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  • 1. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Departamento de Matem´tica y Ciencia de la Computaci´n a o ´ CALCULO Segunda Versi´n o Gladys Bobadilla A. y Rafael Labarca B. Santiago de Chile 2004
  • 2. Prefacio El cero es el silencio antes del n´ mero u El n´ mero es el verbo matem´tico u a Lo matem´tico es el c´lculo de la realidad a a La realidad es lo unico incre´ ´ ıble Lo incre´ıble es lo que no podemos Y lo que no podemos es lo que queremos. Patricio Manns. Este texto es producto - en elaboraci´n a´ n - del proyecto de desarrollo de la docencia o uTexto de c´lculo anual para ingenier´ civil, financiado por la Vicerrector´ de Do- a ıa ıacencia y Extensi´n de la Universidad de Santiago de Chile. o Gran parte de los contenidos de los cap´ıtulos 1 y 2 est´n sacados del antiguo texto de aC´lculo I escrito por Gladys Bobadilla y Jorge Billeke (Q.E.P.D.). a La idea motriz de los autores para emprender esta tarea es el profundo convencimientoque ´sta es una forma de contribuir a una cultura nacional independiente. e Aunque los temas tratados - generados en Europa entre los siglos 17 y 19 - formanparte del patrimonio universal y existe una amplia y variada literatura, no es una raz´nosuficiente para que la universidad renuncie a crear su propio material docente. Esta labores tan importante como la creaci´n de nuevos conocimientos y necesita, como esta ultima, o ´de una tradici´n para la cual se debe recorrer un largo camino de errores y rectificaciones. o Adem´s, queremos compartir con los j´venes estudiantes que usar´n este libro, la a o areflexi´n del fil´sofo Gast´n Bachelard (1884 - 1962) sobre lo que significa enfrentarse o o oal conocimiento cient´ıfico: ”Frente al misterio de lo real el alma no puede, por decreto,tornarse ingenua. Es entonces imposible hacer, de golpe, tabla rasa de los conocimientosusuales. Frente a lo real, lo que cree saberse claramente ofusca lo que debiera saberse.Cuando se presenta ante la cultura cient´ ıfica, el esp´ ıritu jam´s es joven. Hasta es muy a i
  • 3. viejo, pues tiene la edad de sus prejuicios. Tener acceso a la ciencia es rejuvenecerse espir-itualmente, es aceptar una mutaci´n brusca que ha de contradecir a un pasado.” 1 o Agradecemos los valiosos comentarios de la Dra. Cecilia Yarur, la profesora GracielaEscalona y el se˜ or Luis Riquelme que nos ayudaron a mejorar la presentaci´n de este n otexto. Agradecemos adem´s, el apoyo t´cnico en la escritura digital, de la se˜ orita Evelyn a e nAguilar y el se˜ or Leonelo Iturriaga. n Finalmente, siendo ´sta una versi´n preliminar, agradeceremos a quienes detecten e- e orrores nos lo hagan saber. Gladys Bobadilla A y Rafael Labarca B. Santiago, marzo de 2002. 1 Gast´n Bachelard: La formaci´n del esp´ o o ıritu cient´ ıfico. Ed. Siglo XXI, 1997.
  • 4. ´Indice general1. L´ımites y continuidad 1 1.1. Los n´ meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u . . . 1 1.1.1. La aritm´tica de los n´ meros reales: axiomas de cuerpo . . . . e u . . . 1 1.1.2. Comparaci´n de los n´ meros reales: axiomas de orden . . . . . o u . . . 11 1.1.3. Resoluci´n de desigualdades o inecuaciones . . . . . . . . . . . o . . . 16 1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2. L´ ımites de funciones num´ricas de variable discreta. . . . . . . . . . . e . . . 56 1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.2.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.3. Las funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . . . . . . e . . . 99 1.3.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . 99 1.3.2. Representaci´n gr´fica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . o a . . . 105 1.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.4. L´ ımites de funciones num´ricas de variable continua . . . . . . . . . . e . . . 127 1.4.1. L´ımites finitos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 1.4.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 1.4.3. L´ımites finitos cuando la variable independiente crece o decrece in- definidamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 1.4.4. Las funciones circulares o trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . e . . . 142 1.4.5. Definici´n de las funciones circulares o trigonom´tricas . . . . . o e . . . 144 1.4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 1.4.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 1.5. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1.5.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . 192 iii
  • 5. 1.5.2. Continuidad de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 1.5.3. Discontinuidades removibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 1.5.4. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 1.5.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 1.5.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152. La derivada y sus aplicaciones 219 2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 219 2.2. Definici´n y f´rmulas b´sicas de la derivada . . . . . . . . . . . . o o a . . . . . . 222 2.2.1. Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 222 2.2.2. F´rmulas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 228 2.2.3. Las derivadas de las funciones trigonom´tricas . . . . . . e . . . . . . 233 2.2.4. Las derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 2.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 2.2.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 2.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 2.3.1. Teoremas principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 2.3.2. Derivadas de las inversas de las funciones trigonom´tricas e . . . . . . 257 2.3.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 2.3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.4. Aplicaciones I: La regla de L’Hˆpital . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 269 2.5. Aplicaciones II: Gr´ficos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . 276 2.6. Aplicaciones III: An´lisis de curvas en el plano . . . . . . . . . . a . . . . . . 294 2.6.1. Elementos de Geometr´ Anal´ ıa ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 2.6.2. An´lisis de curvas en coordenadas rectangulares . . . . . a . . . . . . 342 2.6.3. An´lisis de curvas dadas por ecuaciones param´tricas . . a e . . . . . . 352 2.6.4. Curvas expresadas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 364 2.7. Aplicaciones IV: problemas de m´ximo y m´ a ınimo . . . . . . . . . . . . . . . 382 2.8. Aplicaciones V: Raz´n de cambio y diferenciales . . . . . . . . . o . . . . . . 400 2.8.1. Razones de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 2.8.2. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 2.9. Aplicaciones VI: F´ ısica del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 2.10. Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . 4163. La integral de Riemann 417 3.1. Sumas de Riemann y el concepto de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 3.1.1. C´lculo de integrales mediante sumas de a Riemann particulares . . . 427 3.2. Propiedades de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 3.3. Teorema Fundamental de C´lculo . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . 468 3.4. Las funciones logaritmo natural y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
  • 6. 3.4.1. Definici´n y propiedades de la funci´n logaritmo natural . . . . . o o . 477 3.4.2. La funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 484 3.4.3. Aplicaciones de la funci´n exponencial: . . . . . . . . . . . . . . . o . 493 3.4.4. Las funciones hiperb´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 496 3.4.5. La regla de L’Hˆpital y c´lculo de l´ o a ımites de formas indeterminadas de tipo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 3.4.6. Derivaci´n logar´ o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5084. La integral indefinida: c´lculo de primitivas a 525 4.1. La integral indefinida y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 4.1.1. La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 4.1.2. F´rmulas b´sicas de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a o . 528 4.1.3. Propiedades elementales de la integral indefinida . . . . . . . . . . . 530 4.1.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 4.2. F´rmulas de reducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 538 4.2.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 4.3. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 544 4.3.1. Descomposici´n de un polinomio en factores . . . . . . . . . . . . . o . 544 4.3.2. Descomposici´n de una funci´n racional en fracciones simples o par- o o ciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 4.3.3. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 548 4.4. Integraci´n de algunas funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . o . 555 4.4.1. Integraci´n de funciones irracionales simples . . . . . . . . . . . . . o . 555 4.4.2. Integraci´n de f (x) = xp (axn + b)q p, q, n ∈ Q. . . . . . . . . . . . o . 557 4.4.3. Integraci´n de funciones racionales que involucran polinomios en x o y ra´ıces cuadradas de ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 4.4.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 4.5. Integraci´n de ciertas funciones trascendentes. . . . . . . . . . . . . . . . . o . 564 4.5.1. Integraci´n de funciones trigonom´tricas. . . . . . . . . . . . . . . o e . 564 4.5.2. Integraci´n de funciones trigonom´tricas inversas. . . . . . . . . . . o e . 574 4.5.3. Integraci´n de funciones hiperb´licas, exponenciales y logar´ o o ıtmicas. . 575 4.5.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5805. Aplicaciones de la integral 585 5.1. C´lculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ´ . . . . 585 5.1.1. C´lculo de areas en coordenadas rectangulares . . . . . . . . a ´ . . . . 585 5.1.2. C´lculo de areas usando ecuaciones param´tricas . . . . . . . a ´ e . . . . 588 5.1.3. C´lculo de areas en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . a ´ . . . . 590 5.2. C´lculo de longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 611 5.2.1. C´lculo de longitudes de curvas en coordenadas rectangulares a . . . . 611
  • 7. 5.2.2. C´lculo de longitudes de curvas dadas por ecuaciones param´tricas a e . 613 5.2.3. C´lculo de longitudes de curvas en coordenadas polares . . . . . . a . 615 5.3. Vol´ menes y areas de superficies de s´lidos de revoluci´n . . . . . . . . . . u ´ o o . 623 5.3.1. M´todo de los discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 623 5.3.2. M´todo de las cortezas o cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 624 ´ 5.3.3. Areas de superficies de revoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 628 5.4. Integrales el´ ıpticas e integraci´n num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . 638 5.4.1. Integrales el´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 5.4.2. Dos m´todos num´ricos de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . e e o . 6416. Integrales impropias y series 651 6.1. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 6.1.1. Integrales impropias sobre intervalos no acotados o de primera clase 651 6.1.2. Propiedades de las integrales impropias de primera clase . . . . . . . 654 6.1.3. Integrales impropias cuando la funci´n no es acotada en el intervalo o de integraci´n o de segunda clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 o 6.1.4. Otros criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 6.1.5. La funci´n Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 o 6.1.6. La funci´n Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 o 6.2. Series Num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 e 6.2.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 6.2.2. Criterios b´sicos de convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . 693 a 6.2.3. Series de t´rminos alternados: criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . 699 e 6.2.4. Convergencia absoluta y condicional de series . . . . . . . . . . . . . 701 6.2.5. Multiplicaci´n de series de t´rminos no-negativos . . . . . . . . . . . 704 o e 6.2.6. Multiplicaci´n de series en general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 o 6.2.7. Criterios m´s espec´ a ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 6.2.8. Series de N´ meros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 u 6.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 6.3.1. Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 6.3.2. Propiedades de las series uniformemente convergentes . . . . . . . . 730 6.3.3. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 6.4. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 6.4.1. C´lculo de polinomios y series de Taylor para funciones elementales 754 a
  • 8. Cap´ ıtulo 1L´ ımites y continuidad1.1. Los n´ meros reales u En esta secci´n se dar´ de manera muy sucinta las propiedades de los n´ meros reales o a uque constituyen la base sobre la cual se construye el c´lculo diferencial e integral. Las apropiedades aritm´ticas de estos n´ meros han formado parte de la ense˜ anza b´sica y e u n amedia. Algo menos, posiblemente, se ha visto del orden y nada de su propiedad m´s atrascendente - su continuidad - la que est´ reflejada en el axioma del supremo. La actual apresentaci´n de los n´ meros reales fue formalizada durante el siglo 19, dos siglos m´s tarde o u ade la creaci´n del c´lculo. Como afirma el fil´sofo L. Geymonat: o a o ”El desarrollo de la teor´a de los n´meros reales contribuy´ a que el an´lisis infinitesi- ı u o amal dejara de ser la t´cnica imprecisa e intuitiva que hab´an forjado sus descubridores del e ısiglo 17, para erigirse en aut´ntica ciencia y, lo que es m´s, en una de la m´s rigurosas y e a aperfectas construcciones del esp´ritu cient´fico modermo”. ı ı1.1.1. La aritm´tica de los n´meros reales: axiomas de cuerpo e u Aceptaremos la existencia de un conjunto no vac´ R, que llamaremos conjunto ıode los n´ meros reales. Sobre ´l se ha definido una relaci´n de igualdad y dos operaciones u e oalgebraicas. La relaci´n de igualdad ”=”satisface las propiedades de: o (I1 ) Reflexividad: a = a (I2 ) Simetr´ si a = b, entonces b = a ıa: (I3 ) Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c. Las dos operaciones definidas sobre R son la suma (+) y la multiplicaci´n (·). o 1
  • 9. 2 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD +: R×R → R (a, b) → a+b ·: R×R → R (a, b) → a·b Estas operaciones satisfacen las reglas siguientes, llamadas .(C1 ) Ley asociativa para la suma: a + (b + c) = (a + b) + c.(C2 ) Existencia de un elemento identidad para la suma: a + 0 = 0 + a = a(C3 ) Existencia de inversos para la suma: a + (−a) = (−a) + a = 0.(C4 ) Ley conmutativa para la suma: a + b = b + a.(C5 ) Ley asociativa para la multiplicaci´n: a · (b · c) = (a · b) · c. o(C6 ) Existencia de un elemento identidad para la multiplicaci´n: a·1 = 1·a = a; 1 = 0. o(C7 ) Existencia de inversos para la multiplicaci´n: a · a −1 = a−1 · a = 1, para a = 0. o(C8 ) Ley conmutativa para la multiplicaci´n: a · b = b · a o(C9 ) Ley distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c. Estas operaciones son compatibles con la relaci´n de igualdad, es decir, si oa = b entonces a + c = b + c y a · c = b · c. A partir de estos axiomas y las reglas de la l´gica formal se pueden obtener todas olas otras propiedades de la aritm´tica usual que Ud. ha aprendido durante la ense˜ anza e nb´sica y media. Los siguientes teoremas, que no se demostrar´n, ser´n enunciados con el a a aprop´sito de recordar las propiedades m´s importantes que se derivan de los axiomas de o acuerpo.Teorema 1.1.1 Dado a ∈ R se cumple : 0 · a = 0Teorema 1.1.2 Dados a, b ∈ R , se tienen las siguientes propiedades: (i) −(−a) = a. (ii) (−a) · b = −(ab).(iii) a · (−b) = −(ab).(iv) (−a)(−b) = ab.
  • 10. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 3Teorema 1.1.3 Dados a, b ∈ R , a = 0, b = 0, se tienen las siguientes propiedades: (i) (a−1 )−1 = a. (ii) a−1 · b = (a · b−1 )−1 . (iii) a · b−1 = (a−1 · b)−1 . (iv) a−1 · b−1 = (a · b)−1 .Teorema 1.1.4 Leyes de cancelaci´n. Dados a, b, c ∈ R se cumple : o (i) a + b = a + c ⇐⇒ b = c. (ii) ab = ac , a = 0 ⇐⇒ b = c.Teorema 1.1.5 Dados a, b ∈ R se cumple: ab = 0 ⇐⇒ (a = 0) ∨ (b = 0).Definici´n 1.1.6 Dados a, b ∈ R, escribiremos a − b para simbolizar el n´ mero a + (−b); o ua tal n´ mero lo llamaremos la diferencia de a y b. uTeorema 1.1.7 Dados a, b ∈ R se tienen las siguientes propiedades: (i) a − (−b) = a + b (ii) a − b = 0 ⇐⇒ a = b (iii) a − (b + a) = a − b − a.Demostraci´n: o (i) Por definici´n 1.1.6 o a − (−b) = a + (−(−b)) = a + b por Teorema 1.1.2 (i). Las afirmaciones (ii) y (iii) se dejan de ejercicio. aDefinici´n 1.1.8 Dados a, b ∈ R, b = 0, escribiremos o , o, a : b para simbolizar el n´ mero ´ u ba · b−1 y lo llamaremos el cuociente entre a y b, o, a dividido por b. ´
  • 11. 4 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADTeorema 1.1.9 Dados a, a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R, se tienen las siguientes propiedades: a (i) = a. 1 1 (ii) Si a = 0, entonces= a−1 . a a (iii) Si a = 0, entonces = 1. a a1 b1 (iv) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces = ⇐⇒ a1 · b2 = b1 · a2 . a2 b2 a1 a1 · b (v) Si a2 = 0, b = 0, entonces = a2 a2 · b a1 b1 a1 · b 1 (vi) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces · = a2 b2 a2 · b 2 a1 b1 a1 · b 2 ± b 1 · a 2(vii) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces ± = a2 b2 a2 · b 2 a1 b1 a1 · b 2(viii) Si a2 = 0, b2 = 0, entonces : = . a2 b2 a2 · b 1Resoluci´n de ecuaciones algebraicas de primer grado. o Dada la ecuaci´n de primer grado o ax + b = c ;a = 0 (1.1) Se tiene que la ecuaci´n (2.46) tiene una unica soluci´n dada por: o ´ o c−b x= aResoluci´n de una ecuaci´n algebraica de segundo grado. o o Dada la ecuaci´n de segundo grado o ax2 + bx + c = 0; a=0 (1.2) se tiene que
  • 12. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 5 1. Si b2 − 4ac > 0, la ecuaci´n (2.47) tiene dos ra´ o soluciones reales distintas, dadas o ıces por: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a 2. Si b2 − 4ac = 0, la ecuaci´n (2.47) tiene una unica ra´ real dada por: o ´ ız −b x= 2a 3. Si b2 − 4ac < 0, la ecuaci´n (2.47) tiene ra´ o ıces complejas conjugadas. En este caso diremos que el polinomio cuadr´tico no es factorizable en R. aResoluci´n de ecuaciones algebraicas de grado mayor o igual a 3 o La soluci´n de ecuaciones de tercer y cuarto grado pueden ser resueltas con reglas oan´logas, aunque mucho m´s complicadas que las de segundo grado. Estas f´rmulas fueron a a oencontradas por los algebristas italianos del siglo 16. Para la ecuaci´n de tercer grado ex- oisten las llamadas f´rmula de Cardano-Tartaglia. Cardano (1501-1576), Tartaglia (1500 - o1557).Ferrari (1522 - 1565) resolvi´ la ecuaci´n general de cuarto grado. o o En el a˜ o 1824 el matem´tico Noruego Abel (1802 - 1829), demostr´ que para el caso n a ogeneral de una ecuaci´n algebraica completa de grado mayor o igual a 5, o an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 , ai ∈ R,no existe ninguna expresi´n en t´rminos de radicales en estos coeficientes que sea ra´ de o e ızla ecuaci´n. oEl lector interesado en conocer m´s detalles matem´ticos - hist´ricos de este tema puede a a oconsultar el libro de A.D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M.A. Laurentiev y otros: Lamatem´tica su contenido, m´todos y significado, tomo I, p´g.315. a e aEjemplo 1.1.10 1. Resuelva en R la ecuaci´n. o x2 + x = 1 Soluci´n: Se debe llevar a la forma ax 2 + bx + c = 0 entonces queda. o
  • 13. 6 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD x2 + x − 1 = 0 Su discriminante b2 − 4ac vale: 1 − 4(1)(−1) = 5 Por lo tanto, la ecuaci´n tiene dos ra´ o ıces reales distintas √ 1± 5 x=− 2 2. Resuelva en R, la ecuaci´n: o x2 + x = −1 Soluci´n: x2 + x + 1 = 0 o Su discriminante b2 − 4ac vale 1 − 4(1)(1) = −3 < 0. Por lo tanto, la ecuaci´n no tiene soluci´n en R. o o 3. x2 − 2x + 1 = 0 Su discriminante b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(1) = 0. Entonces, tiene una unica ra´ real : x = 1. ´ ız 4. Resolver en R la ecuaci´n: o x3 − 8 = 0 Factorizando el polinomio x3 − 8. x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4) x3 − 8 = 0 ⇔ (x − 2)(x2 + 2x + 4) = 0    x−2 = 0  x=2 ⇔ o ´ ⇔ o ´  2  2 x + 2x + 4 = 0 x + 2x + 4 = 0
  • 14. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 7 La ecuaci´n x2 + 2x + 4 tiene discriminante: o b2 − 4ac = 4 − 4 · 4 = 4 − 16 < 0. Por lo tanto, la ecuaci´n no tiene ra´ reales. As´ la ecuaci´n x 3 − 8 = 0 tiene s´lo o ıces ı, o o una ra´ real x = 2. ızF´rmulas b´sicas de factorizaci´n o a o 1. (x + y)(x − y) = x2 − y 2 2. (x − y)(x2 + xy + y 2 ) = x3 − y 3 3. (x + y)(x2 − xy + y 2 ) = x3 + y 3 4. (xn − y n ) = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + xn−4 y 3 + . . . . . . + y n−1 ) 5. Si n es par: (xn − y n ) = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − xn−4 y 3 + . . . . . . − y n−1 ) 6. Si n es impar: (xn + y n ) = (x + y)(xn−1 − xn−2 y + xn−3 y 2 − xn−4 y 3 + . . . . . . + y n−1 ) 7. (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y 2 8. (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3 9. (x + y + z + . . . . . .)2 = x2 + y 2 + z 2 + . . . + 2(xy + xz + yz + . . .)10. F´rmula del binomio: o n n n−k k (x + y)n = x y . k k=0 n n! donde n, k son n´ meros naturales y u = . k k!(n − k)!Ejercicios de repaso 1. Usando la notaci´n x2 = x · x, demuestre que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . o Soluci´n: o (a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = aa + ba + ab + bb = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 .
