Ingenier´ Matem´tica                                    ıa     a               Importante: Visita regularmente            ...
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p       q       p ⇐⇒ q                                 V       V          V                                 V       F     ...
4. Doble negaci´n. p ⇐⇒ p                 o  5. Conmutatividad.     5.1. (p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p)     5.2. (p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p)  6...
Verificaci´n simb´lica y exploratoria         o      oCuando queremos verificar de manera simb´lica que cierta proposici´n e...
Cuantificador universalDefinici´n 1.10 (Cuantificador universal). La proposici´n (∀x)p(x), que se lee         o              ...
Cuantificador existencialDefinici´n 1.11 (Cuantificador existencial). La proposici´n (∃x)p(x), que se          o             ...
Observaci´n: Notemos que ∃! no es un cuantificador nuevo, en el sentido de que           opuede ser definido en funci´n de l...
Tomando estas convenciones la ultima parte del desarrollo anterior queda como                              ´sigue.  Hip´te...
Ingenier´ Matem´tica                      ıa     a              FACULTAD DE CIENCIAS              F´                  ´   ...
24.      La proposici´n (p ∨ q) ∨ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la                      o      proposici´n ...
48.      Si la proposici´n (∀x)(p(x) ∨ q(x)) es verdadera, entonces la proposici´n                        o               ...
Ingenier´ Matem´tica                                    ıa     a                            FACULTAD DE CIENCIAS          ...
(c) p ⇒ (q ∨ r) es falsa.   (d) r ⇔ q es verdadera y (p ∧ q) ⇒ s es falsa   (e) (r ⇒ p) ⇒ (p ∧ q) es verdadera y q es verd...
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P3. Sean las proposiciones r y s siguientes:          r : (∀x)(p(x) ⇒ q)          s : ((∀x)p(x)) ⇒ q     Piense en qu´ dic...
Ingenier´ Matem´tica                                          ıa     a                    Importante: Visita regularmente ...
2.2.    El conjunto vac´                       ıoDefinimos ahora el conjunto vac´ el cual notamos φ, del siguiente modo:   ...
4. A ⊆ A  5. (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇒ A = B  6. (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C  7. φ ⊆ A             ´Demostracion. Demostraremos s´lo l...
C                              A                    B                Figura 2: Diagrama de Venn para tres conjuntos.2.5.  ...
p.d.q: x ∈ BEn efecto:Caso 1. x ∈ A. Como A ⊆ B se tiene que x ∈ B.Caso 2. x ∈ A. Por hip´tesis se tiene que tener x ∈ B. ...
´Demostracion.          Como A ⊆ A se tiene que A ∪ A = A y que A ∩ A = A.       Como φ ⊆ A se tiene que φ ∪ A = A y que φ...
U                   AB                              A                    BFigura 5: Diagrama de Venn, representando la dif...
A∆B                       U                            A                     BFigura 6: Diagrama de Venn, representando la...
Ejemplo:   Suponga que A = {1, 2, 3}. En P(A) est´n todos los subconjuntos de A. O sea,                                   ...
Caso 1: {a} = {x}. Se concluye.Caso 2: {a} = {x}. O sea {a} = {x, y}. En este caso se tiene que tener a = x = y.Demostremo...
Ejemplo:   Proposici´n 2.9. Sean A y B conjuntos. Se tiene que:            o                            A = B ⇐⇒ A × B = B...
Ingenier´ Matem´tica                      ıa     a              FACULTAD DE CIENCIAS              F´                  ´   ...
25.      Dado A = φ conjunto, la proposici´n (∃x)(x ∈ φ ⇒ x ∈ A) es verdadera.                                          o2...
51.      Si A ⊆ A y B ⊆ B, entonces A × A ⊆ B × B.52.      Si A ⊆ A y B ⊆ B, entonces A × B ⊆ A × B.53.      Si A y B son ...
Ingenier´ Matem´tica                                     ıa     a                             FACULTAD DE CIENCIAS        ...
6. Negar las siguientes proposiciones l´gicas:                                       o   (a) (∃x ∈   Ê)(∀y ∈ Ê) x < y   (b...
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3. Un ejemplo importante, que utilizaremos despu´s, es la llamada funci´n                                                 ...
Ejemplo:        Lo m´s grave, sin embargo, es que existen n´ meros reales x a los cuales              a                   ...
Definici´n 3.2 (Igualdad de funciones). Si f : A → B y g : C → D son        ofunciones, entonces                           ...
Este ejemplo nos basta para darnos cuenta de que no siempre el problema que nosplanteamos tiene soluci´n, y en caso de ten...
Algunos ejemplos:  Ejemplos:                                                  Ê Ê          La funci´n q(x) = x2 , definida ...
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  1. 1. Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o ´ SEMANA 1: LOGICA Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz1. L´gica o tambi´n tus e propias anotaciones.La l´gica le proporciona a las matem´ticas un lenguaje claro y un m´todo preciso o a epara demostrar teoremas a partir de axiomas. Por ejemplo: axiomas de Euclides, definiciones, nociones primarias de geometr´ cl´sica ıa a + l´gica o = teoremas de la geometr´ euclidiana ıaUn ejemplo de noci´n primaria es la de punto. Un ejemplo de axioma es el que dice oque por un punto ubicado fuera de una recta L pasa una y s´lo una recta paralela oa L.Sin la l´gica los axiomas ser´ un mont´n de verdades aceptadas, pero nada m´s. o ıan o aLa l´gica, sin embargo, les da sentido y permite concluir nueva verdades (teoremas) oque antes no conoc´ ıamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´ngulos interiores ade cualquier tri´ngulo siempre es de 180◦ . aAl ser la l´gica el punto de partida de las matem´ticas, en ella se deben introducir o anociones primarias tales como proposici´n, valor de verdad, conectivo l´gico. o o1.1. Proposiciones y valor de verdadDefinici´n 1.1 (Proposici´n l´gica). Una proposici´n debe interpretarse como o o o oun enunciado que siempre toma uno de los valores de verdad posibles: verdadero(V ) o falso (F ).Por ejemplo, en el contexto de la aritm´tica, “2+1=5” corresponde efectivamente a euna proposici´n. M´s a´ n, su valor de verdad es F . o a uT´ ıpicamente notaremos a las proposiciones con letras min´ sculas: p, q, r, etc. uAlgunos ejemplos: “Estoy estudiando ingenier´ ıa”. “1≥ 0”. “Est´ lloviendo en Valdivia”. a1.2. Conectivos l´gicos oLos conectivos l´gicos sirven para construir nuevas proposiciones a partir de proposi- ociones ya conocidas. El valor de verdad de la nueva proposici´n depender´ del valor o ade verdad de las proposiciones que la forman. Esta dependencia se explicita a trav´s ede una tabla de verdad.Definici´n 1.2 (Negaci´n). La proposici´n p se lee “no p” y es aquella cuyo valor o o ode verdad es siempre distinto al de p. Por ejemplo, la negaci´n de “mi hermano ya ocumpli´ quince a˜ os” es “mi hermano a´n no cumple quince a˜ os”. Esto se explicita o n u na trav´s de la siguiente tabla de verdad. e 1
