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áLgebra  [u de chile]
 

áLgebra [u de chile]

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    áLgebra  [u de chile] áLgebra [u de chile] Document Transcript

    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o ´ SEMANA 1: LOGICA Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz1. L´gica o tambi´n tus e propias anotaciones.La l´gica le proporciona a las matem´ticas un lenguaje claro y un m´todo preciso o a epara demostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo: axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ cl´sica ıa a + l´gica o = teoremas de la geometr´ euclidiana ıaUn ejemplo de noci´n primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice oque por un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´lo una recta paralela oa L.Sin la l´gica los axiomas ser´ un mont´n de verdades aceptadas, pero nada m´s. o ıan o aLa l´gica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) oque antes no conoc´ ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´ngulos interiores ade cualquier tri´ngulo siempre es de 180◦ . aAl ser la l´gica el punto de partida de las matem´ticas, en ella se deben introducir o anociones primarias tales como proposici´n, valor de verdad, conectivo l´gico. o o1.1. Proposiciones y valor de verdadDefinici´n 1.1 (Proposici´n l´gica). Una proposici´n debe interpretarse como o o o oun enunciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero(V ) o falso (F ).Por ejemplo, en el contexto de la aritm´tica, “2+1=5” corresponde efectivamente a euna proposici´n. M´s a´ n, su valor de verdad es F . o a uT´ ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´ sculas: p, q, r, etc. uAlgunos ejemplos: “Estoy estudiando ingenier´ ıa”. “1≥ 0”. “Est´ lloviendo en Valdivia”. a1.2. Conectivos l´gicos oLos conectivos l´gicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposi- ociones ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´n depender´ del valor o ade verdad de las proposiciones que la forman. Esta dependencia se explicita a trav´s ede una tabla de verdad.Definici´n 1.2 (Negaci´n). La proposici´n p se lee “no p” y es aquella cuyo valor o o ode verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´n de “mi hermano ya ocumpli´ quince a˜ os” es “mi hermano a´n no cumple quince a˜ os”. Esto se explicita o n u na trav´s de la siguiente tabla de verdad. e 1
    • p p V F F VDefinici´n 1.3 (O l´gico o disyunci´n). La proposici´n p ∨ q se lee “p o q”. o o o oDecimos que p ∨ q es verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dosproposiciones, o bien p o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´n “ma˜ ana o nllover´ o ma˜ ana no llover´” es verdadera. En otras palabras, tal como se aprecia a n aen la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´ adiciendo es que nunca son simult´neamente falsas. a p q p∨q V V V V F V F V V F F FDefinici´n 1.4 (Y l´gico o conjunci´n). La proposici´n p∧q se lee “p y q”. Tal o o o ocomo se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q,lo que nos est´ diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas. a p q p∧q V V V V F F F V F F F FDefinici´n 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar ver- odadera la proposici´n “si el se˜ or K est´ en California entonces el se˜ or K est´ en o n a n aEstados Unidos”. ¿Por qu´? ePorque a uno no le importa d´nde est´ el se˜ or K: podr´a estar en Texas o en Chi- o a n ına. Lo unico importante es que, si efectivamente “est´ en Californa”, entonces ´ apodemos concluir, con esa sola informaci´n, que “est´ en Estados Unidos”. o aLa proposici´n p ⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces q”. Para estudiar su valor ode verdad nos debemos concentrar en el caso de que la hip´tesis p sea verdadera. oAh´ tenemos que determinar si basta con esa informaci´n para concluir que q es ı overdadera. En resumen: si alguien afirma que se tiene p ⇒ q, debemos concluir quesi p es verdad entonces necesariamente q ser´ verdad. Todo esto se explicita a atrav´s de la siguiente tabla. e p q p⇒q V V V V F F F V V F F VDefinici´n 1.6 (Equivalencia). Decimos que la proposici´n p es equivalente con o ola proposici´n q (o que “p si y s´lo si q”), y escribimos p ⇐⇒ q, cuando basta con o oconocer el valor de verdad de una para saber el valor de verdad de la otra ya que´ste siempre es el mismo.ePor ejemplo “el paralel´gramo dibujado en la pared tiene todos sus angulos iguales” o ´es equivalente con la proposici´n “las diagonales del paralel´gramo dibujado en la o opared miden lo mismo”. O bien ambas son verdaderas o bien ambas son falsas. 2
    • p q p ⇐⇒ q V V V V F F F V F F F V1.3. Tautolog´ ıasDefinici´n 1.7 (Tautolog´ o ıa). Una tautolog´a es una proposici´n que, sin impor- ı otar el valor de verdad de las proposiciones que las constituyen, es siempre verdadera.Tres ejemplos bastante razonables: Ejemplos: p∨p p⇒p∨q (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (q ⇐⇒ p)Demostraremos, desarrollando una tabla de verdad, que la primera proposici´n es otautolog´ ıa. p p p∨p V F V F V VTodas las tautolog´ son equivalentes entre s´ y se pueden reemplazar por la ıas ıproposici´n V . Por ejemplo (p ∨ p) ⇐⇒ V . Esto es an´logo a lo que hacemos o acuando reemplazamos el t´rmino (x − x) por el s´ e ımbolo 0.Definici´n 1.8 (Contradicci´n). As´ como existen las tautolog´as existen las con- o o ı ıtradicciones. Son proposiciones siempre falsas.Por ejemplo, p ∧ p. Son todas equivalentes a la proposici´n F . oVamos a listar una serie de tautolog´ de la forma A ⇐⇒ B. El uso que se les ıasdar´ es el siguiente. Cada vez que en una cierta proposici´n aparezca la expresi´n a o oA, puede reemplazarse por B. Y viceversa. El lector debe demostrar la condici´n ode tautolog´ de algunas de ellas usando tablas de verdad, como ejercicio. ıaProposici´n 1.1 (Tautolog´ importantes). o ıas (p ∧ p) ⇐⇒ F (p ∧ V ) ⇐⇒ p (p ∧ F ) ⇐⇒ F 1. (p ∨ p) ⇐⇒ V (p ∨ V ) ⇐⇒ V (p ∨ F ) ⇐⇒ p 2. Caracterizaci´n de la implicancia. (p ⇒ q) ⇐⇒ (p ∨ q) o 3. Leyes de De Morgan. a (p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q) b (p ∨ q) ⇐⇒ (p ∧ q) 3
    • 4. Doble negaci´n. p ⇐⇒ p o 5. Conmutatividad. 5.1. (p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p) 5.2. (p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p) 6. Asociatividad. 6.1. (p ∨ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ r) 6.2. (p ∧ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∧ r) 7. Distributividad. 7.1. (p ∧ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) 7.2. (p ∨ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) 7.3. ((q ∨ r) ∧ p) ⇐⇒ ((q ∧ p) ∨ (r ∧ p)) 7.4. ((q ∧ r) ∨ p) ⇐⇒ ((q ∨ p) ∧ (r ∨ p))Cuatro tautolog´ muy importantes ıasEstas cuatro tautolog´ se prueban usando tablas de verdad. Son particularmente ıasutiles para demostrar teoremas.´Cada una de ellas da lugar a una t´cnica de demostraci´n: equivalencia dividida en e odos partes, transitividad, contrarrec´ıproca, reducci´n al absurdo. En las partes que osiguen ilustraremos el uso de estas t´cnicas. Ver´s este s´ e a ımbolo cada vez que lohagamos.Proposici´n 1.2. o 1. Equivalencia dividida en dos partes. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ⇒ q ∧ q ⇒ p) 2. Transitividad. ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) 3. Contrarrec´proca. (p ⇒ q) ⇐⇒ (q ⇒ p) ı 4. Reducci´n al absurdo. (p ⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ q) o 4
    • Verificaci´n simb´lica y exploratoria o oCuando queremos verificar de manera simb´lica que cierta proposici´n es tautolog´ o o ıaevitaremos usar tablas de verdad y s´lo nos permitiremos usar (como conocidas) olas tautolog´ b´sicas que aparecen en las secciones anteriores. Demostremos de ıas amanera simb´lica entonces que: o (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)En efecto: (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ⇐⇒ [(p ∨ q) ∧ q] ∨ [(p ∨ q) ∧ p] ⇐⇒ [(p ∧ q) ∨ (q ∧ q)] ∨ [(p ∧ p) ∨ (q ∧ p)] ⇐⇒ [(p ∧ q) ∨ F ] ∨ [F ∨ (q ∧ p)] ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)En las demostraciones exploratorias se acepta“explorar”la tabla de verdad deshechan-do los casos ”f´ciles”. Demostremos, exploratoriamente, que la siguiente proposici´n a oes tautolog´ ıa. [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q)] ⇒ (p ⇒ r)Vamos a asumir que tanto (p ⇒ q) como (r ⇒ q) son verdaderas. Es decir, nosocupamos s´lo del caso en que la hip´tesis es verdadera. Lo que debemos hacer o oes concluir que (p ⇒ r) es verdadera.Caso 1. p es falsa. Este caso es f´cil: obviamente se tiene que (p ⇒ r) es verdadera. aCaso 2. p es verdadera. Como asumimos que (p ⇒ q) es verdadera, se tiene quetener q falsa.Como (r ⇒ q) se asume verdadera y como q es falsa, r tiene que ser falsa. Por lotanto, como r es falsa, se tiene que (p ⇒ r) es verdadera.1.4. Funci´n proposicional y cuantificadores oDefinici´n 1.9 (Funci´n proposicional). Una funci´n proposicional p es una o o oexpresi´n descrita en funci´n de alg´n par´metro x que satisface lo siguiente: cada o o u avez que x se reemplaza por una cadena de s´mbolos, p(x) se transforma en una ıproposici´n. o Ejemplos: p(x) = “x es un jugador de f´ tbol” es una funci´n proposicional. Notar que u o p(Marcelo Salas) es verdadera mientras que p(Nicol´s Massu) es falsa. a q(x) = “x−5 ≤ 0”, tambi´n es una funci´n proposicional. q(2) es verdadera, e o pero q(6) es falsa.Observaci´n: En adelante, usaremos p(x) de dos formas distintas: o Para referirnos a la funci´n proposicional misma y mostrar que x es la variable o que reemplazamos por cadenas de s´ ımbolos para obtener proposiciones l´gicas. o Para referirnos, cuando x es algo en particular, a la proposici´n que se forma o de haber hecho el reemplazo en la funci´n proposicional. o 5
    • Cuantificador universalDefinici´n 1.10 (Cuantificador universal). La proposici´n (∀x)p(x), que se lee o o“para todo x p(x)”, es verdadera siempre y cuando p(x) sea verdadera para cualquiercadena de s´mbolos que se reemplace en x. ıVeamos un ejemplo: Ejemplo: Usando el ejemplo anterior, p(x) = “x es un jugador de f´ tbol”, ¿ser´ u a verdadera (∀x)p(x). Claramente, como vimos que p(Nicol´s Massu) es falsa, no es cierto que a al reemplazar x por cualquier cadena de s´ ımbolos lo resultante sea una proposici´n verdadera. o Luego (∀x)p(x) es falsa.A continuaci´n veamos ejemplos de proposiciones construidas usando el cuantifi- ocador universal y c´mo se verifica la veracidad de dichas proposiciones. o Ejemplo: (∀x)(p(x) ∨ p(x)) es verdadera. Verifiquemos que es verdadera, por pasos. Sea x arbitrario (este es el modo en que se considera el “∀x”). p.d.q (por demostrar que): p(x) ∨ p(x) es verdadera. En efecto: Caso 1. p(x) es verdadera. Como V ∨ p(x) es verdadera, se concluye. Caso 2. p(x) es falsa. En este caso p(x) es verdadera. Como (F ∨V ) ⇐⇒ V , se concluye. (∀x)[p(x) ⇒ (p(x) ∨ q(x))] es verdadera. Demostr´moslo. e Sea x arbitrario Hip´tesis: p(x) es verdadera. o p.d.q: p(x) ∨ q(x) es verdadera. En efecto: como p(x) es verdadera, usamos que V ∨ q(x) es verdadera para concluir. [(∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x)] ⇒ [(∀x)(p(x) ∨ q(x)] es verdadera. Hip´tesis: (∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x) es verdadera o p.d.q: (∀x)(p(x) ∨ q(x)) es verdadera En efecto: sea x arbitrario. Caso 1. p(x) es verdadera. En este caso (p(x) ∨ q(x)) es verdadera. Caso 2. p(x) es falsa. En este caso, por hip´tesis, q(x) tiene que ser o verdadera. Se deduce que (p(x) ∨ q(x)) es verdadera. 6
    • Cuantificador existencialDefinici´n 1.11 (Cuantificador existencial). La proposici´n (∃x)p(x), que se o olee “existe x, tal que p(x)”, es verdadera cuando se puede encontrar por lo menosuna cadena de s´mbolos que hace p(x) verdadero. ı Ejemplo: Retomando el ejemplo anterior, con p(x) = “x es un jugador de f´ tbol”. u ¿Se tendr´ que (∃x)p(x)?. a Tenemos que hay al menos un x que hace a p(x) verdadera, por ejemplo x = Mat´as Fern´ndez cumple claramente que p(Mat´as Fern´ndez) es ı a ı a verdadera. As´ (∃x)p(x) es verdadera. ı,Relaci´n entre cuantificadores oA continuaci´n veremos la relaci´n que existe entre los dos cuantificadores antes o odefinidos. Dicha relaci´n se debe a la negaci´n. o oResulta que (∃x)p(x) es falsa si y s´lo si p(x) no es verdadera para ninguna cadena ode s´ ımbolos x, es decir, si y s´lo si (∀x)p(x) es verdadera. As´ hemos hallado la o ı,Proposici´n 1.3 (Negaci´n del cuantificador existencial). La siguiente proposi- o oci´n es una tautolog´a o ı (∃x)p(x) ⇐⇒ (∀x)p(x).Existencia y unicidadHay un cuantificador m´s que se utiliza con frecuencia: aDefinici´n 1.12 (Existencia y unicidad). La proposici´n (∃!x)p(x), que se lee o o“existe un unico x tal que p(x)”, es verdadera cuando hay exactamente una cadena ´de s´mbolos hace verdadero p(x). ıUn ejemplo: Ejemplo: Nuevamente, considerando nuestra funci´n proposicional p(x) = “x es un jugador o de f´ tbol”. ¿Cu´l ser´ el valor de verdad de (∃!x)p(x)? u a a Podemos notar que tanto x1 = Marcelo Salas y x2 = Mat´as Fern´ndez hacen ı a que p(x) sea verdadera. Es decir, si bien existe un x que hace a p(x) verdadera, no es unico. ´ As´ (∃!x)p(x) es falsa. ı, 7
    • Observaci´n: Notemos que ∃! no es un cuantificador nuevo, en el sentido de que opuede ser definido en funci´n de los dos cuantificadores anteriores. Es decir la sigu- oiente proposici´n es verdadera. o (∃!x)p(x) ⇐⇒ [(∃x)p(x)] ∧ [(∀x)(∀y)((p(x) ∧ p(y)) ⇒ (x = y))] Existencia Unicidad Ejemplo importante: Equivalencia dividida en dos partes Veremos ahora una t´cnica de demostraci´n que se basa en una de las tautolog´ e o ıas importantes que vimos antes. Supongamos que queremos demostrar que (∀x)(p(x) ∧ q(x)) ⇐⇒ [(∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x)] p q es verdadera. Lo que haremos es usar la Tautolog´ 1, ıa (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)). ´ En donde el rol de p y q est´ descrito arriba. Esta nos permite dividir la de- a mostraci´n en dos partes, ya que en lugar de verificar que (p ⇐⇒ q) es ver- o dadera, podemos verificar que (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) es verdadera. Esto, a su vez lo hacemos verificando que (p ⇒ q) es verdadera y luego que (q ⇒ p) tambi´n lo es. e ⇒) Hip´tesis: (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. o p.d.q: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera. En efecto: Sea x arbitrario. Por hip´tesis se tiene tanto p(x) como q(x) son ver- o daderas. En particular p(x) lo es. Es decir, probamos que (∀x)p(x) es verdadera. An´logamente se tiene que tambi´n (∀x)q(x) es verdadera. a e ⇐) Hip´tesis: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera. o p.d.q: (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. En efecto: Sea x0 arbitrario. Como por hip´tesis (∀x)p(x)) es verdadera se o tiene que p(x0 ) es verdadera. Como por hip´tesis (∀x)q(x) es verdadera se o tiene q(x0 ) tambi´n lo es. eObservaci´n: Convenciones en el desarrollo de un argumento En la demostraci´n o oanterior la expresi´n “... es verdadera ...” aparece una gran cantidad de veces. Por oejemplo en Hip´tesis: (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. o p.d.q: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera.Esto no siempre es necesario pues se subentiende que al decir que la hip´tesis es p oestamos asumiendo que p es verdadera.Del mismo modo, si declaramos que queremos demostrar q se subentiende quedeseamos demostrar que q es verdadera.Tambi´n es posible que despu´s de un razonamiento lleguemos a la conclusi´n que r e e oes verdadera. Esto suele indicarse con expresiones del tipo “se tiene r” o “y entoncesr”. 8
    • Tomando estas convenciones la ultima parte del desarrollo anterior queda como ´sigue. Hip´tesis: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) o p.d.q: (∀x)(p(x) ∧ q(x))En efecto: Sea x0 arbitrario. Como por hip´tesis (∀x)p(x), se tiene p(x0 ). Como opor hip´tesis (∀x)q(x), se tiene q(x0 ). o 9
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. “25-11” no corresponde a una proposici´n l´gica. o o 2. “¿Podr´s venir ma nana?” es una proposici´n l´gica. a o o 3. “x − 11” corresponde a una proposici´n l´gica, si se reemplaza x por un o o n´ mero. u 4. “25 − 11 ≤ 0” corresponde a una proposici´n l´gica. o o 5. El valor de verdad de la proposici´n p es siempre distinto al de p. o ¯ 6. Existen proposiciones l´gicas p tales que p tiene el mismo valor de verdad o ¯ que el de p. 7. Si p es falsa, entonces la proposici´n p ∨ q es siempre falsa. o 8. La proposici´n p∨q es verdadera cuando p y q no son simult´neamente falsas. o a 9. La proposici´n p ∨ q es verdadera cuando al menos una de las proposiciones o p ´ q es verdadera. o10. La proposici´n p ∧ q es falsa s´lo si p y q son falsas. o o11. Existe una proposici´n l´gica p tal que p∧q es siempre verdadera, sin importar o o el valor de verdad de q.12. Basta que p sea falsa, para que la proposici´n p ∧ q sea siempre falsa. o13. Si una proposici´n compuesta es tautolog´a, sin importar el valor de verdad o ı de las proposiciones que la constituyen, es verdadera.14. Dada una proposici´n compuesta p, si existe una asignaci´n de valores de o o verdad para las proposiciones que la constituyen que la haga verdadera, entonces p es una tautolog´a. ı15. Una tautolog´ cualquiera q, es siempre equivalente a la proposici´n p ⇒ p. ıa o16. El valor de verdad de la proposici´n p ∨ p es siempre el mismo, sin importar o ¯ el valor de verdad de p.17. Existe un valor de verdad para p, tal que la proposici´n p ∨ p es falsa. o ¯18. El valor de verdad de la proposici´n (p ∧ q ) ∨ (p ⇒ q) puede ser falso. o ¯19. La negaci´n de la proposici´n p ∨ q es p ∨ q. o o ¯ ¯20. La negaci´n de la proposici´n p ∨ q es p ∧ q. o o ¯ ¯21. La negaci´n de la proposici´n p ∨ q es p ∨ q . o o ¯ ¯22. La proposici´n (p ∨ q) ∨ r es equivalente a la proposici´n (p ∨ r) ∨ (q ∨ r). o o23. La proposici´n (p ∨ q) ∨ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la o proposici´n (r ∨ q) ∨ p. o 10
    • 24. La proposici´n (p ∨ q) ∨ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la o proposici´n (p ∨ r) ∧ (q ∨ r). o25. La proposici´n (p ∧ q) ∨ p es verdadera s´lo cuando q es verdadera. o o26. La proposici´n (p ∧ q) ∨ p es verdadera si p es verdadera. o27. Si la proposici´n (p ∧ q) ∨ p es falsa, necesariamente q es falsa. o28. La proposici´n p ⇒ F es siempre falsa. o29. La proposici´n p ⇒ p es siempre falsa. o ¯30. La proposici´n p ⇒ q es siempre verdadera si el valor de verdad de p es falso. o31. Si la proposici´n p ⇒ q es verdadera y p tambi´n lo es, necesariamente q es o e verdadera.32. Si la proposici´n p ⇒ (q ⇒ r) es verdadera y p tambi´n lo es, necesariamente o e r es verdadera.33. Si la proposici´n (p ⇒ q) ⇒ r es falsa y p es verdadera, necesariamente q es o verdadera.34. La proposici´n p ⇔ V tiene siempre el mismo valor de verdad que p. o35. La proposici´n p ⇔ F es equivalente a la proposici´n p ∨ F . o o ¯36. La proposici´n (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q) es una tautolog´ o ıa.37. Si la proposici´n ((r ⇒ p) ∧ (p ⇒ q)) es verdadera, la proposici´n r ⇒ q o o tambi´n lo es. e38. La proposici´n ((¯ ⇒ p) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (¯ ⇒ p) es una tautolog´ o q ¯ r ¯ ıa.39. La proposici´n (p ⇒ q) ⇔ (¯ ⇒ q ) es tautolog´ o p ¯ ıa.40. La negaci´n de la proposici´n p ⇒ q es (p ∧ q ). o o ¯41. La negaci´n de la proposici´n p ⇒ q es p ⇒ q. o o ¯ ¯42. La proposici´n cuantificada (∀x)p(x) es verdadera si p(x) es verdadera para o cualquier elemento por el que se reemplace x.43. Si la proposici´n (∀x)p(x) es verdadera, entonces la proposici´n (∃x)p(x) es o o tambi´n verdadera. e44. Si q(x) es una funci´n proposicional y x0 es tal que q(x0 ) es verdadera, o entonces la proposici´n cuantificada (∃x)q(x) es verdadera. o45. Es siempre cierto que si la proposici´n (∃x)p(x) es verdadera, entonces la o proposici´n (∃!x)p(x) es verdadera. o46. Si p(x) es una funci´n proposicional y x0 es tal que p(x0 ) es falsa, entonces o la proposici´n cuantificada (∀x)p(x) es falsa. o47. Si las proposiciones (∀x)p(x) y (∀x)q(x) son verdaderas, entonces la proposi- ci´n (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. o 11
    • 48. Si la proposici´n (∀x)(p(x) ∨ q(x)) es verdadera, entonces la proposici´n o o (∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x) es verdadera.49. Si la proposici´n (∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x) es verdadera, entonces la proposici´n o o (∀x)(p(x) ∨ q(x)) es verdadera.50. La negaci´n de la proposici´n (∃!)p(x) es ((∀x)p(x)) ∨ ((∃x)(∃y)(x = y ⇒ o o (p(x) ∨ p(y))). 12
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Demuestre usando tablas de verdad que las siguientes proposiciones vistas en la tutor´ son tautolog´ ıa, ıas: (a) (p ∨ p) ⇔ V . (b) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q). (c) (p ∨ q) ⇔ p ∧ q. (d) ((q ∨ r) ∧ p) ⇔ (q ∧ p) ∨ (r ∧ p).2. Escriba las siguientes proposiciones l´gicas, de manera equivalente, s´lo usando o o los conectivos l´gicos de implicancia (⇒) y negaci´n (¯): o o (a) p ∨ q (b) p ∧ (q ∨ r) (c) ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (r ∧ q) (d) (p ∧ q) ∧ (p ∨ r)3. Se define el conectivo l´gico p|q ⇔ p ∨ q. Escriba usando s´lo el conectivo |, o o proposiciones equivalentes a las siguientes: (a) p (b) p ∨ q (c) p ∧ q (d) p ⇒ q4. Sean p, q, r proposiciones l´gicas. Demostrar usando tablas de verdad que las o siguientes proposiciones son tautolog´ıas: (a) p ⇒ (p ∨ q) (b) (p ⇔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) (c) [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r) (d) (p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ q) (e) [p ∧ q ⇒ p] ⇒ (p ⇒ q)5. Sean p, q, r proposiciones l´gicas. Demostrar sin usar tablas de verdad que las o siguientes proposiciones son tautolog´ıas: (a) [(p ⇒ q) ∧ (r ∨ q) ∧ r] ⇒ p (b) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q (c) [(p ∧ q) ⇒ p] ⇒ (p ⇒ q) (d) (p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ∧ r ⇒ q) (e) (p ∧ q) ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ⇔ q)]6. En cada caso, con la informaci´n entregada, determine el valor de verdad de la o proposici´n r: o (a) r ⇒ q es falsa. (b) q ⇒ r es falsa. 13
    • (c) p ⇒ (q ∨ r) es falsa. (d) r ⇔ q es verdadera y (p ∧ q) ⇒ s es falsa (e) (r ⇒ p) ⇒ (p ∧ q) es verdadera y q es verdadera.7. Sean p(x), q(x) funciones proposicionales. Determinar la negaci´n de las sigu- o ientes proposiciones cuantificadas: (a) (∃x)(∀y)(p(x) ∧ q(y)) (b) (∀x)(∀y)(p(x) ⇒ q(y)) (c) (∃!x)p(x) (d) (∀x)[q(x) ⇒ (∃y)p(y)] (e) (∃x)(∃y)(p(x) ⇔ q(y)) 14
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones.P1. Sean p, q, r proposiciones. Probar sin usar tablas de verdad que la proposici´n o presentada en cada item es una tautolog´ Trate de aprovechar la forma que ıa. tiene cada proposici´n, usualmente el hecho de que sea una implicancia. o (a) (20 min.) (p ∨ q ⇔ p ∧ r) ⇒ ((q ⇒ p) ∧ (p ⇒ r)). (b) (20 min.) (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r). (c) (20 min.) (p ⇒ q) ⇒ [(q ∧ r) ⇒ (p ∧ r)]. (d) (20 min.) [(p ⇒ q) ∧ (r ∨ q) ∧ r] ⇒ p.P2. En esta parte, dada una hip´tesis (una proposici´n que se sabe es verdadera), o o deber´ estudiar el valor de verdad de otra proposici´n. a o (a) (20 min.) Sean p, q, r proposiciones. Averiguar si la equivalencia p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ r) ∧ q puede ser verdadera sin que lo sea la implicancia p ⇒ q. Es decir, use la informaci´n de la hip´tesis para sacar conclusiones de los o o valores de verdad de las proposiciones involucradas. (b) (25 min.) Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s si se sabe que la siguiente proposici´n es verdadera. o [s ⇒ (r ∨ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ∧ s ∧ r]. (c) (25 min.) Sean p, q, r, s proposiciones que satisfacen que la siguiente proposi- ci´n es verdadera: o (q es verdadera) ∧ [(p ∧ q) no es equivalente con (r ⇔ s)]. Demuestre que el valor de verdad de la proposici´n: o [(p ∧ r) ∨ (q ⇒ s)] ⇒ [p ∨ (r ∧ s)] es verdadero para todas las combinaciones de valores veritativos que cumplen la hip´tesis. o 15
    • P3. Sean las proposiciones r y s siguientes: r : (∀x)(p(x) ⇒ q) s : ((∀x)p(x)) ⇒ q Piense en qu´ dice cada una en t´rminos intuitivos y cu´l es la diferencia entre e e a ambas. (a) (10 min.) Niegue ambas proposiciones, r y s. (b) (20 min.) De las dos implicancias, (r ⇒ s) y (s ⇒ r) determine la que corresponde a una tautolog´ Justifique su elecci´n. ıa. o 16
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o SEMANA 2: CONJUNTOS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz2. Conjuntos tambi´n tus e propias anotaciones.2.1. Introducci´n oLa teor´ de conjuntos gira en torno a la funci´n proposicional x ∈ A. Los valores ıa oque hacen verdadera la funci´n proposicional x ∈ A son aquellos elementos que oforman el conjunto A.La funci´n proposicional “x ∈ A” se lee ”x pertenece a A”. Su negaci´n, que se o odenota x ∈ A, se lee “x no pertenece a A”. / Ejemplo: Si queremos que el conjunto A sea el de los n´ meros primos menores que 10 u entonces tendr´ ıamos que definirlo formalmente as´ ı: (∀x)[(x ∈ A) ⇐⇒ (x = 2 ∨ x = 3 ∨ x = 5 ∨ x = 7)].Los conjuntos finitos son f´ciles de definir. De hecho, acabamos de mostrar c´mo a ose define el conjunto que se se denota por extensi´n A = {2, 3, 5, 7}. oLa axiom´tica de la teor´ de conjuntos (que aqu´ no se estudiar´) permite asumir a ıa ı ala existencia de un conjunto infinito muy importante: el de los naturales = Æ{0, 1, 2, 3, . . .}.Algunos ejemplos de conjuntosEn matem´ticas se construyen nuevos conjuntos a partir de conjuntos ya conocidos. aSupongamos que ya conocemos el conjunto A. Podemos introducir, B = {x ∈A|p(x)}. Lo que en el fondo estamos definiendo es la funci´n proposicional x ∈ B oas´ ı: (∀x)[(x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ p(x))]Por ejemplo, el conjunto de m´ ltiplos de 7 es el conjunto {x ∈ u Æ|( x ) ∈ Æ}. 7Otros ejemplos de conjuntos, con los cuales el lector ya debe estar familiarizado: Ejemplos: 1. Los reales Ê. 2. Los enteros . 3. Los racionales É = {x ∈ Ê | (∃p)(∃q)(p ∈ ∧q ∈ ∧ q = 0 ∧ x = p )}. q 4. Los irracionales Éc = {x ∈ Ê | x ∈ É}. / 5. Los naturales Æ = {0, 1, 2, 3, . . . }. + 6. Los enteros positivos = {1, 2, 3, 4, . . . } 17
    • 2.2. El conjunto vac´ ıoDefinimos ahora el conjunto vac´ el cual notamos φ, del siguiente modo: ıo,Definici´n 2.1 (Conjunto vac´ o ıo). φ = {x ∈ Æ|x = x}.Notar que φ no tiene ning´ n elemento. Es decir (∀x)(x ∈ φ). u /En efecto, sea x arbitrario. (x ∈ φ) ⇐⇒ ((x ∈ Æ) ∧ (x = x)) ⇐⇒ ((x ∈ Æ) ∧ F ) ⇐⇒ F2.3. Igualdad e inclusi´n oSean A y B conjuntos. Definimos la igualdad y la inclusi´n como sigue. oDefinici´n 2.2 (Igualdad e inclusi´n). o o A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) A ⊆ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)Una primera propiedad que probaremos es:Proposici´n 2.1. Sean A y B conjuntos. Se tiene que: o A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A ´Demostracion. Vamos a usar la identidad l´gica ya demostrada anteriormente: o(∀x)(p(x) ∧ q(x)) ⇐⇒ [(∀x)p(x)) ∧ (∀x)p(x)]. A=B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) ⇐⇒ (∀x)[(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)] ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A) ⇐⇒ A⊆B∧B ⊆AOtras propiedades importantes:Proposici´n 2.2. Sean A, B, C conjuntos arbitrarios. Se tiene: o 1. A = A 2. A = B ⇐⇒ B = A 3. (A = B ∧ B = C) ⇒ A = C 18
    • 4. A ⊆ A 5. (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇒ A = B 6. (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C 7. φ ⊆ A ´Demostracion. Demostraremos s´lo la propiedad 6. oHip´tesis: o(a) (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)(b) (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ C)p.d.q: (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ C)En efecto: Sea x arbitrario. Asumamos que x ∈ A. Por (a) se tiene que x ∈ B. Por(b) se tiene que x ∈ C.2.4. Uni´n de conjuntos oOperando conjuntos conocidos se pueden definir nuevos conjuntos.Sean A y B con-juntos.La uni´n de A con B, que se denota A ∪ B, es el conjunto que re´ ne a los elementos o uque est´n en A con aquellos que est´n en B. Formalmente: a aDefinici´n 2.3 (Uni´n). o o (∀x)[(x ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B)] A∪B A BFigura 1: Diagrama de Venn, representando la uni´n entre A y B (´rea achurada). o aObservaci´n: Diagramas de Venn Un Diagrama de Venn, como el presentado en ola diapositiva anterior, es una ilustraci´n que muestra la relaci´n matem´tica o o o al´gica entre conjuntos. oFueron introducidos por el fil´sofo y matem´tico brit´nico John Venn (1834-1923) o a ael a˜ o 1881. nLos diagramas de Venn cumplen el rol de ayudarnos a desarrollar una intuici´n ofrente al concepto de conjunto y a las relaciones entre estos.Sin embargo no podemos usarlos para demostrar propiedades, ni para sacar con-clusiones generales (que se apliquen a todo conjunto). 19
    • C A B Figura 2: Diagrama de Venn para tres conjuntos.2.5. Intersecci´n de conjuntos oLa intersecci´n de A con B, que se denota A ∩ B, es el conjunto formado por los oelementos que est´n tanto en A como en B. Formalmente: aDefinici´n 2.4. Intersecci´n o o (∀x)[(x ∈ A ∩ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B)] A A∩B BFigura 3: Diagrama de Venn, representando la intersecci´n entre A y B (´rea achu- o arada).Una primera propiedad:Proposici´n 2.3. Sean A, B conjuntos tales que A ⊆ B. Entonces A ∪ B = B y oA ∩ B = A. ´Demostracion. Probaremos s´lo la primera. o⊆)Sea x arbitrario tal que x ∈ A ∪ B. Es decir,Hip´tesis: x ∈ A ∨ x ∈ B. o 20
    • p.d.q: x ∈ BEn efecto:Caso 1. x ∈ A. Como A ⊆ B se tiene que x ∈ B.Caso 2. x ∈ A. Por hip´tesis se tiene que tener x ∈ B. / o⊇)Sea x arbitrario tal que x ∈ B. Obviamente x ∈ A ∪ B.Proposici´n 2.4. Sean A, B, C conjuntos, se tiene: o 1. Conmutatividades 1.1 A ∪ B = B ∪ A. 1.2 A ∩ B = B ∩ A. 2. Asociatividades 2.1 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. 2.2 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 3. Distributividades 3.1 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 3.2 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 4. 4.1 A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B. 4.2 A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B. ´Demostracion. Notar que las propiedades (1), (2) y (3), son consecuencias direc-tas de las propiedades an´logas para ∧ y ∨. Queda como ejercicio realizar dichas ademostraciones.2.6. Conjunto universoAsumiremos la existencia de un universo (conjunto referencia) U en el que viventodos los elementos con los que se va a trabajar. Es decir, U es tal que la proposici´n oa ∈ U es siempre verdadera.Con esto, podemos concluir de lo anterior el siguiente:Corolario 2.1. Sean A, B conjuntos y sea U el conjunto universo. 1. A ∪ A = A 2. A ∩ A = A 3. A ∪ φ = A 4. A ∩ φ = φ 5. A ∪ U = U 6. A ∩ U = A 21
    • ´Demostracion. Como A ⊆ A se tiene que A ∪ A = A y que A ∩ A = A. Como φ ⊆ A se tiene que φ ∪ A = A y que φ ∩ A = φ. Como A ⊆ U se tiene que A ∪ U = U y que A ∩ U = A.Observaci´n: El conjunto universo es un conjunto de referencia, es decir habr´ o a Êveces que tomaremos U = , u otras U = , etc.2.7. Diferencia y complementoSupongamos que tenemos un conjunto de referencia U (conjunto universo). Quer-emos definir el complemento de un conjunto A, que notaremos Ac , como aquelformado por todos los elementos que no est´n en A. Formalmente: aDefinici´n 2.5 (Conjunto complemento). o (∀x)(x ∈ Ac ⇐⇒ x ∈ U ∧ x ∈ A) /O sea, (∀x)(x ∈ Ac ⇐⇒ x ∈ A). / Ac U A BFigura 4: Diagrama de Venn, representando el complemento de A (´rea achurada). a Ejemplo: Si vivi´semos en el mundo de los n´ meros enteros e u (conjunto universo) entonces consideremos A = {x ∈ | x es par}. Obviamente Ac = {x ∈ | x es impar}.Definimos adem´s la diferencia entre A y B, que notamos A B, como el conjunto aformado por los elementos que est´n en A y que no est´n en B. Formalmente: a aDefinici´n 2.6 (Diferencia). o A B = A ∩ Bc.Algunas propiedades: 22
    • U AB A BFigura 5: Diagrama de Venn, representando la diferencia entre A y B (´rea achu- arada).Proposici´n 2.5. Sean A y B conjuntos. o 1. Leyes de De Morgan 1.1. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c 1.2. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c 2. (A ⊆ B) ⇐⇒ (B c ⊆ Ac ) 3. (Ac )c = A 4. A ∪ Ac = U 5. A ∩ Ac = φ ´Demostracion. Demostraremos la primera. Sea x arbitrario. x ∈ (A ∪ B)c ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ Ac ) ∧ (x ∈ B c ) ⇐⇒ x ∈ (Ac ∩ B c )2.8. Diferencia sim´trica eUn elemento x se dice que pertenece a la diferencia sim´trica entre A y B, que se edenota A∆B, si y solamente si x est´ en A pero no en B, o bien en B pero no en aA.Formalmente:Definici´n 2.7. Diferencia sim´trica o e A∆B = (A B) ∪ (B A)Obviamente, algunas propiedades: 23
