Sistemas Difusos

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Sistemas Difusos

  1. 1. Por Ramiro Aduviri Velasco @ravsirius
  2. 2. Modelado de sistemas dinámicos ny  aijy(k  j + 1) j=1 nu  biju(k  j + 1) + ci j=1 Modelo con regresión no lineal: y(k+1) = F[y(k), . . . , y(k  ny + 1), u(k), . . . , u(k  nu + 1)] En forma de regla (ejemplo modelo de Takagi-Sugeno): si y(k) es pequeño y u(k) es pequeño entonces y(k+1) =
  3. 3. Paradigmas en el modelado • Mecánico (caja blanca, físico) • Cualitativo (remedios ingenuos, basados en el conocimiento) • Conducido por datos (caja negra, inductivo) Combinación de estos enfoques: modelado con caja gris Parametrización de modelos no lineales • polinomiales, estrías • tablas de consulta • sistemas difusos • redes neuronales • redes de función con base radial • redes wavelet • .... Construcción de modelos difusos Planteamiento en base al conocimiento: • conocimiento del experto  reglas y funciones de membresía • modelo difuso del operador humano o un proceso • interpretación linguística Planteamiento conducido por datos: • representación no lineal, aproximación universal • extracción de reglas y funciones de membresía de los datos Estructura y parámetros Estructura: • Variables de entrada y de salida. Para sistemas dinámicos también la representación de la dinámica • Número de funciones de membresía por variable, tipo de funciones de membresía, cantidad de reglas. Parámetros: • Parámetros del consecuente (mínimos cuadrados) • Funciones de membresía del antecedente (varios métodos)
  4. 4. Modelo difuso con singleton Ri : si x es Ai entonces y = bi, i = 1, 2, . . . , K Caso especial tanto del modelo linguístico como del modelo de Takagi-Sugeno. Inferencia / defuzzificación: promedio difuso K  ibi i=1 y =  K  i i=1 El modelo singleton es una expansión de la función base: K i y =  i(x)bi, i =  i=1 K  j j=1 Tiene las mismas propiedades que las redes de funciones con base radial, modelos spline: • propiedades de aproximación universal • estimación de parámetros sencillo
  5. 5. Aproximación lineal por partes
  6. 6. Representación lineal con un modelo singleton p y = k`x + q =  kixi + q i=1 • Partición truiangular • Producto utilizado para el operador AND del antecedente. i = Ai,1(x1)  Ai,1(x2) . . . Ai,p(xp) • Los singletones del consecuente son iguales a: p bi =  kjai,j + q j=1
  7. 7. Estimación por mínimos cuadrados de Singletons Ri : si x1 es Ai1 y . . . y xp es Aip entonces y = bi • Dado Aij y un conjunto de datos de entrada y salida: Z = {xk, yk I k = 1, 2, . . ., N} • Estimación de los parámetros del consecuente optimos bi 1. Calcule el grado de compromiso i(xk) = Ai1(x1k)  Ai2(x2k)  . . .  Aip(xpk) 2. Normalice: i(xk) ki =  K  j(xk) j=1 La salida es una combinación lineal convexa de entradas: K y =  kibi, o y = b i=1 3. Estimación por mínimos cuadrados: b = [T]-1Ty
  8. 8. Modelo difuso de Takagi-Sugeno (TS) Ri : si x es Ai entonces yi = aT ix + bi, i = 1, 2, . . . , K • Funciones de membresía multi variables: Ai(x) : p  [0, 1] • Antecedente de la regla en forma conjuntiva: i : si x1 es Ai1 y . . . y xp es Aip entonces . . . • Salida del modelo dado por el promedio difuso ponderado: K i=1 Ai(x)yi K i=1Ai(x)(aT ix + bi) y =  =  K i=1Ai(x) K i=1Ai(x)
  9. 9. Representación de entrada-salida del modelo de TS Los consecuentes son aproximadamente modelos lineales locales del sistema.
