. วงกลมวงหนึ่งมีรัศมี 6 หนวย และ A, B, C เปนจุดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศูนยกลาง ˆ ของวงกลม และ CAB = 60° แลวพืนที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ ้ 1) 15 3 ตารางหนวย 2) 16 3 ตารางหนวย 3) 17 3 ตารางหนวย 4) 18 3 ตารางหนวย7. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลียมที่มีมม C เปนมุมฉาก และ cos B = 2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลว ่ ุ 3 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 55 ตารางหนวย 2) 45 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 25 ตารางหนวย8. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลียมผืนผาซึ่งมีพื้นที่เทากับ 12 ตารางหนวย และ tan ABD = 1 ถา AE ่ ˆ 3 ตั้งฉากกับ BD ที่จุด E แลว AE ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 10 1) 3 หนวย 2 2) 5 10 หนวย 10 3) 2 หนวย 3 4) 5 10 หนวย โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (29)
  • 9. ˆ ˆ พิจารณารูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ โดยที่ CFE , CAB , ˆ ˆ AEB และ EDB ตางเปนมุมฉาก ขอใดตอไปนีผิด้ ˆ ˆ 1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) ˆ ˆ 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) 3) sin ( 2 ) = cos ( ˆ ) ˆ 4 4) cos ( ˆ ) = sin ( ˆ ) 2 310. จากรูป ขอสรุปใดตอไปนี้ถกตอง ู 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69°11. ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60°12. กําหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆ ดังนี้ ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900 ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เปนมุมฉาก มุม C มีขนาด 41° และสวนสูง BX ยาว 1 หนวย แลวความ ยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดังขอใดตอไปนี้ B A X C 1) ปรากฏอยูในตาราง A 2) ปรากฏอยูในตาราง B 3) ปรากฏอยูในตาราง C 4) ไมปรากฏอยูในตาราง A, B และ C13. มุมมุมหนึงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีขนาดเทากับ 60 องศา ถาเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาว ่ 3 - 3 ฟุตแลว ดานที่ยาวเปนอันดับสองมีความยาวเทากับขอใด 1) 2 - 3 ฟุต 2) 2 + 3 ฟุต 3) 2 3 - 3 ฟุต 4) 2 3 + 3 ฟุตคณิตศาสตร (30) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 14. โดยการใชตารางหาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆ ที่กําหนดใหตอไปนี้ θ sin θ cos θ 72° 0.951 0.309 73° 0.956 0.292 74° 0.961 0.276 75° 0.966 0.259 มุมภายในที่มีขนาดเล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่มีดานทั้งสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มีขนาดใกลเคียง กับขอใดมากที่สุด 1) 15° 2) 16° 3) 17° 4) 18°15. กลองวงจรปดซึ่งถูกติดตั้งอยูสงจากพื้นถนน 2 เมตร สามารถจับภาพไดต่ําที่สุดที่มุมกม 45° และสูงที่สุดที่ ู มุมกม 30° ระยะทางบนพื้นถนนในแนวกลองที่กลองนี้สามารถจับภาพไดคือเทาใด (กําหนดให 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 เมตร 2) 1.46 เมตร 3) 2.00 เมตร 4) 3.46 เมตร16. ˆ ˆ ˆ ˆ กําหนดใหสามเหลี่ยม ABC มี B = A + C ให D เปนจุดกึ่งกลางดาน AC ถา A = 20° แลว ADB มี ˆ ขนาดกี่องศา 1) 80 องศา 2) 100 องศา 3) 120 องศา 4) 140 องศา17. ˆ กําหนดใหสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มี C = 90° ให D เปนจุดบนดาน AB ซึ่งทําให CD ตั้งฉากกับ AB ถา AB ยาว 20 หนวย และ CD ยาว 8 หนวย แลว AD มีความยาวมากที่สุดกี่หนวย 1) 10 2) 12 3) 14 4) 1618. นาย ก. และนาย ข. ยืนอยูบนพื้นราบซึ่งหางจากกําแพงเปนระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามลําดับ ถานาย ก. มองหลอดไฟบนกําแพงดวยมุมเงย α องศา ในขณะที่นาย ข. มองหลอดไฟดวงเดียวกันดวย มุมเงย 90 - α องศา ถาไมคิดความสูงของนาย ก. และนาย ข. แลวหลอดไฟอยูสูงจากพื้นราบกี่เมตร 1) 10 2) 10 2 3) 10 3 4) 2019. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลียมที่มีมุม B เปนมุมฉาก ถา cot A = 12 แลว 10cosec A + 12sec A ่ 5 มีคาเทาใด20. ุ 3 ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมม B เปนมุมฉาก และ cos A = 5 แลว cos(B - A) มีคาเทากับเทาใด21. ถา 2cos2θ + cosθ = 1 โดยที่ 0 ≤ θ ≤ 90° แลว θ เปนมุมกีองศา ่22. cosec30°  cos35° sin35°  tan55° มีคาเทากับเทาใด  sin31   ° cos59°   23. กําหนดใหสามเหลี่ยม ABC มี AD เปนเสนความสูงโดยที่ D อยูบนดาน BC ถาดาน AB ยาว 5 หนวย ˆ ˆ ดาน AD ยาว 3 หนวย และ BAD = ACD แลวดาน BC ยาวกี่หนวย โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (31)
  • ลําดับและอนุกรมลําดับ ลําดับ (Sequences) คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่เรียงจากนอยไปหามาก 1. ลําดับจํากัด คือ ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรก {1, 2, 3, ..., n} 2. ลําดับอนันต คือ ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...} การเขียนลําดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกที่เปนเรนจเรียงกัน เชน a1, a2, a3, ..., an เรียก an วาพจนที่ nหรือพจนท่วไป ั ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มีผลตาง ซึ่งไดจากพจนที่ n + 1 ลบดวยพจนที่ n ไดคาคงตัว เรียกคาคงตัวนี้วา “ผลตางรวม” (d) และ โดย an = a1 + (n – 1)d เมื่อ d = an+1 – an ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มีอัตราสวนของพจนที่ n + 1 ตอพจนที่ n ไดคาคงตัว เรียกคาคงตัวนี้วา“อัตราสวนรวม” (r) และ โดย an = a1rn-1 an เมื่อ r = a +1 nอนุกรม อนุกรม (Series) คือ ผลบวกของพจนทุกพจนของลําดับ ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม เชน S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M = M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่ไดจากการบวกกันของลําดับเลขคณิต 1. Sn = n [2a1 + (n - 1)d] 2 n [a + a ] 2. Sn = 2 1 nคณิตศาสตร (32) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่ไดจากการบวกกันของลําดับเรขาคณิต a (1 - r n ) a (r n - 1) 1. Sn = 1 1 - r เมื่อ r ≠ 1 และ r < 1 หรือ Sn = 1 r - 1 เมื่อ r ≠ 1 และ r > 1 a -a r a r-a 2. Sn = 11 - rn เมื่อ r ≠ 1 และ r < 1 หรือ Sn = nr - 1 1 เมื่อ r ≠ 1 และ r > 1 สัญลักษณแทนการบวก ถา x1, x2, x3, ..., xN เปนคาขอมูลชุดหนึ่ง N ∑ x1 คือ ผลรวมของคาทุกตัวของขอมูล i =1 N 1. ∑ c = cN เมื่อ c เปนคาคงตัว i =1 N N ( N + 1) 2. ∑ x1 = x1 + x2 + x3 + ... + xN = i =1 2 N 2 N ( N + 1)( 2 N + 1) 3. x1 ∑ = x 1 + x 2 + x 2 + ... + x 2 = 2 2 3 N i =1 6 N 3 3 3 3 3 N ( N + 1) 2 2 4. x1 ∑ = x 1 + x 2 + x 3 + ... + x N = i =1 4 N N N ( N + 1) 5. ∑ cx1 = cx1 + cx2 + cx3 + ... + cxN = c ∑ x 1 = c i =1 i =1 2 N N N 6. ∑ (x 1 + y1 ) = ∑ x1 + ∑ y1 i =1 i =1 i =1 ตัวอยางขอสอบ1. ลําดับเรขาคณิตขอใดตอไปนี้มีอตราสวนรวมอยูในชวง (0.3, 0.5) ั 1) 3, 5 , 25 , ... 4 48 4 8 2) 2, 3 , 9 , ... 3) 4, 3, 9 , ... 4 4) 5, 4, 16 , ... 52. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรมหนึ่ง คือ Sn = 3n2 + 2 แลวพจนที่ 10 ของอนุกรมนี้มคาเทากับ ี ขอใดตอไปนี้ 1) 57 2) 82 3) 117 4) 302 503. ∑ (1 + (-1)k )k มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ k =1 1) 1300 2) 1350 3) 1400 4) 1450 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (33)
  • 4. ปาจุเริ่มขายขนมครกในวันที่ 3 มกราคม ในวันแรกขายไดกําไร 100 บาท และวันตอๆ ไปจะขายไดกาไร ํ เพิ่มขึ้นจากวันแรกกอนหนาวันละ 10 บาททุกวัน ขอใดตอไปนี้เปนวันที่ของเดือนมกราคมที่ปาจุขายไดกาไร ํ เฉพาะในวันนั้น 340 บาท 1) วันที่ 24 2) วันที่ 25 3) วันที่ 26 4) วันที่ 275. ถาผลบวกและผลคูณของสามพจนแรกของลําดับเลขคณิตที่มี d เปนผลตางรวมเทากับ 15 และ 80 ตามลําดับ แลว d2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 4 3) 9 4) 166. ถา a เปนจํานวนจริงลบ และ a20 + 2a – 3 = 0 แลว 1 + a + a2 + … + a19 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –2 2) –3 3) –4 4) –57. กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้ มี คาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.08. ลําดับในขอใดตอไปนี้เปนลําดับเรขาคณิต 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n9. พจนที่ 16 ของลําดับเรขาคณิต 625 , 1 , 125 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ 1 1 125 5 1) 25 5 2) 125 3) 125 5 4) 62510. กําหนดให S = {101, 102, 103, ..., 999} ถา a เทากับผลบวกของจํานวนคี่ทั้งหมดใน S และ b เทากับ ผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดใน S แลว b – a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 1 1 111. พจนที่ 31 ของลําดับเลขคณิต - 20 , - 30 , - 60 , ... มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 125 2) 13 9 3) 20 7 4) 15 3012. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -171 2) -85 3) 85 4) 17113. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง a2 + a3 + a4 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 120 2) 125 3) 130 4) 13514. ลําดับเลขคณิตในขอใดตอไปนี้มบางพจนเทากับ 40 ี 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n 3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2nคณิตศาสตร (34) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 15. กําหนดให a1, a2, a3 เปนลําดับเรขาคณิต โดยที่ a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คือคาในขอใดขอหนึง ่ ตอไปนี้ แลวขอดังกลาวคือขอใด 1) -20 2) -50 3) 60 4) 10016. ขอใดตอไปนี้เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 3 + 5 + ... + (2n1- 1) + ... + 199 1 1 1 3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199 1 1 1 1 4) 5 + 125 + 3125 + ... + 2n-1 + ... + 199 1 5 517. คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 970 2) 1020 3) 1050 4) 107118. กําหนดให 3 , 1, 1 , ... เปนลําดับเลขคณิต ผลบวกของพจนที่ 40 และพจนที่ 42 เทากับขอใด 2 2 1) –18 2) –19 3) –37 4) –3819. ใน 40 พจนแรกของลําดับ an พจนแรกของลําดับ ab = 3 + (-1)n มีกี่พจน ที่มีคาเทากับพจนท่ี 40 1) 10 2) 20 3) 30 4) 4020. กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก ของลําดับนี้เทากับขอใด 1) 2048 2) 1512 3) 1364 4) 102421. ลําดับเรขาคณิตหนึ่งมีผลบวกและผลคูณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลําดับ ถา r เปนอัตราสวน รวมของลําดับนี้แลว r + 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ r 1) 3 10 2) 7 3) 34 4) 1 3 322. กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลําดับเลขคณิต a1 , a2 , a3 , … ถา Sn = 90 และ S10 = 5 แลว a11 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –39 2) –38 3) –37 4) –3623. ในสวนปาแหงหนึ่ง เจาของปลูกตนยูคาลิปตัสเปนแถวดังนี้ แถวแรก 12 ตน แถวที่สอง 14 ตน แถวที่สาม 16 ตน โดยปลูกเพิ่มเชนนี้ ตามลําดับเลขคณิต ถาเจาของปลูกตนยูคาลิปตัสไวทั้งหมด 15 แถว จะมี ตนยูคาลิปตัสในสวนปานี้ท้งหมดกี่ตน ั24. ลําดับเลขคณิต -43, -34, -25, ... มีพจนที่มีคานอยกวา 300 อยูกี่พจน25. ผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 1 + (-2) + 4 + (-8) + ... + 256 เทากับเทาใด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (35)
  • ความนาจะเปนกฎการนับเบืองตน ้ 1. กฎการคูณ ถาตองการทํางาน k อยาง โดยที่งานอยางแรกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีเลือกทํางานอยางแรกนี้มีวิธีทํางานอยางที่สองได n2 วิธี และในแตละวิธีที่เลือกทํางานอยางแรกและทํางานอยางที่สองมีวิธีที่จะเลือกทํางานอยางที่สามได n3 วิธี ฯลฯ จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือกทํางานทั้ง k อยางเทากับ n1 + n2 + n3 + … + nk วิธี 2. กฎการบวก ถาตองการทํางานอยางใดอยางหนึ่งใน k อยาง โดยที่อยางแรกทําได n1 วิธี อยางที่สองทําได n2 แตกตางจากวิธีตางๆ ที่ทางานอยางแรก อยางที่สามทําได n3 วิธี แตกตางจากวิธีตางๆ ที่ทําในงานสอง ํอยางแรก ฯลฯ จํานวนวิธีที่จะเลือกทํางานอยางใดอยางหนึ่งใน k อยาง เทากับ n1 × n 2 × n 3 × … × n k วิธีความนาจะเปน 1. ถาแซมเปลสเปซ S มีสมาชิก n(S) ตัว ซึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆ กัน และเปนเหตุการณใน E ซึ่งมีสมาชิก n(E) ตัว n ( E) ความนาจะเปนของ E เทากับ P(E) = n (S ) 2. สมบัติของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. ถา A, B และ C เปนเหตุการณใดๆ ใน S จะได • P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A I B) • P(A U B) = P(A) + P(B) เมื่อ A และ B ไมเกิดเหตุการณรวมกัน A I B = φ  • P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A I B) - P(A I C) - P(B I C) + P(A I B I C) 3. ถา E เปนเหตุการณใน S และ E′ เปนเหตุการณตรงขาม แลว P(E) = 1 - P(E′)คณิตศาสตร (36) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ตัวอยางขอสอบ1. ขอสอบชุดหนึ่งมีสองตอน ตอนที่หนึ่งมี 5 ขอ ใหเลือกตอบวาจริงหรือเท็จ ตอนที่สองมี 5 ขอ เปนขอสอบ แบบ 4 ตัวเลือก ถาตองตอบขอสอบชุดนี้ทุกขอโดยไมเวนแลว จะมีวิธีตอบขอสอบชุดนี้ไดตางๆ กันทั้งหมด เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 52 × 54 วิธี 2) 25 × 54 วิธี 3) 25 × 45 วิธี 4) 52 × 45 วิธี2. ในการออกรางวัลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนที่รางวัลเลขทาย 2 ตัว จะออกหมายเลขที่มีหลัก หนวยเปนเลขคี่ และหลักสิบมากกวาหลักหนวยอยู 1 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0.04 2) 0.05 3) 0.20 4) 0.253. ความนาจะเปนที่รางวัลเลขทาย 2 ตัว ของสลากกินแบงรัฐบาลจะออกเลขทั้งสองหลักเปนเลขเดียวกัน เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 101 2 2) 10 3) 91 4) 9 24. โยนลูกเตา 3 ลูก ความนาจะเปนที่ลูกเตาจะขึ้นแตมคี่อยางนอย 1 ลูก เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2 3 2) 58 3) 3 4 4) 7 85. จากการสํารวจนักเรียนหองหนึ่งจํานวน 30 คน พบวา มีนักเรียนไมชอบรับประทานปลา 12 คน และ ชอบรับประทานปลาหรือกุง 23 คน ถาสุมนักเรียนมา 1 คน แลวความนาจะเปนที่จะไดนักเรียนที่ชอบ รับประทานกุงเพียงอยางเดียวมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 61 2) 51 3) 52 3 4) 56. กลอง 12 ใบ มีหมายเลขกํากับเปนเลข 1, 2, ..., 12 และกลองแตละใบบรรจุลูกบอล 4 ลูก เปนลูกบอลสีดํา สีแดง สีขาว และสีเขียว ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลองแตละใบ ใบละหนึ่งลูกแลว ความนาจะเปนที่จะหยิบได ลูกบอลสีแดงจากกลองหมายเลขคี่ และไดลูกบอลสีดําจากกลองหมายเลขคู เทากับขอใดตอไปนี้ 2 12 12 4  1  1)  12    2)  1     4 3)  1    2  1  4)  12   7. ครอบครัวหนึ่งมีพี่นอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จํานวนวิธีที่จะจัดใหคนทั้งหกยืนเรียงกันเพื่อถายรูป โดยใหชายทั้งสองคนยืนอยูริมสองขางเสมอ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 วิธี 2) 24 วิธี 3) 36 วิธี 4) 48 วิธี8. กําหนดให A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, ..., 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A, n ∈ B} ถาสุมหยิบ คูอันดับ 1 คู จากความสัมพันธ r แลว ความนาจะเปนที่จะไดคูอันดับ (m , n) ซึ่ง 5 หาร n แลวเลือกเศษ 3 เทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 15 1 1 2) 10 3) 5 1 4) 53 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (37)
  • 9. ชางไฟคนหนึ่งสุมหยิบบันได 1 อัน จากบันได 9 อัน ซึ่งมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟุต แลวนํามาพาดกําแพงโดยใหปลายดานหนึ่งหางจากกําแพง 3 ฟุต ความนาจะเปนที่บันไดจะทํามุมกับพื้นราบ นอยกวา 60 องศา มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 9 1 2) 92 3) 9 3 4) 9410. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. การทดลองสุมเปนการทดลองทีทราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง ่ ข. แตละผลลัพธของการทดลองสุมมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆ กัน ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด11. โรงเรียนแหงหนึงมีรถโรงเรียน 3 คัน นักเรียน 9 คน กําลังเดินไปขึ้นรถโรงเรียนโดยสุม ความนาจะเปนที่ไม ่ มีนักเรียนคนใดขึ้นรถคันแรกเทากับขอใดตอไปนี้ 9 9 9 9 1)  1    3 2)  2    3 1 3)  9    2 4)  9   12. ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมูบานซึ่งประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญิง 1 คน   กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญิง 1 คน จากผูสมัครชาย 4 คน และหญิง 8 คน มีวิธีการ เลือกคณะกรรมการไดกวิธีี่ 1) 168 วิธี 2) 324 วิธี 3) 672 วิธี 4) 1344 วิธี13. มาลีตองการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C โดยตองเดินทางผานไปยังเมือง B กอนจากเมือง A ไปเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต รถไฟ หรือเครื่องบินได แตจากเมือง B ไปเมือง C สามารถ เดินทางไปทางเรือ รถยนตรถไฟ หรือเครื่องบิน ขอใดตอไปนี้คือจํานวนวิธีในการเดินทางจากเมือง A ไปยัง เมือง C ที่จะตองเดินทางโดยรถไฟเปนจํานวน 1 ครั้ง 1) 5 2) 6 3) 8 4) 914. โรงแรมแหงหนึ่งมีหองวางชั้นที่หนึ่ง 15 หอง ชั้นที่สอง 10 หอง ชั้นที่สาม 25 หอง ถาครูสมใจตองการเขา  พักในโรงแรมแหงนี้โดยวิธีสมแลว ความนาจะเปนที่ครูสมใจจะไดเขาพักหองชั้นที่สองของโรงแรมเทากับ ุ ขอใดตอไปนี้ 1) 10 1 2) 5 1 3 3) 10 4) 1215. ในการหยิบบัตรสามใบ โดยหยิบทีละใบจากบัตรสี่ใบ ซึ่งมีหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กํากับ ความนาจะเปนที่ จะไดผลรวมของตัวเลขบนบัตรสองใบแรกนอยกวาตัวเลข บนบัตรใบที่สามเทากับขอใด 1) 14 2) 34 3) 1 2 4) 23คณิตศาสตร (38) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 16. ทาสีเหรียญสามอันดังนี้ เหรียญแรกดานหนึ่งทาสีขาว อีกดานหนึ่งทาสีแดง เหรียญที่สองดานหนึ่งทาสีแดง อีกดานหนึ่งทาสีฟา เหรียญที่สามดานหนึ่งทาสีฟา อีกดานหนึ่งทาสีขาว โยนเหรียญทั้งสามขึ้นพรอมกัน ความนาจะเปนที่เหรียญจะขึ้นหนาตางสีกันทั้งหมดเปนดังขอใด 1) 12 2) 14 3) 18 1 4) 1617. กลองใบหนึ่งบรรจุสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสุมหยิบสลากจํานวนสองใบ โดยหยิบที ละใบแบบไมใสคืน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสลากหมายเลขต่ํากวา 5 เพียงหนึ่งใบเทานั้น เทากับขอใด 1) 92 2) 158 3) 352 11 4) 15618. ในการวัดสวนสูงนักเรียนแตละคนในชั้น พบวานักเรียนที่สูงที่สุดสูง 177 เซนติเมตร และนักเรียนที่เตี้ยที่สุด สูง 145 เซนติเมตร พิจารณาเซตของสวนสูงตอไปนี้ S = {H | เปนสวนสูงในหนวยเซนติเมตรของนักเรียนในชั้น} T = {H | 145 ≤ H ≤ 177} เซตใดถือเปนปริภูมตัวอยาง (แซมเปลสเปซ) สําหรับการทดลองสุมนี้ ิ 1) S และ T 2) S เทานั้น 3) T เทานั้น 4) ทั้ง S และ T ไมเปนปริภูมิตัวอยาง19. ในการเลือกคณะกรรมการชุดหนึง ซึ่งประกอบดวย ประธาน รองประธาน และเลขานุการอยางละ 1 คน ่ จากหญิง 6 คน และชาย 4 คน ความนาจะเปนที่คณะกรรมการชุดนี้ จะมีประธานและรองประธานเปนหญิง เทากับเทาใด 1) 181 1 2) 12 3) 9 1 4) 1320. กลองใบหนึ่งมีลูกบอล 10 ลูก เปนสีแดง 1 ลูก สีน้ําเงิน 2 ลูก สีขาว 2 ลูก นอกนั้นเปนสีอื่นๆ ความนาจะ เปนที่จะหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองใบนี้ใหไดสีแดง 1 ลูก สีน้ําเงิน 1 ลูก และไมไดสีขาว เทากับขอใด ตอไปนี้ 1) 121 2) 101 3) 607 4) 15221. สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลข 1-10 กํากับ ความนาจะเปนที่จะหยิบสลากพรอมกัน 3 ใบ ใหมีแตมรวม เปน 10 และไมมีสลากใบใดมีหมายเลขสูงกวา 5 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 601 1 2) 40 3) 301 4) 20122. ตูนิรภัยมีระบบล็อกที่เปนรหัสประกอบดวยตัวเลขโดด 0 ถึง 9 จํานวน 3 หลัก จํานวนรหัสทั้งหมดที่มีบาง หลักซ้ํากัน คือขอใด23. จํานวนวิธีในการจัดหญิง 3 คน และชาย 3 คน นั่งเรียงกันเปนแถว โดยใหสามีภรรยาคูหนึ่งนั่งติดกันเสมอ มีทั้งหมดกี่วิธี24. ในการเขียนตัวเลข 3 ตัว จากเลขโดด 1 ถึง 7 โดยที่เลขโดดในหลักทั้งสามไมซ้ํากันเลย จะมีวิธีเขียนตัวเลข เหลานี้ที่แสดงจํานวนคี่ไดกี่วิธี โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (39)
  • 25. มีกลอง 2 ใบ แตละใบมีลูกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยูอยางละลูก ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลองทั้งสอง ใบนี้ กลองละลูกแลว ความนาจะเปนที่จะไดลูกบอลหมายเลขตางกันเทากับเทาใด26. ถานําตัวอักษรทั้งหมดจากคําวา AVATAR มาจัดเรียงเปนคําตางๆ โดยไมจําเปนตองมีความหมาย จะ จัดเปนคําที่แตกตางกันไดกี่วธี ิ27. ตองการจัดที่นั่งใหผูใหญ 3 คน กับเด็ก 4 คน เดินทางดวยรถยนต 7 ที่นั่ง โดยคนขับตองเปนผูใหญ จะมี วิธีการจัดไดกี่วิธี28. จากการสํารวจนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 100 คน ไดขอมูลวามีนกเรียนที่สวมรองเทาขนาดตางๆ ดังนี้ ั เบอรรองเทา จํานวนนักเรียน 5 3 6 12 7 35 8 27 9 16 10 7 รวม 100 คน ถาเลือกนักเรียน 1 คน จากนักเรียนกลุมนี้อยางสุม แลวความนาจะเปนที่จะเลือกไดนักเรียนสวมรองเทา เบอร 6 หรือเบอร 7 เทากับเทาใด29. เสื้อ 50 ตัว บรรจุในกลองใบหนึ่งมีขนาดและสีตางๆ เปนจํานวนตามตารางตอไปนี้ สี แดง เขียว เหลือง น้ําเงิน สม รวม ขนาด S 2 1 2 3 1 9 M 4 5 5 2 3 19 L 3 3 3 4 5 18 XL 1 1 0 1 1 4 รวม 10 10 10 10 10 50 ถาสุมหยิบเสื้อมา 1 ตัว ความนาจะเปนที่จะไดเสื้อสีเขียวขนาด L หรือเสื้อสีสมขนาด S เทากับเทาใด คณิตศาสตร (40) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สถิติ สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่แทนจํานวนหรือขอเท็จจริงของสิ่งที่เราศึกษา สถิติ หมายถึง ศาสตรที่วาดวยระเบียบวิธีการทางสถิติ ซึ่งประกอบดวย 1. การเก็บรวบรวมขอมูล 2. การนําเสนอขอมูล 3. การวิเคราะหขอมูล 4. การสรุปและตีความหมายของขอมูล ลักษณะของขอมูล แยกเปน 2 ประเภท 1. ขอมูลเชิงปริมาณ 2. ขอมูลเชิงคุณภาพ ขอมูลเบื้องตนเกี่ยวกับสถิติ 1. ความถี่ คือ ขอมูลชุดหนึ่งที่ประกอบดวยคาคะแนนสามารถแบงออกไดเปน 1.1 ขอมูลไมแจกแจงความถี่ (ขอมูลดิบ, ตารางที่ไมมีชวงชั้น) 1.2 ขอมูลแจกแจงความถี่ (ตารางที่มีชวงชั้น) 2. ความถี่สะสม คือ ผลรวมของความถี่นั้นกับความถี่ของคาที่นอยกวาทั้งหมดหรือสูงกวาทั้งหมดอยางใดอยางหนึ่ง 3. ขีดจํากัด คือ คากึ่งกลางระหวางอันตรภาคชั้นที่อยูติดกัน 3.1 ขีดจํากัดบนของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคะแนนที่สูงสุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับคะแนนต่ําสุดของอันตรภาคชั้นที่มีคะแนนสูงกวาที่อยูติดกัน 3.2 ขีดจํากัดลางของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคะแนนต่ําสุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับคะแนนสูงสุดของอันตรภาคชั้นที่มีคะแนนต่ํากวาที่อยูติดกัน 4. ความกวางของอันตรภาคชั้น คือ ผลตางระหวางขีดจํากัดบนและขีดจํากัดลางของชั้นนั้น 5. คากึ่งกลางของอันตรภาคชั้นใด คือ ขีดจํากัดบน + ขีดจํากัดลาง 2 6. พิสัย คือ xmax - xmin คากลางของขอมูล 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) หาไดจาก x = Σ x N 2. มัธยฐาน (Me) คือ คากลางของขอมูลซึ่งเมื่อเรียงขอมูลจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอย แลวจํานวนขอมูลที่นอยกวาคานั้นจะเทากับจํานวนขอมูลที่มากกวาคานั้น 3. ฐานนิยม (Mo) ขอมูลที่มความถี่สูงสุดในขอมูลชุดนั้น ขอมูลชุดใดถามีขอมูลซ้ํากันหรือมีความถี่สูงสุด ีเพียงจํานวนเดียวจํานวนนั้นเปนคาฐานนิยม โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (41)
  • คากลางของขอมูล กรณีขอมูลไมแจกแจงความถี่ กรณีขอมูลมีการแจกแจงความถี่ คาเฉลี่ยเลขคณิต ( x ) x = ΣxN x = ΣNfx N - F  มัธยฐาน (Me) Me = ขอมูลตําแหนงที่ N 2 1 + Me = L +  2 f M  I    M    Mo = L +  d d1 d  I   ฐานนิยม (Mo) Mo = ความถี่ที่มีมากที่สุด  1 + 2    rN - F  ควอไทล Qr = r(N 4+ 1) Qr = L +  2 f  I       rN - F   เดไซล Dr = r(N10 1) + Dr = L + 10 f  I         rN - F  เปอรไซล Pr = r(N + 1) 100 Pr = L +  100f  I       หมายเหตุ : 1. คาเฉลี่ยสะสม x รวม = N1 x 1 + N2 x 2 + N3 x 3 + ... + Nk x k 2. L คือ ขีดจํากัดลางของอันตรภาคชั้นที่มีขีดจํากัดลางอยู 3. N คือ จํานวนขอมูลทั้งหมด 4. F คือ ผลรวมของความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีคาต่ํากวาอันตรภาคชั้นที่ตองการ 5. f คือ ความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ตองการ  6. I คือ ความกวางของอันตรภาคชั้นนั้น 7. dn คือ ผลตางระหวางความถี่ของอันตรภาคที่มีความถี่สูงสุดกับความถี่ของอันตรภาคชั้นที่มีคาต่ํากวาที่อยูติดกัน 8. r คือ ตําแหนง ควอไทล เดไซล หรือเปอรเซนตไทล ที่ตองการ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน Σ (x i - x)2 Σ (x i )2 2 S= N หรือ S = N - (x)คณิตศาสตร (42) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • คาความแปรปรวน (S2) 1 S2 = N ∑ (x - x )2 (กรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี)่ 1 = N ∑ x2 - x 2 (สูตรลัด) 1 หรือ S2 = N ∑ f(x - x )2 (กรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี)่ 1 = N ∑ fx2 - x 2 (สูตรลัด) คามาตรฐาน z = x-x S (S = S2 คือ คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ความสัมพันธของ x , Med., Mod. 1. ขอมูลเปนโคงปกติ 2. ขอมูลเบซาย 3. ขอมูลเบขวา แผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรือ Box-Plot) แผนภาพกลองทําใหเราทราบถึงลักษณะการกระจายของขอมูล 25% 25% 25% 25% คาต่ําสุด Q1 Q2 Q3 คาสูงสุด จากแผนภาพพบวา ขอมูลที่อยูระหวาง Q1 กับ Q2 มีการกระจายมากที่สุด รองลงมาคือขอมูลที่อยูระหวาง Q3 ถึงคาสูงสุด ขอมูลระหวางคาต่ําสุดกับ Q1 และขอมูลระหวาง Q2 กับ Q3 ตามลําดับ แผนภาพตน-ใบ เปนการจัดขอมูลเปนกลุมเพื่อแจกแจงความถี่และวิเคราะหขอมูลเบื้องตนไปพรอมกัน เรียกวาแผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรือ Stem Plot) สวนประกอบของแผนภาพตน-ใบ 1. ตน เปนขอมูลตั้งแตหลักสิบขึ้นไป 2. ใบ เปนขอมูลในหลักหนวย โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (43)