  2. 2. p p V F F VDefinici´n 1.3 (O l´gico o disyunci´n). La proposici´n p ∨ q se lee “p o q”. o o o oDecimos que p ∨ q es verdad, o que “se tiene p ∨ q”, cuando al menos una de las dosproposiciones, o bien p o bien q, es verdadera. Por ejemplo, la proposici´n “ma˜ ana o nllover´ o ma˜ ana no llover´” es verdadera. En otras palabras, tal como se aprecia a n aen la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∨ q lo que nos est´ adiciendo es que nunca son simult´neamente falsas. a p q p∨q V V V V F V F V V F F FDefinici´n 1.4 (Y l´gico o conjunci´n). La proposici´n p∧q se lee “p y q”. Tal o o o ocomo se aprecia en la siguiente tabla de verdad, si alguien afirma que se tiene p ∧ q,lo que nos est´ diciendo es que ambas proposiciones son verdaderas. a p q p∧q V V V V F F F V F F F FDefinici´n 1.5 (Implicancia). Todos estaremos de acuerdo en considerar ver- odadera la proposici´n “si el se˜ or K est´ en California entonces el se˜ or K est´ en o n a n aEstados Unidos”. ¿Por qu´? ePorque a uno no le importa d´nde est´ el se˜ or K: podr´a estar en Texas o en Chi- o a n ına. Lo unico importante es que, si efectivamente “est´ en Californa”, entonces ´ apodemos concluir, con esa sola informaci´n, que “est´ en Estados Unidos”. o aLa proposici´n p ⇒ q se lee “p implica q” o “si p entonces q”. Para estudiar su valor ode verdad nos debemos concentrar en el caso de que la hip´tesis p sea verdadera. oAh´ tenemos que determinar si basta con esa informaci´n para concluir que q es ı overdadera. En resumen: si alguien afirma que se tiene p ⇒ q, debemos concluir quesi p es verdad entonces necesariamente q ser´ verdad. Todo esto se explicita a atrav´s de la siguiente tabla. e p q p⇒q V V V V F F F V V F F VDefinici´n 1.6 (Equivalencia). Decimos que la proposici´n p es equivalente con o ola proposici´n q (o que “p si y s´lo si q”), y escribimos p ⇐⇒ q, cuando basta con o oconocer el valor de verdad de una para saber el valor de verdad de la otra ya que´ste siempre es el mismo.ePor ejemplo “el paralel´gramo dibujado en la pared tiene todos sus angulos iguales” o ´es equivalente con la proposici´n “las diagonales del paralel´gramo dibujado en la o opared miden lo mismo”. O bien ambas son verdaderas o bien ambas son falsas. 2
  3. 3. p q p ⇐⇒ q V V V V F F F V F F F V1.3. Tautolog´ ıasDefinici´n 1.7 (Tautolog´ o ıa). Una tautolog´a es una proposici´n que, sin impor- ı otar el valor de verdad de las proposiciones que las constituyen, es siempre verdadera.Tres ejemplos bastante razonables: Ejemplos: p∨p p⇒p∨q (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (q ⇐⇒ p)Demostraremos, desarrollando una tabla de verdad, que la primera proposici´n es otautolog´ ıa. p p p∨p V F V F V VTodas las tautolog´ son equivalentes entre s´ y se pueden reemplazar por la ıas ıproposici´n V . Por ejemplo (p ∨ p) ⇐⇒ V . Esto es an´logo a lo que hacemos o acuando reemplazamos el t´rmino (x − x) por el s´ e ımbolo 0.Definici´n 1.8 (Contradicci´n). As´ como existen las tautolog´as existen las con- o o ı ıtradicciones. Son proposiciones siempre falsas.Por ejemplo, p ∧ p. Son todas equivalentes a la proposici´n F . oVamos a listar una serie de tautolog´ de la forma A ⇐⇒ B. El uso que se les ıasdar´ es el siguiente. Cada vez que en una cierta proposici´n aparezca la expresi´n a o oA, puede reemplazarse por B. Y viceversa. El lector debe demostrar la condici´n ode tautolog´ de algunas de ellas usando tablas de verdad, como ejercicio. ıaProposici´n 1.1 (Tautolog´ importantes). o ıas (p ∧ p) ⇐⇒ F (p ∧ V ) ⇐⇒ p (p ∧ F ) ⇐⇒ F 1. (p ∨ p) ⇐⇒ V (p ∨ V ) ⇐⇒ V (p ∨ F ) ⇐⇒ p 2. Caracterizaci´n de la implicancia. (p ⇒ q) ⇐⇒ (p ∨ q) o 3. Leyes de De Morgan. a (p ∧ q) ⇐⇒ (p ∨ q) b (p ∨ q) ⇐⇒ (p ∧ q) 3
  4. 4. 4. Doble negaci´n. p ⇐⇒ p o 5. Conmutatividad. 5.1. (p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p) 5.2. (p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p) 6. Asociatividad. 6.1. (p ∨ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ r) 6.2. (p ∧ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∧ r) 7. Distributividad. 7.1. (p ∧ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) 7.2. (p ∨ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)) 7.3. ((q ∨ r) ∧ p) ⇐⇒ ((q ∧ p) ∨ (r ∧ p)) 7.4. ((q ∧ r) ∨ p) ⇐⇒ ((q ∨ p) ∧ (r ∨ p))Cuatro tautolog´ muy importantes ıasEstas cuatro tautolog´ se prueban usando tablas de verdad. Son particularmente ıasutiles para demostrar teoremas.´Cada una de ellas da lugar a una t´cnica de demostraci´n: equivalencia dividida en e odos partes, transitividad, contrarrec´ıproca, reducci´n al absurdo. En las partes que osiguen ilustraremos el uso de estas t´cnicas. Ver´s este s´ e a ımbolo cada vez que lohagamos.Proposici´n 1.2. o 1. Equivalencia dividida en dos partes. (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ⇒ q ∧ q ⇒ p) 2. Transitividad. ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) 3. Contrarrec´proca. (p ⇒ q) ⇐⇒ (q ⇒ p) ı 4. Reducci´n al absurdo. (p ⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ q) o 4
  5. 5. Verificaci´n simb´lica y exploratoria o oCuando queremos verificar de manera simb´lica que cierta proposici´n es tautolog´ o o ıaevitaremos usar tablas de verdad y s´lo nos permitiremos usar (como conocidas) olas tautolog´ b´sicas que aparecen en las secciones anteriores. Demostremos de ıas amanera simb´lica entonces que: o (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)En efecto: (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (q ∨ p) ⇐⇒ [(p ∨ q) ∧ q] ∨ [(p ∨ q) ∧ p] ⇐⇒ [(p ∧ q) ∨ (q ∧ q)] ∨ [(p ∧ p) ∨ (q ∧ p)] ⇐⇒ [(p ∧ q) ∨ F ] ∨ [F ∨ (q ∧ p)] ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q)En las demostraciones exploratorias se acepta“explorar”la tabla de verdad deshechan-do los casos ”f´ciles”. Demostremos, exploratoriamente, que la siguiente proposici´n a oes tautolog´ ıa. [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q)] ⇒ (p ⇒ r)Vamos a asumir que tanto (p ⇒ q) como (r ⇒ q) son verdaderas. Es decir, nosocupamos s´lo del caso en que la hip´tesis es verdadera. Lo que debemos hacer o oes concluir que (p ⇒ r) es verdadera.Caso 1. p es falsa. Este caso es f´cil: obviamente se tiene que (p ⇒ r) es verdadera. aCaso 2. p es verdadera. Como asumimos que (p ⇒ q) es verdadera, se tiene quetener q falsa.Como (r ⇒ q) se asume verdadera y como q es falsa, r tiene que ser falsa. Por lotanto, como r es falsa, se tiene que (p ⇒ r) es verdadera.1.4. Funci´n proposicional y cuantificadores oDefinici´n 1.9 (Funci´n proposicional). Una funci´n proposicional p es una o o oexpresi´n descrita en funci´n de alg´n par´metro x que satisface lo siguiente: cada o o u avez que x se reemplaza por una cadena de s´mbolos, p(x) se transforma en una ıproposici´n. o Ejemplos: p(x) = “x es un jugador de f´ tbol” es una funci´n proposicional. Notar que u o p(Marcelo Salas) es verdadera mientras que p(Nicol´s Massu) es falsa. a q(x) = “x−5 ≤ 0”, tambi´n es una funci´n proposicional. q(2) es verdadera, e o pero q(6) es falsa.Observaci´n: En adelante, usaremos p(x) de dos formas distintas: o Para referirnos a la funci´n proposicional misma y mostrar que x es la variable o que reemplazamos por cadenas de s´ ımbolos para obtener proposiciones l´gicas. o Para referirnos, cuando x es algo en particular, a la proposici´n que se forma o de haber hecho el reemplazo en la funci´n proposicional. o 5
  6. 6. Cuantificador universalDefinici´n 1.10 (Cuantificador universal). La proposici´n (∀x)p(x), que se lee o o“para todo x p(x)”, es verdadera siempre y cuando p(x) sea verdadera para cualquiercadena de s´mbolos que se reemplace en x. ıVeamos un ejemplo: Ejemplo: Usando el ejemplo anterior, p(x) = “x es un jugador de f´ tbol”, ¿ser´ u a verdadera (∀x)p(x). Claramente, como vimos que p(Nicol´s Massu) es falsa, no es cierto que a al reemplazar x por cualquier cadena de s´ ımbolos lo resultante sea una proposici´n verdadera. o Luego (∀x)p(x) es falsa.A continuaci´n veamos ejemplos de proposiciones construidas usando el cuantifi- ocador universal y c´mo se verifica la veracidad de dichas proposiciones. o Ejemplo: (∀x)(p(x) ∨ p(x)) es verdadera. Verifiquemos que es verdadera, por pasos. Sea x arbitrario (este es el modo en que se considera el “∀x”). p.d.q (por demostrar que): p(x) ∨ p(x) es verdadera. En efecto: Caso 1. p(x) es verdadera. Como V ∨ p(x) es verdadera, se concluye. Caso 2. p(x) es falsa. En este caso p(x) es verdadera. Como (F ∨V ) ⇐⇒ V , se concluye. (∀x)[p(x) ⇒ (p(x) ∨ q(x))] es verdadera. Demostr´moslo. e Sea x arbitrario Hip´tesis: p(x) es verdadera. o p.d.q: p(x) ∨ q(x) es verdadera. En efecto: como p(x) es verdadera, usamos que V ∨ q(x) es verdadera para concluir. [(∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x)] ⇒ [(∀x)(p(x) ∨ q(x)] es verdadera. Hip´tesis: (∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x) es verdadera o p.d.q: (∀x)(p(x) ∨ q(x)) es verdadera En efecto: sea x arbitrario. Caso 1. p(x) es verdadera. En este caso (p(x) ∨ q(x)) es verdadera. Caso 2. p(x) es falsa. En este caso, por hip´tesis, q(x) tiene que ser o verdadera. Se deduce que (p(x) ∨ q(x)) es verdadera. 6