  • 15. 8 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 2. Dados los n´ meros reales a, b, c; demuestre que: ax 2 + bx + c = 0, para todo x ∈ R u si y s´lo si a = b = c = 0. o Soluci´n: o Supongamos a = b = c = 0. Entonces usando la propiedad de la multiplicaci´n por o cero, tenemos: ax2 + bx + c = 0x2 + 0b + c = 0, Cualquiera sea x ∈ R. Reciprocamente, supongamos que para todo x ∈ R se cumple que ax2 + bx + c = 0. (1.3) Haciendo x = 0 en (1.3), tenemos: a0 + b0 + c = 0, de lo que podemos deducir: c = 0. Si x = 0, entonces ax2 + bx = x(ax + b) = 0 ; por lo tanto ax + b = 0. Haciendo sucesivamente x = 1 y x = −1 en ax + b = 0, obtenemos las igualdades: a+b = 0 −a + b = 0. Lo que implica a = b = 0. 3. Dados los n´ meros reales a, b, c, a , b , c ; demuestre que: u ax 2 + bx + c = a x2 + b x + c , para todo x ∈ R si y s´lo si a = a , b = b , c = c . o Soluci´n: ax2 +bx+c = a x2 +b x+c es equivalente a (a−a )x2 +(b−b )x+(c+c ) = 0, o lo que a su vez por el ejercicio (2), es equivalente a a = a , b = b , c = c . 4. Encuentre a, b de modo que para todo x ∈ R, x = 1, x = 2: 3x + 1 a b = + . (x − 1)(x − 2) x−1 x−2 Soluci´n: o
  • 16. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 9 Siguiendo las reglas de la sumas de cuocientes dadas por el teorema 1.1.9, podemos escribir: 3x + 1 a(x − 2) + b(x − 1) = (x − 1)(x − 2) (x − 1)(x − 2) (a + b)x + (−2a − b) = . (x − 1)(x − 2) Por tanto, usando la ley de cancelaci´n, obtenemos la igualdad de los numeradores: o (a + b)x + (−2a − b) = 3x + 1. En virtud del ejercicio (3), se tienen las igualdades: a+b = 3 −2a − b = 1, que nos dan los valores buscados de a, b: a = −4, b = 7. Se deja al lector el trabajo de comprobar que verdaderamente estos valores satisfacen la condici´n pedida. o 5. Encontrar una condici´n necesaria y suficiente para que la expresi´n: o o ax2 + bx + c , a x2 + b x + c sea independiente de cualquier x ∈ R. Soluci´n: Supongamos que, cualquiera sea x, la expresi´n sea igual a una constante o o k, diferente de cero. Es decir, ax2 + bx + c = k, a x2 + b x + c Por definici´n de cuociente tenemos: o ax2 + bx + c = ka x2 + kb x + kc . Como esta igualdad se cumple cualquiera sea x, seg´ n ejercicio (3) concluimos: u a = ka , b = kb , c = kc . Esto nos dice que la condici´n buscada es : los coeficientes de las mismas po- o tencias de x deben ser proporcionales. Para completar el ejercicio debemos demostrar que la condici´n es suficiente. o
  • 17. 10 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD a b c ax2 bx c En efecto, si: = = = k, entonces tambi´n se cumple: e = = = k, a b c a x2 bx c por teorema 1.1.9. De estas tres igualdades se obtiene : ax2 + bx + c = ka x2 + kb x + kc = k(a x2 + b x + c ). Por tanto, la expresi´n o ax2 + bx + c a x2 + b x + c es independiente de x.Ejercicios propuestos a−x x−a 1. Demuestre que = y exprese esta regla en palabras. b−y y−b a−x x−a 2. Demuestre que =− y exprese esta regla en palabras. b−y b−y 3. Demuestre que bc ac ab 2abc + + + = 1. (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) (a + b)(a + c)(b + c) 4. Demuestre que x−y x+y x2 + y 2 xy x+y + +1 = . x+y x−y 2xy x2 +y 2 x−y a+b 5. Demuestre que la siguiente expresi´n se anula cuando x = o : 2 3 x−a x − 2a + b − . x−b x + a − 2b 6. Simplifique la expresi´n o x2 x2 − 2 + 1− 1 1 1 1− 1 x2 + x 1 x2 − x x+ 1 x x− x 7. Encuentre a, b de modo que para todo x ∈ R, x = −4, x = 3: 6x − 2 a b = + . x2 + x − 12 x+4 x−3
  • 18. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 111.1.2. Comparaci´n de los n´meros reales: axiomas de orden o u Siguiendo la presentaci´n axiom´tica, aceptaremos la existencia de un subcon- o ajunto de R, llamado conjunto de los n´ meros reales positivos, denotado por R + , que usatisface las propiedades siguientes:(O1 ) R+ es cerrado para la suma, es decir, si a, b pertenecen a R + , entonces a + b pertenecen a R+ .(O2 ) R+ es cerrado para la multiplicaci´n, es decir, si a, b pertenecen a R + , entonces o a · b pertenece a R+ .(O3 ) : Para todo n´ mero real a se cumple una y s´lo una de las afirmaciones: u o (i) a = 0 (ii) a pertenece al conjunto R+ (iii) −a pertenece al conjunto R+ .Observaci´n 1.1.11 El axioma O3 se llama propiedad de tricotom´ de los n´ meros o ıa urealesDefinici´n 1.1.12 o (i) a < b si y s´lo si b − a ∈ R + o (ii) a > b si y s´lo si a − b ∈ R+ oTeorema 1.1.13 Dados los n´ meros reales a, b se cumple una y s´lo una de las siguientes u oafirmaciones: (i) a = b (ii) a < b(iii) a > b Demostraci´n: Aplicando el axioma (O 3 ) o propiedad de Tricotom´ al n´ mero a−b, o ıa use tiene una y s´lo una de las afirmaciones. o (i) a − b = 0 (ii) a − b ∈ R+(iii) −(a − b) ∈ R+
  • 19. 12 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADLas cuales se traducen en a = b, a > b, a < b respectivamente usando las propiedades dela subsecci´n 1.1.1 y la definici´n 1.1.12. o oTeorema 1.1.14 Dado un n´ mero real a se cumple una y s´lo una de las siguiente afir- u omaciones: (i) a = 0 (ii) a > 0(iii) a < 0Demostraci´n: Es consecuencia directa del teorema 1.1.13 tomando b = 0. oTeorema 1.1.15 La relaci´n ”<”tiene las propiedades siguientes: o (i) No es reflexiva. Para todo a ∈ R, no es verdad que a < a (ii) Es asim´trica. Si a < b, entonces no puede tenerse b < a e(iii) Es transitiva. Si a < b y b < c, entonces a < c. Demostraci´n: o (i) Si para alg´ n a ∈ R, a < a, entonces a − a ∈ R + , lo cual implicar´ que 0 ∈ R+ , que u ıa contradice (O3 ). (ii) Si a < b, entonces b − a ∈ R+ , lo que por tricotom´ excluye que a − b ∈ R + , por ıa tanto es imposible que b < a.(iii) Si a < b, entonces b−a ∈ R+ . Si b < c, entonces c−b ∈ R+ por (O1 ), (b−a)+(c−b) ∈ R+ , o lo que es lo mismo c − a ∈ R+ , por tanto a < c.Definici´n 1.1.16 Llamaremos conjunto de los n´ meros reales negativos al conjunto o uR− = {x ∈ R : −x ∈ R+ }. Observemos que 0 ∈ R− , lo que pone de manifiesto que el cero no es ni positivo ninegativo. Adem´s R+ ∩R− = ∅, pero por el axioma (O3 ) todo n´ mero real pertenece a uno a uy s´lo a uno de los conjuntos: R+ , R− , {0}. As´ los n´ meros reales quedan particionados o ı ucomo R = R+ ∪ R− ∪ {0}. Por teorema 1.1.13 y teorema 1.1.14 (iii), se tiene que todo n´ mero negativo es menor uque cualquier n´ mero positivo y el cero es la frontera entre los dos tipos de n´ meros. u uDefinici´n 1.1.17 o (i) a ≤ b si y s´lo si (a < b) ∨ (a = b) o
  • 20. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 13 (ii) a ≥ b si y s´lo si (a > b) ∨ (a = b) oTeorema 1.1.18 La relaci´n ”≤”es: o (i) Reflexiva: a ≤ a (ii) Antisim´trica: Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b e(iii) Transitiva: Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c Demostraci´n: o (i) Como a = a, entonces a ≤ a (ii) Si a ≤ b, entonces (a < b) o (a = b) y si b ≤ a, entonces (b < a) o (a = b). Por ´ tanto, por teorema 1.1.14(ii) s´lo es posible a = b. o(iii) Si a ≤ b y b ≤ c tenemos cuatro posibilidades: a < b y b < c. En este caso la transitividad se obtiene del teorema 1.1.14(ii). a < b y b = c. En este caso b − a ∈ R+ y c − b = 0, por tanto (b − a) + (c − b) = c − a ∈ R+ y tenemos a < c. a = b y b < c. Para este caso la demostraci´n es semejante a la anterior. o a = b y b = c. La conclusi´n se sigue de la transitividad de la igualdad y la o definici´n de la relaci´n ”≤”. o oTeorema 1.1.19 a ≤ b si y s´lo si a + c ≤ b + c o Demostraci´n: Si a ≤ b entonces a < b o a = b. o ´ Si a < b, entonces b − a ∈ R + ⇒ (b − a) + 0 ∈ R+ ⇒ (b − a) + (c − c) ∈ R+ ⇒ (b + c) − (a + c) ∈ R+ ⇒a+c <b+c ⇒a+c ≤b+cSi a = b, entonces a + c = b + c, por la compatibilidad de la igualdad con la suma.Teorema 1.1.20 (i) Si a ≤ b y c es un n´ mero positivo, entonces a · c ≤ b · c u (ii) Si a ≤ b y c es un n´ mero negativo, entonces a · c ≥ b · c. u
  • 21. 14 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Demostraci´n: o (i) Si a ≤ b entonces a < b o a = b. Si a < b, se tiene b − a ∈ R + y como c ∈ R+ ´ entonces por (O2 ) (b − a) · c ∈ R+ , lo cual implica a · c < b · c. Si a = b, entonces por la compatibilidad de la igualdad con el producto a · c = b · c. En consecuencia, a · c ≤ b · c. (ii) Se deja como ejercicio.Teorema 1.1.21 (i) Si a > 0, entonces −a < 0 (ii) Si a < 0, entonces −a > 0(iii) Si a > 0, entonces a−1 > 0(iv) Si a < 0, entonces a−1 < 0 Demostraci´n: o (i) Si a > 0 =⇒ a ∈ R+ =⇒ −a ∈ R− (ii) Si a < 0 =⇒ −a ∈ R+ =⇒ −a > 0(iii) Sea a > 0, supongamos a−1 < 0, entonces por teorema 1.1.20 (i) a · a > 0. Por teorema 1.1.20(ii) (a−1 · a) · a < 0 1·a < 0 a < 0 Lo que contradice nuestra hip´tesis. Por tanto a −1 > 0. o(iv) Se usan los mismos argumentos que en (iii).Teorema 1.1.22 a · b > 0 si y s´lo si (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0). o ´ Demostraci´n: (⇒) Si a · b > 0, sabemos por teorema 1.1.5 que a = 0, b = 0. Si oa > 0, entonces usando teorema 1.1.20, a −1 · (a · b) > 0. Lo que implica (a−1 · a) · b > 0 ypor tanto b > 0. De manera similar si a < 0, se concluye que b < 0 con lo cual tenemos nuestraimplicancia. (⇐) Si a > 0 y b > 0, por axioma (O2 ) a · b > 0. Si a < 0 y b < 0, entonces −a > 0 y−b > 0, por axioma (O2 ) (−a) · (−b) > 0; por teorema 1.1.2 (iv) a · b > 0.
  • 22. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 15Teorema 1.1.23 a · b < 0 si y s´lo si (a < 0 y b > 0) o (a > 0 y b < 0) o Demostraci´n: Se deja como ejercicio. oTeorema 1.1.24 El cuadrado de un n´ mero real no nulo es positivo: Si a ∈ R, a = 0, uentonces a 2 ∈ R+ . Demostraci´n: Si a ∈ R+ , entonces a > 0. Por axioma (O2 ), a · a > 0, o es decir, a2 > 0. Si a ∈ R− , entonces a < 0. Por teorema 1.1.22, a · a > 0, as´ nuevamente a 2 > 0. ıTeorema 1.1.25 1 ∈ R+ . Demostraci´n: Por axioma (C6 ), 1 = 0, o 1=1·1 1 = 12 El teorema anterior implica que 1 > 0. a+bTeorema 1.1.26 Sean a, b ∈ R. Si a < b, entonces a < <b 2 Demostraci´n: Si a < b, entonces sumando a en ambos miembros de la desigualdad ose tiene a + a < b + a, por tanto: a(1 + 1) < b + a ⇒ 2a < b + a Aplicando el mismo razonamiento, pero ahora sumando b en ambos miembros de ladesigualdad a < b, obtenemos que b + a < 2b. En virtud de la transitividad de la relaci´n ”<”se obtiene que o 2a < b + a < 2b a+bdividiendo todo por 2 > 0, se tiene lo que quer´ ıamos demostrar, a < < b. 2 El teorema 1.1.26 puede leerse diciendo que entre dos n´meros reales a, b dis- utintos siempre existe un tercer n´mero c. Como a, c son distintos, puede aplicarse la con- uclusi´n a ellos y obtener un cuarto n´ mero real d, y as´ sucesivamente. Como este proceso o u ıpuede extenderse indefinidamente, lo que obtenemos es que entre dos n´meros reales dis- utintos existen infinitos n´meros reales. Esta importante propiedad se llama densidad de ulos n´ meros reales. uDefinici´n 1.1.27 Decimos que un conjunto A de n´ meros reales es denso si y s´lo si o u oentre dos elementos distintos x, y de A existe un elemento z ∈ A tal que x < z < y.
  • 23. 16 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD1.1.3. Resoluci´n de desigualdades o inecuaciones o Para resolver cualquier desigualdad los pasos previos obligatorios son: 1. Reducir t´rminos semejantes. e 2. Factorizar el respectivo polinomio cuando el grado es mayor o igual a dos.En pricipio para resolver desigualdades de grado igual o superior a dos se debe aplicarlos teoremas 1.1.22 y 1.1.23 analizando las distintas posibilidades de signo de los factoresa este m´todo le llamaremos axiom´tico. Pero, en general este m´todo resulta largo si e a ese aplica al pie de la letra. A continuaci´n expondremos la forma m´s r´pida de resolver o a adichas desigualdades, llamado m´todo reducido. e 1. Resoluci´n de una desigualdad de primer grado o Despu´s de reducir los t´rminos semejantes, una desigualdad de primer grado puede e e escribirse como: 0 ≤ ax + b (1.4) Usando el teorema (1.1.19), se tiene que −b ≤ ax (1.5) Para despejar completamente la variable x, se debe multiplicar la desigualdad (1.5) por el inverso multiplicativo de a. Por lo tanto, en virtud del teorema (1.1.20 )se tiene que:   x ≥ − b si a > 0    a 0 ≤ ax + b ⇔    x ≤ − b si a < 0  a Signo de ax + b Si a > 0: − + R b − a Si a < 0: + − R b − a
  • 24. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 17 2. Resoluci´n de una desigualdad de segundo grado general. o Dados los n´ meros a, b, c, encuentre todos los n´ meros reales x que satisfacen la u u desigualdad: ax2 + bx + c > 0. Soluci´n: o Primer caso: Supongamos que el trinomio puede escribirse en la forma: ax2 + bx + c = a(x − r1 )(x − r2 ), Donde r1 , r2 ∈ R y r1 < r2 . (Ra´ reales y distintas). Si a > 0, entonces el trinomio ıces es positivo si los dos factores en x tienen el mismo signo, por lo tanto, la desigualdad se cumple cuando x es menor que ambas ra´ ıces o cuando x es mayor que ambas ra´ ıces. Es decir, la soluci´n al problema es: o x < r1 o x > r 2 . ´ Si a < 0, el trinomio es positivo cuando los dos factores en x tienen distintos signos. Por tanto, la desigualdad se cumple para x comprendido entre r 1 y r2 . Si a > 0 Si a < 0 + − + − + − s s s s r1 r2 r1 r2 Segundo caso: Si r1 = r2 = r, ra´ ıces reales e iguales , entonces ax2 + bx + c = a(x − r)2 . Como todo cuadrado es positivo o nulo, tenemos que la desigualdad se cumple para todo x = r si a > 0 y no se cumple nunca cuando a < 0. Tercer caso: Si el trinomio no es factorizable en factores de primer grado con coeficientes reales, es decir, sus ra´ıces son complejas conjugadas. Lo primero que debemos observar es que la expresi´n no se anula nunca y tampoco cambia de signo. o Por tanto el trinomio es siempre positivo o siempre es negativo. Como el cuadrado de un n´ mero grande crece mucho m´s que el n´ mero, es el coeficiente a que determina u a u el signo. Si a > 0, la desigualdad se cumple para todo x ∈ R; si a < 0 no existen n´ meros reales que satisfagan la desigualdad. u
  • 25. 18 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Ejemplo 1.1.28 a) Resolver la desigualdad x 2 + x − 6 > 0. Soluci´n: o Como x2 + x − 6 = (x + 3)(x − 2), los n umeros que satisfacen la desigualdad ´ son los x tales que x < −3 o x > 2. ´ + − + −3 2 b) Resolver la desigualdad x2 + 3x − 4 < 0. Soluci´n: o x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1), el m´todo reducido implica que la desigualdad se e cumple para −4 < x < 1. −4 − 1 c) Resolver la desigualdad x2 + 2x + 2 < 0. Soluci´n:o x 2 + 2x + 2 = 0 no tiene soluciones reales y su coeficiente a = 1 es positivo, por tanto el trinomio s´lo toma valores positivos y el problema propuesto no tiene o soluci´n. o 3. Resoluci´n de una desigualdad de tercer grado factorizada. o Dados los n´ meros a, b, c, encuentre todos los n´ meros reales x que satisfacen la u u desigualdad: (x − a)(x − b)(x − c) > 0. Soluci´n: o Supongamos que a < b < c. Si x < a, los tres factores son negativos y, por tanto, su producto es negativo. Si x = a, entonces el producto es nulo. Si a < x < b, entonces el producto es positivo. Si x = b, entonces el producto es nulo. Si b < x < c, entonces el producto es negativo. Si x = c, entonces el producto es nulo. Si x < c, entonces el producto es positivo. Del an´lisis anterior podemos concluir que la desigualdad se cumple cuando a < x < a b o c < x. ´ Observe que es importante ordenar las ra´ ıces a, b y c de menor a mayor, pues as´ es ı m´s r´pido analizar los signos de los factores. a a
  • 26. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 19 - + - + s s s a b c 4. Resoluci´n de desigualdades en forma de cuocientes de t´rminos de primer o e grado Resolver la desigualdad ax + b > 0. ax+b Soluci´n: o El cuociente es positivo si y s´lo si ambos factores tienen el mismo signo, por lo que o la desigualdad del enunciado es equivalente a (ax + b)(a x + b ) > 0. Otra manera de transformar la desigualdad fraccionaria en un producto, es multi- plicar la desigualdad por (a x + b )2 , que por ser un cuadrado es siempre positivo b salvo para x = − . a As´ debemos resolver la desigualdad: ı, (ax + b)(a x + b ) > 0 usando el m´todo del ejercicio resuelto 2. e b b (ax + b)(a x + b ) = aa x+ x+ > 0. a a b Si aa < 0, entonces los valores de x buscados estan comprendidos entre − y a b − . Si aa > 0, entonces los valores de x que satisfacen la desigualdad est´n en el a a b b complemento del conjunto comprendido entre − y − . a a 5. Desigualdades que contienen la variable en el denominador de una expre- si´n o Si una desigualdad contiene a la variable en alg´ n demoninador de un cuociente, con- u viene reducir todos los t´rminos en un unico cuociente de modo que en uno de los e ´ lados se tenga un cero y, posteriormente multiplicar la desigualdad por el cuadrado del denominador.