  • ตัวอยางขอสอบ1. ถาขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 แลวขอความใดเปนเท็จ สําหรับขอมูลชุดนี้ 1) มัธยฐาน เทากับ 12 2) ฐานนิยม นอยกวา 12 3) ฐานนิยม นอยกวา คาเฉลี่ยเลขคณิต 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต มากกวา 122. เมื่อพิจารณาผลการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 39 คน พบวา เปอรเซนตไทลที่ 25 ของคะแนนสอบ เทากับ 35 คะแนน และมีนักเรียน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรือเทากับ 80 คะแนน ถามีนักเรียนที่สอบได 35 คะแนนเพียงคนเดียวแลว จํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนในชวง 35-80 คะแนน เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 18 คน 2) 19 คน 3) 20 คน 4) 21 คน3. จากตารางแสดงน้ําหนักของนักเรียนจํานวน 50 คน เปนดังนี้ น้ําหนัก (กิโลกรัม) จํานวน (คน) 30-39 4 40-49 5 50-59 13 60-69 17 70-79 6 80-89 5 ขอสรุปในขอใดตอไปนีไมถูกตอง ้ 1) นักเรียนกลุมนี้สวนใหญมีน้ําหนัก 60-69 กิโลกรัม  2) นักเรียนที่มีน้ําหนักต่ํากวา 50 กิโลกรัม มี 9 คน 3) นักเรียนที่มีน้ําหนักในชวง 50-59 กิโลกรัม มี 26% 4) นักเรียนที่มีน้ําหนักมากกวา 80 กิโลกรัม มี 10%4. ครอบครัวหนึ่งมีบตร 4 คน บุตร 2 คน มีน้ําหนักเทากันและมีน้ําหนักนอยกวาบุตรอีก 2 คน ถาน้ําหนักของ ุ บุตรทั้ง 4 คน มีคาฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัยเทากับ 45, 47.5 และ 7 กิโลกรัม ตามลําดับ แลวคาเฉลี่ย เลขคณิตของน้ําหนักของบุตรทั้ง 4 คน มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 46 กิโลกรัม 2) 47 กิโลกรัม 3) 48 กิโลกรัม 4) 49 กิโลกรัมคณิตศาสตร (44) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 5. ถาน้ําหนัก (คิดเปนกิโลกรัม) ของนักเรียน 2 กลุม กลุมละ 6 คน เขียนเปนแผนภาพตน-ใบ ไดดังนี้ นักเรียนกลุมที่ 1 นักเรียนกลุมที่ 2 8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 0 ขอสรุปในขอใดตอไปนีถกตอง ้ ู 1) น้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวาน้ําหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุมที่ 1 2) ฐานนิยมของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวาฐานนิยมของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1 3) มัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 2 มากกวามัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 1 4) มัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนทั้งหมด มากกวามัธยฐานของน้ําหนักของนักเรียนกลุมที่ 16. แผนภาพกลองตอไปนี้แสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิง และนักเรียนชาย คะแนนสอบของนักเรียนหญิง คะแนนสอบของนักเรียนชาย 0 คะแนนสอบ 100 ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) คะแนนสอบเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชาย สูงกวาคะแนนสอบเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิง 2) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชายมีการกระจายเบขวา 3) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิง มีการกระจายมากกวาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของ นักเรียนชาย 4) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหญิงมีการกระจายเบขวา7. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 19 จํานวน ตอไปนี้ 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทลที่ 3 มีคาตางจากเปอรเซนตไทลที่ 45 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 6 4) 78. อายุเฉลี่ยของคนกลุมหนึ่งเทากับ 31 ป ถาอายุเฉลี่ยของผูหญิงในกลุมนี้เทากับ 35 ป และอายุเฉลี่ยของ ผูชายในกลุมนี้เทากับ 25 ป แลว อัตราสวนระหวางจํานวนผูหญิงตอจํานวนผูชายในกลุมเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 59. ความสัมพันธระหวางกําไร (y) และราคาทุน (x) ของสินคาในรานแหงหนึ่งเปนไปตามสมการ y = 2x - 30 ถาราคาทุนของสินคา 5 ชนิด คือ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําไรในการขาย สินคาทั้ง 5 ชนิดนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 25 บาท 2) 30 บาท 3) 35 บาท 4) 40 บาท โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (45)
  • 10. ตารางแจกแจงความถี่ แสดงจํานวนนักเรียนในชวงอายุตางๆ ของนักเรียนกลุมหนึงเปนดังนี้ ่ ชวงอายุ (ป) ความถี่ (คน) 1-5 4 6-10 9 11-15 2 16-20 5 อายุเฉลี่ยของนักเรียนกลุมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 9 ป 2) 9.5 ป 3) 10 ป 4) 10.5 ป11. กําหนดใหขอมูลชุดหนึง คือ 10, 3, x, 6, 6 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ มีคาเทากับมัธยฐาน แลว x ่ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 2) 4 3) 5 4) 612. เมื่อสองปกอน นักเรียนหองหนึ่งมี 30 คน แบงออกไดเปนสองกลุม กลุมที่หนึ่งมี 10 คน ทุกคนมีอายุ 10 ป และกลุมที่ 2 มี 20 คน มีอายุเฉลี่ย 8.5 ป ถาความแปรปรวนของอายุนักเรียนในกลุมที่สอง เทากับ 0 แลว ในปจจุบัน ความแปรปรวนของอายุนกเรียนหองนี้ เทากับขอใดตอไปนี้ ั 1) 1 2 2) 2 3 3) 5 2 4) 8313. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 80 คน ซึ่งมี ลําเจียก ลําดวน และลําพู รวมอยูดวย ปรากฏผลการสอบดังนี้  ลําดวนไดคะแนนตรงกับควอไทลท่สาม ี ลําพูไดคะแนนตรงกับเปอรเซนตไทลที่ 50 ลําเจียกไดคะแนนเปนลําดับที่ 30 เมื่อเรียงคะแนนจากมากไปหานอย ขอใดตอไปนี้เปนการเรียงรายชื่อของผูที่ไดคะแนนนอยไปหาผูท่ไดคะแนนมาก ี 1) ลําพู ลําเจียก ลําดวน 2) ลําพู ลําดวน ลําเจียก 3) ลําเจียก ลําพู ลําดวน 4) ลําเจียก ลําดวน ลําพู14. กําหนดใหตารางแจกแจงความถีสะสมของคะแนนของนักเรียนหองหนึ่ง เปนดังนี้ ่ ชวงคะแนน ความถี่สะสม 30-39 1 40-49 11 50-59 18 60-69 20 ขอสรุปในขอใดตอไปนีถกตอง ้ ู 1) นักเรียนที่ไดคะแนน 40-49 คะแนน มีจํานวน 22% 2) นักเรียนสวนใหญไดคะแนน 60-69 คะแนน 3) นักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มีจํานวนนอยกวา นักเรียนที่ไดคะแนน 40–49 คะแนน 4) นักเรียนที่ไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มีจํานวนมากกวา นักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 50 คะแนนคณิตศาสตร (46) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 15. จากการทดสอบนักเรียนจํานวน 100 คน ใน 2 รายวิชา แตละรายวิชามีคะแนนเต็ม 150 คะแนน ถาผลการ ทดสอบทั้งสองรายวิชาเขียนเปนแผนภาพกลองไดดังนี้ คะแนนสอบรายวิชาที่ 1 คะแนนสอบรายวิชาที่ 2 0 20 40 60 80 100 120 140 ขอสรุปในขอใดตอไปนีถก ้ ู 1) คะแนนสอบทั้งสองรายวิชามีการแจกแจงแบบปกติ 2) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนไมเกิน 80 คะแนน ในรายวิชาที่ 1 มากกวาจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนไมเกิน 80 คะแนน ในรายวิชาที่ 2 3) คะแนนสูงสุดที่อยูในกลุม 25% ต่ําสุด ของผลการสอบรายวิชาที่ 1 นอยกวาคะแนนสูงสุดที่อยูในกลุม 25% ต่ําสุด ของผลการสอบรายวิชาที่ 2 4) จํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนระหวาง 60–80 คะแนน ในการสอบรายวิชาที่ 2 นอยกวาจํานวนนักเรียนที่ ไดคะแนนในชวงเดียวกัน ในการสอบรายวืชาที่ 116. คะแนนของผูเขาสอบ 15 คน เปนดังนี้ 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถาเกณฑในการสอบผาน คือ ตองไดคะแนนไมต่ํากวาเปอรเซนตไทลที่ 60 แลว ขอใดตอไปนี้เปนคะแนน ต่ําสุดของผูที่สอบผาน 1) 68 2) 70 3) 72 4) 7317. ขอมูลชุดหนึ่ง ถาเรียงจากนอยไปหามากแลว ไดเปนลําดับเลขคณิตตอไปนี้ 2, 5, 8, ..., 92 ควอไทลที่ 3 ของขอมูลชุดนีมีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ้ 1) 68 2) 69 3) 71 4) 7218. ในการแขงขันกีฬามหาวิทยาลัยโลกครั้งที่ 24 ซึ่งประเทศไทยเปนเจาภาพ มีการสงรายชื่อนักกีฬาจาก ประเทศไทย 379 คน มีอายุเฉลี่ย 22 ป ถามีการถอนตัวนักกีฬาไทยออก 4 คน ซึ่งมีอายุ 24, 25, 25 และ 27 ป และมีการเพิ่มนักกีฬาไทยอีก 5 คน ซึ่งมีอายุเฉลี่ย 17 ป แลวอายุเฉลี่ยของนักกีฬาจากประเทศไทย จะเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 21.6 ป 2) 21.7 ป 3) 21.8 ป 4) 21.9 ป โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (47)
  • 19. กําหนดแผนภาพตน-ใบ ของขอมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1 สําหรับขอมูลชุดนี้ ขอใดตอไปนีเปนจริง ้ 1) มัธยฐาน < ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต 2) มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน 4) คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม20. คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของพนักงานของบริษัทหนึ่ง เทากับ 48.01 กิโลกรัม บริษทนี้มีพนักงานชาย ั 43 คน พนักงานหญิง 57 คน ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักพนักงานหญิงเทากับ 45 กิโลกรัม แลวน้ําหนัก ของพนักงานชายทั้งหมดรวมกันเทากับขอใด 1) 2236 กิโลกรัม 2) 2279 กิโลกรัม 3) 2322 กิโลกรัม 4) 2365 กิโลกรัม21. ถาสุมตัวเลขหนึ่งตัวจากขอมูลชุดใดๆ ซึ่งประกอบดวยตัวเลข 101 ตัวแลว ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมคานอยกวาคามัธยฐาน < 1 ี 2 2) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต < 1 ี 2 3) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมคามากกวาคามัธยฐาน > 1 ี 2 4) ความนาจะเปนที่ตวเลขที่สุมไดมคามากกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต > 1 ั ี 222. ครูสอนวิทยาศาสตรมอบหมายใหนักเรียน 40 คน ทําโครงงานตามความสนใจ หลังจากตรวจรายงาน โครงงานของทุกคนแลว ผลสรุปเปนดังนี้ ผลการประเมิน จํานวนโครงงาน ดีเยี่ยม 3 ดี 20 พอใช 12 ตองแกไข 5 ขอมูลที่เก็บรวบรวม เพื่อใหไดผลสรุปขางตนเปนขอมูลชนิดใด 1) ขอมูลปฐมภูมิ เชิงปริมาณ 2) ขอมูลทุติยภูมิ เชิงปริมาณ 3) ขอมูลปฐมภูมิ เชิงคุณภาพ 4) ขอมูลทุติยภูมิ เชิงคุณภาพ23. สําหรับขอมูลเชิงปริมาณใดๆ ที่มคาสถิตตอไปนี้ คาสถิติใดจะตรงกับคาของขอมูลคาหนึ่งเสมอ ี ิ 1) พิสัย 2) คาเฉลี่ยเลขคณิต 3) มัธยฐาน 4) ฐานนิยมคณิตศาสตร (48) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 24. ขอมูลตอไปนี้แสดงน้ําหนักในหนวยกิโลกรัม ของนักเรียนกลุมหนึ่ง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาที่เหมาะสมที่จะเปนตัวแทนของขอมูลชุดนี้ 1) มัธยฐาน 2) ฐานนิยม 3) คาเฉลี่ยเลขคณิต 4) คาเฉลี่ยของคาสูงสุดและคาต่ําสุด25. แผนภาพตน-ใบ ของน้ําหนักในหนวยกรัมของไขไก 10 ฟอง เปนดังนี้ 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ขอสรุปใดเปนเท็จ 1) ฐานนิยมของน้ําหนักของไขไกมีเพียงคาเดียว 2) คาเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของน้ําหนักของไขไกมีคาเทากัน 3) มีไขไก 5 ฟองที่มีน้ําหนักนอยกวา 70 กรัม 4) ไขไกที่มีน้ําหนักสูงกวาฐานนิยม มีจํานวนมากกวา ไขไกที่มีนําหนักเทากับฐานนิยม ้26. คะแนนสอบความรูทั่วไปของนักเรียน 200 คน นําเสนอโดยใชแผนภาพกลองดังนี้ 10 12 16 18 24 ขอใดเปนเท็จ 1) จํานวนนักเรียนที่ทําได 12 ถึง 16 คะแนน มีเทากับ จํานวนนักเรียนที่ทําได 16 ถึง 18 คะแนน 2) จํานวนนักเรียนที่ทําได 16 ถึง 18 คะแนน มีเทากับ จํานวนนักเรียนที่ทําได 18 ถึง 24 คะแนน 3) จํานวนนักเรียนที่ทําได 10 ถึง 12 คะแนน มีเทากับ จํานวนนักเรียนที่ทําได 18 ถึง 24 คะแนน 4) จํานวนนักเรียนที่ทําได 10 ถึง 16 คะแนน มีเทากับ จํานวนนักเรียนที่ทําได 16 ถึง 24 คะแนน27. จากการตรวจสอบลําดับที่ของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวิชาคณิตศาสตร ที่มีผูเขาสอบ 400 คน ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยูในตําแหนงควอไทลที่ 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยูในตําแหนง เปอรเซนตไทลที่ 60 จํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนระหวางคะแนนนาย ก และคะแนนนาย ข มีประมาณ กี่คน 1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน 4) 60 คน โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (49)
  • 28. ขอมูลชุดหนึ่ง มีบางสวนถูกนําเสนอในตารางตอไปนี้ อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่สัมพัทธ 2-6 7-11 11 0.2 12-16 14 17-21 6 0.3 ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนที่มความถี่สูงสุด ี 1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-2129. ในการใชสถิติเพื่อการตัดสินใจและวางแผน สําหรับเรื่องที่จําเปนตองมีการใชขอมูลและสารสนเทศ ถาขาด ขอมูลและสารสนเทศดังกลาว ผูตดสินใจควรทําขั้นตอนใดกอน ั 1) เก็บรวบรวมขอมูล 2) เลือกวิธีวิเคราะหขอมูล 3) เลือกวิธีเก็บรวบรวมขอมูล 4) กําหนดขอมูลที่จําเปนตองใช30. จํานวนผูวางงานทั่วประเทศในเดือนกันยายน ป พ.ศ. 2551 มีจํานวนทั้งสิ้น 4.29 แสนคน ตาราง เปรียบเทียบอัตราการวางงานในเดือนกันยายน ป พ.ศ. 2550 กับป พ.ศ. 2551 เปนดังนี้ อัตราการวางงานในเดือนกันยายน พื้นที่สํารวจ (จํานวนผูวางงานตอจํานวนผูอยูในกําลังแรงงานคูณ 100) ป พ.ศ. 2550 ป พ.ศ. 2551 ภาคใต 1.0 1.0 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 0.9 1.3 ภาคเหนือ 1.5 1.2 ภาคกลาง (ยกเวนกรุงเทพมหานคร) 1.3 0.9 กรุงเทพมหานคร 1.2 1.2 ทั่วประเทศ 1.2 1.1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. จํานวนผูวางงานในภาคใตในเดือนกันยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากัน ข. จํานวนผูอยูในกําลังแรงงานทั่วประเทศในเดือนกันยายนป พ.ศ. 2551 มีประมาณ 39 ลานคน ขอใดถูกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานั้น 3) ข. เทานั้น 4) ก. และ ข. ผิด31. ขอมูลชุดหนึ่งมี 10 จํานวน ประกอบดวยจํานวนตอไปนี้ 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอไทลที่สามของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับเทาใด คณิตศาสตร (50) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 32. ในการสํารวจน้ําหนักตัวของนักเรียนในชั้นเรียนที่มนักเรียน 30 คน เปนดังนี้ ี น้ําหนัก (กิโลกรัม) ความถี่สะสม (คน) 30-49 10 50-69 26 70-89 30 คาเฉลี่ยของน้ําหนักตัวของนักเรียนในชั้นเรียนนี้เทากับกี่กิโลกรัม33. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่งแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดังนี้ 3 0 4 9 4 0 7 7 8 8 8 5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9 6 0 2 3 3 6 8 9 7 0 1 เปอรเซนตไทลท่ี 50 ของคะแนนสอบนี้เทากับคะแนนเทาใด เฉลยเซต1. 3) 2. 3) 3. 3) 4. 4) 5. 4)6. 4) 7. 3) 8. 1) 9. 1) 10. 3211. 30 12. 50 13. 101การใหเหตุผล1. 2) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 3)6. 3) 7. 3)ระบบจํานวนจริง1. 4) 2. 1) 3. 3) 4. 2) 5. 3)6. 1) 7. 2) 8. 2) 9. 2) 10. 1)11. 4) 12. 1) 13. 1) 14. 1) 15. 3)16. 4) 17. 1) 18. 3) 19. 4) 20. 1)21. 3) 22. 2) 23. 4) 24. 2) 25. 3)26. 4) 27. 3) 28. 4) 29. 3) 30. 2)31. 2) 32. 1) 33. 3) 34. 4) 35. 9436. 2 37. 2 38. 27 39. 8เลขยกกําลัง1. 2) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 3)6. 3) 7. 3) 8. 3) 9. 1) 10. 2)11. 4) 12. 2) 13. 0.75 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (51)
  • ความสัมพันธและฟงกชัน1. 2) 2. 4) 3. 4) 4. 1) 5. 3)6. 4) 7. 2) 8. 2) 9. 4) 10. 2)11. 2) 12. 2) 13. 3) 14. 1) 15. 2)16. 4) 17. 1) 18. 1) 19. 4) 20. 1)21. 4) 22. 2) 23. 3) 24. 4) 25. 1)26. 3) 27. 6 28. 2อัตราสวนตรีโกณมิติ1. 1) 2. 2) 3. 4) 4. 1) 5. 2)6. 4) 7. 2) 8. 4) 9. 3) 10. 1)11. 1) 12. 3) 13. 3) 14. 2) 15. 2)16. 3) 17. 4) 18. 4) 19. 39 20. 0.821. 60 22. 2) 23. 625ลําดับและอนุกรม1. 1) 2. 1) 3. 1) 4. 4) 5. 3)6. 1) 7. 2) 8. 1) 9. 3) 10. 1)11. 3) 12. 4) 13. 2) 14. 4) 15. 1)16. 4) 17. 4) 18. 3) 19. 2) 20. 3)21. 1) 22. 2) 23. 390 24. 39 25. 171ความนาจะเปน1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 4) 5. 1)6. 2) 7. 3) 8. 3) 9. 2) 10. 2)11. 2) 12. 3) 13. 1) 14. 2) 15. 1)16. 2) 17. 2) 18. 2) 19. 4) 20. 1)21. 1) 22. 280 23. 240 24. 120 25. 0.826. 120 27. 2160 28. 0.47 29. 0.08สถิติ1. 4) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 1)6. 1) 7. 2) 8. 3) 9. 4) 10. 3)11. 3) 12. 1) 13. 1) 14. 3) 15. 3)16. 3) 17. 3) 18. 4) 19. 4) 20. 1)21. 1) 22. 3) 23. 4) 24. 1) 25. 4)26. 2) 27. 4) 28. 1) 29. 4) 30. 2)31. 19 32. 55.5 33. 55คณิตศาสตร (52) _____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (53)
  • คณิตศาสตร (54) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (55)
  • แนวขอสอบ PAT 1 จํานวนเชิงซอน1. กําหนดให z1, z2, z3 เปนรากของสมการ (z + 2)3 = 8 จงหาคาของ |z1| + |z2| + |z3| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 3 2) 2 3 3) 4 3 4) 122. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ 3|z + 1| = |z + 9| แลวคาของ | z | มีคา เทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)คณิตศาสตร (56) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 3. ให z1, z2, z3, ... เปนลําดับของจํานวนเชิงซอนโดยที่ z1 = 0, zn+1 = z 2 + i สําหรับ n = 1, 2, 3, ... n เมื่อ i = -1 คาสัมบูรณของ z111 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 1104. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ z2 แทนสังยุค (Conjugate) ของ z2 ถา 5z1 + 2z2 = 5 และ z2 = 1 + 2i เมื่อ i2 = -1 แลว เทาของ |5 z-1 | เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) 1 3 45. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอน ถา z-1 = 5 - 5 i เมื่อ i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แลว z2 1 เทากับขอใดตอไปนี้ (เมื่อ z2 แทนสังยุค (Conjugate) ของ z2) (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 3 - 2i 2) 3 + 2i 3) 1 - 2i 4) 1 + 2i6. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกทีนอยที่สุดที่ทําให ่   2 + i 2  n = 1 เมื่อ i2 = -1 แลว n มีคาเทากับเทาใด    2 2  (PAT 1 ก.ค. 53)7. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z2 = 2 - ii + 3 + 2i + 53+-15i เมื่อ i = -1 2 + 1+ 4i i แลวคาสัมบูรณของ z เทากับ 37 ข. ถา x และ y เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับสมการ -x5 ++ yi = i(i + 1)(i + 2)(i + 3)(i + 4) 2i 10 แลวคา x + y = 15 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด8. ถา (1 + bi)3 = -107 + ki เมื่อ b, k เปนจํานวนจริง และ i = -1 แลว |k| เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)9. กําหนดให a, b และ z เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ |a| ≠ |b|, |a| ≠ 1 และ |b| ≠ 1 ถา |az + b| = | bz + a | แลว |z| เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 410. ถา x - 1 + i เปนตัวประกอบของพหุนาม P(x) = x3 + ax2 + 4x + b เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง แลวคาของ a2 + b2 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 17 2) 13 3) 8 4) 511. กําหนดให z1 และ z2 เปนจํานวนจริงเชิงซอน โดยที่ |z1| = |z1 + z2| = 3 และ |z1 - z2| = 3 3 |11z |- |5z | คาของ |z z 1 + z z2| เทากับเทาใด ( z แทนสังยุค (Conjugate) ของ z) (PAT 1 มี.ค. 54) 1 2 1 2 -1 2 12. กําหนดให z =  i - 1 - 2i  จงหาคาของ |3z2 + z - 1 - 3i| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)    โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (57)
  • 13. ใช z1 และ z2 เปนเชิงซอน โดยที่ |z1 - z2| = 1 และ |z1 + z2| = 2 คาของ |z1|2 + |z2|2 เปนเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55)14. ให A เปนเซตของจํานวนเชิงซอน z ทั้งหมดที่สอดคลองกับสมการ |z| - 2z = 1 - 2i   และ B = |w| w = (2 - 2i เมื่อ z ∈ A  ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B คือเทาใด   1 + i)z     (แนว PAT 1 มี.ค. 55)15. กําหนดให z1, z2 เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z2 - z + 2 = 0 แลวคาของ (|z1|2 + |z2|2) z1z +z z2 (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 12 1) 1 2) 2 3) 2 4) 2 2 เก็งขอสอบ “จํานวนเชิงซอน”1. ให z1, z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ |z1| = |z1 + z2| = 4 และ |z1 - z2| = 2 5 |4 z1| + |z2 z | จงหาคาของ |3z z + 3z 2 | z 1 2 2 1 APoint ที่ตองรู : 1 z ⋅ z = |z|2 2 |z1 + z2|2 = |z1|2 + z1 z2 + z2 z1 + |z2|2 3 |z1 - z2|2 = |z1|2 - z1 z2 - z2 z1 + |z2|2 4 | z | = |z|เฉลยวิธีคิด Q |z1 + z2| = 4 → |z1|2 + z1 z2 + z2 z1 + |z2|2 = 16 ...(1) APoint 2 Q |z1 - z2| = 2 5 → |z1|2 - z1 z2 - z2 z1 + |z2|2 = 20 ...(2) APoint 3 (1) + (2) ; 2|z1|2 + 2|z2|2 = 36 ∴ |z1|2 + |z2|2 = 18 ...(3) แทนคา |z1| = 4 ใน (3) จะได |z2|2 = 18 - 42 ∴ |z2| = 2 แทนคา |z1|, |z2| ใน (1) จะได z1 z2 + z2 z1 = 16 - 42 - ( 2 )2 = -2 APoint 4 APoint 1 |4 z1| + |z2 z | 4|z | + ||z |2| | 2 ดังนั้น |3z z + 3z 2 | = 3|z 1z + z 2z | = 4(4) +|-(2| 2 ) | = 18 = 3 Ans 3 6 1 2 2 z1 1 2 2 1คณิตศาสตร (58) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 2. ให z เปนจํานวนเชิงซอน ที่สอดคลองกับ z3 + 2z2 + 4z = 0 ถาอารกิวเมนตของ z อยูในชวง  π, π   2   แลว |Re(z 6) + Im(z6)| เทากับเทาใด (กําหนดให 2 = 1.4 และ 3 = 1.7) APoint ที่ตองรู : รูปเชิงขั้ว z = rcis (θ) 1 อารกิวเมนตของ z = θ 2 zn = rn cis (nθ) b2 3 ถา ax2 + bx + c = 0 แลว x = -b ± 2a - 4ac Q z3 + 2z2 + 4z = 0 z(z2 + 2z + 4) = 0 ∴ z = 0, -1 + 3 i, -1 - 3 i APoint 3 จัดรูปเชิงขั้ว จะได z = 0 z = 2 cis  23   π   Q θ ∈  π, π   2    APoint 1 z = 2 cis  43π      ดังนั้น z = 2 cis  23  ที่สอดคลองกับเงื่อนไข  π   z6 = 26 cis  6 ⋅ 23    π  APoint 2 ∴ z6 = 64 cis (4π) = 64 ∴ คาของ |Re(z 6) + Im(z6)| = 64 Ans โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (59)
  • คณิตศาสตร (60) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • แนวขอสอบ PAT 1 ความนาจะเปน1. ในการจัดที่นั่งรอบโตะกลมของคน 8 คน ที่มวีกิจและมุตตารวมอยูดวย จงหาความนาจะเปนที่ทั้งสองคน ี  ไมไดนั่งติดกัน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 3 4 2) 54 3) 5 7 4) 7 8 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (61)
  • 2. กําหนดให S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} สุมหาสับเซตของ S ที่มสมาชิก 3 ตัว ความนาจะเปนที่จะได ี สับเซต {x, y, z} ⊂ S โดยที่ x < y < z และ x, y, z เปนลําดับเลขคณิตเทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) 359 11 2) 35 6 3) 210 4) 21093. กลองใบหนึ่งบรรจุเสื้อยืด 13 สี สีละ 4 ตัว โดยที่ เสื้อยืดในแตละสีมีขนาด S, M, L และ XL ตามลําดับ สุมหยิบเสื้อจากกลองมา 3 ตัว พรอมๆ กัน ความนาจะเปนที่จะไดเสื้อมีสีเหมือนกัน 2 ตัว เทากับขอใด ตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 72 1) 425 72 2) 5525 3) 221 3 3 4) 221004. กําหนดให S เปนแซมเปลสเปซ และ A, B เปนเหตุการณใดๆ ใน S จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. P(A) = P(A I B) + P(A I B′) ข. ถา P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(A U B′) = 0.7 แลว P(A - B) = 0.4 ขอใดตอไปนีถูกตอง (PAT 1 มี.ค. 53) ้ 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด5. ให A เปนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10 B เปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10 และ C เปนเซตของฟงกชัน f : A → B ทั้งหมดที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และ ห.ร.ม. ของ a และ f(a) ไมเทากับ 1 สําหรับทุกคา a ∈ A จํานวนสมาชิกในเซต C เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53)6. กําหนดให A = {0, 1, 2, 3, 4} จํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวา 300 โดยสรางมาจากตัวเลขในเซต A และ ตัวเลขแตละหลักไมซ้ํากันเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53)7. คณะกรรมการชุดหนึ่งมี 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานุการ และกรรมการอีก 4 คน จํานวนวิธีที่จัดกลุมคน 7 คนนี้นั่งประชุมรอบโตะกลม โดยใหประธานและรองประธานนั่งติดกันเสมอ แต เลขานุการไมนั่งติดกับรองประธานเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53)คณิตศาสตร (62) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 8. ในการทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมๆ กัน ความนาจะเปนที่ผลบวกของหนาลูกเตาทั้งสองเทากับ 7 หรือผลคูณ ของหนาลูกเตาทั้งสองเทากับ 12 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1 1) 18 2) 6 1 3) 9 2 4) 949. มีขอสอบปรนัย 20 ขอ คะแนนเต็ม 50 คะแนน โดยกําหนดขอ 1-10 ขอละ 4 คะแนน และขอ 11-20 ขอละ 1 คะแนน ถาหากนักเรียนตอบขอใดถูกตอง จะไดคะแนนเต็มของขอนั้น แตถาตอบผิดหรือไมตอบ  จะไดคะแนน 0 คะแนน จะมีกี่วิธีที่นักเรียนคนหนึ่ง จะทําขอสอบชุดนี้ไดคะแนนรวม 45 คะแนน (PAT 1 ก.ค. 53)10. กําหนดให A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} จงหาจํานวนสับเซตของ A ทั้งหมดที่ประกอบดวยสมาชิก 8 ตัวที่ แตกตางกัน โดยที่ผลรวมของสมาชิกทั้ง 8 ตัว เปนพหุคูณของ 5 (PAT 1 ก.ค. 53)11. ในการสอบถามนักเรียน จํานวน 100 คน ปรากฏวา มี 50 คน ชอบวิชาคณิตศาสตร , มี 40 คน ชอบวิชา ฟสิกส, มี 33 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ, มี 5 คน ชอบทั้งสามวิชา, มี 10 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษอยาง เดียว, มี 12 คน ชอบวิชาฟสิกสอยางเดียว และมี 20 คน ชอบวิชาคณิตศาสตรและวิชาฟสิกส พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งไมชอบทั้งสามวิชา เทากับ 0.15 ข. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งชอบวิชาคณิตศาสตรอยางเดียว เทากับ 0.40 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด12. โยนเหรียญบาท (เที่ยงตรง) หนึ่งเหรียญ จํานวน 10 ครั้ง ความนาจะเปนที่ไดหัวอยางนอย 2 ครั้งติดกัน เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 193 512 2) 314 512 3) 649 4) 55 6413. มีถุงยังชีพ 5 ถุง ตองการแจกใหครอบครัวที่ถูกน้ําทวม 4 ครอบครัว ครอบครัวละไมเกิน 2 ถุง ความนาจะเปน ที่ครอบครัวของสมชายซึ่งเปนหนึ่งในสี่ครอบครัวนั้นไมไดรับของแจกเลย เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 0.15 2) 0.2 3) 0.4 4) 0.614. ถา S เปนผลบวกของจํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่สรางมาจากเลขโดด 1, 2, 3 หรือ 4 โดยที่ตวเลขในแตละ ั หลักไมซ้ํากัน แลวเศษเหลือจากการหาร S ดวย 9 เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54)15. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณในปริภูมิตวอยาง ถา P(B - A) = 0.5, P(B) = 0.6 ั และ P(A′ U B) = 0.7 แลว จงหา P(A U B′) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 0.1 2) 0.3 3) 0.4 4) 0.516. สุมเลือกจํานวนตั้งแต 3 ถึง 17 มา 5 จํานวน จงหาจํานวนวิธีที่จะไดจํานวนซึ่งมีผลรวมของทั้ง 5 จํานวน หารดัวย 3 ลงตัว (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)17. มีบัตรอักษร 9 ใบ ไดแก X, X, X, O, O, O, S, S, S เลือกมา 3 ใบ เพื่อสรางรหัส 3 หลัก จะสรางรหัสที่ แตกตางกันไดกี่วิธี (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (63)
  • 18. ให S เปนเซตของพหุนาม P(x) = ax3 + bx2 + cx + d โดยที่ a, b, c, d เปนสมาชิกในเซต {x ∈ I|x ≥ 0} ซึ่งมีสมบัติสอดคลองกับ a + 2b + c + d = 4 จํานวนสมาชิกของเซต S เทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55)19. มีลูกบอลสีแตกตางกัน 5 ลูก คือ สีขาว, สีแดง, สีเขียว, สีเหลือง และสีดํา สุมเลือกลูกบอลเหลานี้มาครั้งละ 3 ลูก ความนาจะเปนที่จะไดสีแดงหรือสีเหลืองเทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55)20. จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการจัดสามี ภรรยา 3 คู ซึ่งมีเจนภพและนพนภา รวมอยูดวยใหยืนเปนแถวตรง 2 แถว แถวละ 3 คน โดยที่เจนภพและนพนภาไมไดยืนติดกันในแถวเดียวกัน (แนว PAT 1 มี.ค. 55)21. ในการทอดลูกเตา 2 ลูก พรอมกัน 1 ครั้ง โอกาสที่ลูกเตาลูกหนึ่งออกแตม x อีกลูกออกแตม y โดยที่ 1 + 1 = 1 คือเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) x y 2 1) 9 1 2) 6 1 3) 181 4) 12 122. จากการสอบถามนักเรียน 22 คน พบวาทุกคนเปนคนชอบเลนกีฬาอยางนอย 1 ชนิด มี 10 คน ชอบเลน เปตอง, มี 12 คน ชอบเตะตะกรอ, มี 12 คน ชอบตีกอลฟ, มี 5 คน ชอบเลนเปตองและตะกรอ, มี 3 คน ชอบเลนเปตองและกอลฟ, มี 6 คน ชอบเตะตะกรอและตีกอลฟ ถาตองการเลือกเด็กนักเรียนที่ชอบกีฬา ชนิดละ 1 คน โดยที่เด็กคนนั้นตองชอบกีฬาเพียงชนิดเดียวเทานั้น จะสามารถเลือกไดกี่วิธี (แนว PAT 1 ต.ค. 55)23. สําหรับเหตุการณ E ใดๆ ให P(E) แทนความนาจะเปนของเหตุการณ E ถา P(A) = 0.34, P(A I B) = 0.15, P((A U B) - (A I B)) = 0.43 แลวคาของ P(B - A) คือเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)คณิตศาสตร (64) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • เก็งขอสอบ “ความนาจะเปน”โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (65)