  7. 7. Cuantificador existencialDefinici´n 1.11 (Cuantificador existencial). La proposici´n (∃x)p(x), que se o olee “existe x, tal que p(x)”, es verdadera cuando se puede encontrar por lo menosuna cadena de s´mbolos que hace p(x) verdadero. ı Ejemplo: Retomando el ejemplo anterior, con p(x) = “x es un jugador de f´ tbol”. u ¿Se tendr´ que (∃x)p(x)?. a Tenemos que hay al menos un x que hace a p(x) verdadera, por ejemplo x = Mat´as Fern´ndez cumple claramente que p(Mat´as Fern´ndez) es ı a ı a verdadera. As´ (∃x)p(x) es verdadera. ı,Relaci´n entre cuantificadores oA continuaci´n veremos la relaci´n que existe entre los dos cuantificadores antes o odefinidos. Dicha relaci´n se debe a la negaci´n. o oResulta que (∃x)p(x) es falsa si y s´lo si p(x) no es verdadera para ninguna cadena ode s´ ımbolos x, es decir, si y s´lo si (∀x)p(x) es verdadera. As´ hemos hallado la o ı,Proposici´n 1.3 (Negaci´n del cuantificador existencial). La siguiente proposi- o oci´n es una tautolog´a o ı (∃x)p(x) ⇐⇒ (∀x)p(x).Existencia y unicidadHay un cuantificador m´s que se utiliza con frecuencia: aDefinici´n 1.12 (Existencia y unicidad). La proposici´n (∃!x)p(x), que se lee o o“existe un unico x tal que p(x)”, es verdadera cuando hay exactamente una cadena ´de s´mbolos hace verdadero p(x). ıUn ejemplo: Ejemplo: Nuevamente, considerando nuestra funci´n proposicional p(x) = “x es un jugador o de f´ tbol”. ¿Cu´l ser´ el valor de verdad de (∃!x)p(x)? u a a Podemos notar que tanto x1 = Marcelo Salas y x2 = Mat´as Fern´ndez hacen ı a que p(x) sea verdadera. Es decir, si bien existe un x que hace a p(x) verdadera, no es unico. ´ As´ (∃!x)p(x) es falsa. ı, 7
  8. 8. Observaci´n: Notemos que ∃! no es un cuantificador nuevo, en el sentido de que opuede ser definido en funci´n de los dos cuantificadores anteriores. Es decir la sigu- oiente proposici´n es verdadera. o (∃!x)p(x) ⇐⇒ [(∃x)p(x)] ∧ [(∀x)(∀y)((p(x) ∧ p(y)) ⇒ (x = y))] Existencia Unicidad Ejemplo importante: Equivalencia dividida en dos partes Veremos ahora una t´cnica de demostraci´n que se basa en una de las tautolog´ e o ıas importantes que vimos antes. Supongamos que queremos demostrar que (∀x)(p(x) ∧ q(x)) ⇐⇒ [(∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x)] p q es verdadera. Lo que haremos es usar la Tautolog´ 1, ıa (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)). ´ En donde el rol de p y q est´ descrito arriba. Esta nos permite dividir la de- a mostraci´n en dos partes, ya que en lugar de verificar que (p ⇐⇒ q) es ver- o dadera, podemos verificar que (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) es verdadera. Esto, a su vez lo hacemos verificando que (p ⇒ q) es verdadera y luego que (q ⇒ p) tambi´n lo es. e ⇒) Hip´tesis: (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. o p.d.q: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera. En efecto: Sea x arbitrario. Por hip´tesis se tiene tanto p(x) como q(x) son ver- o daderas. En particular p(x) lo es. Es decir, probamos que (∀x)p(x) es verdadera. An´logamente se tiene que tambi´n (∀x)q(x) es verdadera. a e ⇐) Hip´tesis: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera. o p.d.q: (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. En efecto: Sea x0 arbitrario. Como por hip´tesis (∀x)p(x)) es verdadera se o tiene que p(x0 ) es verdadera. Como por hip´tesis (∀x)q(x) es verdadera se o tiene q(x0 ) tambi´n lo es. eObservaci´n: Convenciones en el desarrollo de un argumento En la demostraci´n o oanterior la expresi´n “... es verdadera ...” aparece una gran cantidad de veces. Por oejemplo en Hip´tesis: (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. o p.d.q: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) es verdadera.Esto no siempre es necesario pues se subentiende que al decir que la hip´tesis es p oestamos asumiendo que p es verdadera.Del mismo modo, si declaramos que queremos demostrar q se subentiende quedeseamos demostrar que q es verdadera.Tambi´n es posible que despu´s de un razonamiento lleguemos a la conclusi´n que r e e oes verdadera. Esto suele indicarse con expresiones del tipo “se tiene r” o “y entoncesr”. 8
  9. 9. Tomando estas convenciones la ultima parte del desarrollo anterior queda como ´sigue. Hip´tesis: (∀x)p(x) ∧ (∀x)q(x) o p.d.q: (∀x)(p(x) ∧ q(x))En efecto: Sea x0 arbitrario. Como por hip´tesis (∀x)p(x), se tiene p(x0 ). Como opor hip´tesis (∀x)q(x), se tiene q(x0 ). o 9
  10. 10. Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. “25-11” no corresponde a una proposici´n l´gica. o o 2. “¿Podr´s venir ma nana?” es una proposici´n l´gica. a o o 3. “x − 11” corresponde a una proposici´n l´gica, si se reemplaza x por un o o n´ mero. u 4. “25 − 11 ≤ 0” corresponde a una proposici´n l´gica. o o 5. El valor de verdad de la proposici´n p es siempre distinto al de p. o ¯ 6. Existen proposiciones l´gicas p tales que p tiene el mismo valor de verdad o ¯ que el de p. 7. Si p es falsa, entonces la proposici´n p ∨ q es siempre falsa. o 8. La proposici´n p∨q es verdadera cuando p y q no son simult´neamente falsas. o a 9. La proposici´n p ∨ q es verdadera cuando al menos una de las proposiciones o p ´ q es verdadera. o10. La proposici´n p ∧ q es falsa s´lo si p y q son falsas. o o11. Existe una proposici´n l´gica p tal que p∧q es siempre verdadera, sin importar o o el valor de verdad de q.12. Basta que p sea falsa, para que la proposici´n p ∧ q sea siempre falsa. o13. Si una proposici´n compuesta es tautolog´a, sin importar el valor de verdad o ı de las proposiciones que la constituyen, es verdadera.14. Dada una proposici´n compuesta p, si existe una asignaci´n de valores de o o verdad para las proposiciones que la constituyen que la haga verdadera, entonces p es una tautolog´a. ı15. Una tautolog´ cualquiera q, es siempre equivalente a la proposici´n p ⇒ p. ıa o16. El valor de verdad de la proposici´n p ∨ p es siempre el mismo, sin importar o ¯ el valor de verdad de p.17. Existe un valor de verdad para p, tal que la proposici´n p ∨ p es falsa. o ¯18. El valor de verdad de la proposici´n (p ∧ q ) ∨ (p ⇒ q) puede ser falso. o ¯19. La negaci´n de la proposici´n p ∨ q es p ∨ q. o o ¯ ¯20. La negaci´n de la proposici´n p ∨ q es p ∧ q. o o ¯ ¯21. La negaci´n de la proposici´n p ∨ q es p ∨ q . o o ¯ ¯22. La proposici´n (p ∨ q) ∨ r es equivalente a la proposici´n (p ∨ r) ∨ (q ∨ r). o o23. La proposici´n (p ∨ q) ∨ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la o proposici´n (r ∨ q) ∨ p. o 10
