recordando algo de triángulos

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    1. 1. EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA: “ NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”
    2. 2. CONOCIENDO MÁS DE LOS TRIÁNGULOS
    3. 3. Triángulo .... Más que un polígono de tres lados...
    4. 4. Postulado de existencia de un triángulo, llamado también desigualdad triangular Un triángulo queda determinado cuando ocurre que la suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado o la diferencia de las medidas de dos de sus lados es siempre menor que el tercer lado.
    5. 5. Clasificación de triángulos Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser : Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser: <ul><li>E quilátero . </li></ul><ul><li>Isósceles . </li></ul><ul><li>E scalenos . </li></ul><ul><li>A cutángulos (ángulos internos agudos) . </li></ul><ul><li>R ectángulos (un ángulo recto) . </li></ul><ul><li>O btusángulos (un ángulo obtuso). </li></ul><ul><li>  </li></ul>
    6. 6. Triángulo isósceles <ul><li>Isósceles : se denomina al triángulo que posee dos lados iguales (AC y BC) y uno desigual, este se llama base (AB) y son los ángulos que se encuentran en sus extremos los idénticos. (ángulos a) </li></ul>A B C a a b
    7. 7. Triángulo equilátero . <ul><li>Equilátero: es el único triángulo regular; o sea tiene sus tres lados iguales y por ende sus tres ángulos miden lo mismo (60° cada uno). </li></ul>A B C 60° 60° 60°
    8. 8. Triángulo escaleno. <ul><li>Escaleno: se denomina al triángulo que posee sus tres lados diferentes y por ende, sus ángulos también lo son. </li></ul>A B C a b c
    9. 9. Otra clasificación es... <ul><li>Según sus ángulos. </li></ul><ul><li>Pero para eso debes saber que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. </li></ul>35° 57° 88°
    10. 10. Triángulo obtusángulo . <ul><li>Obtusángulo : se le llama al triángulo que tiene uno de sus ángulos interiores obtuso; o sea uno de ellos mide más de 90°. </li></ul>105° 29° 46°
    11. 11. Triángulo acutángulo . <ul><li>Acutángulo : se denomina al triángulo que posee sus tres ángulos interiores agudos o sea, cada uno de sus ángulos miden menos de 90°. </li></ul>59° 47° 74°
    12. 12. Triángulo rectángulo <ul><li>Rectángulo : se denomina al triángulo que posee uno de sus ángulos interiores recto o sea, mide 90°. </li></ul><ul><li>Los lados que forman el triángulo recto reciben el nombre de catetos y, el tercer lado, o sea, el opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa. </li></ul>A B C a b c
    13. 13. Rectas y puntos notables en el triángulo (elementos secundarios) Las rectas secundarias en el triángulo son: 1. Altura 2. Bisectriz 3. Mediana 4. Simetral 5.Transversal de gravedad
    14. 14. … Y los elementos del triángulo? Los triángulos están formados por lo que se conoce como “Elementos Secundarios del triángulos”, estas son: Bisectriz Altura Simetral Transversal de Gravedad
    15. 15. ALTURA DE TRIANGULOS Se llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuesto La altura se designa con una h
    16. 16. BISECTRIZ DE UN TRIANGULO Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo, que se nombran generalmente con una letra griega <ul><li>El punto donde se cortan se llama incentro </li></ul>b a  b b  b c = { I } A B C b c b a b b I = incentro I
    17. 17. La propiedad de la mediana consiste en que cada mediana trazada en el triángulo es paralela al tercer lado y además la medida de su longitud corresponde a la mitad de la longitud del lado paralelo. Como corolario (consecuencia de lo anterior) al trazar las tres medianas en un triángulo, éste se subdivide en 4 triángulos congruentes y semejantes al triángulo inicial.
