Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

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    Existe alguna función de serie geométrica. Cual sería su teoría.
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Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

  1. 1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
  2. 2. Definición de función. <ul><li>X </li></ul>Función f(x)
  3. 3. <ul><li>Una f unción f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f (x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Notación funcional : </li></ul><ul><li>Se usa una sola letra como f o g o </li></ul><ul><li>F para denominar una función. </li></ul><ul><li>Entonces , f (x) que se lee “f de x” o </li></ul><ul><li>“ f en x” , designa el valor que f asinga a x. </li></ul>
  5. 5. Las funciones Reales: <ul><li>Definición: </li></ul><ul><li>Se llama función real a toda función D—IR, siendo D un subconjunto de IR. </li></ul>
  6. 6. 1. Funciones exponenciales. <ul><li>Una función exponencial es una función cuya expresión es </li></ul><ul><li>siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. </li></ul><ul><li>Distinguimos dos casos: </li></ul>
  7. 7. Propiedades de f(x) = a x , a>0, a diferente de uno: <ul><li>  1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). </li></ul><ul><li>2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. </li></ul><ul><li>3)  El eje de x es la asíntota horizontal. </li></ul><ul><li>4)  Si  a > 1 ( a , base), entonces a x  aumenta conforme aumenta x. </li></ul><ul><li>5)  Si  0 < a < 1, entonces a x  disminuye conforme aumenta x. </li></ul><ul><li>6)  La función f es una función uno a uno. </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  8. 8. Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales: <ul><li>1) Leyes de los exponentes: </li></ul><ul><li>     </li></ul>
  9. 9. <ul><li>2)  a x  = a y   si y sól </li></ul><ul><li>3)  Para x diferente de cero, entonces a x  = b x   si y sólo si  a = b. </li></ul><ul><li>  Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>1)  2 x  = 8 </li></ul><ul><li>2)  10 x  = 100 </li></ul><ul><li>3)  4  x - 3  = 8 </li></ul><ul><li>4)  5  2 - x  = 125 </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Ejercicio de práctica:  Halla el valor de x: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>1)  2 x  = 64 </li></ul><ul><li>2)  27  x + 1  = 9 </li></ul>
  11. 11. x y -4 0,2 -3 0,3 -2 0,44 -1 0,67 0 1 1 1,5 2 2,25 3 3,375 4 5,06
  12. 12. x y -4 0,0625 -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16
  13. 13. x y -4 0,012 -3 0,037 -2 0,11 -1 0,3 0 1 1 3 2 9 3 27 4 81
  14. 14. x y -4 39,1 -3 15,625 -2 6,25 -1 2,5 0 1 1 0,4 2 0,16 3 0,064 4 0,0256
  15. 15. x y -4 16 -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 0,5 2 0,25 3 0,125 4 0,0625
  16. 16. x y -4 5,06 -3 3,375 -2 2,25 -1 1,5 0 1 1 0,67 2 0,44 3 0,3 4 0,2
  17. 17. En general si <ul><li>Dominio: R </li></ul><ul><li>Recorrido </li></ul><ul><li>Monotonía Estrictamente creciente </li></ul><ul><li>Acotación Acotada inferiormente por 0 </li></ul><ul><li>Puntos de corte con los ejes Y (0,1) </li></ul><ul><li> X ninguno </li></ul>
  18. 18. En general si <ul><li>Dominio R </li></ul><ul><li>Recorrido </li></ul><ul><li>Monotonía Estrictamente decreciente </li></ul><ul><li>Acotación Acotada inferiormente por 0 </li></ul><ul><li>Puntos de corte con los ejes Y (0,1) </li></ul><ul><li> X ninguno </li></ul>
  19. 19. Función exponencial natural: Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828… La notación  e  para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).  Definici ó n:    Para un n ú mero real x,    la ecuaci ó n   f(x) = e x    define a la   funci ó n exponencial de base e .   x e x -2 0.14 -1 0.37 0 1 1 2.72 2 7.39 3 20.01
  20. 20. <ul><li>El  dominio  es el conjunto de los números reales y el  rango  es el conjunto de los números reales positivos. </li></ul><ul><li>La función   f(x) = e x    es una   función exponencial natural .  Como 2<e<3, la gráfica de </li></ul><ul><li>f(x) = e x   está entre f(x) = 2 x   y  f(x) = 3 x , como se ilustra a continuación: </li></ul>
  21. 21. <ul><li>En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base  e  usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base  b. </li></ul><ul><li>  Ejemplos:  Simplifica. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Ejemplo:  Halla el valor de x en  e  x + 1   =  e  3x - 1 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Práctica: </li></ul><ul><li>  1)  Simplifica:  (e  3x + 1 ) (e  2x – 5 ) </li></ul><ul><li>2)  Halla el valor de x en  e 3x – 4  =  e 2x </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  22. 22. 2. Funciones logarítmicas. <ul><li>Definición de logaritmo </li></ul><ul><li>Una función logarítmica es una función cuya expresión es: </li></ul><ul><li>siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. </li></ul><ul><li>Distinguimos dos casos: </li></ul>
  23. 23. x y 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4
  24. 24. x y 1/27 -3 1/9 -2 1/3 -1 1 0 3 1 9 2 27 3
  25. 25. x y 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 8 -3 16 -4
  26. 26. x y 8/27 3 4/9 2 2/3 1 1 0 3/2 -1 9/4 -2 27/8 -3