  11. 11. 24. La proposici´n (p ∨ q) ∨ r siempre tiene el mismo valor de verdad que la o proposici´n (p ∨ r) ∧ (q ∨ r). o25. La proposici´n (p ∧ q) ∨ p es verdadera s´lo cuando q es verdadera. o o26. La proposici´n (p ∧ q) ∨ p es verdadera si p es verdadera. o27. Si la proposici´n (p ∧ q) ∨ p es falsa, necesariamente q es falsa. o28. La proposici´n p ⇒ F es siempre falsa. o29. La proposici´n p ⇒ p es siempre falsa. o ¯30. La proposici´n p ⇒ q es siempre verdadera si el valor de verdad de p es falso. o31. Si la proposici´n p ⇒ q es verdadera y p tambi´n lo es, necesariamente q es o e verdadera.32. Si la proposici´n p ⇒ (q ⇒ r) es verdadera y p tambi´n lo es, necesariamente o e r es verdadera.33. Si la proposici´n (p ⇒ q) ⇒ r es falsa y p es verdadera, necesariamente q es o verdadera.34. La proposici´n p ⇔ V tiene siempre el mismo valor de verdad que p. o35. La proposici´n p ⇔ F es equivalente a la proposici´n p ∨ F . o o ¯36. La proposici´n (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q) es una tautolog´ o ıa.37. Si la proposici´n ((r ⇒ p) ∧ (p ⇒ q)) es verdadera, la proposici´n r ⇒ q o o tambi´n lo es. e38. La proposici´n ((¯ ⇒ p) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (¯ ⇒ p) es una tautolog´ o q ¯ r ¯ ıa.39. La proposici´n (p ⇒ q) ⇔ (¯ ⇒ q ) es tautolog´ o p ¯ ıa.40. La negaci´n de la proposici´n p ⇒ q es (p ∧ q ). o o ¯41. La negaci´n de la proposici´n p ⇒ q es p ⇒ q. o o ¯ ¯42. La proposici´n cuantificada (∀x)p(x) es verdadera si p(x) es verdadera para o cualquier elemento por el que se reemplace x.43. Si la proposici´n (∀x)p(x) es verdadera, entonces la proposici´n (∃x)p(x) es o o tambi´n verdadera. e44. Si q(x) es una funci´n proposicional y x0 es tal que q(x0 ) es verdadera, o entonces la proposici´n cuantificada (∃x)q(x) es verdadera. o45. Es siempre cierto que si la proposici´n (∃x)p(x) es verdadera, entonces la o proposici´n (∃!x)p(x) es verdadera. o46. Si p(x) es una funci´n proposicional y x0 es tal que p(x0 ) es falsa, entonces o la proposici´n cuantificada (∀x)p(x) es falsa. o47. Si las proposiciones (∀x)p(x) y (∀x)q(x) son verdaderas, entonces la proposi- ci´n (∀x)(p(x) ∧ q(x)) es verdadera. o 11
  12. 12. 48. Si la proposici´n (∀x)(p(x) ∨ q(x)) es verdadera, entonces la proposici´n o o (∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x) es verdadera.49. Si la proposici´n (∀x)p(x) ∨ (∀x)q(x) es verdadera, entonces la proposici´n o o (∀x)(p(x) ∨ q(x)) es verdadera.50. La negaci´n de la proposici´n (∃!)p(x) es ((∀x)p(x)) ∨ ((∃x)(∃y)(x = y ⇒ o o (p(x) ∨ p(y))). 12
  13. 13. Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Demuestre usando tablas de verdad que las siguientes proposiciones vistas en la tutor´ son tautolog´ ıa, ıas: (a) (p ∨ p) ⇔ V . (b) (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q). (c) (p ∨ q) ⇔ p ∧ q. (d) ((q ∨ r) ∧ p) ⇔ (q ∧ p) ∨ (r ∧ p).2. Escriba las siguientes proposiciones l´gicas, de manera equivalente, s´lo usando o o los conectivos l´gicos de implicancia (⇒) y negaci´n (¯): o o (a) p ∨ q (b) p ∧ (q ∨ r) (c) ((p ∧ q) ⇒ r) ⇔ (r ∧ q) (d) (p ∧ q) ∧ (p ∨ r)3. Se define el conectivo l´gico p|q ⇔ p ∨ q. Escriba usando s´lo el conectivo |, o o proposiciones equivalentes a las siguientes: (a) p (b) p ∨ q (c) p ∧ q (d) p ⇒ q4. Sean p, q, r proposiciones l´gicas. Demostrar usando tablas de verdad que las o siguientes proposiciones son tautolog´ıas: (a) p ⇒ (p ∨ q) (b) (p ⇔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) (c) [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)] ⇒ (p ⇔ r) (d) (p ⇔ q) ⇔ (p ⇔ q) (e) [p ∧ q ⇒ p] ⇒ (p ⇒ q)5. Sean p, q, r proposiciones l´gicas. Demostrar sin usar tablas de verdad que las o siguientes proposiciones son tautolog´ıas: (a) [(p ⇒ q) ∧ (r ∨ q) ∧ r] ⇒ p (b) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q (c) [(p ∧ q) ⇒ p] ⇒ (p ⇒ q) (d) (p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ∧ r ⇒ q) (e) (p ∧ q) ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ⇔ q)]6. En cada caso, con la informaci´n entregada, determine el valor de verdad de la o proposici´n r: o (a) r ⇒ q es falsa. (b) q ⇒ r es falsa. 13
  14. 14. (c) p ⇒ (q ∨ r) es falsa. (d) r ⇔ q es verdadera y (p ∧ q) ⇒ s es falsa (e) (r ⇒ p) ⇒ (p ∧ q) es verdadera y q es verdadera.7. Sean p(x), q(x) funciones proposicionales. Determinar la negaci´n de las sigu- o ientes proposiciones cuantificadas: (a) (∃x)(∀y)(p(x) ∧ q(y)) (b) (∀x)(∀y)(p(x) ⇒ q(y)) (c) (∃!x)p(x) (d) (∀x)[q(x) ⇒ (∃y)p(y)] (e) (∃x)(∃y)(p(x) ⇔ q(y)) 14
  15. 15. Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones.P1. Sean p, q, r proposiciones. Probar sin usar tablas de verdad que la proposici´n o presentada en cada item es una tautolog´ Trate de aprovechar la forma que ıa. tiene cada proposici´n, usualmente el hecho de que sea una implicancia. o (a) (20 min.) (p ∨ q ⇔ p ∧ r) ⇒ ((q ⇒ p) ∧ (p ⇒ r)). (b) (20 min.) (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r). (c) (20 min.) (p ⇒ q) ⇒ [(q ∧ r) ⇒ (p ∧ r)]. (d) (20 min.) [(p ⇒ q) ∧ (r ∨ q) ∧ r] ⇒ p.P2. En esta parte, dada una hip´tesis (una proposici´n que se sabe es verdadera), o o deber´ estudiar el valor de verdad de otra proposici´n. a o (a) (20 min.) Sean p, q, r proposiciones. Averiguar si la equivalencia p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ r) ∧ q puede ser verdadera sin que lo sea la implicancia p ⇒ q. Es decir, use la informaci´n de la hip´tesis para sacar conclusiones de los o o valores de verdad de las proposiciones involucradas. (b) (25 min.) Determine el valor de verdad de las proposiciones p, q, r y s si se sabe que la siguiente proposici´n es verdadera. o [s ⇒ (r ∨ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ∧ s ∧ r]. (c) (25 min.) Sean p, q, r, s proposiciones que satisfacen que la siguiente proposi- ci´n es verdadera: o (q es verdadera) ∧ [(p ∧ q) no es equivalente con (r ⇔ s)]. Demuestre que el valor de verdad de la proposici´n: o [(p ∧ r) ∨ (q ⇒ s)] ⇒ [p ∨ (r ∧ s)] es verdadero para todas las combinaciones de valores veritativos que cumplen la hip´tesis. o 15
  16. 16. P3. Sean las proposiciones r y s siguientes: r : (∀x)(p(x) ⇒ q) s : ((∀x)p(x)) ⇒ q Piense en qu´ dice cada una en t´rminos intuitivos y cu´l es la diferencia entre e e a ambas. (a) (10 min.) Niegue ambas proposiciones, r y s. (b) (20 min.) De las dos implicancias, (r ⇒ s) y (s ⇒ r) determine la que corresponde a una tautolog´ Justifique su elecci´n. ıa. o 16
  17. 17. Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o SEMANA 2: CONJUNTOS Usa este margen para consultar m´s r´pido el a a material. Haz2. Conjuntos tambi´n tus e propias anotaciones.2.1. Introducci´n oLa teor´ de conjuntos gira en torno a la funci´n proposicional x ∈ A. Los valores ıa oque hacen verdadera la funci´n proposicional x ∈ A son aquellos elementos que oforman el conjunto A.La funci´n proposicional “x ∈ A” se lee ”x pertenece a A”. Su negaci´n, que se o odenota x ∈ A, se lee “x no pertenece a A”. / Ejemplo: Si queremos que el conjunto A sea el de los n´ meros primos menores que 10 u entonces tendr´ ıamos que definirlo formalmente as´ ı: (∀x)[(x ∈ A) ⇐⇒ (x = 2 ∨ x = 3 ∨ x = 5 ∨ x = 7)].Los conjuntos finitos son f´ciles de definir. De hecho, acabamos de mostrar c´mo a ose define el conjunto que se se denota por extensi´n A = {2, 3, 5, 7}. oLa axiom´tica de la teor´ de conjuntos (que aqu´ no se estudiar´) permite asumir a ıa ı ala existencia de un conjunto infinito muy importante: el de los naturales = Æ{0, 1, 2, 3, . . .}.Algunos ejemplos de conjuntosEn matem´ticas se construyen nuevos conjuntos a partir de conjuntos ya conocidos. aSupongamos que ya conocemos el conjunto A. Podemos introducir, B = {x ∈A|p(x)}. Lo que en el fondo estamos definiendo es la funci´n proposicional x ∈ B oas´ ı: (∀x)[(x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ p(x))]Por ejemplo, el conjunto de m´ ltiplos de 7 es el conjunto {x ∈ u Æ|( x ) ∈ Æ}. 7Otros ejemplos de conjuntos, con los cuales el lector ya debe estar familiarizado: Ejemplos: 1. Los reales Ê. 2. Los enteros . 3. Los racionales É = {x ∈ Ê | (∃p)(∃q)(p ∈ ∧q ∈ ∧ q = 0 ∧ x = p )}. q 4. Los irracionales Éc = {x ∈ Ê | x ∈ É}. / 5. Los naturales Æ = {0, 1, 2, 3, . . . }. + 6. Los enteros positivos = {1, 2, 3, 4, . . . } 17
  18. 18. 2.2. El conjunto vac´ ıoDefinimos ahora el conjunto vac´ el cual notamos φ, del siguiente modo: ıo,Definici´n 2.1 (Conjunto vac´ o ıo). φ = {x ∈ Æ|x = x}.Notar que φ no tiene ning´ n elemento. Es decir (∀x)(x ∈ φ). u /En efecto, sea x arbitrario. (x ∈ φ) ⇐⇒ ((x ∈ Æ) ∧ (x = x)) ⇐⇒ ((x ∈ Æ) ∧ F ) ⇐⇒ F2.3. Igualdad e inclusi´n oSean A y B conjuntos. Definimos la igualdad y la inclusi´n como sigue. oDefinici´n 2.2 (Igualdad e inclusi´n). o o A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) A ⊆ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)Una primera propiedad que probaremos es:Proposici´n 2.1. Sean A y B conjuntos. Se tiene que: o A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A ´Demostracion. Vamos a usar la identidad l´gica ya demostrada anteriormente: o(∀x)(p(x) ∧ q(x)) ⇐⇒ [(∀x)p(x)) ∧ (∀x)p(x)]. A=B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) ⇐⇒ (∀x)[(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)] ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A) ⇐⇒ A⊆B∧B ⊆AOtras propiedades importantes:Proposici´n 2.2. Sean A, B, C conjuntos arbitrarios. Se tiene: o 1. A = A 2. A = B ⇐⇒ B = A 3. (A = B ∧ B = C) ⇒ A = C 18