    • A∆B U A BFigura 6: Diagrama de Venn, representando la diferencia sim´trica entre A y B e(´rea achurada). aProposici´n 2.6. Sean A, B, C conjuntos. o 1. A∆B = (A ∪ B) (A ∩ B) 2. A∆B = B∆A 3. (A∆B)∆C = A∆(B∆C) 4. A∆A = φ 5. A∆φ = A 6. (A ∩ (B∆C)) = (A ∩ B)∆(A ∩ C) ´Demostracion. Demostraremos la primera. A∆B = (A B) ∪ (B A) = (A ∩ B c ) ∪ (B ∩ Ac ) = [(A ∩ B c ) ∪ B] ∩ [(A ∩ B c ) ∪ Ac ] = [(A ∪ B) ∩ (B c ∪ B)] ∩ [(A ∪ Ac ) ∩ (B c ∪ Ac )] = [(A ∪ B) ∩ U ] ∩ [U ∩ (B c ∪ Ac )] = (A ∪ B) ∩ (B c ∪ Ac ) = (A ∪ B) ∩ (B ∩ A)c = (A ∪ B) (A ∩ B).2.9. Conjunto potenciaSea A un conjunto. Llamamos conjunto potencia de A, y notamos P(A), al conjuntode todos los subconjuntos de A. P(A) tambi´n se conoce como el “conjunto de las epartes de A”. Formalmente:Definici´n 2.8 (Conjunto potencia). o (∀X)(X ∈ P(A) ⇐⇒ X ⊆ A)Note que siempre φ ∈ P(A) y A ∈ P(A).Veamos dos ejemplos. 24
    • Ejemplo: Suponga que A = {1, 2, 3}. En P(A) est´n todos los subconjuntos de A. O sea, a P(A) = {φ, {1}, {2}{3}, {1, 2}{1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Suponga ahora que A = φ. ¿Cu´les son los subconjuntos de φ? a Solamente el mismo φ. Luego P(φ) = {φ}. Note que φ = {φ} pues el primer conjunto no tiene ning´ n elemento mientras que el segundo tiene un elemento. u En efecto: φ ∈ {φ}. Calculemos ahora P(P(φ)) = P({φ}). Obviamente, un conjunto de un solo elemento tiene solamente como subconjuntos los triviales: al vac´ y a ´l mismo. O sea P({φ}) = {φ, {φ}}. El lector debe ser ıo e capaz ahora de calcular P(P(P(φ))). Note que este proceso puede no detenerse nunca. ¡Y lo que estamos generando es una infinidad de conjuntos! Ejemplo importante: Transitividad A continuaci´n veremos otra t´cnica de demostraci´n. Supongamos que quere- o e o mos demostrar que p ⇒ r. Lo que hacemos es demostrarlo por pasos. Primero demostramos p ⇒ q1 . Despu´s q1 ⇒ q2 . Despu´s q2 ⇒ q3 . Seguimos as´ e e ı hasta que finalmente demostremos qn ⇒ r. Podemos concluir que p ⇒ r usando impl´ıcitamente la Tautolog´ 2 ıa [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) Apliquemos esta t´cnica para demostrar que para A, B, C conjuntos cualesquiera e se tiene: (A∆B = A∆C) ⇒ B = C En efecto, A∆B = A∆C ⇒ A∆(A∆B) = A∆(A∆C) ⇒ (A∆A)∆B = (A∆A)∆C ⇒ φ∆B = φ∆C ⇒ B = C.2.10. Pares OrdenadosNotemos que los conjuntos {a, b} y {b, a} son id´nticos. En efecto, ambos contienen ea los mismos elementos. Quisi´ramos introducir un objeto que distinga el orden de elos elementos.La soluci´n no es muy dif´ o ıcil. Basta con definir los pares ordenados as´ (a, b) = ı:{{a}, {a, b}}. La propiedad fundamental de los pares ordenados es la siguiente.Proposici´n 2.7. Para todo a, b, x, y se tiene: o (a, b) = (x, y) ⇐⇒ a = x ∧ b = y ´Demostracion. ⇐) Directo.⇒)Demostremos primero que a = x.En efecto, como {{a}, {a, b}} = {{x}, {x, y}} se tiene que {a} ∈ {{x}, {x, y}}. 25
    • Caso 1: {a} = {x}. Se concluye.Caso 2: {a} = {x}. O sea {a} = {x, y}. En este caso se tiene que tener a = x = y.Demostremos ahora que b = y.En efecto, como ya sabemos que a = x la hip´tesis nos dice que {{a}, {a, b}} = o{{a}, {a, y}}.Caso 1: Si a = b, luego {a} = {a, y}, de donde y = a = b .Caso 2: Si a = b, se tendr´ que {a, b} = {a, y}. Luego b ∈ {a, y}. aPero como a = b, luego b = y.2.11. Producto cartesianoSean A, B conjuntos. Se define el producto cartesiano de A con B, que se denotaA × B, del siguiente modo:Definici´n 2.9 (Producto cartesiano). o (∀x, y) [(x, y) ∈ A × B ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B] Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {3, 6}. Se tiene que A × B = {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}Algunas propiedades del producto cartesiano:Proposici´n 2.8. Sean A, A , B, B , C, D conjuntos. o 1. A ⊆ A ∧ B ⊆ B ⇒ A × B ⊆ A × B 2. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) ´Demostracion. Demostraremos s´lo la primera. Sea (x, y) ∈ A × B . Por defini- oci´n x ∈ A y tambi´n y ∈ B . o eComo A ⊆ A y B ⊆ B se tiene que x ∈ A y adem´s y ∈ B. O sea (x, y) ∈ A × B. a Ejemplo importante: Reducci´n al absurdo o Veremos otra t´cnica de demostraci´n m´s. Supongamos que queremos de- e o a mostrar que la proposici´n r es verdadera. Lo que se hace es asumir que r o es falsa y llegar a una contradicci´n. ¡¡En otras palabras, lo que se prueba o es que en el mundo en que vivimos r no puede ser verdadera!! Si r es una implicancia del tipo p ⇒ q entonces, en una demostraci´n por el o ıamos que asumir (para llegar a una contradicci´n) es p ⇒ q. absurdo, lo que tendr´ o O sea, p ∧ q. Notemos que estamos usando la Tautolog´ 4: p ⇒ q ⇐⇒ p ∧ q. ıaVeamos, a modo de ejemplo, la siguiente propiedad. 26
    • Ejemplo: Proposici´n 2.9. Sean A y B conjuntos. Se tiene que: o A = B ⇐⇒ A × B = B × A ´ Demostracion. ⇒) Directa. ⇐) Reducci´n al absurdo. o Supongamos que A × B = B × A y que al mismo tiempo A = B. Como A = B podemos asumir, sin p´rdida de generalidad, la existencia de un x ∈ A tal que e x ∈ B (si esto no ocurriese tendr´ que existir un x ∈ B tal que x ∈ A y la / ıa / situaci´n ser´ sim´trica). o ıa e Sea y ∈ B. Se tiene luego que (x, y) ∈ A× B pero (x, y) ∈ B × A. Esto contradice / el hecho de que A × B = B × A.2.12. Cuantificando sobre conjuntosDado un conjunto A y una funci´n proposicional p(x), podemos escribir cuantifi- ocadores en los que s´lo nos interese ver lo que ocurre a los elementos de A. Tenemos oas´ las proposiciones: ıDefinici´n 2.10 (Proposiciones cuantificadas sobre conjuntos). o 1. (∀x ∈ A)p(x), que significa que p(x) deber ser cierto para todos los elementos del conjunto A. Notar que esta proposici´n es equivalente a (∀x)(x ∈ A ⇒ p(x)). o 2. (∃x ∈ A)p(x), que significa que hay al menos un elemento x de A que hace cierto p(x). Notar que esto equivale a (∃x)(x ∈ A ∧ p(x)). 3. (∃!x ∈ A)p(x), que significa que hay exactamente un elemento de x de A que hace verdadero p(x). Aqu´ hay dos ideas simult´neas: Existe al menos un x ∈ A que satisface p(x) ı a (existencia), y que es exactamente uno (unicidad). Claramente esto equivale a (∃!x)(x ∈ A ∧ p(x)).El lector puede f´cilmente verificar que estos cuantificadores se niegan de la manera ausual:Proposici´n 2.10. o (∀x ∈ A)p(x) ⇐⇒ (∃x ∈ A)p(x). (∃x ∈ A)p(x) ⇐⇒ (∀x ∈ A)p(x). (∃!x ∈ A)p(x) ⇐⇒ [((∀x ∈ A)p(x)) ∨ ((∃x, y ∈ A)(p(x) ∧ p(y) ∧ x = y))]. 27
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Una definici´n formal del conjunto A = {1, 2, 3} es (∀x)[(x ∈ A) ⇔ (x = o 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3)]. 2. Una definici´n formal del conjunto A = {1, 2, 3} es (∀x)[(x ∈ A) ⇔ (x = o 1 ∧ x = 2 ∧ x = 3)]. 3. Dado el conjunto B = {x ∈ A|p(x)}, la proposici´n x ∈ B est´ definida por o a (∀x)[(x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ∨ p(x))]. 4. Dado el conjunto B = {x ∈ A|p(x)}, la proposici´n x ∈ B est´ definida por o a (∀x)[(x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ∧ p(x))]. 5. Dado el conjunto B = {x ∈ A|p(x)}, la proposici´n x ∈ B est´ definida por o a (∀x)[(x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ⇒ p(x))]. 6. Dado un conjunto A = Æ, se tiene que φ = {x ∈ Æ|x = x} = {x ∈ A|x = x}. 7. Dado un conjunto A, es cierto que φ = {x ∈ A|x = x}. 8. La siguiente proposici´n l´gica es falsa: (∃!x)(x ∈ φ). o o 9. La siguiente proposici´n l´gica es verdadera: (∀x)(x ∈ φ). o o /10. La siguiente proposici´n l´gica es falsa: (∃x)(x ∈ φ). o o /11. Dos conjuntos A y B, son iguales si (∃x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)12. Dos conjuntos A y B, son iguales si (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)13. Dos conjuntos A y B, son iguales si (∀x)(x ∈ A ∧ x ∈ B)14. Un conjunto A est´ incluido en un conjunto B si (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A). a15. Un conjunto A est´ incluido en un conjunto B si (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A). a / /16. Un conjunto A est´ incluido en un conjunto B si (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B). a17. Dados A, B conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ A, no necesariamente se tiene que A = B.18. Dados A, B conjuntos se tiene que A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).19. Dados A, B conjuntos, se tiene que A = B ⇔ (A ⊆ B ∨ B ⊆ A).20. Dados A, B, C conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces B = A ´ B = C. o21. Dados A, B, C conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces B = A = C.22. Dados A, B, C conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.23. Para cualquier conjunto A, se tiene que φ ⊆ A.24. Dado un conjunto A, se tiene que {φ} ⊆ A. 28
    • 25. Dado A = φ conjunto, la proposici´n (∃x)(x ∈ φ ⇒ x ∈ A) es verdadera. o26. La uni´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)].27. La uni´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)].28. Dados A y B conjuntos, un elemento x que satisface (x ∈ A) ∧ (x ∈ B), / pertenece a A ∪ B.29. Para que A ∪ B = A, el conjunto B debe ser vac´ ıo.30. La intersecci´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)].31. La intersecci´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)].32. Sean A, B conjuntos. Como A ∩ B ⊆ A, basta que un elemento x pertenezca a A, para que x ∈ A ∩ B sea verdadera.33. El conjunto universo U se define de manera que la proposici´n x ∈ U es o siempre veradera para los elementos de inter´s. e34. Dado un universo U y un conjunto A ⊆ U , luego Ac = U A.35. Dado un conjunto A, se tiene que A ∩ U = A.36. Dado un conjunto A, se tiene que A ∩ Ac = U .37. Para cualquier par de conjuntos A y B, se tiene que Ac ∪ B c = U .38. Si dos conjuntos A y B satisfacen que A ⊆ B luego Ac ⊆ B c .39. Existen conjuntos A y B para los cuales A ⊆ B c ∧ Ac ⊆ B.40. Si dos conjuntos A y B satisfacen que A ⊆ B luego B c ⊆ Ac .41. El complemento del conjunto A ∪ B c es Ac ∩ B.42. El complemento del conjunto A ∪ B c es B c ∩ Ac .43. El complemento del conjunto A ∩ B c es B ∪ Ac .44. Dados A, B conjuntos, se tiene que A∆B = (A ∪ B) (A ∩ B).45. Dados A, B conjuntos, se tiene que A∆B ⊆ A.46. Dados A, B conjuntos, se tiene que A∆B = (A ∪ B) (A ∩ B) = Ac ∆B c .47. Dado un conjunto A, siempre es cierto que A ∈ P(A).48. Dados A, B conjuntos, se tiene P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B).49. Se tiene que P(φ) = P({φ}).50. Se tiene que P(φ) = {φ}. 29
    • 51. Si A ⊆ A y B ⊆ B, entonces A × A ⊆ B × B.52. Si A ⊆ A y B ⊆ B, entonces A × B ⊆ A × B.53. Si A y B son conjuntos tales que A × B = B × A, entonces necesariamente A = B.54. La negaci´n de la proposici´n l´gica (∀x ∈ A)p(x) es (∃x ∈ A)p(x). o o o55. La negaci´n de la proposici´n l´gica (∀x ∈ A)p(x) es (∃x ∈ Ac )p(x). o o o56. La negaci´n de la proposici´n l´gica (∃x ∈ A)p(x) es (∀x ∈ Ac )p(x). o o o 30
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Demuestre las siguientes propiedades dejadas como ejercicio en las tutor´ ıas: (a) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c (b) (A ⊆ B) ⇔ (B c ⊆ Ac ) (c) (Ac )c = A (d) (A∆B)∆C = A∆(B∆C) (e) A∆φ = A (f ) A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C)2. Sean A, B, C ⊆ U conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra de conjuntos a para probar las siguientes igualdades: (a) (A C) ∪ (B C) = (A ∪ B) C (b) (A B) ∩ (A C) = A (B ∪ C) (c) (A C) (B C) = (A B) C (d) [A (B A)] ∪ [(B A) A] = A ∪ B (e) (A ∩ B) (A ∩ C) = (A ∩ B) (Ac ∪ C)3. Sean A, B, C ⊆ U conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra de conjuntos a para probar las siguientes proposiciones: (a) A ⊆ B ⊆ C ⇒ C (B A) = A ∪ (C B). (b) B = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) ⇔ A = φ (c) A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B) (d) (A ∪ B = A ∩ B) ⇒ (B ⊆ A ∧ A ⊆ C) (e) (A ∩ C = φ) ⇒ (A B) C = A (B C)4. Dado el conjunto A = {a, b}, determine los siguentes conjuntos (justifique su respuesta, indicando c´mo esta depende de qu´ son a y b): o e (a) P(A) (b) P(P(A)) (c) A ∩ P(A) (d) P(A) ∩ P(φ) (e) (A × A) ∩ P(P(A)) Hint: Recuerde la definici´n de par ordenado dada en las tutor´ o ıas.5. Sean A, B ⊆ U conjuntos. Colocar el signo de inclusi´n, igualdad o ninguno de o ellos, seg´ n corresponda entre los conjuntos siguientes (justifique su respuesta): u (a) A ∩ B B (b) Ac BA (c) P(A ∪ B) P(A) ∪ P(B) (d) P(A ∩ B) P(A) ∩ P(B) (e) P(U A) P(U ) P(A) 31
    • 6. Negar las siguientes proposiciones l´gicas: o (a) (∃x ∈ Ê)(∀y ∈ Ê) x < y (b) (∀x ∈ Ê)(∀y ∈ Ê) x ≥ y (c) (∃x ∈ Ê)(∀y ∈ Ê)(x > 1 ∧ y ≤ 1) (d) (∀ε ∈ Ê+ )(∃n0 ∈ Æ)(∀n > n0 )|an | < ε7. Dar ejemplos de conjuntos A, B, C tales que: (a) A × B = B × A (b) A × (B × C) = (A × B) × C (c) A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C) (d) (A × B)c = Ac × B c (Considere un universo apropiado) (e) (A = B) ∧ (A × C = B × C) 32
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones.P1. Sean A, B, C, D conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra de conjuntos para a probar que (a) (1) (10 min.) (B A) ⊆ C ⇔ C c ⊆ (B c ∪ A). (2) (30 min.) (B A) ⊆ C ⇒ (D C) ⊆ (D B) ∪ A. Hint: Use lo anterior. (b) (20 min.) A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊆ A ∧ A ⊆ C.P2. (35 min.) Sean A, B subconjuntos de un mismo universo U . Denotamos C = (A ∪ B)c . Probar que (A∆B)∆C = A ∪ B ∪ C ⇔ A ∩ B = φ.P3. (20 min.) Sea U un conjunto no vac´ y A ⊆ U . Pruebe que si ıo (∀X, Y ∈ P(U ))(A ∪ X = A ∪ Y ⇒ X = Y ), entonces A = φ.P4. (a) (20 min.) Sean A, B subconjuntos de un mismo universo U . Probar que A ∩ B = φ ⇔ P(A) ∩ P(B) = {φ}. (b) (40 min.) Sea la ley de operaci´n entre conjuntos definida por A B = o Ac ∩ B c . Considere un universo U y F ⊆ P(U ) un conjunto no vac´ tal ıo que ∀A, B ∈ F, A B ∈ F. Si A, B ∈ F demuestre que: (1) Ac ∈ F (2) A ∩ B ∈ F (3) A ∪ B ∈ F (4) A∆B ∈ F (5) φ ∈ F ∧ U ∈ F. 33
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 oUsa este margen SEMANA 3: FUNCIONES para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e propias 3. Funciones anotaciones. 3.1. Introducci´n o Ya que conocemos el producto cartesiano A × B entre dos conjuntos A y B, pode- mos definir entre ellos alg´ n tipo de correspondencia. Es decir, asociar de alg´ n u u modo elementos de A con elementos de B. Una de las posibles formas de hacer esto es mediante una funci´n. Formalmente: o Definici´n 3.1 (Funci´n). Llamaremos funci´n de A en B a cualquier f ⊆ A×B o o o tal que (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B) (a, b) ∈ f Usaremos la notaci´n f : A → B si es que f es una funci´n de A en B. o o Podemos entender una funci´n como una regla de asociaci´n que, dado un elemento o o cualquiera de A, le asigna un unico elemento de B. Gracias a esto, si f es funci´n ´ o y (a, b) ∈ f , entonces podemos usar la notaci´n b = f (a). O sea, llamamos f (a) al o (´ nico) elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . u Ejemplo: Æ Æ Consideremos f = {(n, p) ∈ × |p = 2n}. Esta f resulta ser una funci´n de o Æ Æ en , pues el unico valor que estamos asociando a cada natural n es el natural ´ p = 2n. Desde ahora, pensaremos en las funciones simplemente como reglas de asociaci´n o entre dos conjuntos. As´ la funci´n f que definimos en el p´rrafo anterior pode- ı, o a mos describirla como “f : Æ → Æ es la funci´n dada por f (n) = 2n para cada n ∈ Æ” o 3.2. Ejemplos de funciones Veamos otras funciones: Ejemplos: 1. Sea f : Ê → Ê dada por f (x) = x2 para cada x ∈ Ê. f es una funci´n, pues a cada x ∈ Ê le asociamos el n´ mero real x2 = x · x. o u Este valor es unico pues la multiplicaci´n de x por s´ mismo posee un solo ´ o ı resultado. 2. Sea g : → Ê Ê dada por g(x) = p, donde p es el mayor n´mero entero tal u que p ≤ x. Aunque a´ n no tenemos las herramientas para demostrar que g es efectiva- u mente una funci´n, intuitivamente sabemos que lo es: a cada n´ mero real o u x le asociamos el n´ mero entero m´s cercano que tenga, que sea menor o u a igual que ´l. Por ejemplo g(11/2) = 5; g(3) = 3 y g(−3/2) = −2. e 34
    • 3. Un ejemplo importante, que utilizaremos despu´s, es la llamada funci´n e o ´ identidad de un conjunto A. Esta es la funci´n idA : A → A, que se o define por idA (x) = x para cada x ∈ A. 4. Cuando tenemos conjuntos A y B que tienen pocos elementos, podemos definir una funci´n f : A → B mediante un diagrama de flechas, como en o el ejemplo de la figura. Aqu´ lo importante para que f sea efectivamente ı, una funci´n, es que desde cada elemento de A debe partir una unica flecha o ´ hacia alg´ n elemento de B. u Figura 7: Una funci´n definida mediante diagrama de flechas. o 5. En una tienda, cada producto tiene asociado un unico precio. As´ podemos ´ ı, Æ definir la funci´n v : X → , donde denotamos por X el conjunto de o productos que la tienda dispone, y v(x) es el precio en pesos del producto x. e o Æ Tambi´n podemos considerar la funci´n s : X → , donde s(x) es la cantidad de unidades disponibles (el stock) del producto x.A pesar de que conocemos la definici´n de qu´ significa ser funci´n, hay que tener o e oun m´ ınimo de cuidado. Hay objetos que parecen funciones, pero no lo son. Veamosel siguiente ejemplo: Ejemplo: Ê Ê Considere el conjunto de puntos f = {(x, y) ∈ × : x2 + y 2 = 1}. Hay dos Ê razones que impiden que f constituya una funci´n de en : o Ê El valor f (x) no est´ definido para todos los n´ meros reales x. A modo de a u ejemplo, f (2) debiera ser el n´ mero real y que cumple que 22 +y 2 = 1, pero u esto equivale a decir que y 2 = −3, lo cual es falso para cualquier y ∈ . Ê Por lo tanto, f no est´ asociando ning´ n n´ mero real al real x = 2. a u u De la misma forma, se puede demostrar que f (x) no est´ definido para a Ê cualquier x ∈ que cumpla x < −1 ∨ x > 1. 35
    • Ejemplo: Lo m´s grave, sin embargo, es que existen n´ meros reales x a los cuales a u f les est´ asociando m´s de un valor y: en efecto, basta notar que para a a 5 −4 Ê x = 3 , hay dos valores de y ∈ que cumplen x2 + y 2 = 1: ´stos son y1 = 5 e 4 e y2 = 5 . De la misma forma, se demuestra que f est´ asociando dos valores distintos a a todos los reales x que cumplen −1 < x < 1. Figura 8: Este diagrama no define una funci´n. o3.3. Igualdad de funcionesSupongamos que f : A → B es una funci´n. Al conjunto A le llamaremos dominio ode f , o conjunto de partida de f , y lo denotaremos Dom(f ).De igual modo, al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada de f , y lodenotaremos Rec(f ).Sean f, g : A → B dos funciones. Una forma de definir igualdad entre funcioneses comparar los resultados que ellas dan cuando se les entrega cada uno de loselementos de A. Es decir, definir f = g ⇐⇒ (∀a ∈ A)f (a) = g(a) ¿Qu´ definici´n de igualdad podemos usar cuando f : A → B y g : C → D? e oNotemos que nuestra definici´n anterior s´lo tiene sentido cuando A = C, es decir o ocuando Dom(f ) = Dom(g).¿Tendr´ sentido preguntarse si son iguales dos funciones que no parten del mismo aconjunto? O sea, no s´lo la definici´n de los valores de la funci´n es relevante para o o oque haya igualdad, sino que tambi´n importa cu´les son los dominios y los conjuntos e ade llegada de las dos funciones.As´ nuestra definici´n de igualdad para cualquier par de funciones ser´ la siguiente: ı, o a 36
    • Definici´n 3.2 (Igualdad de funciones). Si f : A → B y g : C → D son ofunciones, entonces   Dom(f ) = Dom(g)   ∧   f = g ⇐⇒   Rec(f ) = Rec(g)    ∧  (∀x ∈ Dom(f ))f (x) = g(x) Ejemplo: [¿son iguales estas funciones?] Consideremos la funciones f y g dadas por (x − 1)(x + 2) f (x) = g(x) = (x + 2) (x − 1) Aunque a primera vista ambas funciones nos parecen iguales, esto no es as´ ı. Primero debemos notar que nuestra definici´n de f y g no ha sido todo lo rigurosa o que debiera. ¿Cu´les son el dominio y el conjunto de llegada de f y g? a o a Ê g es una funci´n que est´ bien definida para cualquier elemento de , por lo que Ê podemos considerar Dom(g) = . Asimismo, tenemos que Rec(g) = . Ê Para f , sin embargo, observamos que el valor f (x) no est´ bien definido para a x = 1: en efecto, no se puede dividir por cero. En ese caso, vemos que no Ê puede ser el dominio de f . S´ podr´ serlo {1}. ı ıa Ê Para el conjunto de llegada el an´lisis puede ser m´s sencillo, y consideraremos a a Ê Rec(f ) = tambi´n (como ejercicio para el lector, puede mostrar que tambi´n e e Ê se puede considerar Rec(f ) = {3}). Hemos concluido que Dom(f ) = Dom(g), as´ que ambas funciones ya no pueden ı ser iguales. Si nos empe˜ amos en querer compararlas, podemos hacer lo siguiente: n Ê ver a g como si fuera una funci´n solamente definida de {1} en . o Ê Es decir, nos olvidamos que g tambi´n puede ser evaluada en x = 1. En tal caso, e Ê Dom(f ) = {1} = Dom(g), y adem´s Rec(f ) = a Ê = Rec(g). As´ s´lo falta ı, o ver que las evaluaciones de f y g coinciden. Sea x ∈ {1}: Ê (x − 1)(x + 2) f (x) = = (x + 2) = g(x) (x − 1) Esta vez s´ podemos realizar la simplificaci´n del factor (x − 1) porque estamos ı o suponiendo que x = 1. As´ en este contexto, las funciones f y g son iguales. ı,3.4. Funciones y resoluci´n de ecuaciones oConsideremos el siguiente problema: Dada una funci´n f : A → B, y un elemento oy ∈ B, queremos encontrar un x ∈ A tal que y = f (x). Ê ÊTomemos el ejemplo de la funci´n q : → , q(x) = x2 . Notemos que: o Si y < 0, entonces no existe x ∈ Ê tal que y = x2 . Si y = 0, entonces hay una unica soluci´n: x = 0. ´ o √ √ Si y > 0, entonces hay dos soluciones: x1 = y y x2 = − y. 37
    • Este ejemplo nos basta para darnos cuenta de que no siempre el problema que nosplanteamos tiene soluci´n, y en caso de tenerla, puede tener m´s de una. o aEn lo siguiente revisaremos propiedades que nos ayudar´n a conocer cu´ndo este a aproblema que nos planteamos, para una funci´n f : A → B dada, posee soluciones opara cualquier y ∈ B, y si estas soluciones son unicas. ´3.5. InyectividadUna primera definici´n importante: oDefinici´n 3.3 (Inyectividad). Sea f : A → B una funci´n. Diremos que f es o oinyectiva si se cumple que (∀x1 , x2 ∈ A) [x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )]O, equivalentemente, si se cumple que (∀x1 , x2 ∈ A) [f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ] Ejemplos: Observemos que, entonces, la funci´n q(x) = x2 , definida de o Ê en Ê, no es inyectiva pues, tomando x1 = −1 y x2 = 1, se tiene que x1 = x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 ) Un ejemplo de funci´n que s´ es inyectiva es el de la funci´n l : o ı o Ê→Ê dada por l(x) = ax + b con a = 0: Supongamos que existen un par de elementos x1 , x2 ∈ Ê tales que l(x1 ) = l(x2 ) Podemos, entonces, despejar del modo siguiente: ax1 + b = ax2 + b ax1 = ax2 x1 = x2 El ultimo paso lo obtenemos dividiendo por a, lo cual es v´lido pues ´ a sabemos que a = 0. O sea, probamos que (∀x1 , x2 ∈ Ê) l(x1 ) = l(x2 ) ⇒ x1 = x2 es decir, que l es inyectiva.3.6. SobreyectividadDefinici´n 3.4 (Sobreyectividad). Sea f : A → B una funci´n. Diremos que f o oes sobreyectiva si se cumple que (∀y ∈ B)(∃x ∈ A) y = f (x) 38
    • Algunos ejemplos: Ejemplos: Ê Ê La funci´n q(x) = x2 , definida de en , no es sobreyectiva pues para el o real y = −1 no existe ning´ n real x tal que −1 = x2 . u Observemos, tambi´n, que la funci´n l : e o Ê → Ê que hab´ ıamos definido anteriormente s´ es sobreyectiva. ı Sea y ∈ Ê arbitrario. Buscamos un x ∈ Ê de modo que y = l(x). y−b Si elegimos el real x = a (recordemos que a = 0), entonces l(x) = y. Como el razonamiento que hicimos es v´lido para cualquier y ∈ a Ê, hemos demostrado que l es sobreyectiva.3.7. BiyectividadDefinici´n 3.5 (Biyectividad). Sea f : A → B una funci´n. Diremos que f es o obiyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.Concluimos, entonces, que la funci´n q(x) = x2 , definida de o Ê en Ê, no es biyectiva.Por el contrario, la funci´n l(x) = ax + b, definida de en o Ê Ê, s´ es biyectiva. ıProposici´n 3.1. Una funci´n f : A → B es biyectiva si y s´lo si o o o (∀y ∈ B)(∃!x ∈ A) y = f (x) ´Demostracion. Observemos que la sobreyectividad de f equivale a la existenciade un x ∈ A tal que y = f (x) para cualquier y ∈ B.Adem´s, la unicidad del tal x equivale a la inyectividad de f . a3.8. Funci´n Inversa oDada una funci´n f : A → B, nos gustar´ encontrar una funci´n g : B → A o ıa ocorrespondiente al “camino inverso” de f .Es decir g(y) = x cada vez que f (x) = y. Es f´cil observar que debi´ramos al menos a epedir que f sea biyectiva para que una tal funci´n g exista. oComo vemos en la figura (3.8), si f no fuera biyectiva, habr´ elementos de B a los ıacu´les no sabr´ a ıamos asociarle un elemento de A.Recordando que una funci´n de A en B es en realidad un subconjunto de A × B, opodemos construir un ‘candidato´ funci´n g del siguiente modo: a o Los elementos de g ⊆ B × A ser´n todos los pares ordenados (b, a) ∈ a B × A tales que (a, b) ∈ f , es decir todos los pares ordenados (b, a) tales que b = f (a).Ya vimos que esta construcci´n no siempre hace que g sea funci´n. Sin embargo, o otenemos la siguiente propiedad: 39
    • Figura 9: Dificultades para definir la inversa de una funci´n no biyectiva. oProposici´n 3.2. o f es biyectiva ⇐⇒ g es funci´n o ´Demostracion. f es biyectiva ⇐⇒ (∀y ∈ B)(∃!x ∈ A) f (x) = y ⇐⇒ (∀y ∈ B)(∃!x ∈ A) (y, x) ∈ g ⇐⇒ g es funci´n oA la funci´n g que construimos de esta manera le llamaremos... oDefinici´n 3.6 (Funci´n inversa). Dada f biyectiva, se define la funci´n inver- o o osa de f , denotada f −1 por: (∀x ∈ A)(∀y ∈ B) f (x) = y ⇐⇒ f −1 (y) = x 40
    • Para una funci´n biyectiva f : A → B, y su inversa f −1 : B → A, tenemos las osiguientes propiedades:Proposici´n 3.3. o 1. (∀x ∈ A) f −1 (f (x)) = x. 2. (∀y ∈ B) f (f −1 (y)) = y. 3. f −1 es biyectiva, y (f −1 )−1 = f . ´Demostracion. Demostraremos (2) y (3).Para (2), consideremos y ∈ B cualquiera. Si denotamos x = f −1 (y), tenemos en-tonces que f (x) = y, gracias a la afirmaci´n hecha anteriormente. Entonces o f (f −1 (y)) = f (x) = yPara (2), llamemos h = f −1 , con lo que h es una funci´n de B en A. oh es inyectiva: Sean y1 , y2 ∈ B tales que h(y1 ) = h(y2 ). Como ambos elementospertenecen a A, entonces podemos concluir que f (h(y1 )) = f (h(y2 )). Recordandoque h = f −1 y usando la propiedad (1.2) obtenemos que y1 = y2 .h es sobreyectiva: Sea x ∈ A cualquiera. Buscamos y ∈ B tal que h(y) = x. Bastatomar, entonces, y = f (x), y as´ h(y) = h(f (x)). Recordando que h = f −1 y ıutilizando la propiedad (1.1) obtenemos que h(y) = x. ´Por lo tanto h es biyectiva, y tiene una funci´n inversa h−1 . Esta cumple que o (∀x ∈ A)(∀y ∈ B) h(y) = x ⇐⇒ h−1 (x) = ySean x ∈ A, y ∈ B tales que h(y) = x. Como h = f −1 , tenemos que h(y) = x ⇐⇒ f (x) = yAs´ para x ∈ A: ı, h−1 (x) = y ⇐⇒ f (x) = yCon esto se concluye que para cualquier x ∈ A, h−1 (x) = f (x). Entonces h−1 = fo equivalentemente, (f −1 )−1 = f 41
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. f ⊆ A × B es funci´n si la proposici´n (∀a ∈ A)(∃b ∈ B)(a, b) ∈ f es o o verdadera. 2. f ⊆ A × B es funci´n si la proposici´n (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B)(a, b) ∈ f es o o verdadera. 3. f ⊆ A × B es funci´n si la proposici´n (∀a ∈ A)(∀b ∈ B)(a, b) ∈ f es o o verdadera. 4. Seg´ n la notaci´n de funci´n, se tiene que para a ∈ A (a, f (a)) ∈ f . u o o 5. Seg´ n la notaci´n de funci´n, b = f (a) equivale a (f (a), b) ∈ f . u o o 6. Seg´ n la notaci´n de funci´n b = f (a) equivale a (f (a), f (b)) ∈ f . u o o 7. El conjunto A = {(x, y) ∈ Ê×Ê : x2 + y 2 = 1} corresponde a una funci´n o Ê de en . Ê 8. El conjunto A = {(x, y) ∈ [0, 1) × Ê∗ : x2 + y 2 = 1} corresponde a una Ê + funci´n de [0, 1) en . o 9. El conjunto A = {(x, y) ∈ Ê×Ê : y ∈ {−1, 1}} corresponde a una funci´n o de Ê en Ê10. El conjunto A = {(x, y) ∈ Ê×Æ : y ∈ {−1, 1}} corresponde a una funci´n o de Ê en Æ11. Para que dos funciones f y g sean iguales basta que (∀a(f (a) = g(a)).12. Para que dos funciones f, g : A → B sean iguales basta que (∀a ∈ A)(f (a) = g(a)).13. Para que dos funciones f : A → B y f : C → D sean iguales basta que (∀a ∈ A ∩ C)(f (a) = g(a)).14. Para que dos funciones f : A → B y f : C → D sean iguales se debe cumplir que Dom(f ) = Dom(g) y que (∀a ∈ A)(f (a) = g(a)).15. Para que dos funciones f : A → B y f : C → D sean iguales se debe cumplir que Dom(f ) = Dom(g), que Rec(f ) = Rec(g) y que (∀a ∈ A)(f (a) = g(a)).16. El problema de dada un funci´n f : A → B y a ∈ A, encontrar x ∈ B tal o que f (a) = x siempre tiene una unica soluci´n. ´ o17. El problema de dada un funci´n f : A → B y a ∈ A, encontrar x ∈ B tal o que f (a) = x no siempre tiene una soluci´n. o18. El problema de dada un funci´n f : A → B y a ∈ A, encontrar x ∈ B tal o que f (a) = x siempre tiene una soluci´n, pero no siempre unica. o ´19. El problema de dada un funci´n f : A → B y b ∈ B, encontrar x ∈ A tal o que f (x) = b siempre tiene una unica soluci´n. ´ o20. El problema de dada un funci´n f : A → B y b ∈ B, encontrar x ∈ A tal o que f (x) = b no siempre tiene soluci´n. o 42
    • 21. El problema de dada un funci´n f : A → B y b ∈ B, encontrar x ∈ A tal o que f (x) = b, si tiene soluci´n esta no es siempre unica. o ´22. Una funci´n f : A → B es inyectiva si satisface que (∀x1 , x2 ∈ A)(x1 = x2 ⇒ o f (x1 ) = f (x2 )).23. Una funci´n f : A → B es inyectiva si satisface que (∀x1 , x2 ∈ A)(x1 = x2 ⇒ o f (x1 ) = f (x2 )).24. Una funci´n f : A → B es inyectiva si satisface que (∀x1 , x2 ∈ A)(f (x1 ) = o f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ).25. Una funci´n f : A → B es inyectiva si satisface que (∀x1 , x2 ∈ A)(f (x1 ) = o f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ).26. La funci´n f : o Ê∗ → Ê, definida por f (x) = x2 , es inyectiva. +27. La funci´n f : Ê → Ê, definida por f (x) = x2 , es inyectiva. o28. La funci´n f : Ê {0} → Ê∗ , definida por f (x) = x2 , es inyectiva. o +29. La funci´n f : Ê → Ê∗ , definida por f (x) = |x − 1|, es inyectiva. o +30. La funci´n f : Ê∗ → Ê, definida por f (x) = |x − 1|, es inyectiva. o +31. La funci´n f : (1, +∞) → Ê, definida por f (x) = |x − 1|, es inyectiva. o32. Una funci´n f : A → B es sobreyectiva si satisface que (∀a ∈ A)(∃b ∈ o B)(f (a) = b).33. Una funci´n f : A → B es sobreyectiva si satisface que (∀a ∈ A)(∃!b ∈ o B)(f (a) = b).34. Una funci´n f : A → B es sobreyectiva si satisface que (∀b ∈ B)(∃a ∈ o A)(f (a) = b).35. Una funci´n f : A → B que satisface (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)(f (a) = b), no o necesariamente es sobreyectiva.36. Una funci´n f : A → B que satisface (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)(f (a) = b), es o inyectiva.37. Una funci´n f : A → B que satisface (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)(f (a) = b), es o sobreyectiva, pero no necesariamente inyectiva.38. La funci´n f : o Ê∗ → Ê, definida por f (x) = x2 , es sobreyectiva. +39. La funci´n f : Ê → Ê, definida por f (x) = x2 , no es sobreyectiva. o40. La funci´n f : Ê {0} → Ê∗ , definida por f (x) = x2 , es sobreyectiva. o +41. La funci´n f : Ê∗ → Ê∗ , definida por f (x) = x2 , es sobreyectiva. o + +42. Una funci´n es biyectiva si es inyectiva o sobreyectiva. o43. Una funci´n es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. o44. Una funci´n f : A → B es biyectiva si satisface (∀b ∈ B)(∃!a ∈ A)(f (a) = b). o 43
    • 45. La funci´n f : o Ê {0} → Ê∗ , definida por f (x) = x2 , es biyectiva. +46. La funci´n f : Ê∗ → Ê∗ , definida por f (x) = x2 , es biyectiva. o + +47. La funci´n f : Ê∗ → Ê, definida por f (x) = x2 , es biyectiva. o +48. La funci´n f : Ê → Ê, definida por f (x) = ax + b con a, b ∈ Ê, siempre es o biyectiva.49. La funci´n f : o Ê → Ê, definida por f (x) = ax + b con a, b ∈ Ê, es biyectiva si b = 0.50. La funci´n f : o Ê → Ê, definida por f (x) = ax + b con a, b ∈ Ê, es biyectiva si a = 0.51. Dada una funci´n f : A → B cualquiera, su inversa existe y se denota f −1 . o52. Existen funciones que no son inyectivas y que tienen una inversa.53. La inversa de una funci´n biyectiva, es biyectiva. o54. Existe una funci´n f : A → A biyectiva, tal que para alg´ n a ∈ A se tiene o u −1 −1 que f (f (a)) = f (f (a)). 44
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Indique cu´l de los siguientes conjuntos establece una funci´n: a o (a) R = {(a, b) ∈ Æ2/b = ap para alg´n p ∈ N } u (b) Sean a, b, c ∈ Ê{0} fijos, R = {(x, y) ∈ Ê2 /y = ax3 + bx + c} (c) R = {(x, y) ∈ Ê2 /y = ax3 + bx + c con a, b, c ∈ Ê} (d) R = {(x, y) ∈ Ê2 /x = y 2 + 2y + 1} (e) R = {(y, x) ∈ Ê2 /x = (y + 1)2 } (f ) R = {(x, y) ∈ Ê2 /x = y 3 } Indicaci´n: Dado un conjunto A, se usa la notaci´n A2 = A × A. o o2. Indique cu´les pares de funciones son iguales, si no lo son, explique por qu´. a e (a) f, g : Ê {−2} → Ê con f (x) = x x −1 y g(x) = x+2 . 2 +2x+2 2 x−1 (b) f, g : Ê {−1, 0, 1} → Ê conf (x) = x , g(x) = (x+1)(x−1) 1 3 x −x (c) f, g : Ê → Ê, con f (x) = (x + 2)3 y g(x) = x3 + 6x2 + 12x + 8 (d) f, g : Ê {−1, 0} → Ê conf (x) = sen(x) , g(x) = sen(x−1) x+1 x (e) f, g : Ê → Ê con f (x) = √x , g(x) = x + x √ Indicaci´n: Se usa la notaci´n Ê+ = (0, ∞). o o3. Dado un conjunto A = ∅ y B ⊆ A fijo, determine si cada una de las siguientes es funci´n y, en caso de serlo, si es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Considere o a A como el universo. Encuentre la funci´n inversa en el caso que corresponda. o (a) f : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) f (X) = X c . (b) g : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) g(X) = X (X c ). (c) h1 : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) h1 (X) = X ∩ B. (d) h2 : P(A) {∅} → P(A), dada por (∀X ⊆ A) h2 (X) = X ∪ B. (e) h3 : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) h3 (X) = X B. 45