  • คณิตศาสตร (66) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (67)
  • คณิตศาสตร (68) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (69)
  • แนวขอสอบ PAT 1 ลําดับและอนุกรม   11. จงหาคาของ lim 2n   1 + 12 + 12 + 1 + 12 + 12 + ... + 1 + 1 2 + 12  n→∞   1 2 2 3 (n - 1) n    (แนว PAT 1 มี.ค. 55)2. กําหนดใหลําดับเลขคณิตมีผลบวก 5 พจนแรกเทากับ 105 และมีผลบวก 5 พจนถัดไป เทากับ 180 แลว ผลบวก 31 พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้มีคาเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) n n3. ผลบวกของอนุกรม 3 + 11 + 16 + ... + 3 + n2-1 - 2 + ... เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 4 33 4 1) 3 20 29 2) 3 3) 31 4) 40 3 34. ถา {an} เปนลําดับของจํานวนจริงที่ an = 2 + 4 + 6 2+ ... + 2n สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n n แลว lim a n เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) n→∞คณิตศาสตร (70) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • n  5. กําหนดให Sn = ∑   1   สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ lim S n เทากับเทาใด k =1  k (k + 1) + k k + 1  n→∞ (PAT 1 มี.ค. 53)6. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 3, 4, 5, 6, ... ในตารางดังตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) แถวที่ 1 9 17 ... 2 2 8 10 16 ... 3 3 7 11 15 ... 4 4 6 12 14 ... 5 5 13 ... จํานวน 2400 อยูในแถวที่เทาใด7. กําหนดให x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเทากับ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลําดับ เลขคณิต แลวคา r เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 14 2) 13 3) 1 2 4) 28. กําหนดใหอนุกรมตอไปนี้ 1000 20 100 ∞ k A = ∑ (-1)k B = ∑ k2 C = ∑k D = ∑ 2 1    k =1 k =3 k=1 k =1  2  คาของ A + B + C + D เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 79229. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7 ,9, ... ในตารางดังตอไปนี้ แถวที่ 1 1 แถวที่ 2 3 5 แถวที่ 3 7 9 11 แถวที่ 4 13 15 17 19 แถวที่ 5 M M M M M M M M M M M M M จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4 อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยู ตําแหนงใดในแถวที่เทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 1) ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2) ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3) ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4) ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 2110. ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงโดยที่ a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว lim n 2 a n มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) n→∞ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (71)
  • βn - 711. กําหนดให β เปนจํานวนจริง และให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงที่นิยามโดย an = n + 2 สําหรับ n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมีคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลําดับ {an} เปนจํานวนเทากับ a108 แลว lim a n มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) n→∞ 1 2 1 212. กําหนดให an = 1 +  1 + n  + 1 +  1 - n  สําหรับ n = 1, 2, 3, ...       คาของ a1 + a1 + ... + a1 เทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 1 2 20 5 4 n-113. ให k เปนคาคงที่และถา lim k(n + n) + 3n + 2 = 15 + 6 + 12 + ... + 15  5  + ... แลว k 5 2 n→∞ (n + 2)5   มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)14. พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดังตอไปนี้ หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ 3 หลักที่ 4 หลักที่ 5 2 5 8 23 20 17 14 11 26 29 32 47 44 41 38 35 M M M M M จํานวน 2012 อยูในหลักที่เทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)15. ให T(x) = sin x - cos2 x + sin3 x - cos4 x + sin5 x - cos6 x + ... แลวคาของ 3T  π  เทากับ   3 ขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 4 3 - 1 2) 5 3 - 1 3) 6 3 - 1 4) 7 3 - 1 n k216. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงโดยที่ an = ∑ (2k - 1)(2k + 1) สําหรับ n = 1, 2, 3, ... k =1 lim 16 a เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) n n→∞ n 1) 4 2) 16 3 3) 8 4) 1617. กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยมีสมบัติ ดังนี้ ก. a15 - a13 = 3 ข. ผลบวก m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 325 และ ค. ผลบวก 4m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 4900 แลวพจน a2m เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 612 2) 121 2 3) 125 2 4) 119คณิตศาสตร (72) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 18. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงโดยที่ a1 = 2 และ an =  n - 1  (a1 + a2 + ... + an-1)  + 1 n  n สําหรับ n = 2, 3, ... แลวคาของ lim a + a + ... + a เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) n→∞ 1 2 n19. บทนิยาม ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง เรียกพจน an วา พจนคู ถา n เปนจํานวนคู และ เรียกพจน an วา พจนคี่ ถา n เปนจํานวนคี่ กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยที่มีจํานวนพจนเปนจํานวนคูและผลบวกของพจนคี่ทั้งหมด เทากับ 36 และผลบวกของพจนคทั้งหมดเทากับ 56 ถาพจนสุดทายมากกวาพจนแรก เปนจํานวนเทากับ 38 แลว ู ลําดับเลขคณิต {an} นี้ มีทั้งหมดกี่พจน (PAT 1 ต.ค. 53) 1+ b20. ให {bn} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ b1 = -3 และ bn+1 = 1 - b n สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ n b1000 เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 999921. คาของ ∑ 1 เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) n =1 ( n+ n + 1 )( 4 n + 4 n + 1 )22. กําหนดให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สําหรับ k = 1, 2, 3, ...    คาของ lim  1 + 1 + 1 + ... + 1  เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)  n→∞    S1 S2 S3 Sn   23. ถาผลคูณของลําดับเรขาคณิต 3 จํานวนที่เรียงติดกัน เทากับ 343 และผลบวกของทั้งสามจํานวนนี้ เทากับ 57 แลว คามากที่สดในบรรดา 3 จํานวนนี้ เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) ุ24. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ an+1 = n2 - an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ a1 ที่ทําให a101 = 5100 เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 50 2) 25 3) 1 4) 025. กําหนดให 4 พจนแรกของลําดับเลขคณิต คือ 2a + 1, 2b - 1, 3b - a และ a + 3b เมื่อ a และ b เปน จํานวนจริง พจนท่ี 1000 ของลําดับเลขคณิตนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 3,997 2) 3,999 3) 4,001 4) 4,00326. ให a, b, c เปนจํานวนจริง โดยที่ 2a, 3b, 4c เปนลําดับเรขาคณิต และ 1 , 1 , 1 เปนลําดับเลขคณิต a b c a + c เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54) คาของ c a27. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 = 1 และ an + 1 ≤ an+1 และ an+5 ≤ an + 5 1n  สําหรับ n = 1, 2, 3, ... แลวคาของ lim n  ∑ (a k + 6 - k)  เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54)   n→∞  k =1   28. กําหนดอนุกรมเลขคณิต a1 + a2 + a3 + ... + a51 ถา a1 + a2 + a3 + ... + a51 = 52 แลวจงหาคาของ a2 + a4 + a6 + ... + a50 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 44 2) 46 3) 48 4) 50 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (73)
  • 29. จงหาจํานวนจริง x > 0 ซึ่ง 1 + 1 + x + 12 2 + 22 3 + ... = 10 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 5 (1 + x) (1 + x)30. กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ a1 = 0 และ   2    3    1 an = (-1)n  logn 1   logn-1 1  ...  log2 n  ; n > 1  n  bn = ∑  1    2 - 1 k =2 k  จงหาคา c ที่ทําให lim (an + cbn) = 5 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) n→∞ 2 + 2 + 32 ... n 231. กําหนดให 1(2) 1 2(3)2 + 3(4) ++... ++n(n + 1) = 89 จงหาคา n (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) + 9232. พิจารณาขอความตอไปนี้ ∞ n n 2- 2 ก. ถา a, b ∈ I+ แลว ∑ a - bn = a abb n =1 (a + b) a + a + ... + a n a 1 + a 2 + ... + a m ข. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต โดยที่ 1 2 2 = ;n≠m n m2 แลว 2n - 1 = 2m - 1 a a n m ขอใดตอไปนี้ถูก (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด33. ลําดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มีอัตราสวนรวมเปนจํานวนจริงบวก ถาผลบวกของสองพจนแรก เทากับ 3 และ ผลบวกของสี่พจนแรก เทากับ 15 แลว ผลบวกของหกพจนแรก เทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55)34. กําหนดให an = 2bn + 2-bn เมื่อ n = 1, 2, 3, ... และ bn = 2n เมื่อ n = 1, 2, 3, ... a คาของ lim a a a n... a มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) n →∞ 1 2 3 n-135. กําหนดให an = 2 sin  nπ - π  + cos nπ และ bn = 4 cos  2nπ - π    2   3 a 1  a2  2  a 3  3 แลวคาของ b +  b  +  b  + ... มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)     1  2  3 1) 1 2) 2 3) 3 4) 436. กําหนดให an = 1 + 2 + 3 + ... + n และ bn = a1 + a2 + a3 + ... + an   แลวคาของ lim  b + b4 + b + ... + nb+ 2  มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 3 5 n →∞  1  2 3 n คณิตศาสตร (74) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • เก็งขอสอบ “ลําดับและอนุกรม”โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (75)
  • คณิตศาสตร (76) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (77)
  • คณิตศาสตร (78) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (79)
  • คณิตศาสตร (80) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • แนวขอสอบ PAT 1 แคลคูลัส  f(x) เมื่อ x ≥ 11. กําหนดให f(x) = ax - 1 , g(x) = (2x - 1)f′(x) และ h(x) = g(x) เมื่อ x < 1 ถา h ตอเนื่องที่ x = 1  x2 + 1   แลวคาของ 3h(2) + h(-2) (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) -1 2) 0 3) 1 4) 22. กําหนดให f(x) = x3 + ax + b + 2 โดยที่ a b และให L1 และ L2 เปนเสนสัมผัสโคงที่ x = a และ ≠ 4h 1 x = b ตามลําดับ ถา L1 ขนานกับ L2 และ lim f(1 + h) - f(1) = 1 แลวคาของ ∫ f(x)dx เทากับ h →0 0 เทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (81)
  • 3. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f(x) = 3x2/3, g(1) = 8 และ g′(1) = 2 คาของ (fog)′(1) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 3 1) 31 2) 2 3) 1 4) 3 4 3  x 2 - 3x - 2   x-2 , x <24. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และ f เปนฟงกชัน ซึ่งกําหนดโดย f(x) =  a - b , x=2   x 2 + ax + 1 , x > 2  ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริงแลว คาของ a2 + b2 เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53)5. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชันโดยที่ f′(x) = 3 x + 5 สําหรับทุก 2) จํานวนจริง x และ f(1) = 5 แลวคา lim f(x f(x)- 2 เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) x →46. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชันโดยที่ f″(x) = 6x + 4 สําหรับทุกจํานวน จริง x และความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (2, 19) เทากับ 19 แลวคาของ f(1) เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) | 3 - 1 x | , -1 < x < 1   x-17. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และให f เปนฟงกชัน โดยที่ f(x) = ax + b , 1 ≤ x < 5    5 , x≥5   ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (-1, ∞) แลวคาของ ab เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 5 4 2) - 7 4 3) 15 4) -108. โรงงานผลิตตุกตาแหงหนึ่ง มีตนทุนในการผลิตตุกตา x ตัว โรงงานจะตองเสียคาใชจาย x3 - 450x2 + 60200x + 10000 บาท ถาขายตุกตาราคา ตัวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลิตตุกตากี่ตัวจึงจะไดกําไรมาก ที่สุด (PAT 1 ก.ค. 53)9. กําหนดให f(x) เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง ถาความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (1, 2) มีคา 2 เทากับ 4 และ ∫ f(x)dx = 12 แลว f(-1) + f″(-1) มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53) -110. กําหนดให h(x) = f(x)g(x) โดยที่ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (x, y) เทากับ 2 - 2x และ เสนโคง y = f(x) มีคาสูงสุดสัมพัทธ เทากับ 5 ถา g เปนฟงกชันพหุนาม ซึ่งมีสมบัติ g(2) = g′(2) = 5 แลว h′(2) มีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)คณิตศาสตร (82) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 11. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ให f : R → R เปนฟงกชันตอเนื่อง ที่ x = 1 และให g เปนฟงกชันที่  x +3 -2  เมื่อ x > 1 กําหนดโดย g(x) =  x - 1  ถาฟงกชัน g มีความตอเนื่องที่ x = 1 แลวคาของ  f(x) เมื่อ x ≤ 1  ||+ 7  x (gof)(1) เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 2 - 3 2) 2 3) 2 - 7 4) 7 - 212. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และให f เปนฟงกชันพหุนาม โดยที่ f(x) = x4 + 2x3 - x2 + ax + b 1 ถามีฟงกชันพหุนาม Q(x) โดยที่ f(x) = (Q(x))2 แลวคาของ ∫0 f(x)dx เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 3071 31 2) 30 11 3) 30 4) 30113. ให f เปนฟงกชันซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง โดยที่ f(2x + 1) = 4x2 + 14x คาของ f(f′(f″(2553))) เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)14. คาของ lim x 3 + x 2 + x เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) x →0- x2 1) - 1 2 2) 12 3) -1 4) 115. กําหนดให f เปนฟงกชันพหุนามที่มี f″(x) = ax + b เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ถา f(0) = 2 และกราฟ ของ f มีจดต่ําสุดสัมพัทธที่ (1, -5) แลว 2a + 3b เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) ุ 1) -12 2) 20 3) 42 4) 4816. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ให g : R → R เปนฟงกชันกําหนดโดย g(x) = 2x 1+ 3 เมื่อ x ≠ - 3 ถา f : R → R เปนฟงกชันที่ (fog)(x) = x สําหรับทุกจํานวนจริง x แลว f″  1  เทากับขอใด 2   2 ตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) - 1 2 2) 1 2 3) -8 4) 817. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชันที่หาอนุพันธไดทุก x ∈ R โดยที่ g(x) = x2 - 2x + 5, (gof)(x) = x6 + 2x4 - 2x3 + x2 - 2x + 5 และ f(0) = 0 คาของ (f′og′)(1) + (g′of′)(0) เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54) 218. กําหนดใหเสนโคง y = f(x) สัมผัสกับเสนตรง 2x - y + 3 = 0 ที่จุด (0, 3) และ ∫0 f ′′(x)dx = -3 ถา g(x) = x + 2 f(x) และ g′(2) = 0 แลว f(2) เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (83)
  •  x-3 เมื่อ x ≠ 3  2x + 10 - x + 1319. กําหนดให f(x) =  โดยที่ a เปนจํานวนจริง ถา f เปนฟงกชัน   a เมื่อ x = 3 ตอเนื่องที่จุด x = 3 แลว a เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 54)20. กําหนดให f(x) = x2 ถา L เปนเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนสัมผัสกราฟของ f(x) ที่จุด (a, f(a)) ; a > 0 และ L มีระยะตัดแกน y เทากับ 5 หนวย แลวขอใดเปนพิกัดบนเสนตรง L (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 2 1) (-2, 2) 2) (0, 5) 3) (2, 2) 4) (3, 1)21. กําหนดให A(0, 0), B(2, 0) และ C(1, 4) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ถากราฟ f(x) = ax2 + bx + c ผานจุด A, B โดยที่ AC และ BC เปนเสนสัมผัสกราฟของ f ที่จด A และ B ตามลําดับ แลวพื้นที่ที่ปดลอม ุ ดวยกราฟของ f กับเสนตรง AB มีคาเทาใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 13 2) 23 3) 1 4) 3422. ฟงกชัน f, g, h มีสมบัติวา (fog)(x) = 3x + 1, f  x 2 1  = x - 5, h(2x - 1) = 4g(x) + 7 จงหาคาของ  -    h′(1) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 123. กําหนดให f″(x) = 0 ทุกจํานวนจริง x ถา f(0) = 12 และ f(1) = 52 แลว ∫0 f(x)dx เทากับเทาใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)24. ให l เปนเสนตรงที่ผานจุด (0, 5) และมีความชันมากกวา -1 แตนอยกวา 0 ถาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ ถูกปดลอมดวย l กับแกน x จาก x = 0 ถึง 4 มีคาเทากับ 16 ตารางหนวย แลว จงหาพื้นที่ปดลอมดวย เสนตรง l กับแกน x จาก x = 0 ถึง 2 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)25. จงหาคาของ lim 3 x (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) x→0 x + 1 + 3 x-126. กําหนดให f″(x) = 2x - 1 และ f′(2) = 3 สมการของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนสัมผัสเสนโคง y = f(x) ที่จุด (1, -1) คือขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) y = -2x + 1 2) y = x - 2 3) y = 2x - 3 4) y = 3x - 427. ให f, g, h เปนฟงกชันที่มีอนุพันธทุกอันดับ โดยที่ h(x) = x2 - 1, g(x) = h(f(x) + 1) และ f′(-1) = g′(-1) = 7 แลวคาของ f(-1) เทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) - 7 2 2) - 12 3) 12 4) 72 228. กําหนดให f(x) = x - 1 และ (gof)(x) = x3 - 6x2 + 8x - 3 แลวคาของ ∫ f(g(x))dx เทากับเทาใด 0 (แนว PAT 1 มี.ค. 55)คณิตศาสตร (84) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 29. จงหาคาของ lim (1 - tan 3 x)sec2 x (แนว PAT 1 มี.ค. 55) x→ π 1 + cos 2x - 2 sin 2 x 430. กําหนดให f(x) = x3- 14x2 + kx - 64 ถารากของสมการ f(x) = 0 เปนจํานวนจริง ที่เรียงกันเปนลําดับ เรขาคณิต แลวคาของ f′(1) มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) -45 2) -31 3) 31 4) 4531. กําหนดให f เปนฟงกชันพหุนามกําลังสอง โดยที่ f(0) = -1 และ f(x + 1) = f(x) + x - 1 สําหรับทุก 1 จํานวนจริง x แลวคาของ ∫-1 f(x)dx มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) - 5 3 2) - 32 3) 32 4) 5 3 232. จงหาคาของ lim |x + x - 2| (แนว PAT 1 ต.ค. 55) x →1 + 2x - 1 - 1 1) -3 2) 0 3) 3 4) หาคาไมได33. กําหนดให f และ g เปนฟงกชันที่สอดคลองกับคุณสมบัติตอไปนี้ 1. (fg)(x) = 3x + 3 2. f และ g เปนฟงกชันที่สามารถหาอนุพันธไดทุกอันดับ 3. f มีคาสูงสุดสัมพัทธเทากับ 3 ที่ x = 1 4. g″(x) = 2 สําหรับทุกจํานวนจริง x แลวฟงกชัน g มีคาต่ําสุดสัมพัทธเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)34. กําหนดให P(x) เปนฟงกชันพหุนามซึ่ง P(x2 - 1) = 3x4 - 2x2 - 2 สําหรับทุกจํานวนจริง x และ x กําหนดให f(x) = ∫ 0 P(t)dt แลวคาของ lim P(x) + f(x) มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) x →-1 4xh 3h35. กําหนดให P(x) เปนฟงกชนพหุนามซึ่ง P(0) = 1 ถา lim P(x + h + 1) + P(h +-1) - P(x + 1) - P(1) = 1 ั h→0 แลวคาของ P(6) มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (85)
  • เก็งขอสอบ “แคลคูลัส”คณิตศาสตร (86) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (87)
  • คณิตศาสตร (88) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (89)
  • คณิตศาสตร (90) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (91)
  • คณิตศาสตร (92) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (93)
  • แนวขอสอบ PAT 1 สถิติ1. ตารางแจกแจงความถี่ ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร ม.6 จํานวน 50 คน เปนดังนี้ คะแนน จํานวนนักเรียน 10-14 5 15-19 11 20-24 9 25-29 15 30-35 10 ถา a คือคาเฉลี่ยเลขคณิต และ b คือ P90 คาของ |b - a| เทากับขอใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5.6 2) 15.6 3) 8.6 4) 18.62. ในการสอบครั้งหนึ่งซึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเปน 66 คะแนน โดยที่หองแรกมี 35 คน และหอง   ที่สอง 40 คน นาย ก. ซึ่งเปนนักเรียนหองแรกสอบได 56 คะแนนคิดเปนคามาตรฐานเทากับ 1.2 และหอง แรกมีสัมประสิทธิ์การแปรผันเทากับ 0.1 นาย ข. เปนนักเรียนในหองที่สองซึ่งมีคะแนนสอบคิดเปน คามาตรฐานเทากับ -1 โดยที่คะแนนหองที่สองมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 9 คะแนน จงหาคะแนนสอบ ของนาย ข. (แนว PAT 1 ต.ค. 55)คณิตศาสตร (94) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 3. นักเรียนหองหนึ่งสอบวิชาคณิตศาสตรไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ 40 คะแนน ถานักเรียนชายสอบได คะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 35 คะแนน และนักเรียนหญิงสอบไดคะแนนเฉลี่ยเลขคณิต 50 คะแนน อัตราสวน ของนักเรียนชายตอนักเรียนหญิงตรงกับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 53) 1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 2 : 1 4) 1 : 24. คาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งเทากับ 72 คะแนน ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 600 ถามีนักเรียนมาเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสอบได 60 คะแนน ทําใหคาเฉลี่ยเปลี่ยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมูลชุดใหมเทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53)5. จากการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 4 คน มี 2 คน น้ําหนักเทากันและหนักนอยกวาอีก 2 คนที่เหลือ ถาฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัยของน้ําหนักของนักเรียน 4 คนนี้คือ 45, 46 และ 6 กิโลกรัม ตามลําดับ แลวความแปรปรวนของน้ําหนักของนักเรียน 4 คนนี้เทากับเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53)6. ในการสอบคัดเลือกเขาศึกษาตอของโรงเรียนแหงหนึ่ง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน แปลงคะแนนเปน คามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได -2 แลวสัมประสิทธิ์การแปรผัน เทากับรอยละเทาใด (PAT 1 มี.ค. 53)7. ถาคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 30 คน มีคะแนนเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 60 คะแนน และมี สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เทากับ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนักเรียนกลุมนี้เพียง 29 คน เทากับ 2.5 แลวนักเรียนอีก 1 คนที่เหลือสอบไดคะแนนเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 35 2) 58 3) 60 4) 858. มีนักเรียน 5 คน รวมกันบริจาคเงินไดเงินรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากับ 660 ถามี นักเรียนเพิ่มอีก 1 คน มารวมบริจาคเปนเงิน 60 บาท ความแปรปรวนจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงตรงกับขอใด ตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 53) 1) เพิ่มขึ้น 80 2) เพิ่มขึ้น 90 3) ลดลง 80 4) ลดลง 909. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง ถานักเรียนคนหนึ่งในหองนี้สอบได 55 คะแนน คิดเปน คะแนนมาตรฐาน ไดเทากับ 0.5 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน (Coefficient of Variation) ของคะแนน นักเรียนหองนี้ เทากับ 20% คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองนี้เทากับเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)10. สรางตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนการสอบของนักเรียนกลุมหนึ่ง โดยใหความกวางของแตละอันตร- ภาคชั้นเปน 10 แลวปรากฏวามัธยฐานของคะแนนการสอบเทากับ 57 คะแนนซึ่งอยูในชวง 50-59 ถามี นักเรียนที่สอบไดคะแนนต่ํากวา 49.5 คะแนน อยูจํานวน 12 คน และมีนักเรียนไดคะแนนต่ํากวา 59.5 คะแนน อยูจํานวน 20 คน จงหาวานักเรียนกลุมนี้มีทั้งหมดกี่คน (PAT 1 ก.ค. 53)11. นักเรียนกลุมหนึ่ง จํานวน 50 คน มีสวนสูงแสดงดังตารางตอไปนี้ สวนสูง (เซนติเมตร) จํานวนนักเรียน (คน) 156-160 6 161-165 15 166-170 21 171-175 8 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (95)