  • 27. 20 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Ejemplo 1.1.29 Resolver la desigualdad 7 4 − ≤ 0. x−2 x−1 Soluci´n: o 7 4 2x + 1 − = . x−2 x−1 (x − 2)(x − 1) Entonces, la desigualdad puede escribirse como: 2x + 1 ≤ 0; x = 2, x = 1. (x − 2)(x − 1) multiplicandola por el cuadrado del denominador, se tiene una forma equivalente: (3x + 1)(x − 2)(x − 1) ≤ 0. Ordenando las ra´ ıces: 1 3 x+ (x − 1)(x − 2) ≤ 0. 3 Seg´ n el m´todo reducido, la desigualdad tiene como conjunto soluci´n: u e o 1 x∈R:x≤− o1<x<2 . ´ 3 − − 1 −3 1 2Ejercicios resueltos 1. Demuestre que si x ≤ y, a ≤ b entonces x + a ≤ b + y. Soluci´n: Como x ≤ y y a ∈ R por teorema 1.1.19 x + a ≤ y + a. o Por otro lado, como a ≤ b e y ∈ R por teorema 1.1.19 a + y ≤ b + y. Por teorema 1.1.18 (iii), (transitividad de ≤), concluimos que x + a ≤ b + y. 2. Demuestre que si 0 ≤ x ≤ y y 0 ≤ a ≤ b, entonces ax ≤ by. Soluci´n: Procediendo an´logamente al ejercicio resuelto 1, por teorema 1.1.20 (i) o a ax ≤ ay y ay ≤ by. Por transitividad (teorema 1.1.18 (iii)) concluimos que ax ≤ by.
  • 28. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 21 3. Demuestre que, si 0 < a < b, entonces b −1 < a−1 . Soluci´n: Primero observemos que a −1 − b−1 = (ab)−1 (b − a)) (ver ejercicio 1.2.??). o Luego, como a > 0, b > 0 =⇒ ab > 0 por teorema 1.1.22 =⇒ (ab)−1 > 0 por teorema 1.1.21 Como a < b =⇒ b − a > 0 (por definici´n 1.1.12), luego (ab) −1 (b − a) > 0 por o teorema 1.1.22. Por lo tanto, a−1 − b−1 > 0 =⇒ b−1 < a−1 . 4. Demuestre que, si 0 < a < b, entonces a 2 < b2 . Soluci´n: Como b − a y b + a son positivos por hip´tesis, entonces (b − a)(b + a) = o o b2 − a2 > 0 por teorema 1.1.22, luego a2 < b2 . 5. Demuestre que si a ∈ R es tal que 0 ≤ a < ε para todo ε > 0, entonces a = 0. Soluci´n: Supongamos por contradicci´n que a = 0. Luego como a ≥ 0 y a = 0, o o entonces a > 0 por definici´n 1.1.17. Usando el teorema 1.1.26 con a = 0 y b = a o tenemos que existe a+b 0+a a a a c= = = tal que 0 < < a. Ahora si tomamos ε = concluimos que 2 2 2 2 2 ε < a, lo que contradice la hip´tesis. Luego, la suposici´n inicial es falsa y a = 0. o o 1 6. Demuestre que, si x > 0, entonces x + ≥ 2. x Soluci´n: Previamente observemos que: o 1 x+ ≥2 ⇐⇒ x2 + 1 ≥ 2x x ⇐⇒ x2 − 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (x − 1)2 ≥ 0 Por tanto, por teorema (1.1.24) sabemos que (x − 1) 2 ≥ 0 y por el ejercicio de repaso 1, (x − 1)2 = x2 − 2x + 1 ≥ 0. Por teorema 1.1.19, x2 + 1 ≥ 2x, como 1 x > 0 =⇒ x−1 > 0 y multiplicando por x−1 obtenemos x + ≥ 2. x 7. Demuestre que, si a, b, c son no negativos y no todos iguales, entonces (a + b + c)(bc + ca + ab) > 9abc.
  • 29. 22 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Soluci´n: o (a + b + c)(bc + ca + ab) − 9abc = a(b2 + c2 ) + b(c2 + a2 ) + c(a2 + b2 ) − 6abc = a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a − b)2 . Como a, b, c no son todos iguales, al menos uno de los t´rminos b − c, c − a, a − b es e distinto de cero y como todo cuadrado es no negativo y a, b, c ≥ 0, entonces resulta la desigualdad buscada. 8. Determine el conjunto A = {x ∈ R : x2 + x > 2}. Soluci´n: o M´todo axiom´tico e a x2 + x > 2 ⇐⇒ x2 + x − 2 > 0 por teorema 1.1.19 ⇐⇒ (x + 2)(x − 1) > 0 ⇐⇒ [(x + 2) > 0 y (x − 1) > 0] o [(x + 2) < 0 y (x − 1) < 0] Si x + 2 > 0 y x − 1 > 0 ⇐⇒ x > −2 y x > 1 por teorema 1.1.19 ⇐⇒ x>1 Si x + 2 < 0 y x − 1 < 0 ⇐⇒ x < −2 y x < 1 ⇐⇒ x < −2 Por tanto A = {x ∈ R : x > 1 o x < −2} = {x ∈ R : x > 1} ∪ {x ∈ R : x < −2}. M´todo reducido. Una vez factorizado el polinomio y ubicadas sus ra´ en e ıces la recta real, se recorre R en el sentido de su orden obteniendose r´pidamente a el signo del polinomio en las distintos subintervalos de R determinados por sus ra´ıces. + + R −2 1 9. Determine el conjunto A = {x ∈ R : (2x + 1)/(x + 2) < 1}. Soluci´n: Claramente la expresi´n (2x + 1)/(x + 2) no est´ definida para x = −2 o o a luego −2 ∈ A.
  • 30. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 23 M´todo axiom´tico e a 2x + 1 2x + 1 <1 ⇐⇒ − 1 < 0, por teorema 1.1.19 x+2 x+2 x−1 ⇐⇒ <0 x+2 ⇐⇒ (x − 1)(x + 2) < 0 ⇐⇒ [x − 1 > 0 y x + 2 < 0] o [x − 1 < 0 y x + 2 > 0] por teorema 1.1.23 Si x − 1 > 0 y x + 2 < 0 ⇐⇒ x > 1 y x < −2 (por teorema 1.1.19), sin embargo no existe x ∈ R que satisfaga ambas condiciones. Si x − 1 < 0 y x + 2 > 0 ⇐⇒ x < 1 y x > −2 (por teorema 1.1.19). Por tanto A = {x ∈ R : −2 < x < 1}. M´todo reducido e − R −2 110. Resolver la desigualdad: x(x2 − 5x + 6) > 0. Soluci´n: o x(x2 − 5x + 6) = x(x − 2)(x − 3), aplicando el m´todo reducido, tenemos que la e desigualdad se satisface para los x tales que: 0 < x < 2 o x > 3. ´ + + R 0 2 311. Resolver la desigualdad: (x − 2)(x 2 − 6x + 8)(x2 − 4x − 5) > 0. Soluci´n: o Como x2 − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) y x2 − 4x − 5 = (x + 1)(x − 5), tenemos que: (x − 2)(x2 − 6x + 8)(x2 − 4x − 5) = (x − 2)(x − 2)(x − 4)(x + 1)(x − 5) = (x − 2)2 (x − 4)(x + 1)(x − 5). + + R −1 4 5
  • 31. 24 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD El factor que aparece elevado al cuadrado no influye en el signo del producto, por tan- to, nuevamente se puede aplicar el m´todo reducido y obtenemos que la desigualdad e se satisface para los x tales que: −1 < x < 4 o x > 5 y x = 2.. ´ x−112. Resolver > 0. x+2 Soluci´n: Como a = a = 1 tenemos aa > 0, por ejercicio resuelto 4 , los valores o buscados son x < −2 o x > 1. ´ Compare con el ejercicio resuelto 9. x2 − 8x + 1513. Resolver < 0. x−4 Soluci´n: o Suponiendo x = 4, multiplicamos la desigualdad por (x − 4) 2 y la transformamos en: (x2 − 8x + 15)(x − 4) < 0. (x2 − 8x + 15)(x − 4) = (x − 3)(x − 4)(x − 5) < 0. − − R 3 4 5 Seg´ n el m´todo reducido se obtiene que la desigualdad se satisface para x < 3 u e o 4 < x < 5. ´ 1 114. Resolver 3 + > . x−1 2x + 1 1 3x − 2 Soluci´n: Efectuando la suma del primer miembro 3 + o = , la desigual- x−1 x−1 dad queda como 3x − 2 1 > . x−1 2x + 1 Luego, 3x − 2 1 (3x − 2)(2x + 1) − (x − 1) − = x−1 2x + 1 (x − 1)(2x + 1) 6x 2−x−2−x+1 = (x − 1)(2x + 1) 6x2 − x + 1 = > 0. (x − 1)(2x + 1) Multiplicando la desigualdad por (x − 1) 2 (2x + 1)2 tenemos:
  • 32. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 25 (6x2 − x + 1)(x − 1)(2x + 1) > 0. El polinomio 6x2 − x + 1 tiene discrinante negativo y por lo tanto, es positivo para cualquier valor de x.As´ la desigualdad se reduce a: (x − 1)(2x + 1) > 0. Usando el ı, m´todo reducido tenemos que el conjunto soluci´n es: e o {x ∈ R : x > 1} ∪ {x ∈ R : x < −1/2}.15. Resolver el sistema de desigualdades: 2 2x − 1 ≤ y 3−x 6x − 5 < 9x + 1. Soluci´n: o 2 2 (2x − 1)(3 − x) − 2 2x − 1 ≤ implica 2x − 1 − ≤ 0. ≤ 0. Efectuando el 3−x 3−x 3−x producto y reduciendo t´rminos semejantes, nos queda: e −2x2 + 7x − 5 ≤ 0. 3−x −(2x2 − 7x + 5) ≤ 0. −(−3 + x) (2x2 − 7x + 5) ≤ 0. (x − 3) Multiplicando la desigualdad por (x − 3) 2 , con x = 3, (2x2 − 7x + 5)(x − 3) ≤ 0. 7 5 2 x2 − + (x − 3) ≤ 0, 2 2 Factorizando el factor de segundo grado podemos obtener una expresi´n a la cual o aplicar el m´todo del ejercicio 3. e 5 2 (x − 1) x − (x − 3) ≤ 0. 2 Utilizando el m´todo reducido con tres factores tenemos que la soluci´n de la primera e o desigualdad es: 5 x≤1 o ´ ≤ x < 3. 2
  • 33. 26 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Para completar el ejercicio debemos encontrar la soluci´n a la segunda desigualdad o e intersectar los conjuntos soluci´n . o 6x − 5 < 9x + 1 6x − 9x < 1 + 5 −3x < 6 x > −2. La soluci´n al sistema es : o 5 −2 < x ≤ 1 o ´ ≤ x < 3. 216. Si x ∈ R− , resuelva la desigualdad (x − 4)2 ≤ (2x + 1)2 . Soluci´n: o (x − 4)2 ≤ (2x + 1)2 (x − 4)2 − (2x + 1)2 ≤ 0 [(x − 4) + (2x + 1)] [(x − 4) − (2x + 1)] ≤ 0 (3x − 3)(−x − 5) ≤ 0 (3x − 3)(x + 5) ≥ 0 3(x − 1)(x + 5) ≥ 0. As´ tenemos: ı [x − 1 ≥ 0 y x + 5 ≥ 0] o [x − 1 ≤ 0 y x + 5 ≤ 0] ´ Esto es: [x ≥ 1 y x ≥ −5] o [x ≤ 1 y x ≤ −5]. ´ finalmente, x ≥ 1 o x ≤ −5. ´ Teniendo en cuenta que s´lo debemos encontrar soluciones negativas, tenemos que o x ≤ −5 satisface el enunciado.
  • 34. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 27Ejercicios propuestos 1. Demuestre el teorema 1.1.20 (ii). 2. Demuestre el teorema 1.1.21 (iv). 3. Demuestre el teorema 1.1.23. 4. Demuestre que, si a > 1, entonces a 2 > a. 5. Demuestre que si a < b y c < d, entonces ad + bc < ac + bd. 6. Demuestre que si a, b ∈ R, entonces a 2 + b2 = 0 si y s´lo si a = 0 y b = 0. o 7. Demuestre que si 0 ≤ a < b, entonces a 2 ≤ ab < b2 . a c 8. Demuestre que si a, b, c, d son n´ meros positivos tales que u < , entonces b d a a+c c < < . b b+d d 9. Demuestre que si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces a+bc+d ac + bd < . 2 2 2 b−a d−c Indicaci´n: o Para comenzar observe que , y su producto son 2 2 n´ meros positivos. u10. Si a, b, c son n´ meros positivos, demuestre que a 2 + b2 + c2 > ab + bc + ac y que u (a + b)(b + c)(a + c) > 8abc.11. Demuestre que si a, b > 0, entonces a b 2≤ + . b a12. Use el ejercicio anterior para demostrar que si a, b, c > 0, entonces 1 1 4 ≤ (a + b)( + ) a b y 1 1 1 9 ≤ (a + b + c)( + + ). a b c Adem´s, demuestre que ab(a + b) + bc(b + c) + ac(a + c) > 6abc. a
  • 35. 28 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD13. Demuestre que 1 1 x3 +3 ≥ x2 + 2 x x para todo x > 0. ¿ Cu´ndo se cumple la igualdad ? a14. Demuestre que si a, b, c son n´ meros reales fijos con a > 0, el menor valor del u polinomio cuadr´tico Q(x) = ax2 + 2bx + c es (ac − b2 )/a. De saberse que Q(x) ≥ 0 a para todo n´ mero real x, ¿ qu´ podr´ concluirse de los coeficientes a, b, c ? u e ıa 115. Demuestre que si x < 0, entonces x + ≤ −2. x16. Determine el conjunto {x ∈ R : (x + 1)(x − 2) > 0}.17. Determine el conjunto {x ∈ R : (x + 1)(2 − x) > 0}.18. Determine el conjunto {x ∈ R : (4x − 7)(x + 2) < 0}.19. Determine el conjunto {x ∈ R : (3x − 8)(3x + 8) < 0}.20. Determine el conjunto {x ∈ R : 2x2 − x − 15 < 0}.21. Resuelva la desigualdad −6 + 7x − 2x 2 > 0. (x − 1)(x + 2)22. Resuelva la desigualdad > 0. x−2 2−x23. Resuelva la desigualdad ≥ 0. x2 + 3x + 2 x−a24. Si a > 0 resuelva ≥ 0. x+a25. Resuelva la desigualdad 2x3 − 3x2 ≥ 0. x2 − 426. Resuelva la desigualdad ≤ 0. x27. Determine el conjunto {m ∈ R : mx2 + (m − 1)x + (m − 1) < 0 ; ∀ x ∈ R}.28. Resuelva la desigualdad 4x4 − 12x2 + 9 < 0. x29. Resuelva la desigualdad ≥ 0. x+2 2 2−x30. Resuelva la desigualdad − ≤ 1. x x−1
  • 36. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 29 1 − 2x31. Resuelva la desigualdad ≤ −1. x+3 x2 + 4x − 1232. Resuelva la desigualdad ≤ −1. x2 − 6x + 8 x3 − 933. Resuelva la desigualdad ≥ 0. x−2 x3 − 6x2 + 12x − 834. Resuelva la desigualdad ≤ 0. x−235. Resuelva el sistema de desigualdades 1 − 2x ≤ −1 x+3 x x −4 ≤ − 3. 3 436. Resuelva el sistema de desigualdades x2 + 6x − 7 ≤ 0 x2 − x ≤ 0.37. Resuelva el sistema de desigualdades x2 − 2x − 3 ≥ 0 x3 − x2 + 2x ≥ 0.1.1.4. Una distancia en R: el valor absoluto Los axiomas de orden nos permiten comparar n´ meros reales y gracias a la udensidad de R sabemos que si a < b, entre ellos podemos insertar una infinidad de n´ meros ureales distintos. Esto puede hacer perder la perspectiva de cu´n lejos o cercanos est´n estos a an´ meros. Aun cuando el estar cerca o lejos es una cuesti´n relativa al problema concreto u oen que estamos involucrados, es util tener un m´todo para poder discernir en cada caso. ´ ePara ello se define una distancia en R eligiendo como punto de referencia, en principio, elcero. Esta idea la realiza el llamado valor absoluto de un n´ mero. uDefinici´n 1.1.30 Llamaremos valor absoluto del n´ mero a ∈ R, denotado por | a | al o un´ mero: u a si a ≥ 0 | a |= −a si a < 0
  • 37. 30 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Existen formas equivalentes de definir el valor absoluto. √Por ejemplo |a| = m´x{a, −a} o |a| = a2 . a La definici´n 1.4.1 nos dice en particular que | 0 |= 0, | 4 |= 4, | −4 |= 4. En ogeneral, podemos apreciar que el n´ mero a y su inverso aditivo −a est´n a igual distancia del cero. Usando algunas u aconsecuencias del orden de R , sabemos que todo n´ mero negativo es menor que uno upositivo. As´ podemos hacer el siguiente gr´fico: ı, a s q s - s s s - 0 a = |a| a 0 −a = |a| Figura 1.4.1: Valor absoluto Todav´ no hay ninguna raz´n, que pueda deducirse de los axiomas, para pensar ıa oa R como el continuo geom´trico de una l´ e ınea recta.Teorema 1.1.31 (i) |a| ≥ 0. (ii) |a| = | − a|. (iii) −|a| ≤ a ≤ |a|. (iv) |a| = 0 ⇐⇒ a = 0. (v) |a · b| = |a| · |b|. (vi) Si b ≥ 0, |a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b.(vii) Si b ≥ 0, |a| ≥ b ⇐⇒ a ≥ b o a ≤ −b. ´(viii) |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular). Demostraci´n: o (i) Si a ∈ R, por tricotom´ tenemos las posibilidades: a > 0 o a = 0 o a < 0. Analicemos ıa cada una de ellas. • Si a > 0 entonces |a| = a > 0 • Si a = 0 entonces |0| = 0 • Si a < 0 entonces −a = |a| > 0 As´ en todos los casos |a| ≥ 0 ı
  • 38. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 31 (ii) Nuevamente, y as´ se recomienda en toda demostraci´n relativa al valor absoluto, ı o separaremos los casos usando el axioma de tricotom´ ıa. • Si a > 0 entonces −a < 0, por tanto: |a| = a y | − a| = −(−a) = a, por teorema1.1.2. As´ en este caso se cumple |a| = | − a| ı, • Si a = 0 entonces |0| = | − 0| = 0 • Si a < 0 entonces −a > 0, por tanto: |a| = −a, | − a| = −a y as´ vemos que ı tambi´n se tiene en este caso, |a| = | − a|. e(iii) Si a ≥ 0 entonces |a| = a. Adem´s, siendo a positivo (−a) es negativo o cero, por a tanto −|a| ≤ a ≤ |a|. Si a < 0 entonces |a| = −a y −a > 0. Por tanto a < −a y tenemos que −|a| = a < −a = |a|, cumpli´ndose tambi´n en este caso la propiedad. e e(iv) (⇐) Si a = 0, por definici´n |a| = |0| = 0 o (⇒) a ∈ R, por tricotom´ a > 0 o a < 0 o a = 0. Para tener la conclusi´n debemos ıa ´ o descartar las posibilidades a > 0 y a < 0. ◦ Si a > 0 entonces |a| = a > 0, lo que contradice la hip´tesis, por tanto no o puede darse a > 0. ◦ Si a < 0 entonces |a| = −a > 0, tambi´n contradice la hip´tesis. e o As´ lo unico posible es que a = 0. ı, ´ (v) Dados a, b ∈ R, por tricotom´ se tiene que (a · b > 0) o (a · b = 0) o (a · b < 0). ıa ´ ´ • Si a · b > 0 entonces por teorema 1.1.22, (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0). Por ´ definici´n de valor absoluto se tiene: |a · b| = a · b y para la primera posibilidad o |a| = |a| y |b| = b, por lo que |a| · |b| = a · b, cumpli´ndose el teorema. Si se da la e segunda posibilidad, entonces |a| = −a y |b| = −b as´ |a|·|b| = (−a)·(−b) = a·b. ı Nuevamente obtenemos la conclusi´n. o • Si a·b = 0 entonces por teorema 1.1.5, a = 0 o b = 0, entonces |a·b| = 0 = |a|·|b|. • Si a · b < 0 se deja como ejercicio, pues es an´loga al caso a · b > 0. a(vi) (⇒) ◦ Si a ≥ 0 entonces |a| = a y por hip´tesis |a| ≤ b lo que implica que a ≤ b. o Como b ≥ 0 entonces −b ≤ 0 y por tanto −b ≤ a ≤ b. ◦ Si a < 0 entonces |a| = −a y por hip´tesis −a ≤ b y como −a ≥ 0 y −b ≤ 0 o se tiene −b ≤ a ≤ −a ≤ b, es decir, −b ≤ a ≤ b. (⇐) ◦ Si a ≥ 0 entonces |a| = a. Por hip´tesis |a| ≤ b. o
  • 39. 32 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD ◦ Si a < 0 entonces |a| = −a. Por hip´tesis −a ≤ b y por tanto |a| ≤ b. o −b 0 b Distancia al cero menor o igual a b.(vii) (⇒) Supongamos |a| ≥ b. Si a ≥ 0 entonces |a| = a y por tanto a ≥ b. Si en cambio a < 0, entonces |a| = −a y en este caso −a ≥ b, por teorema 1.1.20, a ≤ −b. (⇐) Es an´loga a la correspondiente implicaci´n de (vi). a o −b 0 b Distancia al cero mayor o igual a b.(viii) En virtud de (vi), demostrar (viii) es equivalente a demostrar: −(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ |a| + |b|, que es lo que haremos. Por (iii) −|a| ≤ a ≤ |a| −|b| ≤ b ≤ |b| sumando miembro a miembro ambas desigualdades se obtiene (viii). • Si a y b son positivos. 0 a a b b a |a+b|=|a|+|b| • Si a y b son negativos. |a+b|=−a−b a+b b a 0 |a|=−a |b|=−b |a + b| = distancia al cero de a + b = −a − b.