    • 4. Dados dos conjuntos A y B, determine si las siguientes son funciones y si son inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Encuentre la funci´n inversa en el caso o que corresponda. (a) πA : A × B → A, dada por (∀(a, b) ∈ A × B) πA ((a, b)) = a. (b) πB : A × B → B, dada por (∀(a, b) ∈ A × B) πB ((a, b)) = b. (c) dA : A → A × B, dada por (∀a ∈ A) dA (a) = (a, a). (d) τ : A × B → B × A, dada por (∀(a, b) ∈ A × B) τ ((a, b)) = (b, a). (e) Dado b0 ∈ B fijo. f : A → A × B, dada por (∀a ∈ A) f (a) = (a, b0 ).5. Comente sobre la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de las siguientes funciones. Considere f : →Ê Ê √ (a) f (x) = x2 + 1 (b) f (x) = x3 (c) f (x) = sen(x) x2 +3x−1 (d) f (x) = 2x2 −5x+4 Indicaci´n: >Se puede redefinir el dominio o el conjunto de llegada de f de o modo que la funci´n logre ser inyectiva o sobreyectiva?. o6. Encuentre la funci´n inversa de las siguientes funciones, verificando previamente o si son biyectivas. (a) f : Ê {0} → Ê, con f (x) = x1 3 (b) Sea a = 0. f : Ê → Ê, con f (x) = ax + b (c) f : [0, 2π] → Ê, f (x) = sen(x2 ) (d) f : Ê+ → Ê, f (x) = √x x 46
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones. Æ ÉP1. (20 min.) Considere las funciones f : {0} → definida en cada n ∈ {0} Æ 1 por f (n) = 2n y g : → É É definida en cada q ∈ q É por g(q) = 2 . Determine si f, g son inyectivas, epiyectivas y biyectivas.P2. Sea f : Ê {2} → Ê la funci´n definida en cada x ∈ Ê {2} por f (x) = 2x+1 . o x−2 (a) (10 min.) Demostrar que {f (x) : x ∈ Ê {2}} = Ê {2}. (b) (10 min.) Demostrar que f es inyectiva. Ê (c) (10 min.) Se define una nueva funcion g : {2} → {2} tal que en Ê Ê cada x ∈ {2} se tiene que g(x) = f (x). Pruebe que g es biyectiva y calcule su inversa.P3. (30 min.) Para a, b ∈ Ê considere la recta La,b = {(x, y) ∈ 2 /y = ax + b} Ê Ê Ê y la colecci´n de rectas L = {La,b ⊂ 2 /a, b ∈ }. Se define el conjunto de o pares de rectas no paralelas H = {(L, L ) ∈ L2 /L ∩ L = φ, L = L } Ê y la funci´n ψ : H → 2 talque ψ((L, L )) = (x0 , y0 ), donde (x0 , y0 ) es el o unico punto de intersecci´n de L y L . Pruebe que ψ es sobreyectiva. ´ oP4. Sea U el conjunto universo y A, B ⊂ U . Se define f: P(U) −→ P(U) X −→ f (X) = A ∩ (B ∪ X) (a) (15 min.) Pruebe que f (f (X)) = f (X) ∀X ∈ P(U). (b) (15 min.) Si A = U ∨ B = φ, pruebe que f no es inyectiva. (c) (10 min.) Si A = U pruebe que f no es sobreyectiva.P5. Sea E = φ un conjunto fijo. Para todo subconjunto A de E se define la funci´n o caracter´ ıstica de A como: δA : E −→ {0, 1} 1 si x ∈ A x −→ δA (x) = 0 si x ∈ A (a) (10 min.) Describa δE (x) y δφ (x) para todo x ∈ E (b) (10 min.) Demuestre que (∀x ∈ E) δA∩B (x) = δA (x)δB (x) (c) (10 min.) Si C, D ⊆ E, entonces C ⊆ D ⇔ (∀x ∈ E) δC (x) ≤ δD (x) 47
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 oUsa este margen SEMANA 4: FUNCIONES para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e 3.9. Composici´n de funciones o propias anotaciones. Pensemos que tenemos tres conjuntos no vac´ A, B, C, y dos funciones, f : A → B ıos y g : B → C, como en el siguiente diagrama: Figura 10: Esquema necesario para poder componer dos funciones f y g. Definiremos la funci´n composici´n de f y g, la cual denotaremos por g ◦ f , como o o una funci´n de A en C, dada por o Definici´n 3.7 (Funci´n composici´n). o o o (∀a ∈ A) (g ◦ f )(a) = g(f (a)). Notemos que para definir g ◦ f basta que se cumpla que Rec(f ) ⊆ Dom(g), para poder evaluar la funci´n g sobre el elemento f (a). Es decir, la definici´n puede o o hacerse de manera m´s general. a Ejemplos: Ê Ê 1 Consideremos la funci´n h : + → , dada por h(x) = x2 . Si tomamos las o Ê Ê 1 funciones f : + → , f (x) = x , y g : Ê Ê → , g(x) = x2 , entonces para cualquier x ∈ + Ê 2 1 1 (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g = = h(x) x x es decir g◦f =h Algunas propiedades de la composici´n: o Propiedades 1. Si f : A → B, g : B → C, h : C → D son funciones, entonces 1. h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f (esta propiedad se llama asociatividad) 2. En general, no hay conmutatividad 3. idB ◦ f = f ◦ idA = f (es decir, la funci´n identidad es neutro para la o composici´n) o 48
    • 4. Si f es biyectiva, entonces f ◦ f −1 = idB y f −1 ◦ f = idA ´Demostracion. Demostremos (4). Para la primera afirmaci´n: o f ◦ f −1 = idBnotamos que f : A → B, por lo que f −1 : B → A, y entonces f ◦ f −1 : B → B, porla definici´n de composici´n. Como Dom(idB ) = Rec(idB ) = B, concluimos que o o Dom(idB ) = Dom(f ◦ f −1 ) ∧ Rec(idB ) = Rec(f ◦ f −1 )Falta solamente mostrar que (∀w ∈ B) idB (w) = (f ◦ f −1 )(w), lo cual hacemos delmodo siguiente:Sea w ∈ B, y llamemos x = f −1 (w) ∈ A. Como f es la funci´n inversa de f −1 , otenemos tambi´n que w = f (x). Entonces e (f ◦ f −1 )(w) = f (f −1 (w)) = f (x) = w = idB (w)y listo. Para demostrar que f −1 ◦ f = idA se sigue el mismo procedimiento.Algunas propiedades con respecto a la inyectividad y sobreyectividad:Propiedades 2. Si f : A → B, g : B → C son funciones, entonces 1. Si f y g son inyectivas, entonces (g ◦ f ) es inyectiva. 2. Si f y g son sobreyectivas, entonces (g ◦ f ) es sobreyectiva. 3. Si f y g son biyectivas, entonces (g ◦ f ) es biyectiva. 4. Si (g ◦ f ) es inyectiva, entonces f es inyectiva (g no necesariamente lo es). 5. Si (g ◦ f ) es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva (f no necesariamente lo es). ´Demostracion. Demostraremos (2) y (4).Para (2): Queremos ver que la funci´n g ◦ f : A → C es sobreyectiva. Sea c ∈ C. oBuscamos un a ∈ A tal que (g ◦ f )(a) = c, es decir que g(f (a)) = c.Como g : B → C es sobreyectiva, sabemos que existe un b ∈ B tal que g(b) = c.Del mismo modo, como f : A → B es sobreyectiva, sabemos que existe a ∈ A talque f (a) = b. As´ ı (g ◦ f )(a) = g(f (a)) = g(b) = cque es lo que quer´ ıamos demostrar.Probaremos (4): Si (g ◦ f ) es inyectiva, entonces f es inyectiva (g no necesariamente lo es). 49
    • Sabemos que (g ◦ f ) es inyectiva.Para demostrar que f tambi´n lo es, consideremos a1 , a2 ∈ A tales que f (a1 ) = ef (a2 ). Notemos que f (a1 ), f (a2 ) ∈ B pues Rec(f ) = B. As´ evaluando la funci´n ı, og obtenemos g(f (a1 )) = g(f (a2 ))es decir (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 )Como sabemos que (g ◦ f ) es inyectiva, obtenemos que a1 = a2 , por lo que f estambi´n inyectiva. eM´todo para c´lculo de inversas e aUna propiedad util para el c´lculo de funciones inversas: ´ aPropiedad 1. Sea f : A → B biyectiva, y sea g : B → A Si g ◦ f = idA , entonces g = f −1 . Si f ◦ g = idB , entonces g = f −1 .Esta propiedad nos dice que para calcular la inversa de una funci´n biyectiva f , obasta encontrar una funci´n g que compuesta con f nos d´ la identidad. Ya sea que o elas hayamos compuesto en el orden g ◦ f o en el orden f ◦ g, podemos concluir quef −1 = g. ´Demostracion. Demostraremos la primera de ellas, es decir g ◦ f = idA ⇒ g = f −1Como f es biyectiva, para que g = f −1 basta demostrar que (∀x ∈ A)(∀y ∈ B) f (x) = y ⇐⇒ g(y) = xSean x ∈ A, y ∈ B. Demostraremos las dos implicancias:⇒) Supongamos que f (x) = y. Como ambos lados de esta igualdad son elementosde B, podemos aplicar g, y obtener g(f (x)) = g(y) (g ◦ f )(x) = g(y)Como por hip´tesis g ◦ f = idA , entonces concluimos que o g(y) = idA (x) = x⇐) Supongamos ahora que g(y) = x. Como f es sobreyectiva, tenemos que existew ∈ A tal que f (w) = y. Entonces x = g(y) = g(f (w)) = (g ◦ f )(w) = idA (w) = wPor lo tanto, f (x) = f (w) = y.La siguiente propiedad, es tambi´n util y no es necesario saber de antemano si la e ´funci´n es biyectiva. o 50
    • Propiedad 2. Sean f : A → B y g : B → A, funciones. Si g ◦ f = idA y f ◦ g = idB , entonces g = f −1 .Notar que impl´ ıcitamente, la propiedad implica que f es biyectiva. ´Demostracion. Nos basta probar que f es biyectiva, ya que usando la propiedadanterior tendremos que g = f −1 .Pero, gracias a la propiedad (4) respecto de inyectividad y sobreyectividad vistaantes, como g ◦ f = idA es inyectiva (ya que idA siempre lo es), luego f es inyectiva.Adem´s, usando la propiedad (5), como f ◦ g = idB es sobreyectiva, luego f es asobreyaectiva.As´ f es biyectiva y se concluye el resultado. ı,Inversa de una composici´n oComo consecuencia, podemos obtener la siguiente conclusi´n: oProposici´n 3.4 (Inversa de una composici´n). Si f : A → B y g : B → C o oson biyectivas, entonces (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1Demostracion. Denotemos F = g ◦ f y G = f −1 ◦ g −1 . ´Tenemos que F : A → C, y que G : C → A. Adem´s, como g y f son biyectivas, aentonces gracias a una propiedad anterior sabemos que F tambi´n es biyectiva. As´ e ı,la afirmaci´n que queremos demostrar puede escribirse como o F −1 = GGracias a las propiedades mencionadas, para esto basta mostrar que G ◦ F = idA .En efecto, G◦F = (f −1 ◦ g −1 ) ◦ (g ◦ f ) = f −1 ◦ (g −1 ◦ g) ◦ f = f −1 ◦ idB ◦ f = f −1 ◦ f = idA3.10. Imagen y preimagenSi f : A → B es una funci´n, y si y = f (x) decimos que y es imagen de x a trav´s o ede f , y que x es preimagen de y a trav´s de f . eComo f es una funci´n, tenemos que o (∀x ∈ A)(∃!y ∈ B) y = f (x)lo que nos dice que cada x ∈ A posee una unica imagen y ∈ B. Sin embargo, los ´elementos y ∈ B pueden tener varias preim´genes distintas, como veremos en el asiguiente ejemplo. 51
    • Ejemplo: Tomemos la funci´n f : → o Æ Æ dada por f (n) = (n − 10)2 . Se tiene que 36 es la imagen por f de 4, pues f (4) = 36. A su vez, tenemos que 4 es preimagen de 36. Pero tambi´n f (16) = 36, por lo que 16 tambi´n es preimagen de 36. Es f´cil e e a observar que 36 no tiene m´s preim´genes que estas dos, as´ que podemos decir a a ı que {4, 16} es el conjunto de preim´genes de 36 a Del mismo modo, {5, 15} es el conjunto de preim´genes de 25, y {10} es el a conjunto de preim´genes de 0. Podemos reunir estos conjuntos de preim´genes: a a {4, 5, 10, 15, 16} es el conjunto obtenido al reunir las preim´genes de a {0, 25, 36} Tambi´n est´ el caso del natural 2, el cual no tiene preim´genes por f (esto se e a a observa dado que f (n) siempre es un cuadrado perfecto, y 2 no lo es). En este caso decimos que el conjunto de preim´genes de 2 es ∅ (el conjunto vac´ a ıo). As´ como hemos obtenido el conjunto formado por todas las preim´genes de ı a ciertos elementos, podemos formar el conjunto de todas las im´genes de ciertos a elementos. Como sabemos que 9,4,1,0,1 y 4 son respectivamente las im´genes de a 7,8,9,10,11 y 12, escribimos que {0, 1, 4, 9} es el conjunto obtenido al reunir las im´genes de a {7, 8, 9, 10, 11, 12} (observar que en el primer conjunto hemos elimi- nado los elementos repetidos, como corresponde en los conjuntos)Conjunto imagenEn esta secci´n definiremos precisamente los conceptos de conjunto imagen y con- ojunto preimagen para una funci´n f dada, y estudiaremos varias propiedades. oDefinici´n 3.8 (Conjunto imagen). Sea f : A → B una funci´n, y sea A ⊆ A. o oDefinimos el conjunto imagen de A por f como f (A ) = {b ∈ B : (∃a ∈ A ) f (a) = b}o equivalentemente b ∈ f (A ) ⇐⇒ (∃a ∈ A ) f (a) = bNotemos que f (A ) siempre es un subconjunto de B. Es el obtenido al reunir todaslas im´genes de los elementos de A . aPropiedades 3. Sea f : A → B funci´n. Sean A1 , A2 ⊆ A. o 1. f es sobreyectiva ⇐⇒ f (A) = B 2. A1 ⊆ A2 ⇒ f (A1 ) ⊆ f (A2 ) 3. f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ) 4. f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ) 52
    • ´Demostracion. Demostraremos (2).Supongamos que A1 ⊆ A2 , y sea y ∈ f (A1 ).Por definici´n de conjunto imagen, tenemos que ∃x ∈ A1 tal que y = f (x). Como oA1 est´ contenido en A2 , entonces x ∈ A2 . aAs´ existe un x ∈ A2 tal que y = f (x), con lo que obtenemos que y ∈ f (A2 ). ı,Conjunto preimagenDefinimos ahora, el conjunto preimagen:Definici´n 3.9 (Conjunto preimagen). Dado B ⊆ B, el conjunto preima- ogen de B por f como f −1 (B ) = {a ∈ A : f (a) ∈ B }o, en t´rminos l´gicos e o a ∈ f −1 (B ) ⇐⇒ f (a) ∈ B f −1 (B ) es siempre un subconjunto de A. Es el obtenido al reunir todas las preim´genes de los elementos de B . aPropiedades 4. Sea f : A → B funci´n. Sean B1 , B2 ⊆ B. o 1. B1 ⊆ B2 ⇒ f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ) 2. f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) 3. f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ) ´Demostracion. Demostraremos (2).Consideremos un elemento x arbitrario. Se tiene que x ∈ f −1 (B1 ∩ B2 ) ⇐⇒ f (x) ∈ B1 ∩ B2 (def. de conjunto preimagen) ⇐⇒ f (x) ∈ B1 ∧ f (x) ∈ B2 (intersecci´n de conjuntos) o ⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) ∧ x ∈ f −1 (B2 ) (def. de conjunto preimagen) ⇐⇒ x ∈ f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ) (intersecci´n de conjuntos) oEnumeramos ahora propiedades que surgen cuando reunimos los conceptos vistosen las secciones anteriores.Propiedades 5. 1. Si A ⊆ A, entonces A ⊆ f −1 (f (A )) 2. Si B ⊆ B, entonces f (f −1 (B )) ⊆ B 3. f es inyectiva ⇐⇒ (∀A ⊆ A) A = f −1 (f (A )) 4. f es sobreyectiva ⇐⇒ (∀B ⊆ B) f (f −1 (B )) = B 53
    • ´Demostracion. Demostraremos (3).⇒) Supongamos que f es inyectiva, y tomemos A ⊆ A. Gracias a (1), sabemos que A ⊆ f −1 (f (A ))y por lo tanto s´lo nos falta demostrar la otra inclusi´n. o oSea x ∈ f −1 (f (A )), queremos demostrar que x ∈ A .Por definici´n de conjunto preimagen, tenemos que f (x) ∈ f (A ). Llamando y = of (x), y por definici´n de conjunto imagen, tenemos que existe un w ∈ A tal que of (w) = y.As´ f (x) = f (w), y como f es inyectiva, concluimos que x = w. Pero sab´ ı, ıamos quew ∈ A , por lo tanto x ∈ A .⇐) Supongamos, por contradicci´n, que f no es inyectiva. Entonces existen elemen- otos x1 , x2 ∈ A tales que x1 = x2 y f (x1 ) = f (x2 ). Llamemos y a este valor com´ n u(es decir, y = f (x1 ) = f (x2 )). Definiendo A = {x1 } ⊆ A, tenemos que f (A ) = f ({x1 }) = {f (x1 )} = {y}por lo que f −1 (f (A )) = f −1 ({y}) = {x ∈ A : f (x) ∈ {y}} = {x ∈ A : f (x) = y}Como f (x2 ) = y, entonces x2 ∈ f −1 (f (A ))Utilizando la propiedad, tenemos que f −1 (f (A )) = A , con lo que x2 ∈ A , es decirx2 ∈ {x1 }, de donde concluimos que x1 = x2 , lo que es una contradicci´n. o 54
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Si f : A → B, g : C → D. Basta con que B ⊆ C para que g ◦ f exista. 2. Si f : A → B, g : C → D. Basta con que C ⊆ B para que g ◦ f exista. 3. Si f : A → B, g : C → D. Necesariamente se debe tener B = C para que g ◦ f exista. 4. Si f : A → B, g : B → A entonces f ◦ g = g ◦ f . 5. Si f : A → A, g : A → A entonces f ◦ g = g ◦ f . 6. Si f : A → B, g : B → A y f es la funci´n identidad, entonces f ◦ g = g ◦ f . o 7. Si f : A → B, g : B → C y f es inyectiva, entonces g ◦ f tambi´n lo es. e 8. Si f : A → B, g : B → C y g es inyectiva, g ◦ f tambi´n lo es. e 9. Si f : A → B, g : B → C son tales que f y g son inyectivas, g ◦ f tambi´n lo e es.10. Si f : A → B, g : B → C y f es sobreyectiva, g ◦ f tambi´n lo es. e11. Si f : A → B, g : B → C y g es sobreyectiva, g ◦ f tambi´n lo es. e12. Si f : A → B, g : B → C son tales que f y g son sobreyectivas, g ◦ f tambi´n e lo es.13. Si f : A → B, g : B → C y f es biyectiva, g ◦ f tambi´n lo es. e14. Si f : A → B, g : B → C y f es biyectiva, g ◦ f es inyectiva.15. Si f : A → B, g : B → C y f es biyectiva, g ◦ f es epiyectiva.16. Si f : A → B, g : B → C y g es biyectiva, g ◦ f tambi´n lo es. e17. Si f : A → B, g : B → C y g es biyectiva, g ◦ f es inyectiva.18. Si f : A → B, g : B → C y g es biyectiva, g ◦ f es sobreyectiva.19. Si f : A → B, g : B → C son tales que f y g son biyectivas, g ◦ f tambi´n lo e es.20. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es inyectiva, g tambi´n lo es. e21. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es inyectiva, f tambi´n lo es. e22. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es sobreyectiva, g tambi´n lo es. e23. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es sobreyectiva, f tambi´n lo es. e24. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es biyectiva, g tambi´n lo es. e25. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es biyectiva, g es inyectiva. 55
    • 26. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es biyectiva, g es sobreyectiva.27. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es biyectiva, f tambi´n lo es. e28. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es biyectiva, f es inyectiva.29. Si f : A → B, g : B → C y g ◦ f es biyectiva, f es sobreyectiva.30. Si f : A → B, g : B → A son biyectivas, entonces si g = f −1 , luego g ◦ f = idA .31. Si f : A → B, g : B → A son biyectivas, entonces si g = f −1 , luego g ◦ f = idB .32. Si f : A → B, g : B → A son biyectivas, entonces si g = f −1 , luego f ◦ g = idA .33. Si f : A → B, g : B → A son biyectivas, entonces si g = f −1 , luego f ◦ g = idB .34. Si f : A → B, g : B → A son biyectivas, entonces si f = g −1 , luego g = f −1 .35. Si f es biyectiva, (f −1 )−1 = f .36. Si f es biyectiva, (f −1 )−1 = f −1 .37. Si f : A → B, g : B → C son biyectivas, luego (f ◦ g)−1 = f −1 ◦ g −1 .38. Si f : A → B, g : B → C son biyectivas, luego (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .39. Si f : A → B, g : B → C son biyectivas, luego ((f ◦ g)−1 )−1 = f −1 ◦ g −1 .40. Si f : A → B, g : B → C son biyectivas, luego ((f ◦ g)−1 )−1 = f ◦ g.41. Sea f : A → B, se tiene que f es inyectiva ⇔ f (A) = B.42. Sea f : A → B, se tiene que f es inyectiva ⇒ f (A) = B.43. Sea f : A → B, se tiene que f es sobreyectiva ⇔ f (A) = B.44. Sea f : A → B, se tiene que f es sobreyectiva ⇒ f (A) = B.45. Sea f : A → B y A1 , A2 ⊆ A, si f (A1 ) ⊆ f (A2 ) ⇒ A1 ⊆ A2 .46. Sea f : A → B y A1 , A2 ⊆ A, si A1 ⊆ A2 ⇒ f (A1 ) ⊆ f (A2 ).47. Sea f : A → B y A1 , A2 ⊆ A, entonces f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ).48. Sea f : A → B inyectiva y A1 , A2 ⊆ A, entonces f (A1 ∩A2 ) = f (A1 )∩f (A2 ).49. Sea f : A → B y A1 , A2 ⊆ A, entonces f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ).50. Sea f : A → B y B1 , B2 ⊆ B, si B1 ⊆ B2 ⇒ f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ).51. Sea f : A → B y B1 , B2 ⊆ B, f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).52. Sea f : A → B y B1 , B2 ⊆ B, f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).53. Sea f : A → B, entonces si A ⊆ A ⇒ A ⊆ f −1 (f (A )). 56
    • 54. Sea f : A → B, entonces si B ⊆ B ⇒ f (f −1 (B )) ⊆ B .55. Sea f : A → B, entonces si B ⊆ B ⇒ B ⊆ f (f −1 (B )).56. Sea f : A → B inyectiva, entonces si A ⊆ A ⇒ A = f −1 (f (A )).57. Sea f : A → B sobreyectiva, entonces si A ⊆ A ⇒ A = f −1 (f (A )).58. Sea f : A → B inyectiva, B ⊆ B ⇒ f (f −1 (B )) = B .59. Sea f : A → B sobreyectiva, B ⊆ B ⇒ f (f −1 (B )) = B . 57
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Dadas f : A → B, g : B → C funciones, demuestre las siguientes propiedades enunciadas en las tutor´ ıas: (a) Si f y g son inyectivas, entonces (g ◦ f ) es inyectiva. (b) Si f y g son biyectivas, entonces (g ◦ f ) es biyectiva. (c) Si (g ◦ f ) es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva (f no necesariamente lo es).2. Sean f : → , g : → y h → tres funciones dadas por f (x) = 1 − x, g(x) = −x − 1 y h(x) = x + 2. (a) Verificar que cualquier composici´n entre estas tres funciones (por ej.: f ◦ o (h ◦ g), f ◦ g, (h ◦ h) ◦ g, etc.), resulta ser una funci´n invertible. o (b) Pruebe que h ◦ g ◦ f = g ◦ f ◦ h = id , en donde id es la funci´n identidad. o (c) Deducir de lo anterior que f −1 ◦ g −1 = h.3. Dados dos conjuntos A y B, determine el conjunto imagen de las siguientes funciones. (a) πA : A × B → A, dada por (∀(a, b) ∈ A × B) πA ((a, b)) = a. (b) πB : A × B → B, dada por (∀(a, b) ∈ A × B) πB ((a, b)) = b. (c) dA : A → A × B, dada por (∀a ∈ A) dA (a) = (a, a). (d) τ : A × B → B × A, dada por (∀(a, b) ∈ A × B) τ ((a, b)) = (b, a). (e) Dado b0 ∈ B fijo. f : A → A × B, dada por (∀a ∈ A) f (a) = (a, b0 ).4. Considere las mismas funciones del ejercicio anterior, pero suponiendo A = B. Indique si se pueden o no definir las siguientes funciones. En los casos afirmativos, determ´ınelas. (a) πA ◦ πB . (b) πB ◦ dA ◦ πA . (c) πB ◦ τ . (d) πA ◦ τ ◦ f . (e) dA ◦ f ◦ πA . 58
    • 5. Dado un conjunto A = ∅ y B ⊆ A fijo, determine el conjunto imagen de las siguientes funciones. Adem´s, determine la preimagen de los conjuntos C1 = {B}, a C2 = {A} y C3 = {A, ∅}. (a) f : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) f (X) = X c . (b) g : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) g(X) = X (X c ). (c) h1 : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) h1 (X) = X ∩ B. (d) h2 : P(A) {∅} → P(A), dada por (∀X ⊆ A) h2 (X) = X ∪ B. (e) h3 : P(A) → P(A), dada por (∀X ⊆ A) h3 (X) = X B.6. Dadas f : A → B, funci´n y A1 , A2 ⊆ A, demuestre las siguientes propiedades o enunciadas en las tutor´ ıas: (a) f es sobreyectiva ⇐⇒ f (A) = B. (b) f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 ). (c) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ). (d) A1 ⊆ f −1 (f (A1 ))7. Dadas f : A → B, funci´n y B1 , B2 ⊆ B, demuestre las siguientes propiedades: o (a) B1 ⊆ B2 ⇒ f −1 (B1 ) ⊆ f −1 (B2 ). (b) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ). (c) f (f −1 (B1 )) ⊆ B1 . (d) f −1 (B1 ) = (f −1 (B1 ))c . c (e) f −1 (B1 B2 ) = f −1 (B1 ) f −1 (B2 ). 59
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones.P1. (20 min.) Sean f, g : Ê → Ê funciones. Determine expl´ ıcitamente f y g sabi- endo que 3x + 2 x−2 g◦f = f −1 (x) = 9x2 + 12x + 5 3P2. Sean f, g : A → A funciones. Probar que si g es biyectiva entonces se tiene que (a) (15 min.) f es inyectiva ⇔ f ◦ g es inyectiva (b) (15 min.) f es sobreyectiva ⇔ g ◦ f es sobreyectivaP3. Sea A = {0, 1, 2, 3} y T : A → A la funci´n definida por T (0) = 1, T (1) = o Ê 2, T (2) = 3, T (3) = 0. Sea I = {h : A → /h es funci´n y h(0) + h(1) + h(2) + o h(3) = 0}. Dada una funci´n f : A → o Ê o ¯ definimos la funci´n f : A → Ê en cada n ∈ A por f ¯(n) = f ◦ T (n) − f (n). (a) (20 min.) Probar que si f : A → Ê es una funci´n de dominio A y recorrido o Ê ¯ entonces f ∈ I Ê (b) (40 min.) Sea D = {h : A → /h es funci´n y h(0) = 0}. Definimos o ¯ ∆ : D → I en cada f ∈ D por ∆(f ) = f . Probar que ∆ es biyectiva y calcular ∆−1 .P4. Sea F = {h : E → E/h es biyectiva } y f ∈ (F ) (a) (5 min.) Pruebe que para todo h ∈ F, h ◦ f ∈ F (b) (25 min.) Sea ϕf : (F ) → (F ) tal que ϕf (h) = h ◦ f . Pruebe que ϕf es biyecci´n. o Ê ÊP5. (15 min.) Sea E = {f : → /f es biyectiva}. Es decir, E contiene a todas Ê Ê las funciones biyectivas de en . Se define la funcion ξ : E → E tal que para cada f ∈ E, ξ(f ) = f −1 , es decir ξ le asocia a cada funci´n en E su inversa. o Sean f, g ∈ E. Probar que ξ(f ◦ g) = ξ(g) ◦ ξ(f ). Æ ÉP6. (10 min.) Considere las funciones f : {0} → definida en cada n ∈ {0} Æ 1 por f (n) = 2n y g : → É É definida en cada q ∈ Éq por g(q) = 2 . Determine −1 −1 los conjuntos preimagenes g ( ) y (g ◦ f ) ( )P7. (30 min.) Sea f : X → Y una funci´n. Pruebe que ∀A, B ⊆ X o f (A) f (B) ⊆ f (A B) Muestre ademas que si f es inyectiva, entonces f (A) f (B) = f (A B)P8. (20 min.) Sea f : E → F una funci´n y A, B ⊆ E. Pruebe que o f (B)f (A) = φ ⇒ f (A ∪ B) = f (A) 60
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o SEMANA 5: RELACIONES Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e4. Relaciones propias anotaciones.4.1. Introducci´n oDefinici´n 4.1 (Relaci´n). Dados un par de conjuntos no vac´os A y B, llamare- o o ımos relaci´n binaria entre A y B, o simplemente relaci´n entre A y B, a un o oconjunto R ⊆ A × B.Denotaremos a R b cuando (a, b) ∈ R, y a R b cuando (a, b) ∈ R. / /Observemos que, para A y B conjuntos no vac´ ya conocemos una buena cantidad ıos,de relaciones.Por ejemplo, toda funci´n f : A → B puede interpretarse como una relaci´n R ⊆ o oA × B, donde a R b ⇐⇒ b = f (a). Ejemplos: 1. Tomemos el conjunto R = {(p, n) ∈ × Æ : |p − n| ≤ 5}. Este es una ´ Æ relaci´n entre y . Diremos que o “R es una relaci´n entre o y Æ dada por (p R n ⇐⇒ |p − n| ≤ 5)” 2. ≤ es una relaci´n de o Ê consigo mismo, interpretando ≤ como el conjunto Ê Ê {(x, y) ∈ × : x ≤ y}. 3. En Æ Æ Æ × , decimos que a | b ⇐⇒ (∃k ∈ ) b = k · a. La relaci´n que o estamos simbolizando con la barra vertical | se conoce como divisibilidad, y decimos que “a divide a b” cuando a | b. A modo de ejemplo, tenemos que 2 | 8, 7 | 21, 4 5 y 9 28. 4. Para p, q ∈ , definimos la relaci´n igualdad m´dulo 3, que simbolizaremos o o por ≡3 , por p ≡3 q ⇐⇒ (∃k ∈ ) (p − q) = 3k. As´ por ejemplo, 8 ≡3 11 ı, y 11 ≡3 −1. 5. Sea P el conjunto de todos los seres humanos, y definimos para p1 , p2 ∈ P la relaci´n p1 H p2 ⇐⇒ p1 es hermano o hermana de p2 . o4.2. Relaciones de un conjunto en si mismoA continuaci´n nos preocuparemos de las relaciones de un conjunto no vac´ A o ıoconsigo mismo, es decir las relaciones R ⊆ A × A.Dada una relaci´n R en el conjunto A, definimos las siguientes propiedades (al oigual que con la inyectividad, sobreyectividad y biyectividad de funciones, estaspropiedades pueden ser o no cumplidas por cada relaci´n): oDefinici´n 4.2 (Tipos de relaciones). o 61
    • Diremos que R es refleja si y s´lo si o (∀x ∈ A) x R x Diremos que R es sim´trica si y s´lo si e o (∀x, y ∈ A) x R y ⇒ y R x Diremos que R es antisim´trica si y s´lo si e o (∀x, y ∈ A) (x R y ∧ y R x) ⇒ x = y Diremos que R es transitiva si y s´lo si o (∀x, y, z ∈ A) (x R y ∧ y R z) ⇒ x R zObservaci´n (Importante): Debemos observar que la simetr´ y la antisimetr´ o ıa ıano son propiedades contrapuestas:Por un lado puede ocurrir que una relaci´n no sea ni sim´trica ni antisim´trica, pero o e etambi´n hay relaciones que cumplen ambas propiedades simult´neamente. Estas e aultimas, sin embargo, no pueden ser muy complejas, pues si R ⊆ A × A:´ R es sim´trica y antisim´trica ⇐⇒ (∀x, y ∈ A) [x R y ⇒ x = y] e e ´Demostracion. ⇐) Queda como ejercicio para el lector.⇒) Sean x, y ∈ A tales que x R y.Como R es sim´trica, entonces tambi´n y R x. As´ e e ı, x R y∧y R xy como R es antisim´trica, concluimos que x = y. eObservemos que si tenemos una relaci´n R ⊆ A × A tal que existen elementos ox0 = y0 en A tales que x0 R y0 , entonces R es o bien sim´trica, o bien antisim´trica. e eRelaciones de ordenDefinici´n 4.3 (Relaci´n de orden). Sea R una relaci´n en el conjunto A. Di- o o oremos que R es una relaci´n de orden en A, o simplemente que es un orden en oA, si es una relaci´n refleja, antisim´trica y transitiva. o e Si R es un orden en A, diremos que a precede a b cada vez que a R b. Adem´s, diremos que dos elementos a, b ∈ A son comparables si se cumple a que (a R b) ∨ (b R a). Si R es un orden que hace que todo par de elementos sea comparable, entonces diremos que R es un orden total. En caso contrario, diremos que es un orden parcial.Es f´cil verificar, entonces, que ≤ es un orden total en a Ê. 62
    • Ejemplo: Divisibilidad Recordando la relaci´n de divisibilidad | que ya definimos, tenemos que ´sta es o e Æ un orden parcial en , pero no es un orden total. ´ Demostracion. Veamos que | cumple las tres propiedades requeridas: | es refleja pues para cada n ∈ Æ se tiene que n = 1 · n. Si a | b y b | a, entonces existen k, j ∈ Æ tal que b = ka y a = jb. Con esto, b = kjb, o equivalentemente b(1 − kj) = 0. De modo an´logo, a obtenemos que a = jka, y con ello a(1 − jk) = 0. Entonces a(1 − kj) = b(1 − kj) Si kj = 1, entonces podemos dividir por (1 − kj) y concluir que a = b. Æ Si kj = 1, como ambos son elementos de , tenemos que forzosamente k = j = 1 (se puede demostrar por contradicci´n, queda como ejercicio o para el lector). As´ a = jb = 1 · b = b. ı, En cualquier caso a = b, con lo que | resulta ser antisim´trica. e Supongamos que a | b y que b | c. Entonces, existen k, j ∈ Æ tales que b = ka y c = jb. As´ c = (j · k)a, por lo que a | c, y | resulta ser transitiva ı, tambi´n. e Concluimos que | es un orden parcial. Finalmente, vemos que | no es orden total pues, por ejemplo, 2 y 3 no son comparables: 2 3 y 3 2.Relaciones de equivalenciaDefinici´n 4.4 (Relaci´n de equivalencia). Una relaci´n R en el conjunto A o o ose llamar´ relaci´n de equivalencia si es a o Refleja. Sim´trica. e Transitiva.Una relaci´n de equivalencia en el fondo define un criterio de semejanza entre los oelementos de A.Por esto, consideraremos a continuaci´n los subconjuntos formados por elementos o“equivalentes” para la relaci´n. oDefinici´n 4.5 (Clase de equivalencia). Dado un elemento a ∈ A, definimos ola clase de equivalencia de a asociada a R como el conjunto {x ∈ A : a R x}el cual denotaremos por [a]R . 63
    • Ejemplos: Un ejemplo sencillo de relaci´n de equivalencia es la igualdad entre n´ meros o u reales. Otro ejemplo lo podemos tomar del diccionario espa˜ ol: sea Σ el conjunto n de todas las palabras del diccionario espa˜ ol. n Para v, w ∈ Σ definimos la relaci´n ≈ como o v ≈ w ⇐⇒ v y w comienzan con la misma letra. Es f´cil ver que ≈ es una relaci´n de equivalencia en Σ. a o Calculemos en este caso la clase de equivalencia de algunas palabras: la clase [hola]≈ es el conjunto de todas las palabras en Σ que comienzan con h, mientras que [casa]≈ es el conjunto de todas las palabras que comienzan con c. En este ejemplo, notemos que podemos escribir Σ = [ahora]≈ ∪ [bote]≈ ∪ [casa]≈ ∪ . . . ∪ [zorro]≈ Adem´s, se tiene que [tapa]≈ ∩ [velero]≈ = ∅, y que [manzana]≈ = a [menos]≈ .Veremos que estas ultimas propiedades se generalizan a cualquier relaci´n de equiv- ´ oalencia.Propiedades 6. Sean x, y ∈ A y R una relaci´n de equivalencia definida en A. o 1. [x]R = ∅ 2. x R y ⇐⇒ [x]R = [y]R 3. x R y ⇐⇒ [x]R ∩ [y]R = ∅ / 4. Como consecuencia de las anteriores, [x]R = [y]R ⇐⇒ [x]R ∩ [y]R = ∅ ´Demostracion. Demostraremos (2) y (3).Para (2):⇒) Sea a un elemento. a ∈ [x]R ⇐⇒ a R x (def. de clase de equivalencia) ⇐⇒ aRy (pues x R y) ⇐⇒ a ∈ [y]R (def. de clase de equivalencia)⇐) Notemos que x ∈ [x]R . Como [x]R = [y]R , concluimos que x ∈ [y]R . Pordefinici´n de clase de equivalencia, obtenemos que x R y. oPara (3):⇒) Por contrarrec´ıproca. Como [x]R ∩ [y]R = ∅, tenemos que existe a ∈ [x]R ∩ [y]R .Como a ∈ [x]R , tenemos que a R x. An´logamente, tenemos que a R y. Como R aes una relaci´n de equivalencia, en particular es transitiva, y entonces x R y. o 64
    • ⇐) Por contrarrec´ ıproca tambi´n. Si x R y, tenemos que x ∈ [y]R . Como trivial- emente x ∈ [x]R , entonces x ∈ [x]R ∩ [y]Rpor lo que [x]R ∩ [y]R = ∅.Definici´n 4.6 (Conjunto cuociente). Al conjunto de todas las clases de equiv- oalencia inducidas sobre A por una relaci´n de equivalencia R se le llama conjunto ocuociente, y se denota A/R.´Este es un conjunto cuyos elementos son clases de equivalencia, es decir: C ∈ A/R ⇐⇒ (∃x ∈ A) C = [x]RVimos que el conjunto de palabras Σ antes definido pod´ escribirse como uni´n ıa o ´de ciertas clases de equivalencia. Estas eran conjuntos disjuntos entre s´ pues cada ı,uno de ellos conten´ a todas las palabras que comenzaban con una letra espec´ ıa ıfica.Esta noci´n que dice que un conjunto puede ser escrito como uni´n de otros con- o ojuntos, todos ellos disjuntos, es la de partici´n. oDefinici´n 4.7 (Partici´n). Sea A un conjunto no vac´o. Una colecci´n de con- o o ı ojuntos {P1 , . . . , Pn } ⊆ P(A) se llamar´ partici´n de A si cumple: a o (∀i ∈ {1, . . . , n}) Pi = ∅ (∀i, j ∈ {1, . . . , n}) i = j ⇒ Pi ∩ Pj = ∅ A = P1 ∪ P2 ∪ P3 ∪ . . . ∪ PnConsideremos un conjunto no vac´ A. Entonces toda relaci´n de equivalencia R ıo odefinida sobre A induce en ´l una partici´n, la cual est´ formada por todas las clases e o ade equivalencia de los elementos de A.Tambi´n, toda partici´n {P1 , . . . , Pn } de A induce en ´l una relaci´n de equivalencia e o e oR, la cual est´ dada por a a R b ⇐⇒ (∃i ∈ {1, . . . , n}) a ∈ Pi ∧ b ∈ Pi .Ejemplo importante: Congruencia m´dulo oUn tipo de relaciones de equivalencia de particular importancia lo conforman lasllamadas relaciones igualdad m´dulo p, de las cuales ya conocemos la igualdad om´dulo 3. o ÆSea p ∈ , p ≥ 2. Se define en la relaci´n ≡p por o x ≡p y ⇐⇒ (∃k ∈ ) (x − y) = kpSi x ≡p y, diremos que x e y son iguales m´dulo p, o que son congruentes om´dulo p. Como ejemplo, tenemos que 13 ≡3 7 pues 13 − 7 = 6 = 2 · 3, y que o12 ≡5 27, pues 12 − 27 = −15 = −3 · 5. ÆDado un p ∈ , p ≥ 2, ≡p resulta ser una relaci´n de equivalencia sobre . As´ ≡p o ı,induce en clases de equivalencia, y al conjunto cuociente / ≡p le llamaremos p.Para trabajar con ella, se necesita el siguiente teorema, llamado teorema de ladivisi´n euclidiana, que viene de la Teor´ de N´ meros: o ıa u 65
    • Teorema 4.1. Sean a, b ∈ . Existe un unico par q, r ∈ ´ tal que a=q·b+r ∧ 0 ≤ r < |b|Se llama teorema de la divisi´n porque su aplicaci´n a un par a, b ∈ o o equivale a o ´calcular la divisi´n entera a ÷ b. Esta debe tener un cuociente q ∈ y un restor ∈ , el cual debe ser menor que |b|.Propiedad 3. Se tiene que p = {[0]p , [1]p , . . . , [p − 1]p }En particular, concluimos que p tiene exactamente p elementos. ´Demostracion. Demostraremos esta igualdad mediante dos inclusiones.⊇) Recordemos que p = / ≡p , es decir que p es el conjunto de todas las clasesde equivalencia [·]p inducidas por ≡p en . Como 0, 1, . . . , p − 1 ∈entonces por definici´n de conjunto cuociente o [0]p , [1]p , . . . , [p − 1]p ∈ p⊆) Sea C ∈ p. C es una clase de equivalencia, luego existe x ∈ tal que C = [x]p .Aplicando el teorema de la divisi´n, obtenemos que existen un cuociente q ∈ o yun resto r ∈ (0 ≤ r ≤ p − 1) tales que x=p·q+rde donde se concluye x−r =p·qlo que significa que x ≡p rGracias a una propiedad que demostramos anteriormente, esto nos dice [x]p = [r]pPor lo tanto C = [r]p , y como 0 ≤ r ≤ p − 1, entonces C ∈ {[0]p , [1]p , . . . , [p − 1]p } 66