  • ให a เปนคาเฉลี่ยเลขคณิตของสวนสูง และ b เปนสวนสูง โดยที่มีจํานวนนักเรียน 75% ของนักเรียนทั้งหมดที่มีสวนสูงนอยกวา b ขอใดตอไปนีถูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) ้ 1) a = 166.1 และ b = 168.73 2) a = 166.1 และ b = 169.43 3) a = 166.7 และ b = 168.73 4) a = 166.7 และ b = 169.4312. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ในการสอบของนักเรียน 3 คน พบวาคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทากับ 80 คะแนน คามัธยฐาน เทากับ 75 คะแนน และพิสยเทากับ 25 คะแนน คะแนนสอบของนักเรียนที่ไดคะแนนที่ไดคะแนน ั ต่ําสุดเทากับ 70 คะแนน ข. ขอมูลชุดที่หนึ่งมี 5 จํานวน คือ x1, x2, x3, x4, x5 และขอมูลชุดที่สองมี 4 จํานวน คือ x1, x2, x3, x4 โดยที่คาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลทั้งสองชุดเทากัน ถา a และ b เปนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ขอมูลชุดที่หนึ่งและชุดที่สองตามลําดับ แลว b = 25 a ขอใดตอไปนีถูกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) ้ 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด13. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 2 หอง ซึ่งทําคะแนนเฉลี่ยได 60 คะแนน โดยหองแรกมีนักเรียน จํานวน 40 คน และหองที่สองมีนักเรียนจํานวน 30 คน ถาคะแนนสอบในหองแรกเปอรเซ็นไทลที่ 50 มีคา 64 คะแนน และฐานนิยมมีคาเปน 66 คะแนน แลวคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองที่สองมีคาเทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)14. ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน คือ 2, 3, 6, 11, a, b ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้ เทากับ 8 และ คามัธยฐาน เทากับ 7 แลว |a - b| เทากับเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)15. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรคะแนนเต็ม 60 คะแนน มีนักเรียนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปนนักเรียนคนหนึ่ง ที่เขาสอบในครั้งนี้ นาย ก. สอบได 53 คะแนน และมีจํานวนนักเรียนที่มีคะแนนสอบนอยกวา 53 คะแนน อยู 27 คน ถามีการจัดกลุมคะแนนสอบเปนชวงคะแนน โดยมีอันตรภาคชั้นกวางเทาๆ กัน คะแนนสอบของ นาย ก. อยูในชวงคะแนน 51-60 จํานวนนักเรียนที่สอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51-60 นี้ มีทั้งหมดกี่คน (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 3 2) 4 3) 5 4) 916. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐาน ที่อยูระหวาง 0 ถึง z z 1.14 1.24 1.34 1.44 พื้นที่ 0.373 0.392 0.410 0.425 ความสูงของนักเรียน 2 กลุม มีการแจกแจงปกติ ดังนี้ กลุม คาเฉลี่ยเลขคณิต สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นักเรียนหญิง 158 เซนติเมตร 4 เซนติเมตร นักเรียนชาย 169.06 เซนติเมตร 5 เซนติเมตร ถานักเรียนหญิงคนหนึ่งมีความสูงตรงกับเปอรเซ็นไทลที่ 91 ของกลุมนักเรียนหญิงนี้แลว จํานวนนักเรียนชาย ที่มีความสูงนอยกวาความสูงของนักเรียนหญิงคนนี้ คิดเปนรอยละเทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) 1) 12.7 2) 11.4 3) 10.7 4) 9.4คณิตศาสตร (96) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 17. บริษัทผลิตหลอดไฟตองการรับประกันคุณภาพผลิตภัณฑของบริษัท โดยจะเปลี่ยนเปนหลอดใหม ถาหลอด เดิมชํารุด บริษัทจะรับประกันไมเกิน 4.1% ของจํานวนที่ผลิตหลอดไฟมีอายุใชงานเฉลี่ย 2500 ชั่วโมง มีสัมประสิทธิ์ของความแปรผันเทากับ 0.20 ถาคาดวาตามปกติคนจะใชหลอดไฟวันละ 5 ชั่วโมง บริษัทนี้ควร กําหนดเวลาประกันมากที่สุดกี่วัน (PAT 1 มี.ค. 54) กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐาน ที่อยูระหวาง 0 ถึง z z 1.34 1.44 1.54 1.74 1.84 พื้นที่ 0.410 0.425 0.438 0.459 0.467 1) 362 วัน 2) 352 วัน 3) 346 วัน 4) 326 วัน18. ขอมูลความสูง (เซนติเมตร) และน้ําหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนหญิง 4 คน ดังนี้ นักเรียนหญิง คนที่ 1 คนที่ 2 คนที่ 3 คนที่ 4 ความสูง (เซนติเมตร) 150 152 154 156 น้ําหนัก (กิโลกรัม) 45 45 48 50 ถาสวนสูงและน้ําหนักของนักเรียนมีความสัมพันธเชิงฟงกชันเปนเสนตรง y = a + 0.9x เมื่อ x เปนสวนสูง และ y เปนน้ําหนัก แลว นักเรียนที่มีสวนสูง 155 เซนติเมตร จะมีน้ําหนักกี่กิโลกรัม (PAT 1 มี.ค. 54) N19. กําหนด ∑ x i = 1800, N = 45, x เปนคาเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเทากับ 121 ถานาย ก. i=1 และ นาย ข. เปนนักเรียนของหองนี้ นาย ก. ได 38 คะแนน มีคามาตรฐานมากกวาคามาตรฐานของนาย ข. อยู 1 แลวนาย ข. ไดกี่คะแนน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 27 2) 28 3) 29 4) 3120. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 จํานวน มีฐานนิยมเทากับมัธยฐานเทากับ 25 คาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 26 มีควอไทล ที่ 1 เทากับ 20 และพิสัยเปน 20 จงหาความแปรปรวนของขอมูลชุดนี้ (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)21. คะแนนสอบของนักเรียน 1000 คน คะแนนเต็ม 100 คะแนนมีการแจกแจงปกติ โดยมีคาเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนเปน 60 และ 64 คะแนนตามลําดับ จงหาจํานวนนักเรียนที่ไดคะแนนมากกวา 52 แต นอยกวา 76 คะแนน กําหนดพื้นที่ใตโคงปกติมาตรฐานดังนี้ (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) z 0.5 1.0 1.5 2.0 A 0.191 0.341 0.433 0.47722. ขอมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยที่ฐานนิยมของขอมูลชุดนี้ คือ 16 สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 9 และ N ∑ (x i - 6) 2 = 6740 เมื่อ N คือ จํานวนขอมูล จงหาคา N (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) i=123. ขนมปง 40 ชิ้น มีน้ําหนักเฉลี่ย 25 กรัม และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 5 กรัม ถานําขนมปงอีก 2 ชิ้น ซึ่งหนัก 30 กรัม และ 20 กรัม มารวมดวยแลว ความแปรปรวนจะเทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) 4 2) 5 3) 20 4) 25 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (97)
  • 24. ตารางตอไปนี้เปน คะแนนสอบปลายภาคของนักเรียนจํานวน 100 คน คะแนนไมเกิน จํานวน (คน) 15 14 20 36 25 63 30 91 35 96 40 100 ถาคะแนนต่ําสุดของนักเรียน คือ 11 คะแนน แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลชุดนี้เทากับขอใดตอไปนี้ (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) 15 2) 17.5 3) 21 4) 2325. นักเรียน จํานวน 20 คน แบงเปน 2 กลุม กลุมละ 10 คน ทําแบบทดสอบ ฉบับหนึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน ไดคะแนนของนักเรียน แตละคนดังนี้ กลุมที่ 1 8 7 6 5 7 6 9 10 3 6 กลุมที่ 2 6 12 8 7 9 6 15 7 1 5 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ขอมูลกลุมที่ 1 มีความแตกตางกัน นอยกวาขอมูลกลุมที่ 2 5 9 ข. สัมประสิทธิ์ของสวนเบี่ยงเบนควอรไทลของกลุมที่ 1 และกลุมที่ 2 เทากับ 28 และ 14 ตามลําดับ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง (แนว PAT 1 มี.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด26. ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวยจํานวน 9, 1, 4, 1, 3, 1, x ให A เปนเซตของ x ที่เปนไปไดทั้งหมด ซึ่งทําให คาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของขอมูลชุดนี้ มีคาแตกตางกันทั้งหมด และในบรรดาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม เหลานี้นํามาจัดเรียงกันใหมจากนอยไปมากแลวเปนลําดับเลขคณิต จงหาผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A (แนว PAT 1 มี.ค. 55)ขอมูลตอไปนี้ สําหรับตอบคําถามขอ 27 และขอ 28 ในการสอบวิชาภาษาญี่ปุนของนักเรียนหองหนึ่งจํานวน 60 คน มี 34 คน ไดคะแนนในชวง 10 ถึง 39คะแนน มี 20 คน ไดคะแนนในชวง 40 ถึง 49 คะแนน และมี 6 คน ไดคะแนนในชวง 50 ถึง 59 คะแนน27. ถาแบงคะแนนเปน 3 ระดับ คือ เกรด A, เกรด B, เกรด C โดยที่ 5% ของนักเรียนที่ไดคะแนนสูงสุดได เกรด A และ 25% ของนักเรียนไดเกรด B แลวคะแนนสูงสุดของเกรด C เทากับกี่คะแนน (แนว PAT 1 มี.ค. 55)คณิตศาสตร (98) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • 28. ถาคะแนนขางตนมีการแจกแจงแบบปกติ โดยที่สัมประสิทธิ์การแปรผันเปน 1 ถาคะแนนสูงสุดของเกรด B 2 เทากับ 55.5 คะแนน คะแนนมาตรฐานเปน 1 แลว คะแนนเฉลี่ยของนักเรียนหองนี้เปนเทาใด (แนว PAT 1 มี.ค. 55)29. จากขอมูล x 5 10 15 20 25 y 10 12 15 14 14 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถาขอมูลดังกลาวมีความสัมพันธเชิงเสนตามสมการ y = ax + b แลว |a - b| = 9.8 ข. ถา x = 30 แลว y = 16 ขอใดถูกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด แต ข. ถูก 3) ก. ถูก แต ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด30. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานดังนี้ z 0.50 1.00 1.50 2.00 พื้นที่ 0.192 0.341 0.433 0.477 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถาคะแนนสอบของนักเรียนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงปกติ แลวนักเรียนที่ไดคะแนนสอบมากกวามัธยฐาน อยู 3 เทาของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แลวคะแนนสอบของนักเรียนคนนั้นจะมีคามาตรฐานคิดเปน 1.5 ข. ถามีนักเรียนที่ไดคะแนนสูงกวา 66 คะแนนอยู 15.9% และมีฐานนิยมคือ 60 คะแนน จะไดวา สัมประสิทธของการแปรผันคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับ 0.1 ขอใดตอไปนี้สรุปไดถูกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด31. ขอมูลชุดหนึ่งมี 3 จํานวน เมื่อนํามาบวกกันไดเทากับ 180 คามัธยฐานเทากับ 60 และสัมประสิทธิ์พิสัยของ ขอมูลชุดนี้เทากับ 0.1 แลวความแปรปรวนของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)32. กําหนดตารางแสดงคะแนนสอบ ของนักเรียนกลุมหนึ่งดังตาราง คะแนนสอบ จํานวนนักเรียน 1-10 10 11-20 20 21-30 30 31-40 40 ถาคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของขอมูลดังกลาว เขียนไดในรูปของ k + x โดยที่ y k, x, y เปนจํานวนเต็มบวก และ ห.ร.ม. ของ x และ y เทากับ 1 และ x < y แลวคาของ k + x + y มีคา เทากับเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 ______________________________________ คณิตศาสตร (99)
  • เก็งขอสอบ “สถิติ”คณิตศาสตร (100) ___________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (101)
  • คณิตศาสตร (102) ___________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (103)
  • ,คณิตศาสตร (104) ___________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (105)
  • แนวขอสอบ PAT 1 กําหนดการเชิงเสน1. กําหนดสมการจุดประสงคคือ P = 2x + y มีอสมการขอจํากัดเปน 5x - 2y ≤ 30 x+y ≥ 4 0 ≤ y ≤ x พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. คาต่ําสุดของ P คือ 6 ข. ถาจุด (a, b) ทําให P มีคาสูงสุด แลวจุด (a, b) สอดคลองกับสมการ x - y = 0  ขอใดตอไปนีถูกตอง (แนว PAT1 ต.ค. 55) ้ 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด2. ถา C เปนปริมาณที่มีคาขึ้นกับคาของตัวแปร x และ y ดวยความสัมพันธ C = 3x + 5y เมื่อ x, y เปนไป  ตามเงื่อนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาต่ําสุดของ C ตามเงื่อนไขขางตน มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 52) 1) 215 2) 295 3) 254 4) 27 43. ถา P = 5x + 4y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 ก.ค. 52) 1) 90 2) 100 3) 110 4) 1154. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวกซึ่ง a < b ถาคามากสุดและคานอยสุดของ P = 2x + y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มีคาเทากับ 100 และ 10 ตามลําดับ แลว a + b มีคาเทาใด (PAT 1 ต.ค. 52)5. จงหาผลคูณของคาสูงสุดและคาต่ําสุดของฟงกชัน f(x, y) = x + y + 2 ภายใตเงื่อนไขขอจํากัดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 54) (1) x + 2y ≥ 8 (2) 5x + 2y ≥ 20 (3) x + 4y ≤ 22 (4) x ≥ 1 (5) 1 ≤ y ≤ 86. รานคาผลิตสินคา A วันละ x ชิ้น และสินคา B วันละ y ชิ้น โดยที่ 400 ≤ 2x + y ≤ 600 1050 ≤ 2x + 3y ≥ 1500 ถาสินคา A ขายชิ้นละ 100 บาท ในแตละวันขายสินคาทั้ง 2 แบบ ไดเงินมากสุด 12,000 บาท แลวขาย สินคา B ชิ้นละกี่บาท (PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5 2) 10 3) 15 4) 207. กําหนดสมการจุดประสงคคือ P = 6x + 3y โดยมีอสมการขอจํากัด ดังนี้ x + 2y ≤ 6, 2x + y ≤ 8, y - x ≤ 1, x ≥ 0 และ 2 ≤ y ≤ 3 คาของ P มีคามากสุด เทากับขอใดตอไปนี้ (PAT 1 มี.ค. 52) 1) 12 2) 18 3) 20 4) 24คณิตศาสตร (106) ___________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • เก็งขอสอบ “กําหนดการเชิงเสน”โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (107)
  • เฉลยจํานวนเชิงซอน1. 3) 2. 3 3. 2) 4. 5 5. 4)6. 8 7. 4) 8. 198 9. 1) 10. 2)11. 2 12. 10 13. 2.5 14. 1 15. 2)ความนาจะเปน1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 2) 5. 256. 44 7. 192 8. 3) 9. 352 10. 911. 4) 12. 4) 13. 1) 14. 4 15. 4)16. 1001 17. 27 18. 22 19. 0.9 20. 52821. 4) 22. 12 23. 0.24ลําดับและอนุกรม1. 0.5 2. 1860 3. 4) 4. 1 5. 16. 2 7. 2) 8. 1) 9. 2) 10. 20011. 2 12. 7 13. 25 14. 2 15. 3)16. 1) 17. 2) 18. 0 19. 20 20. 221. 9 22. 2 23. 49 24. 1) 25. 3)26. 2.5 27. 6 28. 4 29. 1 30. 431. 44 32. 1) 33. 63 34. 3.75 35. 1)36. 6แคลคูลส ั1. 4) 2. 1.75 3. 2) 4. 53 5. 66. 7 7. 4) 8. 200 9. 18 10. 1011. 4) 12. 3) 13. 120 14. 1) 15. 3)16. 4) 17. 1 18. 8 19. 8 20. 3)21. 4) 22. 3 23. 32 24. 9 25. 1.526. 2) 27. 2) 28. 8 29. 3 30. 3)31. 1) 32. 3) 33. 1.75 34. 0 35. 51คณิตศาสตร (108) ___________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สถิติ1. 3) 2. 71 3. 3) 4. 520 5. 66. 10 7. 1) 8. 4) 9. 50 10. 3611. 2) 12. 1) 13. 56 14. 10 15. 2)16. 1) 17. 4) 18. 48.80 19. 1) 20. 4421. 818 22. 20 23. 4) 24. 4) 25. 2)26. 18 27. 43.5 28. 37 29. 1) 30. 3)31. 24 32. 28กําหนดการเชิงเสน1. 1) 2. 2) 3. 3) 4. 70 5. 157.506. 2) 7. 2) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (109)
  • เนื้อหา ในสวน PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 ที่ครูSup’kรับผิดชอบ ก.ค.53 ต.ค.53 มี.ค.54 ธ.ค.54 มี.ค.55 ต.ค.55 ระดับขอสอบ ยาก ยากมาก ยากมาก ยากเกือบมาก ยากมาก ยากมาก โจทยปญหาเชาวน 3 ขอ 3 ขอ – – – 1 แนวจํานวนกับตัวเลข โจทยปญหาเชาวน 1 ขอ 2 ขอ – 2 1 – แนวโอเปอรเรชั่นใหมๆ โจทยปญหาเชาวน แนวลําดับ 2 ขอ – – – – – VS ทํานายตัวเลข โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร – – – – – – โจทยปญหาเชาวนอื่นๆ 1 ขอ – – – – – เอกซโปเนนเชียล 3 ขอ 2 ขอ 1.25 2 2 3 ลอการิทึม 2 ขอ 3 ขอ 2.5 0.5 2 1 ตรรกศาสตร 2 ขอ 2 ขอ 1.5 2 1 2 ระบบจํานวนจริง 1 ขอ 1 ขอ 2 1 2 1 ทฤษฎีจํานวน – 1 ขอ 1 1 2 2 เรขาคณิตวิเคราะห 1 ขอ 1 ขอ 1.5 0.5 – – ภาคตัดกรวย 1 ขอ 2 ขอ 1.5 2.5 2 3 ความสัมพันธ – – 1 1 1 1 ฟงกชัน 3 ขอ 2 ขอ 2 2.5 3 1คณิตศาสตร (110) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • เนื้อหา ในสวน PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 PAT1 ที่ครูSup’kรับผิดชอบ ก.ค.53 ต.ค.53 มี.ค.54 ธ.ค.54 มี.ค.55 ต.ค.55 ระดับขอสอบ ยาก ยากมาก ยากมาก ยากเกือบมาก ยากมาก ยากมาก เมทริกซ 3 ขอ 2 ขอ 2 2 2 2 และดีเทอรมินันตตรีโกณพื้นฐานในวงกลม – – 0.75 0.5 1 0.5 ตรีโกณประยุกต 1 ขอ 2 ขอ 2 3 1 2 อินเวอรสตรีโกณ 1 ขอ 1 ขอ 1 1 1 2 กฎของ sin, 1 ขอ 1 ขอ 1 1 1 1 กฎของ cos ลําดับอนุกรมพื้นฐาน 3 ขอ 4 ขอ 2 1 1 1.5ลําดับเวียนบังเกิดแปลกๆ 2 ขอ 3 ขอ 1 1 – 1 อนุกรมประยุกตแปลกๆ 1 ขอ 3 ขอ 1 1.5 2 2 โจทยเซอรไพส 2 ขอ 1 ขอ 5 1 2 2 แนวโอลิมปก รวม 34 ขอ 36 ขอ 30 ขอ 27 ขอ 27 ขอ 29 ขอ 50 ขอ/ 50 ขอ/ 50 ขอ/ 50 ขอ/ 50 ขอ/ 50 ขอ/ ขอสอบทั้งหมด 3 ชม. 3 ชม. 3 ชม. 3 ชม. 3 ชม. 3 ชม. ชอย 25 ชอย 25 ชอย 25 ชอย 25 ชอย 25 ชอย 25 ขอ ขอ ขอ ขอ ขอ ขอ ขอละ 5 ขอละ 5 ขอละ 5 ขอละ 5 ขอละ 5 ขอละ 5 คะแนน คะแนน คะแนน คะแนน คะแนน คะแนน หมายเหตุ เติมคํา เติมคํา 25 เติมคํา 25 เติมคํา เติมคํา 25 เติมคํา 25 25 ขอ ขอ ขอ 25 ขอ ขอ ขอ ขอละ ขอละ ขอละ ขอละ ขอละ ขอละ 7 คะแนน 7 คะแนน 7 คะแนน 7 คะแนน 7 คะแนน 7 คะแนน โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (111)
  • โจทยปญหาเชาวน แนว ลําดับ–ฟงกชัน สองตัวแปรNichTor–Pb1.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กําหนด a(n, m) เปนจํานวนเต็มบวกทุกๆ n = 1, 2, 3, 4 และ m = 1, 2, 3, ..., nและ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) Sup’k Tips เมื่อ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n ถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 และ a(2, 3) = 18 จงหาคาของ a(1, 2) ตอบ .............................. วิธีทําNichTor–Pb1.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) กําหนด a(n, m) เปนจํานวนเต็มบวกทุกๆ n = 1, 2, 3, 4และ m = 1, 2, 3, ..., n และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) เมื่อ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., nถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 , a(4, 1) = 4 และ a(4, 4) = 35จงหาคาของ a(3, 1) ตอบ ..............................NichTor–Pb1.3 (ดักแนว PAT1’มี.ค.55) สําหรับจํานวนเต็ม n, m ที่ไมติดลบ นิยาม กําหนด a(n, m) ดังนี้ (i) a(0, m) = m + 1 (ii) a(n + 1, 0) = a(n, 1) (iii) a(n + 1, m + 1) = a(n, a(n + 1, m))จงหาคาของ a(3, 0) ตอบ ..............................คณิตศาสตร (112) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • NichTor–Pb1.2 ตอบ 2 เนื่องจาก a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 , a(4, 1) = 4 , a(4, 4) = 35 และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) ...(*)ขั้นที่ 1 จากสูตร (*) แทน n = 2, m = 2 จะได a(2, 2) = a(2, 1) + a(1, 1) แทนคาจากโจทย a(2, 2) = 5 + 10 = 15 ...(๑) จากสูตร (*) แทน n = 3, m = 2 จะได a(3, 2) = a(3, 1) + a(2, 1) แทนคาจากโจทย a(3, 2) = a(3, 1) + 5 ...(๒) จากสูตร (*) แทน n = 3, m = 3 a(3, 3) = a(3, 2) + a(2, 2) แทนคาจาก (๑), (๒); a(3, 3) = [a(3, 1) + 5] + 15 a(3, 3) = a(3, 1) + 20 ...(๓)ขั้นที่ 2 ในทํานองเดียวกัน a(4, 4) = a(4, 3) + a(3, 3) ...(๔) a(4, 3) = a(4, 2) + a(3, 2) ...(๕) a(4, 2) = a(4, 1) + a(3, 1) ...(๖)ขั้นที่ 3 จาก (๔); a(4, 4) = a(4, 3) + a(3, 3) แทนคาจากโจทย (๕), (๓); 35 = [a(4, 2) + a(3, 2)] + [a(3, 1) + 20] แทนคาจากโจทย(๖), (๒); 35 = [[a(4, 1) + a(3, 1)] + [a(3, 1) + 5]] + [a(3, 1) + 20] แทนคาจากโจทย; 35 = [[4 + a(3, 1)] + [a(3, 1) + 5]] + [a(3, 1) + 20] 35 = 4 + 5 + 20 + a(3, 1) + a(3, 1) + a(3, 1) 35 = 29 + 3 ⋅ a(3, 1) 35 - 29 = 3 ⋅ a(3, 1) 6 = 3 ⋅ a(3, 1) 6 = a(3, 1) 3 ดังนั้น a(3, 1) = 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (113)
  • โจทยปญหาเชาวน แนวเติมตัวเลขในตารางเกาชอง BRAN-Pb2.50 (PAT1’ต.ค.53) จากตารางที่กําหนดให มีชองวางทั้งหมด 9 ชอง ดังรูป 7 Sup’k Tips x 10 3 ใหเติมจํานวนเต็มบวก ลงในชองสี่เหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวกของจํานวนในแตละแถว ในแตละหลัก และในแตละแนวทแยงมุม มีคาเทากัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 3, 7, 10 ดังปรากฏในตาราง แลวจํานวน x ในตาราง เทากับเทาใดแนวคิดเร็วๆ ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 7 7 x x 10 3 10 3 ขั้นที่ 3 (แถม) ขั้นที่ 4 (แถม) ขั้นที่ 5 (แถม) 7 7 7 10 3 10 3 10 3คณิตศาสตร (114) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • BRAN-Pb2.50แนวคิดที่ 2 ตอบ 0004.00 สมมติวาผลบวกที่เทากันในแตละทิศทาง คือ s a c 7 จะได ชองทางซายลางสุด เทากับ S - 13 (ดังรูป) x b d พิจารณาในแนวทแยง (จากมุมซายลางไปยังมุมขวาบน) จะได (S - 13) + b + 7 = S 10 3 b = 6 S - 13 พิจารณาในแนวทแยง (จากมุมซายบนไปยังมุมขวาลาง) จะได a+b+3 = S a+9 = S ...(1) พิจารณาในแถวที่ 1 จะได a+c+7 = S (a + 9) + c + 7 = S+9 a c 7 S+c+7 = S+9 [โดย (1)] x 6 d c = 2 10 3 S - 13 พิจารณาหลักที่ 2 จะได S = c + 6 + 10 = 2 + 6 + 10 = 18 โดย (1) จะได a + 9 = 18 a = 9 ตารางที่สมบูรณ พิจารณาหลักที่ 1 9 2 7 จะได a + x + (S - 13) = S 4 6 8 9 + x - 13 = 0 ดังนั้น x = 4 (ทําใหไดวา d = 8) 5 10 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (115)
  • โจทยปญหาเชาวน แนวผลรวมตัวเลขในตาราง SheLL2.46 (PAT1’ก.ค.53) ใหเติมจํานวนเต็มบวกลงในชองสี่เหลี่ยม โดยใหผลรวมของจํานวนในชองสี่เหลี่ยมสามชองที่ติดกัน เทากับ 18 7 x 8 คาของ x เทากับเทาใด ตอบ ..............................SheLL2.47 (PAT1’ก.ค.53) จากตารางที่กําหนดให มีชองวาง 16 ชอง ดังรูป หลัก (ค) หลัก (ง) แถว (ก) 1 5 แถว (ข) x 13 ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสี่เหลี่ยมชองละ 1 จํานวน โดยใหผลบวก ของจํานวนในแตละแถว (แถว (ก) และ แถว (ข)) และแตละหลัก (หลัก (ค) และ หลัก (ง)) มีคาเทาๆ กัน ถาเติมจํานวนเต็มบวก 1, 5, 13 ดังปรากฏในตารางแลวจํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ตอบ ..............................โจทยปญหาเชาวน แนวSudoku SheLL2.4 (PAT1’ก.ค.53) ใหเติมจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางของตาราง 5 × 5 ตอไปนี้ 5 4 1 3 5 3 2 3 1 x โดยที่แตละแถวตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 และแตละหลักตองมีจํานวนเต็มบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาวาจํานวน x ในตาราง เทากับเทาใด ตอบ ..............................คณิตศาสตร (116) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยปญหาเชาวน แนวAlphabetic Problem BRAN-Pb1.24 (PAT1’ต.ค.53) พิจารณาการบวกของจํานวนตอไปนี้ A B + C D E F G เมื่อ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดที่แตกตางกัน โดยที่ F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาจํานวนสองหลัก AB เปนจํานวนเฉพาะ แลว A + B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 3) 7 4) 9แนวคิดSupK-Pb2.28.2 (ดักแนว PAT 1) SupK-Pb2.28.3 (ดักแนว PAT 1) ให ตัวอักษรภาษาอังกฤษแตละตัวที่แตกตางกัน ให ตัวอักษรภาษาอังกฤษแตละตัวที่แตกตางกัน แทน เลขโดดที่แตกตางกัน แทน เลขโดดที่แตกตางกัน จงหาตัวเลขมาเติมตัวอักษรอังกฤษตอไปนี้ จงหาตัวเลขมาเติมตัวอักษรอังกฤษตอไปนี้ S E N D F A T H E R + + M O R E M O T H E R M O N E Y P A R E N T เมื่อตัวอักษร O ในขอนี้ คือ เลขศูนย เมื่อตัวอักษร O ในขอนี้ คือ เลขโดดใดๆ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (117)
  • โจทยปญหาเชาวน แนวทฤษฎีจํานวน BRAN-Pb2.43 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให a, b, c, d, e, f เปนจํานวนเต็มบวก ถาผลบวกของสองจํานวนที่แตกตางกัน ในเซต {a, b, c, d, e, f} มีทั้งหมด 15 จํานวน Sup’k Tips โดยที่ a < b < c < d < e < f คือ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155 แลวคาของ c + d เทากับเทาใด ตอบ .............................. แนวคิดโจทยทฤษฎีจํานวน แนวทฤษฎีการหารลงตัวBRAN-Pb1.25 (PAT1’ต.ค.53) สําหรับ a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ นิยาม a * b หมายถึง a = kb สําหรับบางจํานวนเต็มบวก k ถา x, y และ z เปนจํานวนเต็มบวกแลว ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) ถา x * y และ y * z แลว (x + y) * z 2) ถา x * y และ x * z แลว x * (yz) 3) ถา x * y และ x * z แลว x * (y + z) 4) ถา x * y แลว y * xคณิตศาสตร (118) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร ผมไมไดพูดโกหก VS นั่งติดกับคนโนน ตรงขามคนนี้ TF-PAT119. (B-PAT1’ต.ค.51) ในการจัดคน 5 คน ยืนเขาแถวหนากระดาน พบวา - นาย ก ไมยืนขางนาย ข - นาย ค ยืนอยูริม Sup’k หลัก - นาย ง ยืนอยูขางนาย จ และไมยืนอยูกลางแถว ขอใดตอไปนี้เปนไปได 1) นาย ก ยืนขางนาย ข 2) นาย จ ยืนอยูริมดานหนึ่ง 3) นาย ก ยืนอยูตรงกลาง 4) นาย จ ยืนอยูตรงกลางTF-PAT120. (B-PAT1’ต.ค.51) จากโจทย ขอ เมื่อกี้ ถานาย ข ยืนอยูริมดานหนึ่งแลว ขอใดตอไปนี้ผิด 1) นาย ค ยืนติดนาย ก 2) นาย ก ยืนอยูตรงกลาง 3) นาย จ ยืนอยูตรงกลาง 4) นาย ง ยืนติดกับนาย ขTF-PAT123 (PAT1’มี.ค.52) ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยืนเขาแถวตอนตามลําดับโดยมีเงื่อนไขดังนี้ นาย ฉ ไมยืนติดกับนาย ข นาย ฉ ยืนอยูในลําดับกอนนาย ก นาย ก ยืนติดนาย ง นาย จ ยืนอยูลําดับที่ 4 ถานาย ฉ ยืนติดและอยูหลังนาย ค แลว คนที่มีโอกาสอยูในลําดับที่ 5 ไดแก ชายในขอใดตอไปนี้ 1) นาย ข 2) นาย ค 3) นาย ง 4) นาย ฉTF-PAT124. (PAT1’มี.ค.52) จากเงื่อนไขในโจทยขอที่แลว ขอความใดตอไปนี้จริง 1) นาย ง ยืนอยูในลําดับที่ 2 2) นาย ค ยืนอยูในลําดับที่ 3 3) นาย ง ยืนอยูหลังนาย ข 4) นาย ข ยืนอยูหลังนาย จ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (119)
  • โจทยปญหาเชาวน แนวระบบจํานวนจริง BRAN-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจํานวนนับ กําหนดให a * b = a + b สําหรับ a, b ∈ N Sup’k Tips พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. (a * b) * c = a * (b * c) สําหรับ a, b, c ∈ N ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สําหรับ a, b, c ∈ N ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก Sup’k ลัด 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดแนวคิดเร็วๆวิธีจริง สําหรับ a, b ∈ N เรามีวา a * b = a + b (ก) ผิด , (a * b) * c = ( a + b ) * c = a+b+c a * (b * c) = a * b + c = a + b + c ∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c) (ข) ผิด , a * (b + c) = a + b + c , a * b = a + b , a * c = a + c เพราะวา a+b+c ≠ a+b + a+c ∴ a * (b + c) ≠ (a * b) + (a * c) ดังนั้น ทั้ง (ก) และ (ข) ผิดทั้งคูคณิตศาสตร (120) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • BRAN-Pb1.20 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจํานวนนับ, สําหรับ a, b ∈ N a , a > b b , a > b aΘb = a , a = b และ a∆b = a , a = b   b , a < b a , a < b   พิจารณาขอความตอไปนี,้ สําหรับ a, b, c ∈ N (ก) aΘb = bΘa (ข) aΘ(bΘc) = (aΘb)Θc (ค) a∆(bΘc) = (a∆b)Θ(a∆c) ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ถูก 1 ขอ คือ ขอ (ก) 2) ถูก 2 ขอ คือ ขอ (ก) และ (ข) 3) ถูก 2 ขอ คือ ขอ (ก) และ (ค) 4) ถูกทั้ง 3 ขอ คือ ขอ (ก), (ข) และ (ค)KAiOU-Pb 1.24 (PAT1’มี.ค.53) ให N แทนเซตของจํานวนนับ กําหนดให a * b = ab สําหรับ a, b ∈ N พิจารณาขอความตอไปนี้ สําหรับ a, b, c ∈ N (ก) a*b = b*a (ข) (a * b) * c = a * (b * c) (ค) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) (ง) (a + b) * c = (a * c) + (b * c) ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ถูก 2 ขอ คือ (ข) และ (ค) 2) ถูก 2 ขอ คือ (ค) และ (ง) 3) ถูก 1 ขอ คือ (ค) 4) (ก) (ข) (ค) และ (ง) ผิดทุกขอSheLL2.49 (PAT1’ก.ค.53) ให a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ กําหนดให a ⊗ b เปนจํานวนจริงที่มีสมบัติตอไปนี้ (ก) a ⊗ a = a + 4 (ข) a ⊗ b = b ⊗ a (ค) a ⊗ ⊗ + b) = a + b a b (a b คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากับเทาใด ตอบ .............................. โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (121)
  • โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวเลขยกกําลัง ม.2 สูตร 2.2 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn n a   = an สูตร 2.1 am × an = am+n  b bn a m = am-n = 1 เมื่อ a ≠ 0 amn = a(mn) an a n-m (am)n = am⋅n = (an)m สูตร 2.3 2 (a + b)FPAT-Pb2 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา ab = 2 แลว 2 2 มีคาเทากับเทาใด 2(a - b) 1) 4 2) 8 3) 64 4) 256แนวคิดเร็วๆ ถา ab = 2 2 (a + b) จะหา แลว 2 2 2(a - b) 2 (a + b)วิธีจริง จะหา 2 2 = 2(a+b)2-(a-b)2 = 2(a2 + 2ab + b2) – (a2 – 2ab + b2) 2(a - b) = 2a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 24⋅ab = 24⋅2 = 28 = 256 ตอบQET-G-Pb 26.1 ถา a = 1 - 2n และ x = 1 - 2-n โดยที่ a และ n เปนคาคงตัว จงหา x 1) 2 - a 1 -a a-2 2) 1 - a a 3) 1 - a 4) a a 1 -   -3   5 a-2     -1QET-G-Pb 23.2 จงหารูปอยางงายของ 3 b4  ÷  a-⋅3b 2  a ⋅ b-    a ⋅b  1) 15 2) -9 1 3) 17 4) 1 a a b b12 n+3 -n + 2 2n - 2 n-1 -n + 2QET-G-Pb 23.3 จงหา 2-n-1 × 3 -n-1 × × 2 n +1 3 5 3 × 2 n - 4 × 2 n -2 5 Sup’k Tips 1) 4 2) 864 3) 870 4) ไมมีขอถูกคณิตศาสตร (122) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวเปรียบเทียบความมากนอยเลขยกกําลัง ม.2 สูตร I เมื่อ 1 < ฐาน สูตร II เมื่อ 0 < ฐาน < 1 เจอ 3.5x < 3.5y เจอ 0.21x < 0.21y ∴ ∴ สูตร III เมื่อ 1 < ฐาน สูตร IV เมื่อ 0 < ฐาน < 1 เจอ log7.8 x < log7.8 y เจอ log0.42 x < log0.42 y ∴ ∴KAiOU-Pb 1.22 (PAT1’มี.ค.53) ให A = 7(77), B = 777, C = 777 และ D = (777)7 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) B < A < C < D 2) B < C < A < D 3) C < B < D < A 4) C < A < D < BSheLL1.24 (PAT1’ก.ค.53) กําหนด a = 248, b = 336, c = 524 ขอใดตอไปนี้ถกตอง ู 1) 1 > 1 > 1 b c a 2) 1 > 1 > 1 a b c 3) 1 > 1 > 1 b a c 4) 1 > 1 > 1 a c b**DiAMK-Pb 1.25 (ดักแนว PAT 1) ให a = (10100)10 , b = 10(1010) , c = 1000000! , d = (100!)10ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) a < c < d < b 2) a < d < c < b 3) a < d < b < c 4) a < b < c < dSheLL1.10 (PAT1’ก.ค.53) พิจารณาขอความตอไปนี้ 3 4 ก. 2 2 < 3 3 ข. log2  3  < log3  1    8   2 ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดDiAMK-Pb 1.2 (ดักแนว PAT 1) จงพิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) log1 π + log1 π > 2 (ข) log1 π + log1 2 > 2 2 5 2 π ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถูกตอง 2) ขอ (ก) ถูกตอง และ ขอ (ข) ผิด 3) ขอ (ก) ผิด และ ขอ (ข) ถูกตอง 4) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ผิดKAiOU-Pb 1.11 (PAT1’มี.ค.53) เซตคําตอบของอสมการ 72x + 72 < 23x+3 + 32x+2 เปนสับเซตของชวงใด 1) (log8 7, log9 8) 2) (log9 8, log8 9) 3) (log8 9, log7 8) 4) (log9 10, log8 9) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (123)