  • 40. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 33 • Si a y b tienen distintos signos. a > 0, b < 0 b a b −a a + b 0 a −b −b a |a+b| |a|+|b|=a−b |a + b| < |a| + |b|.Ejercicios resueltos 1. Analice en qu´ casos la desigualdad triangular se transforma en una igualdad. e Soluci´n: (i) Si a y b son n´ meros positivos, a + b es positivo, entonces tenemos: o u |a + b| = a + b = |a| + |b| (ii) Si a y b son n´ meros negativos, a + b es negativo, entonces tenemos: u |a + b| = −(a + b) = (−a) + (−b) = |a| + |b| (iii) Si a y b tienen signos diferentes, la desigualdad es una desigualdad estricta. Por ejemplo, si a = −4 y b = 2, entonces |a + b| = |(−4) + 2| = | − 2| = 2, en cambio, |a| + |b| = 4 + 2 = 6 2. Demuestre que ||a| − |b|| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|. Soluci´n: Aplicando la desigualdad triangular tenemos, |a| = |a−b+b| ≤ |a−b|+|b|. o Luego |a|−|b| ≤ |a−b|. An´logamente |b| = |b−a+a| ≤ |b−a|+|a| = |a−b|+|a| por a desigualdad triangular y teorema 1.1.31 (ii). Entonces −|a − b| ≤ |a| − |b|. Por tanto, de estas dos desigualdades y el teorema 1.1.31 (vi) concluimos que ||a| − |b|| ≤ |a − b|. Finalmente, |a − b| = |a + (−b)| ≤ |a| + | − b| = |a| + |b| por desigualdad triangular y teorema 1.1.31 (ii). 3. Resuelva la ecuaci´n |x − 1| = 3. o Soluci´n: Por definici´n de valor absoluto |x − 1| = 3 implica x − 1 = ±3. Si o o x − 1 = 3, tenemos x = 4. Si x − 1 = −3, tenemos x = −2.
  • 41. 34 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 4. Resuelva la ecuaci´n |3x − 5| + 3 = 0. o Soluci´n: Como el valor absoluto no toma valores negativos, la ecuaci´n propuesta o o no tiene soluci´n. o 5. Resuelva la ecuaci´n |x + 2| = |x − 4|. o Soluci´n: Debemos analizar dos casos: Primer caso. Las cantidades entre barras o tienen el mismo signo, entonces x + 2 = x − 4, por tanto, 2 = −4. Como esto es imposible, en este caso no hay soluci´n. Segundo caso. Las cantidades entre barras o tienen distinto signo, entonces x + 2 = −(x − 4) = −x + 4, por tanto, x = 1. 6. Resuelva la ecuaci´n |x2 − 4x| = 4|x − 4|. o Soluci´n: o |x2 − 4x| = 4|x − 4| |x(x − 4)| = 4|x − 4| |x||(x − 4)| = 4|x − 4| As´ |x| = 4, si x = 4. ı, Luego, x = −4 es una soluci´n y la otra es |x − 4| = 0.esto es x = 4. o 7. Determine el conjunto A = {x ∈ R : |2x + 3| ≤ 6}. Soluci´n: Si |2x + 3| ≤ 6 por teorema 1.1.31 (vi) tenemos que −6 ≤ 2x + 3 ≤ 6 ⇐⇒ o 9 3 −9 ≤ 2x ≤ 3 ⇐⇒ − ≤ x ≤ . 2 2 9 3 Por lo tanto, A = {x ∈ R : − ≤ x ≤ }. 2 2 8. Resuelva la inecuaci´n |5x − 8| > 4. o Soluci´n: Por teorema reft1.4.2 (vii), tenemos que: o 5x − 8 > 4 o 5x − 8 < −4 5x > 12 o 5x < 4 12 4 x> o x< 5 5 9. Resuelva la inecuaci´n |x − 4| ≥ |2x − 1|. o Soluci´n: Como las expresiones entre barras cambian de signo cuando x = 4 y o 1 cuando x = , analizaremos las distintas posibilidades que esto implica. 2
  • 42. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 35 1 Si x ≤ , ambas expresiones son negativas, entonces la desigualdad queda como 2 −(x − 4) ≥ −(2x − 1), 1 que da los valores x ≥ −3. Por tanto, tenemos que −3 ≤ x ≤ . 2 1 Si < x < 4, las expresiones entre barras tienen distintos signos y nos queda la 2 desigualdad: 2x − 1 ≤ 4 − x, 5 que tiene soluci´n x ≤ . Junto a la suposici´n bajo la cual estamos trabajando , o o 3 1 5 da la soluci´n < x ≤ . o 2 3 Si x > 4, ambas expresiones son positivas y la desigualdad toma la forma: x − 4 ≥ 2x − 1. Lo que implica −3 ≥ x que es incompatible con x > 4, por tanto, en este caso no hay soluci´n. o 5 ıntesis, la desigualdad dada tiene por soluci´n :−3 ≤ x ≤ . En s´ o 310. Determine el conjunto B = {x ∈ R : |x − 1| ≤ |x|}. Soluci´n: o Si |x − 1| ≤ |x| por teorema 1.1.31 (vi), entonces −|x| ≤ x − 1 ≤ |x|. Luego, B = B1 ∩ B2 donde B1 = {x ∈ R : −|x| ≤ x − 1} y B2 = {x ∈ R : x − 1 ≤ |x|}. Si −|x| ≤ x − 1, entonces |x| ≥ 1 − x. Luego, por teorema 1.1.31 (vii) x ≥ 1 − x o x ≤ −(1 − x) = x − 1, es decir, 2x ≥ 1 o 1 ≤ 0. Por tanto, s´lo tenemos que o 1 1 2x ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ . (¿ Por qu´ ?). Luego, B1 = {x ∈ R ; x ≥ }. Si x − 1 ≤ |x| por e 2 2 teorema 1.1.31 (vii), x − 1 ≤ x o x ≤ −(1 − x) lo que es equivalente a 0 ≤ 1 o 1 ≤ 0. ´ La primera proposici´n es verdadera y esto implica que x − 1 ≤ x se cumple para o todo x ∈ R. La segunda es falsa, es decir no existe x ∈ R tal que x ≤ −1 + x . La uni´n de ambos conuntos soluci´n dice que esta proposici´n es verdadera para todo o o o x ∈ R. Luego B = R. 111. Resuelva la desigualdad |x + | ≥ 4. x
  • 43. 36 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 |x2 + 1| x2 + 1 Soluci´n: Si x = 0, |x + o | = = , pues x2 + 1 es positivo para x |x| |x| x2 + 1 todo x ∈ R. Por tanto, la desigualdad enunciada se puede escribir como ≥ 4. |x| Multiplicando la desigualdad por |x|, obtenemos: x2 + 1 ≥ 4|x|, lo que da origen a dos desigualdades: a) x2 − 4x + 1 ≥ 0, si x > 0. b) x2 + 4x + 1 ≥ 0, si x < 0. Ambas deben ser resueltas con el m´todo del ejercicio 2 de la secci´n 1.3. e o12. Si a, b, c son n´ meros dados tales que a < b < c. Encuentre los distintos valores que u puede tomar f (x) = |x − a| + |x − b| + |x − c|. Soluci´n: o Si x ≤ a, todas las expresiones entre barras son negativas o nulas, por tanto, f (x) = −(x − a) − (x − b) − (x − c) = −3x + a + b + c. Si a < x ≤ b, f (x) = x − a − (x − b) − (x − c) = −x − a + b + c. Si b < x ≤ c, f (x) = x − a + x − b − (x − c) = x − a − b + c. Si x > c, f (x) = x − a + x − b + x − c = 3x − a − b − c.13. Escriba f (x) = |x + 1| + |x − 1| − 2|x| sin que aparezcan los signos del valor absoluto. Soluci´n: Siguiendo un procedimiento similar al del o ejercicio 12, obtenemos:   0  si x < −1  2x + 2 si −1 ≤ x < 0 f (x) =  2 − 2x  si 0≤x≤1  0 si x > 1.
  • 44. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 37 2x2 − 3x − 114. Sea f (x) = para 2 ≤ x ≤ 3. 2x − 1 Encuentre una constante M de modo que |f (x)| ≤ M para todo x tal que 2 ≤ x ≤ 3. |2x2 − 3x − 1| Soluci´n: Como |f (x)| = o . Por la desigualdad triangular |2x − 1| |2x2 − 3x − 1| ≤ 2|x2 | + 3|x| + 1 ≤ 2 · 32 + 3 · 3 + 1 = 28 ya que |x| ≤ 3. Por otro lado, 1 1 |2x − 1| ≥ 2|x| − 1 ≥ 2 · 2 − 1 = 3, ya que |x| ≥ 2. Luego ≤ para x ≥ 2. |2x − 1| 3 28 Por lo tanto, |f (x)| ≤ . 3 28 28 Luego, podemos escoger M = . Observemos que cualquier M > resuelve el 3 3 28 problema, y es probable que no sea la elecci´n m´ o ınima posible para M . 3 x2 − 4x + 315. Resuelva ≤ 1. x2 − 2x + 1 x2 − 4x + 3 (x − 3)(x − 1) x−3 Soluci´n: o = = , cuando x = 1 . Por tanto la x2 − 2x + 1 (x − 1)(x − 1) x−1 desigualdad se redude a: |x − 3| ≤ |x − 1|, la que es equivalente a |x − 3| ≤ |x − 1|. Analizaremos los distintos casos: Si x ≤ 1, ambas expresiones entre barras son neg- ativas, por lo cual tenemos: −(x − 3) ≤ −(x − 1). Esto implica 3 ≤ 1, como esto es imposible, no hay soluci´n en este caso. o Si 1 < x ≤ 3, las expresiones entre barras tienen signos distintos, por tanto: −x + 3 ≤ x − 1. Lo que nos da 2 ≤ x que junto a la suposici´n 1 < x ≤ 3 nos da 2 ≤ x ≤ 3. El ultimo o ´ caso por analizar es x > 3, que conduce a −3 ≤ −1, que se cumple siempre. As´ laı, soluci´n es x ≥ 2. o
  • 45. 38 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADEjercicios propuestos √ 1. Demuestre que |a| = m´x{a, −a} = a a2 . 2. Demuestre que si a, b ∈ R, entonces: a) |a2 | = a2 b) |a + b|2 + |a − b|2 = 2|a|2 + 2|b|2 a |a| c) = si b = 0 b |b| d) |a + b| = |a| + |b| si y solo si ab ≥ 0 e) a|b| ≤ |ab|. 3. Demuestre que, y est´ entre x y z si y s´lo si |x − y| + |y − z| = |x − z|. a o 4. Demuestre que si a < x < b y a < y < b, entonces |x − y| < b − a. En los siguientes ejercicios encuentre los x ∈ R que satisfacen las siguientes desigual- dades: 5. |4x − 5| = 13 6. |4x − 5| ≤ 13 7. |x2 − 1| = 3 8. |x2 − 1| ≤ 3 9. |x − 1| = |x + 1|10. |x − 1| > |x + 1|11. 2|x| + |x − 1| = 212. |x| + |x + 1| < 2 x2 − 113. ≤ 3. x+1 x2 − 114. ≤ 3. x−1 x2 − 2x − 315. ≤ 5. x2 − 4x + 3
  • 46. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 39 x2 − 5x + 616. < 2. x2 − 11x + 30 x2 − 5x + 617. = 2. x2 − 11x + 30 x2 − 5x + 618. > 2. x2 − 11x + 3019. Si f (x) = |x − 2| + |1 − 2x|. Encuentre una expresi´n para f (x) o que no contenga valores absolutos.20. Si x = 8a + 4b − 3 , y = 5a + 13b + 4 20, 84 < a < 20, 85 y − 5, 64 < b < −5, 63. Encuentre n´ meros K; M tales que: u |x + y| < K y |x − y| < M.21. Encuentre el valor m´ximo de y de modo que para todo x se cumpla: a |x − a1 | + |x − a2 | + . . . + |x − an | ≥ y, con a1 < a2 < . . . < an . ¿Cu´ndo se cumple la igualdad ? a22. Demuestre que si |x| < ε para todo ε > 0, entonces x = 0.23. Si d(x, y) = |x − y| representa la ”distancia entre x e y”. Demuestre que a) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ∀ x, y ∈ R b) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ R c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀ x, y, z ∈ R. 1 d) Encuentre el conjunto A = {y ∈ R : d(y, ) ≤ 3}. 2 e) Encuentre el conjunto B = {y ∈ R : d(y, −4) < 5}. f) Dados x0 , r ∈ R, encuentre el conjunto C = {y ∈ R : d(y, x 0 ) < r}.1.1.5. La continuidad de R: el axioma del supremo Con el Axioma del Supremo se completa el conjunto de axiomas que caracterizantotalmente a R, es decir, R es el unico conjunto que verifica los axiomas de Cuerpo , de ´Orden y el Axioma del supremo. Las consecuencias de mayor trascendencia del Axioma del Supremo son la exis-tencia de n´ meros irracionales y la propiedad arquimediana de los n´ meros reales. u u
  • 47. 40 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD De los axiomas de cuerpo solamente puede deducirse, en primera instancia, la existenciade al menos dos n´ meros distintos el 0 y el 1. La suma de unos da origen a los n´ meros u unaturales. La resta de n´ meros naturales da origen a los n´ meros enteros y finalmente la u udivisi´n de enteros genera la aparici´n de los n´ meros racionales. En s´ o o u ıntesis, para tenerel conjunto de los n´ meros racionales bastan los axiomas de cuerpo y orden. Pero, estos un´ meros no son suficientes para la construcci´n del c´lculo diferencial e integral cuyos u o aconceptos b´sicos necesitan la continuidad de los n´ meros reales. Esta propiedad de R la a uproporciona el Axioma del supremo. En particular, para tener una idea intuitiva deesto, solamente podemos pensar R como un continuo geom´trico: la recta n´ merica, lo que e use obtiene una vez que al conjunto de los n´ meros racionales se le agregan los n´ meros u uirracionales que pueden ser concebidos como supremos de ciertos conjuntos de n´ meros uracionales.Definici´n 1.1.32 Si A es un conjunto de n´ meros reales, entonces y es una cota supe- o urior de A si y s´lo si y es un n´ mero real y para cada x ∈ A, x ≤ y. o uEjemplo 1.1.33 1. El conjunto {2, 4, 6, 8, 10} es acotado superiormente por cualquier n´ mero mayor o igual a 10. u 2. El conjunto {x ∈ R : x < 3} es acotado superiormente por cualquier n´ mero mayor u o igual a 3. 3. El conjunto {x2 + 1, −1 ≤ x ≤ 1} es acotado superiormente por cualquier n´ mero u mayor o igual a 2. Cotas superiores de A AUna observaci´n importante es que si un conjuntro tiene una cota superior entonces existen oinfinitas cotas superiores del conjunto. Por lo tanto, tiene sentido la siguiente definici´n. oDefinici´n 1.1.34 Si A es un conjunto de n´ meros reales, el n´ mero y es el supremo o u ude A si y s´lo si y es una cota superior de A y para cada z que es cota superior de A se otiene y ≤ z. Es decir el supremo es la menor de las cotas superiores.La definici´n de supremo, salvo en casos elementales, no es f´cil de usar, para fines m´s o a apr´cticos suele usarse la siguiente caracterizaci´n del supremo. a o
  • 48. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 41Teorema 1.1.35 Caracterizaci´n del supremo oSi A es un conjunto de n´ meros reales entonces y es el supremo de A si y s´lo si y es una u ocota superior de A y para cada n´ mero real positivo ε existe un x en A tal que y − ε < x. u Demostraci´n: o(⇒) Sea y el supremo de A. Entonces por definici´n y es una cota superior. o Sea ε ∈ R, ε > 0. Supongamos por contradicci´n que no existe x ∈ A tal que o y − ε < x, en tal caso, esto es equivalente a afirmar que x ≤ y − ε, para todo x en A, por tanto y − ε es una cota superior de A pero y − ε < y, lo que contradice la hip´tesis que y es el supremo de A. As´ debe existir o ı al menos un x ∈ A mayor que y − ε.(⇐) Por hip´tesis y es una cota superior. Para que y sea el supremo de A, debe ser la o menor de las cotas superiores. Supongamos que existe una cota superior de A, z menor que y. Entonces z < y y x < z para todo x ∈ A. Como z < y entonces y − z > 0. Aplicando la hip´tesis con o ε = y − z, tenemos que existe x ∈ A, x > y − (y − z). Es decir, existe x ∈ A tal que x > z. Pero esto contradice que z es cota superior de A. La contradicci´n proviene o de suponer la existencia de una cota superior de A menor que y. As´ y es la menor ı, cota superior de A y, por tanto, su supremo. A A y − ε xε ∈ A y = sup A z−ε z = sup ATeorema 1.1.36 Un conjunto de n´ meros reales puede tener a lo m´s un supremo. u a Demostraci´n: Supongamos que un conjunto A ⊆ R tenga dos supremos: y, z; y = z. oM´s precisamente supongamos z < y. Como en la demostraci´n del teorema 1.1.35 se tiene a oy − z > 0. Tomando este n´ mero positivo como un ε particular, por definici´n de supremo u opodemos concluir que existe x ∈ A tal que x > y − (y − z), lo que implica que x > z, quecontradice que z sea supremo de A. Por tanto, existe a lo m´s un supremo de un conjunto ade n´ meros reales. u Es interesante observar que el conjunto vac´ es acotado superiormente por cualquier ıon´ mero real. Esto se obtiene usando reducci´n al absurdo. Luego, no existe un n´ mero u o ureal que sea el supremo del vac´ ıo.
  • 49. 42 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADAxioma del Supremo : Si un conjunto no vac´ de n´ meros reales tiene una cota ıo usuperior, entonces tiene supremo en R. Cada una de las definiciones y conclusiones relativas a cotas superiores y supre-mos tiene un paralelo en la definici´n de cota inferior e ´ o ınfimo. Las demostraciones de losteoremas son totalmente similares a las ya demostradas, por lo que se deja como ejercicio.Definici´n 1.1.37 Si A es un conjunto de n´ meros reales, entonces y es una cota inferior o ude A si y s´lo si y es un n´ mero real y para cada x en A, x ≥ y. o uDefinici´n 1.1.38 Si A es un conjunto de n´ meros reales, entonces y es el ´ o u ınfimo de Asi s´lo si y es una cota inferior de A y para cada z que es una cota inferior de A, y ≥ z. oEs decir, el ´ ınfimo es la mayor de las cotas inferiores.Teorema 1.1.39 Si A es un conjunto de n´ meros reales, entonces y es el ´ u ınfimo de A siy s´lo si y es una cota inferior de A y para cada n´ mero real positivo ε existe un x en A o utal que x < y + ε. Demostraci´n: Ejercicio. oTeorema 1.1.40 Un conjunto de n´ meros reales puede tener a lo m´s un ´ u a ınfimo . Demostraci´n: Ejercicio. o Observemos que el conjunto vac´ es acotado inferiormente por cualquier n´ mero real. ıo uLuego, no existe un n´ mero real que sea el ´ u ınfimo del conjunto vac´ ıo.Teorema 1.1.41 Si un conjunto no vac´ de n´ meros reales tiene una cota inferior, en- ıo utonces tiene ´ ınfimo en R. Demostraci´n: Ejercicio. oDefinici´n 1.1.42 Si A es un conjunto de n´ meros reales, entonces p es el primer ele- o umento (respectivamente u es el ultimo elemento ) de A si y s´lo si p es un elemento de ´ oA y para cada x en A, p ≤ x (respectivamente u ∈ A, x ≤ u).Teorema 1.1.43 Un conjunto de n´ meros reales tiene a lo m´s un unico primer elemento u a ´(respectivamente ultimo ). ´Teorema 1.1.44 Todo conjunto de n´ meros reales que tiene primer (respectivamente uultimo) elemento tiene ´´ ınfimo (respectivamente supremo).
  • 50. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 43Supremo e ´ ınfimo de conjuntos finitosSi A es un conjunto finito de R, entonces podemos contar sus elementos y escribirlo como A = {a1 , a2 , a3 , . . . , . . . an }.Adem´s, podemos ordenarlos y conocer el mayor o ultimo elemento del conjunto que a ´podemos simbolizar como m´x A = m´x{a i : i = 1, . . . , n}. An´logamente su menor o a a aprimer elemento es m´ A = m´ i : i = 1, . . . , n}. En virtud del teorema 1.1.44, el ın ın{aconjunto A tiene supremo e ´ ınfimo.Es decir, todo conjunto finito tiene supremo e´ınfimo . Adem´s, a sup A = m´x A a inf A = m´ A ınAs´ los conjuntos finitos no son muy interesantes desde el punto de vista de sus supremo ı,e´ ınfimo.Corolario 1.1.45 Si un conjunto contiene una cota superior (respectivamente inferior)entonces ´sta es su supremo (respectivamente ´ e ınfimo). El rec´ ıproco del teorema 1.1.44 es falso. Pues, existen conjuntos de n´ meros ureales que poseen ´ ınfimo y supremo sin tener primer y/o ultimo elemento. Por ejemplo, el ´conjunto {x ∈ R : a < x < b}tiene supremo, pero no ultimo elemento y tambi´n tiene ´ ´ e ınfimo, sin tener primer elemento.Ver ejercicio. Este ejemplo, adem´s, nos muestra claramente que supremos o ´ a ınfimos noson necesariamente elementos del conjunto. Pero si pertenecen al conjunto, son a la vezultimo o primer elemento seg´ n el caso. Esto puede visualizarse en el conjunto:´ u {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.Los casos m´s importantes de aplicaci´n del Axioma del Supremo son aquellos para los a ocuales el supremo ( ´ınfimo) no pertenece al conjunto. Este es el caso en que surgen losn´ meros irracionales como supremos o ´ u ınfimos de ciertos conjuntos de n´ meros racionales. uDefinici´n 1.1.46 Llamaremos intervalos acotados a cualquiera de los siguientes con- ojuntos: {x ∈ R : a < x < b} = ]a, b[ {x ∈ R : a < x ≤ b} = ]a, b] {x ∈ R : a <≤ x < b} = [a, b[ {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} = [a, b],donde a, b ∈ R son n´ meros fijos tales que a < b. u
  • 51. 44 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADTeorema 1.1.47 Principio de Arqu´ ımedes N no es acotado superiormente. Demostraci´n: Supongamos por contradicci´n que N es acotado superiormente. o o Por Axioma del Supremo, existe s = sup N ∈ R. Por tanto n ≤ s, para todo n ∈ N.Usando teorema 1.1.35 con ε = 1, tenemos la existencia de n ∗ ∈ N tal que s − 1 < n∗ , olo que es lo mismo s < n∗ + 1. Pero n∗ ∈ N, as´ n∗ + 1 ∈ N y es mayor que el supremo de ıN. Lo cual no puede ser, luego N no puede ser acotado superiormente.Observaci´n 1.1.48 Una forma equivalente de enunciar el Principio de Arqu´ o ımedes es: Dado un n´ mero real a, existe n ∈ N tal que a < n. Puesto que si no existiera tal n, u ıamos que para todo n ∈ N n ≤ a, y a ser´ una cota superior de N.tendr´ ıaTeorema 1.1.49 Dado un n´ mero real peque˜ o, positivo, ε < 1, siempre existe un n ∈ N u n 1tal que 0 < < ε. n 1 Demostraci´n: Como 0 < ε < 1 tenemos que 0 < , luego por el Principio de o ε 1 1Arqu´ımedes existe n ∈ N tal que < n. Es decir, < ε. ε n La propiedad arquimediana de los n´ meros reales, refleja algo as´ como el sentido u ıcom´ n llevado al mundo de las magnitudes. Cuando se quiere medir el largo de un segmento ullevando sobre ´l un segmento unidad, siempre es posible dejar un resto (si es que lo hay) einferior a la unidad. O lo que es lo mismo, es posible llevar el segmento unidad una cantidadsuficiente de veces sobre el segmento a medir, de modo que se termina por sobrepasarlo.Esta situaci´n con los s´ o ımbolos que hemos introducido puede escribirse como: dado b(segmento a medir) y a (segmento unidad), siempre existe un n´ mero natural n tal que un · a > b. Si en particular tenemos a = 1, entonces dado b siempre existe n tal que n > b.Son diferentes maneras de expresar una misma propiedad. Con este principio, estamos excluyendo magnitudes infinitamente peque˜ as (o ngrandes) en comparaci´n con otras. Como veremos m´s adelante, esta propiedad juega un o arol fundamental en nuestra aritm´tica y en la geometr´ euclidiana. e ıa Por cierto existen situaciones no arquimedianas, la m´s simple de todas es tratar ade medir un segmento con longitud positiva mediante puntos. Otras m´s complejas pueden averse en el libro de Fraenkel, p´gina 123. aEl siguiente p´rrafo puede ser omitido. aPotencias de exponente racional El objetivo de este p´rrafo es mostrar que la existencia de ra´ a ıces es una consecuenciadel Axioma del Supremo y con ello aparecen los n´ meros irracionales m´s elementales. u a
  • 52. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 45Todas las ra´ ıces de n´ meros naturales que no son cuadrado de otro n´ mero natural son u u √ √irracionales. En la ´poca de Plat´n se conoc´ la naturaleza irracional de 2 hasta 17. e o ıa Para extender las potencias a exponente racional debemos, en primer lugar, 1considerar los n´ meros racionales no enteros, de la forma , q ∈ N. u q 1 √Definici´n 1.1.50 o (i) Si a ∈ R+ , q ∈ N, denotaremos por a q o ´ q a al unico y ∈ R+ ´ tal que y q = a 1 √ (ii) Si a ∈ R− , q ∈ N, q impar, denotaremos por a q o ´ q a al unico y ∈ R− tal que ´ yq = a 1 √(iii) Si a = 0 se define 0 q = q 0 = 0. √ 1 El n´ mero q a se lee ra´z q-´sima de a o la potencia u ı e de a. qTeorema 1.1.51 1. Si x > 0, n ∈ N, 0 < ε ≤ 1 entonces (x + ε)n ≤ xn + εK y (x − ε)n ≥ xn − εK, donde K es una constante positiva que s´lo depende de n y x. o 2. Si x < 0, n ∈ N impar, 0 < ε ≤ 1, entonces (x + ε)n ≤ xn + εK y (x − ε)n ≥ xn − εK, donde K es una constante positiva que s´lo depende de n y x. o El siguiente teorema justifica la definici´n 1.1.50. oTeorema 1.1.52 Existencia de ra´ ıces. (i) Si a > 0 y n ∈ N, entonces existe un unico x ∈ R + tal que xn = a. ´ (ii) Si a < 0 y n ∈ N es impar, entonces existe un unico x ∈ R − tal que xn = a. ´ Demostraci´n: o
  • 53. 46 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD (i) Sea A = {y ∈ R : y ≥ 0 , y n ≤ a}. A es no vac´ pues 0 ∈ A. Demostremos ahora que A es acotado superiormente. Si ıo, a ≥ 1, entonces si A no es acotado superiormente, debe existir y ∈ A tal que a < y lo que implica en este caso que a < y n . Pero esto contradice el hecho que y ∈ A. Por tanto, para a ≥ 1, A debe ser acotado superiormente. Ahora, si 0 < a < 1, como y n ≤ a, se tiene que y n ≤ 1, lo que implica que y ≤ 1 usando ejercicio resuelto 1. Como lo anterior vale para cualquier y ∈ A, 1 es una cota superior para A cuando 0 < a < 1. Por lo tanto, si a > 0, A es acotado superiormente. Luego el axioma del Supremo nos asegura la existencia en R de sup A. Sea x = sup A. N´tese que por la definici´n de x, ´l es unico. Demostremos a continuaci´n que o o e ´ o xn = a. Si nuestra afirmaci´n anterior fuera falsa tendr´ o ıamos por tricotom´ıa que xn > a o xn < a. Analicemos ambos casos. Caso xn < a: Por teorema 1.1.51, para 0 < ε ≤ 1 se tiene que (x + ε) n ≤ xn + εK, donde K es una constante positiva que s´lo depende de n y x. Como a − x n > 0 por hip´tesis, o o a − xn por la propiedad arquimediana de R existe de ε > 0 tal que ε < m´ ın{1 , }. K Luego: a − xn xn + εK ≤ K = a − xn . K Por tanto, (x + ε)n ≤ a y x + ε ∈ A. Lo que contradice que x es una cota superior de A. Caso a < xn : Por teorema 1.1.51, para 0 < ε ≤ 1 se tiene que (x − ε) n ≥ xn − εK, donde K es una constante positiva que s´lo depende de n y x. Como x n − a > 0 por hip´tesis, o o la propiedad arquimediana de R nos asegura la tal existencia de ε > 0 tal que xn − a ε < m´ ın{1, }. Como x = sup A, para ε > 0 debe existir y 0 ∈ A tal que K x < y0 + ε. La expresi´n anterior implica que x − ε < y 0 . Luego: o (xn − a) y0 > (x − ε)n ≥ xn − εK > xn − n K = xn − xn + a = a. K Lo que contradice el hecho que y0 ∈ A. De analizar los dos casos y en ambos llegar a contradicciones, concluimos que x n = a.
  • 54. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 47Ejercicios resueltos Analice la existencia de cotas inferiores, superiores, mayor y menor elemento, supremose´ ınfimo para los siguientes conjuntos, donde a, b son n´ meros fijos. u 1. A1 = {ax + b; −2 ≤ x ≤ 3} Soluci´n: Si a > 0, entonces o −2 ≤ x ≤ 3 −2a ≤ 3a −2a + b ≤ ax + b ≤ 3a + b, para todo − 2 ≤ x ≤ 3. Por tanto, −2a + b es una cota inferior y 3a + b es una cota superior de A 1 . Adem´s, a estas cotas pertenecen al conjunto , por lo que son el menor y mayor elemento, respectivamente y tambi´n el ´ e ınfimo y el supremo de A 1 . Si a < 0, entonces −2 ≤ x ≤ 3 3a ≤ x ≤ −2a. Por tanto, los roles de −2a + b y 3a + b se inverten y se tiene que: inf A1 = 3a + b, sup A1 = −2a + b. 2. A2 = {ax + b; −2 < x ≤ 3} Soluci´n: Si a > 0, se tiene como en el caso anterior: o −2a + b < ax + b ≤ 3a + b, para todo − 2 < x ≤ 3. La unica diferencia con el respectivo caso anterior es que −2a + b no pertenece al ´ conjunto, por lo cual aunque sigue siendo cota inferior e ´ ınfimo de A 2 , no es el menor elemento. M´s a´ n , a u A2 , no tiene el menor elemento. En efecto, supongamos que x ∗ es el menor elemento de A2 . Entonces, −2 < x∗ y −2a + b < −2x∗ + b < −2x + b, para todo −2 < x ≤ 3. Pero, la propiedad de densidad de los n´ meros reales asegura la existencia de un z ∗ u tal que −2 < z ∗ < x∗ , lo que a su vez implica −2z ∗ + b < −2x∗ + b. Pero, esto contradice el hecho que x ∗ s el menor elemento de A2 .
  • 55. 48 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 3. A3 = {ax + b; −2 ≤ x < 3} Soluci´n: Usando los mismos argumentos se obtiene: o sup A3 = 3a + b, inf A3 = −2a + b, si a > 0. inf A3 = 3a + b, sup A3 = −2a + b, si a < 0. Si a > 0, A3 no tiene mayor elemento; si a < 0, A3 no tiene menor elemento. 4. A4 = {ax + b; −2 < x < 3} Soluci´n: o El ´ ınfimo y el supremo son los mismos que en los casos anteriores, pero A 4 no tiene menor ni mayor elemento. 5. Demuestre que el conjunto A5 = {ax + b, x ∈ R} no es acotado ni superior ni inferiormente. Soluci´n: Supongamos que A5 es acotado superiormente y que a > 0. Entonces, o existe M ∈ R tal que: ax + b ≤ M, para todo x ∈ R, lo que implica, M −b x≤ , para todo x ∈ R. a M −b Pero, esto nos dice que es una cota superior de R, lo cual es una contradicci´n. o a De la misma forma se demuestra que A5 no es acotado inferiormente. 6. Encuentre cotas superiores e inferiores para el conjunto {x 2 + x − 2; −2 ≤ x ≤ 1}. Soluci´n: x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1), del m´todo para analizar el signo de un o e trinomio de segundo grado, visto en el ejercicio 2 de la secci´n 1.3, sabemos que o este trinomio es negativo para −2 < x < 1, se anula en x = −2 y x = 1 y para los restantes valores de x es positivo. Por tanto, 0 es una cota superior del conjunto. Para encontrar una cota inferior, que si existe, es negativa; Debemos encontrar un n´ mero k tal que para todo z < k, la ecuaci´n u o x2 + x − 2 = z no tenga soluci´n en R. x2 + x − 2 − z = 0 no tiene ra´ o ıces reales si 1 + 4(2 + z) < 0,
  • 56. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 49 9 es decir, z < − = −2, 25 = k, el n´ mero buscado. u 4 En consecuencia, para todo z < −2, 25 no existe x tal que x 2 + x − 2 = z. Por tanto, cualquier n´ mero menor o igual que −2, 25 es una cota inferior de nuestro conjunto. u Ahora veamos si −2, 25 pertenece al conjunto. Para ello debemos resolver la ecuaci´n o x2 +x−2 = −2, 25, que tiene por soluci´n x = −0, 5. As´ −2, 25 es el menor elemento o ı, del conjunto y por tanto, su ´ ınfimo. 6(x2 + 2x − 1) 7. Dada la expresi´n f (x) = o , −2x2 − 3 a) ¿ Para qu´ valores de x tiene sentido f (x) ? e b) Demuestre que f (x) est´ acotada superiormente por 3 e inferiormente por -4. a c) ¿ C´mo elegir x para que f (x) = 3? o d) ¿ C´mo elegir x para que f (x) = −4? o e) a ınfimo del conjunto {f (x); x ∈ R}? ¿ Cu´l es el supremo y el ´ Soluci´n: o a) Para que la expresi´n f (x) tenga sentido es necesario excluir los valores de x o que anulan el denominador. −2x2 − 3 = 0 es equivalente a 2x2 + 3 = 0, pero como todo n´ mero al cuadrado es positivo o nulo, 2x 2 + 3 no se anula para u ning´ n valor de x. Por tanto, f (x) vale para todo x ∈ R. u b) Para poder demostrar que f (x) es acotada superiormente por 3, supondremos que esto es verdad, as´ podremos encontrar una expresi´n para iniciar la de- ı o mostraci´n. o 6(x2 + 2x − 1) 6(1 − 2x − x2 ) = −2x2 − 3 2x2 + 3 6(1 − 2x − x2 ) < 3 2x2 + 3 6 − 12x − 6x2 < 6x2 + 9 0 < 12x2 + 12x + 3 0 < 3(4x2 + 4x + 1) 0 < 3(2x + 1)2 Como la ultima desigualdad es siempre v´lida, en rigor ´sta debe ser el punto ´ a e de partida de la verdadera demostraci´n. o
  • 57. 50 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Para demostrar que f (x) es acotada inferiormente por -4, supondremos que en borrador hicimos el procedimiento ya mostrado y ahora haremos la de- mostraci´n : o 0 < 2(x − 3)2 0 < 2(x2 − 6x + 9) 0 < 2x2 − 12x + 18 −8x2 − 12 < 6 − 12x − 6x2 −4(2x2 + 3) < 6 − 12x − 6x2 6(1 − 2x − x2 ) −4 < 2x2 + 3 1 c) La ecuaci´n f (x) = 3 es equivalente a 2x + 1 = 0, lo que nos da x = − . La o 2 1 ecuaci´n f (x) = −4, tiene soluci´n x = 3. Es decir, f (3) = −4 y f (− ) = 3. o o 2 Por lo tanto, −4 y 3 pertenecen al conjunto {f (x); x ∈ R} y en virtud del corolario 1.1.45 estos n´ meros son , respectivamente, el ´ u ınfimo y el supremo. 8. Demuestre que en los conjuntos finitos ultimo elemento y supremo coinciden. ´ Soluci´n: Sea F un subconjunto finito de R. Sea u ∈ F el mayor de todos los o elementos de F . Como el conjunto es finito, basta comparar los elementos de F todos con todos y hallar tal u. Luego x ≤ u para todo x ∈ F . Por tanto, u es el ultimo elemento. Por otro lado, u es cota superior de F y si consideramos otra cota ´ superior c de F ella satisface que x ≤ c para todo x ∈ F . En particular u ∈ F , luego u ≤ c. Por tanto, u es la menor cota superior. Luego u = sup F . 9. Si A ⊂ R es un conjunto no vac´ definimos por −A al conjunto {−x : x ∈ A}. ıo, Demuestre que si A es acotado inferiormente, entonces −A es acotado superiormente e inf A = − sup(−A). Soluci´n: Si A es acotado inferiormente, sea c una cota inferior de A, entonces o c ≤ x para todo x ∈ A. Luego −x ≤ −c para todo x ∈ A. Esto implica que −c es una cota superior de −A, y por axioma del supremo, existe el supremo de −A. Sea a = sup(−A) y b = inf A, como b es la mayor cota inferior de A, b ≤ x para todo x ∈ A. Luego −x ≤ −b para todo x ∈ A, lo que implica que −b es cota superior de −A. Si c es una cota superior de −A, −x ≤ c, para todo x ∈ A, lo que implica que −c ≤ x para todo x ∈ A. Por tanto, −c es una cota inferior de A y como b = inf A, debemos tener que −c ≤ b. Lo anterior implica que −b ≤ c; y siendo c una cota superior arbitraria de −A, concluimos que −b es el supremo de −A. Como
  • 58. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 51 el supremo de un conjunto es unico, por teorema 1.1.36, −b = a, como quer´ ´ ıamos demostrar.10. Demuestre que sup R− = inf R+ = 0. Soluci´n: Como R+ = −R− , por ejercicio resuelto 2, tenemos que sup R − = inf R+ . o Demostremos que sup R− = 0. Supongamos que no es as´ como 0 es una cota superior ı, − de R − , entonces sup R− < 0. Del teorema 1.1.26 tenemos que x = sup R satisface 2 que sup R− < x < 0. Luego, x ∈ R− y sup R− < x, lo que contradice la definici´n de o sup R− . Por tanto, sup R− = 0 como quer´ıamos demostrar. 111. Demuestre que inf{ : n ∈ N} = 0 . n 1 Soluci´n:: 0 es cota inferior del conjunto pues, 0 < o para todo n ∈ N. Supongamos n 1 que I > 0, entonces por el teorema 1.1.49 existe n ∈ N tal que 0 < < I. Lo cual n es una contradicci´n con la definici´n de I. Por tanto, I = 0. o o12. Sean a y b n´ meros reales. Demuestre que si para todo ε > 0, a < b + ε, entonces u a ≤ b. Soluci´n: Como a − b < ε para todo ε > 0, a − b es cota inferior de R + . Por el o ejercicio anterior, inf R+ = 0. Por lo tanto, a − b ≤ 0 y luego a ≤ b.13. Demuestre que R no es acotado superior ni inferiormente. Soluci´n: Supongamos que R es acotado superiormente, entonces existe M ∈ R tal o que x ≤ M para todo x ∈ R. Luego, como M + 1 ∈ R tendr´ ıamos que M + 1 ≤ M , lo que implica que 1 ≤ 0; pero esto es una contradicci´n con el teorema 1.1.25. Por o tanto, R no puede estar acotado superiormente. Ahora si R fuera acotado inferiormente, entonces por ejercicio resuelto 2 −R estar´ ıa acotado superiormente y como −R = R, tendr´ ıamos que R es acotado superiormente. Por tanto, R no puede estar acotado inferiormente.14. Dados a, b ∈ R tal que a < b, considere los siguientes conjuntos definidos en 1.1.46: A1 = ]a, b[ A2 = [a, b[ A3 = ]a, b] A4 = [a, b].