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Una relaci´n R ⊆ A × A, R = φ siempre cumple alguna de las siguientes o propiedades: R es refleja, R es sim´trica, R es antisim´trica, R es transitiva. e e 2. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x = 2y} es una relaci´n refleja. o 3. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x = 2y} es una relaci´n sim´trica. o e 4. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x = 2y} es una relaci´n antisim´trica. o e 5. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x = 2y} es una relaci´n transitiva. o 6. R = {(x, y) ∈ Ê {0} × Ê {0}/(∃k)( y = 2k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n x o refleja. 7. R = {(x, y) ∈ Ê {0} × Ê {0}/(∃k)( y x = 2k ∧ k ∈ Ê)} es una relaci´n o refleja. 8. R = {(x, y) ∈ Ê {0} × Ê {0}/(∃k)( y x = 2k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n o sim´trica. e 9. R = {(x, y) ∈ Ê {0} × Ê {0}/(∃k)( x y = 2k ∧ k ∈ É)} es una relaci´n o sim´trica. e10. R = {(x, y) ∈ Ê {0} × Ê {0}/(∃k)( y x = 2k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n o antisim´trica. e11. R = {(x, y) ∈ Ê {0} × Ê {0}/(∃k)( y x = 2k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n o transitiva.12. R = {(x, y) ∈ Æ {0} × Æ {0}/(∃k)( y x ≤ 3k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n o refleja.13. R = {(x, y) ∈ Æ {0} × Æ {0}/(∃k)( y x ≤ 3k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n o sim´trica. e14. R = {(x, y) ∈ Æ {0} × Æ {0}/(∃k)( y x ≤ 3k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n o antisim´trica. e15. R = {(x, y) ∈ Æ {0} × Æ {0}/(∃k)( y x ≤ 3k ∧ k ∈ Æ)} es una relaci´n o transitiva.16. Sea r ∈ Ê, R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y2 = r2 } es una relaci´n refleja. o17. Sea r ∈ Ê, R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y 2 = r2 } es una relaci´n sim´trica. o e18. Sea r ∈ Ê, R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y 2 = r2 } es una relaci´n antisim´trica. o e19. Sea r ∈ Ê, R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y 2 = r2 } es una relaci´n transitiva. o20. Sea r ∈ Ê, R = {(x, y) ∈ [−r, r] × [−r, r]/x2 + y 2 = r2 } es una relaci´no refleja.21. Sea r ∈ Ê, R = {(x, y) ∈ [−r, r] × [−r, r]/x2 + y2 = r2 } es una relaci´n o sim´trica. e 67
    • 22. Ê Sea r ∈ , R = {(x, y) ∈ [−r, r] × [−r, r]/x2 + y 2 = r2 } es una relaci´n o antisim´trica. e23. Sea r ∈ Ê, R = {(x, y) ∈ [−r, r] × [−r, r]/x2 + y2 = r2 } es una relaci´n o transitiva.24. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y2 = r2 , r∈ Ê} es una relaci´n refleja. o25. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y 2 = r2 , r ∈ Ê} es una relaci´n sim´trica. o e26. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y 2 = r2 , r ∈ Ê} es una relaci´n antisim´trica. o e27. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x2 + y 2 = r2 , r ∈ Ê} es una relaci´n transitiva. o28. Una relaci´n sim´trica nunca es antisim´trica. o e e29. Una relaci´n antisim´trica nunca es sim´trica. o e e30. La = es una relaci´n que es sim´trica y antisim´trica a la vez. o e e31. La unica relaci´n sim´trica y antisim´trica a la vez es la igualdad. ´ o e e32. No existen relaciones que sean de equivalencia y de orden a la vez.33. Sea A un conjunto de un elemento. Sea R una relaci´n de equivalencia defini- o da en A. Independiente de la forma de R, A/R siempre tendr´ dos elementos. a34. Sea A un conjunto de un elemento. Sea R una relaci´n de equivalencia o definida en A. Independiente de la forma de R, A/R siempre tendr´ un elemento. a35. R = {(x, y) ∈ {0} × {0}/xy ≥ 0} es una relaci´n refleja. o36. R = {(x, y) ∈ {0} × {0}/xy ≤ 0} es una relaci´n refleja. o37. R = {(x, y) ∈ {0} × {0}/xy ≤ 0} es una relaci´n sim´trica. o e38. R = {(x, y) ∈ {0} × {0}/xy ≤ 0} es una relaci´n antisim´trica. o e39. R = {(x, y) ∈ {0} × {0}/xy > 0} es una relaci´n transitiva. o40. R = {(x, y) ∈ {0} × {0}/xy < 0} es una relaci´n transitiva. o41. R = {(x, y) ∈ [0, ∞) × [0, ∞)/x ≥ 0} es una relaci´n refleja. o42. R = {(x, y) ∈ [0, ∞) × [0, ∞)/x ≥ 0} es una relaci´n sim´trica. o e43. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x ≤ 0} es una relaci´n antisim´trica. o e44. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x ≤ 0} es una relaci´n transitiva. o45. (−∞, 0) y [0, ∞) son las clases de equivalencia de R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/xy ≥ 0}46. (−∞, 0) y (0, ∞) son las clases de equivalencia de R = {(x, y) ∈ ( Ê {0}) × Ê {0})/xy > 0} (47. (−∞, 0) y [0, ∞) son las clases de equivalencia de R = {(x, y) ∈ Ê×Ê/x+y ≥ 0} 68
    • 48. Sea A el conjunto de alumnos de primer a no. La relaci´n en A, dada por o a1 Ra2 ⇔ a1 tiene mejor nota que a2 , es una relaci´n de orden. o49. Sea A el conjunto de alumnos de primer a no. La relaci´n en A, dada por o a1 Ra2 ⇔ a1 tiene mejor o igual nota que a2 , es una relaci´n de orden total. o50. Sea A el conjunto de alumnos de primer a no. La relaci´n en A, dada por o a1 Ra2 ⇔ a1 tiene mejor o igual nota que a2 , es una relaci´n de orden parcial. o51. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x < y} es una relaci´n de orden total. o52. R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x < y} es una relaci´n de orden parcial. o53. Dos clases de equivalencia siempre tienen al menos un elemento en com´ n. u54. Æ Æ Æ {x ∈ /x = 2n, n ∈ } y {x ∈ /x = 2n + 1, n∈ Æ}, son las clases de Ê Ê equivalencia de R = {(x, y) ∈ × /x = 2y}55. Æ Æ Æ {x ∈ /x = 2n, n ∈ } y {x ∈ /x = 2n + 1, n∈ Æ}, son las clases de Ê Ê equivalencia de R = {(x, y) ∈ × / x = 2} y56. Æ Æ Æ {x ∈ /x = 2n, n ∈ } y {x ∈ /x = 2n + 1, n∈ Æ}, son las clases de Ê Ê equivalencia de R = {(x, y) ∈ × / x = 2n, n ∈ y Æ}57. Æ Æ Æ Æ {x ∈ /x = 2n, n ∈ } y {x ∈ /x = 2n + 1, n ∈ }, son las clases de Ê Ê equivalencia de R = {(x, y) ∈ × /x − y = 2n, n ∈ } Æ 69
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Estudie si las siguientes relaciones son o no reflejas. En caso que no lo sean, para demostrarlo, enuncie un contraejemplo. (a) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y = ax + b}, con a = 0. (b) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y = ax + b ∧ y = ax + d}, con a = 0, b = d. (c) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y = ax + b ∧ y = cx + d}, con ac = −1. (d) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y ≤ ax + b ∧ y ≤ cx + d}, con b, d > 0. r (e) R = {(x, y) ∈ [−r, r] × [−r, r]/y 2 + x2 ≤ r2 ∧ |y| ≤ 2 }, con r > 0. (f ) R = {(x, y) ∈ [− 2 , 2 ] × [−r, r]/y 2 + x2 ≤ r2 ∧ |y| ≤ r }, con r > 0. r r 2 r r (g) R = {(x, y) ∈ [− 2 , 2 ] × [−r, r]/y 2 + x2 ≤ r2 }, con r > 0.2. Estudie si las siguientes relaciones son o no sim´tricas. En caso que no lo sean, e para demostrarlo, enuncie un contraejemplo. (a) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y = x} (b) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y = x} (c) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y 2 = x2 } (d) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/|y| = x} (e) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/xy = 2k, k ∈ } (f ) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/xy < 0}3. Estudie si las siguientes relaciones son o no antisim´tricas. En caso que no lo e sean, para demostrarlo, enuncie un contraejemplo. (a) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y = x} (b) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y < x} (c) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y ≥ x} (d) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/|y| = x} (e) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/xy = 2k, para alg´ n k ∈ u Æ} 70
    • 4. Estudie si las siguientes relaciones son o no transitivas. En caso que no lo sean, para demostrarlo, enuncie un contraejemplo. (a) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y = x}. (b) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/|y| ≥ x} (c) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/y 2 < x3 } (d) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/xy = 1} (e) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/xy ∈ É} (f ) R = {(x, y) ∈ Ê × Ê/x − y = pk, para alg´ n k ∈ u É}5. Estudie las siguientes relaciones. Indique si son de orden, o de equivalencia, si es el primer caso determine si son de orden total o parcial, si es el segundo, encuentre las clases de equivalencia. (a) Sea H el conjunto de todos los hombres y M el conjunto de todas las mujeres. Se define E ⊆ H × M por E = {(h, m) ∈ H × M/h esta casado con m} Es decir, E es el conjunto de todos los matrimonios. Indicaci´n: En esta parte haga los supuestos de estime convenientes y vea o qu´ pasa si los cambia (por ej., si se permite que uno sea hermano de si mis- e mo, o no). Adem´s, no se preocupe en ser demasiado formal, lo importante a es que comprenda qu´ verificar para una relaci´n de orden y para una de e o equivalencia. (1) Sea R1 la relaci´n definida en E por: o (h1 , m1 )R1 (h2 , m2 ) ⇔ Alg´ n miembro del matrimonio 1 u es hermano(a) de alg´ n miembro del matrimonio 2 u (2) Sea R2 la relaci´n definida o en E por: (h1 , m1 )R2 (h2 , m2 ) ⇔ h1 es hermano(a) de h2 (3) Sea R3 la relaci´n definida o en E por: (h1 , m1 )R3 (h2 , m2 ) ⇔ Alg´ n miembro del matrimonio 1 es de mayor o igual u estatura que alg´ n miembro del matrimonio 2 u (4) Sea R4 la relaci´n definida o en E por: (h1 , m1 )R4 (h2 , m2 ) ⇔ m1 es de menor estatura que m2 (5) Sea R5 la relaci´n definida o en E por: (h1 , m1 )R5 (h2 , m2 ) ⇔ Las edades del matrimonio 1 suman mas que las edades del matrimonio 2 (6) Sea R6 la relaci´n definida o en E por: (h1 , m1 )R6 (h2 , m2 ) ⇔ Las edades del matrimonio 1 suman a lo menos la suma de las edades del matrimonio 2 (7) Sea R7 la relaci´n definida o en E por: (h1 , m1 )R7 (h2 , m2 ) ⇔ Las edades del matrimonio 1 suman lo mismo que las edades del matrimonio 2 (b) xRy ⇔ x2 + y = y 2 + x (c) (x, y)R(z, w) ⇔ x < z ∧ y + w = 2k, k ∈ Æ (d) (x, y)R(z, w) ⇔ x + z = y + w (e) (x, y)R(z, w) ⇔ x ≤ z ∧ y ≥ w (f) (x, y)R(z, w) ⇔ xw ≤ zy 71
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones.P1. Sobre un conjunto de proposiciones P l´gicas se define la relaci´n R por o o pRq ⇔ ((p ∧ q) ⇔ q) Adem´s, para p, q ∈ P se dice que p = q si y solo si p ⇔ q. a (a) (20 min.) Demuestre que R es una relaci´n de orden sobre P. o (b) (10 min.)Pruebe que R es una relacion de orden total.P2. Considere el conjunto A = × .Se define la relaci´n R en A por: o (a1 , a2 ) R (b1 , b2 ) ⇔ a1 + a2 − b1 − b2 = 2k para un cierto k ∈ . (a) (30 min.) Pruebe que R es una relaci´n de equivalencia. o ıcitamente [(0, 0)]R y [(1, 0)]R . (b) (10 min.) Calcular expl´ (c) (10 min.) Pruebe que A = [(0, 0)]R ∪ [(1, 0)]R . (d) (10 min.) Pruebe que existe una biyecci´n f : [(1, 0)]R → [(0, 0)]R . oP3. (30 min.) Sea A el conjunto de todas las relaciones binarias en Ê. Sobre A definamos la relaci´n binaria Ω siguiente: o Sean R1 , R2 ∈ A, entonces R1 ΩR2 ⇔ [(∀x, y ∈ Ê)(xR1 y ⇒ xR2 y)] Pruebe que Ω es una relaci´n de orden. Muestre adem´s que Ω es de orden o a parcial en A.P4. Sea p ∈ , p ≥ 2. Se define en É+ = {q ∈ É/q > 0} la relaci´n Ωp por: o x xΩp y ⇔ ∃α ∈ , = pα y (a) (20 min.) Demostrar que Ωp es relaci´n de equivalencia en o É+. (b) (10 min.) Describa por extensi´n [1]Ω2 . oP5. Sea A un conjunto no vac´ y f : A → A una funci´n que satisface la condicion ıo o siguiente: Æ ∃n ∈ {0} tal que f (n) = idA . Se define en A la relaci´n R por: o xRy ⇔ ∃k ∈ {1, 2, ..., n} tal que f (k)(x) = y. (a) (30 min.) Demuestre que R es relaci´n de equivalencia. o (b) Considere A = {0, 1}3 yf : A → A definida por f (x1 , x2 , x3 ) = (x2 , x3 , x1 ) (b.1) (10 min.) Pruebe que f satisface la propiedad enunciada. 72
    • (b.2) (20 min.) Determine y escriba todas las clases de equivalencia in- ducidas por R en A.P6. Sea E un conjunto y A = φ un subconjunto fijo de E. Se define en P(E) la relaci´n R por: o XRY ⇔ A ∩ X = A ∩ Y (a) (10 min.) Demuestre que R es relaci´n de equivalencia. o (b) (15 min.) Demuestre que el conjunto cuociente P(E)/R = {[X]/X ∈ P(A)}. (c) (15 min.) Demuestre que para X, Y ∈ P(A) se tiene que X = Y ⇒ [X] = [Y ]. 73
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 oUsa este margen ´ SEMANA 6: PRINCIPIO DE INDUCCION Y SUMATORIAS para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e propias 5. Principio de inducci´n o anotaciones. 5.1. Principio de inducci´n: Primera forma o Una categor´ importante de proposiciones y teoremas es la de las propiedades de ıa los n´ meros naturales. Aqu´ tenemos, por ejemplo u ı (∀n ∈ Æ) n < 2 n (∀n ∈ Æ) (n es primo ∧ n = 2) ⇒ n es impar (∀n ≥ 1) 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7 Æ En general, si p(n) es una proposici´n cuya variable libre n pertenece a , las dis- o tintas formas del principio de inducci´n nos proporcionan proposiciones equiv- o alentes a la proposici´n o (∀n ≥ n0 ) p(n) Estas formas alternativas nos facilitar´n en muchos casos obtener una demostraci´n a o de la propiedad buscada. Definici´n 5.1 (Principio de inducci´n, primera forma). Consideremos la proposi- o o ci´n o (∀n ≥ n0 ) p(n) Æ donde n0 ∈ es un n´mero natural fijo. u La primera forma del principio de inducci´n nos dice que esta proposici´n es equiv- o o alente a p(n0 ) ∧ [(∀n ≥ n0 ) p(n) ⇒ p(n + 1)] Observemos los siguientes ejemplos: Proposici´n 5.1. Demostrar que o (∀n ∈ Æ) 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7 ´ Demostracion. El caso base es n = 0. Aqu´ tenemos que demostrar que ı, 32·0+1 + 20+2 es divisible por 7 Pero esto es verdadero, pues 32·0+1 + 20+2 = 3 + 4 = 7. Æ Supongamos ahora que tenemos un n ∈ tal que se cumple la propiedad, es decir que 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7. Con esta informaci´n, a la cual llamamos o hip´tesis inductiva, tenemos que demostrar que 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 es tambi´n o e divisible por 7. Æ Gracias a la hip´tesis inductiva, tenemos que existe un k ∈ tal que 32n+1 +2n+2 = o 7k. Entonces: 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 32n+3 + 2n+3 = 9 · 32n+1 + 2 · 2n+2 = (7 · 32n+1 + 2 · 32n+1 ) + 2 · 2n+2 74
    • donde esta descomposici´n la hacemos de modo de poder factorizar el t´rmino o e32n+1 + 2n+2 .As´ continuamos desarrollando ı, 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 7 · 32n+1 + 2 · (32n+1 + 2n+2 ) = 7 · 32n+1 + 2 · 7k = 7 · (32n+1 + 2k) ∈ Æpor lo que concluimos que 32(n+1)+1 +2(n+1)+2 es divisible por 7. Gracias al principiode inducci´n, la propiedad en cuesti´n es cierta. o oProposici´n 5.2. Demostrar que o n(n + 1) (∀n ≥ 1) 1 + 2 + . . . + n = 2 ´Demostracion. El caso base a demostrar en esta ocasi´n es n = 1. Aqu´ tenemos o ı,que demostrar que 1 · (1 + 1) 1= 2lo que es cierto.Supongamos ahora que la propiedad vale para alg´ n n ≥ 1 (hip´tesis inductiva). u oDebemos demostrar que la propiedad tambi´n es cierta para n + 1. Es decir, que e (n + 1)(n + 2) 1 + 2 + . . . + (n + 1) = 2En efecto: 1 + 2 + . . . + (n + 1) = 1 + 2 + . . . + n + (n + 1) n(n + 1) = + (n + 1) 2 n(n + 1) + 2(n + 1) = 2 (n + 1)(n + 2) = 2y se concluye la veracidad de la propiedad gracias al principio de inducci´n. o5.2. Principio de inducci´n: Segunda forma oLa segunda forma del principio de inducci´n nos dice: oDefinici´n 5.2 (Principio de inducci´n, segunda forma). La proposici´n o o o (∀n ≥ n0 ) p(n)es equivalente a p(n0 ) ∧ (∀n > n0 ) [p(n0 ) ∧ . . . ∧ p(n − 1) ⇒ p(n)] 75
    • Como ejemplo de la aplicaci´n de esta forma del principio de inducci´n, o orecordemos que los n´ meros compuestos son los n´ meros naturales mayores que 1 u uque poseen un divisor distinto de 1 y de s´ mismos, es decir, si n ≥ 2: ı n es compuesto ⇐⇒ (∃d ∈ {2, . . . , n − 1}) d | nRecordemos tambi´n que los n´ meros primos son los que no son compuestos. e u Ejemplo: Proposici´n 5.3. Todo n´mero natural n ≥ 2 posee al menos un divisor que es o u un n´mero primo. Es decir, u (∀n ≥ 2)(∃p n´mero primo) p | n u ´ Demostracion. Utilizaremos segunda forma de inducci´n. El caso base es n = o 2, para el cual observamos que p = 2 es un n´ mero primo tal que p | n. u Hagamos ahora el paso inductivo: Sea n > 2, y supongamos que para todo valor k = 2, 3, . . . , n − 1 se tiene que k posee un divisor primo. Separamos por casos: Si n es primo, entonces p = n es un n´ mero primo tal que p | n. u Si n no es primo, entonces existe un natural d ∈ {2, . . . , n−1} tal que d | n. Por hip´tesis inductiva y notando que d < n, entonces existe un n´ mero o u primo p tal que p | d. Tenemos entonces que p | d y d | n, y gracias a que | es una relaci´n o transitiva, obtenemos que p | n.Definici´n 5.3 (F´rmulas de recurrencia). Consideremos el siguiente set de o oigualdades, al cual llamaremos recurrencia: x0 = a xn+1 = f (x0 , . . . , xn ) (∀n ≥ 0)Las recurrencias nos permitir´n una forma alternativa de definir secuencias de an´ meros, como por ejemplo u x0 = 2 xn+1 = 2 + xn (∀n ≥ 0)define la secuencia 2, 4, 6, 8, 10, . . . de n´ meros pares positivos. uUna cualidad importante de las f´rmulas de recurrencia es que son altamente com- opatibles con las demostraciones que utilizan principio de inducci´n. Por ejemplo, oconsideremos la f´rmula de recurrencia o x0 = 1 xn 2 xn+1 = 1 + (∀n ≥ 0) 2Demostraremos que (∀n ∈ Æ) xn ≤ 2. 76
    • ´Demostracion. Lo haremos utilizando primera forma de inducci´n. El caso base oresulta ser cierto pues corresponde a demostrar que x0 ≤ 2 (recordemos que x0 = 1).Supongamos ahora que para alg´ n n ∈ u Æ se tiene que xn ≤ 2. Se tiene, entonces,que xn 2 x2n 22 xn+1 = 1 + =1+ ≤1+ =2 2 4 4con lo que xn+1 ≤ 2, y se concluye la demostraci´n. oConsideremos la secuencia de n´ meros definida por la recurrencia u f1 = 1 f2 = 1 fn+2 = fn+1 + fn (∀n ∈ Æ)la cual se llama secuencia de n´meros de Fibonacci. Sus primeros t´rminos son u e f1 = 1 f2 = 1 f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2 f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3 f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5 f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8 . . .Observaci´n: Los n´ meros de Fibonacci est´n relacionados con muchos elementos o u ade la naturaleza. Visita http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci,para m´s detalles. a Ejemplo: N´ meros de Fibonacci u Entre muchas propiedades que cumplen, demostraremos la siguiente: Proposici´n 5.4. o (∀n ≥ 1) f4n es divisible por 3 ´ Demostracion. La demostraremos usando primera forma de inducci´n. El caso o base es n = 1, en el cual tenemos que probar que f4 es divisible por 3. Esto es directo, pues como ya vimos, f4 = 3. Para el paso inductivo, supongamos que f4n es divisible por 3 para alg´ n n ≥ 1. u Æ Existe, entonces, un k ∈ tal que f4n = 3k. Debemos demostrar que f4(n+1) es divisible por 3 Desarrollemos este t´rmino, utilizando la f´rmula de recurrencia que cumplen e o 77
    • los n´ meros de Fibonacci: u f4(n+1) = f4n+4 = f4n+3 + f4n+2 = (f4n+2 + f4n+1 ) + (f4n+1 + f4n ) = f4n+2 + 2f4n+1 + f4n = (f4n+1 + f4n ) + 2f4n+1 + f4n = 3f4n+1 + 2f4n = 3f4n+1 + 2 · 3k = 3(f4n+1 + 2k) con lo que f4(n+1 tambi´n es divisible por 3, que era lo que dese´bamos. e a6. Sumatorias6.1. Introducci´n oSea a0 , a1 , a2 , . . . , an una secuencia de n´ meros reales. En esta secci´n estudiaremos u opropiedades y m´todos de c´lculo para su suma e a a0 + a1 + a2 + . . . + anIntroduciremos para este efecto una notaci´n especial: o n a0 + a1 + a2 + . . . + an = ak k=0Al s´ ımbolo le llamaremos sumatoria.M´s generalmente: aDefinici´n 6.1 (Sumatoria). Si aM , aM+1 , . . . , aN es una secuencia de n´meros o ureales, definimos su sumatoria por recurrencia: M ak = aM k=M n n−1 ak = an + ak (∀n = M + 1, . . . , N ) k=M k=MEn este cap´ıtulo estudiaremos propiedades y m´todos de c´lculo para sumatorias e ade diversos tipos.La sumatoria cumple la siguiente lista de propiedades:Proposici´n 6.1. o 1. Suma de la secuencia constante igual a 1. J 1 = (J − I + 1) k=I 2. Sea λ ∈ Ê, y sean (ak )n , (bk )n dos secuencias. k=1 k=1 78
    • 2.1 Factorizaci´n de constantes. o J J λ · ak = λ · ak k=I k=I 2.2 Separaci´n de una suma. o J J J (ak + bk ) = ak + bk k=I k=I k=I 3. Traslaci´n del ´ndice, si s ∈ o ı Æ. J J+s ak = ak−s k=I k=I+s 4. Separaci´n en dos sumas, si I ≤ L < J. o J L J ak = ak + ak k=I k=I k=L+1 5. Propiedad telesc´pica. o J (ak − ak+1 ) = aI − aJ+1 k=I ´Demostracion. Demostraremos (1) y (6).Para (1): Lo haremos por inducci´n sobre J ≥ I. oCaso base J = I: debemos demostrar que I 1 = (I − I + 1) k=Ilo cual es directo, pues ambos lados valen 1. JSupongamos ahora que k=I 1 = (J − I + 1). Entonces J+1 J 1=1+ 1 = 1 + (J − I + 1) = (J + 1) − I + 1 k=I k=IPara (6): Nuevamente por inducci´n sobre J ≥ I. oSi J = I, el resultado se reduce a demostrar que I (ak − ak+1 ) = aI − aI+1 k=Ilo cual es directo gracias a la definici´n de sumatoria. o JSupongamos ahora que k=I (ak − ak+1 ) = aI − aJ+1 . EntoncesJ+1 J (ak −ak+1 ) = (aJ+1 −aJ+2 )+ (ak −ak+1 ) = (aJ+1 −aJ+2 )+(aI −aJ+1 ) = aI −aJ+2k=I k=I 79
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ∈ Æ)[p(n) ⇒ p(n + 1)] son verdaderas. 2. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0)∧(∀n ∈ Æ)[p(n) ⇒ p(n + 1)] es verdadera. 3. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0)∨(∀n ∈ Æ)[p(n) ⇒ p(n + 1)] es verdadera. 4. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ∈ Æ)[p(n + 1) ⇒ p(n)] son verdaderas. 5. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ∈ Æ)[p(n) ⇒ p(2n)] son verdaderas. 6. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ∈ Æ)[p(2n) ⇒ p(2n + 1)] son verdaderas. 7. Æ Una proposici´n l´gica (∀n ∈ )p(n) es verdadera ssi p(0), (∀n ∈ o o Æ)[p(2n) ⇒ p(2n + 1)] y (∀n ≥ 1)[p(2n − 1) ⇒ p(2n)] son verdaderas. 8. Æ Una proposici´n l´gica (∀n ∈ )p(n) es verdadera ssi p(0), {(∀n ∈ o o Æ)[p(2n) ⇒ p(2n + 1)] ∨ (∀n ≥ 1)[p(2n − 1) ⇒ p(2n)]} son verdaderas. 9. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ≥ 1)[p(n − 1) ⇒ p(n)] son verdaderas.10. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ≥ 1)[p(n − 1) ⇒ p(n + 1)] son verdaderas.11. o o Æ Una proposici´n l´gica (∀n ∈ )p(n) es verdadera ssi p(0), p(1) ∧ ... ∧ p(n) Æ son verdaderas para alg´ n n ∈ . u12. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ≥ 1)[(p(0) ∧ o o ... ∧ p(n − 1) ∧ p(n)) ⇒ p(n + 1)] son verdaderas.13. o o Æ Una proposici´n l´gica (∀n ∈ )p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ≥ 1)[(p(0) ∧ ... ∧ p(n − 1)) ⇒ p(n + 1)] son verdaderas.14. o o Æ Una proposici´n l´gica (∀n ∈ )p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ≥ 1)[(p(0) ∧ ... ∧ p(n − 1)) ⇒ p(n)] son verdaderas.15. o o Æ Una proposici´n l´gica (∀n ∈ )p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n > k)[p(k) ∧ ... ∧ p(n − 1) ⇒ p(n)] son verdaderas para alg´ n k ∈ . u Æ16. o o Æ Una proposici´n l´gica (∀n ∈ )p(n) es verdadera ssi (∀n > k)[p(k) ∧ ... ∧ p(n − 1) ⇒ p(n)] es verdadera para alg´ n k ∈ . u Æ17. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ o o Æ)p(n) es verdadera ssi p(k) ∧ ... ∧ p(n) es Æ verdadera para algunos k, n ∈ .18. Una proposici´n l´gica (∀n ∈ Æ)p(n) es verdadera ssi p(0) y (∀n ∈ Æ)[p(n) ⇔ o o p(n + 1)] son verdaderas. 80
    • 19. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales y λ ∈ e Ê, se tiene que N i=0 λai = N λ i=0 ai .20. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales y λ ∈ e Ê, se tiene que N i=0 λ+ N ai = λ + i=0 ai .21. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales y λ ∈ e Ê, se tiene que N i=0 λ+ N ai = (N + 1)λ + i=0 ai .22. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales y λ ∈ e Ê, se tiene que N i=0 λ+ N ai = N λ + 1 + i=0 ai . N N +123. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=0 ai = i=1 ai−1 . N N +324. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=0 ai = i=2 ai−2 .25. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales y N ≥ 1 par, se tiene que e N N N/2 2 −1 i=0 ai = i=0 a2i + i=0 a2i+1 . N26. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 (ai + bi ) = N N i=1ai + j=1 bj . N27. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 (ai + bi ) = N N i=1 ai + j=1 bj . N28. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 (ai + bi ) = N N i=1 −N + ai + j=1 bi . N N29. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=j ai = j=i aj . N N30. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=0 ai = j=0 aj . N N −131. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=0 ai = j=0 (aj − aN ). N N −132. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=0 ai = j=0 (aj + aN ). N N −133. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=0 ai = j=0 aj + aN . N N −134. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=0 ai = j=0 aj − aN . N35. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 ai − ai−1 = aN − a0 . N36. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 ai − ai−1 = a0 − aN . N37. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 ai −(ai −1) = aN − a0 . 81
    • N38. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 (ai +1)−ai = aN +1 − a1 . N39. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 ai−1 − ai = aN − a0 . N40. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=1 ai−1 − ai = a0 − aN . N41. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=5 ai−1 − ai = a5 − aN . N42. Sea (an )n≥0 una secuencia de t´rminos reales, se tiene que e i=5 ai−1 − ai = a4 − aN . 82
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Demuestre las siguientes afirmaciones, usando inducci´n. Indique claramente o sobre qu´ variable la est´ usando y cu´l es la hip´tesis inductiva. e a a o (a) ∀k ∈ Æ, la suma de los primeros k naturales es divisible por k o por k + 1. (b) ∀n ≥ 1, 32n+1 + 2n+2 es divisible por 7. (c) ∀n ≥ 1, n3 + 5n es divisible por 6. (d) ∀n ≥ 1, 52m+1 + 72m+1 es divisible por 6. (e) ∀n ≥ 1, (x − y) divide a xn − y n .2. Demuestre las siguientes propiedades usando inducci´n. o (a) ∀n ∈ Æ, 2n k k=1 (−1) (2k + 1) = αn, y determine el valor de la constante α. (b) ∀n ∈ Æ, 1+ 1 4 + 1 9 + ..... +1 n2 ≤ 1 2 − n. n 2 n(2n+1)(n+1) (c) ∀n ≥ 1, i=1 i = 6 . n n2 +n (d) ∀n ≥ 1, i=1 i= 2 .3. Resuelva los siguiente problemas Æ (a) ∀n ∈ , demuestre que el producto de n n´ meros naturales mayores estric- u tos que uno y no necesariamente consecutivos es mayor estricto que n. Æ (b) ∀n ∈ , demuestre que si tiene n rectas en el plano, de modo tal que no existen rectas paralelas y adem´s la intersecci´n entre ellas es dos a dos (es a o decir, no existen tres rectas que se corten en el mismo punto), entonces el n total de regiones formadas es ( j=0 j) + 1. (c) ∀n ∈ Æ, demuestre que n puntos sobre una recta generan n + 1 segmentos.4. Encuentre el valor de las siguientes sumatorias. (Sin usar inducci´n). o n (a) i + i2 . i=0 n (b) (i − 1)2 − i2 . i=0 n (c) sen(i) − sen(i + 1). i=1 n (d) cos(i + 2) + cos(i) − cos(i + 1) − cos(i − 1). i=1 n i i−1 (e) − 2 . i=1 i2 + 2i + 1 i 83
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones. n+1 1P1. (30 min.) Probar que para todo natural mayor o igual que 1 se tiene ≤ n+k k=1 5 . 6P2. (20 min.) Probar por inducci´n que para n ≥ 1, 2 · 7n + 3 · 5n − 5 es divisible o por 24.P3. (20 min.) Demuestre que (∀n ≥ 10)n3 < 2n .P4. Consideremos la siguiente sucesi´n {a(n)}n≥1 definida por recurrencia. o a(2) = a(1) = 1 y sea a(n) = 3[a(n − 1) + a(n − 2)] + 1 Queremos probar que a(3n) + a(3n + 1) es divisible por 32. (a) (20 min.) Pruebe usando inducci´n que a(3n + 2) − 1 es divisible por 2. o (b) (20 min.) Pruebe usando inducci´n que 3a(3n + 1) + 5 es divisible por 8. o (c) (20 min.) Pruebe usando inducci´n que a(3n) + a(3n + 1) es divisible por o 32. n 1P5. Se define Hn = i=1 i , ∀n ≥ 1 a) (10 min.) Demuestre usando inducci´n que o H2k ≤ 1 + k ∀k ∈ Æ b) (20 min.) Demuestre usando inducci´n que o n Hi = (n + 1)Hn − n ∀n ≥ 1 i=1P6. (20 min.) Demuestre usando inducci´n que: o n 2 3 n−1 x2 − 1 (1 + x)(1 + x2 )(1 + x2 )(1 + x2 )...(1 + x2 )= ∀n ≥ 1, x = 1 x−1 84
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o SEMANA 7: SUMATORIAS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz6.2. Progresiones aritm´ticas e tambi´n tus e propiasDefinici´n 6.2 (Progresi´n aritm´tica). Es una sumatoria del tipo o o e anotaciones. n (A + kd) k=0es decir, donde ak = A + kd, para valores A, d ∈ Ê.Utilizando las propiedades de sumatoria, obtenemos que esta suma es igual a n n A· 1+d· k k=0 k=0Nos basta, entonces, calcular la sumatoria n k k=0Para ello utilizaremos el m´todo de Gauss: como la suma en e Ê es conmutativa,entonces n S= k k=0puede ser calculado de las dos formas siguientes S = 0 + 1 + 2 + . . . + (n-1) + n S = n + (n-1) + (n-2) + . . . + 1 + 0Si sumamos estas dos igualdades, obtenemos S =0+ 1 + 2 + . . . + (n − 1) + n S = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 +0 2S = n + n + n +...+ n +nComo cada suma posee (n + 1) sumandos, obtenemos que n(n + 1) S= 2Proposici´n 6.2. Si n ≥ 0, o n n(n + 1) k= 2 k=0 85
    • ´Demostracion. Por inducci´n sobre n ≥ 0. oCaso n = 0: Hay que demostrar que 0 0·1 k= 2 k=0lo cual es directo pues ambos lados valen 0.Supongamos que la f´rmula vale para alg´ n n ≥ 0. Entonces o u n+1 n k = (n + 1) + k k=0 k=0 n(n + 1) = (n + 1) + (Aqu´ aplicamos la hip´tesis inductiva.) ı o 2 (n2 + n) + 2(n + 1) = 2 n2 + 3n + 2 (n + 1)(n + 2) = = 2 2con lo que completamos la demostraci´n. oEs importante notar que n n n k =0+ k= k k=0 k=1 k=1por lo que es irrelevante si la suma se considera desde k = 0 o desde k = 1.Tambi´n, notemos que si 1 ≤ n1 ≤ n2 son n´ meros naturales, entonces e u n2 n2 n1 −1 n2 (n2 + 1) (n1 − 1)n1 (n1 + n2 )(n2 − n1 + 1) k= k− k= − = 2 2 2 k=n1 k=0 k=0por lo que sabemos calcular esta suma entre cualquier par de n´ meros. uFinalmente, volviendo a la progresi´n aritm´tica, podemos ahora dar su f´rmula o e oexpl´ ıcita:Proposici´n 6.3 (F´rmula progesi´n aritm´tica). o o o e n n(n + 1) (A + kd) = A(n + 1) + d 2 k=06.3. Progresiones geom´tricas eDefinici´n 6.3 (Progresi´n geom´trica). Es una sumatoria del tipo o o e n Ark k=0es decir, donde ak = Ark , para valores A, r ∈ Ê. 86
    • Supongamos que r = 1. El caso r = 1 es muy sencillo, y queda como ejercicio parael lector.Similarmente a como procedimos antes, podemos decir que esta suma equivale a n A· rk k=0por lo que basta calcular esta ultima sumatoria. ´Denotemos n S= rk k=0Se tiene entonces que n r·S = rk+1 k=0por lo que n S−r·S = (rk − rk+1 ) k=0 n S−r·S = (rk − rk+1 ) k=0Reconocemos en esta ultima igualdad una suma telesc´pica, la cual vale r0 − rn+1 . ´ oPor lo tanto S(1 − r) = 1 − rn+1y gracias a que r = 1 se obtiene la f´rmula oPropiedad 4. Si n ≥ 0 y r = 1, n 1 − rn+1 rk = 1−r k=0Queda propuesto al lector demostrar por inducci´n esta propiedad. oNuevamente es posible calcular esta suma entre cualquier par de n´ meros. Si 1 ≤ un1 ≤ n2 , entonces n2 n2 n1 −1 1 − rn2 +1 1 − rn1 rn1 − rn2 +1 rk = rk − rk = − = 1−r 1−r 1−r k=n1 k=0 k=0As´ volviendo al caso de la progresi´n geom´trica, obtenemos que ´sta cumple la ı, o e ef´rmula oProposici´n 6.4. F´rmula progresi´n geom´trica Si r = 1, o o o e n A(1 − rn+1 ) Ark = 1−r k=0 87
    • 6.4. Algunas sumas importantesVeamos a continuaci´n algunas sumas importantes que podemos calcular usando lo oconocido.Propiedad 5. Si n ≥ 0, n n(n + 1)(2n + 1) k2 = . 6 k=0 ´Demostracion. Queda propuesto como ejercicio, demostrar esta propiedad usan-do inducci´n. oAqu´ lo haremos directamente, notando que para cualquier k ∈ {0, . . . , n} se tiene ıque (k + 1)3 = k 3 + 3k 2 + 3k + 1.Por ende, tendremos la siguiente igualdad n n 3 (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1. k=0 k=0Y aplicando propiedades de las sumas, obtenemos: n n n n n (k + 1)3 = k3 + 3k 2 + 3k + 1 k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 n n n n = k3 + 3 k2 + 3 k+ 1 k=0 k=0 k=0 k=0Despejamos entonces el valor de la suma buscada, obteniendo: n n n n n 1 k2 = (k + 1)3 − k3 − 3 k− 1 3 k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 n n n 1 = ((k + 1)3 − k 3 ) −3 k− 1 . 3 k=0 k=0 k=0 (1) (2) (3)Y todos los t´rminos en el lado derecho se pueden calcular: e La suma (1), por propiedad telesc´pica, o n ((k + 1)3 − k 3 ) = (n + 1)3 − 0 = (n + 1)3 . k=0 La suma (2), por la propiedad vista para progresiones aritm´ticas, e n n(n + 1) k= . 2 k=0 La suma (3) por propiedad vista en la tutor´ pasada, ıa n 1 = n + 1. k=0 88
    • En resumen, tenemos que: n 1 3n(n + 1) k2 = (n + 1)3 − − (n + 1) 3 2 k=0 (n + 1) 3n = 2n2 + 2n + 1 − −1 3 2 (n + 1) 2 n = n + 3 2 n(n + 1)(2n + 1) = . 6Concluyendo el resultado.Otra suma importante, del mismo tipo que la anterior esPropiedad 6. Si n ≥ 0, n 2 n(n + 1) k3 = . 2 k=0 ´Demostracion. La demostraci´n queda propuesta como ejercicio, tanto usando oinducci´n como de forma directa. oPara probarlo directamente, se usa la misma t´cnica anterior, o sea se calcula (k + e1)4 .7. Teorema del binomio de Newton7.1. Coeficientes binomialesConsideremos la siguiente f´rmula de recurrencia: o f0 = 1 fn = n · fn−1 si n ≥ 1Definici´n 7.1 (Factorial). Llamaremos factorial de n (denotado n!) al valor ofn .Por ejemplo, el factorial de 4 es 4! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2! = 4 · 3 · 2 · 1! = 4 · 3 · 2 · 1 · 0! = 4 · 3 · 2 · 1 · 1 = 24Los n´ meros factoriales poseen la siguiente interpretaci´n en el contexto de armar u ocombinaciones: sea k ≤ n. Entonces n! (n − k)!corresponde a la cantidad de k-tuplas que se puede formar a partir de un conjuntode n elementos, SIN repetirlos.Por ejemplo, si A = {a, b, c, d}, ¿cu´ntos pares ordenados (2-tuplas) distintos pode- amos formar con sus elementos, sin repetirlos? (a, b) (b, a) (c, a) (d, a) 4! (a, c) (b, c) (c, b) (d, b) −→ 12 combinaciones, y 12 = (4−2)! (a, d) (b, d) (c, d) (d, c) 89