  19. 19. 4. A ⊆ A 5. (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇒ A = B 6. (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C 7. φ ⊆ A ´Demostracion. Demostraremos s´lo la propiedad 6. oHip´tesis: o(a) (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)(b) (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ C)p.d.q: (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ C)En efecto: Sea x arbitrario. Asumamos que x ∈ A. Por (a) se tiene que x ∈ B. Por(b) se tiene que x ∈ C.2.4. Uni´n de conjuntos oOperando conjuntos conocidos se pueden definir nuevos conjuntos.Sean A y B con-juntos.La uni´n de A con B, que se denota A ∪ B, es el conjunto que re´ ne a los elementos o uque est´n en A con aquellos que est´n en B. Formalmente: a aDefinici´n 2.3 (Uni´n). o o (∀x)[(x ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B)] A∪B A BFigura 1: Diagrama de Venn, representando la uni´n entre A y B (´rea achurada). o aObservaci´n: Diagramas de Venn Un Diagrama de Venn, como el presentado en ola diapositiva anterior, es una ilustraci´n que muestra la relaci´n matem´tica o o o al´gica entre conjuntos. oFueron introducidos por el fil´sofo y matem´tico brit´nico John Venn (1834-1923) o a ael a˜ o 1881. nLos diagramas de Venn cumplen el rol de ayudarnos a desarrollar una intuici´n ofrente al concepto de conjunto y a las relaciones entre estos.Sin embargo no podemos usarlos para demostrar propiedades, ni para sacar con-clusiones generales (que se apliquen a todo conjunto). 19
  20. 20. C A B Figura 2: Diagrama de Venn para tres conjuntos.2.5. Intersecci´n de conjuntos oLa intersecci´n de A con B, que se denota A ∩ B, es el conjunto formado por los oelementos que est´n tanto en A como en B. Formalmente: aDefinici´n 2.4. Intersecci´n o o (∀x)[(x ∈ A ∩ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B)] A A∩B BFigura 3: Diagrama de Venn, representando la intersecci´n entre A y B (´rea achu- o arada).Una primera propiedad:Proposici´n 2.3. Sean A, B conjuntos tales que A ⊆ B. Entonces A ∪ B = B y oA ∩ B = A. ´Demostracion. Probaremos s´lo la primera. o⊆)Sea x arbitrario tal que x ∈ A ∪ B. Es decir,Hip´tesis: x ∈ A ∨ x ∈ B. o 20
  21. 21. p.d.q: x ∈ BEn efecto:Caso 1. x ∈ A. Como A ⊆ B se tiene que x ∈ B.Caso 2. x ∈ A. Por hip´tesis se tiene que tener x ∈ B. / o⊇)Sea x arbitrario tal que x ∈ B. Obviamente x ∈ A ∪ B.Proposici´n 2.4. Sean A, B, C conjuntos, se tiene: o 1. Conmutatividades 1.1 A ∪ B = B ∪ A. 1.2 A ∩ B = B ∩ A. 2. Asociatividades 2.1 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. 2.2 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. 3. Distributividades 3.1 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 3.2 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 4. 4.1 A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B. 4.2 A ∩ B ⊆ B ⊆ A ∪ B. ´Demostracion. Notar que las propiedades (1), (2) y (3), son consecuencias direc-tas de las propiedades an´logas para ∧ y ∨. Queda como ejercicio realizar dichas ademostraciones.2.6. Conjunto universoAsumiremos la existencia de un universo (conjunto referencia) U en el que viventodos los elementos con los que se va a trabajar. Es decir, U es tal que la proposici´n oa ∈ U es siempre verdadera.Con esto, podemos concluir de lo anterior el siguiente:Corolario 2.1. Sean A, B conjuntos y sea U el conjunto universo. 1. A ∪ A = A 2. A ∩ A = A 3. A ∪ φ = A 4. A ∩ φ = φ 5. A ∪ U = U 6. A ∩ U = A 21
  22. 22. ´Demostracion. Como A ⊆ A se tiene que A ∪ A = A y que A ∩ A = A. Como φ ⊆ A se tiene que φ ∪ A = A y que φ ∩ A = φ. Como A ⊆ U se tiene que A ∪ U = U y que A ∩ U = A.Observaci´n: El conjunto universo es un conjunto de referencia, es decir habr´ o a Êveces que tomaremos U = , u otras U = , etc.2.7. Diferencia y complementoSupongamos que tenemos un conjunto de referencia U (conjunto universo). Quer-emos definir el complemento de un conjunto A, que notaremos Ac , como aquelformado por todos los elementos que no est´n en A. Formalmente: aDefinici´n 2.5 (Conjunto complemento). o (∀x)(x ∈ Ac ⇐⇒ x ∈ U ∧ x ∈ A) /O sea, (∀x)(x ∈ Ac ⇐⇒ x ∈ A). / Ac U A BFigura 4: Diagrama de Venn, representando el complemento de A (´rea achurada). a Ejemplo: Si vivi´semos en el mundo de los n´ meros enteros e u (conjunto universo) entonces consideremos A = {x ∈ | x es par}. Obviamente Ac = {x ∈ | x es impar}.Definimos adem´s la diferencia entre A y B, que notamos A B, como el conjunto aformado por los elementos que est´n en A y que no est´n en B. Formalmente: a aDefinici´n 2.6 (Diferencia). o A B = A ∩ Bc.Algunas propiedades: 22
  23. 23. U AB A BFigura 5: Diagrama de Venn, representando la diferencia entre A y B (´rea achu- arada).Proposici´n 2.5. Sean A y B conjuntos. o 1. Leyes de De Morgan 1.1. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c 1.2. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c 2. (A ⊆ B) ⇐⇒ (B c ⊆ Ac ) 3. (Ac )c = A 4. A ∪ Ac = U 5. A ∩ Ac = φ ´Demostracion. Demostraremos la primera. Sea x arbitrario. x ∈ (A ∪ B)c ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇐⇒ (x ∈ Ac ) ∧ (x ∈ B c ) ⇐⇒ x ∈ (Ac ∩ B c )2.8. Diferencia sim´trica eUn elemento x se dice que pertenece a la diferencia sim´trica entre A y B, que se edenota A∆B, si y solamente si x est´ en A pero no en B, o bien en B pero no en aA.Formalmente:Definici´n 2.7. Diferencia sim´trica o e A∆B = (A B) ∪ (B A)Obviamente, algunas propiedades: 23
  24. 24. A∆B U A BFigura 6: Diagrama de Venn, representando la diferencia sim´trica entre A y B e(´rea achurada). aProposici´n 2.6. Sean A, B, C conjuntos. o 1. A∆B = (A ∪ B) (A ∩ B) 2. A∆B = B∆A 3. (A∆B)∆C = A∆(B∆C) 4. A∆A = φ 5. A∆φ = A 6. (A ∩ (B∆C)) = (A ∩ B)∆(A ∩ C) ´Demostracion. Demostraremos la primera. A∆B = (A B) ∪ (B A) = (A ∩ B c ) ∪ (B ∩ Ac ) = [(A ∩ B c ) ∪ B] ∩ [(A ∩ B c ) ∪ Ac ] = [(A ∪ B) ∩ (B c ∪ B)] ∩ [(A ∪ Ac ) ∩ (B c ∪ Ac )] = [(A ∪ B) ∩ U ] ∩ [U ∩ (B c ∪ Ac )] = (A ∪ B) ∩ (B c ∪ Ac ) = (A ∪ B) ∩ (B ∩ A)c = (A ∪ B) (A ∩ B).2.9. Conjunto potenciaSea A un conjunto. Llamamos conjunto potencia de A, y notamos P(A), al conjuntode todos los subconjuntos de A. P(A) tambi´n se conoce como el “conjunto de las epartes de A”. Formalmente:Definici´n 2.8 (Conjunto potencia). o (∀X)(X ∈ P(A) ⇐⇒ X ⊆ A)Note que siempre φ ∈ P(A) y A ∈ P(A).Veamos dos ejemplos. 24
  25. 25. Ejemplo: Suponga que A = {1, 2, 3}. En P(A) est´n todos los subconjuntos de A. O sea, a P(A) = {φ, {1}, {2}{3}, {1, 2}{1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Suponga ahora que A = φ. ¿Cu´les son los subconjuntos de φ? a Solamente el mismo φ. Luego P(φ) = {φ}. Note que φ = {φ} pues el primer conjunto no tiene ning´ n elemento mientras que el segundo tiene un elemento. u En efecto: φ ∈ {φ}. Calculemos ahora P(P(φ)) = P({φ}). Obviamente, un conjunto de un solo elemento tiene solamente como subconjuntos los triviales: al vac´ y a ´l mismo. O sea P({φ}) = {φ, {φ}}. El lector debe ser ıo e capaz ahora de calcular P(P(P(φ))). Note que este proceso puede no detenerse nunca. ¡Y lo que estamos generando es una infinidad de conjuntos! Ejemplo importante: Transitividad A continuaci´n veremos otra t´cnica de demostraci´n. Supongamos que quere- o e o mos demostrar que p ⇒ r. Lo que hacemos es demostrarlo por pasos. Primero demostramos p ⇒ q1 . Despu´s q1 ⇒ q2 . Despu´s q2 ⇒ q3 . Seguimos as´ e e ı hasta que finalmente demostremos qn ⇒ r. Podemos concluir que p ⇒ r usando impl´ıcitamente la Tautolog´ 2 ıa [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) Apliquemos esta t´cnica para demostrar que para A, B, C conjuntos cualesquiera e se tiene: (A∆B = A∆C) ⇒ B = C En efecto, A∆B = A∆C ⇒ A∆(A∆B) = A∆(A∆C) ⇒ (A∆A)∆B = (A∆A)∆C ⇒ φ∆B = φ∆C ⇒ B = C.2.10. Pares OrdenadosNotemos que los conjuntos {a, b} y {b, a} son id´nticos. En efecto, ambos contienen ea los mismos elementos. Quisi´ramos introducir un objeto que distinga el orden de elos elementos.La soluci´n no es muy dif´ o ıcil. Basta con definir los pares ordenados as´ (a, b) = ı:{{a}, {a, b}}. La propiedad fundamental de los pares ordenados es la siguiente.Proposici´n 2.7. Para todo a, b, x, y se tiene: o (a, b) = (x, y) ⇐⇒ a = x ∧ b = y ´Demostracion. ⇐) Directo.⇒)Demostremos primero que a = x.En efecto, como {{a}, {a, b}} = {{x}, {x, y}} se tiene que {a} ∈ {{x}, {x, y}}. 25
