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  1. 1. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 1 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) 1.- Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: a) Dos caras. p(2c) = p(c)*p(c) = 1/2 * 1/2 = 1/4 b) Dos cruces. p(2x) = p(x)*p(x) = 1/2 * 1/2 = 1/4 c) Una cara y una cruz. p(1c&1x) = p(cx) + p(xc) = p(c)*p(x) + p(x)*p(c) = 1/2*1/2 + 1/2*1/2 = 1/4 + 1/4 = 1/2 2.- Hallar la probabilidad de que al levantar una fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4. Casos posibles: CR 7 2 = (7+2-1)! / [2! * (7-1)!] = 8! / (2*6!) = 8*7/2 = 4*7 = 28 Casos favorables: A(> 9) = {(4|6),(5|5),(5|6),(6|6)} => p(A) = 4/28 Casos favorables: B(m4) = {(b|4),(1|3),(2|2),(2|6),(3|5),(4|4),(6|6)} => => Casos favorables: A(>9) y B(m4) = {(6|6)} p(B) = 7/28 p(A ∩ B) = p(A)*p(B) = 1/28 p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 4/28 + 7/28 - 1/28 = 10/28 = 5/14 3.- Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. p(1)=p ,, p(2)=2p ,, p(3)=3p ,, p(4)=4p ,, p(5)=5p ,, p(6)=6p p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1 p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 21p 21p = 1 => p = 1/21 p(6) = 6p = 6*1/21 = 6/21 b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
  2. 2. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 2 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) p(1 U 3 U 5) = p(1) + p(3) + p(5) = p + 3p + 5p = 9p = 9*1/21 = 9/21 = 3/7 4.- Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: a) La probabilidad de que salga 7. Casos posibles: VR 6 2 = 62 = 36 Casos favorables: A(s7) = {(1|6),(2|5),(3|4),(4|3),(5|2),(6|1)} p(A) = 6/36 = 1/6 b) La probabilidad de que el número obtenido sea par. p(par) = 18/36 = 1/2 c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. A(m3) = {(1|2),(1|5),(2|1),(2|4),(3|3),(3|6),(4|2),(4|5),(5|1),(5|4),(6|3),(6|6)} p(A) = 12/36 = 1/3 5.- Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: a) Salga 6 en todos. p(6 1 ∩ 6 2 ∩ 6 3 ) = p(6 1 )*p(6 2 )*p(6 3 ) = 1/6*1/6*1/6 = 1/216 b) Los puntos obtenidos sumen 7. Casos posibles: VR 6 3 = 63 = 216 A(s7) = {(1|1|5),(1|2|4),(1|3|3),(1|4|2),(1|5|1), (2|1|4),(2|2|3),(2|3|2),(2|4|1), (3|1|3),(3|2|2),(3|2|1), (4|1|2),(4|2|1), (5|1|1),} p(A) = 15/216 = 5/72 6.- Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga : a) Un número par. p(par) = 3/6 = 1/2
  3. 3. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 3 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) b) Un múltiplo de tres. p(m3) = 2/6 = 1/3 c) Mayor que cuatro. P(>4) = 2/6 = 1/3 7.- Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca , otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. E = {BB, BR, BV, BN , RB, RR, RV , RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} b) La primera bola no se devuelve. E = {BR, BV, BN , RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} 8.- Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarillas y siete verdes. Se extrae una al azar de que: a) Sea roja . p(roja) = 8/20 = 0,4 b) Sea verde. p(no roja) = 1-p(roja) = 1-0,4 = 0,6 c) Sea amarilla. p(verde) = 7/20 = 0,35 d) No sea roja. p(amarilla) = 5/20 = 0,25 e) No sea amarilla. p(no amarilla) = 1-p(amarilla) = 1-0,25 = 0,75
  4. 4. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 4 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) 9.- Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de : E = {RR, RB, BR, BB} a) Extraer las dos bolas con reemplazamiento. p(RR) = p(R)*p(R) = 3/10*3/10 = 3/100 p(BB) = p(B)*p(B) = 7/10*7/10 = 49/100 p(RB) = p(BR) = p(R)*p(B) = 3/10*7/10 = 21/100 b) Sin reemplazamiento. p(RR) = p(R)*p(R) = 3/10*2/9 = 6/90 p(BB) = p(B)*p(B) = 7/10*6/9 = 42/90 p(RB) = p(BR) = p(R)*p(B) = 3/10*7/9 = 21/90 10.- Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 5 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? p(R U B) = p(R) + p(B) = 4/15 + 5/15 = 9/15 = 3/5 p(noB) = 1-p(B) = 1-5/15 = 10/15 = 2/3 11.- En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: a) Sea hombre. p(hombre) = 15/45 = 1/3 b) Sea mujer morena. p(mujer morena) = 20/45 = 4/9 c) Sea hombre o mujer. p(hombre U mujer) = 15/45 + 30/45 = 45/45 = 1