  • การเลขยกกําลัง กับ รูด สูตร 5.1 1 1 1 1 1 m พิสูจน ii) m n a = (a n ) m = a n ⋅ m = a n ⋅ m = mn a i) an = ( n a )m = n a m ii) m n a = mn a m m⋅k iii) n a m = a n = a n ⋅ k = n ⋅ k a m ⋅ k iii) n a m = nk a mk 1 1 1 สูตร 5.2 พิสูจน i) n a n b = a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n = n a ⋅ b i) n a n b = n ab 1 1 n ii) n a = a 1 =  a  n = n a n n ii) n a = n a b b bn  b    b bตัวอยางที่ 5.2.1 จงหารูปอยางงายของ 1 1 1 3 3 1 3 1 3 i) a a = a ⋅ a 2 = a 1 ⋅ a 2 = a 1+ 2 = a 2 = (a 2 ) 2 = a 2 ⋅ 2 = a 4 3 3 3 7 7 1 7 1 7 ii) a a a = a ⋅ a 4 = a 1 ⋅ a 4 = a 1+ 4 = a 4 = (a 4 ) 2 = a 4 ⋅ 2 = a 8 7 7 7 15 15 1 15 1 15 iii) a a a a = a ⋅ a 8 = a 1 ⋅ a 8 = a 1+ 8 = a 8 = (a 8 ) 2 = a 8 ⋅ 2 = a 16ตัวอยางที่ 5.2.2 จงหารูปอยางงายของ 3 a 4 ⋅ 5 6a ตอบ.........................แนวคิด 1 1 1 1 1 3 1 4+ 13 a 4 ⋅5 6a = 3 a 4 ⋅ (6a) 5 = 3 a 4 ⋅ 6 5 ⋅ a 5 = 3 6 5 ⋅ a 4 ⋅ a 5 = 6 5 ⋅ a 5 1 21 1 21 1 1 1 21 1 1 1 21 1 1 21= 3 6 5 ⋅ 6 5 = (6 5 ⋅ a 5 ) 3 = {6 5 }3 ⋅ [a 5 ] 3 = 6 5 ⋅ 3 ⋅ a 5 ⋅ 3 = 6 15 ⋅ a 15 = 15 61 ⋅ 15 a 21คณิตศาสตร (124) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลัง แบบ ฐานติดตัวแปรBRAN-Pb2.29 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง และให C = {x ∈ R | (3x2 - 11x + 7)(3x2+4x+1) = 1}จํานวนสมาชิกของเซต C เทากับเทาใด ตอบ .................แนวคิดเร็วๆ Sup’k ลัดแนวคิดที่ 2Sup’k-Pb2.29.1 (ดักแนว PAT1) ให R แทนเซตของจํานวนจริงและให C = {x ∈ R | (x – 3)x2 – 8x +15 = 1} จํานวนสมาชิกของเซต C เทากับเทาใดตอบ ...............................Sup’k-Pb2.29.2 (ดักแนว PAT1) ให R แทนเซตของจํานวนจริง  log x + 5   3 = 105 + log x และให C =  x ∈ R|x  จงหา n(C) ตอบ ..............................    FPAT-Pb14 (PAT1’ก.ค.52) ให x และ y เปนจํานวนจริงที่ x, y > 0 ซึ่งสอดคลองกับ xy = yx และ y = 5xจงหาวา คาของ x อยูในชวงใด 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [3, 4) 4) [5, 6) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (125)
  • โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลัง สูตร 5.1 ax = ay → x = y เมื่อ a ≠ -1, 0, 1 สูตร 5.2 ax = bx → x = 0 เมื่อ a, b ≠ -1, 0, 1 x xพิสูจน สูตร 5.2 จาก ax = bx → a x = 1 →  a  = 1 → ∴ x = 0จบ    b b NichTor–Pb2.1 (ดักแนว PAT1’55) ถา θ เปนมุมซึ่ง 180° < θ < 270° ที่สอดคลองกับ 2 8  cos θ = 2(3sinθ)  3(2sinθ)    27  แลว sin 3θ เทากับขอใดตอไปนี้ ตอบ .............................. วิธีทํา Sup’k TipsNichTor–Pb2.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) ถา θ เปนมุมซึ่ง 180° < θ < 270° cos 2 θที่สอดคลองกับ 3(2sinθ)  4    9  = 2(3sinθ)แลว 3 tan2 θ - 2 sin 3 θ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 3 3) 7 4) 11คณิตศาสตร (126) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • NichTor–Pb2.2 ตอบ 2) 3 cos 2 θ 3(2sinθ)  4     9 = 2(3sinθ) 2   sinθ   2cos θ 2   3   2   3   = 2 3 2   sinθ + 2cos θ     2 3 = 2 3 2   sinθ + 2cos θ 2  1 2   3   =   3   จะได sin θ + 2 cos2 θ = 1 sin θ + 2(1 - sin2 θ) = 1 -2sin2 θ + sin θ + 1 = 0 2sin2 θ - sin θ - 1 = 0 (sin θ - 1)(2sin θ + 1) = 0 sin θ = 1, - 1 2 เพราะวา 180° < θ < 270° ฉะนั้น sin θ = - 1 2 ทําให θ = 210° ∴ 3tan2 θ - 2sin 3θ = 3tan2 210° - 2sin 630° = 3tan2 76π - 2 ⋅ sin 72 π = 3tan2  π + π  - 2 ⋅ sin 72   6 π ยุบมุมดวยตรีโกณในวงกลม = 3 tan2  π  - 2 ⋅ sin 72   6 π  2 = 3 1  - 2(-1)   3  = 1+2 = 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (127)
  • FPAT-Pb1 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 6a+b = 36 และ 5a+2b = 125 แลวคาของ a มีคาเทาใด 1) 1 2) 1.5 3) 2 4) 2.5FPAT-Pb3 (PAT1’มี.ค.52) ถา 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -2 2) –1 3) 1 4) 2SheLL1.11 (PAT1’ก.ค.53) ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ 32x+2 – 28(3x) + 3 = 0และ B เปนเซตคําตอบของสมการ log x + log(x – 1) = log(x + 3)แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต A U B เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4AVATAR-Pb 5.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) กําหนด 22x2 + 2x2+2x+2 – 24x+5 = 0จงหาวา x2 – 2x เทากับเทาใด ตอบ ..............................KMK-Pb 1.8 (PAT1’ต.ค.52) ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4) x x -1*KAiOU-Pb 1.12 (PAT1’มี.ค.53) ถาสมการ  1  +  1     4   2 + a = 0 มีคําตอบเปนจํานวนจริงบวกแลวคาของ a ที่เปนไปไดอยูในชวงใดตอไปนี้ 1) (-∞, -3) 2) (-3, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 3)โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการเลขยกกําลังโอลิมปก x x  4   9 *FPAT-Pb4 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดสมการ  25  +  25  = 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้     ก. ถา a เปนคําตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมีคาตอบ แลวคําตอบจะมีเพียงคําตอบเดียว ํ ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดคณิตศาสตร (128) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยเอกซโปเนนเชียล แนวสมการติดรูด  Sup’k Tips Sup’k ระวังBRAN-Pb2.27 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริงถา A = {x ∈ R | 2x2 – 2x + 9 – 2 x 2 - x + 3 = 15}แลวผลบวกของกําลังสองของสมาชิกในเซต A เทากับเทาใด ตอบ ..............................KAiOU-Pb 2.2 (PAT1’มี.ค.53) ถา S = {x ∈ R | 3x + 1 + x - 1 = 7x + 1 }เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง แลวผลบวกของสมาชิกใน S เทากับเทาใด ตอบ ..............................SheLL2.27 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริงถา S = {x ∈ R | x + 1 + 3x - 1 = 7x - 1 }และ T = {y ∈ R | y = 3x + 1, x ∈ S} แลวผลบวกของสมาชิกใน T เทากับเทาใดตอบ .............................. โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (129)
  • สูตรของ log loga x สูตร 10.1! loga x + loga y = loga x ⋅ y สูตร 10.3! loga a = 1 สูตร 10.2! logz x – loga y = loga xy สูตร 10.4! loga 1 = 0 log a สูตร10.8! logb a = log c b สูตร10.10! x log b a = a log b x สูตร10.5! logan xm = m ⋅ loga x n c เอ็กซกําลัง ลอก a นั้นยากอยู ฝากหัวใจใหกันเอาไวกอน สูตร10.6! loga 1 = –loga x สูตร10.9! loga x = log1 a เปลี่ยนสูตรโดยสลับ x และ a x x สูตร10.7! loga xn = loga1/n x ที่เราจะตองหางเหินไป e ≈ 2.7182 สูตร10.11! b log b a = a ระวัง10.1! log (x + y) ≠ log x + log y ตอดวยสูตร ฐาน log และ expo ระวัง10.2! log (x – y) ≠ log x – log y เผื่อวาเราลําบากอยูหนใด ระวัง10.3! (x ± y)n ≠ xn ± yn log10 x = log x เหมือนกันใหเอาหลัง log มาตอบ logex = ln x หัวใจก็ยังมีคนดูแล ตัวอยาง 10.1 สูตร10.12! log 2 = 1 – log 5 จํา log 2 ≈ 0.30103 อาจจะมีบางคราว เราพบใครใหม log 4 = log 22 = 2 ⋅ (log 2) ≈ 2 ⋅ (0.30103) = 0.60206 log 5 = 1 – log 2 ≈ 1 – 0.30103 = 0.69897 สูตร10.13! และ log 5 ก็ = 1 – log 2 log 8 = log 23 = 3 ⋅ (log 2) ≈ 3 ⋅ (0.30103) = 0.90309 เกิดหวั่นไหว ไปตามประสาคนไกลกัน ตัวอยาง 10.3 ระวัง10.4! จํา log 3 ≈ 0.4771 log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 ≈ 0.30103 + 0.4771 = 0.77813 log 9 = log 32 = 2 ⋅ (log 3) ≈ 2 ⋅ (0.4771) = 0.9542 ตัวอยาง 10.5 จงหาคาของ log3 15 + log3 12 + log3 5 – log3 9 จํา log 1 = 0 วิธีทํา = log3  15 × 12 × 15  = log3 100 = log3 102 = 2 ⋅ (log3 10)   จํา log 7 ≈ 0.84509  9    log 10 = log10 10 = 1  1  = 2 ⋅  log1 3  = 2 ⋅  log 3  ≈ 2 ⋅  0.4771       1     10   คณิตศาสตร (130) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยลอการิทึม แนวสูตรพื้นฐานBRAN-Pb2.35 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงที่มากกวา 1ถา (logb a)(logd c) = 1 สูตร 10.3! logm m = 1แลวจงหาคาของ a(logb c–1)b(logc d–1)c(logd a–1)d(loga b–1) ตอบ .......................วิธีเร็วๆถา (logb a)(logd c) = 1จะหาคาของ a(logb c–1)b(logc d–1)c(logd a–1)d(loga b–1)วิธีจริง log aBRAN-Pb2.35 ตอบ 1 สูตร 10.8! logb a = log c b cเพราะวา (logb a)(logd c) = 1 1 สูตร 10.9! loga x = log a x log a log c log b ⋅ log d = 1 สูตร 10.11! blogb a = a ตอดวยสูตร ฐาน log และ expoจะได (logd a)(logb c) = 1 เผื่อวาเราลําบากอยูหนใด เหมือนกัน ใหเอาหลัง log มาตอบ หัวใจก็ยังมีคนดูแลฉะนั้น logb c = 1 logc d = log1 c = logb a log d a = loga d , d logd a = 1 loga b = log1 a = logd c log b c = logc b , b a log b c ⋅ b log c d ⋅ c log d a ⋅ d log a b ∴ a(logb c–1)b(logc d–1)c(logd a–1)d(loga b–1) = abcd log a d ⋅ b log b a ⋅ c log c b ⋅ d log d c = a abcd d ⋅ a ⋅ b ⋅c = 1 = abcd โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (131)
  • โจทยเพิ่มเติมลอการิทึม แนวสูตรพื้นฐานSheLL1.14 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจํานวนจริงบวกที่สอดคลองกับสมการ 35x ⋅ 9x2 = 27 (log 3)(log 5)(log 7)และ y = (log 2 3)(log4 5)(log6 7) จงหาคาของ xy เทากับขอใด 4 6 8 1) – 8 1 2) 1 8 3) –27 4) 27FPAT-Pb9 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดให a, b, c, d เปนจํานวนจริงที่มากกวา 1โดยที่ loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 จงหาวาคาของ logc d เทากับเทาใด 1) 75 2) 120 3) 150 4) 180FPAT-Pb8 (B-PAT1’ต.ค.51) ให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ถา mlog505 + nlog50 2 = 1แลว m + n เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2 2) 3 3) 4 4) 6KAiOU-Pb 1.10 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงบวก และ y ≠ 1ถา logy 2x = a และ 2y = b แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 (log2 b)a 2 2) 2(log2 b)a 3) a (log2 b) 2 4) 2a(log2 b)FPAT-Pb7 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 4(log a)2 + 9(log b)2 = 12(log a)(log b) แลวขอใดตอไปนีถูก ้ 1) b2=a 2) a2 = b 3) a3 = b2 4) a2 = b3คณิตศาสตร (132) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยลอการิทึม แนวสูตรพื้นฐาน VS ผลบวกราก, ผลคูณรากBRAN-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.53) ถา a, b และ c เปนรากของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 แลวจงหาlog27  1 + 1 + 1  เมื่อ k เปนจํานวนจริง  a b c  1) 9 1 2) 1 3) 2 4) 1 3 3แนวคิดเร็ว เทคนิคลันลา กับ ครู Sup’k ่ ผลคูณราก คือ..................... ผลบวกราก คือ......................... 1⋅x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 จับมือไวแลวไปดวยกัน เหมือนวาไมมวันจะพรากไป ี แลวไลเครืองหมาย + , - , - , ... ่ .............................. ทําอะไรไดดั่งฝนใฝ ถาเรารวมใจ แตขอให................. co-ef หนาสุด ตองเปน ....... จุดหมายที่ฝนกันไว ก็คงไมเกินมือเรา ผลบวกราก = a + b + c = .................... a⋅b + b⋅c + c⋅a = .................... ผลคูณราก = a ⋅ b ⋅ c = ....................แนวคิดที่ 2ขั้นที่ 1 เนื่องจาก x = a, b, c เปนราก(เปนคําตอบ)ของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 จึงไดวา x3 + kx2 – 18x + 2 = (x – a)(x – b)(x – c) x3 + kx2 – 18x + 2 = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x – abc เทียบสัมประสิทธิ์ ฉะนั้น ab + bc + ca = –18 และ abc = –2ขั้นที่ 2 จะหา log27  1 + 1 + 1  = หา ค.ร.น. เพื่อรวมเศษสวน = log27  1 ⋅ bc + 1 ⋅ ac + 1 ⋅ ab   a b c    a bc b ac c ab   = log27  bc +abc + ab  = log27  -18  = log27 9   ac     -2   = log33 32 = 2 ⋅ (log3 3) = 2 ⋅ (1) = 2 ตอบ 3 3 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (133)
  • โจทยลอการิทึม แนวแกสมการ log สูตร I สูตร II เจอ logm ♥ = logm → .................... เจอ log5 ♥ = 7 → ....................BRAN-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.53) เซตคําตอบของสมการ log 2 x – log27 x3 = 6 ตรงกับเซตคําตอบของสมการ 3ในขอใดตอไปนี้ 1) log 1 log 1 log 1 3 2 1 =0 4 3 2 9x - 244x + 29 2) 2log2(x + 1) – log2(x2 – 14x + 41) = 1 2 2 3) 3 (1+ x - 8x + 5 ) + 3 (2- x - 8x - 5 ) = 28 4 4) log3x 3 + log27 3x + 3 = 0 Sup’k Tips Sup’k ระวัง log m ♥โจทยเพิ่มเติมลอการิทึม แนวแกสมการ logFPAT-Pb11 (PAT1’ก.ค.52) เซตคําตอบของสมการ log 2 (4 – x) = log2(9 – 4x) + 1เปนสับเซตของชวงใด 1) [–9, –7) 2) [–7, –2) 3) [–2, 2) 4) [2, 7)KMK-Pb 2.10 (PAT1’ต.ค.52) รากที่มีคานอยที่สุดของสมการ 2log(x–2) ⋅ 2log(x–3) = 2log 2มีคาเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb12 (PAT1’มี.ค.52) ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ log3x = 1 + logx9 อยูในชวงใด 1) [0, 4) 2) [4, 8) 3) [8, 12) 4) [12, 16)คณิตศาสตร (134) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • KMK-Pb 2.9 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 เทากับเทาใดตอบ...........................โจทยแนวใหมเซอรไพส แนว.................................... Sup’k ระวัง Sup’k Tips1.1 Sup’k Tips1.2 สูตรแถม1.3Sup’k-Pb2.28.1 จงหาคา x ซึ่งสอดคลองกับสมการ (x2 – 36)4 = cos (x ⋅ π) – 1ตอบ ..........................แนวคิดSup’k-Pb2.28.2 (ดักแนวPAT1) จงหาคา x ใหครบทุกตัว ซึ่งสอดคลองกับสมการ x - 2 = 32 – x5ตอบ...........................BRAN-Pb2.28 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง  ถา B =  x ∈ R log2 (-x2 + 7x - 10) + 3 cos π x2 + 7  - 1 = 1          แลวผลบวกของสมาชิกในเซต B เทากับเทาใด ตอบ........................... โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (135)
  • BRAN-Pb2.28 ตอบ 0003.00แนวคิด จากสมการ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 cos π x2 + 7  - 1 = 1      ขั้นที่ 1 เงื่อนไข 0 ≤ ใตรูด ∴ 0 ≤ cos  π x 2 + 7  – 1 →     ∴ 1 ≤ cos  π x 2 + 7  → (๑)    ขั้นที่ 2 เงื่อนไขตรีโกณ –1 ≤ cos θ ≤ 1 จะได ∴ -1 ≤ cos  π x 2 + 7  ≤ 1 → (๒)    ขั้นที่ 3 จาก (๑) และ (๒) ใชกฎการตอราคา จะไดวา cos  π x 2 + 7  = 1 เทานั้น     แทนคาในโจทย log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ cos π x2 + 7  - 1 = 1       ∴ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ 1 -1 = 1 log2(–x2 + 7x – 10) = 1 ปลด log ไปเสียบอีกฝง (–x2 + 7x – 10) = 21 –x2 + 7x – 10 = 2 → ∴ x = 3, 4ขั้นที่ 4 ตรวจคําตอบกรณีที่1 เมื่อ x = 3 แลว log2(–32 + 7 ⋅ 3 – 10) + 3 ⋅ cos  π 32 + 7  - 1 = 1       log2(2) + 3 ⋅ 1 - 1 = 1 1 + 3 ⋅ 0 = 1 จริงกรณีที่ 2 เมื่อ x = 4 แลว log2(–42 + 7 ⋅ 4 – 10) + 3 ⋅ cos π 42 + 7  - 1 = 1       log2(2) + 3 ⋅ cos( 23 ⋅ π) - 1 = 1 ไมจริงดังนั้น x = 3 เทานั้น จึงได B = {3} → ∴ ผลบวกของสมาชิกใน B เทากับ 3 ตอบคณิตศาสตร (136) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ทบทวนสูตรตรรกศาสตร . นิเสธ และ หรือ P ∼P P Q P∧Q P Q P∨Q T ∼T ≡ F T T T∧T ≡T T T T∨T ≡T F ∼F ≡ T T F T∧F ≡F T F T∨F ≡T F T F∧T ≡F F T F∨T ≡T F F F∧F ≡F F F F∨F ≡F ถา...แลว... ...ก็ตอเมื่อ... P Q P→Q P Q P↔Q T T T→T ≡T T T T↔T ≡T T F T→F ≡F T F T↔F ≡F F T F→T ≡T F T F↔T ≡F F F F→F ≡T F F F↔F ≡T ประพจนทสมมูลกัน คือ ประพจนสองประพจนที่มีคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีตอกรณี ี่ สมมูลใชสัญลักษณ คือ ≡ เชน (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)พิสูจน p q r (p ∧ q) (p ∧ q) → r (p → r) (q → r) (p → r) ∨ (q → r) T T T (T ∧ T) ≡ T T→T≡T T T T ∨ T ≡ T T T F (T ∧ T) ≡ T T→F≡F F F F ∨ F ≡ F T F T (T ∧ F) ≡ F F→T≡T T T T ∨ T ≡ T T F F (T ∧ F) ≡ F F→F≡T F T F ∨ T ≡ T F T T (F ∧ T) ≡ F F→T≡T T T T ∨ T ≡ T F T F (F ∧ T) ≡ F F→F≡T T F T ∨ F ≡ T F F T (F ∧ F) ≡ F F→T≡T T T T ∨ T ≡ T F F F (F ∧ F) ≡ F F→F≡T T T T ∨ T ≡ T โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (137)
  • สูตร กฎการสลับที่ p∧q≡q∧p p∨q≡q∨p กฎการเปลี่ยนกลุม (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) กฎการคูณกระจาย p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) กฎเดอรมอนแกน ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q กฎนิเสธ ∼(∼p) ≡ pโจทยตรรกศาสตร แนวพื้นฐาน VS สมมูล VS สัจนิรันดรBRAN-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให A, B และ C เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ถา A ↔ B มีคาความจริงเปนจริง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มีคาความจริงเปนเท็จ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสัจนิรันดร 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสัจนิรันดร 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) สมมูลกับประพจน (A ∧ B) → Cแนวคิดชอย ขอ 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) ≡ สมมูลกับประพจน (A ∧ B) → Cวิธีเร็วๆวิธีจริง ผิด เพราะ สูตรนิยม “หนา ชี้ หลัง” (A → C) ∧ (B → C) ≡ ≡ (∼A ∨ C) ∧ (∼B ∨ C) Sup’k Tips ≡ (∼A ∧ ∼B) ∨ C (q ∧ r) → p ≡ (q → p) ∨ (r → p) (q ∨ r) → p ≡ (q → p) ∧ (r → p) ≡ ∼(A ∨ B) ∨ C p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r) ≡ (A ∨ B) → C ≡ (A ∧ B) → Cคณิตศาสตร (138) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • หลัก I ลําดับการทํา แบบ ตรง หลัก II ลําดับการทํา แบบ ยอนกลับ ขั้นที่ 1 ทําในวงเล็บกอน ขั้นที่ 1 ทํา ↔ ขั้นที่ 2 ทํา นิเสธ ขั้นที่ 2 ทํา → ขั้นที่ 3 ทํา ∧, ∨ ขั้นที่ 3 ทํา ∧, ∨ ขั้นที่ 4 ทํา → ขั้นที่ 4 ทํา นิเสธ ขั้นที่ 5 ทํา ↔ ขั้นที่ 5 ทําในวงเล็บชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มีคาความจริงเปนจริง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มีคาความจริงเปนเท็จวิธีทําเร็วๆวิธีจริง A B C (B ∧ C) → [∼A → C] T T T (T ∧ T) → [∼T → T] ≡ (T) → [ F → T] ≡ (T) → [ T ] ≡ T T T F (T ∧ F) → [∼T → F] A B A↔B ≡ (F) → [ F → F] T T T↔T≡T ≡ (F) → [ T ] T F T↔F≡F ≡ T F T F↔T≡F T TF F F F↔F≡T T FF F TT F FT F F T (F ∧ T) → [∼F → T] ≡ (F) → [ T → T] ≡ (F) → [ T ] ≡ T F F F (F ∧ F) → [∼F → F] ≡ (F) → [ T → F] ≡ (F) → [ F ] ≡ T โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (139)
  • ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มีคาความจริงเปนจริง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มีคาความจริงเปนเท็จวิธีเหนือชั้น สูตรนิยม “หนา ชี้ หลัง” Sup’kลัดชอย ขอ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสัจนิรันดรวิธีเหนือชั้นวิธีทําเร็วๆวิธีจริง หลักการตรวจสอบสัจนิรนดร : ใชวธีการจับเท็จ (แตกกิ่งยอนกลับ) ั ิ A [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] F T F F F T F F Fคณิตศาสตร (140) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • การจับเท็จ สําเร็จ เพราะไมเกิดขอขัดแยงใดๆ∴ ดังนั้น ประพจนนไมเปน สัจนิรันดร ี้ชอย ขอ 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสัจนิรันดรวิธีจริงแบบ I หลักการตรวจสอบสัจนิรันดร : ใชวิธีการจับเท็จ (แตกกิ่งยอนกลับ) [(A ∧ B) C] [(A B) (A C)] F (๑) T (๒) F (๒) (๓) F (๓) T (๕) T (๔) (T∧T) F T (๖) (๔) T F (๗) (๗) (๗) เกิดขอขัดแยง เพราะวาจากขั้นที่ (๗) (T∧T) F ≡ (T) F ≡ F ซึ่งไมตรงกับการแตกกิ่งในขั้นที่ (๒) การเกิดขอขัดแยง หมายถึง การจับเท็จ ไมสําเร็จ แสดงวา ประพจนในขอนี้ เปนสัจนิรันดรวิธีจริงแบบ IIถูก สมมติวา [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ไมเปนสัจนิรันดร ฉะนั้น [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ≡ F ได สงผลให (A ∧ B) → C ≡ T ...(1) และ (A → B) → (A → C) ≡ F ...(2) โดย (2) จะได A → B ≡ T และ A → C ≡ F ฉะนั้น A ≡ T, B ≡ T, C ≡ F ทําให (A ∧ B) → C ≡ F ขัดแยงกับ (1) ดังนั้น [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสัจนิรันดร โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (141)
  • โจทยตรรกศาสตรเพิ่มเติม แนวสมมูล VS สัจนิรันดรSheLL1.1 (PAT1’ก.ค.53) ให p, q, r และ s เปนประพจนถาประพจน (p ∨ q) → (r ∨ s) มีคาความจริงเปนเท็จและประพจน p ↔ r มีคาความจริงเปนจริง ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง 1) (q → p) ∧ (q → r) 2) q → [p ∨ (q ∧ ∼r)] 3) (p → s) ↔ (r ↔ q) 4) (r ↔ s) ∧ [q → (p ∧ r)]Peach–Pb 2.44 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p, q, r เปนประพจน ซึ่ง p ⇒ (q ∧ r) มีคาความจริงเปนจริง แลวประพจน r ⇒ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] มีคาความจริงเปนจริง ข. กําหนดให เอกภพสัมพัทธ คือ {x|x2 ≤ 2x + 3} แลว ประพจน ∃x [3x + 6 = 33 – x] มีคาความจริงเปนจริง ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดKMK-Pb 1.2 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให p, q, r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา q ∧ r มีคาความจริงเปนจริง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) → p] มีคาความจริงเหมือนกัน ข. ถา p มีคาความจริงเปนเท็จ แลว r และ (p → q) ∧ r มีคาความจริงเหมือนกัน ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดคณิตศาสตร (142) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • FPAT-Pb17 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให p, q, r เปนประพจน จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน p → (p → (q ∨ r)) สมมูลกับประพจน p → (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q → r) สมมูลกับประพจน (q → p) ∨ ∼(p → ∼r) ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดFPAT-Pb18 (B-PAT1’ต.ค.51) กําหนดให P, Q, R, S เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ (i) ประพจน (∼P ∨ Q) → (R ∧ ∼S) สมมูลกับ (S ∨ ∼R) → (P ∧ ∼Q) (ii) ประพจน (P ∨ R) ∧ [(P ∧ R) → (Q ∨ R ∨ ∼S)] เปนสัจนิรนดร ั ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ขอ (i) ถูก และ ขอ (ii) ถูก 2) ขอ (i) ถูก และ ขอ (ii) ผิด 3) ขอ (i) ผิด และ ขอ (ii) ถูก 4) ขอ (i) ผิด และ ขอ (ii) ผิดPeach–Pb 2.43 (แนวPAT1’ต.ค.55) สําหรับ ประพจน p, q, r ใดๆ ขอใดตอไปนี้เปนสัจนิรนดร ั 1) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) 2) (p ↔ q) ↔ (∼q ↔ p) 3) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼p) ⇒ (p ⇒ q) 4) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼q) ⇒ (p ⇒ q)KAiOU-Pb 1.1 (PAT1’มี.ค.53) ให p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนีมีคาความจริงเปนเท็จ ้ 1) (p → q) ∨ p 2) (∼p ∧ q) → q 3) [(p → q) ∧ p] → q 4) (∼p → q) ↔ (∼p ∧ ∼q) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (143)
  • Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x จะ T ได ∃x จะ T ไดวิจัย กําหนดให U = {-5, -1, 10}P(x) แทน (x + 1)2 = x + 1, Q(x) แทน x + 1 > 2, S(x) แทน (x + 1)2 = |x + 1|แนวคิด(i) จงหาคาความจริงของ ∀x[P(x)] (ii) จงหาคาความจริงของ ∃x[P(x)](iii) จงหาคาความจริงของ ∀x[Q(x)] (iv) จงหาคาความจริงของ ∃x[Q(x)](v) จงหาคาความจริงของ ∀x[S(x)] (vi) จงหาคาความจริงของ ∃x[S(x)]คณิตศาสตร (144) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยตรรกศาสตร แนววลีบงปริมาณตัวแปรเดียวBRAN-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริงและ P(x) แทน (x + 1)2 = x + 1 Q(x) แทน x + 1 > 2ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงตรงขามกับประพจน ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] 1) ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] 2) ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)]ทด พิจารณาบางสวนของ ชอยขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)]เพราะวามีกรณีหนึงซึ่ง ่ แทน x = 8 ; P(8) ∧ Q(8) ≡ (8 + 1)2 = 8 + 1 ∧ 8 + 1 > 2 ≡ T ∧ T ≡ T ∴ ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เปน T∴ สรุป ชอย ขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] ≡ T → F ≡ Fทด พิจารณาบางสวนของ ชอยขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน Tเพราะวามีกรณีหนึงซึ่ง ่ แทน x = 9 ; P(9) ∨ Q(9) ≡ (9 + 1)2 ≡ 9 + 1 ∨ 9 + 1 > 2 ≡ T ∨ T ≡ T ∴ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน T∴ สรุป ชอย ขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] ≡ T → F ≡F โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (145)
  • Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∀y จะ T ได ∃x∃y จะ T ได Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∃y จะ T ได ∃x∀y จะ T ไดSheLL1.2 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดเอกภพสัมพัทธ คือ {–1, 0, 1} ขอใดตอไปนี้ถกตอง ู 1) ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มีคาความจริงเปนจริง 2) ∃x∃y[x + y > 1] มีคาความจริงเปนเท็จ 3) ∃x∀y[x + y = 1] มีคาความจริงเปนเท็จ 4) ∀x∃y[x + y ≥ 0] มีคาความจริงเปนเท็จคณิตศาสตร (146) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยตรรกศาสตรเพิ่มเติม แนววลีบงปริมาณสองตัวแปรKAiOU-Pb 1.2 (PAT1’มี.ค.53) ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ถาเอกภพสัมพัทธ คือ {–1, 0, 1} คาความจริงของ ∀x∃y[x2 + x = y2 + y] เปนเท็จ 2) ถาเอกภพสัมพัทธ เปนเซตของจํานวนจริง คาความจริงของ ∃x[3x = log3 x] เปนจริง 3) ถาเอกภพสัมพัทธ เปนเซตของจํานวนจริง นิเสธของขอความ ∀x∃y[(x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ (xy < 0)] คือ ∃x∀y[(xy < 0) → (x ≤ 0 ∨ y > 0)] 4) ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเต็ม นิเสธของขอความ ∀x[(x > 0) → (x3 ≥ x2)] คือ ∃x[(x ≤ 0) ∧ (x3 < x)]FPAT-Pb21 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดเอกภพสัมพัทธ U = {n ∈ I+ | n ≤ 10}ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 2) ∀x∀y[(x2 = y2) → (x = y)] 3) ∀x∃y[(x ≠ 1) → (x > y2)] 4) ∃x∃y[(x – y)2 ≥ y2 + 9xy]KMK-Pb 1.1 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ {–2, –1, 1, 2}ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ –(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x – y = 0] 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|]FPAT-Pb22 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ∀x∀y[ x I y ≠ ∅ ] 2) ∀x∀y[ x U y = U ] 3) ∀x∃y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 4) ∃x∀y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (147)