    • Continuando con la interpretaci´n combinatorial, sea k ≤ n. Definimos oDefinici´n 7.2 (Coeficiente binomial). Se define o n k(se lee “n sobre k”) como el n´mero de subconjuntos de tama˜ o k que posee un u nconjunto de tama˜ o n. n¿Cu´nto vale n ? a kObservemos que por cada subconjunto de tama˜ o k de un conjunto de n elementos, npodemos formar varias k-tuplas: pensando en el ejemplo de A = {a, b, c, d}, a partirdel subconjunto {a, c} podemos formar los pares ordenados (a, c) y (c, a).El n´ mero de k-tuplas que se pueden formar a partir de un conjunto de tama˜o n u nser´, entonces, el n´ mero de subconjuntos de tama˜ o k que ´ste posea, pero para a u n econsiderar los posibles reordenamientos que hacen diferentes a las tuplas, necesita-mos multiplicar por la cantidad de formas en que es posible ordenar un conjuntode k elementos: este ultimo valor es k!. Por lo tanto, el n´ mero de k-tuplas que se ´ upuede formar es n · k! kpor lo que n n! = k k!(n − k)!Propiedades 7. Si 0 ≤ k ≤ n, n n 1. 0 = 1, 1 =n n n 2. k = n−k n+1 n n 3. Si k < n, k+1 = k + k+1 ´Demostracion. Demostraremos (3). n n n! n! + = + k k+1 k!(n − k)! (k + 1)!(n − (k + 1))! n! n! = + k!(n − k)(n − k − 1)! (k + 1)k!(n − k − 1)! n! 1 1 = + k!(n − k − 1)! n − k k + 1 n! (n − k) + (k + 1) = · k!(n − k − 1)! (n − k)(k + 1) n! n+1 = · k!(n − k − 1)! (n − k)(k + 1) (n + 1)n! = (k + 1)k! (n − k)(n − k − 1)! n+1 = k+1 90
    • ´La propiedad (3) permite utilizar un m´todo iterativo para calcular n . Este con- e ksiste en construir un tri´ngulo, donde las filas est´n etiquetadas con valores de n, a ay las columnas con valores de k. Los bordes de este tri´ngulo los rellenamos con aunos, como muestra la tabla: k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 1 n=3 1 1 n=4 1 1 n=5 1 1En esta estructura, el t´rmino n es el que aparece en la fila n y la columna k. e kPara calcularlo, entonces, como 0 < k < n: n n−1 n−1 = + k k k−1es decir, cada t´rmino es la suma del que se encuentra sobre ´l, y el que se encuentra e een su diagonal superior-izquierda. Rellenamos el tri´ngulo: a k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 ... 1Este tri´ngulo es llamado Tri´ngulo de Pascal. a a7.2. Binomio de NewtonTeorema 7.1 (Binomio de Newton). Sean x, y ∈ Ê, n ∈ Æ. Entonces n n k n−k (x + y)n = x y k k=0 Ejemplo: 3 0 3 3 1 2 3 2 1 3 3 0 (x + 2)3 = x 2 + x 2 + x 2 + x 2 0 1 2 3 = 1 · x0 23 + 3 · x1 22 + 3 · x2 21 + 1 · x3 20 = 8 + 12x + 6x2 + x3Veamos, antes de probar el teorema, una forma intuitiva de comprender por qu´ eaparecen los coeficientes n . Pensemos en n = 3. k (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y) = x3 + x2 y + xyx + xy 2 + yx2 + yxy + y 2 x + y 3 91
    • El t´rmino x2 y viene de haber elegido x en los primeros dos par´ntesis, y haber e eelegido y en el tercero. 3 representa la cantidad de combinaciones donde se eligi´ 2 ox exactamente dos veces, las cuales son: x2 y, xyx, yx2 . Si reordenamos los factores,obtenemos 3 2 x2 y + xyx + yx2 = x y 2Finalmente se concluye que 3 0 3 3 1 2 3 2 1 3 3 0 (x + y)3 = x y + x y + x y + x y 0 1 2 3 ´Demostracion. Prob´moslo por inducci´n en n ∈ . e o ÆPrimero analicemos el caso base, n = 0. Por un lado (x + y)0 = 1 y por otro 0 0 k 0−k k=0 k x y = 0 x0 y 0 = 1 (Aqu´ suponemos que ∀x ∈ , x0 = 1). Es decir, la 0 ı Êpropiedad se cumple para n = 0. n nSea entonces n ≥ 0 tal que se tiene que (x+y)n = k=0 k xk y n−k (H.I.). Probemosque se tiene el teorema para n + 1: (x + y)n+1 = (x + y)(x + y)n n n k n−k = (x + y) x y Aplicamos H.I. k k=0 n n = xk+1 y n−k + xk y n+1−k . k=0 k=0Ahora, si 1 ≤ k ≤ n, sabemos por propiedad de los coeficientes binomiales que n+1 n n = + . k k k−1Luego, n−1 n n k+1 n−k n k n−k+1(x + y)n+1 = xn+1 + x y + x y + y n+1 k k k=0 k=1 n n n n k n−k+1 = xn+1 + xk y n−k+1 + x y + y n+1 Cambio de variable. k−1 k k=1 k=1 n n n = xn+1 + + xk y n−k+1 + y n+1 k−1 k k=1 n+1 n + 1 k n+1−k = x y . k k=0De donde se concluye el teorema.Calculemos las siguientes sumatorias: n 1 1. k=1 k(k+1) n 2. k=0 k · k! n n 3. k=0 k n n 1 4. k=0 k k+1 92
    • 1. Para ´sta, utilizamos la descomposici´n e o 1 1 1 = − k(k + 1) k k+1 con lo que la suma a calcular se convierte en n n 1 1 1 1 1 1 = − = − =1− k(k + 1) k k+1 1 n+1 n+1 k=1 k=1 usando la propiedad telesc´pica. o2. Consideremos la igualdad (k+1)! = (k+1)k! = k·k!+k!, con la que obtenemos que k · k! = (k + 1)! − k! Sumando a ambos lados, llegamos a n n k · k! = ((k + 1)! − k!) = (n + 1)! − 0! = (n + 1)! − 1 k=0 k=0 pues es una suma telesc´pica. o3. Esta suma resulta ser una aplicaci´n directa del Binomio de Newton. Uti- o lizando que 1m = 1 para cualquier m ≥ 1, n n n n k n−k = 1 1 k k k=0 k=0 As´ utilizando la f´rmula de Newton se tiene que ı, o n n = (1 + 1)n = 2n k k=04. Para este tipo de sumatorias, debemos llevarlas a la forma del Binomio de Newton, t´ıpicamente ingresando los factores que “sobran” al coeficiente bino- mial. Reescribamos el t´rmino de la suma: e n 1 n! 1 = · k k+1 k!(n − k)! k + 1 n! = (k + 1)!(n − k)! Para formar un nuevo coeficiente binomial, debemos procurar que los dos valores de abajo (en este caso k + 1 y n − k) sumen el de arriba (en este caso n). Para arreglarlo, amplifiquemos numerador y denominador por (n + 1), obteniendo n! 1 (n + 1)n! 1 (n + 1)! 1 n+1 = · = · = (k + 1)!(n − k)! n + 1 (k + 1)!(n − k!) n + 1 (k + 1)!(n − k)! n+1 k+1 1 1 Ahora tenemos un factor n+1 en lugar de k+1 . ¿Hemos ganado algo? S´ pues ı, 1 n+1 es un t´rmino independiente de k, por lo que e n n n 1 1 n+1 = k k+1 n+1 k+1 k=0 k=0 93
    • Hacemos una traslaci´n de ´ o ındice en la suma de la derecha, para obtener n n+1 n 1 1 n+1 = k k+1 n+1 k k=0 k=1Esto de la derecha se parece bastante a un Binomio de Newton: bastar´ ıarellenar con 1k 1n+1−k , sin embargo primero debemos procurar que el ´ ındicek sume sobre todos los valores 0, 1, . . . , n + 1. Sumamos y restamos el t´rmino easociado a k = 0, y seguimos desarrollando: n n+1 n 1 1 n+1 n+1 = − k k+1 n+1 k 0 k=0 k=0 n+1 1 n + 1 k n+1−k = 1 1 −1 n+1 k k=0 1 = ((1 + 1)n+1 − 1) n+1 1 = (2n+1 − 1) n+1 94
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: n−1 i 1−qn 1. Sea n ≥ 1 y q = 1. i=0 q = 1−q . n−1 i 1−qn+1 2. Sea n ≥ 1 y q = 1. i=0 q = 1−q . n−1 i 1 3. Sea n ≥ 1 y q = 1. i=0 q = 1−q . n−1 i n−k 4. Sea n ≥ 1 y q = 1. i=k q = q k 1−q 1−q . n n−1 i 5. Sea n ≥ 1 y q = 1. i=k q = q k 1−q . 1−q n−1 n(n+1) 6. Sea n ≥ 1. i=0 i= 2 . n−1 n(n−1) 7. Sea n ≥ 1. i=0 i= 2 . n n(n+1) 8. Sea n ≥ 0. i=0 i= 2 . n 2 n(n+1)(2n+1) 9. Sea n ≥ 0. i=0 i = 6 . n−1 2 n(n−1)(2n−1)10. Sea n ≥ 0. i=0 i = 6 . n−1 2 n(n−1)(2n+1)11. Sea n ≥ 0. i=0 i = 6 . n−112. Sea n ≥ 1. i=0 sen(i) ≤ n. n n n13. i=0 ai + b i = i=0 (ai + j=0 bj ). n n n14. i=0 ai + b i = i=0 (ai + j=i bi ). n n n15. i=0 ai + b i = i=0 ai + i=0 bi . n n+1 n+116. Sean k ≤ n. k + k+1 = k+1 . n−1 n n+117. Sean 1 ≤ k ≤ n. k + k+1 = k+1 . n n n+118. Sean k ≤ n. k + k+1 = k+1 . n n n+119. Sean 1 ≤ k ≤ n. k−1 + k = k+1 . n−1 n n+120. Sean 1 ≤ k ≤ n. k−1 + k = k+1 .21. Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x + y)n = k=0 n xk yn−k . n k Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x − y)n = k=0 n xk y n−k . n22. k Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x − y) = − k=0 n xk y n−k . n n23. k Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x − y)n = k=0 n (−1)n−k xk y n−k . n24. k25. Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x + y) = k=0 2k x2k y n−2k . 2n n n Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x + y)2n = k=0 2n xk y 2n−k . 2n26. k 95
    • 27. Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x + y)n = n n−k xk yn−k . k=0 n Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x + y)n = k=0 n y k xn−k . n28. k Dados x, y ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x + y)n = k=1 k−1 y k−1 xn−k+1 . n n29. Dados x ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que xn = k=0 n xk . n30. k Dados x ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x + 1)n = k=0 n xk . n31. k Dados x ∈ Ê y n ≥ 0, se tiene que (x − 1) = k=0 k x . n n n k32. n n33. Dado n ≥ 0, se tiene que 1n = k=0 k . n n34. Dado n ≥ 0, se tiene que 2n = k=0 k . n n35. Dado n ≥ 0, se tiene que (−1)n = k=0 k (−1)k . n n36. Dado n ≥ 0, se tiene que 0 = k=0 k (−1)k .37. Dados 0 ≤ k ≤ n, el t´rmino multiplicando a xk en la expansi´n de (x + y)n e o n−k es y .38. Dados 0 ≤ k ≤ n, el t´rmino multiplicando a xk en la expansi´n de (x + y)n e o es n−k y n−k . k39. Dados 0 ≤ k ≤ n, el t´rmino multiplicando a xk en la expansi´n de (x + y)n e o es n y n−k . k40. Dados 0 ≤ k ≤ n, el t´rmino multiplicando a xk en la expansi´n de (x + y)n e o n n−k es n−k y .41. Dados 0 ≤ k ≤ n, el t´rmino multiplicando a xk en la expansi´n de (x + y)n e o es n y k . k42. Dados 0 ≤ k ≤ n, el t´rmino multiplicando a xk en la expansi´n de (x + y)n e o es n y. k 96
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Encuentre el valor de las siguientes sumas, usando sumas conocidas: n−1 a) k=1 k(k + 1). n−1 b) k=3 (k − 2)(k + 1). n−2 3 1 c) k=4 2k − 3 k + 2. n 1 d) k=1 k(k−1) . n (k+1)!(1−k) e) k=1 k2 +k . n n n−1 n+1 f) k=1 k − k=0 k . n n−1 n−1−i i −y n g) i=0 x y. (= x x−y )2. Encuentre el valor de las siguientes sumas, usando el teorema del binomio: n n a) k=0 k . n 1 b) k=1 k! (n−k)! . n−2 n c) k=3 k ak bn−k . r r d) k=0 k ak bn−k . n r e) k=0 k 2k (−1)n−k . n n−1 f) k=1 k! (n−k)! . n (n−1)! g) k=1 k! (n−k)! . n+1 k n+2 h) k=2 2 (= 3 ). n i+j−1 n+j i) i=1 j (= j+1 ). n+1 k j) k=2 2 . n n ( ) k) k=0 k+1 . k n n 2 l) k=0 k .3. Encuentre el valor de los coeficientes pedidos: a) El coeficiente de x50 en el desarrollo de (x − a)100 , con a ∈ Ê. b) El coeficiente de x 10 en el desarrollo de (x + 2a) 50 , con a ∈ Ê. c) El coeficiente de x en el desarrollo de (x3 + x2 + x + 1)3 . 3 d ) El coeficiente de xn en el desarrollo de (xn − an )n , con a ∈ Ê. 4 2 5 e) El coeficiente de x en el desarrollo de (1 + 2x + 3x ) .4. Sean k, p, n naturales tales que 0 ≤ k ≤ p ≤ n. Pruebe las siguientes igualdades: n n−k n p a) k p−k = p k n n n n−1 n n−p n b) 0 p + 1 p−1 + ... + p 0 = 2p p . n n+1 n c) k = k+1 − k+15. Sea (an )n∈Æ una progresi´n aritm´tica. o e 97
    • a) Si ai = x, aj = y, ak = z para i, j, k ∈ Æ.Pruebe que (j − k)x + (k − i)y + (i − j)z = 0.b) Pruebe que : 1 1 1 n √ √ +√ √ + ... + √ √ = √ √ . a0 + a1 a1 + a2 an−1 + an a0 + an 98
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones.P1. (20 min.) Calcular las siguientes sumatorias m 1 a. log(1 + ), donde n ≤ m. k k=n n−1 1 b. , donde n ≥ 1. k! (n − k)! k=1P2. (15 min.) Calcular para m ≥ 1, m(m+1) 2 (2i − 1) i= m(m−1) +1 2P3. (15 min.) Calcular n 1 √ √ k=1 k(k + 1)( k + 1 + k)P4. (20 min.) Sean x, y ∈ Ê {0}, x = y. Pruebe sin usar inducci´n que para todo o n ≥ 1, n−1 xn − y n xn−1−i y i = i=0 x−yP5. Dadas f, g : Æ → Ê, se define (f ∗ g) : Æ → Ê por: n ∀n ∈ Æ (f ∗ g)(n) = f (k)g(n − k) k=0 (a) (20 min.) Si f (u) = 1 y g(u) = u, ∀u ∈ Æ, calcule, en funci´n de n: o (f ∗ f )(n), (f ∗ g)(n) y (g ∗ g)(n) (b) (20 min.) Si f (u) = a y g(u) = u! u bu u! , con a, b ∈ Ê, u ∈ Æ. Calcule, en funci´n de a, b y n, el valor de o n!(f ∗ g)(n)P6. (20 min.) Demuestre que ∀n ∈ Æ n n k n+1 k (1 − x) = (−1)k x k+1 k=0 k=0 99
    • n nP7. (20 min.) Calcule la suma k7k . k k=0P8. a) (15 min.) Demuestre que ∀n, i, k ∈ Æ con k ≤ i ≤ n n i n n−k = i k k i−k b) (15 min.) Use lo anterior para probar sin uso de inducci´n que: o n n i n n−k = 2 i k k i=k 100
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o ´ SEMANA 8: PRINCIPIO DE INDUCCION Y SUMATORIAS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz7.3. Sumas dobles tambi´n tus e propias anotaciones.Veremos a continuaci´n un caso particular de suma, en el que la que el t´rmino o egeneral ak es a su vez una suma, para cada k.Es decir, veremos c´mo sumar sobre m´s de un ´ o a ındice.Definici´n 7.3 (Suma doble). Es una sumatoria del tipo o n bk k=0 men donde bk es a su vez una sumatoria, o sea bk = j=0 ak,j .Reescribiendo: n m akj . k=0 j=0Notar que: El t´rmino general akj , se denota as´ pues puede depender de ambos ´ e ı ındices. m Los l´ ımites inferior y superior de j=0 ak,j puede depender del ´ ındice k.Intercambio de sumasEn el caso en que los l´ ımites inferior y superior de bk no dependen de k, podremosintercambiar el orden de las sumatorias.Para ver esto, notemos que los t´rminos que estamos sumando son: e a00 a01 a02 ··· a0m a10 a11 a12 ··· a1m . . .. . . . . . an0 an1 an2 ··· anmy que por ende, la suma doble representa el sumar los resultados de sumar cada filaa la vez.Es claro que esto es equivalente a sumar los resultados de sumar cada columna ala vez. De donde tenemos la siguiente propiedad: n mPropiedad 7 (Intercambio de sumas). Si tenemos una suma doble k=0 j=0 akj ,cuyos l´mites inferiores y superiores no dependen de los ´ndices. Entonces: ı ı n m m n akj = akj . k=0 j=0 j=0 k=0 101
    • Queda propuesto como ejercicio probar esta propiedad, usando inducci´n en n ∈ o Æ.Un ejemplo importante es aquel en que: akj = ck dj .O sea, cuando el t´rmino general es la multiplicaci´n de dos t´rminos dependiendo e o eindependientemente cada ´ındice. En este caso: n m n m akj = ck dj k=0 j=0 k=0 j=0   n m = ck  dj  ck es una constante para la segunda suma. k=0 j=0   n m = ck  dj  . k=0 j=0 SY como la cantidad S es constante para la suma sobre k, resulta: una  n m n m ck dj = ck  dj k=0 j=0 k=0 j=0 Ejemplo: n m Calcular ij. i=0 j=0 Tenemos que, gracias a lo anterior: n m n m n(n + 1) m(m + 1) ij = ( i)( j) = . i=0 j=0 i=0 j=0 2 2 Ejemplo: n i Calcular (i − j)2 . i=0 j=0 Ac´ tenemos la tentaci´n de desarrollar (i − j)2 = i2 + 2ij + j 2 y ocupar sumas a o conocidas, adem´s del resultado anterior. a Sin embargo, el l´ımite superior de la segunda suma, depende de i por lo que no se puede recurrir a lo anterior. Ac´ nos bastar´ notar qu´ valores posibles puede tomar i − j, para i fijo y j a a e m´vil. o Para j = i, i − j = 0 y crece a medida que decrece j, hasta j = 0 en donde vale i − j = i. Por ende hacemos el cambio de ´ ındice en la primera sumatoria k =i−j con k ∈ {0, . . . , i}. Esto resulta en: n i n 2 i(i + 1)(2i + 1) k = . i=0 k=0 i=0 6 102
    • En donde esta ultima suma es perfectamente calculable y dicho c´lculo queda ´ a de ejercicio.Una ultima definici´n, que generaliza la noci´n anterior es la de: ´ o oDefinici´n 7.4 (Suma m´ltiple). Se trata de una suma: o u n0 n1 n2 nl ··· ak0 k1 ...kl . k0 =0 k1 =0 k2 =0 kl =0Esta generalizaci´n tambi´n satisface: o ePropiedad 8 (Intercambio de sumas). Si los l´mites inferiores y superiores no ıdependen de los ´ndices: ı n0 n1 n2 nl nl nl−1 nl−2 n0 ··· ak0 k1 ...kl = ··· ak0 k1 ...kl . k0 =0 k1 =0 k2 =0 kl =0 kl =0 kl−1 =0 kl−2 =0 k0 =0Y en general para cualquier reordenamiento de las sumas.8. CardinalidadHabitualmente nos topamos con la necesidad de contar los elementos de un deter-minado conjunto. Tratamos as´ de establecer una correspondencia entre conjuntos ıy n´ meros naturales diciendo, por ejemplo, que {a, b, c} tiene 3 elementos y que u{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} tiene 7 elementos.El problema de este enfoque t´ ıpico es que no nos sirve para ciertos conjuntos, comoÆ Ê , o . De ´stos s´lo decimos que tienen una cantidad “infinita” de elementos. e oLa teor´ de cardinalidad viene a establecer conceptos m´s precisos, que nos per- ıa amitir´n obtener resultados m´s poderosos que los sugeridos por la sola intuici´n. a a oEsta teor´ reemplaza la noci´n de “n´ mero de elementos” por la de “cardinal”, as´ ıa o u ıcomo la noci´n de “contar” por “establecer funciones biyectivas”. o Ejemplo: Consideremos A = {a, z, x, p, q, r, s}, el cual es un conjunto de 7 elementos, y el Æ Æ conjunto 7 = {x ∈ : 1 ≤ x ≤ 7}. Es f´cil construir una biyecci´n entre A y a o Æ 7 , como por ejemplo la dada por el siguiente esquema. a −→ 1 p −→ 2 q −→ 3 r −→ 4 s −→ 5 x −→ 6 z −→ 7As´ reemplazaremos nuestra idea de “tener 7 elementos” por la idea equivalente ı, Æque es “poder construir una biyecci´n hacia 7 ”. Lo importante de este nuevo en- ofoque es que nos permite eventualmente trabajar con conjuntos que tengan infinitoselementos.Definamos esta nueva noci´n:o 103
    • Definici´n 8.1 (Cardinalidad). Dados A, B conjuntos no vac´os. Diremos que o ıA y B tienen el mismo cardinal si existe una funci´n f : A → B que sea obiyectiva. En tal caso denotaremos |A| = |B|.Tambi´n, denotaremos |A| ≤ |B| cuando exista una funci´n f : A → B que sea e oinyectiva.Se tiene las siguientes propiedades b´sicas acerca de | · |: aPropiedades 8. 1. |A| ≤ |A| 2. Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B| 3. Si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |C|, entonces |A| ≤ |C| 4. |A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| ⇐⇒ |A| = |B|Vale la pena hacer notar que la ultima propiedad es dif´ de demostrar, escap´ndose ´ ıcil adel alcance de este curso.8.1. Conjuntos finitosSea n ∈ Æ un natural cualquiera. Definimos el conjunto Æn = {x ∈ Æ : 1 ≤ x ≤ n}(por ejemplo, tenemos as´ que Æ0 = ∅, Æ2 = {1, 2}, y Æ7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}) ıDado un conjunto cualquiera E, diremos que es finito si y s´lo si existe k ∈ Æ tal oque |Æk | = |E|.As´ podemos establecer las siguientes propiedades, las cuales se demuestran uti- ı,lizando principio de inducci´n: oPropiedades 9. Æk+1 | |Æk | (esto se nota |Æk | < |Æk+1 |) 1. | 2. m ≤ n ⇐⇒ |Æm | ≤ |Æn |Gracias a ellas, denotaremos |Æk | = k.Cualquier conjunto que no sea finito, diremos que es infinito.Propiedad 9. Æ es infinito. ´Demostracion. Supongamos que Æ fuese finito. Entonces, existir´ un k ∈ Æ tal ıaque Æ | |=| Æk |Adem´s, sabemos que a Æk+1 ⊆ Æ, y por lo tanto |Æk+1 | ≤ |Æ|con lo que concluimos que Æk+1 | ≤ |Æk | |lo cual es una contradicci´n. o 104
    • 8.2. Conjuntos numerablesLlamaremos conjunto numerable a cualquier conjunto que tenga la misma cardi-nalidad de . ÆPropiedad 10. es numerable. ´Demostracion. Listemos ordenadamente los elementos de : ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ...y construiremos una funci´n de o Æ a simplemente asignando a cada natural unentero. Notemos que de esta forma estaremos enumerando los elementos de , esdecir iremos “contando” 0, 1, 2, 3, 4, . . . en la medida que recorremos . Una posibleforma de hacerlo es la siguiente: ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ... Æ ... 11 9 7 5 3 1 0 2 4 6 8 10 12 ...Observemos que ´sta es una forma sencilla de construir una f : e Æ→ , que ennuestro caso posee una forma expl´ ıcita: n 2 si n es par f (n) = −(n+1) 2 si n es imparQueda como ejercicio para el lector demostrar que esta f es efectivamente biyectiva, Æcon lo que se concluye que | | = | |, lo que busc´bamos. aEs importante que nos detengamos en el siguiente punto: cuando construimos laasociaci´n entre o Æ y mediante el diagrama ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ... Æ ... 11 9 7 5 3 1 0 2 4 6 8 10 12 ... o ÆYa hemos establecido una funci´n f de a , a pesar de que su forma expl´ ıcita ladamos despu´s. A trav´s del diagrama estamos dando el valor de f (n) s´lo para los e e onaturales n ≤ 12, sin embargo estamos dejando en claro la forma de calcular f (n)para los naturales n > 12.Por ejemplo, es claro gracias al proceso que seguimos, que f (13) = −7 y quef (20) = 10. Y para esto no hace falta conocer la forma expl´ ıcita de la funci´n of . Es m´s, veremos casos donde no es f´cil mostrar expl´ a a ıcitamente la funci´n f que ocorresponda, por lo que no nos preocuparemos de ella. Simplemente mostraremosla enumeraci´n que hay que hacer en cada caso. oPropiedad 11. Æ × Æ es numerable. ´Demostracion. Para este caso, ordenaremos los elementos de Æ × Æ en una tablade doble entrada: Æ×Æ 0 1 2 3 4 5 ... 0 (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) ... 1 (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) ... 2 (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) ... 3 (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) ... 4 (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) ... 5 (5,0) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 105
    • Y ahora, para enumerar Æ × Æ, asociaremos a cada casilla de la tabla un n´mero unatural distinto: Æ×Æ 0 1 2 3 4 5 ... 0 0 1 3 6 10 15 ... 1 2 4 7 11 16 ... 2 5 8 12 17 ... 3 9 13 18 ... 4 14 19 ... 5 20 ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .De esta manera hemos establecido un proceso que enumera × , por lo que Æ Æsabemos que hay una funci´n biyectiva entre o Æ Æ Æ y × , y as´ concluimos lo que ıdese´bamos demostrar. aPropiedades 10. Sea A un conjunto infinito cualquiera. Entonces Æ 1. Sea A un conjunto infinito. Entonces | | ≤ |A|. Æ 2. Sea A un conjunto infinito tal que |A| ≤ | |. Entonces |A| = | |. Æ ´Demostracion. Demostraremos (1).Construiremos inductivamente una secuencia de elementos distintos a0 , a1 , a2 , . . .contenida en A.Como A es infinito, en particular es no vac´ Sea, entonces, a0 ∈ A. ıo.El conjunto A {a0 } debe ser tambi´n infinito, y en particular es no vac´ tambi´n. e ıo eSea, entonces, a1 ∈ A {a0 }.Si hemos extra´ de A los elementos a0 , a1 , . . . , an , tenemos que A{a0 , a1 , . . . , an } ıdoes no vac´ As´ escogemos an+1 ∈ A {a0 , a1 , . . . , an }. ıo. ı,Entonces {a0 , a1 , a2 , . . .} ⊆ A, y luego |{a0 , a1 , a2 , . . .}| ≤ |A|.Si consideramos f : Æ → {a0 , a1 , a2 , . . .} dada por f (n) = an , como todos los ak Æson distintos, tenemos que f es inyectiva. As´ | | ≤ |{a0 , a1 , a2 , . . .}|, con lo que ıconcluimos el resultado.8.3. Uniones de cantidades infinitas de conjuntos ıamos definido su uni´n A ∪ B diciendo queDados dos conjuntos A y B, ya hab´ o x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ BEsta definici´n puede ser extendida para una cantidad finita de conjuntos A0 , . . . , An odel modo siguiente x ∈ A0 ∪ A1 ∪ . . . ∪ An ⇐⇒ x ∈ A0 ∨ x ∈ A1 ∨ . . . ∨ x ∈ An ⇐⇒ (∃k ∈ {0, 1, . . . , n}) x ∈ AkPensemos ahora en una cantidad infinita de conjuntos. M´s precisamente, pensemos aque tenemos una colecci´n numerable de conjuntos A0 , A1 , . . . , An , . . . que deseamos ounir (notemos que al hablar de “colecci´n numerable” nos referimos a que hay oun conjunto Ak por cada n´ mero natural k, sin embargo cada conjunto Ak no unecesariamente es numerable). 106
    • Para simplificarnos la escritura, denotaremos al conjunto uni´n (A0 ∪ A1 ∪ . . . ∪ oAn ∪ . . .) como Ak k∈ Æ¿C´mo definir este conjunto uni´n? Extenderemos de forma muy sencilla la defini- o oci´n de una cantidad finita de conjuntos, as´ o ı: x∈ Ak ⇐⇒ (∃k ∈ Æ) x ∈ Ak k∈ Æ8.4. Propiedades de conjuntos numerablesPropiedad 12. Sean A, B conjuntos numerables. Entonces A × B es numerable. ´Demostracion. Como A y B son numerables, sabemos que existen funcionesbiyectivas f : →A g: →BÆ ÆCon ´stas, construimos la funci´n φ : e o Æ × Æ → A × B dada por φ(i, j) = (f (i), g(j))Queda propuesto al lector verificar que φ es tambi´n biyectiva. Concluimos entonces e Æ Æ Æ Æ Æque | × | = |A × B|, y como | | = | × | se concluye que A × B es numerable.Corolario 8.1. É es numerable. ´Demostracion. Como É es un conjunto infinito, sabemos inmediatamente queÆ É| | ≤ | |. Basta demostrar entonces que | | ≤ | |. É Æ ÉConsideremos un elemento x ∈ . Sabemos que se puede escribir de la forma x = p Æ qcon p ∈ , q ∈ {0}, y donde p y q son primos relativos. Podemos entonces É Æconstruir una funci´n Φ : → × ( {0}), de modo que Φ(x) = (p, q). Es decir: o Para x ∈ É, definimos Φ(x) = (p, q) ∈ × ( {0}), Æ donde p, q son primos relativos y x = p . qEs f´cil demostrar que esta Φ es inyectiva, en efecto: sean x1 , x2 ∈ a É tales queΦ(x1 ) = Φ(x2 ). Consideramos p1 , p2 ∈ y q1 , q2 ∈ {0} tales que Æ Φ(x1 ) = (p1 , q1 ) ∧ Φ(x2 ) = (p2 , q2 )Como Φ(x1 ) = Φ(x2 ), se tiene que p1 = p2 y q1 = q2 . Por definici´n de Φ, concluimos oentonces que p1 p2 x1 = = = x2 q1 q2 ÉGracias a la inyectividad de Φ, obtenemos que | | ≤ | × ( {0})|. Como tanto Æ Æ como {0} son numerables, gracias a la propiedad para el producto cartesiano Ætenemos que | × ( {0})| = | |. As´ ı, Æ Æ | |≤| | É ∧ É | |≤| | Æy entonces É es numerable.Propiedad 13. Sean A0 , . . . , An conjuntos numerables. Entonces A0 × . . . × An esnumerable. 107
    • Propiedad 14. Sea A0 , A1 , . . . , An , . . . una colecci´n numerable de conjuntos, donde ocada Ak es un conjunto numerable. Entonces su uni´n o Ak tambi´n es numerable e k∈ ÆProposici´n 8.1. Sea A un conjunto infinito, y sea x ∈ A. Se tiene que |A| = o|A {x}|. ´Demostracion. Tal como hicimos en una demostraci´n anterior, contruyamos un oconjunto numerable A = {a0 , a1 , a2 , a3 , . . .} ⊆ ASin p´rdida de generalidad, podemos suponer que x ∈ A . e /para definir la funci´n f : A → A {x} dada por o   a0 si a = x (∀a ∈ A) f (a) = ak+1 si a ∈ A ∧ a = ak  a si a ∈ A ∧ a = x /Esta f deja invariantes a todos los elementos que no pertenecen a A ∪ {x}, y a loselementos de este conjunto los traslada todos en una posici´n (x → a0 , ak → ak+1 ). oNotemos que, gracias a la definici´n de f : para a ∈ A, o Si f (a) = a0 , entonces a = x. Si f (a) ∈ A {a0 }, entonces a ∈ A . Si f (a) ∈ A , entonces a ∈ A ∪ {x}. / /Con estas herramientas, queda propuesto al lector demostrar que f es biyectiva,con lo que se concluye la demostraci´n. o 108
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: Nota: En todas las preguntas se asume que los ´ ındices y t´rminos son independi- e entes unos de otros, a menos que se nale claramente. Por ejemplo, si m depende de k, ser´ denotado m(k) ´ mk . a o n m m n 1. k=0 j=0 akj = i=0 j=0 akj . n m m n 2. k=0 j=0 akj = j=0 k=0 akj . n m m n 3. k=0 j=0 akj = j=0 k=0 ajk . n m n m 4. k=0 j=0 ck dj = k=0 ck j=0 dj . n m 5. i=0 j=0 ij = (n + 1)(m + 1). n m 6. i=0 j=0 ij = nm. n m n(n+1)m(m+1) 7. i=0 j=0 ij = 4 . n m 8. i=0 j=0 2 = 2nm. n m 9. i=0 j=0 2 = 2(n + 1)(m + 1). n m n(n+1)(m+1)10. i=0 j=0 i= 2 . n m n(n+1)11. i=0 j=0 i= 2 . n m m(m+1)(n+1)12. i=0 j=0 i= 2 . N M L N M L13. i=0 j=i k=j ak = k=0 j=k i=j ai N M L N M L14. i=0 j=0 k=0 ak = j=0 k=0 i=0 ai . N i N j15. i=0 j=0 ai = j=0 i=0 aj . N i N j16. i=0 j=0 aj = j=0 i=0 ai .17. Para todo conjunto A, |A| < |A|.18. Para todo conjunto A, |A| ≤ |A|.19. Dados A y B conjuntos, A ⊆ B ⇒ |A| ≤ |B|.20. Dados A y B conjuntos, A ⊆ B ⇒ |B| ≤ |A|.21. Dados A y B conjuntos, A ⊆ B ⇒ |A| < |B|.22. Dados A, B y C conjuntos, |A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |C| ⇒ |A| ≤ |C|.23. Dados A y B conjuntos, |A| ≤ |B| ∧ |B| ≤ |A| ⇔ |A| = |B|.24. Æ | | < | |. 109
    • 25. Æ | | < | × |.26. |Æ| = | × |.27. |Æ| = |É × |.28. Æ No todo conjunto infinito A cumple que | | ≤ |A|.29. Union finita de conjuntos numerables es numerable.30. Union numerable de conjuntos numerables es numerable.31. Producto cartesiano finito de conjuntos numerables es numerable.32. Producto cartesiano finito de conjuntos finitos es finito.33. El producto cartesiano de un conjunto finito no vac´ con uno numerable es ıo finito.34. El producto cartesiano de un conjunto finito no vac´ con uno numerable es ıo numerable.35. Todo subconjunto no vac´ de un conjunto numerable es numerable. ıo36. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.37. Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es numerable.38. Todo subconjunto de un conjunto finito es numerable.39. Todo subconjunto de un conjunto finito es finito. 110
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Escriba con notaci´n de sumatoria las siguientes sumas y calc´ lelas cuando pue- o u da: (a) 1+1+x+1+x+x2+1+x+x2 +x3 +1+x+x2 +x3 +x4 +1+x+x2 +x3 +x4 +x5 (b) a + b + (a + b)2 + (a + b)3 + (a + b)4 + (a + b)5 (c) 1 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 4 + 1 + 2 + 4 + 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 2 1 1 1 8 1 1 1 1 (d) 1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+1+2+3+4+5+1+2+3+4+5+6 (e) 1 + 1 + 4 + 1 + 4 + 9+ 1+4 +9+ 16 +1 +4+ 9+16+ 25 +1+ 4+9 +16+ 25+ 36 (f) 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x2 + x3 + x4 + x5 + x3 + x4 + x5 + x4 + x5 + x52. Desarrolle las siguientes sumas, hasta donde le sea posible (puede que no obtenga resultados demasiado expl´ ıcitos) N i (a) i=0 j=0 ai − ai+1 N i (b) i=0 j=0 aj − aj+1 N i+1 (c) i=1 j=i−1 aj − aj+1 N i j (d) i=0 j=0 q N N j (e) i=0 j=i q N N N (f) i=0 k=0 k N N N (g) i=0 k=i k N i i k i−k (h) i=0 k=0 k a b N i i k N −k (i) i=0 k=0 k a b3. Pruebe que los siguientes conjuntos son numerables. Se nale cu´l es la funci´n a o utilizada para probarlo en cada parte. (a) A = {2k ∈ | k ∈ }. (b) A = {pk ∈ | k ∈ }, dado p ∈ fijo. (c) Æ Æ A = {(x, 0) ∈ × | x ∈ }. Æ (d) A = {(x, y) ∈ × | x − y = −3}. (e) Ê A = {an + bm ∈ | n, m ∈ }, con a, b ∈ fijos. Ê (f) Ê A = {Cr ⊆ 2 |Cr es una circunferencia centrada en (0, 0) y de radio r ∈ Æ}.4. Sean A, B ⊆ Ê conjuntos numerables. Refi´rase a la cardinalidad de los sigu- e ientes conjuntos, es decir indique si son o no numerables y por qu´. e (a) (A × A) × B. (b) A + B = {x | x = a + b, a ∈ A, b ∈ B}. Indicaci´n: Escriba A + B como b∈B Cb , con Cb adecuado. o (c) AB = {x | x = ab, a ∈ A, b ∈ B}. Indicaci´n: Escriba AB como b∈B Cb , con Cb adecuado. o (d) A ∩ B. (e) A ∪ B. 111
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaP1. (20 min.) Demuestre, sin usar inducci´n, que: o n n 5n − 2n (1 + 4 + 42 + · · · + 4k−1 ) = . k 3 k=1P2. (20 min.) Calcule, sin usar inducci´n: o n j i i 8k+1 . j=1 i=1 k=0 k 3iP3. (20 min.) Sea A = {x ∈ Ê /∃ k ∈ , ∃i ∈ Æ, x = k 3i }. Pruebe que A es numerable.P4. (30 min.) Pruebe que el siguiente conjunto es numerable: C = {x ∈ [0, +∞)/∃n ∈ Æ {0}, xn ∈ Æ}P5. (a) (20 min.) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto (0, 1) y cortan al eje OX en una coordenada racional es numerable. (b) (20 min.) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que no pasan por el origen y cortan a los ejes OX y OY en coordenadas racionales es numerable. Æ ÆP6. (30 min.) Sea A = { p /(∃n ∈ , q = 2n ) ∧ (p ∈ , p < q)}. Probar que A es q numerable. Indicaci´n: Puede usar que la uni´n numerable de conjuntos finitos no vac´ o o ıos es numerable.P7. (30 min) Sea A = {0, 1, 2, ..., n} y considere la secuencia de elementos en A, Æ (x0 , x1 , x2 , x3 , ...) (es decir, xi ∈ A para cada i ∈ ). Probar que existen Æ , j ∈ , = j, tales que x = xj .P8. Sea E = {(a1 , ..., an ) ∈ {−1, 1}n/n ∈ Æ, n ≥ 2, n i=1 ai = 0}. Demuestre que (a) (15 min.) E es infinito (b) (15 min.) E tiene la misma cardinalidad de Æ 112
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o SEMANA 9: CARDINALIDAD Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e9. Cardinalidad propias anotaciones.9.1. Conjuntos no numerablesVimos cu´les son los conjuntos numerables, una serie de propiedades acerca de a Æ Æ Éellos, y conocimos varios conjuntos numerables, como , × y . Queda, as´ ı,la pregunta: ¿hay conjuntos no numerables? ¿cu´les son? aEn esta secci´n veremos que: oPropiedad 15. Ê no es un conjunto numerable, es decir, que NO existe una fun-ci´n o f :Æ→Êque sea biyectiva.El argumento que mostraremos fue presentado por Cantor, y se le conoce com´ n- umente como argumento de diagonalizaci´n. o ´Demostracion. Observemos, para empezar, que basta demostrar que [0, 1) es nonumerable, es decir que |[0, 1)| > | | Æ Êpuesto que |[0, 1)| ≤ | |.¿Qu´ particularidad especial poseen los reales de [0, 1)? Todos ellos se pueden es- ecribir en base decimal como x = 0.a1 a2 a3 a4 . . .donde ak es el k-´simo d´ e ıgito decimal de x.Supongamos que [0, 1) es un conjunto numerable, es decir que existe una funci´n obiyectiva de Æ en [0, 1), a la cual llamaremos f . Al k-´simo d´ e ıgito de la expansi´n odecimal del real f (n) le llamaremos an , con lo que k f (n) = 0.an a2 an an . . . 1 n 3 4Podemos entonces ordenar los n´ meros de [0, 1) en una tabla infinita u f (0) = 0.a0 a0 a0 a0 . . . 1 2 3 4 f (1) = 0.a1 a1 a3 a1 . . . 1 2 1 4 f (2) = 0.a2 a2 a2 a2 . . . 1 2 3 4 f (3) = 0.a1 a3 a3 a3 . . . 3 2 3 4 . . . . . . . . .El punto importante es que, ya que hemos supuesto que f es biyectiva, entoncesTODOS los reales de [0, 1) aparecen alguna vez en esta lista infinita. Mostraremosque esto es una contradicci´n, es decir que existe un real x ∈ [0, 1) que no est´ en o ¯ ala lista. 113