  27. 27. En general si <ul><li>Dominio </li></ul><ul><li>Recorrido R </li></ul><ul><li>Monotonía Estrictamente creciente </li></ul><ul><li>Acotación No está acotada </li></ul><ul><li>Puntos de corte con los ejes Y (1,0) </li></ul><ul><li> X ninguno </li></ul>
  28. 28. En general si <ul><li>Dominio </li></ul><ul><li>Recorrido R </li></ul><ul><li>Monotonía Estrictamente decreciente </li></ul><ul><li>Acotación No está acotada </li></ul><ul><li>Puntos de corte con los ejes Y (1,0) </li></ul><ul><li> X ninguno </li></ul>
  29. 31. 3. Logaritmo de un número. <ul><li>El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado: </li></ul><ul><li>Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log 10 , es decir: </li></ul><ul><li>Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de log e , es decir: </li></ul>
  30. 32. Ejemplos.
  31. 33. Calcular por la definición de logaritmo el valor de y :
  32. 34. Propiedades. <ul><li>El logaritmo de la unidad es cero: </li></ul><ul><li>El logaritmo de la base es uno: </li></ul><ul><li>Ejemplos : log 10 = 1 , ln e = 1 </li></ul><ul><li>El logaritmo de una potencia de la base es el exponente: </li></ul><ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><li>El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: </li></ul>
  33. 35. Casos especiales:
  34. 36. Propiedades. <ul><li>El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: </li></ul><ul><li>El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia: </li></ul><ul><li>El logaritmo en base a de un número se transforma en el logaritmo en otra base mediante: </li></ul>
  35. 37. 4. Ecuaciones exponenciales. <ul><li>Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia. </li></ul><ul><li>Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales: </li></ul><ul><li>- Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base. </li></ul><ul><li>- Ecuaciones resolubles por cambio de variable. </li></ul>
  36. 38. Ejemplos. <ul><li>Se busca una base común para todos los números que aparecen: </li></ul><ul><li>Se opera: </li></ul><ul><li>Se igualan los exponentes: </li></ul><ul><li>Se resuelve: </li></ul>
  37. 39. Ejemplos. <ul><li>Se hace un cambio de variable: </li></ul><ul><li>Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar: </li></ul><ul><li>Queda: </li></ul><ul><li>Se opera: </li></ul><ul><li>Se deshace el cambio: </li></ul><ul><li>Se resuelve: </li></ul>
  38. 40. Ejemplos. <ul><li>Se hace un cambio de variable: </li></ul><ul><li>Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar: </li></ul><ul><li>Queda: </li></ul><ul><li>Se resuelve: </li></ul><ul><li>Se deshace el cambio: </li></ul>
  39. 41. 5. Sistemas de ecuaciones exponenciales. <ul><li>Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial. </li></ul><ul><li>Nos podemos encontrar distintos tipos de sistemas de ecuaciones exponenciales: </li></ul><ul><li>- Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base. </li></ul><ul><li>- Sistemas en los que una o más ecuaciones son resolubles por cambio de variable. </li></ul>
  40. 42. Ejemplos. <ul><li>Se reducen las igualdades a potencias de la misma base </li></ul><ul><li>Se opera con las potencias: </li></ul><ul><li>Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos: </li></ul>
  41. 43. Ejemplos. <ul><li>Se hacen los cambios de variable: </li></ul><ul><li>Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo): </li></ul><ul><li>Se deshace el cambio de variable efectuado al principio: </li></ul>
  42. 44. 6. Ecuaciones logarítmicas. <ul><li>Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita aparece afectada por un logaritmo. </li></ul><ul><li>Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos. </li></ul>
  43. 45. Ejemplos. <ul><li>2 log x – log (x-16) = 2 </li></ul><ul><li>Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas. </li></ul>
  44. 46. Ejemplos. <ul><li>log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3) </li></ul><ul><li>Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x 2 =2 no es válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo que no existe. Por tanto la única solución es x = 5. </li></ul>
  45. 47. Ejemplos. <ul><li>Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas. </li></ul>
  46. 48. 7. Sistemas de ecuaciones logarítmicas. <ul><li>Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos, una de sus ecuaciones es logarítmica. </li></ul><ul><li>Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica. </li></ul><ul><li>Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en algebraica. </li></ul><ul><li>Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas. </li></ul><ul><li>Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada ecuación logarítmica en algebraica. Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos. </li></ul>
  47. 49. Ejemplos. <ul><li>Resolviendo: </li></ul><ul><li>Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida. </li></ul>
  48. 50. Ejemplos. <ul><li>Resolviendo: </li></ul><ul><li>Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida. </li></ul>
  49. 51. Ejemplos. <ul><li>Resolviendo: </li></ul><ul><li>Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida. </li></ul>
  50. 52. Ejemplos. <ul><li>Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida. </li></ul>

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