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Congruencias de figuras
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Congruencias de figuras

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  • Ceprepuc Geometría
  • Transcript

    • 1. Congruencias y semejanzasde figuras planas Srta. Yanira Castro Lizana
    • 2. ¿Cómo son las figuras mostradas? Son idénticas 2
    • 3. Ej emplos de Congruencia . ES TA S S I S ON F I GU R A S CON GR U EN TES ES TA S S I S ON F I GU R A S CON GR U EN TES ES TA S N O S ON F I GU R A S CON GR U N TES
    • 4. Congruencia  .  D o figu so co e s cu s ras n ngru nte ando tie n la m a ne ism fo a y tam o e de si al co carlas u so rm añ , s cir, lo na bre o so co tra n incide s e to su e te nte n da x nsión.
    • 5. Criterios de congruencia
    • 6. Triángulos congruentes  Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes. A D B C E F ABC ≅ DEF
    • 7. Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si: Sus lados correspondientes son iguales Sus ángulos correspondiente son iguales. En la figura AB = ED;BC = DF ; AC = EF C F D γ γ β α β α A B E
    • 8. POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.
    • 9. Postulado LLL  Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A D B C E F ABC ≅ DEF
    • 10. Postulado ALA  Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. B A C E D ABC ≅ CDE
    • 11. Postulado AAL  Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A D F B C E ABC ≅ EFD
    • 12. Postulado LAL  Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. B E A C D F ABC ≅ DEF
    • 13.  Ejemplos: 1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?
    • 14.  2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones. Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?
    • 15. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
    • 16. TEOREMA DE THALES
    • 17. TEOREMA DE THALES
    • 18. PROPIEDAD BASE MEDIA B AC MN = M N 2A C MN // AC 22
    • 19. FIGURAS SEMEJANTES
    • 20. ¿Cómo son las figuras mostradas?Son proporcionalesSon semejantes 24
    • 21. S emej anza • Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. • Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. • Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.
    • 22.  Dos figuras del plano son semejantes si loscocientes de de los segmentos determinados porpares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. ML es la razón de semejanza M L
    • 23. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales ylos ángulos iguales. a b c El cociente = = =k a b c se llama razón de semejanza.
    • 24. SEMEJANZADE TRIÁNGULOS 29
    • 25. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. A 6m 5m C 4m B Multiplica cada uno de los lados por 3. P x3 18m 15m RLos lados del triángulo se han triplicado. 12m Q 32
    • 26. Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB PQ BC QR AC PRAdemás:Si la altura relativa al lado AC mide a, podemosafirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide3a.Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR. 33
    • 27. ∼ ¿Cuál es el símbolo que se utiliza pararepresentar la semejanza de dos triángulos?
    • 28. Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo quedenalineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.
    • 29. Distancias o alturas aplicando semejanza Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.
    • 30. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 37
    • 31. Criterios de semejanza de triángulos  existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
    • 32. Existen tres criterios desemejanza de triángulos 1. AA ( ángulo-ángulo) 2. LLL (lado-lado-lado) 3. LAL (lado-ángulo-lado)
    • 33. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZACriterio AA de semejanza. Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos ángulos correspondientescongruentes, entonces el tercero también será congruente y lostriángulos son semejantes”.Criterio LAL de semejanza. Teorema: “ Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulocongruente comprendido entre lados proporcionales”.Criterio LLL de semejanza. Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos sonproporcionales, entonces los triángulos son semejantes".
    • 34. I. Primer criterio AA  Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A A´ α´ α β γ C B β´ γ´ C’ B´ Es decir: Si α = α´ , β = β´ de lo anterior se deduce que γ = γ´ Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´
    • 35. Ejemplo¿Son los siguientes triángulos semejantes? 65 65 25 25 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
    • 36. II. Segundo criterio LLL  Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A A´ a b b´ a´ C B cEs decir: C’ B´ c´ a b c a´ = b´ = c´ =K El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí Entonces, ∆ ABC semejante con ∆A´B´C´ recibe el nombre de razón de semejanza.
    • 37. Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los P lados son proporcionales B 1,5 C 3,51,5 3,5 5 7 3 = 7 = 10 5 Efectivamente , así es, ya que A 10 los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Q Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL 3 R
    • 38. III. Tercer criterio LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A A´ a α a´ C B c α´ C’ c´ B´Es decir: a c a´ = c´ y α = α´ Entonces ∆ ABC semejante a ∆ A´B´C´
    • 39. Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A D 9 E 3 = 4 3 9 12 C B 4 Efectivamente así es, ya que los productos 12 “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque,¿Los ángulos formados por tal como se señala en elestos dos lados son dibujo, ambos son rectoscongruentes? F Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
    • 40. Algunas aplicaciones deestos conceptos
    • 41. Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, 65 podemos ver la 12 proporcionalidad entre las 8 78 medidas de los lados respectivos 10 52 •10 = 8 • 65 = 520 52 65 • 12 = 10 •78 = 780Comprobemos que las medidas de loslados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una 52 = 65 = 78 = 6,5 de las razones 8 10 12 65 : 10 = 6,5 Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL
    • 42. Ejercicio  Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. x=9 Representamos la situación 5 3 12 = y 4 z =15 Luego, debe ocurrir: X Y Z 3 X=3 3 = 4 = 5 = 1 =3 Entonces: X= 3· 3 = 9 3 Y Escala de 4 =3 Y = 4 · 3 =12 ampliación La razón de semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15 5
    • 43. Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los ladosde un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En casoafirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos 20 12 efectuar los productos 50 “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 30 además 16 40x20=800 y 16x50=800 40 Comprobemos que las medidas de los Para calcular la razón de lados homólogos son proporcionales semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 30 = 40 = 50 12 16 20
    • 44. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen el p criterio AA, tienen iguales el ángulo o recto y el ángulo s 3m de elevación que t x forman los rayos solares con el e suelo 2m sombra 4,5m Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto X= 3 • 4,5 = 6,75m 3 2 De dondeFormamos la proporción x = 4,5 2
    • 45. Para terminar una pequeñademostración
    • 46. Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC B A C D EDemostración Afirmaciones Razones ∠ABC ≅ ∠CDE Por ser ángulos alternos internos entre // ∠BAC ≅ ∠CDE Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes