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Liouville theorem

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  • 1. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Candidato: Simone Camosso Relatore: Domenico Delbosco Università di Torino 6 Aprile 2011
  • 2. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in CRichiami: Disuguaglianza e integrale di Cauchy Teorema Sia f olomorfa su un dominio Ω, γ cammino chiuso, z0 ∈ |γ| 1 f (z)dz I (γ, z0 )f (z0 ) = . (1) 2πi γ z − z0 Teorema Sia f olomorfa in un dominio Ω, sia r il raggio di un cerchio C (z0 , r ) di centro z0 ∈ Ω, allora M(r ) |an | ≤ . (2) rn con M(r ) = maxz∈C (z0 ,r ) |f (z)|
  • 3. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in CRichiami: Teorema di Liouville Teorema(Liouville) Sia f : C → C intera e limitata su tutto il piano complesso allora è costante. Teorema Sia f : C → C intera, sia r > 0, allora ∞ π 1 |an |2 r 2n = |f re iθ |2 d θ. (3) 2π −π n=0
  • 4. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in C1◦ passo di generalizzazione Proposizione Sia f : C → C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, tale che ∀z ∈ C |f (z)| ≤ c(1 + |z|) (4) allora f (z) = a + bz con a, b costanti. Proposizione Sia f : C → C funzione intera e sia c > 0 costante reale, tale che ∀z ∈ C |f (z)| ≤ c|1 + z|m (5) allora f (z) risulta essere un polinomio di grado al più m.
  • 5. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in C Questi risultati non sono presenti il letteratura. Proposizione Sia f : C → C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, tale che ∀z ∈ C |f (z)| ≤ c |e z | (6) allora f (z) = ae z con a costante. Proposizione Sia f : C → C intera e sia c > 0 reale tale che |f (z)| ≤ c| sinh z| (7) allora f (z) è un polinomio con potenze dispari oppure é della forma f (z) = a sinh bz,con a, b ∈ C.
  • 6. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in C Proposizione Sia f : C → C intera e sia c > 0 reale tale che |f (z)| ≤ c| cosh z| (8) allora f (z) è un polinomio con potenze pari oppure è della forma f (z) = a cosh bz,con a, b ∈ C. Proposizione Sia f : C → C intera, con un numero infinito di zeri, e sia c > 0 reale tale che |f (z)| ≤ c| sinh z| (9) allora f (z) è della forma f (z) = a sinh bz, con a, b ∈ C.
  • 7. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in CnRichiami: Formula integrale di Cauchy in più variabilicomplesse Proposizione Sia Ω un intorno aperto del polidisco chiuso P(z ◦ , (r1 , ..., rn )) di Cn ed f : Ω → C sia una funzione olomorfa su Ω, allora ∀z ∈ P(z ◦ , (r1 , ..., rn )) si ha 1 f (ξ1 , ..., ξn )d ξ1 · · · d ξn f (z) = ··· (2πi)n |ξ1 −z1 ◦ |=r1 |ξn −zn ◦ |=rn (ξ1 − z1 ) · · · (ξn − zn ) (10)
  • 8. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in CnRichiami: Disuguaglianza di Cauchy in piú variabilicomplesse Proposizione Sia Ω aperto di Cn contenente P(z ◦ , r ) ed f : Ω → C sia una funzione olomorfa, allora si ha per ogni m ∈ Nn M |am | ≤ m m (11) r1 1 · · · rn n ove M = max1≤j≤n max|ξj −zj ◦ |=rj |f (z)| . Teorema(Liouville) Sia f : Cn → C una funzione intera e limitata su Cn , allora f è costante.
  • 9. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in Cn2◦ passo di generalizzazione Proposizione Sia f : Cn → C funzione intera su Cn e sia c > 0,tale che   ∀z ∈ C |f (z)| ≤ c 1 + |z|m  (12) |m|=1 n allora f (z) = a + j=1 bj zj con a, bj per i = 1, · · · n costanti complesse.
  • 10. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di tipo Liouville in Cn Definizione Definiamo la funzione E : Cn → C la seguente serie formale 1 m E(z) = z . (13) m! m∈Nn La E(z) é una funzione intera. Proposizione Sia f : Cn → C funzione intera e sia c > 0 ,tale che 1 m ∀z ∈ C |f (z)| ≤ c z = c|E(z)| (14) m! m∈Nn 1 m allora f (z) = a m∈Nn m! z = aE(z).
  • 11. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Funzioni armonicheOperatori differenziali complessi Definizione Si definisce operatore laplaciano n ∂2 ∆ = Re{ }= 4 . (15) ∂zj ∂z j j=1 Definizione Sia f : Cn → C una funzione olomorfa, se ∆f = 0 (16) allora f (z) è detta armonica.
  • 12. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Funzioni armonicheOlomorfia e armonicità Proposizione Sia f : Cn → C olomorfa allora è armonica. Tutte le caratterizzazioni fatte in precedenza continuano a valere anche quando al posto di funzioni olomorfe si considerano funzioni armoniche.In particolare in questo contesto il teorema di Liouville diventa Teorema(Liouville) Sia f : Cn → C una funzione armonica e limitata, allora f è costante.
  • 13. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Teoremi di Liouville in R, R2 , R3Teoremi di Liouville nel caso Reale Definizione Sia f : Rn → R una funzione f reale tale che f ∈ C 2 (Rn ) e tale che ∀x ∈ Rn con x = (x1 , · · · , xn ) si abbia n ∂2 ∆f (x1 , · · · , xn ) = f (x1 , · · · , xn ) = 0. (17) ∂xi2 i=0 Tale funzione è detta armonica. Teorema Sia g : Rn → R , una funzione armonica in Rn per n = 1, 2, 3 e ivi limitata, allora è costante.
  • 14. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Generalizzazioni del teorema di LiouvilleTeorema di Liouville in Spazi di Banach complessi e suvarietà complesse Teorema Sia V uno spazio di Banach complesso, A : C → V una funzione analitica e limitata su tutto C. Allora A è costante. Teorema Sia A ∈ L(X ) operatore lineare e limitato A : X → X con X spazio di Banach complesso allora lo spettro σ(A) non è vuoto. Teorema Sia f una funzione olomorfa su X varietà complessa compatta, connessa allora f è costante su X .
  • 15. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Generalizzazioni del teorema di LiouvilleBibliografia Salvatore Coen, Teoria elementare delle funzioni analitiche di più variabili complesse, Università degli studi di Pisa, 1970. Murray R.Spiegel, Complex variables, Mc Graw-Hill Book Company, New York, 1975. Henry Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of one or Several Complex Variables, Dover Publications, inc. New York, 1995. L. Hörmander, An introduction to Complex Analysis in Several Variables, Princeton New Jersey, 1966. Enzo Martinelli, Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali, Roma accademia nazionale dei lincei, 1984.
  • 16. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Generalizzazioni del teorema di LiouvilleBibliografia Walter Rudin, Real and Complex Analysis, second edition, University of Wisconsin, Mc Graw-Hill, 1974. Elias M,Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003. A.I.Markushevich, Entire functions, New York American Elsevier publishing company inc. 1966. Mike Field, Several Complex Variables and Complex Manifolds I, Senior Lecturer, Department of Pure Mathematics, University of Sydney, 1982. George Bachman and Lawrence Narici, Functional Analysis, Academic Press New York and London, 1966.
  • 17. Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni Sommario Generalizzazioni del teorema di LiouvilleBibliografia Ian Stewart and David Tall, Complex Analysis, Cambridge University Press, 1983. William A.Veech, A Second Course in Complex Analysis, Dover Publications inc. Mineola New York, 1967.