  5. 5. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 5 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) 12.- En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche: a) Si se saca una papeleta. p(C)= 8/20 = 2/5 b) Si se extraen dos papeletas. p(C-)+p(-C) = p(C U C) = 8/20 + 8/20 - 8/20*7/19 = 8/20 * (2-7/19) = 2/5*31/19 = 62/95 O bien: 1-p(2B) = 1-(12/20*11/19) = 62/95 c) Si se extraen tres papeletas. 1-p(3B) = 1-(12/20*11/19*10/18) = 1-1320/6840 = 1-11/57 = 46/57 13.- Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10 . Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen. p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 1/2 + 1/5 - 1/10 = 6/10 = 3/5 14.- Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten? p(A)= 2/5 p(B) = 1/2 p(A ∩ B) = p(A) * p(B) = 2/5*1/2 = 2/10 = 1/5 p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 2/5 + 1/2 - 1/5 = 7/10 15.- Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. A={Hombre} ,, p(A) = 10/30 = 1/3 B={Castaños} ,, p(B) = (5+10)/30 = 15/30 = 1/2 p(A ∩ B) = p(A) * p(B) = 1/3*1/2 = 1/6
  6. 6. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 6 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B) = 1/3 + 1/2 - 1/6 = 4/6 = 2/3 16.- La probabilidad de que un hombre viva 20 años es 1/4, y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad : a) De que ambos vivan 20 años. p(A ∩ B) = p(A) * p(B) = 1/4*1/3 = 1/12 b) De que el hombre viva 20 años y su mujer no. p(A ∩ noB) = p(A) * p(noB) = p(A) * [ 1 - p(B) ] = 1/4*(1-1/3) = 1/4 * 2/3 = 2/12 = 1/6 c) De que ambos mueran antes de los 20 años. p(noA ∩ noB) = p(noA) * p(noB) = [ 1 - p(A) ] * [ 1 - p(B) ] = = (1-1/4)*(1-1/3) = 3/4 * 2/3 = 6/12 = 1/2 17.- Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces. Casos favorables = { xxcc, xcxc, xccx, cxxc, cxcx, ccxx} = 6 Casos posibles = VR 2 4 = 24 = 16 p(2x) = 6/16 = 3/8 18.- Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas? Si a y b van juntos se pueden considerar como un solo elemento. Así, x+y = 8. Casos favorables = {xaby, xbay} = P 9 + P 9 = 2 * 9! Casos posibles = P 10 = 10! = 10*9! p(xaby) = (2*9!)/(10*9!) = 2/10 = 1/5 19.- Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: a) 4 ases. Casos favorables = Cuatro de las cartas son ases * Todas las posibilidades para la quinta carta =
  7. 7. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 7 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) = 1 * (52-4) = 48 Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] = = 52*51*50*49*48 / 5! p(4A) = 48 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 5! / (52*51*50*49) = 1/54.145 b) 4 ases y un rey. Casos favorables = Cuatro de las cartas son ases * La quinta carta es un rey = =1*4=4 Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] = = 52*51*50*49*48 / 5! p(4A+R) = 4 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 4 * 5! / (52*51*50*49*48) = 1/649.740 c) 3 cincos y 2 sotas. Casos favorables = Tres de las cartas son cincos * Las otras dos cartas son sotas = = C 4 3 * C 4 2 = 4!/[3!*1!] * 4!/[2!*2!] = 4 * 6 = 24 Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] = = 52*51*50*49*48 / 5! p(35+2S) = 24 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 24*5! / (52*51*50*49*48) = 1/108.290 d) Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. Casos favorables = Un 9, un 10, una sota, un caballo y un rey = = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] = = 52*51*50*49*48 / 5! p(9,10,S,C,R) = 1024 / [52*51*50*49*48 / 5!] = 1024*5! / (52*51*50*49*48) = 64/162.435 e) 3 de un palo cualquiera y 2 de otro. Casos favorables = Tres de un palo y dos de otro = 4*C 13 3 * 3*C 13 2 = = 4*13!/[3!*10!] * 3*13!/[2!*11!] = 4*13*12*11*10!/[6*10!] * 3*13*12*11!/[2*11!] = =(2*13*12*11/3) * (3*13*12/2) = 13*12*11*13*12
  8. 8. http://www.cepamarm.es Acceso a CFGS Matemáticas ESG - 05/2011 Pág. 8 de 8 Probabilidad (Problemas resueltos) (Basado en VITUTOR) Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] = = 52*51*50*49*48 / 5! p(3x+2y) = 13*12*11*13*12 / [52*51*50*49*48 / 5!] = = 13*12*11*13*12*5! / (52*51*50*49*48) = 13*3*11 / 4.165 = 429 / 4.165 f) Al menos un as. p(al menos 1 as) = 1 - p(ningún as) Casos favorables = Combinaciones de 48 (no ases) en grupos de 5 = C 48 5 = = 48! / [5! * 43!] = 48*47*46*45*44*43! / [5! * 43!] = 48*47*46*45*44 / 5! Casos posibles = C 52 5 = 52! / [5! * (52-5)!] = 52*51*50*49*48*47! / [5! * 47!] = = 52*51*50*49*48 / 5! p(ningún as) = (48*47*46*45*44 / 5!) / (52*51*50*49*48 / 5!) = = (48*47*46*45*44) / (52*51*50*49*48) = (47*46*45*44) / (52*51*50*49) = = (47*46*45*44):120 / (52*51*50*49):120 = 35.673 / 54.145 p(al menos 1 as) = 1 - p(ningún as) = 1 - 35.673 / 54.145 = 18.472/54.145

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