  • 59. 52 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Demuestre que : sup A1 = sup A2 = sup A3 = sup A4 = b e inf A1 = inf A2 = inf A3 = inf A4 = a. Soluci´n: Es f´cil ver que b es cota superior de A 1 , A2 , A3 y A4 por la definici´n de o a o los conjuntos. Ahora, usando el teorema 1.1.35, veamos que b es el supremo de estos conjuntos. Consideremos ε > 0 arbitrario. Por teorema 1.1.26, tenemos que (b − ε) + b b−ε< <b 2 (b − ε) + b luego, si x = tenemos que x ∈ Ai con i = 1, . . . , 4; puesto que x < b. 2 Adem´s, b − ε < x. Luego, b = sup Ai con i = 1, . . . , 4. Notemos que si ε ≥ b − a a cualquier x ∈ Ai con i = 1, . . . , 4 satisface la propiedad del teorema 1.1.35 para b como candidato a supremo. Como −A1 = {x ∈ R : −b < x < −a}, entonces por lo demostrado en el p´rrafo a anterior sup −A1 = −a, luego por lo demostrado en ejercicio resuelto 2 concluimos que inf A1 = a. An´logamente inf A2 = inf A3 = inf A4 = a. a Veamos ahora que A1 a pesar de tener ´ ınfimo no tiene primer elemento. Si este existiera y fuera p, entonces, p ∈ A1 y p ≤ x ; x ∈ A1 . Sin embargo, sabemos que a+p a+p a+p siendo a < p se tiene que a < < p, y luego ∈ A1 y < p. Pero esto 2 2 2 es una contradicci´n con el hecho que p es el primer elemento de A 1 . Por tanto, A1 o no tiene primer elemento. De modo an´logo, A3 no tiene primer elemento y A1 , A2 no tienen ultimo elemento. a ´15. Dado A ⊂ R no vac´ y a ∈ R, definimos a + A = {a + x : x ∈ A}. Demuestre ıo que si A es acotado superiormente, entonces a + A es acotado superiormente y sup(a + A) = a + sup A. Soluci´n: Sea u = sup A, entonces, x ≤ u para cualquier x ∈ A, y a + x ≤ a + u. Por o tanto, a+u es una cota superior de a+A; por consiguiente, se tiene sup(a+A) ≤ a+u. Si v es cualquier cota superior del conjunto a + A, entonces a + x ≤ v para todo x ∈ A. Entonces, x ≤ v − a para todo x ∈ A, lo cual implica que u = sup A ≤ v − a. As´ a + u ≤ v y como a + u es una cota superior de a + A, se concluye que ı sup(a + A) = a + u = a + sup A. Usando ejercicio resuelto 2, puede probarse una proposici´n an´loga para ´ o a ınfimos. En efecto,
  • 60. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 53 inf(a + A) = − sup[−(a + A)] = − sup[−a + (−A)] = −[−a + sup(−A)] = a − sup(−A) = a + inf A. Para que lo anterior tenga sentido, A debe ser un subconjunto no vac´ de R acotado ıo inferiormente. Adem´s debe demostrarse que −(a + A) = −a + (−A), lo cual es a inmediato.Ejercicios propuestos 1. Demuestre teorema 1.1.39. 2. Demuestre teorema 1.1.40. 3. Demuestre teorema 1.1.41. 4. Demuestre teorema 1.1.43. 5. Demuestre teorema 1.1.44. 6. Demuestre 14 de los ejercicios resueltos sin usar teorema 1.1.35. 7. Demuestre sin usar ejercicio resuelto 14 que: a) sup[−5, 2[) = 2 y inf[−5, 2[= −5. b) sup{x ∈ R : −x2 + 3x − 2 > 0} = 2 y inf{x ∈ R : −x2 + 3x − 2 > 0} = 1. 1 c) sup{−x2 + 3x − 2 : x ∈ R} = . 4 8. Dado el conjunto A = {x ∈ R : |x − 3| < 4} a) Encuentre cotas superiores e inferiores para A y su complemento A c . b) Encuentre el sup A, inf A, sup Ac , inf Ac si es que existen. Encuentre cotas superiores e inferiores para los siguientes conjuntos: 9. {x2 + 1; −1 ≤ x ≤ 1}.
  • 61. 54 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD10. {x2 + 1; x ∈ R}. 111. ; −1 ≤ x ≤ 1 . x2 +1 112. ; x∈R . x2 +113. {1 − x − x2 ; −2 ≤ x ≤ 1}.14. {x2 + x − 1; x ∈ R}.15. {1 − x − x2 ; x ∈ R}.16. Si x = 3b − a + 2, y = 3a − b + 7 y los n´ meros a y b est´n acotados como sigue: u a 2, 20 < a < 2, 21 ; 3, 44 < b < 3, 45. Encuentre cotas superiores e inferiores para x x, y, x + y, x − y, xy, . Compare x e y. y17. Sean A y B subconjuntos de R y λ ∈ R, entonces consideremos los conjuntos: A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. λA = {λa : a ∈ A}. AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}. a) Sea A ⊂ R no vac´ y acotado. Muestre que si λ ≥ 0, entonces sup(λA) = ıo λ sup A y inf(λA) = λ inf A. Busque contraejemplos para mostrar que no se tienen tales igualdades cuando λ < 0. b) Sean A, B ⊂ R no vac´ y acotados. Demuestre que: ıos sup(A + B) = sup A + sup B y inf(A + B) = inf A + inf B. ¿Cu´ndo sup(AB) = (sup A)(sup B) e inf(AB) = (inf A)(inf B) ? En tal caso a demuestre que se satisfacen dichas igualdades. c) Sean A, B subconjuntos de R tal que A ⊂ B y B acotado. Muestre que A es acotado y que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B. d) Sean A, B subconjuntos no vac´ y acotados de R . Muestre que ıos sup(A ∪ B) = m´x{sup A, sup B} a y inf(A ∪ B) = m´ ın{inf A, inf B}. e) Sea f : A ⊂ R → R una funci´n con recorrido acotado. Demuestre que si o A0 ⊂ A, entonces: inf{f (x) : x ∈ A} ≤ inf{f (x) : x ∈ A0 } ≤ sup{f (x) : x ∈ A0 } ≤ sup{f (x) : x ∈ A}.
  • 62. ´1.1. LOS NUMEROS REALES 55 f) Sean f, g : A ⊂ R → R funciones con recorrido acotado. Demuestre que: inf{f (x) : x ∈ A} + inf{g(x) : y ∈ A} ≤ inf{f (x) + g(x) : x ∈ A} ≤ inf{f (x) : x ∈ A} + + sup{g(x) : y ∈ A} ≤ sup{f (x) + g(x) : x ∈ A} ≤ sup{f (x) : x ∈ A} + + sup{g(y) : y ∈ B}18. Dados los n´ meros reales a, b, demuestre que: u a + b + |a − b| a) sup{a, b} = . 2 a + b − |a − b| b) inf{a, b} = . 2
  • 63. 56 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD1.2. L´ ımites de funciones num´ricas de variable discreta. e1.2.1. Las variables discretas y el conjunto N Si una magnitud var´ mediantes saltos, como por ejemplo el n´ mero de personas que ıa ullegan a la caja de un banco en intervalos de tiempos fijos, el n´ mero de nacimientos o umuertes medidos d´ a d´ se dice que es discreta. Otra forma de concebir algo discreto ıa ıa,es algo que al ser fraccionado pierde su esencia. Por ejemplo: la mitad de una mesa no esuna mesa y la tercera parte de 34 nacimientos no son 11,333....nacimientos. En cambio,existen otras magnitudes que permiten, al menos abstractamente, infinitas posibilidadesde divisi´n. Las m´s t´ o a ıpica de las magnitudes continuas son el tiempo y la temperatura.Las variables discretas, en general, aparecen al contar objetos, sucesos o fen´menos y, por otanto, el modelo matem´tico b´sico de una variable discreta es el conjunto de los n´ meros a a unaturales N.En una relaci´n funcional de variable independiente y dependiente, cuando la variable oindependiente es discreta necesariamente la variable dependiente tambi´n lo es, este tipo ede asignaci`n se les llama sucesiones. Una sucesi´n es una abstracci´n de un proceso o o ocuyas etapas se pueden contar y extender indefinidamente.Definici´n 1.2.1 Se llama sucesi´n de n´ meros reales a una funci´n definida sobre o o u oN con valores en R, es decir, una regla que pone en correspondencia de manera unica´los elementos de N con n´ meros reales.En otras palabras, una sucesi´n es una funci´n u o of : N → R tal que a cada n le asigna f (n) = a n . Tambi´n suele denotarse como {an } y a ean se le llama el t´rmino general de la sucesi´n. e o Antes de entrar en el estudio de las sucesiones enunciaremos algunas de las propiedadesm´s relevantes del conjunto de los n´ meros naturales. a uTeorema 1.2.2 Principio de Inducci´n Sea n ∈ N y P (n) una propiedad satisfecha opor n. Si se cumple lo siguiente: (i) P (1) es verdadera. (ii) El hecho que P (n) es verdadera implica que P (n + 1) es verdadera.Entonces, la propiedad P (n) se satisface para todo n ∈ N.Teorema 1.2.3 Principio del Buen Orden N es un conjunto bien ordenado, esto significa que todo subconjunto A no vac´ de N ıotiene primer elemento.
  • 64. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 57 El Principio de Inducci´n es el m´todo m´s seguro, a veces el unico, para demostrar o e a ´propiedades de los n´ meros naturales. Existe un teorema paralelo a ´ste, que nos da la u eposibilidad de garantizar que ciertas funciones sobre los n´ meros naturales est´n bien u adefinidas, tal es el Teorema de Recurrencia, que vamos a enunciar para cultura de loslectores, pero que no demostraremos aqu´ı.Teorema 1.2.4 Teorema de Recurrencia Si x es un n´ mero real y G una funci´n sobre R con valores reales, entonces existe una u ounica F tal que:´ (i) F es una funci´n sobre N. o (ii) F (1) = x.(iii) Para cada n, F (n + 1) = G(F (n)).Ejemplo 1.2.5 Una forma de definir sucesiones es usando el Teorema de Recurrencia. a) Dados los n´ meros reales x, d, una progresi´n aritm´tica es la sucesi´n definida por u o e o recurrencia de la forma siguiente: a1 = x an+1 = an + d En este caso, la funci´n G es G(z) = z + d donde d es una constante real. o b) Dados los n´ meros reales x, r, se define una progresi´n geom´trica de la siguiente u o e manera recursiva: a1 = x an+1 = an · r ; En este caso, la funci´n G es G(z) = rz donde r es una constante real. o c) La definici´n por recurrencia puede involucrar expl´ o ıcitamente a m´s de un t´rmino a e ya conocido, por ejemplo: a1 = a 2 = 1 an+1 = 2an + 3an−1 . Esto se obtiene al considerar F (n + 1) = G(F (n − 1), F (n)) y G : R × R → R, G(x, y) = 3x + 2y.
  • 65. 58 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADEl teorema de Recurrencia no s´lo se usa para definir sucesiones, las siguientes dos defini- ociones son otros casos, muy conocidos, en que se usa este util teorema. ´Definici´n 1.2.6 Dado x ∈ R, se define x 1 = x y xn+1 = xn x. o Tomando x fijo y G(y) = yx, el teorema nos asegura la existencia de una unica funci´n ´ oF sobre N tal que F (1) = x y F (n + 1) = G(F (n)) = F (n)x. Por convenci´n F (n) la oescribimos como xn .Definici´n 1.2.7 Se define el s´ o ımbolo n! mediante el siguiente esquema recursivo: 1! = 1 (n + 1)! = n!(n + 1)1.2.2. Convergencia de sucesionesDefinici´n 1.2.8 Diremos que una sucesi´n es acotada si existe un n´ mero positivo M o o utal que |an | < M , para todo n ∈ N.Definici´n 1.2.9 Diremos que una sucesi´n es: o o (i) estrictamente creciente si an < an+1 , para todo n. (ii) creciente si an ≤ an+1 , para todo n.(iii) estrictamente decreciente si a n > an+1 , para todo n.(iv) decreciente si an ≥ an+1 , para todo n. (v) mon´tona si satisface cualquiera de las condiciones anteriores. oEjemplo 1.2.10 1. La sucesi´n cuyo t´rmino general est´ definido por a n = n2 , es o e a creciente. En efecto, usando las propiedades de las potencias: n < n + 1 =⇒ n2 < (n + 1)2 . Esta sucesi´n no es acotada superiormente por la propiedad arquimediana de los o n´ meros reales. u 1 2. La sucesi´n an = , es decreciente, y acotada inferiormente por 0. En efecto, o n cualquiera sea n ∈ N, se tiene que: 1 1 1 n < n + 1 =⇒ > y > 0. n n+1 n
  • 66. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 59 3. La sucesi´n an = (−1)n es acotada, pues |an | = 1, para todo n; pero no es creciente o ni decreciente. 4. Consideremos la sucesi´n definida por recurrencia o a1 = −4 1 an = an−1 + 4, si n ≥ 2 2 1 2 5 13 Esta sucesi´n es tal que: a2 = 2 (−4) + 4 = 2, a3 = o 2 + 4 = 5, a4 = 2 +4 = 2 . Podemos sospechar que esta sucesi´n es creciente, pero debemos demostrarlo. Lo o haremos usando inducci´n. La propiedad P (1) toma la forma: a 1 ≤ a2 . Calculando o a1 y a2 , podemos verificar r´pidamente que a 1 = −4 < a2 = 2. a Ahora supongamos que se satisface la propiedad P (n) que en nuestro caso toma la forma: an < an+1 ; entonces, debemos demostrar que a n+1 < an+2 . En efecto: 1 1 an+1 = an + 4 < an+1 + 4 = an+2 (por hip´tesis de inducci´n). o o 2 2 Usando nuevamente el principio de inducci´n, demostraremos que esta sucesi´n es o o acotada por 8: 1 1 a1 = −4 < 8. Supongamos que an < 8, entonces an+1 = 2 an + 4 < 2 8 + 4 = 8. Por ser creciente, tenemos que |an | < 8. √ Una forma de aproximar el n´ mero irracional 2 es mediante la sucesi´n definida u orecursivamente: a1 = 1 1 2 an+1 = an + . 2 an √Para que efectivamente este procedimiento num´rico d´ aproximaciones de 2, se necesita e e √que en cada etapa se obtenga un valor m´s cercano al n´ mero 2, pero como el proceso se a upuede extender indefinidamente, debemos detenernos en alg´ n instante seg´ n el grado de u uexactitud deseado. ¿ Pero qui´n puede asegurarnos que lo que uno observa en las primeras eetapas sea una propiedad intr´ ınseca de la sucesi´n ? Es decir, ¿se conserva siempre la opropiedad que en cada etapa la aproximaci´n es m´s exacta? ¿C´mo estar seguro de ello? o a o Podemos citar otro ejemplo: En los albores del pensamiento racional en el siglo V a.C,Zen´n de Elea plante´ sus famosas paradojas para dejar constancia de la imposibilidad o o-seg´ n ´l- de concebir abstractamente el movimiento. En particular, si el espacio fuera u e
  • 67. 60 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADcontinuo, entonces cuando alguien va desde un punto A a un punto B, en alg´ n instante u ABest´ en a ; al seguir avanzando, en otro instante est´ en la mitad de la mitad, es decir, a 2 AB ABen + . En el instante n, se encuentra en 2 4 AB AB AB + 2 + ... + n . 2 2 2 Este es un proceso que se extiende indefinidamente teni´ndose una suma infinita de en´ meros positivos la cual, en la ´poca de Zen´n, se pensaba deb´ ser infinita. Por tanto, u e o ıaen teor´ nunca se pod´ llegar al punto B, cosa que evidentemente contradice la realidad. ıa ıa Si el proceso de avanzar por sucesivas mitades es una forma de reflejar el poder ir deA hasta B, entonces, ¿com´ sumar una cantidad infinita de n´ meros positivos de modo o uque nos d´ AB ? Evidentemente no debe ser una suma aritm´tica, pues por este camino e ellegamos a la misma conclusi´n de Zen´n. o o Para resolver este tipo de problemas, surgi´ el concepto de l´ o ımite de una sucesi´n, que oen algunos casos coincide con supremos e ´ ınfimos.El conjunto R Para dar una idea de una magnitud que crece o decrece indefinidamentenecesitamos ampliar el conjunto R introduciendo los s´ ımbolos −∞ y +∞ = ∞ y susrelaciones aritm´ticas y de orden. En este caso R = R ∪ {−∞, +∞}. e 1. Para todo x ∈ R, −∞ < x < +∞. Se preservan las propiedades fundamentales de las desigualdades. 2. (+∞) + a = +∞, para todo a ∈ R. 3. (−∞) + a = −∞, para todo a ∈ R. 4. (+∞) · a = +∞, si a > 0. 5. (+∞) · a = −∞, si a < 0. 6. (−∞) · a = −∞, si a > 0. 7. (−∞) · a = +∞, si a < 0. 8. (−∞) · (−∞) = +∞ 9. (−∞) · (+∞) = (+∞) · (−∞) = −∞10. (+∞) · (+∞) = +∞
  • 68. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 61 Es importante enfatizar que las operaciones con estos s´ ımbolos que no est´n expl´ a ıcita-mente definidas no tienen sentido, es decir, cuando ellas aparecen no se puede concluirnada. Por esta raz´n suele llam´rseles formas indeterminadas Ejemplos de formas in- o adeterminadas son: (+∞) + (−∞) , (+∞) · 0 , (−∞) · 0.Definici´n 1.2.11 Diremos que un n´ mero L, es el l´ o u ımite de una sucesi´n {a n } si odado un n´ mero positivo ε existe un n´ mero natural N tal que si n ≥ N , se cumple que u u |an − L| < εes decir, L − ε < an < L + ε, para todo n ≥ N . En este caso, escribimos: L = l´ an o an → L cuando n → ∞ y tambi´n suele decirse ım ´ e n→∞que la sucesi´n {an } converge hacia L. oInterpretaci´n geom´trica del l´ o e ımite. Si {a n } es una sucesi´n convergente a L en- otonces, graficando la sucesi´n, se debe observar que a partir de alg´ n n los a n comienzan o ua acercarse al punto L. Dado un ε a partir de n suficientemente grande, todos los valores de la sucesi´n se oencuentran en la franja (L − ε, L + ε). L− L L+ an an+1 Figura 1.2.1: Interpretaci´n geom´trica del l´ o e ımite. 5Ejemplo 1.2.12 1. Si an = 1 + , la sucesi´n {an } converge a L = 1. En efecto, o n+1 dado ε > 0 debemos encontrar N tal que si n > N , entonces 5 5 5 |an − L| = |1 + − 1| = | |= n+1 n+1 n+1 debe ser menor que ε. Imponiendo la condici´n, despejamos n. o 5 5 Para que < ε es necesario y suficiente que − 1 < n. n+1 ε 5 As´ usando la propiedad arquimediana, dado el n´ mero − 1 existe un N tal que ı, u ε N > 5 − 1, de modo que si n ≥ N , entonces ε 5 n> −1 ε
  • 69. 62 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 5 n+1 > ε n+1 1 > 5 ε 5 < ε. n+1 2. La sucesi´n constante con t´rmino general a n = c, para todo n, tiene l´ o e ımite L = c. Pues, dado ε > 0, para todo n se tiene que |a n − L| = |c − c| = 0 < ε. 1 3. La sucesi´n an = , tiene l´ o ımite L = 0 que es, a su vez, el ´ ınfimo del conjunto n 1 { : n ∈ N}. La demostraci´n es la misma. o n 4. La sucesi´n an = (−1)n , aunque es acotada, no tiene l´ o ımite. Cualquier n´ mero u candidato a l´ ımite, en particular los valores 1, -1, no cumple con la condici´n, pues la o distancia entre dos t´rminos sucesivos |a n − an+1 | = 2; por tanto, tomando cualquier e 0 < ε < 2, es imposible que se satisfaga la definici´n 1.2.11. o 5. La sucesi´n an = n2 , por ser creciente y no acotada superiormente, los t´rminos para o e n grandes no pueden acumularse en torno a un n´ mero fijo. uDefinici´n 1.2.13 Si una sucesi´n no converge, entonces diremos que diverge. Es decir, o ouna sucesi´n {an } diverge si: oDado L ∈ R existe ε > 0 tal que para todo n existe otro n´ mero natural m, m ≥ n de modo que |a m −L| ≥ ε. uEjemplo 1.2.14 Las sucesiones de las partes 4 y 5 del ejemplo 1.2.12 divergen.Teorema 1.2.15 Si una sucesi´n {an } tiene l´ o ımite, L entonces el l´ ımite es unico. ´ Demostraci´n: Supongamos que la sucesi´n {a n } converge adem´s hacia el n´ mero o o a uL. Usando definici´n 1.2.11, con L y L, tenemos que, dado ε > 0, existe N tal que si on ≥ N , |an − L| < ε existe N tal que si n ≥ N , |an − L| < ε. Por tanto, usando la desigualdad triangular del valor absoluto, tenemos: |L − L| = |L − L + an − an | = |(L − an ) − (L − an )| ≤ |L − an | + |L − an | < 2ε. Por ser | L − L |< 2ε para todo ε > 0, usando la propiedad demostrada en el ejercicioresuelto 5 de la subsecci´n 1.1.1 tenemos que L = L. Por tanto, si existe el l´ o ımite, ´ste es eunico.´