    18. 18. MEDIANA DE TRIANGULOS Se llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuesto Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triangulo. El punto donde se cortan las medianas se llama baricentro
    19. 19. Simetral Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el lado al cual dimidian. D E F S f Se S d S a  S b  C c = { C } C = circuncentro C
    20. 20. Transversal de Gravedad Corresponde a un trazo que está determinado por el vértice y el punto medio del tercer lado. La propiedad está dada por el punto G o baricentro que determina en cada transversal dos segmentos menores que están en razón 2 : 1 S C A T B R  G T
    21. 21. Teoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si  ,  y  son ángulos interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º. A   B R C S  L 1
    22. 22. Hipótesis:  ,  y  ,ángulos interiores del triángulo ABC Demostración: <ul><li>Afirmación Justificación </li></ul><ul><li>L 1 // V postulado de Euclides. </li></ul><ul><li>m  RCA +  + m  SCB = 180º son ángulos adyacentes que están a un mismo lado de la recta. </li></ul><ul><li>m  RCA =  son ángulos alternos internos entre paralelas. </li></ul><ul><li>m  RCB =  son ángulos alternos internos entre paralelas. </li></ul><ul><li>5)  +  +  = 180º reemplazando 3 y 4 en 2. </li></ul>Tesis:  +  +  = 180º
    23. 23. Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º. A  ’ B   ’  ’ C  
    24. 24. Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. A B   ’  ’ C    ’
    25. 25. <ul><li>Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida de la hipotenusa. </li></ul>Relaciones Métricas en el Ángulo 6 cm x (a) 8 cm (b) Cateto a Cateto b Hipotenusa 3 4 6 8 9 12 12 16 15 20 18 24
    26. 26. Teorema de Pitágoras Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. a 2 + b 2 = c 2
    27. 27. Observación: Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que satisfacen la relación pitagórica Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de triángulos. <ul><li>3 2 + 4 2 = 5 2 </li></ul><ul><li>+ 16 = 25 </li></ul><ul><li>25 = 25 </li></ul>
    28. 28. Postulado En un triángulo cualesquiera se cumple siempre que un ángulo menor se opone al lado menor, o bien a un ángulo mayor se opone un lado mayor Actividad 3: Considerando los lados obtenidos anteriormente compare la suma de a 2 + b 2 con c 2 . Conclusión: a través del teorema de Pitágoras es posible reconocer el tipo de triángulo. En el triángulo rectángulo c 2 = a 2 + b 2 . En el triángulo obtusángulo c 2 > a 2 + b 2 . En el triángulo acutángulo c 2 < a 2 + b 2 .
    29. 29. Propiedades de la semejanza de triángulos Entre las propiedades que se establecen para semejanza de triángulos se encuentran: Propiedad Reflexiva o Idéntica. Todo triángulo se considera semejante a sí mismo, esto es ∆ ABC ~ ∆ ABC Propiedad Simétrica o Recíproca. Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero. Si ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’  ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC Propiedad transitiva. Si un triángulo es semejante a un segundo y éste es semejante a un tercero, entonces el tercero es semejante al primero. Si ∆ ABC ~∆ A’B’C’  ∆ A’B’C’ ~ ∆ RST  ∆ ABC ~ ∆RST
    30. 30. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS SEMEJANTES <ul><li>“ Toda paralela a un lado de un triangulo forma con los otros dos lados un triangulo semejante al primero </li></ul><ul><li>1Posición </li></ul>
    31. 31. <ul><li>2Posición </li></ul><ul><li>3Posición </li></ul>
    32. 32. LOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADES <ul><li>1° TEOREMA : En todo triángulo isósceles, la bisectriz correspondiente al ángulo del vértice es la altura, transversal de gravedad y simetral </li></ul><ul><li>HIPOTESIS: </li></ul><ul><li> ABC Isosceles </li></ul><ul><li>CD = b  </li></ul>
    33. 33. <ul><li>2° TEOREMA : En todo los triángulos isósceles, los ángulos básales son iguales </li></ul><ul><li>HIPOTESIS: </li></ul><ul><li> ABC ISOSCELES </li></ul><ul><li>__ </li></ul><ul><li>CD = t C </li></ul>
    34. 34. <ul><li>3° TEOREMA: En todo triángulo, el ángulo mayor se opone al lado mayor </li></ul><ul><li>HIPOTESIS: </li></ul><ul><li> ABC cualquiera </li></ul><ul><li>__ ___ </li></ul><ul><li>CD> CB </li></ul>
    35. 35. <ul><li>4°TEOREMA: TODO LADO DE UN TRIANGULO CUALESQUIERA ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTYROS LADOS </li></ul><ul><li>HIPOTESIS: </li></ul><ul><li> ABC cualquiera </li></ul><ul><li>TESIS: </li></ul><ul><li>___ ___ ____ </li></ul><ul><li>AB < AC + BC </li></ul>
    36. 36. <ul><li>5° TEOREMA: Todo lado de un triangulo cualquiera es mayor que la diferencia de los otros lados. </li></ul><ul><li>HIPOTESIS: </li></ul><ul><li> ABC cualquiera </li></ul><ul><li>TESIS: </li></ul><ul><li>___ ___ ___ </li></ul><ul><li>AB> AC + BC </li></ul>
    37. 37. <ul><li>PODEMOS DARNOS CUENTA QUE </li></ul><ul><li>A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA TODO </li></ul><ul><li>LO QUE ESTA EN NUESTRO </li></ul><ul><li>ENTORNO TIENE SENTIDO . </li></ul><ul><li>FIN </li></ul>

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