  • ทฤษฎี สมมติ ถามีเหตุ : S1, S2, S3, ..., Sn ผล : P ขอความดังกลาวจะ สมเหตุสมผล ก็ตอเมื่อ [S1 ∧ S2 ∧ S3 ∧ ... ∧ Sn] → P เปน สัจนิรันดร หลัก ...................................................................................................................................................................โจทยตรรกศาสตร แนวสมเหตุสมผล FPAT-Pb23 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P, Q , R เปนประพจน พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้เหตุ 1. P → (∼Q ∨ R) Sup’k ลัด 2. Q ∨ R 3. ∼Rผล SS เปนประพจนในขอใด จึงจะทําใหการอางเหตุผลขางตน สมเหตุสมผล 1) ∼P 2) ∼Q 3) P ∨ ∼Q 4) P ∨ Rวิธีจริงชอย ขอ 1) ; [(P (~ Q ∨ R)) ∧ (Q ∨ R) ∧ (~ R)] [~ P] (๒) (๒) F (๑) (๒) (๒) T T (๖) T (๕) (๔) F (๓) T F F T (๗) (T (~ T ∨ F)) เกิดขอขัดแยงเพราะวาจากขั้นที่ (๗) (T → (∼T ∨ F)) ≡ (T → ( F ∨ F)) ≡ (T → (F)) ≡ F ซึ่งไมตรงกับการแตกกิ่งในขั้นที่ (๒)การเกิดขอขัดแยง หมายถึง การจับเท็จ ไมสําเร็จ แสดงวา ประพจนในขอนี้ เปนสัจนิรันดร ∴ โจทยขอนี้ เปน ขอความที่สมเหตุสมผล ดวย ตอบคณิตศาสตร (148) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยระบบจํานวนจริง แนวทฤษฎีบทเศษเหลือ FPAT-Pb32 (B-PAT1’ต.ค.51) ให c เปนคาคงตัว และ P(x) = x3 – 3x2 + c x + 5 2 ถา P(x) หารดวย x – 2 เหลือเศษเทากับ 7 แลว P  c + 2  เทากับขอใดตอไปนี้  3   1) 31 2) 33 3) 35 4) 37 โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกสมการพหุนาม FPAT-Pb34 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A = {x | x ∈ I และ x3 – x = 0} เซตในขอใดตอไปนีเทากับ A ้ 1) {x | x ∈ R และ x2 – x4 = 0} 2) {x | x ∈ R และ x3 + x = –2x} 3) {x | x ∈ I และ x2 – 1 = 0} 4) {x | x ∈ I และ x2 + 1 = –2x}FPAT-Pb35 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให S = {x | |x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนี้เทากับเซต S 1) {x | x3 = 1} 2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = –1} 4) {x | x4 = x}FPAT-Pb36 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A เปนเซตคําตอบของสมการ x4 – 5 2 x2 + 8 = 0ผลบวกของสมาชิกที่เปนจํานวนจริงบวกของ A เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 18 2) 24 3) 4 242 4) 4 162FPAT-Pb37 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 4) 3.5KMK-Pb 1.4 (PAT1’ต.ค.52) ให A เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + x2 – 27x – 27 = 0และ B เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + (1 – 3 )x2 – (36 + 3 )x – 36 = 0A I B เปนสับเซตของชวงในชวงในขอใดตอไปนี้ 1) [–3 5 , –0.9] 2) [–1.1 , 0] 3) [0 , 3 5 ] 4) [1 , 5 3 ] โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (149)
  • โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการFPAT-Pb39 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = {x ∈ R | (x2 – 1)(x2 – 3) ≤ 15} มี a เปนจํานวนที่มีคานอยที่สุดใน Sและมี b เปนจํานวนที่มีคามากที่สุดใน S แลว (b – a)2 มีคาเทากับเทาใด 1) 24 2) 12 3) 6 4) 3โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการ ติดเศษสวน ดานใดดานหนึ่ง เทากับ 0FPAT-Pb41 (B-PAT1’ต.ค.51) ให X =  x (x + 4)(2x+-3) ≤ 0  และ Y = {x | x ∈ X และ x < 0} (x - 2)(x    1) ถา p เปนสมาชิกที่มีคามากที่สุดของ X และ q เปนสมาชิกที่มีคามากที่สุดของ Y แลว |pq| เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12 4- 2FPAT-Pb43 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเซตคําตอบของอสมการ x 2 13x + 36 ≥ 0 x + 5x + 6ถา a เปนสมาชิกที่มีคานอยที่สุดในเซต A I (2, ∞) และ b เปนจํานวนจริงลบที่มีคามากที่สุด โดยที่ b ∉ A แลว a2 – b2 มีคาเทากับเทาใด 1) –5 2) –9 3) 5 4) 9FPAT-Pb42 (PAT1’ก.ค.52) ให X คือ เซตคําตอบของอสมการ (2x + 1)(x - 1) ≥ 0 2-xY คือ เซตคําตอบของอสมการ 2x 2 – 7x + 3 < 0 คาของ 6a – b มีคาเทาใด เมื่อ X I Y = [a, b) 1) 4 2) 6 3) 8 4) 10โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการ ติดเศษสวน ดานใดดานหนึ่ง ไมเทากับ 0  KMK-Pb 1.5 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให S =  x 2 x  ≥ x+2  2 - 1 Sup’k หลัก  x - 3x - 2  x ชวงในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ S 1) (–∞, –3) 2) (–1, 0.5) 3) (–0.5, 2) 4) (1, ∞)คณิตศาสตร (150) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบมี แอบขางเดียว อีกขางเปนคาคงที่KAiOU-Pb 1.4 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให A =  x ∈ R x2 - 6x + 9 ≤ 4  เมื่อ R คือเซตของจํานวนจริง    ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) A′ = {x ∈ R|| 3 – x | > 4} 2) A′ ⊂ (–1, ∞) 3) A = {x ∈ R| x ≤ 7} 4) A ⊂ {x ∈ R|| 2x – 3 | < 7}BRAN-Pb1.3 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจํานวนเต็ม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S ให A = {x ∈ I|| x2 – 1 | < 8} และ B = {x ∈ I | 3x2 + x – 2 ≥ 0} ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) จํานวนสมาชิกของ P(A – B) เทากับ 4 2) จํานวนสมาชิกของ P(I – (A U B)) เทากับ 2 3) P(A – B) = P(A) – P(A I B) 4) P(A – B) – P(A I B) = {{0}}โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบมี แอบขางเดียว อีกขางเปนตัวแปรFPAT-Pb46 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = {x | |x – 1| ≤ 3 – x} และ a เปนสมาชิกคามากที่สุดของ Aคาของ a อยูในชวงใด 1) (0 , 0.5] 2) (0.5 , 1] 3) (1 , 1.5] 4) (1.5 , 2]โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบมี แอบสองขางFPAT-Pb45 (B-PAT1’ต.ค.51) ถาชวง (a, b) เปนเซตคําตอบของอสมการ 2|x + 3| > 3|x – 2|แลว b – a เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 12 3) 13 4) 14โจทยระบบจํานวนจริง แนวแกอสมการคาสัมบูรณ แบบ ปลดแอบโดยนิยามSheLL1.4 (PAT1’ก.ค.53) ถา A =  x ∈ R |1 + |x|- 2 > 1 แลว A I [0, 1) เทากับขอใด  -   x x|- 3  1)  1, 2   3 3  2)  1, 1   3   3)  2, 1   3   4)  2, 3   3 2  โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (151)
  • เรขาคณิตวิเคราะห สูตร1.11! พื้นที่รป n เหลี่ยม ู ในกรณีที่รูจุดยอด n จุด ของรูป n เหลี่ยมใดๆ : (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn) เชน จงหาพื้นที่ของรูป ABCD เมื่อ A(1, 3), B(2, 0), C(5, 7), D(-1, 5) แนวคิด C(5, 7) D(-1, 5) A(1, 3) B(2, 0) หลักการใชสูตร 1. เริ่มตนจากจุดใด ตองลงทายดวยจุดนั้น 2. วนในทิศใดทิศหนึ่ง 3. ...................................................................................... 4. ...................................................................................... 5. ...................................................................................... ขอควรระวัง .............................................................................................................................................................คณิตศาสตร (152) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยเรขาคณิตวิเคราะห แนวหาพื้นที่รูป n เหลี่ยมBRAN-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.53) ให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดเปน A(–2, 3), B(2, 8), C(4, 4) และ D(0, –3) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 16 ตารางหนวย 2) 32 ตารางหนวย 3) 10 13 ตารางหนวย 4) 26 10 ตารางหนวยวิธีคิดเร็วๆวิธีจริง BRAN-Pb1.9 ตอบ 2) Y P(-2, 8) B(2, 8) Q(4, 8)ขั้นที่ 1 จากรูปพื้นที่ [PQRS] = PQ ⋅ QR = |–2 – 4|⋅|–3 – 8| = 66 C(4, 4)พื้นที่ [ABP] = 1 ⋅ AP ⋅ BP = 1 |8 – 3||–2 – 2| A(-2, 3) 2 2 = 10 ตารางหนวยพื้นที่ [BCQ] = 1 ⋅ CQ ⋅ BQ = 1 |8 – 4||4 – 2| X 2 2 = 4 ตารางหนวย S(-2, -3) D(0, -3) R(4, -3)พื้นที่ [CDR] = 1 ⋅ CR ⋅ DR = 1 |–3 – 4||4 – 0| 2 2 = 14 ตารางหนวยพื้นที่ [ADS] = 1 ⋅ AS ⋅ DS = 1 |–3 – 3||–2 – 0| 2 2 = 6 ตารางหนวยขั้นที่ 2 จะหา พื้นที่ [ABCD] = [PQRS] – [ABP] – [BCQ] – [CDR] – [ADS] ∴ พื้นที่ [ABCD] = 66 – 10 – 4 – 14 – 6 = 32 ตารางหนวย โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (153)
  • สูตร1.1! สูตรระยะระหวางจุดสองจุด Y d = P1P2 = (x1 - x 2 )2 + (y 1 - y 2 )2 P1(x1, y1) เชน จงหาระยะหางระหวางจุด A(5, -4) , B(7, 8) วิธีทํา X AB = (5 - 7)2 + ((-4) - 8)2P2(x2, y2) = (-2)2 + (-12)2 = 4 + 144 = 148 สูตร1.2! สูตรจุดกึ่งกลางหางระหวางจุดสองจุด Y P1(x1, y1) จุดกึ่งกลางระหวาง P1P2 =  x1 + x2 , y1 + y2    2 2  P2(x2, y2) เชน จงหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A(5, -4), B(7, 8) X วิธีทา จุดกึ่งกลาง =  5 + 7 , (-4)2 + 8  ํ   2   = (6 , 2)คณิตศาสตร (154) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สูตร1.3! สูตรหาจุดปลาย เมื่อใหจุดกึ่งกลาง และจุดปลายอีกดานหนึ่ง Sup’k Tips B(x, y) (6, 2) เชน ใหจุด (6, 2) เปนจุดกึ่งกลางระหวางจุด A(5, -4), B จงหาจุด B A(5, -4) วิธีทํา สมมติวา จุด B(x, y) (6, 2) = จุดกึ่งกลาง =  5 + x , -4 2+ y    2   6 = 5 + x , 2 = -4 2+ y 2 7=x , 8=y ∴ B(x, y) = B(7, 8)NichTor-Pb3.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กําหนดให A(1, 3) เปนจุดกึ่งกลางของ OP เมื่อ O(-1 , 2)จงหาพิกดจุด P ตอบ .............................. ัวิธีทํา โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (155)
  • FPAT-Pb48 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABCD เปนสี่เหลี่ยมดานขนานที่อยูในระนาบ XYถา A = (–3, –2), B = (1, –5), C = (9, 1) แลว BD มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 91 2) 10 3) 97 4) 10 2วิธีคิดเร็วๆ D Sup’k Tips C( 9, 1) A( - 3, - 2) B(1, - 5)วิธีจริง & พิสูจนสูตรลัด ทฤษฎีเรขาคณิต D(x, y) เสนทแยงมุมของสีเหลี่ยมดานขนาน ่ขั้นที่ 1 จะตัดกันและแบงครึ่งซึ่งกันและกัน C(9, 1) G A(-3,-2) สมการ B(1,-5) จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุมAC = จุด G = จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุมBD [-3] + 9 , [-2] + 1  =  x + 1, y + [-5]     2 2     2 2   ∴ [-3] + 9 = x + 1 และ [-2] + 1 = y + [-5] 2 2 2 2 ∴ 5=x และ 4=y ∴ D(x, y) = D(5, 4)ขั้นที่ 2 จะหา BD = ระยะ BD = ( ∆x)2 + ( ∆y)2 = (5 - 1)2 + (4 - [-5])2 = 97 ตอบคณิตศาสตร (156) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยเพิ่มเติมเรขาคณิตวิเคราะห .KAiOU-Pb 1.15 (PAT1’มี.ค.53) ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี A(0, 0) และ B(2, 2) เปนจุดยอดและ C(x, y) เปนจุดยอดในจตุภาค (quadrant) ที่ 2 ที่ทําใหดาน AC ยาวเทากับดาน BCถาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC มีคาเทากับ 4 ตารางหนวย แลวจุด C อยูบนเสนตรงในขอใด 1) x – y + 4 = 0 2) 4x + 3y – 1 = 0 3) 2x – y – 3 = 0 4) x + y – 5 = 0KAiOU-Pb 1.9 (PAT1’มี.ค.53) จุด A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, –3) เปนจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมABCD ขอใดตอไปนีผิด ้ 1) ดาน AB ขนานกับดาน DC 2) ผลบวกความยาวของดาน AB กับ DC เทากับ 10 2 หนวย 3) ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และ D มีคาเทากับ 9 2 2 หนวย 4) ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และ D มีคาเทากับ 9 หนวย 2FPAT-Pb49 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A(–1, –1) และ B(1, c) เปนจุดในระนาบ XY ถา L เปนเสนตรงซึ่งผานจุดA, B และมีความชันเทากับ 3 แลวเสนตรงที่มีความชันเทากับ –2 และผานจุด B จะมีสมการดังขอใดตอไปนี้ 1) y = –2x + 7 2) y = –2x + 5 3) y = –2x + 3 4) y = –2x + 1SheLL1.9 (PAT1’ก.ค.53) รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม ABC เปนมุมฉาก และดานตรงขามมุมฉากยาว 10 หนวย ˆถาพิกดของจุด A และจุด B คือ (–4, 3) และ (–1, 2) ตามลําดับ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจุด C ั 1) x + 8y – 27 = 0 2) 8x + y – 27 = 0 3) 4x – 5y + 3 = 0 4) –5x + 4y + 3 = 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (157)
  • สูตร 1.20! โปรเจกชันของจุด P บนเสนตรง L Y สูตร ระยะหางระหวางจุด P(x1, y1) กับเสนตรง L คือ |Ax 1 + By 2 + C| P(x1, y1) d = L : Ax + By + C = 0 A2 + B2 O X ระวัง 1.20!NichTor-Pb3.2 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุด P(3, 4) ไปยังเสนตรง 3y - 4x = 15ตอบ .................................วิธีทําคณิตศาสตร (158) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ภาคตัดกรวย : วงกลม . สูตร 2.1! วงกลม ระวัง! กอนใชสูตร สัมประสิทธิ์ หนา x2, y2 ตองเทากับ …… สมการรูปทั่วไป สมการมาตรฐาน x2 y2 + + Ax + By + C = 0 (x - h)2 + (y - k)2 = r2 จุดศูนยกลาง รัศมี เทคนิคลั่นลากับครูSup’k รองเพลงกับพี่Sup’k แลวจําไดเลย วงกลมนั้นมีสองสิงสําคัญ คือจุดศูนยกลาง กับ รัศมี ไง ศูนยกลางอยูที่ (h, k) =  -A , -B  ่   2 2  กอนเคยเชื่อในลิขิตฟาดิน ปลอยชีวิตไปตามโชคชะตา แตฝนไมเคยถึงฝง ผิดหวังในใจเรื่อยมา เพราะไมมีหวใจ ั รัศมีคือ รูดผลบวกของ กําลังสองของ.................... แลว............................... จะดีหรือเลวมันอยูที่คน จะมีหรือจนมันอยูที่ใจ ดินฟาไมเคยลิขิต .........ตัวเลขใดๆ ............................................ ชีวิตจะเปนเชนไร อยาเลยอยาไปถามฟาNichTor-Pb3.3 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาจุดศูนยกลางและรัศมีของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0ตอบ...................................วิธีทํา โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (159)
  • วิธีการตรวจสอบวา จุดใดอยูใน หรืออยูบน หรืออยูนอกวงกลม x2 + y2 = 25 กับ P(1, 0) x2 + y2 = 25 กับ P(3, 4) x2 + y2 = 25 กับ P(7, 10) 12 + 02 < 25 32 + 42 = 25 72 + 102 > 25 ควรจัดสมการใหอยูรูป (x – h)2 + (y – k)2 = r2 หลังแทนคา จุด P(x1, y1) ที่สนใจแลว กรณีที่ 1 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 < r2 แสดงวา จุด P อยูในวงกลม กรณีที่ 2 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 = r2 แสดงวา จุด P อยูบนเสนรอบวงกลม กรณีที่ 3 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 > r2 แสดงวา จุด P อยูนอกวงกลม หรือหากจัดในรูป x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หลังแทนคา จุด P(x1, y1) ที่สนใจแลว 2 2 กรณีที่ 1 x 1 + y 1 + Ax1 + By1 + C < 0 แสดงวา จุด P อยูในวงกลม 2 2 กรณีที่ 2 x 1 + y 1 + Ax1 + By1 + C = 0 แสดงวา จุด P อยูบนเสนรอบวงกลม 2 2 กรณีที่ 3 x 1 + y 1 + Ax1 + By1 + C > 0 แสดงวา จุด P อยูนอกวงกลมNichTor-Pb3.4 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงตรวจสอบวา จุด A(1, 3) อยูดานใน หรือดานนอก หรืออยูบนเสนรอบวงของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0ตอบ ..............................คณิตศาสตร (160) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยภาคตัดกรวย แนววงกลมPTOR–Pb3.5 (แนวขอสอบจริง PAT1’ธ.ค.54) ถา P เปนจุดบนวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ที่อยูใกลจุด A(1, 3) มากที่สุด แลวระยะทางจาก P ไปยังเสนตรง 3y - 4x = 15 มีคาเทาใดตอบ ..............................วิธีลัด ใหฟงครูSup’k สอนในหอประชุม Brand’s Summer Campวิธีจริง Sup’k Tipsขั้นที่ 1 x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 จัดรูปกําลังสองสัมบูรณ (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 20 2 ∴ วงกลมมีจุดศูนยกลางที่ O(-1, 2) รัศมี r = 20 = 2 5 หนวยขั้นที่ 2 จุด P(a, b) บนวงกลมที่อยูใกล A(1, 3) มากที่จุด คือ จุด P ที่ทาให O, A, P อยูบนเสนตรงเดียวกัน (ดูรูป) ํ Y r สังเกตวา OA = (1 - (-1))2 + (3 - 2)2 = 5 = 2 P(a, b) ฉะนั้น A เปนจุดกึ่งกลางของ OP A(1, 3) จะได a - 1 = 1 และ b 2 2 = 3 2 + O(-1, 2) a = 3 และ b = 4 ฉะนั้น พิกัดของจุด P คือ P(3, 4) Xขั้นที่ 3 จะหา ระยะหางจาก P กับเสนตรง 3y - 4x = 15 คือ ระยะหางจาก P กับเสนตรง 3y - 4x - 15 = 0 d = |3(4) - 4(3) -215| หนวย = 3 หนวย 32 + (-4) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (161)
  • BRAN-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.53) พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. x2 + y2 + 6x – 4y = 23 เปนสมการวงกลมที่สัมผัสกับเสนตรง ซึ่งมีสมการเปน 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x – 6y = 71 เปนสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (–5, 3) และจุดโฟกัสที่ (–1, 3) ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดKMK-Pb 1.9 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1}และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0}ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากที่สุดที่เปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2 หนวย 2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวยBRAN-Pb2.34 (PAT1’ต.ค.53) จุด A(1 , 0) และจุด B(b , 0) เมื่อ b > 1เปนจุดปลายของเสนผานศูนยกลางของวงกลมวงหนึ่ง 4ถาเสนตรง L ผานจุด (–1, 0) และสัมผัสกับวงกลมวงนี้ มีความชันเทากับ 3 แลว b เทากับเทาใดตอบ...........................FPAT-Pb50 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให วงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (2, 1)ถาเสนสัมผัสวงกลมที่จุด x = 1เสนหนึ่งมีความชันเทากับ 1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลมทีกําหนด ่ 3 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0)FPAT-Pb52 (PAT1’ก.ค.52) ใหเสนตรง l1 และ l2 สัมผัสกับวงกลม (x – 5)2 + y2 = 20 ที่จุด A และ Bตามลําดับ โดยที่จุดศูนยกลางของวงกลมอยูบนเสนตรงที่ผานจุด A และ Bถาสมการของเสนตรง l1 คือ x – 2y + 5 = 0 แลวจุดใดตอไปนีอยูบนเสนตรง l2 ้ 1) (0, 15) 2) (1, –8) 3) (8, –1) 4) (15, 0)KMK-Pb 2.7 (PAT1’ต.ค.52) ให a, b, c เปนจํานวนจริง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0มีศูนยกลางที่ (2, 1) และมีเสนตรง x – y + 2 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลม แลว |a + b + c| เทากับเทาใดตอบ ...........................คณิตศาสตร (162) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยภาคตัดกรวย แนวพาราโบลาFPAT-Pb54 (PAT1’ก.ค.52) ระยะทางระหวางจุดโฟกัสของพาราโบลา y2 = –8x กับเสนตรง 2x + y = 6มีคาเทาใด 1) 2 5 หนวย 2) 3 5 หนวย 3) 4 5 หนวย 4) 5 5 หนวยFPAT-Pb55 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P เปนจุดตัดของเสนตรง x – 2y = 0 และเสนไดเรกตริกซของพาราโบลาx2 = 8y ระยะระหวางจุด P และเสนตรง 2x – y = 1 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 หนวย 2) 7 หนวย 3) 7 หนวย 4) 7 หนวย 5 5 5FPAT-Pb56 (PAT1’มี.ค.52) ถาเสนตรงเสนหนึ่งผานจุดกําเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0และเสนไดเรกตริกซท่จุด (a , b) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ี  1) 4 2) 5 3) 6 4) 7KMK-Pb 2.8 (PAT1’ต.ค.52) พาราโบลามีจุดยอดที่ (–1, 0) และมีจุดกําเนิดเปนจุดโฟกัส ถาเสนตรง y = xตัดพาราโบลาที่จุด P และจุด Q แลว ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q เทากับเทาใดตอบ...........................โจทยภาคตัดกรวย แนววงรีKMK-Pb 1.6 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให S = [–2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนี้ไมเปนสับเซตของ Dr – Rr 1) (–1.4, –1.3) 2) (–1.3, –1.2) 3) (1.2, 1.4) 4) (1.4, 1.5)FPAT-Pb57 (B-PAT1’ต.ค.51) วงรีที่มีจุดศูนยกลางที่จุด (1, 2) แกนเอกขนานกับแกน X และยาว 6 หนวยแกนโทยาว 4 หนวย ผานจุดในขอใดตอไปนี้ 1) (0, 1) 2) (2, 0) 3) (1, 4) 4) (4, 1)FPAT-Pb58 (PAT1’ก.ค.52) ให E เปนวงรีที่มีจุดโฟกัสทั้งสองอยูบนวงกลม C ที่มีสมการเปน x2 + y2 = 1ถาวงรี E สัมผัสกับวงกลม C ที่จุด (1, 0) แลวจุดใดตอไปนีอยูบนวงรี E ้ 1)  1, 1   2 2  2)  1, 5   2 2  3)  1, 1   3   4)  1, 4   3 3   21 FPAT-Pb59 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให วงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยูที่จุด (±3, 0) และผานจุด  2, 2  จุดในขอใด     ตอไปนี้อยูบนวงรีท่กาหนด ีํ 2)  0, 5 2 2    1) (–4, 0)   3) (6, 0) 4) (0, –3 2 )   โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (163)
  • โจทยภาคตัดกรวย แนวไฮเพอรโบลาKMK-Pb 1.10 (PAT1’ต.ค.52) ให E เปนวงรีที่มโฟกัสอยูที่จุดยอดของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = 1 ีถา E ผานจุด (0, 1) แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบน E 1)  1, - 22      2) (1, 2 )   4)  1, 23    3)  1, -1    2    FPAT-Pb62 (B-PAT1’ต.ค.51) ให F1, F2 เปนจุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา 2(x – 1)2 – (y – 2)2 = 8 โดยที่F2 อยูในควอดรันตที่ 1 วงกลมที่มี F2 เปนจุดศูนยกลางและผานจุด (2 3 , 3) คือ วงกลมที่มีสมการ ดังขอใดตอไปนี้ 1) (x + (1 + 2 3 )2) = 4y – y2 + 2 2) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 + 2 3) (x + (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2 4) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2FPAT-Pb63 (PAT1’ก.ค.52) กําหนด S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17} P = {(x, y) | x2 – y2 = 1} Q = {(x, y) | y2 – x2 = 1}ถา a ∈ S I P และ b ∈ S I Q แลวระยะทางที่นอยที่สุดระหวาง a และ b เทากับเทาใด 1) 3 2 – 4 2) 2 3 – 2 3) 3 2 – 2 4) 2 3 – 4FPAT-Pb64 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตัดกราฟ y2 = 1 + x2}และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตัดกราฟ y2 = 1 – x2 สองจุด}เซต {d | d = c2, c ∈ B - A}เทากับชวงใดตอไปนี้ 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 2) 4) (0, 4)KAiOU-Pb 1.8 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดใหวงรี 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0แลวไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผานจุด (–3, 1 + 8 ) มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) 5y2 – 4x2 – 10 8 y – 32x – 25 = 0 2) 3y2 – 2x2 – 6 8 y – 8x + 15 = 0 3) y2 – 4x2 – 2y – 16x – 19 = 0 4) y2 – 7x2 – 2y – 28x – 28 = 0SheLL1.8 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลางและจุดโฟกัสดานหนึ่งของไฮเพอรโบลา 9x2 – 16y2 – 90x + 64y + 17 = 0แลววงกลมดังกลาวนี้มีพื้นที่เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 25 π ตารางหนวย 4 2) 25 π ตารางหนวย 2 3) 4π ตารางหนวย 4) 5π ตารางหนวยคณิตศาสตร (164) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยความสัมพันธ แนวอินเวอรสของความสัมพันธFPAT-Pb77 (B-PAT1’ต.ค.51) ให r = {(x, y) | 2y = 3x – 4}ถา a, b เปนคาคงตัว และ r-1 = {(x, y) | y = ax + b} แลว 3a – b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 1) 35 2) 43 3) 54 4) 34FPAT-Pb78 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดความสัมพันธ r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x| } ข. กราฟของ r ตัดกับกราฟของ r-1 เพียง 2 จุด เทานั้น ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดโจทยความสัมพันธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยกราฟFPAT-Pb75 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให f(x) = x2 – 1 เมื่อ x ∈ (-∞, -1] U [0, 1] และ g(x) = 2x เมื่อx ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนีถกตอง ้ ู 1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg 3) f เปนฟงกชน 1-1 ั 4) g ไมเปนฟงกชัน 1-1FPAT-Pb70 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = [–2, –1] U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x – y = –1}ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.5 2) 3 3) 3.5 4) 4โจทยความสัมพันธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยการจัดรูป หาเงื่อนไขFPAT-Pb71 (สอบตรงวิศวะ’50) กําหนด r และ s เปนความสัมพันธ  2  r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + xy = –1} s = (x, y) ∈ R × R y = 1 - |3 - x|   จงหาวา Rs – Rr เปนสับเซตของขอใดตอไปนี้ 1) (–4, –2) 2) (–1, 1) 3) (–2, 0) 4) (–1, 4)    1 FPAT-Pb72 (สอบตรงวิศวะ’51) กําหนดให r = (x, y) ∈ R × R y =     5 - 9 - x2  s = {(x, y) ∈ R × R | 2xy 2 – 3xy = 4x + 1} มีจํานวนเต็มกี่จํานวนที่อยูในเซต Rr – Ds 1) 0 2) 1 3) 2 4) 7 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (165)
  • KAiOU-Pb 1.6 (PAT1’มี.ค.53) ให f และ g เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่f(x) = x2 - 1 และ g(x) = f(x) – x - 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ x -4 ก. Dg = (2, ∞) ข. คาของ x > 0 ที่ทําให g(x) = 0 มีเพียง 1 คาเทานั้น ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดโจทยฟงกชน แนวคํานวณฟงกชันธรรมดา ัFPAT-Pb65 (PAT1’ก.ค.52) ให g(x) = x2 + x + 1 และ r, s เปนคาคงตัว ซึ่ง s ≠ 0ถา g(r + s) = g(r – s) แลว r2 เปนสมาชิกของชวงใดตอไปนี้ 1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2)โจทยฟงกชน แนวจัดรูปฟงกชนธรรมดา ั ัKAiOU-Pb 1.13 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให f  x x 1  = 1 เมื่อ x ≠ 0 และ x ≠ 1   -   xถา 0 < θ < π แลว f(sec2 θ) เทากับขอใดตอไปนี้ 2 1) sin 2θ 2) cos2 θ 3) tan2 θ 4) cot2 θโจทยฟงกชน แนวจัดรูปฟงกชนอินเวอรสธรรมดา ั ั x -xAVATAR-Pb 6.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) จงหา f-1(x) เมื่อ f(x) = 10x - 10 -x 10 + 10ตอบ...........................คณิตศาสตร (166) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยฟงกชน แนวคํานวณฟงกชันคอมโพสิตธรรมดา ั สูตร Peach–Pb 2.32 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให f และ g เปนฟงกชันซึ่ง f(x + 5) = x3 – x2 + 2x และ g– 1(2x – 1) = x + 4 จงพิจาณาขอความตอไปนี้ เมื่อ I แทน เซตของจํานวนเต็ม ก. (f – g)(0) < –169 ข. {x ∈ I|(gof)(x) + 5 = 0} เปนเซตวาง ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดKMK-Pb 2.3 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 1 และ g(x) = 2f(x) แลว จงหา gof(3) + fog–1(3) xตอบ...........................FPAT-Pb66 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x + 1 และ g(x) = x3, (f-1og)(3) มีคาเทากับขอใด 2 1) 16 2) 20 3) 50 4) 52 x+3FPAT-Pb66.1 ให f(x) = x + 6 และ (f-1og)(x) = -6x x - 1 ถา g(a) = 2 แลว a อยูในชวงใด 1) [–1, 1) 2) [1, 3) 3) [3, 5) 4) [5, 7)FPAT-Pb67 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดฟงกชัน f(x) = x – 5 และ g(x) = x2ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให fog(a) = gof(a) แลว (f ⋅ g)(a) มีคาเทากับเทาใด 1) 18 2) –18 3) 25 4) –25 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (167)
