Unità di misura

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unità di misura cifre significative arrotondamento conversione fattore errore incertezza

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Unità di misura

  1. 1. Lezione sul significato di misura Perugia – 31 ottobre 2008 Modulo _ Nozioni fondamentali di un laboratorio operativo
  2. 2. Inviare alla fabbrica le dimensioni di un ipod da costruire
  3. 3. Misurare le dimensioni dell’ipod
  4. 4. Ipod gigante !
  5. 5. Di chi è l’errore ?
  6. 6. Mancanza di unità di misura
  7. 8. Come convertire delle misure da un sistema di unità ad un altro <ul><li>Mario: penso che dovremmo rimisurare l’ipod con una riga in pollici </li></ul><ul><li>Roberto: troppo lavoro </li></ul><ul><li>Mario: possiamo riutilizzare le misure già fatte ? </li></ul><ul><li>Jim: e se andassero bene in cm ? In questo caso sarebbe semplice perché moltiplicheremmo le misure per 0.1 per convertire da mm a cm </li></ul><ul><li>Roberto: come funziona ? </li></ul><ul><li>Jim: sappiamo che ci sono 10 mm in 1 cm, quindi 1mm=0.1cm. Per ogni mm abbiamo 0.1 cm, così, se moltiplichiamo il numero di mm per 0.1, otteniamo il numero di cm! </li></ul><ul><li>Roberto: vuoi dire che se la misura è 45 mm, la moltiplichi per il numero di cm equivalenti ad un mm ? 45x0.1=4.5 cm. Ok, ma in questo caso vogliono pollici non centimetri! </li></ul><ul><li>Mario: e se noi trovassimo quanti pollici ci sono in 1 mm ? Non potremmo fare la stessa cosa fatta per passare da mm a cm? </li></ul><ul><li>Jim: forse potremmo </li></ul><ul><li>Roberto: così dovremmo moltiplicare la lunghezza in mm per il numero di pollici che è equivalente ad 1mm . E’ la stessa cosa fatta per convertire un numero da mm a cm, ma è più utile perché è quello che ci è richiesto di fare. </li></ul><ul><li>Mario: allora possiamo usare una calcolatrice per fare questa conversione, senza dover rifare tutte le misure! </li></ul><ul><li>Jim: allora mettiamoci all’opera </li></ul>
  8. 9. Una misura ha un numero ed una unità <ul><li>Vale sempre la seguente regola: </li></ul><ul><ul><li>numero1 x unità1 = numero2 x unità2 </li></ul></ul><ul><li>Ciò deriva immediatamente dal fatto che una misura si riferisce a qualcosa di concreto che non può mutare la sua grandezza al cambiare della unità di misura. </li></ul><ul><li>Un ipod può stare nel nostra taschino in maniera confortevole sia che lo si misuri in mm che in pollici ! </li></ul><ul><li>Un fattore di conversione è il numero per moltiplicare una misura per convertirla da un sistema di unità ad un altro </li></ul>
  9. 10. Dove trovare il fattore di conversione <ul><li>Molti libri di fisica hanno delle tabelle con questi fattori di conversione </li></ul><ul><li>Si può anche usare il motore di ricerca di Google </li></ul>
  10. 11. Un fattore di conversione come frazione <ul><li>Ora che sapete che 1 millimetro è come 0.0393700787 pollici, dobbiamo fare un po’ di matematica </li></ul><ul><li>La chiave per convertire è trasformare il fattore di conversione in frazione : </li></ul><ul><li>Si può quindi moltiplicare la misura per questa frazione. Poiché il numeratore ed il denominatore di questa frazione sono della medesima grandezza, moltiplicare per la frazione è come moltiplicare per 1, e la grandezza della misura non cambia. </li></ul><ul><li>Moltiplicando per la frazione di conversione cambia invece l’unità di misura, ed è quello che vogliamo proprio fare ! </li></ul>
  11. 12. Moltiplicare o dividere per la frazione di conversione ? <ul><li>Avremmo potuto nella frazione scrivere al numeratore 1 mm e al denominatore il fattore di conversione perché il rapporto è sempre uguale a 1. </li></ul><ul><li>Quale delle due forme utilizziamo ? </li></ul><ul><li>Quella che ci consente di ottenere la unità di misura richiesta dalla conversione </li></ul><ul><li>Per passare da mm a pollici devono semplificarsi i mm nell’operazione che ha come operandi la misura in pollici e la frazione di conversione, pertanto uso la moltiplicazione e la frazione che ha i mm al denominatore: </li></ul>
  12. 13. Conversione delle misure dell’ipod da mm a pollici (inches)
  13. 14. Troppe cifre nella conversione delle misure <ul><li>Dopo aver convertito tutte le misure da mm a pollici ed aver verificato che tutte le unità siano scritte per ogni misura, inviamo di nuovo il modello alla fabbrica </li></ul><ul><li>Ma c’è ancora un problema. Dalla fabbrica ci telefonano che non possono seguire le istruzioni del modello perché non sono capaci di costruire un oggetto al 0.000000001 pollice </li></ul>
  14. 15. Che cosa fare con numeri che hanno troppe cifre ? <ul><li>Il problema è che i numeri del modello dell’ipod hanno troppe cifre! Nel modello la larghezza è espressa come 2.362204722 pollici </li></ul><ul><li>Ciò implica che avete misurato con una riga che è in grado di apprezzare fino alla 0.000000001 frazione di pollice ! Ma, a meno che abbiate una riga che possa misurare i singoli atomi, ciò non è possibile. </li></ul>