  • 70. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 63Teorema 1.2.16 Toda sucesi´n convergente es acotada. o Demostraci´n: Sea {an } una sucesi´n convergente hacia L. Aplicando la definici´n o o o1.2.11 con ε = 1, podemos asegurar la existencia de un n´ mero N tal que, si n ≥ N , u|an − L| < 1. Por una propiedad del valor absoluto, |an | − |L| ≤ |an − L |< 1 |an | ≤ |L| + 1, si n ≥ N. Los t´rminos no incluidos en la ultima afirmaci´n son {a 1 , . . . , aN −1 } que constituyen e ´ oun conjunto finito y, por tanto, es acotado. Es decir, |an | ≤ M , para todo n ∈ N.Para M = sup{|a1 |, . . . , |an |, |L| + 1}. As´ tenemos que {an } es acotada. ı Una consecuencia del teorema 1.2.16 es que una sucesi´n no acotada no es convergente. o Tal como en el caso de las funciones num´ricas de variable continua, existe una a- eritm´tica de sucesiones; el siguiente teorema nos dice c´mo se conserva la propiedad de e oconvergencia a trav´s de las operaciones aritm´ticas. e eTeorema 1.2.17 Sean {an } y {bn } sucesiones convergentes. Entonces se cumplen lassiguientes propiedades: (i) l´ (an + bn ) = l´ an + l´ bn . ım ım ım n→∞ n→∞ n→∞ (ii) l´ (an · bn ) = l´ an · l´ bn . ım ım ım n→∞ n→∞ n→∞ an l´ an ım(iii) l´ ım = n→∞ ; cuando l´ bn = 0. ım n→∞ bn l´ bn ım n→∞ n→∞ Demostraci´n: o (i) Sean L1 = l´ an , L2 = l´ bn . Dado ε > 0, existen n´ meros naturales N 1 , N2 ım ım u n→∞ n→∞ tales que: ε |an − L1 | < ; para todo n ≥ N1 2 ε |bn − L2 | < ; para todo n ≥ N2 . 2 Entonces, si N ≥ sup{N1 , N2 } ε ε |(an +bn )−(L1 +L2 )| = |(an −L1 )+(bn −L2 )| ≤ |an −L1 |+|bn −L2 | < + = ε ; para todo n ≥ N. 2 2 Por tanto, la sucesi´n {an + bn } converge a L1 + L2 . o
  • 71. 64 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD (ii) Debemos estudiar la distancia entre a n bn y L1 L2 , es decir, estimar el n´ mero |an bn − u L1 L2 |. Para ello, observemos que an bn − L 1 L2 = a n bn − a n L2 + a n L2 − L 1 L2 = an (bn − L2 ) + L2 (an − L1 ) como la sucesi´n {an } es convergente, ella es acotada, as´ existe M > 0 tal que o ı |an | ≤ M , para todo n. |an bn − L1 L2 | ≤ |an ||bn − L2 | + |L2 ||an − L1 | ≤ M |bn − L2 | + |L2 ||an − L1 | Con un argumento como el usado en (i), dado un n´ mero positivo η, existe N tal u que si n ≥ N , entonces |bn − L2 | < η |an − L1 | < η. Entonces |an bn − L1 L2 | ≤ M η + |L2 |η = (M + |L2 |)η para n ≥ N . Si en particular ε elegimos η = , entonces |an bn − L1 L2 | < ε; para n ≥ N . M + |L2 | an 1(iii) Como = an · ; y acabamos de demostrar la convergencia de un producto de bn bn 1 1 sucesiones convergentes, basta que demostremos la convergencia de { } hacia , bn L2 cuando L2 = 0. La condici´n L2 = 0 implica que cuando n crece, los bn no pueden ser cero. En efecto, o 1 1 si L2 = 0 entonces |L2 | > 0. Por lo cual podemos tomar en particular ε = |L2 | y 2 2 1 por definici´n 1.2.11, existe N tal que si n ≥ N entonces |b n − L2 | < |L2 |. De aqu´ o ı, 2 1 1 tenemos que |L2 | − |bn | ≤ |bn − L2 | < |L2 | y por tanto |bn | > |L2 |. 2 2 Ahora analicemos la diferencia 1 1 L2 − b n |L2 − bn | | − |=| |= . bn L2 bn · L 2 |bn ||L2 | 1 2 Pero para n grande, |L2 − bn | < η y < , as´ ı: |bn | |L2 | 1 1 2η 1 | − |< ; si hacemos η = ε | L2 |, bn L2 |L2 | 2
  • 72. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 65 1 1 obtenemos que | − | < ε. bn n Con este resultado y (iii) tenemos que: an 1 1 l´ ım = l´ (an · ım ) = l´ an · l´ ım ım n→∞ bn n→∞ bn n→∞ n→∞ bn l´ an ım . n→∞ = . l´ bn ım n→∞Corolario 1.2.18 Como casos particulares del teorema 1.2.17 tenemos los siguientes re-sultados: (i) l´ (c · an ) = c l´ an ; c =cte. ım ım n→∞ n→∞ (ii) l´ (−an ) = − l´ an . ım ım n→∞ n→∞(iii) l´ (an − bn ) = l´ [an + (−bn )] = l´ an + l´ (−bn ) = l´ an − l´ bn . ım ım ım ım ım ım n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞Observaci´n 1.2.19 En la aplicaci´n del teorema 1.2.17 se debe verificar previamente el o ocumplimiento de la hip´tesis que las sucesiones involucradas sean convergentes, pues en ocaso contrario las conclusiones pueden ser falsas. Sean las sucesiones {an } y {bn } tales que an = n, bn = n, entonces en este caso nopuede usarse la f´rmula (i) del teorema 1.2.17. Pues l´ (an − bn ) = l´ an − l´ bn = o ım ım ım n→∞ n→∞ n→∞+∞ + (−∞) pero an − bn = 0 y l´ (an − bn ) = l´ (0) = 0. ım ım n→∞ n→∞ nEjemplo 1.2.20 1. Encontrar l´ ım . Hemos visto que las sucesiones {n} y {n+1} n+1 n→∞ no son convergentes, por tanto no podemos aplicar la propiedad (iv) del teorema 1.2.17, pero s´ podemos transformar la expresi´n del t´rmino general de modo que ı o e podamos aplicar algunas de las afirmaciones de dicho teorema. Dividiendo el numer- ador y el denominador por n, obtenemos: n 1 = 1. n+1 1+ n 1 n l´ 1 ım n→∞ Por (i) l´ (1 + ım ) = 1. Por (iv) l´ ( ım )= = 1. n→∞ n n→∞ n + 1 1 l´ (1 + ) ım n→∞ n
  • 73. 66 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD n3 + 2n2 − 4 2. Calcule l´ ım . Nuevamente en este caso para aplicar el teorema 1.2.17 n→∞ n4 + 2 debemos transformar la expresi´n, dividiendo numerador y denominador por n ele- o vado a la mayor potencia, en este caso, n 4 . 1 2 4 n3 + 2n2 − 4 n + n2 − n4 an = = 2 . n4 + 2 1+ n4 1 1 1 Como l´ ım = 0, por (ii) sabemos que l´ ( )r = l´ ım ım = 0. Por tanto, n→∞ n n→∞ n n→∞ nr 1 2 4 n3 + 2n2 − 4 l´ ( + 2 − 4 ) ım l´ ( ım )= n→∞ n n n = 0 =0 n→∞ n 4+2 2 1 l´ (1 + 4 ) ım n→∞ n Para usar el teorema 1.2.17 es necesario, como se puede observar en los dos ejemplosanteriores, tener un m´ınimo de sucesiones convergentes de referencia. Para ello es buenotener, aparte de la definici´n, algunos recursos t´cnicos para obtener convergencia como o elos que dan los siguientes teoremas:Teorema 1.2.21 Si la sucesi´n {an } es convergente, entonces {|an |} es convergente y ol´ |an | = | l´ an |. ım ımn→∞ n→∞ Demostraci´n: o Sea L = l´ an ; entonces para n suficientemente grande, ım n→∞|an − L| < ε. Usando propiedades del valor absoluto tenemos: ||an | − |L|| ≤ |an − L| < εlo cual nos dice que {|an |} converge y que l´ |an | = |L|. ım n→∞Teorema 1.2.22 (i) Si {an } es una sucesi´n convergente tal que a n ≥ 0 para todo n. o Entonces, l´ an ≥ 0. ım n→∞ (ii) Si {an } y {bn } son dos sucesiones convergentes tales que a n ≤ bn , para todo n. Entonces, l´ an ≤ l´ bn . ım ım n→∞ n→∞ Demostraci´n: o (i) Sea L = l´ an y supongamos por contradicci´n que L < 0. Entonces −L > 0. ım o n→∞ ımite con ε = −L, tenemos que para n suficientemente Usando la definici´n de l´ o grande |an − L| < −L
  • 74. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 67 En particular an − L < −L y por tanto an < 0, para n grande lo que contradice la hip´tesis. o (ii) Es consecuencia inmediata de (i) tomemos la sucesi´n c n = bn − an . Como an ≤ bn o entonces cn ≥ 0 y por (i) l´ cn ≥ 0. Pero l´ cn = l´ bn − l´ an por teorema ım ım ım ım n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 1.2.17. As´ ı: l´ bn − l´ an ≥ 0 ım ım n→∞ n→∞ l´ bn ≥ l´ an . ım ım n→∞ n→∞Observaci´n 1.2.23 Este teorema no puede ser enunciado solo con la relaci´n > ; por o o 1ejemplo: an = > 0, para todo n; pero l´ an = 0. Es decir, la relaci´n ≤ o ≥ pasa bien ım o n n→∞a trav´s del l´ e ımite, pero no ocurre lo mismo con > o <.Teorema 1.2.24 C´lculo de l´ a ımites por acotamientoSi an ≤ cn ≤ bn y si l´ an = l´ bn , entonces la sucesi´n {cn } es convergente y ım ım o n→∞ n→∞ l´ cn = l´ an = l´ bn . ım ım ımn→∞ n→∞ n→∞ Demostraci´n:o Sea L = l´ an = l´ bn y sea ε > 0. Entonces, para n suficien- ım ım n→∞ n→∞temente grande: |an − L| < ε y; |bn − L| < ε.Como an ≤ cn ≤ bn , tenemos que an − L ≤ cn − L ≤ bn − L. Adem´s que, −ε < an − L ay bn − L < ε, por tanto, −ε < cn − L < ε, lo que implica que |cn − L| < ε, para nsuficientemente grande. As´ l´ cn = L. ı, ım n→∞Corolario 1.2.25 Si l´ |an | = 0, entonces la sucesi´n {an } es convergente y l´ an = 0 ım o ım n→∞ n→∞ Demostraci´n: o −|an | ≤ an ≤ |an | l´ (−|an |) = 0 = l´ |an | ım ım n→∞ n→∞Por tanto, l´ an = 0. ım n→∞Ejemplo 1.2.26 Calcular l´ ım an , donde an est´ dado por: a n→+∞ n+1 n+2 n+n an = 2+1 + 2 + ...... + 2 . n n +2 n +n
  • 75. 68 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADSoluci´n: Para calcular este l´ o ımite no se puede usar el teorema de suma de l´ ımites de-bido a que el n´ mero de sumandos de a n depende de n. Raz´n por la cual cuando n crece u oel n´ mero de sumando tambi´n crece. En casos como este el teorema 1.2.24 es de gran u eutilidad.Acotando cada sumando inferiormente por el menor de todos ellos y acotando superior-mente cada sunando por el mayot de todos nos queda: n+1 n+2 n+n n+1 n+2 n+n 2 +n + 2 + ...... + 2 < an < 2+1 + 2 + ...... + 2 n n +n n +n n n +1 n +1 (n + 1) + (n + 2) . . . . . . (n + n) (n + 1) + (n + 2) . . . . . . (n + n) < an < n2 + n n2 + 1 n 2 + (1 + 2 + . . . + n) n 2 + (1 + 2 + . . . + n) < an < n2 + n n2 + 1 n2 + n(n+1) 2 n2 + n(n+1) 2 < an < n2 + n n2 + 1 3n2 + n 3n2 + n < an < 2n2 + 2n 2n2 + 2 3n2 + n 3n2 + n l´ ım ≤ l´ ım an ≤ l´ım n→+∞ 2n2 + 2n n→+∞ n→+∞ 2n2 + 2 3 3 ≤ l´ ım an ≤ . 2 n→+∞ 2Por lo tanto, hemos demostrado que: n+1 n+2 n+n 3 l´ ım 2+1 + 2 + ...... + 2 = . n→+∞ n n +2 n +n 2 El siguiente teorema es una importante consecuencia del axioma del supremo.Teorema 1.2.27 Teorema de las sucesiones mon´tonas o Toda sucesi´n mon´tona acotada es convergente. Si a 1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ; entonces, o oan ≤ sup {an } = l´ an ; si a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . entonces, an ≥ inf {an } = l´ an . ım ım n→∞ n→∞ Demostraci´n: Haremos s´lo uno de lo casos de monoton´ pues ambos ocupan las o o ıa,mismas ideas. Si la sucesi´n {an } es mon´tona creciente y acotada, existe sup{a n : n ∈ N} = S. o o Demostraremos que S es el l´ ımite de {a n }. Dado ε > 0, por teorema 1.1.35, existe N ∈ N tal que S − ε < a N . Pero la sucesi´no{an } es creciente. Entonces, S − ε < aN ≤ an < S + ε, para todo n ≥ N
  • 76. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 69por lo cual |an − S| < ε, para todo n ≥ N . As´ l´ an = S. ı, ım n→∞Ejemplo 1.2.28 La sucesi´n definida en el ejemplo 1.2.10, parte 4, es creciente y acotada osuperiormente. En virtud del teorema reci´n demostrado, ella converge a su supremo que edebe ser menor o igual a 8. Como ya sabemos que el l´ ımite existe, podemos calcularlousando la definici´n : o 1 an+1 = an + 4. 2Tomamos l´ ımite en ambos miembros y nos queda: 1 L = L + 4. 2Despejando L, obtenemos que L = 8.1.2.3. Divergencia de sucesiones hacia ±∞Definici´n 1.2.29 (i) Diremos que una sucesi´n diverge a +∞, si para cada n´ mero M o o u existe un n´ mero natural N tal que a n > M para todo n ≥ N . Esto lo denotaremos u simb´licamente por l´ an = +∞. o ım n→∞ (ii) Diremos que una sucesi´n diverge a −∞, si para cada n´ mero negativo M existe un o u n´ mero natural N tal que an < M , para todo n ≥ N . uEjemplo 1.2.30 1. l´ n = ∞ ım n→∞ 2. l´ (−n) = −∞ ım n→∞ 3. Toda sucesi´n creciente no acotada superiormente diverge a +∞. o 4. Toda sucesi´n decreciente no acotada inferiormente diverge a −∞. o Ahora veremos algunas propiedades de las sucesiones divergentes: 1Teorema 1.2.31 (i) Si l´ an = +∞, (o bien −∞), entonces l´ ım ım = 0. n→∞ n→∞ an (ii) Si l´ an = +∞ y si la sucesi´n {bn } es acotada inferiormente, entonces ım o n→∞ l´ {an + bn } = +∞. ım n→∞(iii) Si l´ an = +∞ y si bn ≥ c > 0, para todo n, entonces l´ (an · bn ) = +∞. ım ım n→∞ n→∞
  • 77. 70 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD(iv) Si l´ an = +∞ y an ≤ bn , entonces l´ bn = +∞. ım ım n→∞ n→∞ Demostraci´n: o 1 (i) Supongamos l´ an = +∞ y sea ε > 0. Aplicando la definici´n 1.2.29 a M = , ım o n→∞ ε tenemos que existe N tal que si n ≥ N entonces a n > M > 0, o lo que es lo mismo, 1 an > ε 1 0< <ε , para todo n ≥ N. an 1 Es decir, l´ ım = 0. n→∞ an 1 Si l´ an = −∞, tomando −M = ım y con argumentos an´logos se obtiene la a n→∞ ε conclusi´n. o (ii) {bn } acotada inferiormente implica que existe r < b n , para todo n. Como l´ an = ım n→∞ +∞, dado M > 0, existe N tal que an > M − r, cuando n ≥ N . As´ an + bn > M ; ı cuando n ≥ N lo que nos dice que l´ (an + bn ) = +∞. ım n→∞ M(iii) Dado M > 0, tenemos que existe N tal que a n > , cuando n ≥ N . Multiplicando c esta desigualdad por bn ≥ c, obtenemos an bn ≥ M . Por tanto l´ (an bn ) = +∞. ım n→∞(iv) Como l´ an = +∞. Dado M > 0, existe N tal que an > M , para todo n ≥ N . ım n→∞ Pero bn ≥ an , entonces bn ≥ M , para todo n ≥ N . As´ l´ bn = +∞. ı ım n→∞ 1Observaci´n 1.2.32 1. El rec´ o ıproco que (i) es falso: a n = (−1)n converge a 0, pero n 1 n = (−1) n no diverge a +∞ ni a −∞. an 2. Caso particular de (ii) es que si dos sucesiones divergen a +∞, la suma de ellas diverge a +∞. Caso particular de (iii) es que el producto de 2 sucesiones que divergen a +∞, diverge a +∞.Ejemplo 1.2.33 Si c > 0, entonces l´ nc = +∞, aplicando (iii)del teorema 1.2.31. ım n→∞
  • 78. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 71    0 si |r| < 1  1 si r = 1Ejemplo 1.2.34 l´ ım r n = n→+∞   +∞ si r > 1  no existe si r ≤ −1 Demostraci´n: o Si r > 1, entonces r puede escribirse r = 1+h ; h > 0. r n = (1 + h)n (1.6) Usando el teorema del binomio se tiene que n(n − 1) 2 (1 + h)n = 1 + nh + h + · · · + hn 2 suma de terminos positivos Por lo tanto: (1 + h)n > 1 + nh. (1.7) De 1.6 y 1.7 se concluye. r n > 1 + nh; h > 0 En virtud del teorema 1.2.31 parte (iv) tenemos: ım r n > l´ (1 + nh) = +∞. l´ ım n→+∞ n→+∞ Por lo tanto, Si r > 1, ım r n = +∞ l´ n→+∞
  • 79. 72 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Si |r| < 1. Por propiedad del valor absoluto tenemos que: |r n | = |r|n < 1 Lo que implica que 1 >1 |r|n As´ ı, n 1 1 = >1 |r n | |r| Por lo anteriormente demostrado 1 l´ ım = +∞ n→+∞ |r n | Usando el teorema 1.2.31 parte (a), podemos concluir que, ım |r n | = 0 l´ ; si |r| < 1 n→+∞ Si r = 1, entonces r n = 1, cualquiera sea n ∈ N. Por lo cual en este caso, la sucesi´n o {r n } se reduce a la sucesi´n constante y su l´ o ımite es 1. Si r = −1 entonces 1 si n es par rn = −1 ; si n es impar Esto nos dice que si r = −1, la sucesi´n {r n } = {(−1)n } oscila entre 1 y-1, raz´n o o por la cual la sucesi´n no tiene l´ o ımite en R . Si r < −1
  • 80. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 73 r = −1|r| n r = (−1)n |r|n Como |r| > 1 entonces |r|n → +∞ y (−1)n oscila entre -1 y 1. Entonces la sucesi´n oscila entre −∞ y +∞, por lo tanto no tiene l´ o ımite en R.Observaci´n 1.2.35 La desigualdad 1.7 en la demostraci´n del ejemplo anterior se llama o odesigualdad de Bernoulli.Ejemplo 1.2.36 La serie geom´trica: Una importante aplicaci´n del l´ e o ımite demostradoen el elemplo 1.2.34 es el c´lculo de la suma de una serie geom´trica. Primero veremos a eun caso particular que corresponde a la suma de la paradoja de Zen´n que citamos al ocomienzo de esta secci´n. o 1 1 2 1 n Si an = + + ... + 2 2 2 demostraremos que l´ an = 1. En efecto, ım n→∞ 1 sea un = ( )n , entonces an = u1 + . . . + un . La sucesi´n {un } corresponde a una o 2 progresi´n geom´trica que no contiene el t´rmino u 0 = 1. o e e 1 Consideremos la progresi´n geom´trica de raz´n r = , usando la f´rmula de facto- o e o o 2 rizaci´n: 1 − x o n+1 = (1 − x)(1 + x + x2 + . . . + xn ) sabemos que 1 n+1 1− 1 1 n 2 1 + + ... + = . 2 2 1 2 n n+1 1 1 1 l´ ım 1+ + ... + = l´ 2 1 − ım n→∞ 2 2 n→∞ 2 n+1 1 = l´ 2 − 2 l´ ım ım n→∞ n→∞ 2 = 2.
  • 81. 74 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 2 n 1 1 1 Pero a nosotros nos interesa l´ ım + + ... + , que podemos cal- n→+∞ 2 2 2 cularlo escribiendo: 2 n n 1 1 1 1 1 l´ ım + + ... + = l´ ım 1+ + ... + −1 = 2−1 = 1. n→+∞ 2 2 2 n→+∞ 2 2 Con esto se tiene lo que la experiencia nos dice: es posible llegar de A hasta B por este proceso de recorrer sucesivas mitades. Caso general: Dada la progresi´n geom´trica: o e a0 = 1 an = ran−1 ; n ≥ 1, se llama serie geom´trica de raz´n r a la sucesi´n definida por: e o o b0 = 1 bn = bn−1 + an . Analizaremos la existencia de l´ bn . ım n→∞ Observemos que bn = 1 + r + . . . + r n . generalizando el c´lculo del caso particular, tenemos que a 1 − r n+1 1 + r + . . . + rn = ; si r = 1, 1−r 1 r n+1 entonces l´ bn = l´ (1 + r + . . . + r n ) = l´ ( ım ım ım − ), como n→∞ n→∞ n→∞ 1−r 1−r l´ r n+1 = 0 ⇐⇒ |r| < 1, ım n→∞ 1 entonces l´ bn = ım si y s´lo si |r| < 1. o n→∞ 1−r Si | r |= 1, entonces bn = 1 + 1 + . . . + 1, sucesi´n que diverge a +∞ o o ´ bn = 1 + (−1) + 1 + (−1) + . . ., sucesi´n que oscila entre 0 y 1, por tanto, tampoco o converge. Si r > 1, entonces l´ r n+1 = +∞ y bn diverge. ım n→∞ Si r < −1, entonces r n+1 = (−1)n+1 |r|n+1 oscila entre −∞ y +∞.