  • โจทยฟงกชน แนวคํานวณฟงกชันคอมโพสิตยากขึ้นมาหนอย ัKAiOU-Pb 2.22 (PAT1’มี.ค.53) นิยาม f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชันใดๆ (f ⊗ g)(x) = f(g(x)) – g(f(x)) สําหรับทุกจํานวนจริง xถา f(x) = x2 – 1 และ g(x) = 2x + 1 สําหรับทุกจํานวนจริง x แลว (f ⊗ g)(1) เทากับเทาใดตอบ...........................KAiOU-Pb 1.5 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให y1 = f(x) = x - 1 เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 1 x +1 y2 = f(y1) , y3 = f(y2), ... yn = f(yn–1) สําหรับ n = 2, 3, 4, ... คาของ y2553 + y2010 เทากับขอใดตอไปนี้ 2 1) x - 1 x +1 2) xx -+11 2 +1 2x 2 3) x 2x 4) 1 + x - - x 1SheLL2.28 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f1, f2, f3, f4, g และ h เปนฟงกชันจาก R ไป Rโดยที่ f1(x) = x + 1, f2(x) = x – 1, f3(x) = x2 + 4, f4(x) = x2 – 4(f1og)(x) + (f2oh)(x) = 2 และ (f3og)(x) – (f4 ๐ h)(x) = 4x คาของ (g ๐ h)(1) เทากับเทาใดตอบ...........................SheLL1.18 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f : R → R เปนฟงกชัน โดยที่ f(x) = ax + b เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง ( ) ถา f เปนฟงกชันลด และ f f(f(f(x))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) –11 2) –5 3) 11 4) 5โจทยฟงกชน แนวนิยามตรวจสอบความเปนฟงกชัน ัBRAN-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง, ความสัมพันธขอใดตอไปนี้เปนฟงกชัน 1) ความสัมพันธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 4 - y 2 และ xy ≥ 0} 2) ความสัมพันธ r2 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 และ xy > 0} 3) ความสัมพันธ r3 = {(x, y) ∈ R × R | ||x| – |y|| = 1} 4) ความสัมพันธ r4 = {(x, y) ∈ R × R | |x – y| = 1}คณิตศาสตร (168) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยฟงกชน แนวฟงกชันแยกชวง ัFPAT-Pb76 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x2 + 2 เมื่อ x ∈ [-1, 0] U (1, 2) -x , x ∈ [-1, 0]และ g(x) =  4x - 2 , x ∈  1 , 2     2   ขอใดตอไปนีไมถกตอง ้ ู 1) Df ⊆ Dg 2) Rf ⊆ Rg 3) f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง 4) g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งโจทยฟงกชน แนวฟงกชันแยกชวง VS อินเวอรส ั  x2 , x ≥ 0FPAT-Pb79 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให f(x) = 3x – 1 และ g–1(x) =   -x 2 , x < 0คาของ f-1(g(2) + g(–8)) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 -3 2 2) 1 +3 2 3) 1 - 3 2 - 4) 1 + 3 2 -โจทยฟงกชน แนวฟงกชันพีชคณิตฟงกชัน VS อินเวอรส ั xKMK-Pb 2.4 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 3 x และ g(x) = 1 + x แลว (f–1 + g–1)(2) เทากับเทาใดตอบ...........................โจทยฟงกชน แนวคอมโพสิต VS อินเวอรส VS นิยามฟงกชันแบบเซต ัBRAN-Pb2.42 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจํานวนจริง ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 5} g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 1} ถา a ∈ R และ (g-1of-1)(a) = 4 แลว (fog)(2a) เทากับเทาใดตอบ........................... โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (169)
  • เมทริกซ : อินเวอรสการคูณของเมทริกซ (ตัวผกผันของเมทริกซ) นิยาม 1.1!! AA-1 = A-1A = I เมทริกซ Bn×n เปน อินเวอรสการคูณของเมทริกซ An×n ก็ตอเมื่อ AB = I = BA เขียนแทนดวย B = A-1 สูตร 1.2 !! ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ A, อินเวอรสของเมทริกซ A, A-1 สําหรับมิติ n × n 1 A-1 = det A ⋅ adj A สูตร 1.3 !! ถา A = [ก] → ∴ A-1 =  1  เมื่อ ก ≠ 0  ก   a b 1  d b สูตร 1.4 !! ถา A = c d  → ∴ A-1 = det A -c -a      นิยาม 1.6!! สําหรับเมทริกซ An×n ขนาดมิตใดๆิ ถา det A = 0 แลว จะเรียก เมทริกซ A วา “เมทริกซเอกฐาน”, “Singular Matrix”, “ซิงกูลารเมทริกซ” จะหา A-1 ไมได นิยาม 1.7!! สําหรับเมทริกซ An×n ขนาดมิติใดๆ ถา det A ≠ 0 แลว จะเรียก เมทริกซ A วา “ไมใชเมทริกซเอกฐาน” , “Non-singular Matrix” “นอนซิงกูลารเมทริกซ” จะหา A-1 ไดคณิตศาสตร (170) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • -1 1  2 -1 Pb 3 ให A-1 =  1 2  , B-1 = 1 0  จงหา (A – 2B)-1 ตอบ ....................    แนวคิด Sup’k ระวัง!! -1 1 ขั้นที่ 1 จาก A-1 =  1 2    -2 1   2 -1  2 -1→ A = (-1) ⋅ 2 - 1 ⋅1 -1 -1  → A = -13 -1 -1  → A =  3 3  1  1 1      3 3   2 -1 ขั้นที่ 2 จาก B-1 = 1 0     0 1  0 1  0 1→ B = 2 ⋅ 0 -1 ⋅ (-1) -1 2  → ∴ B = 1 -1 2  → ∴ B = -1 2  1 1        -1  -1 -1  2 1   -2 1  0 2     -2 -5   ขั้นที่ 3 จะหา (A – 2B) -1 = -3 3  - 2  0 1   =  3 3 -  =  3 3  1 1  -1 2   1  1  -2 4   7   3 3    3 3    3 -11   3           -11 5  -11 5 =    1     7 3  = 57  7 3  3 9 3 - 2  -11  -  -7  -5  -3 -2   3 - -2   3 3  3  3   3  3     โจทยเมทริกซ แนวหา อินเวอรส ของ 2 × 2 3 4 TF-PAT4 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดให A และ B เปนเมทริกซที่สอดคลองกับ 2A – B = 3 6    -1 2 และ A + 2B =  4 -2  จงหาวา (AB)-1 คือเมทริกซในขอใดตอไปนี้   -1 0  1 1  - 1 0  1 -1  1)  1 -1   2)  4   0 -1  3)  4   1 -1  4) 0 -1   4       4 โจทยเมทริกซ แนวแกสมการเมทริกซSheLL2.30 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d เปนจํานวนจริง  a 5 b   a 6   4 5a + b ถา 3  c  = 5 - 1 3  +  c   d   แลว คาของ b + c เทากับเทาใด ตอบ........................... 2 d     2 2d KAiOU-Pb 2.7 (PAT1’มี.ค.53) ให x, y, z และ w สอดคลองกับสมการ  1 0   x -1  2y -1   1 0  -1 w   0 y  =  z 2  -1 w         คาของ 4w – 3z + 2y – x เทากับเทาใด ตอบ........................... โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (171)
  • 1 1  x yBRAN-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให A = 1 -1 และ B =  y z        -2 0 ถา A-1BA =  0 4  แลวคาของ xyz เทากับเทาใดตอไปนี้   1) –3 2) –1 3) 0 4) 1 x KMK-Pb 1.11 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให X =  y  สอดคลองกับสมการ AX = C z    1 2 1 1 -1 0     2เมื่อ A = -2 0 1  , B = 2 0 -1 และ C =  -2       0 1 2  1 4 0        3 a ถา (2A + B)X =  b  แลว a + b + c มีคาเทาใดตอไปนี้  c    1) 3 2) 6 3) 9 4) 12ทฤษฎีของ det ดีเทอรมินันต สูตร 3.1 !! ดีเทอรมินันตของเมทริกซของเมทริกซขนาด 2 × 2 A = [5] → ∴ det A = [5] = 5 Sup’k ระวัง!! B = [–7] → ∴ det B = [-7] = –7 สูตร 3.2 !! ดีเทอรมินันตของเมทริกซของเมทริกซขนาด 2 × 2 9 5  9 5 C =  4 2  → ∴ det C = 4 2 = 9 × 2 – 4 × 5 = 18 – 20 = –2   -2 -4  D =  5 7  → ∴ det D = -2 -4 = (-2) × 7 – (–4) × 5 = –14 + 20 = 6   5 7 a b c  a b c a b c สูตร 3.3 !! กําหนดให A =  d e f  จะได det A = d e f = d e f   g h i  g h i g h i   ∴ det A = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h – g ⋅ e ⋅ c – h ⋅ f ⋅ a – i ⋅ d ⋅ b ระวัง! สูตรคูณลงตอบเลย คูณขึ้นใสลบซอน ใชไดเฉพาะ 2 × 2, 3 × 3คณิตศาสตร (172) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยเมทริกซ แนวนิยาม detTF-PAT1 (B-PAT1’ต.ค.51) ให a และ b เปนจํานวนจริง 1 2 3  2 a 3 ถา X = 2 a 1  และ Y = 2 b 3  3 b 2    1 2 3   โดยที่ X และ Y ไมมีตัวผกผัน แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) –1 2) –2 3) –3 4) –4สูตรของ ไมเนอร, โคแฟกเตอร นิยาม 4.1 กําหนดใหเมทริกซ A = [ aij ]n×n โดยที่ aij ∈ R และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 ไมเนอรของ aij คือ ดีเทอรมินันตของเมทริกซที่เกิดจากการตัดแถวที่ i และ หลักที่ j ออกไป เขียนแทน ไมเนอรของ aij ดวย M(aij), Mij (A) นิยาม 4.2 กําหนดให A = [aij]n×n โดยที่ aij ∈ R และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 โคแฟกเตอรของ aij คือ (-1)i+j ⋅ Mij(A) เขียนแทน โคแฟกเตอรของ aij ดวย C(aij) , Cij(A) 2  0 4 0 2 0 4 0  1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2เชน A = 2   -3 2 4  → ∴ M13(A) =  2 -3 2 4 = 2 -3 4 = –5 1   0 -1 3 1 0 -1 3 1 0 3→∴ C13(A) = (–1)1+3M13(A) = (–1)4M13(A) = (–1)4(-5) = –5โจทยเมทริกซ แนวโคแฟกเตอร ไมเนอร 1 2 -1  TF-PAT2 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให A = 2 x 2  โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริง    2 1 y   ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว det(A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) –33 2) –30 3) 30 4) 33 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (173)
  • สูตรของdet ดีเทอรมินันตกําหนดให A, B และ C เปนเมทริกซจัตุรัสมิติ n × n และ k เปนคาคงที่ใดๆ det (AB) = det A ⋅ det B det (At) = det A det (–A) = det A , n = คู det (cA) = cn ⋅ (det A) det (A-1) = (det A)-1 det (–A) = – det A , n = คี่ det I = 1, det 0 = 0 det (An) = (det A)n det (A ± B) ≠ det A ± det Bโจทยเมทริกซ แนวใชสตรของเมทริกซ VS สูตรของ det ู DJton–Pb 15.1 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให A , B , C เปนเมทริกซ ซึ่ง det B ≠ 0 5 0 0    ถา A =  1 6 0  และ det (B–1CBt) = –4   2 8 7  จงหาคาของ det (CtAC) ตอบ ..............................KAiOU-Pb 2.6 (PAT1’มี.ค.53) ให A และ B เปนเมทริกซที่มขนาด 2 × 2 ี -4 -4  -5 -8 โดยที่ 2A – B =  5 6  และ A – 2B =  4 0  คาของ det (A4B–1) เทากับเทาใด    ตอบ........................... 0 x 0 -1     KMK-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.52) ถา det 2 0 2 2   = x 1 1 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้      3 1 5       -  1) 1 2) 2 3) 3 4) 4คณิตศาสตร (174) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยเมทริกซ แนว det (adj A)AVATAR-Pb 14.1 (แนวขอสอบตรงเขาแพทย กสพท’53) กําหนด A เปนเมทริกซ 3 × 3ที่มี det(A) = 2จงหา det(adj(adj(A))) ตอบ........................... Sup’k TipsPeach–Pb 2.34 (แนวPAT1’ต.ค.55) กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 × 3 โดยที่ det(A) ≠ 0 จงพิจารณาขอความตอไปนี้วา ถูก หรือ ผิด  ก. det(A3) = det(adj A) ข. ถา A2 = 2A แลว det A = 2 ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก. ผิด แต ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด 1 2 3 MARARine–Pb 46.34.1 กําหนดให A = -2 -3 2  จงหา det(adj(adj A))   1 2 1ตอบ ………………… 1 1 2     1 -1 1   Pb 34.2 ให A = 1 2 1  , B = 0 1 2    1 2 3      0 5 -3  (จงหาคาของ det adj(adj(–5A-1B adj(B2))) )ตอบ .............................. โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (175)
  • โจทยเมทริกซ แนวใชสูตรของเมทริกซบวกกัน MARARine–Pb 27.2 (PAT1’มี.ค.54) กําหนดให x เปนจํานวนเต็ม และ A = 2x 1  เปนเมทริกซ ที่มี det(A) = 3    x x   ถา B เปนเมทริกซมีมิติ 2 × 2 โดยที่ BA + BA-1 = 2I เมื่อ I เปนเมทริกซ เอกลักษณการคูณมิติ 2 × 2 แลวคาของ det(B) อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [1, 2] 2) [-1, 0] 3) [0, 1] 4) [-2, -3]TF-PAT3 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเมทริกซมิติ 2 × 2 โดยที่ det(A) = 4 และ I เปนเมทริกซเอกลักษณถา A – 3I เปนเมทริกซเอกฐาน แลว det(A + 3I) มีคาเทากับเทาใด 1) 12 2) 16 3) 20 4) 26BRAN-Pb2.36 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให X เปนเมทริกซที่สอดคลองกับสมการ 2 1 -2   3 2    1 -2   4 3  + 4X = 0 1 3   1 4      -3 1   แลวคาของ det(2Xt⋅(X + Xt)) เทากับเทาใด ตอบ........................... 0 1 1 1  1 -1 SheLL1.12 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให A = 0 1 , B = 0 0  และ C = 0 2       คาของ det(2A t + BC2 + BtC) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) –1 2) 0 3) 2 4) 6 a bSheLL2.31 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d, t เปนจํานวนจริง ถา A = c d  โดยที่ det(A) = t ≠ 0  และ det(A + t2A-1) = 0 แลวคาของ det(A – t2A-1) เทากับเทาใด ตอบ...........................คณิตศาสตร (176) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • เมทริกซผูกผันของ A, adj(A) t C11   C12 C13  นิยาม 2.1 เมทริกซผูกพันของ A คือ adj A นิยาม2.2 adj A = C21  C22 C23   กําหนดให A = [aij]n×n จะได adj A = [Cij]t C31   C32 C33   สูตร 2.3 A ⋅ adj A = adj A ⋅ A = (det A)I  1 2 4A-Pb 3.32 ให A = -3 8 0  จงหา A-1 ตอบ ........................      1 2 -1แนวคิด ขั้นที่ 1 หา det A = –70 ≠ 0 ซึ่งสามารถหาอินเวอรสได 1 ขั้นที่ 2 ใชสูตร A-1 = det A (adj A)  8 0 -3 0 -3 8  t    2 -1 - 1 -1 1 2   -8 -3 -14   -8 10 -32  ∴ A -1 = 1 - 2 4 1 4 - 1 2  = 1  10 -5 0  = 1  -8 -5 -12  -70  2 -1 1 -1 1 2  -70     -70     1 2 -32 -12 14  -14 0 14   2 4 – 1 4    8 0 -3 0 -3 8   โจทยเมทริกซ แนวหา อินเวอรส ของ 3×3TF-PAT6 (B-PAT1’ต.ค.51) กําหนดให A = [aij]3×3  1 2 4 Sup’k Tipsเปนเมทริกซ ที่มี A -1 = -3 8 0     1 2 -1   แลว จงหาคาของ a23 1) 0 2) 16 70 32 3) 70 4) 12 70 -2 2 3   TF-PAT7 (PAT1’มี.ค.52) ให At = 1 -1 0  จงหาสมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ A-1   0 1 4  1) – 2 3 2) –2 3) 2 3 4) 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (177)
  •  1 2 4KMK-Pb 2.11 (PAT1’ต.ค.52) ให A = -3 8 0     1 2 -1   สมาชิกแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A -1 เทากับเทาใด ตอบ...........................โจทยเมทริกซ แนวแกสมการหลายตัวแปรTF-PAT8 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง ที่ทําให a – b + 2c = 9 2a + b – c = 0 3a – 2b + c = 11 แลว a มีคาเทากับเทาใด 1) –4 2) –2 3) 2 4) 4TF-PAT9 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให x, y, z สอดคลองกับระบบสมการ 2x – 2y – z = –5 , x – 3y + z = -6 , –x + y – z = 4 ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 4) xy = –2 zTF-PAT10 (PAT1’ก.ค.52) กําหนดให a, b, c เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับระบบสมการ 2a – 2b – c = 1 , a – 3b + c = 7 , –a + b – c = –5 แลว คาของ 1 + 2 + 3 เทากับขอใดตอไปนี้ a b c 1) 0 2) 3 3) 6 4) 9คณิตศาสตร (178) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ตรีโกณประยุกต อยางยาก sin2A + cos2A = 1 สูตร 8.1! สูตรผลบวกหรือผลตางของมุม 1 + tan2A = sec2A 1 + cot2A = cosec2A cos(A + B) = cos A ⋅ cos B – sin A ⋅ sin B sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B cos(A – B) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B sin(A – B) = sin A ⋅ cos B – cos A ⋅ sin B tan(A + B) = 1tantan + ⋅tan BB A - A tan , tan(A – B) = 1 tantan - tan BB + A A ⋅ tan sin A cos B + cos A sin B sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B =พิสูจน tan(A + B) = cos(A + B) cos A cos B - sin A sin B cos A cos B cos A cos B - sin A sin B cos A cos B sin A cos B + cos A sin B sin A + sin B = cos A cos B cos A cos B = cos B A sincossin B = 1tantan + tan BB cos A cos B - sin A sin B cos A B A - A tan cos A cos B cos A cos B cos B - cos A cos B cot(A + B) = cot A ⋅ cot B - 1 , cot(A – B) = cot AB cot B + 1 cot B + cot A ⋅ cot - cot A o oFPAT-Pb81 (PAT1’ก.ค.52) จงหาวา sin 30o – cos 30o มีคาเทาใด sin 10 cos 10 1) –4 2) –2 3) 2 4) 4แนวคิด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (179)
  • SheLL1.13 (PAT1’ก.ค.53) ถา sin 15° และ cos 15° เปนคําตอบของสมการ x2 + ax + b = 0แลวคาของ a4 – b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -1 2) 1 3) 2 4) 1 + 3 2 ลัดKMK-Pb 2.5 (PAT1’ต.ค.52) ถา 1 – cot 20° = x แลว x มีคาเทาใด 1 - cot 25oตอบ...........................*KAiOU-Pb 2.5 (PAT1’มี.ค.53) คาของ cos 36o - cos 72o เทากับเทาใด sin 36o tan 18o + cos 36oตอบ...........................วิธีเร็วกวา ลัดวิธีจริง cos 36o - cos 72o = 2 sin 54o sin 18o sin 36o tan 18o + cos 36o sin 36o sin 18o - cos 36o cos 18o 2 sin 54o sin 18o cos 18o o o o = = 2 sin 54 sin 18 cos 18 sin 36o sin 18o + cos 36o cos 18o cos(36o - 18o ) = 2 sin 54o sin 18o cos 18o = 2 sin 54° sin 18° = 2 cos 36° cos 72° cos 18o = 2 sin 36o cos 36o cos 72o = sin 72o cos 72o = 2 sin 72o cos 72o sin 36o sin 36o 2 sin 36o = sin 144o = 1 = 0.5 2 sin 36o 2คณิตศาสตร (180) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สูตรมุม 2A sin 2A = 2 sinA ⋅ cosA cos 2A = cos2A – sin2A tan 2A = 2 ⋅ tan 2 A = 2 ⋅ tan 2 A 1 - tan A = 2 ⋅ cos2A – 1 1 + tan A = 1 – 2 ⋅ sin2A 2 A- 2 cot 2A = cot⋅ cot A 1 2 = 1 - tan 2A 1 + tan Aพิสูจนจาก สูตร sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B Sup’k ลัลลา แทนคา มุม B = มุม Aจะไดเปน sin(A + A) = sin A ⋅ cos A + cos A ⋅ sin A sin มุม 2A ฮืม เสียงที่บอกฉัน ........................ ∴ sin(2A) = 2 ⋅ sin A ⋅ cos Aจบ ความรักของเธอ ฮืม เสียงทีบอกฉัน วาเธอมีใจ ่ อีกสูตรนั้นคือ (2 ⋅ tanA) สวน .............................. มือนันของเธอ ทีแตะหนาผากฉัน วันที่ฉันกําลังตาย ้ ่ แนวบทกลับของมุม 2A sin2A = 1 - cos 2A 2 cos2A = 1 + cos 2A 2 tan2A = 1 - cos 2A 1 + cos 2A พิสูจน พิสูจน พิสูจน จาก cos 2A = 1 – 2 ⋅ sin2A จาก cos 2A = 2 ⋅ cos2A – 1 ∴ 2 ⋅ sin2A = 1 – cos 2A ∴ cos 2A + 1 = 2 ⋅ cos2A sin2A = 1 - cos 2A 1 + cos 2A = cos2A 2 2 สูตรมุม 3A และ บทกลับsin 3A = 3 ⋅ sinA – 4 ⋅ sin3Acos 3A = 4 ⋅ cos3A – 3 ⋅ cosAtan 3B = 3 ⋅ tan B - tan B 3 sin3A = 3 sin A 4 sin 3A - 1 - 3 ⋅ tan 2 B cos3A = 3 cos A 4 cos 3A + 3cot 3A = cot A - 3 ⋅ cot A 3 ⋅ cot 2 A - 1 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (181)
  • โจทยตรีโกณประยุกต แนวสูตรมุม สองเทา***BRAN-Pb2.32 (PAT1’ต.ค.53) Sup’k Tipsให (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°) ⋅ ... ⋅ (sin 89°) = 1n 2คาของ 4n เทากับเทาใด ตอบ.........................แนวคิดFPAT-Pb83 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 1 - tan θ = 1 + Acos 2θ sin θ แลว A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1 + tan θ cos θ 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6 44 o 44 o ∑ cos n ∑ sin n***SheLL2.29 (PAT1’ก.ค.53) คาของ n =1 – n =1 เทากับเทาใด ตอบ........................... 44 o 44 o ∑ sin n ∑ cos n n =1 n =1คณิตศาสตร (182) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยตรีโกณประยุกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ)BRAN-Pb2.33 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให a เปนจํานวนจริง และสอดคลองกับสมการ 5(sin a + cos a) + 2 sin a cos a = 0.04 Sup’k ลัดจงหาคาของ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a ตอบ..............วิธีจริงให x = sin a + cos a และ y = sin a cos aจากโจทยจะได 5x + 2y = 0.04 ...(1)เนื่องจาก x 2 = (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a = 1 + 2y = 1 + sin 2aฉะนั้น x2 = 1 + 2y ...(2)พิจารณา x2 = 1 + sin 2a จะได 0 ≤ x2 ≤ 2 ฉะนั้น - 2 ≤ x ≤ 2(1) + (2) , x2 + 5x = 1.04 x2 + 5x - 1.04 = 0 (x + 5.2)(x - 0.2) = 0 x = 0.2, -5.2แต - 2 ≤ x ≤ 2 จึงได x = 0.2 เทานั้นสงผลให y = 1 ((0.2) - 1) = -0.48 2เพราะวา sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a cos a + cos2 a) = x(1 - y) ∴ 125(sin 3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 125x(1 - y) + 75y = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 37 - 36 125(sin 3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 1KAiOU-Pb 1.7 (PAT1’มี.ค.53) กําหนดให x เปนจํานวนจริง ถา sin x + cos x = a และ sin x – cos x = bแลวคาของ sin 4x เทากับขอใดตอไปนี้ Sup’k Tips 1) 1 (a3b – ab3) 2 2) 1 (ab3 – a3b) 2 3) ab 3 – a3b 4) a3b – ab3KMK-Pb 2.6 (PAT1’ต.ค.52)ถา (sin θ + cos θ)2 = 3 เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π แลว arccos(tan 3θ) มีคาเทาใด 2 4ตอบ ...............FPAT-Pb82 (PAT1’มี.ค.52) ถา cos θ – sin θ = 35 แลวคาของ sin 2θ เทากับขอใดตอไปนี้ 4 1) 13 2) 139 4 3) 9 4) 13 9 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (183)
  • โจทยตรีโกณประยุกต แนว (sinθ + cosθ) VS (sinθ ⋅ cosθ) Peach–Pb 1.2 (แนวPAT1’ต.ค.55) สําหรับ จํานวนจริง θ ใดๆ ให a และ b เปนคามากที่สุดของ cos4θ – sin4θ และ 3⋅sin θ + 4⋅cos θ ตามลําดับ จงหาคาของ a + b ตอบ ................. Tips จากครูSup’k สูตร 22.1! สูตร ผลบวก ผลตาง → ผลคูณ sin A + sin B = 2⋅sin  A 2 B  ⋅cos  A 2 B  = 2⋅sin(half sum)⋅cos(half diff)  +     -    sin A – sin B = 2⋅cos  A 2 B  ⋅sin  A 2 B  = 2⋅cos(half sum)⋅sin(half diff)  +     -    cos A + cos B = 2⋅cos  A 2 B  ⋅cos  A 2 B  = 2⋅cos(half sum)⋅cos(half diff)  +     -    cos A – cos B = –2⋅sin  A 2 B  ⋅sin  A 2 B  = –2⋅sin(half sum)⋅sin(half  +     -    diff) สูตร 23.1! สูตร ผลคูณ → ผลบวก ผลตาง 2⋅sin A⋅cos B = sin(A + B) + sin(A – B) = sin(sum) + sin(diff) ก 2⋅cos A⋅sin B = sin(A + B) – sin(A – B) = sin(sum) – sin(diff) ก 2⋅cos A⋅cos B = cos(A + B) + cos(A – B) = cos(sum) + cos(diff) –2⋅sin A⋅sin B = cos(A + B) – cos(A – B) = cos(sum) – cos(diff) Peach–Pb 2.22 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพิจารณาความถูก ผิดของขอความตอไปนี้ ก. cos π + cos 35 + cos π = 1 5 π 2 Tips จากครูSup’k 7 π + tan 3 π = cosec π ข. tan 16 8 8 ขอใดตอไปนี้สรุปถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก แต ข. ผิด 3) ก ผิด แต ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดคณิตศาสตร (184) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • สูตร 35.2! ระวังเงื่อนไขของ x ดวย สูตร 35.2! ระวังเงื่อนไขของ x ดวย arcsin (–x) = – arcsin x arcsin 1 x = arccosec x arccos (–x) = π – arccos x arccos 1 x = arcsec x arctan (–x) = –arctan x arccot (–x) = π – arccot x arctan 1 x = arccot x arccosec (–x) = –arccosec x arccot 1 x = arctan x arcsec (–x) = π – arcsec x arccosec 1 = arcsin x x 1 arcsec x = arccos x สูตร 2.1 !! arcsin(sin x) = x เมื่อ – π ≤ x ≤ π 2 2 arccos(cos x) = x เมื่อ 0 ≤ x ≤ π arctan(tan x) = x เมื่อ – π < x < π 2 2 arccot(cot x) = x เมื่อ 0 < x < π arccosec(cosec x) = x เมื่อ x ∈ -π, 0  U  0, π   2      2    arcsec(sec x) = x เมื่อ x ∈ 0, π  U  π, π  2   2   x y สูตร 3.1 !! arctan x + arctan y = arctan 1 -+xy เมื่อ - π < arctan x + arctan y < π 2 2 x y สูตร 3.2 !! arctan x + arctan y = arctan 1 -+xy + π เมื่อ π < arctan x + arctan y 2 x y สูตร 3.3 !! arctan x + arctan y = 1 -+xy – π เมื่อ arctan x + arctan y < - π 2โจทยตรีโกณประยุกต แนวอินเวอรสตรีโกณ tan  arccot 5 - arccot 1 + arctan 6    1 3 7  ตอบ ............................... BRAN-Pb2.31 (PAT1’ต.ค.53) จงหา  5 + arctan 1  sin arcsin 13  7 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (185)
  • Peach–Pb 1.26 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงหาคาของ sec2  2 ⋅ arctan 1 + arctan 7    3 1  ตอบ ...............................   2  MEP–Pb 1.3 (แนวสามัญ’ป55) cos arcsin sec (2 arctan 2 )   มีคาเทากับเทาใด  11         ตอบ ............................... Sup’k Tips I Sup’k Tips IIโจทยตรีโกณประยุกต แนวสมการอินเวอรสตรีโกณ Peach–Pb 2.39 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให arcsec x = 2 ⋅ arccos 2 - arcsin 1 5 17 π  แลวจงหาคาของ cot  2 + arcsec x    1) - 13 9 2) 913 13 3) - 16 13 4) 16คณิตศาสตร (186) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • FPAT-Pb87 (B-PAT1’ต.ค.51) จํานวนคําตอบที่แตกตางกันของสมการ arcsin x = 2 arccos x มีกี่คา 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4FPAT-Pb89 (PAT1’ก.ค.52) ถา arcsin(5x) + arcsin(x) = π แลว tan(arcsin x) มีคาเทาใด 2  1 1) 5 2) 1 5 1 3) 3 4) 1 3 πFPAT-Pb88 (PAT1’มี.ค.52) ให –1 ≤ x ≤ 1 เปนจํานวนจริง ซึ่ง arccos x – arcsin x = 2552  π แลวคาของ sin  2552  เทากับขอใดตอไปนี้   1) 2x 2) 1 – 2x2 3) 2x2 – 1 4) –2xSheLL1.6 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจํานวนจริง ถา arcsin x = π 4  π แลวคาของ sin  15 + arccos(x2 )  อยูในชวงใดตอไปนี้     1)  0, 1    2  2)  1, 1  2  2  3)  1 , 3  4)  23 , 1        2 2    KAiOU-Pb 2.4 (PAT1’มี.ค.53) ให α และ β เปนมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก        โดยที่ tan α = a ถา cos  arcsin b  a   + sin arccos   a   =1   a 2 + b2     a 2 + b2  แลว sin β มีคาเทากับเทาใด ตอบ.................................. โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (187)
  • สูตร 42.1! สูตรของพื้นที่สามเหลี่ยม A พื้นที่ ∆ABC = 1 a ⋅ b ⋅ sin 2 C ˆ b ซม. c ซม. พื้นที่ ∆ABC = 1 b ⋅ c ⋅ sin 2 A ˆ พื้นที่ ∆ABC = 1 a ⋅ c ⋅ sin 2 B ˆ C a ซม. B สูตร 42.21! กฎของ sin A กฎของ sin b ซม. c ซม. a = b = c sin A sin B sin C ˆ ˆ ˆ C a ซม. B สูตร 42.3! กฎของ cos A กฎของ cos b ซม. c ซม. a2 = b2 + c2 – 2 ⋅ bc ⋅ cos A b2 = a2 + c2 – 2 ⋅ ac ⋅ cos B c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ ab ⋅ cos C C a ซม. Bคณิตศาสตร (188) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยตรีโกณประยุกต แนวกฎของ sin ABRAN-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.53) ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ดังรูปถา ABC = 30°, BAC = 135° ˆ ˆและ AD และ AE แบง BAC ˆออกเปน 3 สวนเทาๆ กัน แลว EC มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ BC B D E C 1) 1 2) 3 3 3) 1 4) 2 2แนวคิดใน ∆ABCจะได ACB = 180° – 135° – 30° = 15° ˆ Aโดยกฎของไซน 45° 45°ได sin 30o = sin 135o AC BC 30° 120° 15° 1 1 B D E C 2(AC) = 2 (BC) BC = 2 (AC) oใน ∆ACE จะได CAE = 135 = 45° ˆ 3และ AEC = 180° – 45° – 15° = 120° ˆโดยกฎของไซนได sin 120o = sinEC45o AC 3 = 1 2(AC) 2 (EC) EC = 2 (AC) 3 EC = BC → ∴ EC = 1 BC 3 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (189)