  26. 26. Caso 1: {a} = {x}. Se concluye.Caso 2: {a} = {x}. O sea {a} = {x, y}. En este caso se tiene que tener a = x = y.Demostremos ahora que b = y.En efecto, como ya sabemos que a = x la hip´tesis nos dice que {{a}, {a, b}} = o{{a}, {a, y}}.Caso 1: Si a = b, luego {a} = {a, y}, de donde y = a = b .Caso 2: Si a = b, se tendr´ que {a, b} = {a, y}. Luego b ∈ {a, y}. aPero como a = b, luego b = y.2.11. Producto cartesianoSean A, B conjuntos. Se define el producto cartesiano de A con B, que se denotaA × B, del siguiente modo:Definici´n 2.9 (Producto cartesiano). o (∀x, y) [(x, y) ∈ A × B ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B] Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {3, 6}. Se tiene que A × B = {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 3), (3, 6)}Algunas propiedades del producto cartesiano:Proposici´n 2.8. Sean A, A , B, B , C, D conjuntos. o 1. A ⊆ A ∧ B ⊆ B ⇒ A × B ⊆ A × B 2. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) ´Demostracion. Demostraremos s´lo la primera. Sea (x, y) ∈ A × B . Por defini- oci´n x ∈ A y tambi´n y ∈ B . o eComo A ⊆ A y B ⊆ B se tiene que x ∈ A y adem´s y ∈ B. O sea (x, y) ∈ A × B. a Ejemplo importante: Reducci´n al absurdo o Veremos otra t´cnica de demostraci´n m´s. Supongamos que queremos de- e o a mostrar que la proposici´n r es verdadera. Lo que se hace es asumir que r o es falsa y llegar a una contradicci´n. ¡¡En otras palabras, lo que se prueba o es que en el mundo en que vivimos r no puede ser verdadera!! Si r es una implicancia del tipo p ⇒ q entonces, en una demostraci´n por el o ıamos que asumir (para llegar a una contradicci´n) es p ⇒ q. absurdo, lo que tendr´ o O sea, p ∧ q. Notemos que estamos usando la Tautolog´ 4: p ⇒ q ⇐⇒ p ∧ q. ıaVeamos, a modo de ejemplo, la siguiente propiedad. 26
  27. 27. Ejemplo: Proposici´n 2.9. Sean A y B conjuntos. Se tiene que: o A = B ⇐⇒ A × B = B × A ´ Demostracion. ⇒) Directa. ⇐) Reducci´n al absurdo. o Supongamos que A × B = B × A y que al mismo tiempo A = B. Como A = B podemos asumir, sin p´rdida de generalidad, la existencia de un x ∈ A tal que e x ∈ B (si esto no ocurriese tendr´ que existir un x ∈ B tal que x ∈ A y la / ıa / situaci´n ser´ sim´trica). o ıa e Sea y ∈ B. Se tiene luego que (x, y) ∈ A× B pero (x, y) ∈ B × A. Esto contradice / el hecho de que A × B = B × A.2.12. Cuantificando sobre conjuntosDado un conjunto A y una funci´n proposicional p(x), podemos escribir cuantifi- ocadores en los que s´lo nos interese ver lo que ocurre a los elementos de A. Tenemos oas´ las proposiciones: ıDefinici´n 2.10 (Proposiciones cuantificadas sobre conjuntos). o 1. (∀x ∈ A)p(x), que significa que p(x) deber ser cierto para todos los elementos del conjunto A. Notar que esta proposici´n es equivalente a (∀x)(x ∈ A ⇒ p(x)). o 2. (∃x ∈ A)p(x), que significa que hay al menos un elemento x de A que hace cierto p(x). Notar que esto equivale a (∃x)(x ∈ A ∧ p(x)). 3. (∃!x ∈ A)p(x), que significa que hay exactamente un elemento de x de A que hace verdadero p(x). Aqu´ hay dos ideas simult´neas: Existe al menos un x ∈ A que satisface p(x) ı a (existencia), y que es exactamente uno (unicidad). Claramente esto equivale a (∃!x)(x ∈ A ∧ p(x)).El lector puede f´cilmente verificar que estos cuantificadores se niegan de la manera ausual:Proposici´n 2.10. o (∀x ∈ A)p(x) ⇐⇒ (∃x ∈ A)p(x). (∃x ∈ A)p(x) ⇐⇒ (∀x ∈ A)p(x). (∃!x ∈ A)p(x) ⇐⇒ [((∀x ∈ A)p(x)) ∨ ((∃x, y ∈ A)(p(x) ∧ p(y) ∧ x = y))]. 27
  28. 28. Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ B´sica ıa a Determinar la veracidad de las siguientes afirmaciones: 1. Una definici´n formal del conjunto A = {1, 2, 3} es (∀x)[(x ∈ A) ⇔ (x = o 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3)]. 2. Una definici´n formal del conjunto A = {1, 2, 3} es (∀x)[(x ∈ A) ⇔ (x = o 1 ∧ x = 2 ∧ x = 3)]. 3. Dado el conjunto B = {x ∈ A|p(x)}, la proposici´n x ∈ B est´ definida por o a (∀x)[(x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ∨ p(x))]. 4. Dado el conjunto B = {x ∈ A|p(x)}, la proposici´n x ∈ B est´ definida por o a (∀x)[(x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ∧ p(x))]. 5. Dado el conjunto B = {x ∈ A|p(x)}, la proposici´n x ∈ B est´ definida por o a (∀x)[(x ∈ B) ⇔ (x ∈ A ⇒ p(x))]. 6. Dado un conjunto A = Æ, se tiene que φ = {x ∈ Æ|x = x} = {x ∈ A|x = x}. 7. Dado un conjunto A, es cierto que φ = {x ∈ A|x = x}. 8. La siguiente proposici´n l´gica es falsa: (∃!x)(x ∈ φ). o o 9. La siguiente proposici´n l´gica es verdadera: (∀x)(x ∈ φ). o o /10. La siguiente proposici´n l´gica es falsa: (∃x)(x ∈ φ). o o /11. Dos conjuntos A y B, son iguales si (∃x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)12. Dos conjuntos A y B, son iguales si (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)13. Dos conjuntos A y B, son iguales si (∀x)(x ∈ A ∧ x ∈ B)14. Un conjunto A est´ incluido en un conjunto B si (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A). a15. Un conjunto A est´ incluido en un conjunto B si (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A). a / /16. Un conjunto A est´ incluido en un conjunto B si (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B). a17. Dados A, B conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ A, no necesariamente se tiene que A = B.18. Dados A, B conjuntos se tiene que A = B ⇔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).19. Dados A, B conjuntos, se tiene que A = B ⇔ (A ⊆ B ∨ B ⊆ A).20. Dados A, B, C conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces B = A ´ B = C. o21. Dados A, B, C conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces B = A = C.22. Dados A, B, C conjuntos, si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.23. Para cualquier conjunto A, se tiene que φ ⊆ A.24. Dado un conjunto A, se tiene que {φ} ⊆ A. 28
  29. 29. 25. Dado A = φ conjunto, la proposici´n (∃x)(x ∈ φ ⇒ x ∈ A) es verdadera. o26. La uni´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)].27. La uni´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)].28. Dados A y B conjuntos, un elemento x que satisface (x ∈ A) ∧ (x ∈ B), / pertenece a A ∪ B.29. Para que A ∪ B = A, el conjunto B debe ser vac´ ıo.30. La intersecci´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)].31. La intersecci´n entre los conjuntos A y B, se define formalmente como: o (∀x)[(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)].32. Sean A, B conjuntos. Como A ∩ B ⊆ A, basta que un elemento x pertenezca a A, para que x ∈ A ∩ B sea verdadera.33. El conjunto universo U se define de manera que la proposici´n x ∈ U es o siempre veradera para los elementos de inter´s. e34. Dado un universo U y un conjunto A ⊆ U , luego Ac = U A.35. Dado un conjunto A, se tiene que A ∩ U = A.36. Dado un conjunto A, se tiene que A ∩ Ac = U .37. Para cualquier par de conjuntos A y B, se tiene que Ac ∪ B c = U .38. Si dos conjuntos A y B satisfacen que A ⊆ B luego Ac ⊆ B c .39. Existen conjuntos A y B para los cuales A ⊆ B c ∧ Ac ⊆ B.40. Si dos conjuntos A y B satisfacen que A ⊆ B luego B c ⊆ Ac .41. El complemento del conjunto A ∪ B c es Ac ∩ B.42. El complemento del conjunto A ∪ B c es B c ∩ Ac .43. El complemento del conjunto A ∩ B c es B ∪ Ac .44. Dados A, B conjuntos, se tiene que A∆B = (A ∪ B) (A ∩ B).45. Dados A, B conjuntos, se tiene que A∆B ⊆ A.46. Dados A, B conjuntos, se tiene que A∆B = (A ∪ B) (A ∩ B) = Ac ∆B c .47. Dado un conjunto A, siempre es cierto que A ∈ P(A).48. Dados A, B conjuntos, se tiene P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B).49. Se tiene que P(φ) = P({φ}).50. Se tiene que P(φ) = {φ}. 29
