Ángulos entre paralelas

ANGULOSSrta. Yanira Castro Lizana

ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayosdivergentes que tienen un extremo común que sedenomina vértice.ELEMENTOS DE UN ANGULO: A β O α B

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDAa) ÁNGULO CONVEXO 0º < α < 180º αa.1) ÁNGULO AGUDO β 0º < β < 90º

a.2) ÁNGULO RECTO θ = 90º θa.3) ÁNGULO OBTUSO 90º < α < 180º α

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS α + β = 90º α βb) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS θ + δ = 180º θ δ

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓNa) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS α δ ε β φ Un lado común Puede formar más ángulos ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE α α Son congruentes

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 4 3 5 6 8 701. Ángulos alternos internos: 04. Ángulos conjugados externos: m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6 m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°02. Ángulos alternos externos: 05. Ángulos correspondientes: m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠703. Ángulos conjugados internos: m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas. α x β y θ α + β + θ = x + y

02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS ε δ θ β α α + β + θ + δ + ε = 180°

03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES α β α + β = 180°

Problema Nº 01El complemento de la diferencia entre el suplementoy el complemento de un ángulo “X” es igual alduplo del complemento del ángulo “X”. Calcule lamedida del ángulo “X”.RESOLUCIÓNLa estructura según el enunciado: 90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X )}= 2 ( 90° - X ) Desarrollando se obtiene: 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Luego se reduce a: 2X = 180° X = 90°

Problema Nº 02La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y elcomplemento del primer ángulo es el doble de lamedida del segundo ángulo. Calcule la diferenciade las medidas de dichos ángulos.RESOLUCIÓNSean los ángulos: α y βDato: α + β = 80° β = 80° - α (1)Dato: ( 90° - α ) = 2β (2) α = 70° Resolviendo Reemplazando (1) en (2): β = 10° Diferencia de las medidas ( 90° - α ) = 2 ( 80° - α ) α - β = 70°-10° 90° - α = 160° -2α = 60°

Problema Nº 03La suma de sus complementos de dos ángulos es130° y la diferencia de sus suplementos de losmismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichosángulos.RESOLUCIÓN Sean los ángulos: α y β Del enunciado: ( 90° - α ) + ( 90° - β ) = 130° β + α = 50° (+) β - α = 10° β + α = 50° (1) 2β = 60° Del enunciado: ( 180° - α ) - ( 180° - β ) = 10° β = 30° β - α = 10° (2) α = 20° Resolviendo: (1) y (2)

Problema Nº 04Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC(AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ánguloAOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20°respectivamente. Calcule la medida del ánguloAOB.RESOLUCIÓN De la figura: A B α = 60° - 20° M α = 40° X 20° Luego: α X = 40° - 20° 60° α X = 20° O C

Problema Nº 05La diferencia de las medidas de dos ángulosadyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida delángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC conel lado OB.RESOLUCIÓN Del enunciado: Construcción de la gráfica según el enunciado AOB - OBC = 30°A Luego se reemplaza por lo que M Seθ + X) - en la gráfica ( observa (θ - X) = 30º B 2X=30º θ X θ (θ- X) X = 15° O C

Problema Nº 06Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC yCOD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calculela medida del ángulo formado por las bisectricesde los ángulos AOB y COD.RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado De la figura:A M B 2α + θ = 90° (+) θ + 2β = 90° C 2α + 2θ + 2β = 180° α α X θ α + θ + β = 90° β X=α +θ+β β N X = 90° D

Problema Nº 07Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” α m α 80° X θ θ 30° n

RESOLUCIÓN α m α 80° X θ θ 30° n Por la propiedad 80° = α + θ + X (2) 2α + 2θ = 80° + 30° Reemplazando (1) en (2) α + θ = 55° (1) 80° = 55° + XPropiedad del cuadrilátero cóncavo X = 25°

Problema Nº 08Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”m 4α 65° Xn 5α

RESOLUCIÓN m 4α 65° 40° 65° X n 5αPor la propiedad: Ángulo exterior del triángulo 4α + 5α = 90° X = 40° + 65° α = 10° X = 105°

Problema Nº 09Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X” xm θ 2α 2θn α

RESOLUCIÓN xm θ 2α 2θn αÁngulos conjugados Ángulos entre líneas poligonales internos 3α + 3θ = 180° α + θ = 60° X=α+θ X = 60°

PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x L1 3x α α x β β 4x L2 A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m ∠ x X n m 30° A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m ∠ α m 3α α 3α 3α n A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x” m α α 95° n 40° 2xA) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

PROBLEMA 05.- Calcule la m ∠ x x 3α 6αA) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m ∠ x X m θ 4α 4θ α n A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m ∠ x m α α 88° x θ θ 24° n A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m ∠ x X m 30° n 20° A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09.-Si m//n y θ- α = 80°. Calcule la m∠x m θ θ x α α n A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m ∠ x m x x n x A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m ∠ α m 2α α 180°-2α n A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m ∠ x 80° θ θ m x α α n A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m ∠ x x α α m 80° β β nA) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS1. 20º 8. 50º2. 30º 9. 80º3. 45º 10. 30º4. 10º 11. 60º5. 120º 12. 40º6. 36º 13. 50º7. 32º

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