  • โจทยตรีโกณประยุกตเพิ่มเติม แนวกฎของ sinFPAT-Pb91 (PAT1’มี.ค.52) กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เทากับ 60°, BC = 6 และ AC = 1คาของ cos(2B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 14 2) 1 2 3) 23 4) 34FPAT-Pb92 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม และ D เปนจุดบนดาน BC ที่ทําใหBAD = CAD ถา CD = 2 แลวคาของ sin B เทากับขอใดตอไปนี้ ˆ ˆ BD ˆ sin C ˆ 1) 21 2) 1 3) 3 4) 2 2โจทยตรีโกณประยุกตเพิ่มเติม แนวกฎของ cos Duem–Pb 2.8 (แนวPAT1’ธ.ค.54) กําหนดใหรูปสามเหลี่ยม ABC มีดานตรงขามมุม A, B, C ยาว a, b, c ตามลําดับ และ (sin A - sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C จงหาคาของ 3 cosec2 B + 3 sec2 B Tips จากครูSup’k ตอบ ...................Peach–Pb 2.8 (แนวPAT1’ต.ค.55) ใหสามเหลี่ยมABC รูปหนึงมีดานตรงขามมุม A, B, C ยาว a, b, c หนวย ่ 1 + 1 = 3ตามลําดับ ถา a + c b + c a + b + c แลว sin C มีคาเทากับเทาใดตอไปนี้ 1) 1 2) 22 3) 2 3 4) 1 2SheLL1.7 (PAT1’ก.ค.53) ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆถา a, b และ c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม B และมุม C ตามลําดับแลว 1 cos A + 1 cos B + 1 cos c เทากับขอใดตอไปนี้ a b c 2 b2 2 1) a +2abc+ c b+ 2 2) (a + abc c) b+ 2 3) (a +2abc c) 2 b2 2 4) a + abc + cKMK-Pb 1.7 (PAT1’ต.ค.52) กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลียมที่มีดาน AB ยาว 2 หนวย ่ถา BC3 + AC3 = 2(BC) + 2(AC) แลว cot C มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 1 2 3) 1 4) 3 3คณิตศาสตร (190) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • ลําดับ และ อนุกรม สูตร ลําดับเลขคณิต สูตร ลําดับเรขาคณิต an = a1 + (n – 1) ⋅ d an = a1 ⋅ rn – 1 เมื่อ d คือ ผลตางรวมคงที่ เมื่อ d คือ ผลตางรวมคงที่ อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากลําดับเลขคณิต กําหนดให Sn คือ ผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต Sn = n [2a1 + (n – 1)d] 2 Sn = n [a1 + an] = n ⋅ [a2 + an-1] = ... 2 2 สูตร 6.1!! อนุกรมเรขาคณิต n พจน สูตร 6.1!! อนุกรมเรขาคณิต อนันตพจน a1 (1 - r n ) a1 Sn = (1 - r) Sn = 1 - r เมื่อ –1 < r < 1โจทยลําดับเลขคณิต แนวใชสตรพื้นฐาน VS หารลงตัว, หารไมลงตัว ูTF-PAT33 (PAT1’ก.ค.52) จํานวนเต็มตั้งแต 100 ถึง 999 ที่หารดวย 2 ลงตัว แตหารดวย 3 ไมลงตัวมีทั้งหมดกี่จํานวน 1) 260 2) 293 3) 300 4) 313โจทยลําดับเลขคณิต แนวใชสตร an = Sn - Sn-1 ู*SheLL2.35 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให β เปนจํานวนจริง และให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง βn - 7นิยามโดย an = n + 2 สําหรับ n = 1, 2, 3, ...ถาผลบวก 9 พจนแรกมีคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลําดับ {an} เปนจํานวนเทากับ a108แลว nlim an มีคาเทากับเทาใด ตอบ............................. →∞ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (191)
  • โจทยปญหาเชาวนลําดับเลขคณิต แนวตัวเลขในตาราง SheLL1.25 (PAT1’ก.ค.53) พิจารณาการจัดเรียงลําดับของจํานวนคี่ 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางตอไปนี้ แถวที่ 1 1 แถวที่ 2 3 5 แถวที่ 3 7 9 11 แถวที่ 4 13 15 17 19 แถวที่ 5 ... ... ... ... ... ... ... ...จากตารางจะเห็นวา จํานวน 15 อยูในตําแหนงที่ 2 (จากซาย) ของแถวที่ 4อยากทราบวา จํานวน 361 จะอยูที่ตําแหนงใดและในแถวที่เทาใด 1) ตําแหนงที่ 9 (จากซาย) ของแถวที่ 18 2) ตําแหนงที่ 10 (จากซาย) ของแถวที่ 19 3) ตําแหนงที่ 11 (จากซาย) ของแถวที่ 20 4) ตําแหนงที่ 12 (จากซาย) ของแถวที่ 21โจทยลําดับเลขคณิต แนวใชสตรพื้นฐานแนวใหม ูTF-PAT36 (PAT1’ก.ค.52) ถา an เปนลําดับเลขคณิต ที่สอดคลองกับ nlim  an n a1  = 5 →∞   -  และ a9 + a5 = 100 แลวคาของ a100 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 495 2) 515 3) 530 4) ตัวเลือก 1) ถึง 3) ไมมีตัวเลือกใดถูกตองเลย  2 2KMK-Pb 2.15 (PAT1’ต.ค.52) ถา an เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง nlim  an +1n- an  = 4 →∞     แลว a 17 - a 9 มีคาเทาใด ตอบ......................... 2BRAN-Pb2.38 (PAT1’ต.ค.53) บทนิยาม ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง เรียกพจน an วาพจนคู ถา n เปนจํานวนคู และ เรียกพจน an วาพจนคี่ ถา n เปนจํานวนคี่กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยที่มีจํานวนพจนเปนจํานวนคูและผลบวกของพจนคี่ทั้งหมด เทากับ 36และผลบวกของพจนคูทั้งหมดเทากับ 56 ถาพจนสุดทายมากกวาพจนแรกเปนจํานวนเทากับ 38 แลวลําดับเลขคณิต {an} นี้ มีทั้งหมดกี่พจน ตอบ.........................คณิตศาสตร (192) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยลําดับเรขาคณิต แนวพื้นฐาน Peach–Pb 1.4 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให f(x) = x3 – 26x2 + bx – 216 เมื่อ b เปนจํานวนจริง ถา a1, a2, a3 เปนจํานวนจริงที่เรียงกันเปนลําดับเรขาคณิต และเปนรากของสมการ f(x) = 0 แลวจงหาคาของ f′(1) ตอบ ....................... Tips จากครูSup’k แนวคิดSheLL1.17 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให x, y, z เปนลําดับเรขาคณิต มีอัตราสวนรวมเทากับ r และ x ≠ y ถาx, 2y, 3z เปนลําดับเลขคณิต แลวคา r เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 4 2) 1 3 3) 12 4) 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (193)
  • โจทยลําดับเรขาคณิต แนวเทคนิคสมมติพจนBRAN-Pb2.49 (PAT1’ต.ค.53) ถาผลคูณของลําดับเรขาคณิต 3 จํานวนที่เรียงติดกัน เทากับ 343 และผลบวกของทั้งสามจํานวนนี้เทากับ 57 แลวคามากที่สุดในบรรดา 3 จํานวนนี้ เทากับเทาใดตอบ.......................โจทยลําดับเรขาคณิต แนวใชสูตรพื้นฐานแนวใหม an*TF-PAT38(PAT1’มี.ค.52) ให an เปนลําดับที่สอดคลองกับ a + 2 = 2 สําหรับทุกจํานวนนับ n n 10 2552ถา ∑ a n = 31 แลว ∑ a n เทากับขอใดตอไปนี้ n =1 n =1 1) 21275 – 1 2) 21276 – 1 3) 22551 – 1 4) 22552 – 1โจทยลําดับอนุกรมเลขคณิต แนวใชสูตรหลากหลายBRAN-Pb1.17 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให {an} เปนลําดับเลขคณิต โดยมีสมบัติ ดังนี้ (ก) a15 – a13 = 3 (ข) ผลบวก m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 325 (ค) ผลบวก 4m พจนแรกของลําดับเลขคณิตนี้ เทากับ 4900 แลวพจน a2m เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 61 2 2) 1212 3) 125 2 4) 119โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวใชสูตรพื้นฐาน VS ลิมิตSheLL2.40 (PAT1’ก.ค.53) ให k เปนคาคงที่ 5 4 n-1และถา nlim k(n + n) + 3n + 2 = 15 + 6 + 12 + ... + 15  5  + ... 5 2 →∞ (n + 2)5  แลว k มีคาเทาใด ตอบ....................... 2 ∞  nTF-PAT40 (PAT1’มี.ค.52) ถา nlim n 2b + 1 = 1 แลวจงหาผลบวกของอนุกรม ∑  2 ab 2  →∞ 2n a - 1   n =1  a + b  1) 1 3 2) 23 3) 1 4) หาคาไมได  n- *TF-PAT42 (B-PAT1’ต.ค.51) คาของ nlim n 1 1  1 + 3 + 7 + ... + 2 n 1  เทากับเทาใด + 2 4 8   →∞  2   1) 1 2) 2 3) 0 4) หาคาไมไดคณิตศาสตร (194) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวอนุกรม VS ตรีโกณ Peach–Pb 1.19 (แนวPAT1’ต.ค.55) สูตร ให an = sin  n ⋅ π - π  - cos n ⋅ π สําหรับ n = 1, 2, 3, ...   2 และ bn = 6 ⋅ cos  2n ⋅ π - π  สําหรับ n = 1, 2, 3, ...   3 a 1  a2  2  a 3  3   +   n  + ... +  a n  + ... แลวจงหาคาของ b +  b   b  b  1  2  3  n ตอบ .................................BRAN-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.53) ให T(x) = sin x – cos2 x + sin3 x – cos4 x + sin5 x – cos6 x + ...แลวคาของ 3T  π  เทากับขอใดตอไปนี้   3 1) 4 3 – 1 2) 5 3 – 1 3) 6 3 – 1 4) 7 3 – 1โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวอนุกรมเรขา ผสม อนุกรมเรขา ∞  TF-PAT39 (B-PATต.ค.51) ผลบวกของอนุกรม ∑  4  + 2n  มีคาเทาใด  n = 1  2n + 1 3n + 2  1) 13 18 40 2) 18 33 3) 27 4) 56 27 n nKAiOU-Pb 1.17 (PAT1’มี.ค.53) จงหาผลบวกของอนุกรม 3 + 11 + 16 + ... + 3 + n2-1 - 2 + ... 4 33 4 1) 20 3 2) 29 3 3) 31 3 4) 40 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (195)
  • โจทยอนุกรมเรขาคณิตอนันต แนวใชสูตรพื้นฐาน แบบ เซอรไพส ∞*TF-PAT45 (PAT1’มี.ค.52) ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต ซึ่ง ∑ a n = 4 แลวคามากที่สุดที่ n =1เปนไปไดของ a2 เทากับใดตอไปนี้ 1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มีคามากไดอยางไมมีขีดจํากัดโจทยลําดับเวียนบังเกิด แนวแทนคาดูแนวโนมBRAN-Pb2.39 (PAT1’ต.ค.53) ให {bn} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่ 1+ bb1 = –3 และ bn+1 = 1 - b n สําหรับ n = 1, 2, 3, ... คาของ b1000 เทากับเทาใด ตอบ....................... nโจทยลําดับเวียนบังเกิด แนวใชเทคนิคผลตาง*BRAN-Pb2.30 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจํานวนเต็ม และให f : I → I เปนฟงกชันโดยที่ f(n + 1) = f(n) + 3n + 2 สําหรับ n ∈ Iถา f(–100) = 15000 แลว f(0) เทากับเทาใด ตอบ.......................โจทยลําดับเวียนบังเกิด แนวอนุกรมใหมๆ ไมเคยเห็น**BRAN-Pb2.37 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง โดยที่a1 = 2 และ an =  n - 1  (a1 + a2 + ... + an-1) สําหรับ n = 2, 3, ...  + 1 n แลวคาของ nlim a + a n ... + a เทากับเทาใด ตอบ....................... →∞ 1 2+ n**SheLL2.34 (PAT1’ก.ค.53) ให {an} เปนลําดับของจํานวนจริงโดยที่ a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สําหรับ n = 1, 2, 3, ...ถา a1 = 100 แลว nlim n2an มีคาเทากับเทาใด →∞ ตอบ.......................คณิตศาสตร (196) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • โจทยอนุกรมสูตร ∑ in สูตรหลัก 3 สูตร n สูตร3.1!! ∑ i = n(n2+ 1) เชน 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n2+ 1) i =1 สูตรหลัก 3 สูตร n 2 สูตร3.2!! ∑i = n(n + 1)(2n + 1) 6 เชน 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 i =1 สูตรหลัก 3 สูตร n 3 2 2 สูตร3.3!! ∑i =  n(n 2+ 1)      เชน 13 + 23 + 33 + ... + n3 =  n(n 2+ 1)      i =1*NichTor–Pb4.1 (ดักแนว PAT1’55) จงหาจํานวนเต็มบวก n ที่ทําให 13 + 23 + 33 + 43 + 5 3 + ... + n 3 = lim 105x5 + 25x + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + ... + n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) x → ∞ 136x5 - 39x3 - 42x 2 - 1ตอบ..............................วิธีลัด Sup’k TipsNichTor–Pb4.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) จงหาจํานวนเต็มบวก n ที่ทําให12 + 22 + 32 + 42 + 5 2 + ... + n 2 = 231 ตอบ.............................. 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) 238 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (197)
  • NichTor–Pb4.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) จงหาจํานวนเต็มบวก n ที่ทําให12 + 22 + 32 + 42 + 5 2 + ... + n 2 = 231 ตอบ.............................. 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) 238NichTor–Pb4.2 ตอบ 49วิธีลัด ฟงที่ ครูSup’k สอนในหอประชุม ติว Brand’s Summer Campวิธีจริง ขั้นที่ 1 เพราะวา 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 n และ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) = ∑ i(i + 1) i =1 n 2 = ∑ (i + i) i =1 n 2 n = ∑i + ∑i i =1 i =1 = n(n + 1)(2n + 1) + n(n2+ 1) 6 = n(n2+ 1)  2n3+ 1 + 1      = n(n + 1)(n + 2) 3ขั้นที่ 2 จากสมการ 12 + 22 + 32 + 42 + 5 2 + ... + n 2 231 = 238 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) จะได 3n(n + 1)(2n + 1) 231 = 238 6n(n + 1)(n + 2) (2n + 1) 231 = 238 2 ⋅ (n + 2) 238 ⋅ (2n + 1) = 231 ⋅ 2 ⋅ (n + 2) 476n + 238 = 462n + 924 14n = 686 ∴ n = 49คณิตศาสตร (198) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • KAiOU-Pb 2.10 (PAT1’มี.ค.53) ถา {an} เปนลําดับของจํานวนจริงที่ an = 2 + 4 + 6 2+ ... + 2n nสําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n แลว nlim an มีคาเทาใด ตอบ....................... →∞Peach–Pb 2.27 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให an = 2 + 4 + 6 + … + 2n สําหรับ n = 1, 2, 3, ...  bn = a1 + a2 + a3 + … + an สําหรับ n = 1, 2, 3, ... จงหาคาของ nlim  b + b + b4 + ... + nb+ 1  2 3 →∞  1  2 3 n  ตอบ .........................SheLL1.23 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดอนุกรมตอไปนี้ 1000 20 100 k ∞ A = ∑ (-1) k , B = ∑ k 2 , C = ∑ k , D = ∑ 2 1    k =1 k =3 k =1 k =1  2 คาของ A + B + C + D เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922  TF-PAT41 (PAT1’ก.ค.52) ถา L = nlim  nk   มีคาเปนจํานวนจริงบวก แลว จงหา L →∞   1 + 8 + 27 + ... + n3  1) 1 2) 2 3) 4 4) 8  3KMK-Pb 2.16 (PAT1’ต.ค.52) nlim  3n + 12n + 27n + ... +33n →∞    มีคาเทาใด  1 + 8 + 27 + ... + n ตอบ.......................โจทยอนุกรมอนันตเทเลสโคปก แนวสวนกลับของผลคูณเลขเรียงติดกัน VS แนวใชเทคนิคผลตาง ∞TF-PAT43 (B-PAT1’ต.ค.51) ผลบวกของอนุกรม ∑ 2 1 มีคาเทาใด n =3 n - 4 1) 1 4 2) 25 12 3) 25 48 4) หาคาไมไดBRAN-Pb2.41 (PAT1’ต.ค.53) ให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สําหรับ k = 1, 2, 3, ...  คาของ nlim  1  →∞  S 1 + 1 + 1 + ... + 1  เทากับเทาใด ตอบ.......................   S2 S3 Sn   โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (199)
  • ∞ ∞**TF-PAT44 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = ∑ 4 1 2 แลว ∑ 12 มีคาเทากับเทาใด n =2 n - n n =2 n 1) 3 + S 4 2) 5 + S 4 3) 3 – S 4 4) 5 – S 4โจทยอนุกรมอนันตเทเลสโคปก แนวรูด VS แนวใชเทคนิคผลตาง n  **KAiOU-Pb 2.11 (PAT1’มี.ค.53) ให Sn = ∑   1  เมื่อ n = 1, 2, 3, ... k =1 k (k + 1) + k k + 1 แลวคาของ nlim Sn เทากับเทาใด ตอบ....................... →∞ 9999*BRAN-Pb2.40 (PAT1’ต.ค.53) คาของ ∑ 1 เทากับเทาใด n =1 ( n+ n + 1 )( 4 n + 4 n + 1 )ตอบ.......................โจทยอนุกรมอนันตเทเลสโคปก แนวโจทยใหมๆ ไมเคยเห็น VS แนวใชเทคนิคผลตาง 1 1 2 2**SheLL2.39 (PAT1’ก.ค.53) กําหนดให an = 1 +  1 + n  + 1 +  1 - n       สําหรับ n = 1, 2, 3, ...คาของ a1 + a1 + a1 + ... + a1 เทากับเทาใด ตอบ....................... 1 2 3 20**BRAN-Pb1.16 (PAT1’ต.ค.53) กําหนดให {an} เปนลําดับของจํานวนจริง n k2โดยที่ an = ∑ (2k - 1)(2k + 1) สําหรับ n = 1, 2, 3, ... k =1 lim 16 a เทากับขอใดตอไปนี้ n →∞ n n 1) 4 2) 163 3) 8 4) 16ลําดับ และ อนุกรม : แนว check นิยาม convergent, divergent*KMK-Pb 1.14 (PAT1’ต.ค.52) พิจารณาขอความตอไปนี้ ∞ ก. ถาลําดับ an ลูเขา แลว อนุกรม ∑ a n ลูเขา n =1 ∞ ∞   ข. ถาอนุกรม ∑ a n ลูเขา แลว อนุกรม ∑  1 + an  ลูเขา  n  n =1 n =1  2  ขอใดตอไปนีเปนจริง ้ 1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิดคณิตศาสตร (200) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • เก็งขอสอบ โดย ครูSup’kFORSU-Pb 1.1 ในตารางขางลางนี้ ถาผลบวกของแตละแถว ผลบวกของแตละหลักและผลบวกของแนวทแยงมุมทั้งสองเทากันหมด จงหาคาของ a + b + c + d + e + f a b 6 c d e f 7 2ตอบ ..............................FORSU-Pb 1.2 ถา x เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับสมการ log(x + 1) = 3 log 2และ y เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับสมการ 2y = 1 แลว x + y มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 8 1) 1 2) 2 3) 4 4) 5FORSU-Pb 1.3 กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ 3x = 2x2 และ B = {2x|x ∈ A}แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต B มีคาเทากับเทาใดตอบ ..............................FORSU-Pb 1.4 กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ถา (p ∧ q) → (r ∨ s) มีคาความจริงเปนเท็จแลวประพจนในขอใดตอไปนี้มีความจริงเปนจริง 1) ~(p → s) 2) p ∧ r 3) ~(r → q) 4) q ↔ sFORSU-Pb 1.5 ใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนคี่ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. ∀x∃y[x + 3y = 4] 2. ∀x∀y[2|x-y|เปนจํานวนคู] ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ขอ 1. เปนจริง และ ขอ 2. เปนจริง 2) ขอ 1. เปนจริง และ ขอ 2. เปนเท็จ 3) ขอ 1. เปนเท็จ และ ขอ 2. เปนจริง 4) ขอ 1. เปนเท็จ และ ขอ 2. เปนเท็จ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (201)
  • FORSU-Pb 1.6 กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 -|1 2xx| ≥ 0 ขอใดตอไปนีถูก 3- - ้ 1) A′ I [2, 3) ≠ ∅ 2) A′ ⊂ (-∞, 0) 3) A I (1, 2) = ∅ 4) A ⊂ (1, ∞)FORSU-Pb 1.7 จงหาผลบวกของสมาชิกใน Aเมื่อ A = {a ∈ I+|a ≥ 3 และ a - 2 เปนตัวประกอบของ 3a2 - 2a + 10}ตอบ ..............................FORSU-Pb 1.8 ให C1, C2 และ C เปนวงกลมที่มีสมการ ดังนี้ C1 : x2 + y2 - 2x + 2y - 7 = 0 C2 : x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 C : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ถา C ผานจุดตัดของ C1 กับ C2 และผานจุด (0, 0) จงหา D + E + Fตอบ ..............................FORSU-Pb 1.9 ให C เปนวงกลมที่มีสมการเปน x2 + y2 = 4 และ l เปนเสนสัมผัสวงกลม C ที่จุดในจตุภาค(Quadrant) ที่ 1 และ l ผานจุด (5, 0) จงหาความชันของ lตอบ .............................. 2 2FORSU-Pb 1.10 ถา F1 และ F2 เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลา (y -520) - (x +411) = 1แลว สวนของเสนตรง F1F2 มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 หนวย 2) 2 หนวย 3) 3 หนวย 4) 5 หนวยคณิตศาสตร (202) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • FORSU-Pb 1.11 ให m เปนคําตอบของสมการ f(m) = 1 เมื่อ f(x) = 2 x 4 x + 3x + 1แลว จงหา 4 ⋅ f(m2) เทากับเทาไรตอบ ..............................FORSU-Pb 1.12 ถา f = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (5, 2)} g = {(1, 2), (2, 3), (4, 1), (5, 4)} และ h = {(2, 4), (3, 1), (4, 2), (5, 1)} แลว (fog) + h เทากับขอใดตอไปนี้ 1) {(2, 5), (4, 5)} 2) {(2, 5), (4, 4)} 3) {(2, 3), (4, 5)} 4) {(2, 11), (3, 2), (4, 3), (5, 7)}FORSU-Pb 1.13 ถา x และ y เปนจํานวนจริงซึ่ง arcsin(x + y) + arccos(x - y) = π แลวขอใดตอไปนี้ถก ู 1 1) x2 + y2 = 2 2) x2 + y2 = 1 3) x2 - y2 = 1 2 4) x2 - y2 = 1FORSU-Pb 1.14 กําหนดให A เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด n × n และ a ≠ 0 เมื่อ 0 แทนเมทริกซศูนย ถา A2 - 2A = 0 แลวจงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. A เปนเมทริกซไมเอกฐาน 2. det(A) เปนจํานวนเต็มคู ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ขอ 1. เปนจริง และ ขอ 2. เปนจริง 2) ขอ 1. เปนจริง และ ขอ 2. เปนเท็จ 3) ขอ 1. เปนเท็จ และ ขอ 2. เปนจริง 4) ขอ 1. เปนเท็จ และ ขอ 2. เปนเท็จFORSU-Pb 1.15 ให an+1 = 1 1 , n = 1, 2, 3, ..., 2009 และ a1 = 1 1+ a nจงหา a1a2 + a2a3 + ... + a2009a2010ตอบ .............................. โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (203)
  • FORSU-Pb 1.16 ให a เปนจํานวนเต็มบวกกําหนดให f(1) = a และ f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n) เมื่อ n > 1จงหา a ทีนอยที่สุดที่ทําให f(100) เปนจํานวนเต็ม ่ตอบ ..............................*FORSU–Pb 2.17 tan20 sin20° aถา sin20° + ° + 4 ° + sin80° = b sin20° + c cos20° แลว a + b - c มีคาเทาใด sin40ตอบ ..............................*FORSU-Pb 2.18กําหนดให C = arcsin  5  + arccot  5  - arctan  19  3     3  8     1   1 ถา A เปนเซตคําตอบของสมการ arccot  2x  + arccot  3x  = C    แลวผลคูณของสมาชิกใน A เทากับขอใดตอไปนี้ 1) - 1 4 2) 14 1 3) - 6 1 4) 6 6*NichTor–Pb2.18 ถา 1 + 1 + x + 15 2 + 28 3 + ... = 27 แลว x มีคาเทาใด (1 + x) (1 + x) 4ตอบ ..............................Peachkun–Pb 3.19 สับเซต A ของ ในขอใดตอไปนี้ที่ทําใหประพจน∀x ∈ A[x2(x4 - 3x2 + 1) < 3] มีคาความจริงเปนจริง 1) (-3, -2) 2) (-2, -1) 3) (-1, 0) 4) (1, 2)คณิตศาสตร (204) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • Peachkun–Pb 3.20 ถา A = {x ||3 - 2x| - |3x - 7| ≥ 0} และ A = [a, b]แลวจงหาคาของ a2 + 5bตอบ .............................. 2 2Peachkun–Pb 3.21 ถาจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี x2 + y7 = 1 เปนจุดเดียวกันกับจุดโฟกัสทั้งสองของ a 2 2ไฮเพอรโบลา 144 - y = 25 แลว a2 มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้ x 81 1 1) 9 2) 16 3) 344 25 4) 1432Peachkun–Pb 3.22 ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ 32x+1 + 2x+1 = 6x + 2 ⋅ (3x+1) a ⋅bโดยที่ a ≠ b แลว  3  มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้   2 1) 61 2) 1 3 3) 12 4) 2Peachkun–Pb 3.23 ถา At = 1 - a 1-aa  เมื่อ a เปนจํานวนจริง และ I = 0 0   a +  1        1 แลวจงหา 3 det(A - 2 ⋅ I) ⋅ det(A - 3 ⋅ I) ⋅ det(A - 5 ⋅ I) ⋅ det(A - 7 ⋅ I) 1) 3 48 - 13a 2) 3 17a 3) 3 17 4) 3 48 5) 3 (a - 2 )(a - 3 )(a - 5 )(a - 7 ) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (205)
  • *Peachkun–Pb 3.24 จงหาคาของ 1 + 1 + 1 cos2 10° sin2 20° sin2 40°ตอบ ..............................Peachkun–Pb 3.25 กําหนดใหขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย a1, a2, a3, ..., a91 n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกคู ถา an = 3 + 4n เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกคี่ มัธยฐานของขอมูลชุดนี้มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 63 2) 68 3) 71 4) 74 5) 76 nPeachkun–Pb 3.26 กําหนดให an = ∑ k =1 k(k + 1)(k + 2) n 3nb n + n 2และ bn = ∑ k =1 (2k - 1)2 จงหาคาของ lim an n →∞ตอบ ..............................*Peachkun–Pb 3.27 นิยาม ลําดับ (an) โดย a1 = 1 และสําหรับจํานวนเต็ม n ≥ 1ให an และ an+1 เปนจํานวนจริงซึ่งทําใหสมการในตัวแปร x 2 arcsin(x + an+1) = 2π - arccos(x + an) ∞มีคําตอบที่เปนจํานวนจริง จงหาคาของ ∑ a a1 n =1 n n + 1ตอบ ..............................คณิตศาสตร (206) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013
  • เฉลยคําตอบ ชีทติวแบรนดซัมเมอรแคมป ในสวนของครู Sup’kSheLL2.46 ตอบ x = 3 SheLL2.47 ตอบ x = 9 SheLL2.4 ตอบ x = 3BRAN–Pb1.25 ตอบ 1) TF–PAT119 ตอบ 4) TF–PAT120 ตอบ 2)TF–PAT123 ตอบ 3) TF–PAT124 ตอบ 3) BRAN–Pb1.20 ตอบ 4)KAiOU–Pb 1.24 ตอบ 4) SheLL2.49 ตอบ 208 QET-G–Pb 26.1 ตอบ 4)QET-G–Pb 23.2 ตอบ 1) QET-G–Pb 23.3 ตอบ 4) KAiOU–Pb 1.22 ตอบ 3)SheLL1.24 ตอบ 4) DiAMK–Pb 1.25 ตอบ 2) SheLL1.10 ตอบ 1)DiAMK–Pb 1.2 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.11 ตอบ 2) Sup’k–Pb2.29.1 ตอบ 2 ตัวSup’k–Pb2.29.2 ตอบ 2 ตัว FPAT–Pb14 ตอบ 2) FPAT–Pb1 ตอบ 1)FPAT–Pb3 ตอบ 2) SheLL1.11 ตอบ 2) AVATAR–Pb 5.1 ตอบ 2)KMK–Pb 1.8 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.12 ตอบ 2) FPAT–Pb4 ตอบ 3)BRAN–Pb2.27 ตอบ 13 KAiOU–Pb 2.2 ตอบ 5 SheLL2.27 ตอบ 2SheLL1.14 ตอบ 2) FPAT–Pb9 ตอบ 1) FPAT–Pb8 ตอบ 2)KAiOU–Pb 1.10 ตอบ 1) FPAT–Pb7 ตอบ 4) BRAN–Pb1.11 ตอบ 1)FPAT–Pb11 ตอบ 3) KMK–Pb 2.10 ตอบ 4 FPAT–Pb12 ตอบ 3)KMK–Pb 2.9 ตอบ 6 SheLL1.1 ตอบ 2) KMK–Pb 1.2 ตอบ 1)FPAT–Pb17 ตอบ 2) FPAT–Pb18 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.1 ตอบ 4)KAiOU–Pb 1.2 ตอบ 3) FPAT–Pb21 ตอบ 4) KMK–Pb 1.1 ตอบ 4)FPAT–Pb22 ตอบ 1) FPAT–Pb32 ตอบ 2) FPAT–Pb34 ตอบ 1)FPAT–Pb35 ตอบ 2) FPAT–Pb36 ตอบ 4) FPAT–Pb37 ตอบ 4)KMK–Pb 1.4 ตอบ 1) FPAT–Pb39 ตอบ 1) FPAT–Pb41 ตอบ 1)FPAT–Pb43 ตอบ 3) FPAT–Pb42 ตอบ 1) KMK–Pb 1.5 ตอบ 2)KAiOU–Pb 1.4 ตอบ 1) BRAN–Pb1.3 ตอบ 4) FPAT–Pb46 ตอบ 4)FPAT–Pb45 ตอบ 2) SheLL1.4 ตอบ 3) KAiOU–Pb 1.15 ตอบ 1)KAiOU–Pb 1.9 ตอบ 4) FPAT–Pb49 ตอบ 1) SheLL1.9 ตอบ 2)BRAN–Pb1.8 ตอบ 4) KMK–Pb 1.9 ตอบ 2) BRAN–Pb2.34 ตอบ 17FPAT–Pb50 ตอบ 1) FPAT–Pb52 ตอบ 4) KMK–Pb 2.7 ตอบ 5.5FPAT–Pb54 ตอบ 1) FPAT–Pb55 ตอบ 4) FPAT–Pb56 ตอบ 3)KMK–Pb 2.8 ตอบ 8 KMK–Pb 1.6 ตอบ 4) FPAT–Pb57 ตอบ 3)FPAT–Pb58 ตอบ 4) FPAT–Pb59 ตอบ 1) KMK–Pb 1.10 ตอบ 1)FPAT–Pb62 ตอบ 4) FPAT–Pb63 ตอบ 1) FPAT–Pb64 ตอบ 3)KAiOU–Pb 1.8 ตอบ 3) SheLL1.8 ตอบ 1) FPAT–Pb77 ตอบ 1)FPAT–Pb78 ตอบ 1) FPAT–Pb75 ตอบ 1) FPAT–Pb70 ตอบ 2)PAT–Pb71 ตอบ 3) FPAT–Pb72 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.6 ตอบ 4)FPAT–Pb65 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.13 ตอบ 1) AVATAR–Pb 6.1 ตอบ f-1(x) = 1 log 1 - x 2 1 +xKMK–Pb 2.3 ตอบ 7.5 FPAT–Pb66 ตอบ 4) FPAT–Pb66.1 ตอบ 3)FPAT–Pb67 ตอบ 2) KAiOU–Pb 2.22 ตอบ 7 KAiOU–Pb 1.5 ตอบ 2)SheLL2.28 ตอบ 1 SheLL1.18 ตอบ 1) BRAN–Pb1.4 ตอบ 2)FPAT–Pb76 ตอบ 4) FPAT–Pb79 ตอบ 1) KMK–Pb 2.4 ตอบ 6 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013 _____________________________________ คณิตศาสตร (207)
  • BRAN–Pb2.42 ตอบ 262 TF–PAT4 ตอบ 4) SheLL2.30 ตอบ 4KAiOU–Pb 2.7 ตอบ 6 BRAN–Pb1.12 ตอบ 1) KMK–Pb 1.11 ตอบ 3)TF–PAT1 ตอบ 2) TF–PAT2 ตอบ 4) KAiOU–Pb 2.6 ตอบ 32KMK–Pb 1.12 ตอบ 4) AVATAR–Pb 14.1 ตอบ 16 TF–PAT3 ตอบ 4)BRAN–Pb2.36 ตอบ 396 SheLL1.12 ตอบ 3) SheLL2.31 ตอบ 4TF–PAT6 ตอบ 4) TF–PAT7 ตอบ 3) KMK–Pb 2.11 ตอบ 0.2TF–PAT8 ตอบ 3) TF–PAT9 ตอบ 1) TF–PAT10 ตอบ 1)SheLL1.13 ตอบ 3) KMK–Pb 2.5 ตอบ 2 KAiOU–Pb 2.5 ตอบ 0.5FPAT–Pb83 ตอบ 2) SheLL2.29 ตอบ 2 KAiOU–Pb 1.7 ตอบ 3)KMK–Pb 2.6 ตอบ 0 FPAT–Pb82 ตอบ 3) BRAN–Pb2.31 ตอบ 1FPAT–Pb87 ตอบ 1) FPAT–Pb89 ตอบ 1) FPAT–Pb88 ตอบ 2)SheLL1.6 ตอบ 4) KAiOU–Pb 2.4 ตอบ 0.5 FPAT–Pb91 ตอบ 4)FPAT–Pb92 ตอบ 1) SheLL1.7 ตอบ 1) KMK–Pb 1.7 ตอบ 1)TF–PAT33 ตอบ 3) SheLL2.35 ตอบ 2 SheLL1.25 ตอบ 2)TF–PAT36 ตอบ 2) KMK–Pb 2.15 ตอบ 2 4 2 ≈ 2.38 BRAN–Pb2.38 ตอบ 20SheLL1.17 ตอบ 2) BRAN–Pb2.49 ตอบ 49 TF–PAT38 ตอบ 2)BRAN–Pb1.17 ตอบ 2) SheLL2.40 ตอบ 25 TF–PAT40 ตอบ 2)TF–PAT42 ตอบ 1) BRAN–Pb1.6 ตอบ 3) TF–PAT39 ตอบ 2)KAiOU–Pb 1.17 ตอบ 4) TF–PAT45 ตอบ 3) BRAN–Pb2.39 ตอบ 2BRAN–Pb2.30 ตอบ 50 BRAN–Pb2.37 ตอบ 0 SheLL2.34 ตอบ 200KAiOU–Pb 2.10 ตอบ 1 SheLL1.23 ตอบ 1) TF–PAT41 ตอบ 4)KMK–Pb 2.16 ตอบ 4 TF–PAT43 ตอบ 3) BRAN–Pb2.41 ตอบ 2TF–PAT44 ตอบ 3) KAiOU–Pb 2.11 ตอบ 1 BRAN–Pb2.40 ตอบ 9SheLL2.39 ตอบ 7 BRAN–Pb1.16 ตอบ 1) KMK–Pb 1.14 ตอบ 4)เฉลยเก็งขอสอบ โดย ครูSup’kFORSU–Pb 1.1 ตอบ 12 FORSU–Pb 1.2 ตอบ 3) FORSU–Pb 1.3 ตอบ 4FORSU–Pb 1.4 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.5 ตอบ 4) FORSU–Pb 1.6 ตอบ 1)FORSU–Pb 1.7 ตอบ 51 FORSU–Pb 1.8 ตอบ -17.5 FORSU–Pb 1.9 ตอบ - 2 21FORSU–Pb 1.10 ตอบ 4) FORSU–Pb 1.11 ตอบ 2 FORSU–Pb 1.12 ตอบ 1)FORSU–Pb 1.13 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.14 ตอบ 3) FORSU–Pb 1.15 ตอบ 2009 2010FORSU–Pb 1.16 ตอบ 5050 FORSU–Pb 2.17 ตอบ 1 FORSU–Pb 2.18 ตอบ 4)NichTor–Pb2.18 ตอบ 2 Peachkun–Pb 3.19 ตอบ 3) Peachkun–Pb 3.20 ตอบ 24Peachkun–Pb 3.21 ตอบ 2) Peachkun–Pb 3.22 ตอบ 3) Peachkun–Pb 3.23 ตอบ 4)Peachkun–Pb 3.24 ตอบ 12 Peachkun–Pb 3.25 ตอบ 4) Peachkun–Pb 3.26 ตอบ 16Peachkun–Pb 3.27 ตอบ 12คณิตศาสตร (208) ____________________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2013