    • Definamos la siguiente secuencia de valores: para k ≥ 1, 0 si ak = 1 k bk = 1 si ak = 1 ky el valor x dado por ¯ x = 0.b1 b2 b3 b4 . . . ¯´Este es un elemento de [0, 1).Como supusimos que f es biyectiva, entonces existe N ∈ Æ tal que f (N ) = x. ¯Entonces sus d´ ıgitos en base decimal deben ser iguales uno a uno: 0.a1 a2 a3 aN . . . = 0.b1 b2 b3 b4 . . . N N N 4Es decir, (∀k ≥ 1) aN = bk kAqu´ aparece la contradicci´n, pues tomando k = N , aN = bN , sin embargo bN fue ı o Nescogido para ser distinto de aN : si aN = 1 entonces bN = 0, y si aN = 1 entonces N N NbN = 1.Una observaci´n relevante: oObservaci´n: o Ê [0, 1) tiene en realidad el mismo cardinal que . En efecto, utilizando el ejemplo final del cap´ ıtulo anterior tenemos que |[0, 1)| = |(0, 1)|. Consideramos ahora φ : (0, 1) → dada por Ê π φ(x) = tan πx − 2 φ es una biyecci´n pues es composici´n de funciones biyectivas, con lo que o o Ê |(0, 1)| = | | y se concluye que |[0, 1)| = | |. Ê10. Estructuras algebraicas10.1. Ley de composici´n interna oDefinici´n 10.1 (Ley de composici´n interna). Dado A un conjunto no vac´o. o o ıUna ley de composici´n interna (l.c.i.) es una funci´n o o ∗: A×A → A (x, y) → x∗yCom´ nmente tratamos con leyes de composici´n interna, las cuales seguramente u oconocemos con el nombre de operaciones. Tenemos como ejemplos: + en Ê · en É ∪ en P(A), donde A es un conjuntoObservemos que, por ejemplo, la divisi´n NO es una ley de composici´n interna en o oÊ, pues 3/0 no es un n´ mero real. uPara estudiar estas operaciones definidas sobre conjuntos, definimos: 114
    • Definici´n 10.2 (Estructura algebraica). Si ∗ es una l.c.i. (es decir, una op- oeraci´n) definida en el conjunto A, al par (A, ∗) le llamaremos estructura alge- obraica.Si sobre el conjunto A tenemos definida una segunda operaci´n , entonces deno- otaremos por (A, ∗, ) la estructura algebraica que considera ambas leyes de com-posici´n interna en A. o É ÊNotemos que conocemos ya varias estructuras algebraicas: ( , +, ·), ( , +, ·), ( , +, ·).Otras estructuras algebraicas que no son tan conocidas son Si A es un conjunto, entonces (P(A), ∪) y (P(A), ∆) son estructuras alge- braicas, y en general cualquier operaci´n de conjuntos en A nos sirve para o formar una. Sea X conjunto no vac´ y F = {f : X → X funci´n}. Entonces (F, ◦) es ıo, o una estructura algebraica, donde ◦ es la composici´n de funciones. oComo vemos, hay una enorme cantidad de estructuras algebraicas posibles, sinembargo en este cap´ ıtulo estudiaremos propiedades que muchas de ellas comparten.Veremos que las estructuras de distintos tipos pueden comportarse de manera muysimilar, es decir tener propiedades muy parecidas, cuando las llevamos a un nivelde abstracci´n mayor. o10.2. Propiedades b´sicas aDefinici´n 10.3. Sea (A, ∗) una estructura algebraica. o Diremos que ∗ es asociativa si (∀x, y, z ∈ A) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) Sea e ∈ A. Diremos que e es elemento neutro para ∗ si (∀x ∈ A) e ∗ x = x ∗ e = x Si e ∈ A es el neutro para ∗ y x ∈ A, diremos que x tiene inverso si existe un y ∈ A tal que x∗y = y∗x= e En tal caso, y ser´ un inverso de x, y viceversa. a Diremos que ∗ es conmutativa si (∀x, y ∈ A) x ∗ y = y ∗ x Un elemento a ∈ A ser´ un elemento absorbente si a (∀x ∈ A) x ∗ a = a ∗ x = a Un elemento a ∈ A ser´ un elemento idempotente si a ∗ a = a. a Si (A, ∗, ) es un estructura algebraica con dos operaciones, diremos que distribuye con respecto a ∗ si (∀x, y, z ∈ A) x (y ∗ z) = (x y) ∗ (x z) (∀x, y, z ∈ A) (y ∗ z) x = (y x) ∗ (z x) 115
    • Es importante notar que:Proposici´n 10.1 (Unicidad del neutro). Una estructura (A, ∗) posee a lo m´s o aun elemento neutro. ´Demostracion. Supongamos que (A, ∗) posee dos neutros e, e .Como e es neutro, entonces e ∗ e = e .A su vez, como e es neutro, entonces e ∗ e = e.Juntando ambas igualdades, concluimos que e = e .Sea (A, ∗) una estructura algebraica. Ya sabemos que si e ∈ A es neutro, entonceses unico. Supongamos ahora que un elemento x ∈ A tiene inverso. ¿Ser´ unico este ´ a´inverso? La respuesta es no necesariamente. Observemos el siguiente ejemplo, dondeA = {a, b, c, d}. ∗ a b c d a a c a c b c b b a c a b c d d c b d aEn la estructura (A, ∗) donde ∗ est´ dada por la tabla, tenemos que c es el neutro. aEl elemento a, en tanto, posee dos inversos: b y d, pues a∗b=b∗a=c a∗d =d∗a=cSin embargo, podemos afirmar la siguiente propiedad...Propiedad 16. Si la estructura algebraica (A, ∗) tiene neutro e y ∗ es asociativa,entonces los inversos (en el caso en que existan) son unicos. ´As´, si x ∈ A posee inverso, lo podemos denotar sin ambig¨edad como x−1 . ı u ´Demostracion. Sea x ∈ A, y supongamos que x posee dos inversos: y y z. De-mostraremos que y = z.Como y es inverso de x, entonces x ∗ y = y ∗ x = e. An´logamente, como z tambi´n a ees inverso de x, entonces z ∗ x = x ∗ z = e.As´ı, y = y∗e = y ∗ (x ∗ z) = (y ∗ x) ∗ z (por asociatividad) = e∗z = zSi (A, ∗) una estructura algebraica asociativa y con neutro e ∈ A, entonces tambi´n ecumple las siguientes propiedades:Propiedades 11. 1. Si x ∈ A posee inverso, entonces x−1 tambi´n. M´s a´n, e a u (x−1 )−1 = x 116
    • 2. Si x, y ∈ A poseen inversos, entonces x∗y tambi´n posee inverso, y (x∗y)−1 = e y −1 ∗ x−1 3. Si x ∈ A posee inverso, entonces es cancelable. Es decir, para y, z ∈ A: x∗y =x∗z ⇒y =z y∗x=z∗x⇒y =z ´Demostracion. Demostratemos (2).Sea w = y −1 ∗ x−1 . Queremos probar que w = (x ∗ y)−1 . Para ello, calculemos w ∗ (x ∗ y) = (w ∗ x) ∗ y (asociatividad) −1 −1 = ((y ∗x ) ∗ x) ∗ y (def. de w) −1 −1 = (y ∗ (x ∗ x)) ∗ y (asociatividad) −1 = (y ∗ e) ∗ y −1 =y ∗y =eQueda propuesto al lector mostrar que tambi´n (x ∗ y) ∗ w = e. As´ concluimos que e ı, w = (x ∗ y)−110.3. La estructura nSea n ≥ 2. Definimos anteriormente la relaci´n ≡n (congruencia m´dulo n) en , o oy definimos n = / ≡n su conjunto de clases de equivalencia. Vimos tambi´n que e n = {[0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n }Queremos definir operaciones de suma +n y producto ·n con los cuales ( n , +n , ·n )sea una estructura algebraica con buenas propiedades. Lo haremos del modo sigu-iente: para [x]n , [y]n ∈ n [x]n +n [y]n = [x + y]n [x]n ·n [y]n = [x · y]nSin embargo, estas definiciones podr´ acarrearnos problemas. Pensemos en el ıansiguiente ejemplo, tomando n = 7: [5]7 +7 [3]7 = [8]7Notemos que [8]7 = [1]7 , pues 8 ≡7 1.Sin embargo, como 5 ≡7 19 y 3 ≡7 38, entonces [5]7 +7 [3]7 = [19]7 +7 [38]7 = [57]7Si queremos que +7 quede bien definida, entonces deber´ cumplirse que [57]7 = [1]7 , ıay as´ para todas las posibles reescrituras de [5]7 y [3]7 . ıAfortunadamente, esto no representa un problema gracias al siguiente resultado.Proposici´n 10.2. Sean x1 , x2 , y1 , y2 ∈ o tales que x1 ≡n x2 e y1 ≡n y2 . Entonces (x1 + y1 ) ≡n (x2 + y2 ) ∧ (x1 · y1 ) ≡n (x2 · y2 )Es decir, si [x1 ]n = [x2 ]n y [y1 ]n = [y2 ]n , entonces [x1 + y1 ]n = [x2 + y2 ]n ∧ [x1 · y1 ]n = [x2 · y2 ]n 117
    • ´Demostracion. Sabemos que x1 ≡n x2 e y1 ≡n y2 . Entonces existen kx , ky ∈tales que x1 − x2 = kx n ∧ y1 − y2 = ky nSumando ambas igualdades, obtenemos que (x1 + y1 ) − (x2 + y2 ) = (kx + ky ) · ny por lo tanto (x1 + y1 ) ≡n (x2 + y2 ).Para la multiplicaci´n, calculamos o x1 · y1 = (x2 + kx n)(y2 + ky n) = x2 · y2 + (x2 ky + y2 kx + kx ky n) · ny entonces (x1 · y1 ) ≡n (x2 · y2 ).As´ +n y ·n son leyes de composici´n interna en ı, o n. 118
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Ê |[0, 1)| ≤ | | 2. Ê | | < |[0, 1)| 3. Æ |[0, 1)| < | | 4. |[0, 1)| = |Æ| 5. |Æ| < |[0, 1)| 6. |É| = |[0, 1)| 7. |É| < |[0, 1)| 8. |Æ| = |Ê| 9. |Æ| = |É|10. |Æ| = | |11. | | < |Æ|12. |É| < |Æ|13. |Æ| < |Æ × Æ|14. |Æ| = |Æ × Æ × Æ|15. |Æ| < |Ê|16. Dado p ∈ Æ {1}, | | = | p |17. |Æ| = |É × |18. |Æ| < |É × |19. La suma en Ê es una ley de composici´n interna. o20. La suma en Æ es una ley de composici´n interna. o21. La suma en es una ley de composici´n interna. o22. La suma en {0} es una ley de composici´n interna. o23. La suma en {n ∈ Æ/n es par} es una ley de composici´n interna. o24. La suma en {n ∈ Æ/n es impar} es una ley de composici´n interna. o25. La multiplicaci´n en Ê es una ley de composici´n interna. o o26. La multiplicaci´n en Æ es una ley de composici´n interna. o o27. La multiplicaci´n en o es una ley de composici´n interna. o 119
    • 28. La multiplicaci´n en o É es una ley de composici´n interna. o29. La multiplicaci´n en É {1} es una ley de composici´n interna. o o30. Una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, es conmutativa si ∀x, y ∈ A, x ∗ y = y. o31. Una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, es conmutativa si ∀x, y ∈ A, x ∗ y = o y ∗ x.32. Una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, es asociativa si ∀x, y ∈ A, x∗ y = y ∗ x. o33. Una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, es asociativa si ∀x, y, z ∈ A, (x∗y)∗z = o (y ∗ z) ∗ (x ∗ z).34. Sea una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, con neutro e. x ∈ A es invertible o si ∃y ∈ A, x ∗ y = e = y ∗ x.35. Sea una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, con neutro e. x ∈ A es absorvente o si ∃y ∈ A, x ∗ y = x = y ∗ x.36. Sea una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, con neutro e. x ∈ A es absorvente o si ∀y ∈ A, x ∗ y = x = y ∗ x.37. Dada una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, x ∈ A es idempotente si ∀y ∈ o A, x ∗ y = y.38. Dada una operaci´n ∗ sobre un conjunto A, x ∈ A es idempotente si x∗x = x. o39. El neutro en una estructura algebraica es unico. ´40. El inverso de un elemento en una estructura algebraica es siempre unico. ´41. El inverso de un elemento en una estructura algebraica es unico, si la op- ´ eraci´n es conmutativa. o42. El inverso de un elemento en una estructura algebraica es unico, si la op- ´ eraci´n es asociativa. o43. Æ El 0 es un elemento cancelable en ( , +).44. El 0 es un elemento cancelable en (Ê, ·).45. El 0 es un elemento absorbente en (Æ, +).46. El 0 es un elemento absorbente en (Ê, ·).47. El 1 es un elemento idempotente de (Ê, ·).48. El 1 es un elemento idempotente de (Ê, +).49. El 0 es un elemento idempotente de (Ê, +). 120
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıaObservaci´n: En esta gu´ la notaci´n Ak , para un A conjunto y k ∈ o ıa o Æ ≤ 1, est´ adada por: Ak = A × · · · × A = {(x1 , x2 . . . , xk ) | (∀i ∈ {1, . . . , k}) xi ∈ A}. k veces1. Demuestre que: (a) |Æ × | = |Æ|. (b) |É × | = |Æ|. (c) |Æ| < |Ê × |. Indicaci´n: Pruebe que | | ≤ | o Ê Ê× |. Æ Ê Æ (d) | | < | ( {0})|. Indicaci´n: Use la demostraci´n de | | < | |. o o Æ Ê2. Muestre que los siguientes conjuntos son finitos. (a) A = {f : {1, ..., n} → {1, ..., n}/f es biyectiva } (b) B = { todas las permutaciones de n elementos distintos } (c) C = {f : Ê → Æ/ f es biyectiva } (d) D = { todas las estaturas de los habitantes del planeta tierra } (e) Dados a < b ∈ Ê, E = (−∞, b] ∩ [a, ∞) ∩ Æ3. Muestre que los siguientes conjuntos son numerables. Recuerde que puede probar primero que el conjunto es infinito y luego que su cardinal es menor o igual al de uno numerable. 2 (a) A = {(m, n) ∈ /m ≤ n} (b) C = {x ∈ Ê/∃k ∈ , ∃i ∈ Æ, x = k/3i} 3 (c) D = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ /x1 < x2 < x3 } (d) G = { circunferencias de radio y centro racional }4. Muestre que los siguientes conjuntos son no numerables. Recuerde que aqu´ basta ı probar que el cardinal del conjunto es mayor o igual al de uno no numerable. (a) B = {(x, y) ∈ Ê2/x + y = 1} (b) Sea r ∈ É {0}, C = {(x, y) ∈ Ê2/x2 + y2 = r2 } (c) Sean a, b ∈ É con a < b, E = (−∞, b] ∩ [a, ∞)5. Se nale si las siguientes operaciones son o no son leyes de composici´n interna. o Justifique por qu´.e (a) + en . (b) + en {0}. (c) + en Æ. (d) · en Ê. (e) / (divisi´n) en o É. (f) Dado A = ∅. ◦ (composici´n de funciones) en el conjunto de las funciones o de A en A. 121
    • (g) ∩ en P(A), para cierto A = ∅.6. Considerando las operaciones anteriores, en los casos que corresponda: (a) Estudie si la operaci´n es asociativa. o (b) Estudie si la operaci´n es conmutativa. o (c) Determine la existencia de neutros. (d) Determine la existencia de inversos. D´ condiciones sobre un elemento para e que posea inverso. (e) Determine la existencia de elementos aborbentes. (f) Determine la existencia de elementos idempotentes.7. Demuestre las siguientes propiedades dejadas propuestas en la tutor´ para una ıa, estructura algebraica asociativa (A, ∗): (a) Si x ∈ A posee inverso, entonces x−1 tambi´n. M´s aun, (x−1 )−1 = x. e a (b) Si x ∈ A posee inverso, entonces es cancelable. Es decir, para y, z ∈ A: x∗y =x∗z ⇒y =z y∗x=z∗x⇒y =z 122
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaObservaci´n: En esta gu´ la notaci´n Ak , para un A conjunto y k ∈ o ıa o Æ ≤ 1, est´ adada por: Ak = A × · · · × A = {(x1 , x2 , . . . , xk ) | (∀i ∈ {1, . . . , k}) xi ∈ A}. k vecesP1. (15 min.) Pruebe que el conjunto E = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Ê × Æ2/∃n ∈ Æ , x1 + x2 + x3 = n} es numerable.P2. Pruebe que los siguientes conjuntos son no numerables: (a) (15 min.) A = {x ∈ Ê3/∃n ∈ Æ, x1 + x2 + x3 = n}. (b) (15 min.) T = {T ⊆ Ê2 | T es un tri´ngulo}. aP3. (20 min.) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto (0, 1) es no numerable.P4. (a) (20 min.) Sea A un conjunto no numerable, y sea B ⊆ A un conjunto numerable. Pruebe que el conjunto A B es no numerable. (b) (10 min.) Demuestre, usando lo anterior, que el conjunto Á de los n´meros u irracionales es no numerable.P5. Dado un conjunto no vac´ A, sea F = {f : A → A | f es biyectiva}. Se define ıo la operaci´n dada por: o (∀f, g ∈ F) f g = (f ◦ g)−1 . (a) (5 min.) Pruebe que (F , ) es una estructura algebraica. (b) (10 min.) Estudie la asociatividad de . (c) (10 min.) Estudie la conmutatividad de . (d) (10 min.) Encuentre el neutro en (F , ). (e) (10 min.) Determine si todo elemento f ∈ F admite un inverso para . En caso afirmativo, determ´ınelo. (f) (10 min.) Encuentre los elementos idempotentes de (F , )P6. Sea (E, ∗) una estructura algebraica y R una relaci´n de equivalencia que o satisface la siguiente propiedad: (∀x1 , x2 , y1 , y2 ) x1 Rx2 ∧ y1 Ry2 ⇒ (x1 ∗ y1 )R(x2 ∗ y2 ). Definimos una nueva l.c.i. ⊗ sobre el conjunto cuociente E/R mediante: [x]R ⊗ [y]R = [x ∗ y]R . (a) (15 min.) Pruebe que ⊗ est´ bien definida, es decir que la clase de equiv- a alencia de x ∗ y no depende de los representantes de [x]R e [y]R que se escojan. (b) (10 min.) Suponiendo que (E, ∗) posee un neutro e, encuentre el neutro de (E/R, ⊗). (c) (15 min.) Dado un elemento x ∈ E que posee inverso en (E, ∗), determine el inverso de [x]R ∈ E/R en (E/R, ⊗). 123
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 oUsa este margen ´ SEMANA 10: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Y NUMEROS COMPLEJOS para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e 10.4. Grupos propias Un grupo es un caso particular de una estructura algebraica. Veremos que esta no- É anotaciones. ci´n rescata ampliamente las propiedades de estructuras tales como ( , +), ( , +) o Ê y ( , +). Dedicaremos una secci´n especial a grupos, debido a que las particularidades que o poseen nos permiten conocer muy bien sus propiedades, las cuales son bastantes. Definici´n 10.4 (Grupo). Sea (G, ∗) una estructura algebraica. Diremos que es o un grupo si ∗ es asociativa. (G, ∗) posee neutro e ∈ G. Todo elemento x ∈ G posee inverso x−1 ∈ G. Adem´s, si ∗ es conmutativa, llamaremos a (G, ∗) grupo abeliano. a Ê A modo de ejemplo, notemos que ( , ·) no es un grupo pues 0 no posee inverso. Sin Ê embargo, ( {0}, ·) s´ es un grupo. ı Si (G, ∗) es un grupo, entonces cumple las siguientes propiedades (las cuales ya vimos): 1. El inverso de cada elemento es unico ´ 2. (∀x ∈ G) (x−1 )−1 = x 3. (∀x, y ∈ G) (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 4. Todo elemento x ∈ G es cancelable. Si (G, ∗) es un grupo, las siguientes propiedades se agregan a las mencionadas: Propiedades 12. Dado (G, ∗) grupo, entonces: 1. Para todo a, b ∈ G, las ecuaciones a ∗ x1 = b x2 ∗ a = b tienen soluci´n unica. Ellas son x1 = a−1 ∗ b y x2 = b ∗ a−1 o ´ 2. El unico elemento idempotente de G es su neutro. ´ ´ Demostracion. 1. Consideremos s´lo el caso de la primera ecuaci´n. Como G o o es grupo, a posee neutro a−1 . Luego tendremos: a−1 ∗ (a ∗ x1 ) = a−1 ∗ b ⇔ (a−1 ∗ a) ∗ x1 = a−1 ∗ b Por asociativida. −1 ⇔ e ∗ x1 = a ∗b Por definici´n de inverso. o −1 ⇔ x1 = a ∗b Por definici´n de neutro. o −1 Y esta ultima expresi´n es unica, pues a ´ o ´ es unico. ´ 2. Si a es un elemento idempotente, satisface: a ∗ a = a. Pero esto es precisamente una ecuaci´n como la anterior (con b = a y a nuestra o inc´gnita). Luego sabemos que la soluci´n es unica y es: o o ´ a = a−1 ∗ a = e. 124
    • SubgruposDefinici´n 10.5 (Subgrupo). Sea (G, ∗) un grupo, y sea H ⊆ G, H = ∅. Dire- omos que H es subgrupo de G si (H, ∗) tambi´n es grupo. e Ê ÉSi consideramos el grupo ( , +), entonces un posible subgrupo es ( , +). Tambi´n e Êtenemos a ({−1, 1}, ·) como subgrupo de ( {0}, ·).Todo grupo (G, ∗) tiene dos subgrupos a los cuales llamaremos triviales: (G, ∗) y ({e}, ∗)donde e es el neutro de (G, ∗).Propiedades 13. Sea (G, ∗) un grupo, y (H, ∗) un subgrupo de ´l. Un par de epropiedades b´sicas que salen de ver los elementos de H como elementos de G: a 1. Si e ∈ G es el neutro de G y eH ∈ H es el neutro de H, entonces e = eH . 2. Adem´s, sea x ∈ H. Si x−1 ∈ G es el inverso de x en (G, ∗) y x ∈ H es el a ˜ inverso de x en (H, ∗), entonces x−1 = x. ˜Estas propiedades quedan propuestas como ejercicios.Subgrupos: Caracterizaci´n oEn principio, si uno quisiera demostrar que un conjunto H ⊆ G, H = ∅, forma unsubgrupo de (G, ∗), tendr´ que demostrar que (H, ∗) cumple todas las propiedades ıade la definici´n de grupo, adem´s de mostrar (el cual es el punto de partida) que o a (∀x, y ∈ H) x ∗ y ∈ HA esta propiedad se le conoce como cerradura, y es lo que nos permite decir que∗ es una ley de composici´n interna tambi´n en H. o eLa siguiente es una forma compacta para determinar si (H, ∗) es subgrupo de (G, ∗). 125
    • Teorema 10.1. Sea H = ∅. Entonces (H, ∗) es subgrupo de (G, ∗) ⇐⇒ (∀x, y ∈ H) x ∗ y −1 ∈ H ´Demostracion. La implicancia ⇒ se verifica directamente. Sin embargo, la propiedadfuerte es la implicancia ⇐.Para demostrarla, supongamos que ∀x, y ∈ H, x ∗ y −1 ∈ H. Debemos probar que(H, ∗) es grupo.Notemos que la asociatividad se hereda autom´ticamente del hecho que (G, ∗) sea agrupo. Nos basta entonces probar que: (H, ∗) es una estructura algebraica (cerradura de ∗ en H). (H, ∗) admite un neutro (que por las propiedades anteriores, sabemos que debe ser el neutro de G). Todo elemento en H tiene inverso en H.Probaremos estas afirmaciones en un orden distinto: Veamos primero que, si e ∈ G es el neutro de (G, ∗), entonces e ∈ H. Con esto e ser´ el neutro de H. a En efecto, como H = ∅, tomando h ∈ H, por hip´tesis se tiene que o h ∗ h−1 = e ∈ H. Ahora probemos que dado h ∈ H, ´ste admite un inverso en H. e Sabemos que h−1 es inverso de h, pero s´lo para (G, ∗). O sea, no sabemos si o pertenece a H. Pero usando la hip´tesis con x = e e y = h, tenemos que: o e ∗ h−1 ∈ H ⇔ h−1 ∈ H. Finalmente, probamos la cerradura de ∗ en H. Dados x, y ∈ H. Por lo que vimos antes, y −1 ∈ H. As´ que aplicando la ı hip´tesis para x e y −1 , tenemos que: o x ∗ (y −1 )−1 ∈ H ⇔ x ∗ y ∈ H. ımos de esta manera que (H, ∗) es subgrupo de (G, ∗).Conclu´Ejemplo: n como grupoPropiedad 17. Sea n ≥ 2. Entonces ( n , +n ) es un grupo. ´Demostracion. Demostraremos que +n es asociativa, y que posee neutro. Lasotras propiedades necesarias quedan de ejercicio para el lector.Asociatividad: Sean [x]n , [y]n , [z]n ∈ n . Se tiene que ([x]n +n [y]n ) +n [z]n = [x + y]n +n [z]n = [(x + y) + z]n 126
    • Como + es asociativa en y x, y, z ∈ entonces (x + y) + z = x + (y + z)Entonces ([x]n +n [y]n ) +n [z]n = [x + (y + z)]n = [x]n +n [y + z]n = [x]n +n ([y]n +n [z]n )Neutro: Demostraremos que [0]n ∈ n es neutro para +n .En efecto, si [x]n ∈ n [x]n +n [0]n = [x + 0]n = [x]n [0]n +n [x]n = [0 + x]n = [x]nTeorema de LagrangeSea (G, ∗) un grupo. Diremos que es un grupo finito si G es un conjunto finito. A|G| se le llama orden del grupo. Por ejemplo, 3 es un grupo finito de orden 3.Teorema 10.2 (Teorema de Lagrange). Sea (G, ∗) un grupo finito y (H, ∗) unsubgrupo cualquiera de ´l. Entonces |H| divide a |G|. e ´Demostracion. Definamos primero, dado g ∈ G, la traslaci´n izquierda de H ocomo el conjunto g ∗ H = {g ∗ h | h ∈ H}. Notemos que dado que g es cancelable,|H| = |g ∗ H|.Adem´s, definimos las siguiente relaci´n R sobre G por: a o g1 Rg2 ⇔ (∀g1 , g2 ∈ G) g2 ∈ g1 ∗ H. −1Lo cual equivale a (∃h ∈ H) g2 = g1 ∗ h y tambi´n a g1 ∗ g2 ∈ H (Verif´ e ıquelo).Se tiene que R es una relaci´n de equivalencia. En efecto: o Refleja. Sea g ∈ G. Como H es subgrupo, e ∈ H y g = g ∗ e, pero esto es exactamente que gRg. −1 Sim´trica. Sean g1 , g2 ∈ G tales que g1 Rg2 ⇔ g1 ∗ g2 ∈ H. e Pero como H es subgrupo, el inverso de este ultimo t´rmino tambi´n pertence ´ e e a H. Es decir: −1 (g1 ∗ g2 )−1 = g2 −1 ∗ g1 ∈ H. As´ g2 Rg1 . ı, Transitiva. Supongamos que g1 Rg2 y g2 Rg3 . Esto se traduce en que −1 −1 g1 ∗ g2 , g2 ∗ g3 ∈ H. Y como H es cerrado para ∗, se deduce que: −1 −1 −1 (g1 ∗ g2 ) ∗ (g2 ∗ g3 ) = g1 ∗ g3 ∈ H. De donde se conlcluye que g1 Rg3 . 127
    • Ahora, dado que R es de equivalencia podemos calcular, para g ∈ G: [g]R = {g ∈ G | gRg } = {g ∈ G | (∃h ∈ H) g = g ∗ h} = g ∗ H.Luego, |[g]R | = |H|.Sean entonces [g1 ]R , [g2 ]R , . . . , [gs ]R las clases de equivalencia de R.Sabemos que estas clases conforman una partici´n de G, es decir: G = [g1 ]R ∪ o[g2 ]R ∪ · · · ∪ [gs ]R . Luego: s |G| = |[gi ]R | i=1 s = |H| = s|H|. i=1De donde se concluye el resultado. Ejemplo: Diferencia sim´trica e Antes de seguir: Observaci´n: Como implicancia de este teorema, tenemos por ejemplo que o ( 3 , +3 ) s´lo puede tener subgrupos de orden 1 ´ 3. Si (H, +3 ) es un subgrupo o o de orden 1, entonces debe tenerse que H = {[0]3 }, y si (H, +3 ) es un subgrupo de orden 3, entonces necesariamente H = 3 (ejercicio para el lector). Es decir, los unicos subgrupos que tiene ( 3 , +3 ) son los triviales. Este resultado es tambi´n ´ e v´lido para ( p , +p ) con p primo. a Sea A un conjunto no vac´ Veamos que (P(A), ∆) es un grupo abeliano, donde ıo. ∆ denota la diferencia sim´trica e X∆Y = (X Y ) ∪ (Y X) = (X ∪ Y ) (X ∩ Y ) ´ Demostracion. Es claro que ∆ es una ley de composici´n interna en P(A). o De nuestro estudio de teor´ de conjuntos, sabemos que ∆ es asociativa y con- ıa mutativa. Si X ⊆ A, entonces X∆∅ = (X ∪ ∅) (X ∩ ∅) = X ∅ = X. Concluimos as´ que ı ∅ es el neutro de ∆. Adem´s, notando que X∆X = (X X) ∪ (X X) = ∅ ∪ ∅ = ∅, obtenemos que a todo X ∈ P(A) es invertible, y que X −1 = X (es decir, cada elemento es su propio inverso).10.5. MorfismosSean (A, ∗) y (B, ) dos estructuras algebraicas, y sea f : A → B una funci´n. oSabemos que si x, y ∈ A entonces f (x), f (y) ∈ B. Como sobre A tenemos definidauna operaci´n ∗, podemos hacernos la pregunta: ¿cu´nto vale f (x ∗ y)? o a 128
    • Los morfismos ser´n las funciones de A en B tales que f (x ∗ y) se construye operan- ado f (x) y f (y), es decir tales que f (x ∗ y) = f (x) f (y) (recordemos que comof (x), f (y) ∈ B, entonces la operaci´n que podemos aplicarles no es ∗, sino ). oDefinici´n 10.6 (Morfismo). Una funci´n f : A → B es un homomorfismo, o oo simplemente un morfismo, si (∀x, y ∈ A) f (x ∗ y) = f (x) f (y)Definici´n 10.7 (Isomorfismo). Si f : A → B es un morfismo, y adem´s es una o afunci´n biyectiva, entonces le llamaremos isomorfismo. oSi existe un isomorfismo f : A → B, diremos que (A, ∗) y (B, ) son estructurasisomorfas, lo cual denotaremos (A, ∗) ∼ (B, ). ∼ resulta ser una relaci´n de = = oequivalencia entre estructuras algebraicas con una operaci´n. oPropiedad 18. ( Ê+, ·) ∼ (Ê, +) = ´Demostracion. Consideremos la funci´n o log: Ê+ → Ê x → log(x)log es una funci´n biyectiva, y cumple log(x · y) = log(x) + log(y) para x, y ∈ o Ê+ .Morfismos sobreyectivosPropiedades 14. Sean (A, ∗) y (B, ) estructuras algebraicas, y sea f : A → Bun morfismo sobreyectivo. Se tiene que: 1. Si ∗ es asociativa, entonces tambi´n. e 2. Si ∗ es conmutativa, entonces tambi´n. e 3. Si (A, ∗) tiene neutro e ∈ A, entonces (B, ) tambi´n tiene neutro, el cual es e f (e). 4. Sea (A, ∗) es asociativa con neutro e, y sea a ∈ A. Si a posee inverso a−1 , entonces f (a) tambi´n posee inverso, y m´s a´n, (f (a))−1 = f (a−1 ). e a u ´Demostracion. Demostraremos lo segundo.Sean b1 , b2 ∈ B. Como f es sobreyectiva, entonces existen a1 , a2 ∈ A tales que f (a1 ) = b1 ∧ f (a2 ) = b2Entonces b1 b2 = f (a1 ) f (a2 ) = f (a1 ∗ a2 ) (f es morfismo) = f (a2 ∗ a1 ) (∗ es conmutativa) = f (a2 ) f (a1 ) (f es morfismo) = b2 b1 129
    • Tarea 10.1: Demuestre que:1. La composici´n de morfismos es un morfismo. o2. Si f es un isomorfismo de (A, ∗) en (B, ) entonces f −1 es tambi´n un isomor- e fismo pero de (B, ) en (A, ∗).3. La relaci´n de isomrof´ entre estructuras algebraicas (∼) es una relaci´n de o ıa = o equivalencia. 130
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. En un grupo (G, ∗), ∗ es conmutativa. 2. En un grupo (G, ∗), ∗ es asociativa. 3. En un grupo (G, ∗) pueden haber elementos que no admiten inverso. 4. En un grupo (G, ∗) el neutro el es unico elemento que no admite inverso. ´ 5. Ê La estructura ( , ·), es un grupo. 6. La estructura (Ê {1}, ·), es un grupo. 7. La estructura (Ê {0}, ·), es un grupo. 8. En un grupo pueden existir elementos con al dos inversos. 9. En un grupo no vac´ no existen elementos cancelables. ıo10. En un grupo no vac´ hay elementos cancelables. ıo11. El neutro de un grupo es el unico elemento con m´s de un inverso. ´ a12. En un grupo (G, ∗), el inverso de x−1 ∗ y es y −1 ∗ x.13. En un grupo (G, ∗), el inverso de x−1 ∗ y es y ∗ x.14. En un grupo abeliano (G, ∗), el inverso de x ∗ y es x−1 ∗ y −1 .15. En un grupo (G, ∗), con a, b ∈ G, la ecuaci´n a∗ x = b siempre tiene soluci´n. o o16. En un grupo (G, ∗), con a, b ∈ G, la ecuaci´n a ∗ x = b siempre tiene m´s de o a una soluci´n. o17. En un grupo (G, ∗), con a, b ∈ G, la ecuaci´n x ∗ a = b tiene como soluci´n o o a a−1 ∗ b.18. En un grupo abeliano (G, ∗), con a, b ∈ G, la ecuaci´n x ∗ a = b tiene como o −1 soluci´n a a ∗ b. o19. En un grupo abeliano (G, ∗), con a, b ∈ G, las ecuaciones x ∗ a = b y a ∗ x = b tienen la misma soluci´n. o20. Dado un grupo (G, ∗) y a ∈ G idempotente, el conjunto {a, a ∗ a} tiene dos elementos.21. Dado un grupo (G, ∗) y a ∈ G idempotente, el conjunto {a, a ∗ a} tiene un elemento.22. Dado un grupo (G, ∗), de neutro e y a ∈ G idempotente, el conjunto {a, a∗a} es igual a {e}.23. Dado un grupo (G, ∗), un subconjunto no vac´ H ⊆ G de dice subgrupo de ıo G si ∗ es cerrada en H. 131
    • 24. Dado un grupo (G, ∗), un subconjunto no vac´ H ⊆ G de dice subgrupo de ıo G si (H, ∗) es tambi´n grupo. e25. Dado un grupo (G, ∗), un ejemplo de subgrupo de G es (∅, ∗).26. G es siempre subgrupo de s´ mismo (para la misma operaci´n). ı o27. G es subgrupo de s´ mismo s´lo cuando (G, ∗) es abeliano. ı o28. Dado un grupo (G, ∗) y H un subgrupo, el neutro de H es a veces distinto del de G.29. Dado un grupo (G, ∗) y H un subgrupo, el inverso de un elemento x ∈ H pertenece a G H.30. Dado un grupo (G, ∗) y H un subgrupo, el inverso de un elemento x ∈ H pertenece a H.31. Dado un grupo (G, ∗), para probar que H ⊆ G es subgrupo basta verificar que ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.32. Dado un grupo (G, ∗), para probar que H ⊆ G es subgrupo basta verificar que ∀x, y ∈ H, x ∗ y −1 ∈ H.33. Dado n ≥ 2, ( n , +n ) es un grupo.34. Dado n ≥ 2, ( n {[0]n }, +n ) es un grupo.35. Dado un grupo finito (G, ∗) y cualquier subgrupo H ⊆ G, |G| es m´ ltiplo de u |H|.36. Dado un grupo finito (G, ∗) y cualquier subgrupo H ⊆ G, existe k ∈ Æ tal que |G| = k|H|.37. Si un grupo G tiene un subgrupo con 16 elementos, entonces |G| es par.38. ( 7 , +7 ) tiene subgrupos de tama no 5.39. Dado p > 1 primo, ( p , +p ) tiene al menos tres subgrupos distintos.40. Un morfismo entre estructuras se dice isomorfismo si es inyectivo.41. Ê Ê ( , ·) ∼ ( , +). =42. (Ê+ , ·) ∼ (Ê, +). =43. Un morfismo entre las estructuras (A, ∗) y (B, ) satisface que (∀x, y ∈ A) f (x) f (y) = f (x ∗ y).44. Dado un morfismo entre dos grupos (A, ∗) y (B, ), la preimagen del neutro de B contiene al neutro de A.45. Existen morfismos no sobreyectivos entre dos grupos (A, ∗) y (B, ) tales que la preimagen del neutro de B es vac´ ıa.46. Dado un morfismo sobreyectivo f , entre los grupos (A, ∗) y (B, ), se tiene que para x ∈ A, (f (x−1 ))−1 = f (x).47. Dado un morfismo sobreyectivo f , entre los grupos (A, ∗) y (B, ), se tiene que para todo x ∈ A, (f (x−1 ))−1 = f (e), con e neutro de A. 132
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Se nale cu´les de las siguientes estructuras algebraicas no son grupos. Explique a por qu´: e Ê (a) ( , +). (b) (Ê, ·). (c) Dado A = ∅, (P(A), ∪). (d) Dado A = ∅, (P(A), ∩). Æ (e) ( , ·). (f) ( {0}, ·). (g) ( {0}, +).2. Dado (G, ∗) grupo y H ⊆ G, subgrupo. Pruebe las siguientes propiedades, prop- uestas en la tutor´ ıa: (a) (∀x, y ∈ H) x ∗ y −1 ∈ H. (b) Si e ∈ G es el neutro de G y eH ∈ H es el neutro de H, entonces e = eH . (c) Sea x ∈ H. Si x−1 ∈ G es el inverso de x en (G, ∗) y x ∈ H es el inverso de ˜ x en (H, ∗), entonces x−1 = x. ˜3. En la demostraci´n de que ( n , +n ), para n ≥ 2 es grupo, qued´ como ejercicio o o demostrar la existencia de inversos. Es decir, demuestre que para cualquier x ∈ n , x admite un inverso para +n .4. Sea G = {f : Ê → Ê | (∃a, b ∈ Ê) a = 0 ∧ f (x) = ax + b}. (a) Pruebe que (G, ◦) es un grupo, en donde ◦ es la composici´n de funciones. o ¿Es abeliano? (b) Sea G1 = {f : Ê → Ê | (∃b ∈ Ê) f (x) = x + b}. Probar que (G1 , ◦) es subgrupo de (G, ◦). (c) Sea G2 = {f : → Ê Ê | (∃b ∈ Ê) f (x) = 2x + b}. Pruebe que (G2 , ◦) no es subgrupo de (G, ◦).5. Sean (G1 , ∗) y (G2 , ) grupos con e2 el neutro de G2 , y sea f : (G1 , ∗) → (G2 , ) un morfismo. Demuestre las siguientes afirmaciones: (a) Dado un subgrupo H1 ⊆ G1 , entonces f (H1 ) es subgrupo de (G2 , ). (b) Dado un subgrupo H2 ⊆ G2 , entonces f −1 (H2 ) es subgrupo de (G1 , ∗). (c) Im(f ) es un subgrupo de (G2 , ). (d) El conjunto {x ∈ G1 | f (x) = e2 } es un subgrupo de (G1 , ∗). 133
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaP1. (30 min.) Sea (G, ∗) un grupo y f : G → G la funci´n definida por f (g) = g −1 o para cada g ∈ G (recordar que g −1 es el inverso de g para la operaci´n ∗). o Probar que f es un isomorfismo ⇔ G es un grupo Abeliano.P2. Sea (G, ∗) un grupo con neutro e ∈ G y A = {F : G → G / F es un isomorfismo de (G, ∗) en (G, ∗)}. (a) (20 min.) Probar que (A, ◦) es un grupo (b) (20 min.) Para cada g ∈ G se define la funci´n Fg : G → G tal que o Fg (x) = g ∗ x ∗ g −1 en cada x ∈ G. Pruebe que: Fg es un homomorfismo de (G, ∗) en (G, ∗). Fg∗h = Fg ◦ Fh , para todo g, h ∈ G. Fe = idG (idG es la funci´n identidad en G). o Concluya que Fg es un isomorfismo y que (Fg )−1 = Fg−1 para todo g ∈ G. (c) (20 min.) Pruebe que B = {Fg / g ∈ G} es un subgrupo de (A, ◦).P3. (20 min.) Sea (G, ∗) un grupo que satisface la propiedad a ∗ a = e (el neutro del grupo) en cada a ∈ G, es decir, el inverso de cada elemento del grupo es el mismo elemento. Pruebe que G es un grupo Abeliano. (Ind: calcule (a ∗ b) ∗ (b ∗ a)).P4. (20 min.) Sea (G, ∗) un grupo tal que G = {e, a, b} con e neutro en G. Pruebe que a−1 = b.P5. Sean (G, ∗) y (H, ◦), grupos con neutros eG y eH respectivamente. Se define en G × H la ley de composici´n interna o por: (a, b) (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d) (a) (20 min.) Demuestre que (G × H, ) es grupo. (b) (20 min.) Demuestre que las funciones ϕ y ψ definidas por ϕ: G × H −→ G ψ: G × H −→ H y, (g, h) −→ ϕ((g, h)) = g (g, h) −→ ψ((g, h)) = h son homomorfismos sobreyectivos. (c) (20 min.) Considere G = H y ∗ = ◦ y la funci´n f : G × G → G definida o por f ((a, b)) = (a ∗ b)−1 ∀(a, b) ∈ G × G Pruebe que f es un homomorfismo de (G×G, ) en (G, ∗) ⇔ El grupo (G, ∗) es abeliano. 134
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o ´ SEMANA 11: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Y NUMEROS COMPLEJOS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz10.6. Anillos tambi´n tus e propiasComenzamos ahora el estudio de estructuras algebraicas que tengan definidas dos anotaciones.operaciones, y las clasificaremos en anillos y en cuerpos. El mejor ejemplo que Êconocemos de un anillo es ( , +, ·), y de un cuerpo es ( , +, ·).Sin embargo, hay muchas m´s posibilidades. Culminaremos este cap´ a ıtulo mostrandoque ( n , +n , ·n ) puede ser un cuerpo si n cumple una condici´n especial. oDefinici´n 10.8 (Anillo). Una estructura (A, +, ·) se llamar´ anillo si: o a (A, +) es grupo abeliano. · es asociativa. · distribuye con respecto a +. Para trabajar con una notaci´n m´s familiar, al neutro de (A, +) lo denotare- o a mos 0, y para todo x ∈ A, a su inverso (para la operaci´n +) se le denotar´ o a −x. Si la operaci´n · posee neutro en A, ´ste se denotar´ por 1 y diremos que o e a (A, +, ·) es un anillo con unidad. Si x ∈ A posee inverso para la operaci´n o ·, ´ste se denotar´ por x−1 . e a Si · es conmutativa, (A, +, ·) se llamar´ anillo conmutativo. a As´ ( , +, ·) es un anillo conmutativo con unidad. ı,Relaci´n entre ambos neutros oObservemos que ({a}, +, ·) es una estructura algebraica si definimos a+a=a , a·a= aSu principal curiosidad es que a es el neutro para ambas operaciones.De acuerdo a las notaciones que mencionamos, en esta estructura (que resulta serun anillo) se cumple que 0 = 1.Esta rara propiedad es unica en su tipo, ya que ´Proposici´n 10.3. Si (A, +, ·) es un anillo con unidad y A posee al menos dos oelementos distintos, entonces 0 = 1, o sea los neutros de ambas operaciones sondistintos. ´Demostracion. Como A posee dos elementos distintos, existe a ∈ A con a = 0. Como el anillo posee unidad, tenemos que 1 · a = a. 135