  30. 30. 51. Si A ⊆ A y B ⊆ B, entonces A × A ⊆ B × B.52. Si A ⊆ A y B ⊆ B, entonces A × B ⊆ A × B.53. Si A y B son conjuntos tales que A × B = B × A, entonces necesariamente A = B.54. La negaci´n de la proposici´n l´gica (∀x ∈ A)p(x) es (∃x ∈ A)p(x). o o o55. La negaci´n de la proposici´n l´gica (∀x ∈ A)p(x) es (∃x ∈ Ac )p(x). o o o56. La negaci´n de la proposici´n l´gica (∃x ∈ A)p(x) es (∀x ∈ Ac )p(x). o o o 30
  31. 31. Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Ejercicios ıa1. Demuestre las siguientes propiedades dejadas como ejercicio en las tutor´ ıas: (a) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c (b) (A ⊆ B) ⇔ (B c ⊆ Ac ) (c) (Ac )c = A (d) (A∆B)∆C = A∆(B∆C) (e) A∆φ = A (f ) A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C)2. Sean A, B, C ⊆ U conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra de conjuntos a para probar las siguientes igualdades: (a) (A C) ∪ (B C) = (A ∪ B) C (b) (A B) ∩ (A C) = A (B ∪ C) (c) (A C) (B C) = (A B) C (d) [A (B A)] ∪ [(B A) A] = A ∪ B (e) (A ∩ B) (A ∩ C) = (A ∩ B) (Ac ∪ C)3. Sean A, B, C ⊆ U conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra de conjuntos a para probar las siguientes proposiciones: (a) A ⊆ B ⊆ C ⇒ C (B A) = A ∪ (C B). (b) B = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B) ⇔ A = φ (c) A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B) (d) (A ∪ B = A ∩ B) ⇒ (B ⊆ A ∧ A ⊆ C) (e) (A ∩ C = φ) ⇒ (A B) C = A (B C)4. Dado el conjunto A = {a, b}, determine los siguentes conjuntos (justifique su respuesta, indicando c´mo esta depende de qu´ son a y b): o e (a) P(A) (b) P(P(A)) (c) A ∩ P(A) (d) P(A) ∩ P(φ) (e) (A × A) ∩ P(P(A)) Hint: Recuerde la definici´n de par ordenado dada en las tutor´ o ıas.5. Sean A, B ⊆ U conjuntos. Colocar el signo de inclusi´n, igualdad o ninguno de o ellos, seg´ n corresponda entre los conjuntos siguientes (justifique su respuesta): u (a) A ∩ B B (b) Ac BA (c) P(A ∪ B) P(A) ∪ P(B) (d) P(A ∩ B) P(A) ∩ P(B) (e) P(U A) P(U ) P(A) 31
  32. 32. 6. Negar las siguientes proposiciones l´gicas: o (a) (∃x ∈ Ê)(∀y ∈ Ê) x < y (b) (∀x ∈ Ê)(∀y ∈ Ê) x ≥ y (c) (∃x ∈ Ê)(∀y ∈ Ê)(x > 1 ∧ y ≤ 1) (d) (∀ε ∈ Ê+ )(∃n0 ∈ Æ)(∀n > n0 )|an | < ε7. Dar ejemplos de conjuntos A, B, C tales que: (a) A × B = B × A (b) A × (B × C) = (A × B) × C (c) A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C) (d) (A × B)c = Ac × B c (Considere un universo apropiado) (e) (A = B) ∧ (A × C = B × C) 32
  33. 33. Ingenier´ Matem´tica ıa a FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 10-1 o Gu´ de Problemas ıaLa presente gu´ le permitir´ tener una idea bastante precisa del tipo de proble- ıa amas que debe ser capaz de resolver en una evaluaci´n y el tiempo promedio que odeber´ demorar en resolverlos. En total deber´ poder resolverla en 3 horas. Le ıa ıarecomendamos que trabaje en ella una hora antes de la clase de trabajo dirigido,que resuelva sus dudas en la clase de trabajo dirigido y que luego dedique una horaa escribir con detalles las soluciones.P1. Sean A, B, C, D conjuntos. Emplear los teoremas del ´lgebra de conjuntos para a probar que (a) (1) (10 min.) (B A) ⊆ C ⇔ C c ⊆ (B c ∪ A). (2) (30 min.) (B A) ⊆ C ⇒ (D C) ⊆ (D B) ∪ A. Hint: Use lo anterior. (b) (20 min.) A ∪ B = A ∩ C ⇔ B ⊆ A ∧ A ⊆ C.P2. (35 min.) Sean A, B subconjuntos de un mismo universo U . Denotamos C = (A ∪ B)c . Probar que (A∆B)∆C = A ∪ B ∪ C ⇔ A ∩ B = φ.P3. (20 min.) Sea U un conjunto no vac´ y A ⊆ U . Pruebe que si ıo (∀X, Y ∈ P(U ))(A ∪ X = A ∪ Y ⇒ X = Y ), entonces A = φ.P4. (a) (20 min.) Sean A, B subconjuntos de un mismo universo U . Probar que A ∩ B = φ ⇔ P(A) ∩ P(B) = {φ}. (b) (40 min.) Sea la ley de operaci´n entre conjuntos definida por A B = o Ac ∩ B c . Considere un universo U y F ⊆ P(U ) un conjunto no vac´ tal ıo que ∀A, B ∈ F, A B ∈ F. Si A, B ∈ F demuestre que: (1) Ac ∈ F (2) A ∩ B ∈ F (3) A ∪ B ∈ F (4) A∆B ∈ F (5) φ ∈ F ∧ U ∈ F. 33
  34. 34. Ingenier´ Matem´tica ıa a Importante: Visita regularmente FACULTAD DE CIENCIAS http://www.dim.uchile.cl/~docencia/algebra F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE para mantenerte al tanto de las novedades del curso. ´ Introducci´n al Algebra 10-1 oUsa este margen SEMANA 3: FUNCIONES para consultar m´s r´pido el a a material. Haz tambi´n tus e propias 3. Funciones anotaciones. 3.1. Introducci´n o Ya que conocemos el producto cartesiano A × B entre dos conjuntos A y B, pode- mos definir entre ellos alg´ n tipo de correspondencia. Es decir, asociar de alg´ n u u modo elementos de A con elementos de B. Una de las posibles formas de hacer esto es mediante una funci´n. Formalmente: o Definici´n 3.1 (Funci´n). Llamaremos funci´n de A en B a cualquier f ⊆ A×B o o o tal que (∀a ∈ A)(∃!b ∈ B) (a, b) ∈ f Usaremos la notaci´n f : A → B si es que f es una funci´n de A en B. o o Podemos entender una funci´n como una regla de asociaci´n que, dado un elemento o o cualquiera de A, le asigna un unico elemento de B. Gracias a esto, si f es funci´n ´ o y (a, b) ∈ f , entonces podemos usar la notaci´n b = f (a). O sea, llamamos f (a) al o (´ nico) elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . u Ejemplo: Æ Æ Consideremos f = {(n, p) ∈ × |p = 2n}. Esta f resulta ser una funci´n de o Æ Æ en , pues el unico valor que estamos asociando a cada natural n es el natural ´ p = 2n. Desde ahora, pensaremos en las funciones simplemente como reglas de asociaci´n o entre dos conjuntos. As´ la funci´n f que definimos en el p´rrafo anterior pode- ı, o a mos describirla como “f : Æ → Æ es la funci´n dada por f (n) = 2n para cada n ∈ Æ” o 3.2. Ejemplos de funciones Veamos otras funciones: Ejemplos: 1. Sea f : Ê → Ê dada por f (x) = x2 para cada x ∈ Ê. f es una funci´n, pues a cada x ∈ Ê le asociamos el n´ mero real x2 = x · x. o u Este valor es unico pues la multiplicaci´n de x por s´ mismo posee un solo ´ o ı resultado. 2. Sea g : → Ê Ê dada por g(x) = p, donde p es el mayor n´mero entero tal u que p ≤ x. Aunque a´ n no tenemos las herramientas para demostrar que g es efectiva- u mente una funci´n, intuitivamente sabemos que lo es: a cada n´ mero real o u x le asociamos el n´ mero entero m´s cercano que tenga, que sea menor o u a igual que ´l. Por ejemplo g(11/2) = 5; g(3) = 3 y g(−3/2) = −2. e 34
  35. 35. 3. Un ejemplo importante, que utilizaremos despu´s, es la llamada funci´n e o ´ identidad de un conjunto A. Esta es la funci´n idA : A → A, que se o define por idA (x) = x para cada x ∈ A. 4. Cuando tenemos conjuntos A y B que tienen pocos elementos, podemos definir una funci´n f : A → B mediante un diagrama de flechas, como en o el ejemplo de la figura. Aqu´ lo importante para que f sea efectivamente ı, una funci´n, es que desde cada elemento de A debe partir una unica flecha o ´ hacia alg´ n elemento de B. u Figura 7: Una funci´n definida mediante diagrama de flechas. o 5. En una tienda, cada producto tiene asociado un unico precio. As´ podemos ´ ı, Æ definir la funci´n v : X → , donde denotamos por X el conjunto de o productos que la tienda dispone, y v(x) es el precio en pesos del producto x. e o Æ Tambi´n podemos considerar la funci´n s : X → , donde s(x) es la cantidad de unidades disponibles (el stock) del producto x.A pesar de que conocemos la definici´n de qu´ significa ser funci´n, hay que tener o e oun m´ ınimo de cuidado. Hay objetos que parecen funciones, pero no lo son. Veamosel siguiente ejemplo: Ejemplo: Ê Ê Considere el conjunto de puntos f = {(x, y) ∈ × : x2 + y 2 = 1}. Hay dos Ê razones que impiden que f constituya una funci´n de en : o Ê El valor f (x) no est´ definido para todos los n´ meros reales x. A modo de a u ejemplo, f (2) debiera ser el n´ mero real y que cumple que 22 +y 2 = 1, pero u esto equivale a decir que y 2 = −3, lo cual es falso para cualquier y ∈ . Ê Por lo tanto, f no est´ asociando ning´ n n´ mero real al real x = 2. a u u De la misma forma, se puede demostrar que f (x) no est´ definido para a Ê cualquier x ∈ que cumpla x < −1 ∨ x > 1. 35