  10. 10. El modelo TS es un sistema Cuasilineal K i=1Ai(x)yi K i=1Ai(x)(aT ix + bi) y =  =  K j=1Aj(x) K j=1Aj(x) con: Ai(x) i(x) =  K j=1Aj(x) se obtiene: o: y = a(x)x + b(x)
  11. 11. Estimación por mínimos cuadrados de los consecuentes i = [aT i bi]T, Xe = [X 1] i = 1, 2, . . . , K • LS global: ´ = [(X´)TX´]-1(X´)Ty con X´ = [W1Xe W2Xe . . . WKXe] y • LS local: i = [(Xe)TWiXe]-1(Xe)TWiy
  12. 12. Funciones de membresía del antecedente • Plantillas (partición en rejillas) • Optimización no lineal (métodos neuro-difusos) • Contrucción libre • Agrupamiento (clustering) difusa en el espacio producto Modelado basado en plantilla • Determine la función de membresía a priori (forma y cantidad). • Solo para problemas pequeños (1 a 3 entradas). K = p i=1Ni
  13. 13. Agrupamiento difuso Centros del grupo (promedio): V = [v1 v2] Matriz de partición difusa:
  14. 14. Agrupamiento difuso: vía optimización Función objetivo (criterio con mínimos cuadrados): c N J(Z; V, U, A) =  m i,jd2 Ai(zj, vi) i=1 j=1 sujeto a restricciones: 0  ij  1 j = 1, . . . , N gradio de membresía i = 1, . . . , c 0  N j=1i,j  1 i = 1, . . . , c sin grupo c j=1i,j = 1 j = 1, . . . , N membresía total
  15. 15. Algoritmos de agrupamiento difusos Dado los datos zk = [z1k, z2k, . . . , zNk]T  n, k = 1, . . . , N Encuentre: la matriz de partición: y los centros del grupo: V = {v1, v2, . . . , vc}, vi  n
  16. 16. Algoritmo difuso con c promedios Repita: 1. Calcule de prototipos de grupo (promedios): N k=1m i,kzk vi =  N k=1m i,k 2. Calcule las distancias: di,k = (zk  vi)T(zk  vi) 3. Actualice la matriz de partición: 1 i,k =  c j=1(dik/djk)1/(m-1) hasta que IIUII < 
  17. 17. Mediciones de distancia • Norma Euclideana: d2(zj, vi) = (zj  vi)T(zj  vi) • Norma producto interno: d2 Ai(zj, vi) = (zj  vi)T(zj  vi) • y muchas otras posibilidades ... Agrupamiento difuso: Algoritmo con c promedios Modelos de Mamdani: Agrupamiento difuso con c promedios
  18. 18. Algoritmo de Gustafson-Kessel (GK) Repite: 1. Calcula prototipos del grupo (promedios): N  m i,kzk k=1 vi =  N  m i,k k=1 2. Calcula las matrices de covarianza del grupo: N  m i,k(zk  vi)T(zk  vi) k=1 Fi =  N  m i,k k=1 3. Calcula las distancias: dik = (zk  vi)T[idet(Fi)1/nF-1 x] (zk  vi) 4. Actualiza la matriz de partición 1 ik =  c  (dik/djk)1/(m-1) j=1 hasta IIUII<
  19. 19. Agrupamiento difuso: Algoritmo GK Modelos de Takagi-Sugeno: Agrupamiento de Gustafson-Kessel
  20. 20. Ejemplo: Control de presión Dinámicas de presión: R : constante del gas (8.134 J mol-1K-1), T : temperatura (305 K), Vh : volumen del gas (0.015 m3), g : razón de flujo del gas (3.75 x 10-4m3s-1), RH : radio del tubo de salida (0.0178 m), Po : presión de referencia (1.013 x 105 N m-2), o : densidad del aire externo (1.2 Kg m-3), P : presión en el tanque (N m-2), Kf : factor de fricción de la válvula (J mol -1).
  21. 21. Modelo Fuzzy de Takagi-Sugeno Reglas: 1. si y(k) es BAJO y u(k) esta ABIERTO entonces y(k+1) = 0.67y(k) + 0.0007u(k) + 0.35 2. si y(k) es MEDIO y u(k-1) esta MEDIO CERRADO entonces y(k+1) = 0.80y(k) + 0.0028u(k) + 0.07 3. si y(k) es ALTO y u(k-1) esta CERRADO entonces y(k+1) = 0.90y(k) + 0.0071u(k) + 0.39.
  22. 22. Ejemplo: Representación en 3-D
  23. 23. Redundancia en modelos difusos Transparencia no se la obtiene de forma automática • Adquisición de información asegura transparencia. • Basado en los datos: alguna redundancia es inevitable. Redundancia se manifiesta en dos formas: • Gran número de reglas. Acuerdo entre:  exactitud del modelo / complejidad del modelo  capacidad en la generalización / aproximación de datos • Conjuntos difusos muy similares  similitud entre conjuntos  similitud al conjunto difuso universal Gran cantidad de reglas, solapamiento de conjuntos difusos similares • Complejidad innecesaria • Dificultad en la asignación de rótulos linguísticos • Menos transparencia y generalidad
  24. 24. Redundancia en modelos difusos Adaptación de parámetros • Cantidad de conjuntos difusos por variable • Migración de conjuntos difusos debido a la optimización.