    • Por otro lado, tenemos que 0·a = (0 + 0) · a = 0·a+0·a por lo que 0 · a + (−0 · a) = (0 · a + 0 · a) + (−0 · a) 0 = 0 · a + (0 · a + (−0 · a)) 0 = 0·a ıamos que 1 · a = 0 · a, con lo que a = 0, loSi fuera cierto que 0 = 1, entonces tendr´que es una contradicci´n. Por lo tanto, debe tenerse que 0 = 1. oPropiedades 15. Sea (A, +, ·) un anillo. Entonces: 1. (∀x ∈ A) 0 · x = x · 0 = 0 2. (∀x, y ∈ A) − (x · y) = (−x) · y = x · (−y) 3. (∀x, y ∈ A) (−x) · (−y) = x · y 4. Si el anillo posee unidad, entonces (∀x ∈ A) − x = (−1) · x = x · (−1) ´Demostracion. Probaremos (1) y (4).Para (1), veamos primero que: 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x Gracias a la distributividad.Ahora, como A es grupo, 0 · x es cancelable. Por lo que de lo anterior se concluyeque 0 = 0 · x.La demostraci´n es an´loga para x · 0. o aPara (4), debemos verificar que x + (−1) · x = 0 (gracias a que Aes abeliano).En efecto: x + (−1) · x = 1 · x + (−1) · x = (1 + (−1)) · x Por distributividad. = 0·x = 0 Gracias a (1).Luego (−1) · x es el opuesto de x y se concluye.La demostraci´n es tambi´n an´loga para x · (−1). o e a n como anilloSea n ≥ 2. Recordemos que ( n , +n ) es un grupo abeliano. Si ahora consideramos( n , +n , ·n ), tenemos:Proposici´n 10.4. ( o n , +n , ·n ) es un anillo conmutativo con unidad. 136
    • ´Demostracion. Demostraremos que ·n distribuye con respecto a +n , y que [1]nes neutro para ·n (el resto de la demostraci´n queda propuesta al lector). oDistributividad: Sean [x]n , [y]n , [z]n ∈ n. Se tiene que [x]n ·n ([y]n +n [z]n ) = [x]n ·n [y + z]n = [x · (y + z)]nObservamos que x, y, z ∈ , por lo que x · (y + z) = x · y + x · z. Entonces [x]n ·n ([y]n +n [z]n ) = [x · y + x · z]n = [x · y]n +n [x · z]n = [x]n ·n [y]n +n [x]n ·n [z]nEl c´lculo para ([y]n +n [z]n ) ·n [x]n se hace de forma an´loga. a aUnidad: Sea [x]n ∈ n. Se tiene [x]n ·n [1]n = [x · 1]n = [x]n [1]n ·n [x]n = [1 · x]n = [x]npor lo que [1]n es neutro para ·n .Divisores de ceroSea (A, +, ·) un anillo. Si existen x, y ∈ A {0} tales que x · y = 0, entoncesllamaremos a x e y divisores de cero.Esta noci´n no nos es muy familiar, debido a que en los anillos que nos resultan om´s conocidos no aparece. Sin embargo, en 6 podemos dar un sencillo ejemplo: a [2]6 ·6 [3]6 = [6]6 = [0]6Propiedad 19. Sea (A, +, ·) un anillo. Sea a ∈ A {0}. Entonces a es divisor de cero ⇐⇒ a no es cancelable ´Demostracion. Sea a ∈ A divisor de cero, esto equivale a: (∃y ∈ A) (a · y = 0 ∧ y = 0) ⇔ (∃y ∈ A) (a · y = a · 0 ∧ y = 0)Lo que es precisamente la negaci´n de la proposici´n: o o (∀x, y ∈ A) (a · x = a · y ⇒ x = y).O sea, a es cancelable.10.7. CuerposDefinici´n 10.9 (Cuerpo). Sea (K, +, ·) una estructura algebraica. Le llamare- omos cuerpo si cumple (K, +, ·) es anillo conmutativo con unidad. Todo elemento x ∈ K {0} es invertible para ·.Equivalentemente, (K, +, ·) es un cuerpo si y s´lo si o 137
    • (K, +) es grupo abeliano. (K {0}, ·) es grupo abeliano. · distribuye con respecto a +. Ê As´ observamos que ( , +, ·) es un cuerpo. ı,Cuerpos y divisores de ceroPropiedad 20. Un cuerpo no tiene divisores de cero. ´Demostracion. Sea (K, +, ·) un cuerpo. Supongamos que tuviera divisores decero, es decir, que existen x, y ∈ K {0} tales que x · y = 0.Como y = 0 y K es cuerpo, entonces existe su inverso y −1 ∈ K. As´ ı x = x · (y · y −1 ) = (x · y) · y −1 = 0 · y −1 = 0lo que es una contradicci´n. oLamentablemente, no todo anillo conmutativo con unidad y sin divisores de ceroes un cuerpo. Un ejemplo es ( , +, ·): no tiene divisores de cero, pero sus unicos ´elementos que poseen inverso multiplicativo son 1 y -1.Sin embargo, el caso de anillos de cardinal finito es distinto.Propiedad 21. Sea (A, +, ·) un anillo conmutativo con unidad tal que |A| es finito.Entonces (A, +, ·) no tiene divisores de cero ⇐⇒ (A, +, ·) es cuerpo ´Demostracion. La implicancia ⇐ es directa. Para la implicancia ⇒, dado x ∈A {0}, definamos por recurrencia: x0 = 1 xk = x · xk−1 , ∀k ≥ 1.Es decir la noci´n de potencia para la operaci´n ·. Se tiene que existen i, j ≥ 1 o o Ædistintos tales que xi = xj . De lo contrario el conjunto {xk | k ∈ } ser´ unıasubconjunto de A infinito. Contradiciendo que |A| es finito.Luego: xi = xj ⇔ xi = xj−i · xi Suponiendo, sin perder generalidad que i < j. i j−i i ⇔1·x =x ·xY como (A, +, ·) no tiene divisores de cero, todo elemento en A es cancelable. Enparticular xi lo es, luego: 1 = xj−i ⇔ 1 = x · xj−i−1 .Por lo que como (A, +, ·) es conmutativo, x−1 = xj−i−1 .Esto prueba que (A, +, ·) es cuerpo, pues todo elemento x ∈ A {0} posee inverso. 138
    • Ejemplo: n como cuerpoTeorema 10.3. Sea n ∈ Æ con n ≥ 2. Las siguientes afirmaciones son equiva-lentes: 1. ( n , +n , ·n ) es un cuerpo 2. ( n , +n , ·n ) no tiene divisores de cero 3. n es un n´mero primo u ´Demostracion. 1 ⇒ 2 sale de una propiedad anterior. 2 ⇒ 3 queda propuesto como ejercicio. Es recomendable demostrar la con- trarec´ ıproca. Para 3 ⇒ 1, sabemos que ( n , +n , ·n ) es un anillo conmutativo con unidad. S´lo basta verificar que todo elemento no nulo tiene inverso para el producto. o Sea [k]n ∈ n {[0]n }. Podemos considerar que 1 ≤ k ≤ n − 1. Como n es un n´ mero primo (hip´tesis), entonces k y n son primos relativos: u o El m´ximo com´ n divisor entre ellos es 1. a u Una consecuencia no muy dif´ de probar del Teorema de la divisi´n en ıcil o es la “Igualdad de Bezout”, que dice que existen enteros r, s ∈ tales que 1 = rk + sn. De aqu´ sale que: ı, rk = 1 + sn ⇔ [rk]n = [1]n ⇔ [r]n ·n [k]n = [1]n . Es decir, [r]n es el inverso de [k]n .Usando la transitividad de ⇒, se concluyen las equivalencias.11. N´meros complejos uConsideremos la ecuaci´n o x2 = 2 √ √´ ÉEsta no tiene soluciones en , pero s´ en ı Ê ( 2 y − 2). Podemos pensar en losreales como una extensi´n de los racionales, donde esta ecuaci´n s´ tiene soluci´n. o o ı oDel mismo modo, sabemos que en Ê la ecuaci´n o x2 = −1no tiene soluciones. Debido a esta carencia, se “crea” el conjunto de los n´ meros u o Êcomplejos, el cual ser´ una extensi´n de , donde esta ecuaci´n s´ tiene soluci´n. a o ı o o u ÊDefinici´n 11.1 (N´meros complejos). Sea = 2 . Llamaremos a conjun-to de los n´meros complejos, y lo dotaremos de las operaciones + y · definidas ua continuaci´n: para z = (z1 , z2 ), w = (w1 , w2 ) ∈ o z+w = (z1 + w1 , z2 + w2 ) z·w = (z1 w1 − z2 w2 , z1 w2 + w1 z2 ) 139
    • Teorema 11.1. ( , +, ·) es un cuerpo. ´Demostracion. Demostraremos algunas de las propiedades necesarias, el restoquedan de ejercicio para el lector.Neutro aditivo: (0, 0) es el neutro para +. En efecto, si z = (z1 , z2 ) ∈ z + (0, 0) = (z1 + 0, z2 + 0) = (z1 , z2 ) = z (0, 0) + z = (0 + z1 , 0 + z2 ) = (z1 , z2 ) = zOpuestos aditivos: Sea z = (z1 , z2 ) ∈ . Entonces z + (−z1 , −z2 ) = (z1 − z1 , z2 − z2 ) = (0, 0) (−z1 , −z2 ) + z = (−z1 + z1 , −z2 + z2 ) = (0, 0)por lo que −z = (−z1 , −z2 ).Conmutatividad de ·: Sean z = (z1 , z2 ), w = (w1 , w2 ) ∈ . z·w = (z1 w1 − z2 w2 , z1 w2 + w1 z2 ) = (w1 z1 − w2 z2 , w1 z2 + w2 z1 ) = w·zDistributividad: Sean z = (z1 , z2 ), w = (w1 , w2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ . z · (w + v) = z · (w1 + v1 , w2 + v2 ) = (z1 (w1 + v1 ) − z2 (w2 + v2 ), z1 (w2 + v2 ) + z2 (w1 + v1 )) = ((z1 w1 − z2 w2 ) + (z1 v1 − z2 v2 ), (z1 w2 + z2 w1 ) + (z1 v2 + z2 v1 )) = (z1 w1 − z2 w2 , z1 w2 + z2 w1 ) + (z1 v1 − z2 v2 , z1 v2 + z2 v1 ) = z·w+z·v(no hace falta calcular (w + v) · z pues ya demostramos que · es conmutativa) z1 −z2Inverso multiplicativo: Sea z = (z1 , z2 ) ∈ {(0, 0)}. Definamos w = 2 2, 2 2 z1 +z2 z1 +z2 .Entonces 2 2 z1 −z2 −z1 z2 z1 z2 z·w = 2 + z2 − z2 + z2 , z2 + z2 + z2 + z2 = (1, 0) z1 2 1 2 1 2 1 2(verificar que (1, 0) es el neutro de ·)Al igual que en Ê, asumiremos las notaciones siguientes: para z, w ∈ z−w = z + (−w) z = z · w−1 si w = 0 wEn tambi´n valen algunas f´rmulas que cumplen los n´ meros reales, como e o uPropiedad 22. (z + w)2 = z 2 + 2zw + w2 (z + w)(z − w) = z 2 − w2 b z a − z b+1 zk = si z = 1 1−z k=a 140
    • 11.1. Relaci´n con o Ê ÊNuestro deseo original era que resultara ser una extensi´n de . Pues bien, resulta oque contiene un subconjunto R tal que (R, +, ·) es isomorfo a los n´ meros reales. uProposici´n 11.1. Sea R = {(z1 , z2 ) ∈ o : z2 = 0} ⊆ . Entonces (R, +, ·) es Êisomorfo a ( , +, ·). ´Demostracion. Sea la funci´n φ : o Ê → R dada por φ(x) = (x, 0)Es f´cil demostrar que φ es biyectiva. Veamos que es morfismo (para ambas opera- aciones). ÊSean x, y ∈ . Se tiene que φ(x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = φ(x) + φ(y)y tambi´n e φ(x · y) = (x · y, 0) = (x · y − 0 · 0, x · 0 + 0 · y) = (x, 0) · (y, 0) = φ(x) · φ(y)Como cada real x se identifica con el complejo (x, 0), entonces el complejo (−1, 0) Êcorresponde al −1 de . Notemos que la ecuaci´n z 2 = (−1, 0) s´ tiene soluci´n: o ı o (0, 1)2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0)Aunque no lo demostraremos, es importante se˜ alar que ( , +, ·) resulta ser el n a n Êcuerpo m´s peque˜ o que contiene a ( , +, ·) en el cual la ecuaci´n x2 = −1 posee osoluci´n. o11.2. Notaci´n a + bi oComo los complejos de la forma (x, 0) se identifican con los reales, entonces asumire-mos la notaci´n (x, 0) = x. Adem´s, al complejo (0, 1) le llamaremos i. o aDe esta forma, a un (a, b) ∈ lo podemos escribir como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + b · i = a + bitomando la misma convenci´n de o Ê que dice que si entre dos n´ meros no hay uning´ n s´ u ımbolo, entonces se multiplican.Es importante notar que cuando se dice “sea z = a + bi ∈ ”, se da por entendidoque a, b ∈ .ÊHabiendo dicho esto, tenemos que i2 = −1, es decir, i es una soluci´n de la ecuaci´n o ocon la que abrimos el cap´ ıtulo.La notaci´n a + bi permite multiplicar complejos con mucha facilidad: o (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + byi2 = (ax − by) + (ay + bx)i 141
    • 11.3. Partes real e imaginariaDefinici´n 11.2 (Partes real e imaginaria). Sea z = a + bi ∈ o . Definimos suparte real como el real Re(z) = ay su parte imaginaria como el real Im(z) = bAs´ un complejo z ∈ ı, se puede escribir como z = Re(z) + iIm(z)Las partes real e imaginaria cumplen las siguientes propiedades:Propiedades 16. Para z1 , z2 ∈ yα∈ Ê: 1. Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) 2. Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) 3. Re(αz) = αRe(z) 4. Im(αz) = αIm(z) 5. z1 = z2 ⇐⇒ Re(z1 ) = Re(z2 ) ∧ Im(z1 ) = Im(z2 )Estas propiedades quedan propuestas como ejercicio.11.4. Conjugaci´n oDefinici´n 11.3 (Conjugado). Sea z = a + bi ∈ o . Definimos el conjugado dez como el complejo z = a − bi ¯Propiedades 17. Sean z, w ∈ . Se tiene: 1. z + w = z + w, z − w = z − w ¯ ¯ ¯ ¯ 2. z · w = z · w ¯ ¯ 3. Si λ ∈ Ê, entonces λz = λ¯ z z z ¯ 4. Si w = 0, w = w ¯ 5. z = z 6. Re(z) = Re(¯), Im(z) = −Im(¯) z z 1 1 7. Re(z) = 2 (z + z ), Im(z) = ¯ 2i (z − z) ¯ 8. z ∈ Ê ⇐⇒ z = z ¯ 142
    • ´Demostracion. Demostraremos (2) y (8).Para (2): Sean z = z1 + z2 i, w = w1 + w2 i ∈ . Tenemos la f´rmula o z · w = (z1 w1 − z2 w2 ) + i(z1 w2 + z2 w1 )por lo que z·w = (z1 w1 − z2 w2 ) − i(z1 w2 + z2 w1 ) = (z1 − z2 i)(w1 − w2 i) = z·w ¯ ¯Para (8): Por doble implicancia. Ê⇒) Si z ∈ , entonces existe x ∈ Ê tal que z = x = x + 0i. Entonces z = x − 0i = x = z ¯⇐) Si z = z , entonces (utilizando la propiedad (7) ¯ z= 1 2 (z + z ) = Re(z) ∈ ¯ Ê11.5. M´dulo oDefinici´n 11.4 (M´dulo). Sea z = a + bi ∈ o o . El m´dulo de z es el valor o |z| = a2 + b 2As´ para cualquier z ∈ ı, , se tiene que |z| ∈ Ê y |z| ≥ 0.Propiedades 18. Para z, w ∈ , se tiene: 2 1. |z| = z · z ¯ 2. |z| = |¯| z 3. |Re(z)| ≤ |z|, |Im(z)| ≤ |z| 4. z = 0 ⇐⇒ |z| = 0 5. |z · w| = |z| · |w| 6. Desigualdad triangular: |z + w| ≤ |z| + |w| z¯ 7. Si z = 0, entonces z −1 = |z|2 z |z| 8. Si w = 0, w = |w| ´Demostracion. Demostraremos (1) y (7).Para (1): Sea z = a + bi ∈ . z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 − (bi)2 = a2 − b2 i2 = a2 + b2 = |z|2 ¯ z¯Para (7): Sea z ∈ {0}, y denotemos w = |z|2 ∈ . z·z ¯ |z|2 z·w = 2 = 2 =1 |z| |z|por lo que z −1 = w. 143
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. (A, +, ·) es un anillo si y s´lo si (A, +) es un grupo abeliano. o 2. (A, +, ·) es un anillo si y s´lo si (A, +) es un grupo abeliano y · es asociativa. o 3. (A, +, ·) es un anillo si y s´lo si (A, +) es un grupo abeliano, · es asociativa o y distribuye con respecto a +. 4. (Z, +, ·) es un anillo. 5. Todo anillo (A, +, ·) tiene neutro para la operaci´n ·. o 6. En todo anillo (A, +, ·) la operaci´n · es conmutativa. o 7. Todo anillo (A, +, ·) tiene neutro para la operaci´n +. o 8. En todo anillo (A, +, ·) la operaci´n + es conmutativa. o 9. (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.10. En todo anillo (A, +, ·), el neutro para · y para + son elementos distintos.11. En todo anillo (A, +, ·), con m´s de un elemento, el neutro para · y para + a son elementos distintos.12. Si (A, +, ·) es un anillo, se cumple que (∀x ∈ A) 0 · x = x · 0 = 013. Si (A, +, ·) es un anillo, x, y ∈ A, entonces x · y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 014. (Z9 , +, ·) es un anillo.15. (Z9 , +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.16. (Z9 , +, ·) es un anillo conmutativo con unidad sin divisores del cero.17. (Z7 , +, ·) es un anillo conmutativo con unidad sin divisores del cero.18. (Z17 , +, ·) es un anillo conmutativo con unidad sin divisores del cero.19. [1]p es el neutro para ·p en el anillo (Zp , +, ·).20. En (Z9 , +, ·) se cumple que [3]9 ·9 [3]9 = [0]9 .21. Todo cuerpo es un anillo.22. (Z9 , +, ·) es un cuerpo.23. (R, +, ·) es un anillo.24. (R, +, ·) es un cuerpo.25. En todo cuerpo, x · y = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 026. Todo anillo finito sin divisores del cero es un cuerpo.27. Todo anillo finito conmutativo con unidad sin divisores del cero es un cuerpo.28. Para p primo, (Zp , +, ·) es un cuerpo. 144
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıaObservaci´n: En esta gu´ se entiende como plano complejo, la representaci´n o ıa o Ê Êcomo × de .1. (a) Considere el conjunto de los n´ meros pares P, dotado con la multiplicaci´n u o y suma usual en R. Determine si la estructura (P, +, ·) es un anillo. (b) Si la respuesta de la parte anterior es negativa, se˜ ale qu´ propiedad falla. n e2. Demuestre, para un anillo (A, +, ·), las siguientes propiedades propuestas en la tutor´ ıa: (a) (∀x, y ∈ A) − (x · y) = (−x) · y = x · (−y). (b) (∀x, y ∈ A) (−x) · (−y) = x · y.3. Pruebe que en un anillo con m´s de dos elementos, el neutro para la operaci´n a o · y para la operaci´n + son necesariamente distintos. o4. Sean (A, +, ·) y (A , ⊕, ) dos anillos con neutros aditivos 0 y 0 respectivamente y f : A −→ A un homomorfismo de anillos. Se define I = {x ∈ A : f (x) = 0 }. (a) Demuestre que (I, +) es subgrupo de (A, +) (b) Demuestre que (∀a ∈ A)(∀b ∈ I)a · b ∈ I ∧ b · a ∈ I. (c) Si (A, +, ·) tiene unidad u (neutro para ·) y ∃x ∈ I tal que x es invertible, pruebe que f (u) = 0 y util´ıcelo para demostrar que (∀a ∈ A)a ∈ I, es decir A = I.5. Pruebe que si ( n , +n , ·n ) no tiene divisores de cero, entonces n es un n´ mero u primo.6. Demuestre, dados z1 , z2 ∈ yα∈ Ê, las siguientes propiedades propuestas en la tutor´ ıa: (a) Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ). (b) Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ). (c) Re(αz) = αRe(z). (d) Im(αz) = αIm(z). (e) z1 = z2 ⇐⇒ Re(z1 ) = Re(z2 ) ∧ Im(z1 ) = Im(z2 ).7. Demuestre las siguientes propiedades, dados z, w ∈ (a) z + w = z + w, z − w = z − w. ¯ ¯ ¯ ¯ z z ¯ (b) Si w = 0, w = w. ¯ 1 1 (c) Re(z) = 2 (z + z ), Im(z) ¯ = 2i (z − z ). ¯8. Grafique en el plano complejo, escribiendo de forma cartesiana los siguientes n´ meros complejos: u (a) 1 + 2i. (b) (1 + 2i)2 . (c) (1 + 2i)(3 − 2i). 1+i (d) . 2−i 145
    • √ √ 3 1 3 1 (e) + i + i . 2 2 2 2 9. Demuestre, dados z, w ∈ , las siguientes propiedades: (a) |z|2 = z · z . ¯ (b) z = 0 ⇐⇒ |z| = 0. (c) |z · w| = |z| · |w|. z |z| (d) Si w = 0, w = |w| .10. Encuentre la intersecci´n de las siguientes regiones del plano complejo o R1 = {z ∈ : |z − 1| ≤ 1} R2 = {z ∈ : |z − 2| ≤ 1}. Indicaci´n: Grafique. o 146
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaP1. (a) Las siguientes tablas incompletas corresponden a las operaciones en el anillo (A, ⊕, ), para A = {a, b, c, d} ⊕ a b c d a b c d a a b d a a a a a b a b a a c a c a c d d a b c 1.1) (30 min.) Considerando las propiedades generales del anillo, com- plete las tablas anteriores justificando cada relleno. (Ind.: complete primero la tabla para ⊕ y para utilice adecuadamente la distribu- tividad). 2.2) (10 min.) ¿Es (A, ⊕, ) conmutativo?. ¿Posee (A, ⊕, ) unidad?. ¿Tiene divisores del cero? (b) (30 min.) Si (A, +, ·) es un anillo tal que x · x = x ∀x ∈ A. Demuestre que c.1) x = −x ∀x ∈ A (−x es inverso aditivo de x) c.2) (A, +, ·) es anillo conmutativo. c.3) (x · y) · (x + y) = 0 ∀x, y ∈ A.P2. Considere en Ê2 las operaciones (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) y (a, b) (c, d) = (a · c, b · d) a) (30 min.) Pruebe que ( Ê2, ⊕, ) es un anillo conmutativo con unidad. b) (15 min.) Pruebe que (Ê2 , ⊕, ) posee divisores del cero. c) (15 min.) Demuestre que (Ê2 , ⊕, ) no es isomorfo a ( , +, ·).P3. a) (10 min.) Sea z ∈ tal que |z| = |z + 1| = 1. Deduzca que z es una ra´ ız c´ bica de la unidad. u b) (20 min.) Sean z1 , z2 ∈ . Probar que |1 − z2 z 1 |2 − |z1 − z2 |2 = (1 − |z1 |2 )(1 − |z2 |2 ). c) (20 min.) Deduzca usando lo anterior que si |z1 | < 1 y |z2 | < 1 se tiene |z1 − z2 | |1 − z2 z 1 |P4. (10 min.) Sea z ∈ tal que |z| = 1 y considere n ≥ 1. Probar que 1 1+z n + 1 1 + zn ∈ Ê 147
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 oUsa este margen ´ SEMANA 12: NUMEROS COMPLEJOS para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e propias 12. N´meros Complejos u anotaciones. 12.1. Forma polar de los complejos Introducci´n o Ê Recordemos que definimos a partir de 2 . Es por esto que podemos dar a los com- plejos una interpretaci´n de vectores en dos dimensiones, como muestra la siguiente o figura. Figura 11: Representaci´n del “plano” complejo. o Si z = a+bi ∈ , entonces −z = −a−bi y z = a−bi. De este modo, geom´tricamente ¯ e −z es el vector opuesto a z, y z es el vector reflejado de z con respecto al eje ¯ horizontal, al cual se le llama eje real. Al eje vertical se le llama eje imaginario. Figura 12: Representaci´n gr´fica de z, −z y z . o a ¯ 12.2. El complejo eiθ De este modo, interpretamos la suma de dos n´ meros complejos como la suma de u Ê vectores en 2 . ¿C´mo interpretar el producto entre complejos? o Para ello utilizaremos la llamada notaci´n polar. o o o Ê Definici´n 12.1 (Definici´n). Sea θ ∈ . Definimos el complejo que denotare- mos eiθ como eiθ = cos θ + i sin θ 148
    • Utilizamos la notaci´n de potencias pues el objeto eiθ cumple las siguientes propiedades: oPropiedades 19. 1. ei·0 = 1. 2. (∀θ ∈ Ê) |eiθ | = 1. 3. (∀θ ∈ Ê) eiθ = (eiθ )−1 = ei(−θ) (y lo denotaremos e−iθ ). 4. (∀θ, ϕ ∈ Ê) eiθ eiϕ = ei(θ+ϕ). 5. (∀n ∈ )(∀θ ∈ Ê) (eiθ )n = einθ (a este resultado se le conoce como f´rmula o de Moivre). ´Demostracion. (1), (2) y (3) quedan propuestos como ejercicios. Para la segunda igualdad de (3), usar (2) y la f´rmula para z −1 vista en la tutor´ o ıa anterior. Para (4) Sean θ, ϕ ∈ Ê. ei(θ+ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ) = (cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ) + i(sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ) = (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ) = eiθ eiϕ Para (5) definamos inductivamente potencias de elementos en . Para n ∈ Æ, z0 = 1 z n+1 = z n · z. Y para n < 0 en , z n = (z −1 )−n = (z −n )−1 . Esto siempre que z −1 exista, que en nuestro caso significa z = 0, lo cual es cierto para eiθ gracias a (2). Æ Ahora, para n ∈ probamos la propiedad por inducci´n. El caso n = 0 sale o de que por definici´n, z 0 = 1, y la propiedad (1). o Para el paso inductivo, usamos (4). En efecto, si para n ∈ Æ es cierto que (eiθ )n+1 = ei(nθ) , entonces (eiθ )n+1 = ei(nθ) eiθ = ei(nθ+θ) = ei(n+1)θ . El caso n < 0, queda propuesto como ejercicio.12.3. Definici´n de forma polar oEn t´rminos geom´tricos, eiθ es el complejo de m´dulo 1 que forma un ´ngulo θ e e o acon el eje real, medido en sentido antihorario.Propiedad 23. Todo complejo z ∈ se puede escribir de la forma z = reiθ , con Êr ≥ 0 y θ ∈ . A esta escritura se le llama forma polar. 149
    • Demostracion. Si z = 0, entonces z = reiθ tomando r = 0 y θ ∈ ´ Ê cualquiera.Si z = 0, entonces tomamos r = |z|, y θ el ´ngulo que forma z (visto como vector a Êde 2 ) con el eje real. Este ´ngulo cumple a Re(z) Im(z) cos θ = ∧ sin θ = |z| |z|De esta forma Re(z) Im(z) reiθ = r(cos θ + i sin θ) = |z| +i = Re(z) + iIm(z) = z |z| |z|A modo de ejemplo, calculemos la forma polar del complejo z = 2 + 2i. √ r = |z| = 22 + 22 = 8 ÊObservando que z representa al vector (2, 2) ∈ 2 , elegimos el ´ngulo θ = π/4, con alo que √ 2 + 2i = 8 eiπ/4Es f´cil ver que todo complejo posee una infinidad de posibles formas polares. aContinuemos con el ejemplo z = 2 + 2i. El ´ngulo podr´ haber sido elegido como a ıa2π + π/4, con lo que ei(2π+π/4) = ei 2π iπ/4 e = (cos(2π) + i sin(2π))eiπ/4 = (1 + i · 0)eiπ/4 = eiπ/4por lo que tambi´n e √ 2 + 2i = 8 ei(2π+π/4)M´s en general, el ´ngulo θ puede ser cambiado por θ+2kπ para cualquier k ∈ sin a aalterar el n´ mero complejo representado. Por esto, se acostumbra escoger el ´ngulo u aθ que cae en el rango (−π, π].Definici´n 12.2 (M´dulo y argumento). Si z = reiθ : o o Al valor r se le llama m´dulo, y se nota |z|. o Al valor θ se le llama argumento, y se nota arg(z).Interpretaci´n geom´trica de la forma polar o ePropiedad 24. Sean z, w ∈ {0}. z = w ⇐⇒ |z| = |w| ∧ (∃k ∈ ) arg(z) = arg(w) + 2kπAhora estamos en pie de dar una interpretaci´n geom´trica al producto de comple- o ejos. Sean z = reiθ , w ∈ {0}: Ê Si w = α ∈ , entonces z · w = (αr)eiθ , es decir z · w es un estiramiento o contracci´n de z en un factor α. o Si w = eiϕ , entonces z · w = rei(θ+ϕ) , es decir z · w es una rotaci´n de z en o a ´ngulo ϕ = arg(w). De este modo, si w = ρeiϕ , entonces z · w representa un estiramiento o con- tracci´n de z en un factor |w|, adem´s de rotarlo en un ´ngulo arg(w). o a a 150
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. En Ê la ecuaci´n x2 = a siempre tiene soluci´n. o o 2. En la ecuaci´n x2 = a siempre tiene soluci´n. o o 3. ( , +, ·) es un cuerpo. 4. ( , +, ·) es un anillo sin divisores del cero. 5. Ê es isomorfo a un conjunto R, R ⊆ . 6. Im(z) es un n´ mero imaginario. u 7. Re(z) + Im(z) ∈ Ê. 8. Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ). 9. Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ).10. Para todo complejo z se cumple que z + z ∈ Ê.11. Para todo complejo z se cumple que z − z es imaginario puro.12. Siempre se cumple que Re(z) ≤ |z| y que Im(z) ≤ |z|.13. Para todo complejo z se cumple que z −1 = z.14. Para todo par de complejos z1 , z2 se cumple que |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.15. Para todo complejo z, existen a, b ∈ Ê, a, b > 0 tales que z = a + ib.16. Para todo complejo z, existen a, b ∈ Ê tales que z = a + ib.17. El complejo z = 4 + 2i tiene m´dulo cero. o18. El complejo eiθ est´ definido como cos θ + i sen θ. a19. El complejo eiθ est´ definido como sen θ − i cos θ. a20. El complejo eiθ est´ definido como sen θ + cos θ. a21. ei0 = 0.22. ei0 = 1.23. ei0 = −1.24. Para cualquier θ ∈ Ê, |eiθ | < 1.25. Para cualquier θ ∈ Ê, |eiθ | > 1.26. Existe θ ∈ Ê tal que |eiθ | = 0.27. Para cualquier θ ∈ Ê, |eiθ | = 1. 151
    • 28. Para cualquier θ ∈ Ê, eiθ = eiθ .29. Para cualquier θ ∈ Ê, eiθ = ei(−θ) .30. El inverso multiplicativo de eiθ es su conjugado.31. Para todo θ, ϕ ∈ Ê, eiθ eiϕ = eiθϕ.32. Para todo θ, ϕ ∈ Ê, eiθ eiϕ = ei(θ+ϕ) .33. Para todo θ, ϕ ∈ Ê, eiθ + eiϕ = eiθϕ .34. Para todo n ∈ y θ ∈ Ê, (eiθ )n = ei(θ+n) .35. Para todo n ∈ y θ ∈ Ê, (eiθ )n = ei(nθ) .36. Para todo n ∈ y θ ∈ Ê, (eiθ )n = neiθ .37. Todo n´ mero complejo z ∈ u , puede escribirse como z = reiθ , para ciertos r ∈ [0, +∞[ y θ ∈ . Ê38. Todo n´ mero complejo z ∈ u , puede escribirse como z = eiθ , para cierto Ê θ∈ .39. Si z = reiθ , entonces arg(z) = iθ.40. Si z = reiθ , entonces arg(z) = r.41. Si z = reiθ , entonces arg(z) = θ.42. La ecuaci´n |z| = r, con z = reiθ no tiene soluci´n en o o .43. Todo z = reiθ ∈ , satisface |z| = r.44. z, w ∈ {0} son iguales si y s´lo si |z| = |w| ∧ (∃k ∈ o ) arg(z) = arg(w) + 2kπ.45. z, w ∈ {0} son iguales si y s´lo si (∃k ∈ o )|z| = |w| + 2kπ ∧ arg(z) = arg(w). π 3π46. 2ei 2 = 2e−i 2 . π π47. 2ei 2 = 2e−i 2 . 152
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Demuestre las siguientes propiedades, propuestas en la tutor´ ıa: (a) ei0 = 1. (b) (∀θ ∈ Ê) |eiθ | = 1. (c) (∀θ ∈ Ê) eiθ = (eiθ )−1 = ei(−θ) . Ê (d) Si n ∈ , n < 0, entonces (∀θ ∈ ) (eiθ )n = einθ (es decir, complete la demostraci´n de la F´rmula de Moivre para n negativo). o o2. Exprese en forma polar los siguientes complejos: √ √ (a) 1 + i 2 (e) (3 + i3)(−3 + i 2) (3 + i3) √ (h) √ (b) 2 − i 3 (−3 + i 2) (f ) (2 + i)(2 − i) (c) 2 − 2i √ √ √ (1 − i 5) (2 + i) (g) √ (i) (d) (1 − i 5)(4 − i 2) (4 − i 2) (2 − i)3. Exprese en forma a + bi los siguientes complejos: π (3ei 8 ) π π π (a) ei 6 (d) (−ei 4 )(2ei 6 ) (g) π π π π (e) (−5ei 2 )(−5ei 2 ) (−4ei 4 ) (b) 3ei 3 π (−5ei 6 ) (c) 5ei 2 π (f ) π (3ei 3 )4. Encuentre el conjunto soluci´n de las siguientes ecuaciones en . Para ello, o e e Ê escriba z = x + iy y resuelva. ¿A qu´ lugar geom´trico en 2 corresponde cada conjunto? i−z (a) | z+2 | = 1 (c) | z+3i | = 2 z−3 2+z (e) | z−3−2i | = 2 2−z 1+z 4i−z (b) | z−1 | = 4 (d) | z+2−4i | = 1 (f ) | z−1+i | = 1 153
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaP1. (a) (20 min.) Demuestre que ∀z1 , z2 ∈ z1 · z2 + z1 · z2 = 2|z1 · z2 | cos φ ¯ ¯ donde φ es el ´ngulo entre los complejos z1 y z2 a (b) (20 min.) Sean, s, u, v complejos que satisfacen la relaci´n s = u − v y φ o es el ´ngulo entre los complejos u y v. Demuestre que a |s|2 = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos φP2. (20 min.) Se define la relaci´n R ⊆ o × por z1 Rz2 ⇔ |z1 | = |z2 | Demuestre que R es relaci´n de equivalencia y determine y grafique la clase o √ de equivalencia del complejo z0 = 2 + i 5P3. (20 min.) Pruebe que ∀n ∈ Æ y ρ ∈ Ê, el complejo z = (1 + ρeiπ/2 )n + (1 − ρeiπ/2 )n ∈ ÊP4. (15 min.) Sea z ∈ , entonces pruebe que |z + i| = |z − i| ⇔ z ∈ ÊP5. (15 min.) Muestre que el conjunto de todos los z ∈ tales que z−2 =2 z+1 es una circunferencia en el plano complejo. Determine su centro y su radio.P6. (15 min.) Expresar de la forma a + bi los siguientes complejos i−1 (1 − i)4 (1 + i)4 , y 1+i+ |1 − i|2 + i n n n nP7. Considere los n´ meros reales S = u cos(k · α) y S = sin(k · α), k k Ê. k=0 k=0 donde α ∈ (a) (30 min.) Probar la igualdad de n´ meros complejos u S + iS = (1 + cos(α) + i sin(α))n (b) (30 min.) Escriba el n´ mero complejo 1 + cos(α) + i sin(α) en forma polar u y deduzca que S = 2n (cos(α/2))n · cos(n · α/2) y S = 2n (cos(α/2))n · sin(n · α/2) (recuerde que: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) y cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α)) 154
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o ´ SEMANA 13: NUMEROS COMPLEJOS Y POLINOMIOS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz12.4. Ra´ ıces de la unidad tambi´n tus e propiasDefinici´n 12.3 (Ra´ n-´sima de la unidad). Sean z ∈ o ız e y n ≥ 2. Diremos anotaciones.que z es una ra´ n-´sima de la unidad si ız e zn = 1Si escribimos en forma polar z = reiθ , entonces (gracias a la f´rmula de Moivre) o z n = rn einθEntonces, para que z sea ra´ n-´sima de la unidad, debe cumplirse ız e rn = 1 ∧ (∃k ∈ ) nθ = 2kπComo r ≥ 0 es un n´ mero real, debe tenerse que r = 1. La condici´n sobre θ es: u o 2kπ (∃k ∈ ) θ = n 2kπObtenemos que todos los complejos de la forma z = ei n son ra´ ıces n-´simas de ela unidad. ¿Cu´ntos n´ meros complejos cumplen esto? Elijamos r ∈ {0, . . . , n − 1} a utal que k ≡n r, es decir que k = r + nl con l ∈ . Entonces 2kπ 2rπ 2rπ 2rπ 2rπ ei n = ei( n +2lπ) = ei n ei 2lπ = ei n · 1 = ei nAs´ todos los posibles valores de θ dados anteriormente definen s´lo n n´ meros ı, o ucomplejos distintos: ´stos son e 2rπ ei n (r = 0, . . . , n − 1)Estos valores son las exactamente n ra´ n-´simas de la unidad. ıces e12.5. Ra´ ıces de un complejo cualquieraDefinici´n 12.4 (Ra´ o ıces de un complejo cualquiera). Sean w ∈ {0} yn ≥ 2. Diremos que z es una ra´z n-´sima de w si ı e zn = wEscribiendo las formas polares z = reiθ y w = Reiφ , entonces debe cumplirse rn einθ = Reiφ √ nComo r ≥ 0 es real, esta vez obtenemos que r = R, y la condici´n se reduce a o einθ = eiφlo que equivale a φ n ei(θ− n ) =1 155
    • φes decir, v = ei(θ− n ) debe ser una ra´ n-´sima de la unidad. As´ existe r ∈ ız e ı,{0, . . . , n − 1} tal que φ 2rπ θ− = n nNuestra condici´n para θ es, finalmente, o φ + 2rπ (∃r ∈ {0, . . . , n − 1}) θ = nConcluimos que w tiene tambi´n exactamente n ra´ n-´simas, las cuales son e ıces e √ φ+2rπ R ei n n (r = 0, . . . , n − 1)Gracias a este an´lisis, sabemos ahora que la ecuaci´n z 2 = −1 posee exactamente a odos soluciones en : las dos ra´ cuadradas de -1. ıcesLa forma polar de -1 es eiπ , por lo que las mencionadas ra´ son ıces π π π ei 2 = cos + i sin = i 2 2 y π+2π 3π 3π ei 2 = cos + i sin = −i 2 2Propiedad 25. Sea n ≥ 2. La suma de las n ra´ces n-´simas de la unidad vale ı ecero. ´Demostracion. Las ra´ n-´simas de la unidad son ıces e 2rπ ei n (r = 0, . . . , n − 1)Su suma es, entonces, n−1 2rπ S= ei n r=0 2rπ 2π rObservamos que ei n = ei n , por lo que n−1 r 2π S= ei n r=0 2πComo n ≥ 2, tenemos que ei n = 1, y as´ ı 2π 0 2π n ei n − ei n 1−1 S= 2π = 2π =0 1− ei n 1 − ei n 156
    • 13. Polinomios13.1. Definici´n o o ÃDefinici´n 13.1 (Polinomio). Sea ( , +, ·) un cuerpo, Êo ´ . Un polinomioes un tipo particular de funci´n de o à en , dado por à p: Ã→ à x → p(x)= a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn n = k=0 ak xkdonde a0 , a1 , a2 , . . . , an son constantes en Ã. Se llaman coeficientes del polinomiop.Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en à se le denota Ã[x].13.2. Igualdad de polinomiosProposici´n 13.1. Sean p, q dos polinomios en o Ã[x]. Se tiene que p y q son iguales ⇐⇒ Sus coeficientes son iguales ´Demostracion. Por doble implicancia. ´⇐) Esta es directa, y queda de ejercicio para el lector.⇒) Supongamos que p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm xmNotemos que podemos suponer que m = n. En efecto, si m < n, entonces podemosescribir q(x) = b0 +b1 x+b2 x2 +. . .+bn xn tomando bm+1 = 0, bm+2 = 0, . . . , bn = 0.Se procede de modo similar si m > n.Debemos demostrar, entonces, que (∀k = 0, . . . , n) ak = bk . Lo haremos siguien-do un argumento de tipo inductivo (similar a la segunda forma del principio deinducci´n): oCaso base k = 0: Sabemos que los polinomios p y q son iguales (como funciones),por lo que p(0) = q(0). Pero p(0) = a0 y q(0) = b0 , con lo que concluimos quea0 = b 0 .Paso inductivo: Sea k ∈ {1, . . . , n}, y supongamos que a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , ak−1 =bk−1 . Debemos demostrar que ak = bk .Como p y q son iguales, entonces para cualquier x ∈ : à a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xnUsando la hip´tesis inductiva, podemos cancelar los primeros k t´rminos a cada o elado, y obtener ak xk + . . . + an xn = bk xk + . . . + bn xnPodemos a ambos lados factorizar xk : xk (ak + . . . + an xn−k ) = xk (bk + . . . + bn xn−k ) 157
    • As´ para todo x ∈ ı, à {0} tenemos ak + . . . + an xn−k = bk + . . . + bn xn−kpues podemos dividir por xk .Recordando que Ã Ê es o ´ , podemos tomar el l´ımite x → 0 a ambos lados de laultima igualdad, y as´ ak = bk .´ ıPor lo tanto, los coeficientes de ambos polinomios son iguales.13.3. Grado de un polinomioDefinici´n 13.2 (Grado de un polinomio). Sea p(x) = a0 + a1 x + . . . + an xn oun polinomio. Diremos que es de grado n si an = 0, en cuyo caso notaremosgr(p) = n.Si p(x) = 0 (el llamado polinomio nulo), diremos que es de grado −∞, y lonotaremos por gr(p) = −∞.Es decir, gr(p) es el k m´s grande posible tal que ak es no nulo. aRespecto de −∞, se usa las siguientes convenciones: para cualquier n ∈ Æ n + (−∞) = −∞ ∧ n > −∞ y adem´s a (−∞) + (−∞) = −∞ Ejemplos: gr(1 + 5x + 18x4 ) = 4 gr(x + 3) = 1 gr(37) = 0 gr(0) = −∞Observaci´n: Los polinomios de grado 0 son exactamente los polinomios con- ostantes (que no dependen de x) p(x) = a0 con a0 = 0.Sea p ∈ Ã[x] un polinomio. Diremos que p es m´nico si o an = 1 donde n = gr(p)es decir, si el coeficiente asociado a la potencia de x m´s grande vale 1. a Ejemplos: Son polinomios m´nicos: o 25 + 32x + x3 5 + x2 x5 + 5x2 − 25 158