  36. 36. Ejemplo: Lo m´s grave, sin embargo, es que existen n´ meros reales x a los cuales a u f les est´ asociando m´s de un valor y: en efecto, basta notar que para a a 5 −4 Ê x = 3 , hay dos valores de y ∈ que cumplen x2 + y 2 = 1: ´stos son y1 = 5 e 4 e y2 = 5 . De la misma forma, se demuestra que f est´ asociando dos valores distintos a a todos los reales x que cumplen −1 < x < 1. Figura 8: Este diagrama no define una funci´n. o3.3. Igualdad de funcionesSupongamos que f : A → B es una funci´n. Al conjunto A le llamaremos dominio ode f , o conjunto de partida de f , y lo denotaremos Dom(f ).De igual modo, al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada de f , y lodenotaremos Rec(f ).Sean f, g : A → B dos funciones. Una forma de definir igualdad entre funcioneses comparar los resultados que ellas dan cuando se les entrega cada uno de loselementos de A. Es decir, definir f = g ⇐⇒ (∀a ∈ A)f (a) = g(a) ¿Qu´ definici´n de igualdad podemos usar cuando f : A → B y g : C → D? e oNotemos que nuestra definici´n anterior s´lo tiene sentido cuando A = C, es decir o ocuando Dom(f ) = Dom(g).¿Tendr´ sentido preguntarse si son iguales dos funciones que no parten del mismo aconjunto? O sea, no s´lo la definici´n de los valores de la funci´n es relevante para o o oque haya igualdad, sino que tambi´n importa cu´les son los dominios y los conjuntos e ade llegada de las dos funciones.As´ nuestra definici´n de igualdad para cualquier par de funciones ser´ la siguiente: ı, o a 36
  37. 37. Definici´n 3.2 (Igualdad de funciones). Si f : A → B y g : C → D son ofunciones, entonces   Dom(f ) = Dom(g)   ∧   f = g ⇐⇒   Rec(f ) = Rec(g)    ∧  (∀x ∈ Dom(f ))f (x) = g(x) Ejemplo: [¿son iguales estas funciones?] Consideremos la funciones f y g dadas por (x − 1)(x + 2) f (x) = g(x) = (x + 2) (x − 1) Aunque a primera vista ambas funciones nos parecen iguales, esto no es as´ ı. Primero debemos notar que nuestra definici´n de f y g no ha sido todo lo rigurosa o que debiera. ¿Cu´les son el dominio y el conjunto de llegada de f y g? a o a Ê g es una funci´n que est´ bien definida para cualquier elemento de , por lo que Ê podemos considerar Dom(g) = . Asimismo, tenemos que Rec(g) = . Ê Para f , sin embargo, observamos que el valor f (x) no est´ bien definido para a x = 1: en efecto, no se puede dividir por cero. En ese caso, vemos que no Ê puede ser el dominio de f . S´ podr´ serlo {1}. ı ıa Ê Para el conjunto de llegada el an´lisis puede ser m´s sencillo, y consideraremos a a Ê Rec(f ) = tambi´n (como ejercicio para el lector, puede mostrar que tambi´n e e Ê se puede considerar Rec(f ) = {3}). Hemos concluido que Dom(f ) = Dom(g), as´ que ambas funciones ya no pueden ı ser iguales. Si nos empe˜ amos en querer compararlas, podemos hacer lo siguiente: n Ê ver a g como si fuera una funci´n solamente definida de {1} en . o Ê Es decir, nos olvidamos que g tambi´n puede ser evaluada en x = 1. En tal caso, e Ê Dom(f ) = {1} = Dom(g), y adem´s Rec(f ) = a Ê = Rec(g). As´ s´lo falta ı, o ver que las evaluaciones de f y g coinciden. Sea x ∈ {1}: Ê (x − 1)(x + 2) f (x) = = (x + 2) = g(x) (x − 1) Esta vez s´ podemos realizar la simplificaci´n del factor (x − 1) porque estamos ı o suponiendo que x = 1. As´ en este contexto, las funciones f y g son iguales. ı,3.4. Funciones y resoluci´n de ecuaciones oConsideremos el siguiente problema: Dada una funci´n f : A → B, y un elemento oy ∈ B, queremos encontrar un x ∈ A tal que y = f (x). Ê ÊTomemos el ejemplo de la funci´n q : → , q(x) = x2 . Notemos que: o Si y < 0, entonces no existe x ∈ Ê tal que y = x2 . Si y = 0, entonces hay una unica soluci´n: x = 0. ´ o √ √ Si y > 0, entonces hay dos soluciones: x1 = y y x2 = − y. 37
  38. 38. Este ejemplo nos basta para darnos cuenta de que no siempre el problema que nosplanteamos tiene soluci´n, y en caso de tenerla, puede tener m´s de una. o aEn lo siguiente revisaremos propiedades que nos ayudar´n a conocer cu´ndo este a aproblema que nos planteamos, para una funci´n f : A → B dada, posee soluciones opara cualquier y ∈ B, y si estas soluciones son unicas. ´3.5. InyectividadUna primera definici´n importante: oDefinici´n 3.3 (Inyectividad). Sea f : A → B una funci´n. Diremos que f es o oinyectiva si se cumple que (∀x1 , x2 ∈ A) [x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )]O, equivalentemente, si se cumple que (∀x1 , x2 ∈ A) [f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ] Ejemplos: Observemos que, entonces, la funci´n q(x) = x2 , definida de o Ê en Ê, no es inyectiva pues, tomando x1 = −1 y x2 = 1, se tiene que x1 = x2 ∧ f (x1 ) = f (x2 ) Un ejemplo de funci´n que s´ es inyectiva es el de la funci´n l : o ı o Ê→Ê dada por l(x) = ax + b con a = 0: Supongamos que existen un par de elementos x1 , x2 ∈ Ê tales que l(x1 ) = l(x2 ) Podemos, entonces, despejar del modo siguiente: ax1 + b = ax2 + b ax1 = ax2 x1 = x2 El ultimo paso lo obtenemos dividiendo por a, lo cual es v´lido pues ´ a sabemos que a = 0. O sea, probamos que (∀x1 , x2 ∈ Ê) l(x1 ) = l(x2 ) ⇒ x1 = x2 es decir, que l es inyectiva.3.6. SobreyectividadDefinici´n 3.4 (Sobreyectividad). Sea f : A → B una funci´n. Diremos que f o oes sobreyectiva si se cumple que (∀y ∈ B)(∃x ∈ A) y = f (x) 38
  39. 39. Algunos ejemplos: Ejemplos: Ê Ê La funci´n q(x) = x2 , definida de en , no es sobreyectiva pues para el o real y = −1 no existe ning´ n real x tal que −1 = x2 . u Observemos, tambi´n, que la funci´n l : e o Ê → Ê que hab´ ıamos definido anteriormente s´ es sobreyectiva. ı Sea y ∈ Ê arbitrario. Buscamos un x ∈ Ê de modo que y = l(x). y−b Si elegimos el real x = a (recordemos que a = 0), entonces l(x) = y. Como el razonamiento que hicimos es v´lido para cualquier y ∈ a Ê, hemos demostrado que l es sobreyectiva.3.7. BiyectividadDefinici´n 3.5 (Biyectividad). Sea f : A → B una funci´n. Diremos que f es o obiyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.Concluimos, entonces, que la funci´n q(x) = x2 , definida de o Ê en Ê, no es biyectiva.Por el contrario, la funci´n l(x) = ax + b, definida de en o Ê Ê, s´ es biyectiva. ıProposici´n 3.1. Una funci´n f : A → B es biyectiva si y s´lo si o o o (∀y ∈ B)(∃!x ∈ A) y = f (x) ´Demostracion. Observemos que la sobreyectividad de f equivale a la existenciade un x ∈ A tal que y = f (x) para cualquier y ∈ B.Adem´s, la unicidad del tal x equivale a la inyectividad de f . a3.8. Funci´n Inversa oDada una funci´n f : A → B, nos gustar´ encontrar una funci´n g : B → A o ıa ocorrespondiente al “camino inverso” de f .Es decir g(y) = x cada vez que f (x) = y. Es f´cil observar que debi´ramos al menos a epedir que f sea biyectiva para que una tal funci´n g exista. oComo vemos en la figura (3.8), si f no fuera biyectiva, habr´ elementos de B a los ıacu´les no sabr´ a ıamos asociarle un elemento de A.Recordando que una funci´n de A en B es en realidad un subconjunto de A × B, opodemos construir un ‘candidato´ funci´n g del siguiente modo: a o Los elementos de g ⊆ B × A ser´n todos los pares ordenados (b, a) ∈ a B × A tales que (a, b) ∈ f , es decir todos los pares ordenados (b, a) tales que b = f (a).Ya vimos que esta construcci´n no siempre hace que g sea funci´n. Sin embargo, o otenemos la siguiente propiedad: 39

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