  25. 25. Agrupamiento difuso • Cantidad de grupos • Proyección de grupos sobre las variables del antecedente Agrupamiento difuso supervisado • Comienza con una cantidad sobrestimada de grupos • Elimina a quellos que no influyen cuando se procede al agrupamiento
  26. 26. Mediciones de similitud A  B S(A, B) =  A  B Fusionamiento de conjuntos similares • Entrega un término generalizador • Fusiona agregando los parámetros de cada conjunto
  27. 27. Simplificación y reducción Ejemplo: Crecimiento de algas Predicción de concentración de clorofila-a en los ecosistemas de laguna 998 observaciones de nueve diferentes lagos Entradas: temperatura, N, P, Si, duración del día, intensidad de luz Salidas: Concentración de clorofila-a Modelos de Takagi-Sugeno Si T es AT, N es AN, P es AP, Si es ASi, D AD y I es AI Entonces Chl = po + p1T + p2N + p3P + p4Si + p5D + p6Ih Método: Agrupamiento difuso y análisi de similitud
  28. 28. Base de reglas inicial
  29. 29. Base de reglas simplicado Temp N P Día Luz (verano) R1 Si Caliente  Alto  Mod. Entonces ... (invierno) R2 Si Frío  Bajo Corto Bajo Entonces ... (excepción) R3 Si Caliente Bajo Bajo  Alto Entonces ... (verano) R4 Si Caliente  Alto  Bajo Entonces ... (invierno) R5 Si Frío  Mod. Corto Bajo Entonces ...
  30. 30. Control difuso: Fundamentos • controlador diseñado utilizando reglas Si-Entonces en lugar de fórmulas matemáticas (control basado en el conocimiento) • motivación de incio: operadores con experiencia fingida • razonamiento difuso: interpolación entre salidas discretas • generalmente: también controladores diseñados sobre la base de un modelo difuso (control difuso basado en el modelo) • un controlador difuso representa una transformación no lineal (pero completamente determinístico!) 1965 Primera publicación sobre conjuntos difusos (Zadeh) 1974 Control difuso aplicado a un sistema de laboratorio (Mamdani) 1982 Primera aplicación industrial del control difuso (a un horno de cemento) 1985 Control de tren vía Sendai, productos de consumo (Japón)
  31. 31. Esquemas básicos de control difuso  Control difuso directo (nivel bajo de Mamdani)  Control supervisor difuso (nivel alto, Takagi-Sugeno)  Control basado en el modelo difuso
  32. 32. Control difuso directo Control proporcional Transformación de entrada-salida del controlador
  33. 33. Control proporcional difuso: Reglas Si el error es Negativo Grande entonces la entrada de control es Negativo Grande Si el error es Cero entonces la entrada de control es Cero Si el error es Positivo Grande entonces la entrada de control es Positivo Grande Transformación de entrada-salida del controlador
  34. 34. Ejemplo: Compensación a la fricción 1. Motor DC con fricción estática 2. Reglas difusas para representar al control proporciona “normal” 3. Reglas adicionales para prevenir estados indeseables. Modelo del motor DC
  35. 35. Controlador proporcional
  36. 36. Base de reglas para el control difuso Reglas para el proporcional: • Si el error es Positivo Grande entonces entrada de control es Positivo Grande • Si el error es Negativo Grande entonces entrada de control es Negativo Grande • Si el error es Cero entonces entrada de control es Cero Reglas adicionales: • Si el error es Negativo Peq. entonces entrada de control no es Negativo Peq. • Si el error es Positivo Peq. entonces entrada de control no es Positivo Peq.
  37. 37. Resultados del control difuso Transformación de entrada-salida del controlador
  38. 38. Control PID difuso
  39. 39. Controlador PD difuso: Tabla de reglas R12 : Si el error es NB y la derivada del error es ZE entonces control es NB derivada del error NB ZE PB error NB NB NB ZE ZE NB ZE PB PB ZE PB PB
  40. 40. Control difuso: Etapas en el diseño Planteamiento de la ingeniería de control + concoimiento heurístico 1. Se determina las entradas y las salidas. 2. Se definen las funciones de membresía 3. Se diseña la base de reglas 4. Se lo prueba (perfectibilidad, estabilidad, desempeño) 5. Se afina el controlador.
  41. 41. Control difuso supervisor Si salida del proceso es Alto entonces se reduce la ganancia proporcional ligeramente y se incremente la ganancia derivativa moderadamente.

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