  15. 16. Cifre significative <ul><li>Dovete decidere quante cifre nella vostra risposta sono significative. </li></ul><ul><li>La cifra più significativa è quella che dice di più su quanto è grande un numero, di solito la prima non nulla. </li></ul>
  16. 17. quante sono le cifre significative di un numero ? <ul><li>1.000 ha 4 cifre significative </li></ul><ul><li>0.001 ha 1 cifra “ “ </li></ul><ul><li>40.00 ha 4 cifre “ “ </li></ul><ul><li>40.0 ha 3 cifre “ “ </li></ul><ul><li>040.0 ha 3 cifre “ “ </li></ul><ul><li>040.001 ha 5 cifre “ “ </li></ul><ul><li>040.000 ha 5 cifre “ “ </li></ul><ul><li>La regola è: </li></ul><ul><ul><li>gli zeri davanti alla prima cifra non nulla non vanno contati </li></ul></ul><ul><ul><li>gli zeri dopo la virgola contano </li></ul></ul><ul><ul><li>Tutte le altre cifre vanno conteggiate </li></ul></ul>
  17. 18. Approssimare un numero con troppe cifre significative <ul><li>Poiché i numeri del modello dell’ipod hanno troppe cifre è ragionevole arrotondarle ed eliminare quelle meno significative. </li></ul><ul><li>Se arrotondiamo 2.362204722 ad 1 cifra si ha 2perchè quel numero è più vicino a 2 che a 3. </li></ul><ul><li>Se lo arrotondiamo a 2 cifre si ha 2.4 perché è più vicino a 2.4 che a 2.3 </li></ul><ul><li>Ma a quante cifre significative dobbiamo arrotondare le nostre misure ? </li></ul>
  18. 19. Le prime 3 cifre di un numero sono le più importanti
  19. 20. Regole di arrotondamento
  20. 21. Approssimazione nelle misure <ul><li>Occorre sempre approssimare la misura alla divisione della scala più vicina </li></ul>
  21. 22. Errore nella misura <ul><li>Ogni misura ha un errore (un’incertezza) associato ad essa </li></ul><ul><li>Quando arrotondiamo la misura alla divisione della scala più vicina alla lunghezza da misurare, significa che una misura di 7 mm potrebbe in realtà trovarsi in un intervallo da 6.5 mm fino a 7.5 mm </li></ul><ul><li>È importante sapere quanta è l’incertezza di una misura </li></ul><ul><li>la lunghezza di 7 mm è stata misurata con una riga che ha una divisione di scala di 1 mm oppure con un micrometro che ha una divisione di scala di 0.001 mm ? </li></ul><ul><li>Si può indicare il margine di errore con i numeri. La misura di 7mm fatta con la riga potrebbe essere più grande o più piccola di 0.5mm. </li></ul><ul><li>Si scrive 7.0 mm +- 0.5 mm </li></ul><ul><li>L’errore è sempre la metà della divisione di scala </li></ul>
  22. 23. L’errore della misura originale si propaga cambiando l’unità di misura <ul><li>La grandezza della cosa sotto misura non cambia quando si converte in altre unità di misura </li></ul><ul><li>La grandezza dell’errore </li></ul><ul><li>non cambia quando si converte in altre unità di misura </li></ul><ul><li>Nel nostro esempio bisogna convertire anche l’errore da mm a pollici </li></ul><ul><li>Si approssima l’errore ad 1 sola cifra significativa </li></ul><ul><li>Poi si arrotonda la misura in pollici all’ultima cifra influenzata dall’errore (arrotonda al medesimo numero di cifre decimale dell’errore) </li></ul><ul><li>Se l’errore convertito diventa +-0.061842375 pollici si arrotonda a 0.06 </li></ul><ul><li>Così una misura di 27 mm che si converte a 1.0106299213 pollici, si arrotonda a 1.01 +- 0.06 perché l’ultima cifra influenzata dall’errore è la cifra dei centesimi. </li></ul>
  23. 24. Approssimare le misure dell’ipod
  24. 25. Le misure dell’ipod in pollici con gli errori e le approssimazioni
  25. 26. Finalmente il modello è pronto con le giuste misure e la fabbrica è felice
  26. 27. Lo zero dà un’informazione supplementare <ul><li>Il numero di cifre significative di una misura implica la grandezza dell’errore della misura. </li></ul><ul><li>L’ultima cifra inclusa è quella che è incerta </li></ul><ul><li>Se ad esempio la misura è 1.50 pollici +- 0.02 pollici, la lunghezza potrebbe essere 2 centesimi di pollici più grande o più piccola di 1.50 pollici. Scrivendo la misura come 1.50 implica correttamente che la cifra dei centesimi è incerta. </li></ul><ul><li>Se invece scrivessimo 1.5 pollici dedurremmo che la cifra incerta è quella dei decimi sbagliando </li></ul>
  27. 28. Quando scrivete una misura, dovete usare il numero giusto di cifre significativa <ul><li>Se scrivete una misura 1.5 pollici, assumete che è stata fatta al più vicino 0.1 pollice e che l’errore è +-0.05 pollici </li></ul><ul><li>Se scrivete una misura 1.50 pollici, assumete che è stata fatta al più vicino 0.01 pollice e che l’errore è +- 0.005 pollici </li></ul><ul><li>Pertanto se scrivete 1.5 quando avreste dovuto invece scrivere 1.50, ciò significa che la misura è dieci volte peggiore di quanto non lo sia in realtà </li></ul>

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