    • 13.4. Operaciones entre polinomiosSean p, q ∈ Ã[x] dos polinomios: n n p(x) = ak xk , q(x) = bk xk k=0 k=0(recordar que eventualmente hay que “rellenar”con ceros para que ambos polinomiostengan la misma cantidad de coeficientes)Definimos la suma y multiplicaci´n de polinomios del modo siguiente: oDefinici´n 13.3 (Suma y multiplicaci´n de polinomios). o o El polinomio suma se define como el polinomio formado por la suma de los coeficientes de p y q. n (p + q)(x) = (ak + bk )xk k=0 El polinomio producto tiene una definici´n en apariencia m´s complicada. o a 2n k (p · q)(x) = ai bk−i xk k=0 i=0 Sin embargo, ´sta corresponde a la forma intuitiva de multiplicar distribuyen- e do: (1 − x + 3x2 ) · (x2 − x4 ) = 1(x2 − x4 ) − x(x2 − x4 ) + 3x2 (x2 − x4 ) = x2 − x4 − x3 + x5 + 3x4 − 3x6 = x2 − x3 + 2x4 + x5 − 3x6Estas operaciones cumplen: gr(p + q) ≤ m´x{gr(p), gr(q)} a gr(p · q) = gr(p) + gr(q)Es importante recalcar que en el caso de la suma s´lo tenemos una desigualdad, y ono una igualdad. Un posible ejemplo es considerar p(x) = 1 + 5x + 7x2 y q(x) =2 + 8x − 7x2 . Se tiene que gr(p) = gr(q) = 2, pero gr(p + q) = gr(3 + 13x) = 1.Observemos que la f´rmula para calcular el grado de un producto tambi´n es v´lida o e acuando alguno de los polinomios es el polinomio nulo: en efecto, si p(x) = 0, entonces(p · q)(x) = 0, por lo que gr(0) = gr(p · q) = gr(p) + gr(q) = (−∞) + gr(q)y ambos lados valen −∞.13.5. Estructura de Ã[x] ÃPropiedad 26. ( [x], +, ·) es un anillo conmutativo con unidad, que no poseedivisores de cero. 159
    • ´Demostracion. Esta demostraci´n queda como ejercicio para el lector, aqu´ re- o ıvisaremos s´lo algunas partes. o ÃLa unidad de ( [x], +, ·) es el polinomio constante p(x) = 1. Observemos que loscoeficientes de este polinomio son 1 k=0 ak = 0 k=0As´ si q = b0 + b1 x + . . . + bn xn ∈ ı, Ã[x] es de grado n 2n k (p · q)(x) = ai bk−i xk k=0 i=0 2n k = a0 b k + ai bk−i xk k=0 i=1 2n k = 1 · bk + 0 · bk−i xk k=0 i=1 2n = bk xk k=0Como q es de grado n, entonces bk = 0 para k = n + 1, . . . , 2n. Entonces n (p · q)(x) = bk xk k=0 = q(x)Ã( [x], +, ·) no posee divisores de cero. En efecto, si p, q ∈ Ã[x] son tales que p·q = 0,entonces obtenemos que gr(p) + gr(q) = −∞Dadas las reglas de suma que definimos, al menos uno de los dos grados debe valer−∞, es decir al menos uno de los dos polinomios debe ser igual a cero. Ã ¿Es ( [x], +, ·) cuerpo? ÃVeremos que ( [x], +, ·) es un ejemplo de un anillo conmutativo con unidad sindivisores de cero, que sin embargo no es cuerpo. (¿Qu´ anillos conmutativos con unidad sin divisores de cero s´ son cuerpos?) e ı o ÃProposici´n 13.2. En ( [x], +, ·), los unicos polinomios que poseen inverso son ´las constantes no nulas, es decir los polinomios de grado 0. ´ ÃDemostracion. Sea p ∈ [x] de grado 0. Entonces p(x) = a0 con a0 = 0. Es f´cil 1 aver que p posee inverso, el cual es q(x) = a0 . Ã ÃSea ahora p ∈ [x] tal que posee un inverso q ∈ [x]. Entonces p · q = 1, con loque gr(p) + gr(q) = 0Como el grado de un polinomio es siempre positivo (con la excepci´n de que valga o−∞), debe tenerse en particular que gr(p) = 0. 160
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. z1 + z2 = z1 + z2 . ¯ ¯ 2. |z1 + z2 | ≥ |z1 | + |z2 |. ¯ ¯ 3. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. ¯ ¯ 4. z + z = 2i · Im(z). ¯ 5. z + z = 2Re(z). ¯ 6. z + z = −2Re(z). ¯ 7. z + z = −2Im(z). ¯ 8. z − z = −2Re(z). ¯ 9. z − z = −2i · Im(z). ¯10. z − z = −2Im(z). ¯11. z − z = 2Re(z). ¯12. z1 z2 = z1 z2 . ¯ ¯13. |z1 z2 | = |z1 z2 |.14. |z1 z2 | > |z1 ||z2 |. ¯ ¯15. z∈ Ê ⇔ z = z. ¯16. |z|2 > z z . ¯17. |z| = z z . ¯18. |z|2 = z z . ¯ z¯19. z = 0 ⇒ z −1 = |z|2 .20. i−1 = i.21. i−1 = −i.22. Dados z ∈ , n ≥ 2 tales que z n = 1, decimos que 1 es ra´ n-´sima de z. ız e23. Dados z ∈ , n ≥ 2 tales que z n = 1, decimos que z es ra´ n-´sima de la ız e unidad.24. Existen infinitas ra´ n-´simas de la unidad distintas en ıces e .25. Hay exactamente n + 1 ra´ n-´simas de la unidad en ıces e .26. Hay exactamente n ra´ n-´simas de la unidad en ıces e . √ 6π27. El complejo 5ei 5 es ra´ quinta de la unidad. ız 161
    • 6π28. El complejo ei 5 es ra´ quinta de la unidad. ız 6π29. El complejo ei 5 es ra´ sexta de la unidad. ız ϕ+2rπ30. Las ra´ ıces n-´simas de un complejo ρeiϕ = 0 son de la forma ei e n , para r ∈ {0, . . . , n − 1}. √ i ϕ+2rπ31. Las ra´ıces n-´simas de un complejo ρeiϕ = 0 son de la forma e n ρe n , para r ∈ {0, . . . , n − 1}. ϕ+2rπ32. Las ra´ n-´simas de un complejo ρeiϕ = 0 son de la forma ρei ıces e n , para r ∈ {0, . . . , n − 1}.33. Hay exactamente 2 ra´ n-´simas de un complejo cualquiera w = 0. ıces e34. Hay exactamente n + 1 ra´ n-´simas de un complejo cualquiera w = 0. ıces e35. Hay exactamente n ra´ n-´simas de un complejo cualquiera w = 0. ıces e36. Dado n ≥ 2, la suma de las n ra´ n-´simas de la unidad vale i. ıces e37. Dado n ≥ 2, la suma de las n ra´ n-´simas de la unidad vale cero. ıces e38. Dado n ≥ 2, la suma de las n ra´ n-´simas de la unidad vale 1. ıces e 162
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Calcule las ra´ de z 2 = −i y expr´selas de la forma a + bi. ıces e √ 1+i√32. Exprese en forma a + bi las ra´ cuartas de z0 = ıces 1−i 33. Resuelva las siguientes ecuaciones en z: √ π (a) z 3 = 1 + 2i (d) z 6 = 4 + i 5 (g) z 3 = 8ei 3 √ √ π (b) z 4 = 2 − i 3 (e) z 10 = −5 − i 2 (h) z 6 = 5ei 6 π π (c) z 5 = −3 + 3i (f ) z 4 = 16ei 2 (i) z 7 = 5ei 84. Estudie si se tiene o no la igualdad entre los siguientes polinomios: (a) p(x) = x4 +2x3 +3x2 +4x+5 y q(x) = −4(x4 −1)−2(x3 −x)−(x2 −x)+4x+5 (b) p(x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 y q(x) = (x4 − 1) − (x3 − x) + (x2 − x) − x + 1 (c) p(x) = 4x4 −2x3 +2x2 −2x+1 y q(x) = 3(x4 −1)+0·(x3 −x)+4(x2 −x)−2x+1 (d) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 y q(x) = (x4 − 1) + (x3 − x) + (x2 − x) + x + 2 (e) p(x) = 2x4 −x3 +5x2 +4x+3 y q(x) = 2(x4 −1)−(x3 −x)+3(x2 −x)+4x+3 Ã5. Determine un caso en el que, dados dos polinomios p, q ∈ [x], se tenga que gr(p+q) < m´x{gr(p), gr(q)}. ¿Por qu´ nunca sucede que gr(p·q) < gr(p)+gr(q). a e6. Determine la relaci´n entre el grado del polinomio p o q y los grados de p y q, en los siguientes casos: (a) = +. (b) = −. (c) = ·. (d) En cada caso anterior, pero considerando que los grados de p y q son iguales. 163
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaP1. (20 min.) Sean 1, w1 , w2 , w3 y w4 las raices quintas de la unidad. Demuestre que (1 − w1 )(1 − w2 )(1 − w3 )(1 − w4 ) = 5P2. (20 min.) Demostrar utilizanto las propiedades de las ra´ de la unidad que ıces ∀n ≥ 2 2π 4π 6π 2(n − 1)π cos + cos + cos + ... + cos = −1 n n n n 2π 4π 6π 2(n − 1)π y sen + sen + sen + ... + sen =0 n n n nP3. Se define el grupo abeliano S ⊆ por S = {z ∈ /|z| = 1}. (a) (10 min.) Demuestre que si z es ra´ n-´sima de la unidad (n ≥ 2) y n es ız e divisor de m, entonces z es ra´ m-´sima de la unidad. ız e u Æ (b) (30 min. ) Sea U = {z ∈ | para alg´ n n ∈ , n ≥ 2, z es ra´ n-´sima ız e de la unidad}. Mostrar que (U, ·) es subgrupo del grupo (S, ·). nP4. (30 min.) Dado un polinomio p(x) = k=0 ak xk se define: n L(p)(x) = kak xk−1 k=1 (a) Determine el grado de L(p)(x). (b) Demuestre que si p(x), q(x) son polinomios de grado n y m respectiva- mente, entonces: L(p · q) = L(p) · q + p · L(q) (c) Pruebe por inducci´n sobre n, que si p(x) = (x − d)n , entonces L(p)(x) = o n · (x − d)n−1 . ÊP5. Sea J2 = {p(x) ∈ [x] | gr(p) ≤ 2, a0 = 0, a1 = 0}. En J2 se define la l.c.i. a trav´s de p(x) q(x) = 2 ci xi en que n ci xi = p(q(x)). e i=1 i=0 (a) (20 min.) Probar que (J2 , ) es grupo no abeliano. (b) (20 min.) Sea f : J2 → R {0} tal que f (a1 · x + a2 · x2 ) = a1 . Probar que f es un morfismo sobreyectivo de (J2 , ) en (R {0}, ·). (c) (20 min.) Sea H = {p(x) ∈ J2 | a2 = 1}. Probar que (H, ) es subgrupo abeliano de (J2 , ). 164
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o SEMANA 14: POLINOMIOS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz14. Teorema de la divisi´n o tambi´n tus e propias ÃAl ser ( [x], +, ·) un anillo, ocurre un fen´meno similar al de o : Las divisiones anotaciones.deben considerar un posible resto.Teorema 14.1 (Teorema de la Divisi´n). Sean p, d ∈ o Ã[x] con d = 0. En- Ãtonces existe un unico par q, r ∈ [x] tal que ´ 1. p = q · d + r 2. gr(r) < gr(d)Notaci´n: o La ecuaci´n (1), se llama divisi´n con resto de p por d. o o El polinomio q se llama cuociente. El polinomio r se llama resto. Cuando r(x) = 0, diremos que d divide a p, lo cual notaremos d | p, al igual Æ que en {0}. Es decir, d | p ⇐⇒ (∃q ∈ Ã[x]) p = q · dPara probar este teorema, usaremos un m´todo de divisi´n similar al que conocemos e oen . Lo ejemplificaremos a partir de un ejemplo. Ejemplo: Calculemos la divisi´n entre p(x) = 3x3 + 2x − 2 y q(x) = x − 4. o 3x3 +2x−2 : x−4 = Para obtener el cuociente, debemos preguntarnos por qu´ multiplicar el t´rmino e e de mayor exponente de x − 4 para obtener el de 3x3 + 2x − 2: es decir, por qu´ e multiplicar x para obtener 3x3 . La respuesta es 3x2 . Entonces 3x3 +2x −2 : x −4 = 3x2 −(3x3 −12x2 ) 12x2 +2x −2 El t´rmino 3x3 − 12x2 corresponde a la multiplicaci´n de 3x2 por el divisor x− 4, e o y aparece rest´ndose para calcular el resto parcial correspondiente. El polinomio a 12x2 + 2x − 2 es el resultado de calcular la resta entre el polinomio original y el t´rmino reci´n obtenido. e e El proceso contin´ a iterativamente: x debe ser multiplicado por 12x para obtener u 12x2 , as´ que sumamos 12x al cuociente parcial 3x2 que llev´bamos. ı a 165
    • 3x3 +2x −2 : x−4 = 3x2 +12x −(3x3 −12x2 ) 12x2 +2x −2 −(12x2 −48x) 50x −2 En cada etapa vamos calculando un nuevo resto parcial, y detenemos el proceso cuando este resto tiene grado menor que el de x − 4: 3x3 +2x −2 : x−4 = 3x2 +12x+50 3 2 −(3x −12x ) 12x2 +2x −2 −(12x2 −48x) 50x −2 −(50x−200) 198 Obtenemos as´ que el cuociente de esta divisi´n es q(x) = 3x2 + 12x + 50, y el ı o resto es r(x) = 198. En t´rminos del teorema de la divisi´n, podemos entonces e o escribir 3x3 + 2x − 2 = (x − 4)(3x2 + 12x + 50) + 198. ´ ´Demostracion. (Teorema de la Division) Primero probaremos la existen-cia de q y r.Veamos dos casos posibles: Si gr(d) > gr(p). Basta notar que p = 0 · d + p. De donde q = 0 y r = p, satisfacen las condiciones del Teorema. Si gr(d) ≤ gr(p). Ocupamos el procedimiento de divisi´n ejemplificado ante- o riormente, obteniendo: p = q1 · d + r1 r1 = q2 · d + r2 r2 = q3 · d + r3 . . . rn = qn+1 · d + rn+1 , con gr(rn+1 ) < gr(d). ¿Por qu´ gr(rn+1 ) < gr(d)? Porque el grado de los restos ri disminuye en al e menos 1 en cada etapa y gr(d) ≥ 0 (pues d = 0).Reemplazamos ahora en la primera ecuaci´n, las posteriores: o p = q1 · d + r1 = (q1 + q2 ) · d + r2 = (q1 + q2 + q3 ) · d + r3 . . . = (q1 + q2 + · · · + qn+1 ) · d + rn+1 , con gr(rn+1 ) < gr(d). 166
    • Basta entonces definir q = q1 + q2 + · · · + qn+1 , y r = rn+1 . Estos polinomiossatisfacen el Teorema de la Divisi´n. oComo ejercicio para el lector, queda formalizar esta demostraci´n como una induc- oci´n en el grado de p. oResta ahora probar la unicidad de dichos polinomios. Supongamos que tenemos dosdescomposiciones (y probemos que son la misma): p = q1 · d + r1 = q2 · d + r2 .En donde gr(r1 ) < gr(d) y gr(r2 ) < gr(d).Reagrupando, obtenemos (q1 −q2 )·d = r2 −r1 . Pero como gr(r2 −r1 ) ≤ m´x(gr(r2 ), gr(r1 )) < agr(d), entonces gr(d) > gr((q1 − q2 ) · d) = gr(q1 − q2 ) + gr(d),lo cual s´lo puede ocurrir si gr(q1 − q2 ) = −∞, o sea, si o q1 − q2 = 0 ⇔ q1 = q2 .Como consecuencia, r2 − r1 = 0 · d = 0 y luego r1 = r2 .14.1. Ra´ ıces y factorizaci´n o ÃTeorema 14.2 (Teorema del Resto). Sean p ∈ [x] y c ∈ K. El resto de di-vidir p por el polinomio (x − c) es exactamente p(c). ´Demostracion. Por el teorema anterior, existen unicos q, r ∈ ´ Ã[x] con gr(r) < 1tales que p(x) = q(x)(x − c) + r(x)Como gr(r) < 1, existe r0 ∈ K tal que r(x) = r0 . Evaluando la relaci´n de divisi´n o oantes obtenida en x = c, obtenemos p(c) = q(c) · 0 + r0por lo que el resto vale r0 = p(c). ız). Diremos que c ∈ K es una ra´ del polinomio p ∈Definici´n 14.1 (Ra´ o ız Ã[x]si p(c) = 0.Propiedad 27. c∈ Ã es ra´z de p ı ⇔ (x − c) | p(x) ´Demostracion. ⇒) Sabemos que p(c) es el resto de dividir p por (x − c), es decir Ãexiste q ∈ [x] tal que p(x) = q(x)(x − c) + p(c)Como c es ra´ de p, p(c) = 0, y as´ ız ı p(x) = q(x)(x − c) 167
    • con lo que (x − c) | p(x).⇐) Si (x − c) | p(x), entonces existe q ∈ Ã[x] tal que p(x) = q(x)(x − c)Entonces p(c) = q(c) · 0 = 0.Se tienen las siguientes propiedades:Propiedades 20. 1. Si c1 , c2 , . . . , ck son ra´ces distintas de p, entonces ı (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck ) | p(x) 2. Sea n ≥ 1. Si p ∈ Ã[x] es tal que gr(p) = n, entonces p posee a lo m´s n a ra´ces distintas. ı à 3. Sean n ≥ 1, y p, q ∈ [x] tales que gr(p) ≤ n y gr(q) ≤ n. Si p y q coinciden en n + 1 puntos distintos, entonces son iguales (como polinomios). ´Demostracion. Demostraremos (1) y (2). (3) se obtiene como consecuencia de(2), aplic´ndola al polinomio (p − q). aPara (1): Por inducci´n en k.oEl caso k = 1 est´ demostrado en el teorema anterior. aSean c1 , c2 , . . . , ck ra´ distintas de p. Usando hip´tesis inductiva, sabemos que ıces o (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck−1 ) | p(x)o, equivalentemente, existe q ∈ Ã[x] tal que p(x) = q(x)(x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck−1 )Como ck tambi´n es ra´ de p, e ız 0 = p(ck ) = q(ck )(ck − c1 )(ck − c2 ) . . . (ck − ck−1 )Gracias a que los valores ci son todos distintos, tenemos necesariamente que q(ck ) =0, con lo que concluimos que ck es ra´ del polinomio q. As´ (x − ck ) | q(x), y existe ız ı, Ãq ∈ [x] tal que q(x) = q (x)(x − ck )Reemplazando esto en la descomposici´n de p, nos queda o p(x) = q (x)(x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck )Es decir, (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − ck ) | p(x)Para (2): Sea k el n´ mero de ra´ u ıces distintas que posee p, y sean c1 , . . . , ck estasra´ o à ıces. Aplicando Teorema de la Divisi´n, tenemos que existe q ∈ [x] tal que p(x) = q(x)(x − c1 ) . . . (x − ck )Luego n = gr(p) = gr(q) + gr(x − c1 ) + . . . + gr(x − ck )de donde obtenemos que n = gr(q) + kpues gr(x − ci ) = 1 para i = 1, . . . , k.Como gr(p) = n ≥ 1, entonces p no puede ser el polinomio nulo. As´ q tampoco ı,puede ser el polinomio nulo (razonar por contradicci´n), y por lo tanto gr(q) ≥ 0. oEntonces k = n − gr(q) ≤ n − 0 = nes decir, p posee a lo m´s n ra´ distintas. a ıces 168
    • 14.2. ´ Teorema Fundamental del AlgebraEn la secci´n anterior demostramos un resultado que dice que un polinomio de ogrado n posee a lo m´s n ra´ a ıces distintas, pero deja la posibilidad abierta de quepudiera no tener ra´ ıces. ıces ÊCuando consideramos ra´ en , el caso puede darse. Tan s´lo consideremos o p(x) = 1 + x2 ıces de este polinomio son i y −i, sin embargo ´stas no son reales, sinoLas ra´ ecomplejas. El polinomio p no posee ra´ en . ıces Ê ´El Teorema Fundamental del Algebra da una versi´n general de este caso, general- oizando adem´s el resultado de la secci´n anterior. a o ´Teorema 14.3 (Teorema Fundamental del Algebra). Sea p un polinomio concoeficientes en [x], tal que gr(p) = n ≥ 1. Entonces p posee al menos una ra´z en ı .No demostraremos este teorema, ya que para eso requerimos herramientas m´s aavanzadas. Sin embargo, estudiaremos la siguiente aplicaci´n. o14.3. Factorizaci´n en oProposici´n 14.1. Sea p un polinomio con coeficientes en [x], tal que gr(p) = on ≥ 1. Entonces existen valores α, c1 , . . . , cm ∈ y naturales l1 , . . . , lm ≥ 1 talesque p(x) = α(x − c1 )l1 . . . (x − cm )lm ´ ´Demostracion. Como gr(p) ≥ 1, utilizamos el Teorema Fundamental del Algebrapara encontrar r1 ∈ que es ra´ de p. Entonces podemos escribir ız p(x) = q1 (x)(x − r1 )para alg´ n q1 ∈ [x]. uEl grado de q1 es gr(q1 ) = gr(p)− gr(x− r1 ) = n− 1. Si n− 1 ≥ 1, entonces podemosseguir aplicando el Teorema Fundamental, esta vez a q1 . As´ existe una ra´ r2 ∈ ı, ızde q1 , y podemos escribir p(x) = q2 (x)(x − r1 )(x − r2 )para alg´ n q2 ∈ [x]. uSi continuamos iterando este proceso mientras gr(qi ) ≥ 1, llegamos a una descom-posici´n o p(x) = qn (x)(x − r1 )(x − r2 ) . . . (x − rn )donde r1 , . . . , rn ∈ y qn ∈ [x] es de grado 0. Por lo tanto, qn (x) = α donde αes un valor fijo en .Para terminar de escribir la descomposici´n deseada, notamos que los valores ri no onecesariamente son distintos, as´ que los agrupamos de modo que ı 169
    • El valor c1 ∈ aparece l1 veces. El valor c2 ∈ aparece l2 veces. ... El valor cm ∈ aparece lm veces.As´ ı p(x) = α(x − c1 )l1 . . . (x − cm )lmNotar que si existe una demostraci´n del tipo mencionado, entonces o gr(p) = l1 + . . . + lmQueda como ejercicio para el lector demostrar que el complejo α que aparece en ladescomposici´n de p es exactamente su coeficiente an . o14.4. Acerca de las ra´ ıces complejasProposici´n 14.2. Sea p ∈ o Ê[x], y sea z ∈ una ra´z de p. Entonces, el conju- ıgado z tambi´n es ra´z de p. ¯ e ı ´Demostracion. Escribamos n p(x) = ak xk k=0donde ak ∈ Ê para k = 0, . . . , n.Se tiene que n p(¯) = z ak (¯)k z k=0Observemos que, como ak ∈ Ê, entonces ak = ak , y as´ ı ak (¯)k = ak z k z (k = 0, . . . , n)Reemplazando esta expresi´n, obtenemos o n n p(¯) = z ak z k = ak z k = p(z) k=0 k=0Como z es ra´ de p, entonces p(z) = 0, y as´ p(¯) = ¯ = 0, con lo que z tambi´n es ız ı z 0 ¯ era´ de p. ız14.5. Factorizaci´n en o ÊProposici´n 14.3. Sea p un polinomio con coeficientes en [x], tal que gr(p) = o Ê Ên ≥ 1. Entonces existen valores α, c1 , . . . , cm , a1 , b1 , a2 , b2 . . . as , bs ∈ tales quep(x) = α(x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − cm )(x2 + a1 x + b1 )(x2 + a2 x + b2 ) . . . (x2 + as x + bs ).En donde c1 , . . . , cm son las ra´ces reales de p y x2 + a1 x + b1 , . . . , x2 + as x + bs ıson polinomios sin ra´ces reales (con posible repetici´n). α es el coeficiente an de p. ı o 170
    • ´Demostracion. La demostraci´n se basa en la descomposici´n anterior, salvo que o oconsideramos primero todas las ra´ ıces reales de p (posiblemente repetidas), obte-niendo: p(x) = (x − c1 )(x − c2 ) . . . (x − cm )q(x). ız ÊLuego por cada ra´ compleja z ∈ de p, por la proposici´n anterior (ya que o Êp ∈ [x]) sabemos que z es tambi´n ra´ de p. As´ (x − z)(x − z) divide a p. Pero e ız ı, Êesto no nos sirve para factorizar a p en [x].Sin embargo: (x − z)(x − z) = x2 − (z + z)x + zz = x2 − 2Re(z) · x + |z|2 ∈ Ê[x]. 2Definimos entonces ai = −2Re(z) y bi = |z| , en cada paso (con posible repetici´n). oObtenemos as´ la descomposici´n. ı oQueda como ejercicio para el lector el formalizar esta demostraci´n. o14.6. Algunos resultados ´tiles uPolinomios a coeficientes enteros ÊProposici´n 14.4. Sea p ∈ [x], con coeficientes a0 , . . . , an ∈ . Si o r s ∈ É (seasume que r y s son primos relativos) es una ra´z de p, entonces: ı r|a0 ∧ s|an . ´ rDemostracion. Como s es ra´ de p, luego ız r r n r n−1 r p = an + an−1 + · · · + a1 + a0 = 0 s s s s ⇔ r an rn−1 + an−1 srn−2 + · · · + sn−1 a1 = −a0 sn .De aqu´ r divide a −a0 sn . Sin embargo, como r y s son primos relativos, r y sn ı,tambi´n lo son. Luego necesariamente e r|a0 .Queda propuesto como ejercicio probar que s|an .El siguiente corolario es util para explorar cu´les son las ra´ enteras de un poli- ´ a ıcesnomio m´nico con coeficientes enteros. o ÊCorolario 14.1. Sea p ∈ [x] m´nico, con coeficientes a0 , . . . , an−1 ∈ . Entonces otoda ra´z racional de p es entera y divide a a0 . ı Ejemplo: Consideremos el polinomo (m´nico y con coeficientes enteros) p(x) = x3 + 6x2 − o 3x − 4. Gracias al resultado anterior, sabemos que toda ra´ x ∈ ız É de p, debe ser un entero y ser divisor de a0 = 4. Luego, si x ∈ É es ra´ de p, entonces x ∈ {±1, ±2, ±4}. ız Podr´ ıamos evaluar p en x = 1534 para ver si es ra´ ¿Pero para qu´? ız. e Lo anterior nos dice que eso ser´ tiempo perdido. ıa 171
    • Regla de Ruffini y Algoritmo de HornerA continuaci´n veremos un m´todo para dividir un polinomio p por (x − c), de o emanera r´pida. a 1. Regla de Ruffini Sea p(x) = n k=0 ak xk ∈ Ê[x] y c ∈ Ê. Para dividir p por (x − c), construimos la siguiente tabla para calcular los n´ meros bi , con i ∈ {0, . . . n − 1}: u an an−1 ··· a1 a0 c bn−1 = an En el paso i ≤ 1, multiplicamos bi+1 por c y sumamos el resultado a ai+1 . O sea bi = ai+1 + bi+1 c. an an−1 ··· a1 a0 c bn−1 c ··· b1 c b0 c bn−1 = an bn−2 = an−1 + bn−1 c ··· b 0 = a1 + b 1 c r = a0 + b 0 c Luego, el cuociente de dividir p por (x − c) es: q(x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0 . Adem´s, el ultimo t´rmino calculado en la tabla es el resto de dividir p por a ´ e (x − c): r(x) = r = a0 + b0 c. O sea, p(x) = q(x)(x − c) + r(x). Queda propuesto para el lector probar que el m´todo reci´n presentado fun- e e ciona. 2. Algoritmo de Horner Notemos que gracias al Teorema del Resto, el resto r entregado por la Regla de Ruffini, es la evaluaci´n de p en c. o As´ la Regla de Ruffini puede ser usada para estudiar las ra´ reales de un ı, ıces Ê polinomio en [x]. Este uso es denominado Algoritmo de Horner. Ejemplo: Consideremos el polinomio anterior: p(x) = x3 + 6x2 − 3x − 4 (aunque la Regla de Ruffini no requiere que sea m´nico). o Dividamos p por (x − 1): 1 6 -3 -4 1 1 7 4 1 7 4 0 Es decir p(x) = (x2 + 7x + 4)(x − 1) + 0 y luego x = 1 es ra´ de p. ız 172
    • Sin embargo, al dividir por (x − 2): 1 6 -3 -4 2 2 16 26 1 8 13 22Luego p(x) = (x2 + 8x + 13)(x − 2) + 22 y por lo tanto p(2) = 22 (x = 2no es ra´ de p). ız 173
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Observaci´n: En esta gu´ o ıa, Ã representa al cuerpo Ê ´ o . Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Dos polinomios son iguales si y s´lo si sus coeficientes son iguales. o 2. Dos polinomios son iguales si y s´lo si tienen al menos un coeficiente en o com´ n. u 3. Si dos polinomios tienen un coeficiente distinto, entonces no son iguales. 4. El grado de un polinomio p, es el k m´s grande tal que el coeficiente ak de a p es no nulo. 5. El grado de un polinomio p, es el k m´s peque no tal que el coeficiente ak de a p es nulo. 6. Si dos polinomios tienen grados distintos puede ser iguales. 7. Si dos polinomios son iguales, entonces tienen el mismo grado. 8. El grado de cualquier polinomio constante es 0. 9. El grado de cualquier polinomio constante y no nulo es 0.10. El grado del polinomio nulo es −∞.11. El polinomio p(x) = 1 + x + x2 + x6 es m´nico. o12. El polinomio p(x) = 1 + x + 2x2 + x6 no es m´nico. o13. El polinomio p(x) = 1 + x + 2x2 + x6 es m´nico. o n n n14. Si p(x) = k=0 ak xk y q(x) = k k=0 bk x , entonces (p+q)(x) = k=0 ak bk xk . n n n15. Si p(x) = k=0 ak xk y q(x) = k k=0 bk x , entonces (p + q)(x) = k=0 (ak + bk )xk . n n n16. Si p(x) = k=0 ak xk y q(x) = k k=0 bk x , entonces (p·q)(x) = k=0 ak bk xk . n n17. Si p(x) = k=0 ak xk y q(x) = k k=0 bk x , entonces el k-´simo coeficiente de e k (p · q)(x) es i=0 ai bi . n k n k18. Si p(x) = k=0 ak x y q(x) = k=0 bk x , entonces el k-´simo coeficiente de e k (p · q)(x) es i=0 ai bk−i .19. Al sumar dos polinomios, el grado del polinomio resultante es menor o igual al grado de alguno de los polinomios originales.20. Al sumar dos polinomios, el grado del polinomio resultante es siempre menor al grado de ambos polinomios originales.21. Al sumar dos polinomios, el grado del polinomio resultante es siempre igual al grado de alguno de los polinomios originales. 174
    • 22. Existen pares de polinomios que al ser multiplicados generan un polinomio de grado estrictamente menor que los suyos.23. Dado un polinomio no nulo p(x), el grado del polinomio (p2 )(x) es siempre par.24. Dado un polinomio no nulo p(x), el grado del polinomio (p2 )(x) es siempre impar.25. Ã ( [x], +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.26. Ã La unidad en ( [x], +, ·) es el polinomio nulo.27. La unidad en (Ã[x], +, ·) tiene grado 0.28. (Ã[x], +, ·) no es cuerpo.29. (Ã[x], +, ·) no es cuerpo, pues posee divisores de cero.30. En (Ã[x], +, ·), todo elemento tiene inverso (para ·).31. En (Ã[x], +, ·), todo elemento con grado menor o igual a 0 tiene inverso (para ·).32. Ã En ( [x], +, ·), todo elemento con grado igual a 0 tiene inverso (para ·).33. Si p, d ∈ Ã[x] y d = 0, entonces existen q, r ∈ Ã[x] tales que p = q · d + r.34. Si p, d ∈ Ã[x] y d = 0, entonces existe q ∈ Ã[x] tales que p = q · d.35. Si p, d ∈ Ã[x] y d = 0, entonces existen q, r ∈ Ã[x] tales que p = q · d + r, con gr(d) > gr(r).36. Para cualquier p ∈ Ã[x] y c ∈ Ã, entonces el resto de dividir p por (x − c) es siempre cero.37. Para cualquier p ∈ Ã[x] y c ∈ Ã, entonces el resto de dividir p por (x − c) es p(c) − c.38. Para cualquier p ∈ Ã[x] y c ∈ Ã, entonces el resto de dividir p por (x − c) es p(c).39. c∈ Ã es ra´ de p ∈ Ã[x] si y s´lo si p(c) = c. ız o40. c ∈ Ã es ra´ de p ∈ Ã[x] si y s´lo si p(c) = 0. ız o41. c ∈ Ã es ra´ de p ∈ Ã[x] si y s´lo si el resto de dividir p por (x + c) es cero. ız o42. c ∈ Ã es ra´ de p ∈ Ã[x] si y s´lo si el resto de dividir p por (x − c) es cero. ız o 175
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Dado el polinomio p(x) = x5 − 2x2 + 1, div´ıdalo por los siguientes polinomios d, para obtener p = q · d + r. En cada caso, explicite los polinomios q y r. (a) d(x) = x5 . (b) d(x) = x2 − 2. (c) d(x) = x3 . (d) d(x) = x2 − 3x + 1. (e) d(x) = x − 1. ˜2. Demuestre la siguiente propiedad propuesta en la tutorAa: Sean n ≥ 1, y p, q ∈ Ã [x] tales que gr(p) ≤ n y gr(q) ≤ n. Si p y q coinciden en n+1 puntos distintos, entonces son iguales (como polinomios). Para ello: Æ (a) Pruebe que dado n ∈ , si un polinomio r es tal que gr(r) ≤ n y tiene n + 1 ra´ ıces, entonces r = 0. O sea, r es el polinomio nulo. (b) Concluya la propiedad, considerando el polinomio r = p − q y aplicando lo anterior. Ê[x], pruebe que si n n3. Considere p(x) = ak xk ∈ k=0 ak = 0 entonces x = 1 k=0 es ra´ de p. ız4. Encuentre las ra´ de p(x) = x4 − x3 + 2x2 − 2x. ıces Indicaci´n: Trate de encontrar una ra´ por tanteo y luego use divisi´n. o ız o5. Considere el polinomio p(x) = x5 − 3x3 + x2 + 2x − 4. (a) Encuentre un conjunto A ⊆ , tal que toda ra´ x ∈ ız É de p pertenezca a A. Indicaci´n: Use los resultados para polinomios con coeficientes enteros. o (b) Use el Algoritmo de Horner (Regla de Ruffini), para encontrar todas las ra´ de p en . ıces É Indicaci´n: Le basta buscar en el conjunto A, encontrado en la parte (a). o6. Para cada polinomio p, determine el cuociente y resto de dividir p por (x − 2). ¿Es x = 2 ra´ de estos polinomios? ız (a) p(x) = 2x3 − x2 − x + 1. (b) p(x) = 5x4 + x3 − 3x2 − x + 1. (c) p(x) = x5 − 4x3 + x2 − 3x + 2. (d) p(x) = 3x3 − 5x2 − x − 2. Indicaci´n: Use el Algoritmo de Horner. o 176
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaP1. (30 min.) Sea p(z) = z 3 + az 2 + bz + c un polinomio con ra´ ıces α, β, γ ∈ C. Pruebe que: αβγ = −c, αβ + αγ + βγ = b, α + β + γ = −a y use esto para encontrar las ra´ del polinomio q(z) = z 3 − 11z 2 + 44z − 112 ıces ız Ê sabiendo que tiene una ra´ compleja (i.e en C ) de m´dulo 4. oP2. (30 min.) Sabiendo que la ecuaci´n z 3 − 9z 2 + 33z = 65 admite una soluci´n √ o o Ê C de m´dulo 13, determinar todas las soluciones (en C) de la ecuaci´n. o o u ÆP3. (30 min.) Si n = 3k ± 1 para alg´ n k ∈ , probar, sin usar inducci´n, que o x2n + 1 + (x + 1)2n es divisible por x2 + x + 1.P4. (30 min.) Sea p(x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 xn−1 + xn , con a0 , . . . , an1 ∈ C, tal que p(x) tiene n ra´ıces distintas en C y si z ∈ C es ra´ de p(x), entonces su ız conjugado z tambi´n lo es. Demuestre que a0 , . . . , an−1 ∈ . ¯ e Ê Indicaci´n: Estudie el producto de polinomios (x − z)(x + z ) donde z ∈ C. o ¯P5. (30 min.) Sean p(x) ∈ C[x] , gr(g(x)) ≥ 4, a, b, c ∈ Ê, con b = 0. Se sabe que: El resto de dividir p(x) por (x2 − b2 ) es cx. El resto r(x), de dividir p(x) por (x2 − b2 )(x − a) es un polinomio m´nico, o es decir, el coeficiente asociado a xn , donde n = gr(r(x)), es igual a 1. (a) Determine los valores p(b) y p(−b). (b) Justifique que gr(r(x)) ≤ 2. (c) Determine r(x). 177
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Observaci´n: En esta gu´ o ıa, Ã representa al cuerpo Ê ´ o . Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. ıces distintas del polinomio p, entonces (x − c1 )(x − Si c1 , c2 , . . . , ck son ra´ c2 ) . . . (x − ck ) | p(x). 2. Si c1 , c2 , . . . , ck son ra´ ıces distintas del polinomio p, entonces (x + c1 )(x + c2 ) . . . (x + ck ) | p(x). 3. ıces distintas del polinomio p, entonces (x − c1 )(x − Si c1 , c2 , . . . , ck son ra´ c2 ) . . . (x − ck ) − p(x) es siempre el polinomio nulo. 4. Un polinomio p ∈ Ã[x] de grado n ≥ 1, posee a lo m´s n ra´ distintas. a ıces 5. Un polinomio p ∈ Ã[x] de grado n ≥ 1, posee al menos n + 1 ra´ distintas. ıces 6. Existen polinomios no nulos de grado n ≥ 1, con n + 1 ra´ distintas. ıces 7. Si dos polinomios de grado n ≥ 1 tienen el mismo valor en n + 1 puntos, entonces son iguales. 8. Si dos polinomios de grado n ≥ 1 tienen el mismo valor en n puntos, entonces son iguales. 9. Si un polinomio que tiene grado a lo m´s n ≥ 1, toma el mismo valor en n a puntos, entonces es un polinomio constante.10. Si un polinomio que tiene grado a lo m´s n ≥ 1, toma el mismo valor en a n + 1 puntos, entonces es un polinomio constante.11. ´ El Teorema Fundamental del Algebra se nala que todo polinomio en [x], de grado n ≥ 1, tiene al menos una ra´ en . ız Ê12. ´ El Teorema Fundamental del Algebra se nala que todo polinomio en [x], de grado n ≥ 1, tiene al menos una ra´ en . ız13. ´ El Teorema Fundamental del Algebra se nala que todo polinomio en Ê[x], de grado n ≥ 1, tiene al menos una ra´ en . ız Ê14. Sea p ∈ [x] con grado n ≥ 1, entonces existen c1 , . . . , cm ∈ y l 1 , . . . , lm ≥ 1, tales que p(x) = (x − c1 )l1 (x − c2 )l2 . . . (x − cm )lm .15. Sea p ∈ [x] con grado n ≥ 1, entonces existen α, c1 , . . . , cm ∈ y l1 , . . . , lm ≥ 1, tales que p(x) = α(x − c1 )l1 (x − c2 )l2 . . . (x − cm )lm .16. Sea p ∈ [x] con grado n ≥ 1, entonces existen α, c1 , . . . , cm ∈ y l1 , . . . , lm ≥ 1, tales que p(x) = α(x + c1 )l1 (x + c2 )l2 . . . (x + cm )lm .17. Sea p ∈ [x] con grado n ≥ 1, entonces existen α, c1 , . . . , cm ∈ Ê y l1 , . . . , lm ≥ 1, tales que p(x) = α(x − c1 )l1 (x − c2 )l2 . . . (x − cm )lm .18. Dado un polinomio p ∈ [x], si z ∈ es ra´ de p, entonces z tambi´n lo es. ız e19. Dado un polinomio p ∈ Ê[x], si z ∈ es ra´ de p, entonces z tambi´n lo es. ız e 178
    • 20. Dado un polinomio p ∈ Ê[x], si z ∈ es ra´ de p, entonces −z tambi´n lo ız e es.21. Dado un polinomio p ∈ [x], si z ∈ es ra´ de p, entonces −z tambi´n lo ız e es.22. Existe un polinomio p ∈ Ê[x] de grado 3, con 3 ra´ en ıces Ê.23. No existe un polinomio p ∈ [x] de grado 3, con 3 ra´ en ıces Ê.24. Ê[x] de grado 4, con 4 ra´ en Ê. Existe un polinomio p ∈ ıces25. Existe un polinomio p ∈ Ê[x] de grado n ≥ 1, con exactamente una ra´ en ız Ê.26. Todo polinomio p ∈ Ê[x] de grado n ≥ 1, tiene un n´ mero par de ra´ u ıces en Ê.27. Todo polinomio p ∈ Ê[x] de grado n ≥ 1, tiene un n´ mero impar de ra´ u ıces en Ê.28. Todo polinomio p ∈ Ê[x] tiene al menos una ra´ real. ız29. Todo polinomio p ∈ [x] tiene al menos una ra´ compleja. ız30. Ê Si a0 , . . . , an ∈ , son los coeficientes del polinomio p ∈ [x], entonces el s ız É numerador en la escritura r de toda ra´ x ∈ de p, divide a a0 .31. Ê Si a0 , . . . , an ∈ , son los coeficientes del polinomio p ∈ [x], entonces el s ız É denominador en la escritura r de toda ra´ x ∈ de p, divide a a0 .32. Ê Si a0 , . . . , an ∈ , son los coeficientes del polinomio p ∈ [x], entonces el s ız É denominador en la escritura r de toda ra´ x ∈ de p, divide a an . 133. Existe un polinomio m´nico con coeficientes enteros que tiene a x = o 3 como ra´ ız.34. Las unicas ra´ racionales posibles de un polinomio m´nico con coeficientes ´ ıces o enteros son n´ meros enteros. u 135. x= 2 es ra´ del polinomio p(x) = 17x19 + 5x11 − 3x5 + x − 1. ız36. x = 2 es ra´ del polinomio p(x) = x16 + 5x8 − 3x2 + x − 3. ız 179
    • Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıa ÃP1. (15 min.) Sean F, G, H, R, R ∈ [x] polinomios tales que G, H = 0. Si el resto de dividir F por G · H es R y el resto de dividir R por G es R , determine el resto de dividir F por G.P2. (30 min.) Sea p(x) = x3 + ax2 + bx + c un polinomio con coeficientes en . Ê Sea r(x) el resto de la divisi´n de p(x) por (x − 1). Si r(4) = 0 y x = i es ra´ o ız de p(x), calcule a, b y c.P3. El objetivo de este problema es probar el Teorema de Interpolaci´n. Sea o à cuerpo, n ∈ Æ Ã {0}, x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ , con xj = xk si j = k. Entonces existe un unico polinomio p de grado menor o igual a (n − 1) en [x] ´ à tal que ∀j = 1, . . . , n p(xj ) = yj . Llamemos a este polinomio, polinomio de interpolaci´n de la familia ({xj }n , {yj }n ). o j=1 j=1 (a) (20 min.) Suponiendo la existencia de p(x), demuestre la unicidad. (b) (40 min.) Para cada j = 1, . . . , n definimos: Πn k=1(k=j) (x − xk ) lj (x) = ∈ K[x]. Πn k=1(k=j) (xj − xk ) 1. Determine el grado de lj (x) y pruebe que: 1, j = r lj (xr ) = δjr = ∀j, r = 1, . . . , n. 0, j = r n à 2. Demuestre que p(x) = j=1 yj lj (x) ∈ [x] es polinomio de interpo- laci´n para la familia ({xj }n , {yj }n ). o j=1 j=1 ÊP4. Sea J2 = {p(x) ∈ [x] | gr(p) ≤ 2, a0 = 0, a1 = 0}. En J2 se define la l.c.i. a trav´s de p(x) q(x) = 2 ci xi en que p(q(x)) = n ci xi . e i=1 i=0 (a) (20 min.) Probar que (J2 , ) es grupo no abeliano. Ê (b) (20 min.) Sea f : J2 → {0} tal que f (a1 · x + a2 · x2 ) = a1 . Probar que f es un morfismo sobreyectivo de (J2 , ) en ( {0}, ·). Ê (c) (20 min.) Sea H = {p(x) ∈ J2 | a2 = 1}. Probar que (H, ) es subgrupo abeliano de (J2 , ). 180