  • 82. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 75Ejemplo 1.2.37 Calcular el l´ ımite de 1 1 1 1 + (− ) + (− )2 + (− )3 + . . . . 3 3 3 1 1 3Como |r| = | − | < 1; su l´ ımite es : = . 3 1 4 1 − (− ) 3Ejemplo 1.2.38 Definici´n del n´ mero e o u n 1Este importante n´ mero irracional simboliza el l´ u ımite de la sucesi´n o 1+ . nEs decir, n 1 l´ ım 1+ = e. n→∞ n n 1En este ejemplo demostraremos que la sucesi´n o 1+ es mon´tona creciente y acotada o nsuperiormente. n 1 Soluci´n: an = o 1+ , en particular tenemos: n 2 3 1 9 1 64 a1 = 2, a2 = 1+ = = 2, 25, a3 = 1+ = = 2, 370. 2 4 3 27Demostraremos que la sucesi´n es creciente y acotada para poder aplicar el teorema 1.2.27 oy as´ obtener la existencia del l´ ı ımite. Usando el teorema del binomio: 1 n(n − 1) 1 n(n − 1) . . . 1 1 an = 1 + n + · 2 + ... + · n n 1·2 n 1 · 2...n n 1 1 2 1 n−1 1− n (1 − n )(1 − n ) (1 − n ) . . . (1 − n ) = 1+1+ + + ... + , 2! 3! n!por tanto, 1 1 − n+1 an+1 = 1 + 1 + + 2! 1 2 (1 − n+1 )(1 − n+1 ) + + ... 3! (1 − n+1 ) . . . (1 − n−1 ) 1 n+1 + + n! 1 n (1 − n+1 ) . . . (1 − n+1 ) + . (n + 1)!
  • 83. 76 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADPuede verse f´cilmente que los sumandos de a n+1 son mayores o iguales que los respectivos asumandos que forman an . Por tanto, an < an+1 . Para demostrar que la sucesi´n es acotada obasta observar que 1 1 1 1 1 an < 2 + + ... + < 2 + + 2 + . . . + n−1 < 3 , 2! n! 2 2 2en virtud del ejemplo 1.2.36, que est´ desarrollado m´s adelante. Como la sucesi´n {a n } a a oes acotada y creciente, existe 1 l´ (1 + )n = e. ım n→∞ nEste importante n´ mero juega un papel muy importante en an´lisis y se puede demostrar u aque es irracional. Distintas aproximaciones de ´l se pueden obtener calculando a n para evalores grandes de n. e = 2, 71828182.........Este ejemplo es una muestra de como el axioma del supremo permite obtener los n´ meros uirrracionales a partir de sucesiones de n´ meros racionales. uL´ ımites de referencias Los siguientes l´ ımites son los m´ınimos que Ud. debe conocer y reconocer. Con ellos ylos teoremas de operatoria de l´ ımites, la mayor´ de los l´ ıa ımites que Ud. encontrar´ ser´n a aabordables. 1. l´ ım c = c ; c constante n→+∞ 2. l´ ım n = +∞ n→+∞ 3. Si c es constante:  0  si c = 0 l´ ım cn = +∞ si c > 0 n→+∞  −∞ si c < 0 1 4. l´ ım = 0. n→+∞ n √ 5. ım n n = 1. l´ n→+∞ √ n 6. l´ ım a = 1, si a es una constante positiva. n→+∞
  • 84. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 77  0   si |r| < 1  1 si r = 1 7. ım r n = l´ n→+∞  +∞  si r > 1  no existe si r ≤ −1  1   ; si |r| < 1   1−r 8. l´ (1 + r + r 2 + · · · + r n ) = ım n→+∞   +∞ : si r ≥ 1   no existe : si r ≤ −1 n 1 9. l´ ım 1+ =e n→+∞ n1.2.4. Ejercicios resueltos 1. Calcule los siguientes l´ ımites: 12 + 2 2 + . . . + n 2 a) an = . n3 Soluci´n: o n(n + 1)(2n + 1) Usando la f´rmula 12 + 22 + . . . + n2 = o , el t´rmino general de e 6 la sucesi´n puede escribirse como: o 2n3 + 3n2 + n 1 1 1 an = 3 = + + 2 6n 3 2n 6n Aplicando los teoremas sobre aritm´tica de l´ e ımites, tenemos: 1 l´ an = . ım n→∞ 3 √ √ b) an = n + 1 − n. Soluci´n: o En este caso no se puede usar el teorema 1.2.17, pues nos quedar´ una forma a del tipo +∞ − ∞ de lo cual nada puede concluirse. En este caso conviene hacer la siguiente transformaci´n del t´rmino general: o e √ √ √ √ n+1+ n 1 an = ( n + 1 − n) √ √ =√ √ , luego n+1+ n n+1+ n 1 l´ an = l´ √ ım ım √ = 0. n→∞ n→∞ n+1+ n
  • 85. 78 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD √ √ √ c) an = n( n + 1 − n). Soluci´n: o Si calculamos en directo el l´ ımite de los factores, nos queda algo del tipo +∞·0, que tampoco nos permite concluir nada. As´ debemos transformar el t´rmino ı e general: √ √ √ √ n Como n( n + 1 − n) = √ √ , n+1+ n √ dividiendo numerador y denominador por n, nos queda: 1 an = √ . 1 1+ n + 1 1 Por tanto, l´ an = ım . n→∞ 2 1 1 d) an = √ + ... + √ n 2+1 n 2+n Soluci´n: o Usaremos el teorema 1.2.24. Para ello acotaremos superior e inferiormente el t´rmino general: e n n √ < an < √ n2 + n n2 + 1 n n Como l´ √ ım = l´ √ ım = 1, obtenemos que: n→∞ n 2+n n→∞ n2 + 1 l´ an = 1. ım n→∞ √ 2. Si an ≥ 0 demuestre que la sucesi´n {an } converge a L. Calcule l´ o ım an . n→∞ Soluci´n: o √ √ ımite es L. En primer lugar, observemos que an − En este caso el candidato a l´ √ an − L L = √ √ . En segundo lugar, como {an } es convergente, ella es acotada an + L inferiormente. Sea m una cota inferior positiva de {a n }. Entonces, √ √ 0 ≤ m ≤ an implica m ≤ an . Por otro lado, √ √ √ √ √ √ an + L a −L an − L = a n − L · √ √ =√ n √ . an + L an + L
  • 86. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 79 Por tanto, √ √ |an − L| | an − L| ≤ √ √ . m+ L √ √ As´ dado ε > 0, existe N tal que si n > N . Entonces |a n − L| < ε( m + L), lo ı, √ √ √ √ que implica que ( an − L) ≤ ε. Lo que nos permite concluir que l´ ım an = L. n→∞ √ n 3. Demuestre que: Si a > 0, entonces l´ ım a = 1. n→∞ Soluci´n: o √ Supongamos que a > 1 y sea un = n a. Usando propiedades de las potencias de 1 1 exponente fraccionario tenemos que: < implica un+1 < un . Lo que nos dice n+1 n que la sucesi´n {un } es decreciente. Adem´s, es acotada inferiormente por 1, pues o a para todo n ≥ 2, u1 = a > un > 1. Por teorema 1.2.27, existe l´ un = inf {un : n ∈ N} = L ≥ 1. ım n→∞ Para probar que L = 1, supongamos que L > 1, es decir, L = 1 + h, donde h > 0. √ Como L = 1+h < n a implica que (1+h)n < a y usando la desigualdad de Bernoulli ( ver observaci´n 1.2.35), o (1 + h)n > 1 + nh tenemos que 1 + nh < a, para cada n. Pero, +∞ = l´ (1 + nh) < l´ a = a. ım ım n→∞ n→∞ 1 Lo que es una contradicci´n. Por tanto, h = 0 y L = 1. Si 0 < a < 1, entonces o ≥1 a n 1 y por lo reci´n probado l´ e ım = 1, es decir, n→∞ a √ n ım l´ 1 1 l´ √ = n→∞n = 1, ım n √ n→∞ a l´ ım a n→∞ √ n y de aqu´ l´ ı ım a = 1. n→∞ √ 4. Demuestre que la sucesi´n an = o n n converge a 1. Soluci´n: o Como cualquier ra´ de un n´ mero mayor que uno es mayor que uno, podemos ız u escribir:
  • 87. 80 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD n √ n = 1 + kn , donde kn ≥ 0 y depende de n. Entonces, usando la desigualdad de Bernoulli ( ver observaci´n 1.2.35) tenemos: o √ n = (1 + kn )n > 1 + nkn > nkn , √ n 1 y por tanto, kn < =√ . n n √ 2 1 1< n n = (1 + kn )2 = 1 + 2kn + kn < 1 + √ + . 2 n n √ Por el teorema 1.2.24, podemos concluir que : l´ ım n n = 1. n→∞ √ 5. La siguiente sucesi´n definida por recurrencia es una manera de aproximar o 2. a1 = 1 1 2 an+1 = an + . 2 an √ Demuestre que l´ an = ım 2. n→∞ Soluci´n: o Observemos que √ √ √ an 1 √ a2 − 2 2an + 2 n (an − 2)2 |an+1 − 2| = | + − 2| = | |= 2 an 2an 2an √ √ 2 (an−1 − 2)4 pues an ≥ 0, para todo n. A su vez (an − 2) = . Por inducci´n se o (2an−1)2 puede demostrar que: √ √ (1 − 2)2n |an+1 − 2| = n 2 · a1 · a2 · · · a n √ 2n (1 − 2) → 0 1 1 < n →0 2n · a1 · a2 · · · a n 2 As´ existe N tal que si n ≥ N , ı, √ |an+1 − 2| < ε.
  • 88. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 81 6. Dada la sucesi´n definida por recurrencia: o √ a1 = c √ an+1 = c + an a) Demuestre que {an } es creciente √ 1 + 1 + 4c b) Demuestre que si L = , entonces L + c = L2 . 2 c) Demuestre por inducci´n que {an } es acotada superiomente por L. o d) Demuestre que l´ an = L. ım n→∞ Soluci´n: o a) c > 0 =⇒ an ≥ 0; para todo n. Adem´s, como las cantidades subradicales van a creciendo, an crece con n, √ √ 2 = 1 1 + 2 1 + 4c + 1 + 4c = 1 + 1 + 4c + c = L + c. b) L 4 2 √ c) a1 = c < L. Supongamos que an < L y demostremos que an+1 < L. √ √ √ an+1 = c + an < c + L = L2 = L. As´ vemos que {an } es creciente y acotada superiormente por L. Entonces, por ı, teorema 1.2.27, existe l´ an = sup an = M ≤ L. ım n→∞ d) Como L existe, y √ an+1 = c + an a2n+1 = c + an l´ (an+1 ) = l´ (c + an ) ⇐⇒ M 2 = c + M. ım 2 ım n→∞ n→∞ despejando el valor de M tenemos √ 1± 1 + 4c M= . 2 √ 1+ 1+4c Como M > 0, M = 2 = L. En particular, si c = 2, entonces L = 2. 7. Estudiar la convergencia de la sucesi´n o √ √ √ 2, 2 2, 2 2 2, . . . , y encontrar su l´ ımite, si es que existe.
  • 89. 82 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Soluci´n: o Observemos que esta sucesi´n puede definirse por recurrencia del modo o siguiente: √ a1 = 2 an = 2an−1 . Demostraremos que (an ) es una sucesi´n acotada superiormente por 2 y es creciente. o √ Procediendo por inducci´n tenemos: a 1 = 2 ≤ 2. Supongamos que an−1 ≤ 2, o√ √ entonces an = 2an−1 ≤ 2 · 2 = 2. an an Para analizar el crecimiento demostraremos que ≤ 1 . En efecto, = an+1 an+1 a an an an √n = . Como an ≤ 2, tenemos que ≤ 1 y por lo tanto, ≤ 1. Lo cual 2an 2 2 2 equivale a tener que, an ≤ an+1 . Usando teorema 1.2.27, existe L = l´ an . Esto nos permite calcularlo usando la ım n→∞ √ f´rmula de recurrencia: an = 2an−1 , implica l´ an = 2 l´ an−1 , y por o ım ım n→∞ n→∞ √ consiguiente, L = 2L , lo que nos lleva a resolver la ecuaci´n L 2 − 2L = 0 que o tiene por soluci´n L = 0 o L = 2 . Como la sucesi´n es creciente y a 1 ≥ 1, podemos o o deducir que L = 2. 8. ¿ C´ al n´ mero es mayor, 1,000,000 1,000,000 o 1,000,001999,999 ? u u ´ Soluci´n: Si n = 106 , entonces debemos averiguar cu´l es el m´x nn , (n + 1)n−1 . o a a Para ello estudiaremos el cuociente entre ambos n´ meros. u n n (n + 1)n−1 (n + 1)n−1 n + 1 n+1 1 1 1 = · = · = 1+ · . nn nn n+1 n n+1 n n+1 Usando el resultado del ejercicio resuelto 1.2.38 de esta misma secci´n, tenemos: o 1 n 1+ < 3, para todo n. As´ı, n (n + 1)n−1 3 n < 6 < 1. n 10 + 1 Por lo tanto, (n + 1)n−1 < nn . Es decir, 1,000,0001,000,000 > 1,000,001999,999 . 9. Calcular (1 + n)4n l´ ım n 3 n . n→∞ ( k=1 4k )
  • 90. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 83 Soluci´n: o Usando la f´rmula de suma de cubos que se demuestra por inducci´n: o o 2 n(n + 1) 13 + 2 3 + 3 3 + · · · + n 3 = . 2 2 (n+1)2 tenemos: n k=1 4k 3 =4 n k=1 k 3 = 4n 4 . As´ ı, 2n n 2 (1 + n)4n (1 + n)4n 1 1 3 )n = 2 = 1+ = 1+ . n ( k=1 4k (n (n + 1)2 )n n n El teorema 1.2.17, nos permite concluir que (1 + n)4n l´ ım 3 n = e2 . n→∞ ( n k=1 4k )10. Calcule l´ ım n2 + an + b − n2 + a n + b . n→∞ Soluci´n: o Multiplicando y diviendo la expresi´n por la suma de las ra´ o ıces, nos queda: n2 + an + b − (n2 + a n + b ) n2 + an + b − n2 + a n + b = √ √ n2 + an + b + n2 + a n + b (a − a )n + (b − b ) = √ √ n 2 + an + b + n2 + a n + b (b−b ) (a − a ) + n = . a b a b 1+ n + n2 + 1+ n + n2 Por consiguiente, a−a l´ ım n2 + an + b − n2 + a n + b = . n→∞ 211. Encontrar el l´ ımite de una sucesi´n que comienza con los n´ meros positivos a, b, y o u que en cada elemento es la media geom´trica entre los dos anteriores. e
  • 91. 84 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Soluci´n: Sean √ b, u1 , u2 , u3 , . . . , un−2 , un−1 , un , . . . ,. Entonces, tenemos: o √ a, √ √ u1 = ab, u2 = u1 b, . . . , un−1 = un−3 un−2 , un = un−2 un−1 . Multiplicando miembro a miembro las igualdades, nos queda: ab2 u2 u2 . . . . . . u2 un−1 u1 u2 . . . . . . u n = 1 2 n−2 √ √ = ab2 u1 u2 . . . . . . un−1 . √ √ Simplificando obtenemos: un−1 un = a b2 y tomando l´ ımite en esta ultima igual- ´ dad tenemos: L1/2 · L = (ab2 )1/2 , √3 esto es L3/2 = (ab2 )1/2 . As´ concluimos que la sucesi´n converge a L = ab2 . ı o12. Calcule 1 1 1 l´ ım + + ... + . n→∞ 1·2 2·3 n · (n + 1) 1 1 1 Soluci´n: o Usando la descomposici´n o = − tenemos que : n(n + 1) n n+1 1 1 1 + + ... + = 1·2 2·3 n(n + 1) 1 1 1 1 1 = 1− + − + − + ... 2 2 3 3 4 1 1 + − n n+1 1 1 1 1 1 1 = 1+ − + − + ... + − 2 2 3 3 n n 1 − n+1 1 = 1− . n+1 Por lo tanto, 1 1 1 1 l´ ım + + ... + = l´ ım 1− = 1. n→∞ 1·2 2·3 n · (n + 1) n→∞ n+113. Calcule n 1 l´ ım . n→∞ k(k + 1)(k + 3) k=1
  • 92. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 85 Soluci´n: Como en el ejercicio 12 para calcular este l´ o ımite se debe descomponer el t´rmino general de la suma en fracciones simples o parciales, quedando: e 1 1 1 1 = − + . k(k + 1)(k + 3) 3k 2(k + 1) 6(k + 3) Por tanto la suma puede escribirse como: n 1 1 1 1 = − + k(k + 1)(k + 3) 3·1 2·2 6·4 k=1 1 1 1 + − + 3·2 2·3 6·5 1 1 1 + − + 3·3 2·4 6·6 1 1 1 + − + 3·4 2·5 6·7 1 1 1 + − + 3·5 2·6 6·8 + ... 1 1 1 + − + . 3 · n 2 · (n + 1) 6 · (n + 3) 1 1 1 Podemos observar que el de la primera l´ ınea se compensa con el − , que 6·4 3·4 2·4 1 1 resulta de sustraer el de la tercera l´ ınea con el de la cuarta l´ ınea. Similar- 2·4 3·4 1 1 1 mente, el de la segunda l´ınea se compensa con el − que se obtiene de 6·5 3·5 2·5 1 1 sustraer el de la cuarta l´ ınea al de la quinta l´ ınea. Sucesivamente tenemos: 2·5 3·5 n 1 1 1 1 1 1 = − + − + ∗ k(k + 1)(k + 3) 3·1 2·2 3·2 2·3 3·3 k=1 1 1 1 1 + + − + 6(n + 1) 6(n + 2) 2(n + 1) 6(n + 3) 12 − 9 + 6 − 6 + 4 1−3 1 1 = + + + 36 6(n + 1) 6(n + 2) 6(n + 3) 7 1 1 1 = − + + 36 3(n + 1) 6(n + 2) 6(n + 3)
  • 93. 86 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD As´ ı, n 1 7 1 1 1 7 l´ ım = l´ ım − + + = . n→∞ k(k + 1)(k + 3) n→∞ 36 3(n + 1) 6(n + 2) 6(n + 3) 36 k=114. Dentro de un c´ırculo de radio r se inscribe un cuadrado, en este cuadrado se inscribe un c´ ırculo y as´ sucesivamente. Calcule las sumas de la areas de los c´ ı ´ ırculos y los cuadrados as´ obtenidos y suponiendo que el proceso se prolonga indefinidamente. ı Soluci´n: o r √ r 2=l √ El lado l del primer cuadrado inscrito, usando el teorema de Pit´goras es: l = r 2. a Si denotamos por Ai el area del c´ ´ ırculo i y por ai el area del cuadrado i, tenemos: ´ r2 r2 r2 A1 = πr 2 ; a1 = 2r 2 ; A2 = π ; a2 = r 2 ; A3 = π ; a3 = ; . . . . 2 4 2 Por lo tanto, la suma de las areas de los c´ ´ ırculos es: n 1 1 Ai = πr 2 1 + + + ... + ... , 2 4 i=1 la que puede ser calculada usando la f´rmula de la suma de una serie geom´trica que o e en este caso nos da 2πr 2 . An´logamente, la suma total de las areas de los cuadrados a ´ es n 1 1 ai = r 2 2 + 1 + + + . . . + . . . , 2 4 i=1 la cual da 4r 2 .15. La sucesi´n de Fibonacci . Esta sucesi´n fue propuesta por Leonardo Fibocacci o o tambi´n conocido como Leonardo de Pisa (1170? - 1250?). Considere la sucesi´n e o de n´ meros que comienza con 0 y 1; para obtener un n´ mero se suman los dos u u precedentes. Es decir: u0 = 0; u1 = 1; u2 = 0+1 = 1; u3 = 1+1 = 2; u4 = 1+2 = 3; . . . un+1 = un +un−1 .
  • 94. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 87 a) Demuestre que la sucesi´n formada por las razones de dos t´rminos consecutivos o e un xn = satisface la relaci´n o un+1 1 xn+1 = . 1 + xn b) Demuestre que las razones de dos t´rminos consecutivos de la sucesi´n de Fi- e o un bonacci, xn = , converge y calcule su l´ ımite. un+1 Soluci´n: o a) un+1 xn+1 = un+2 1 = un+2 un+1 1 = un+1 + un un+1 1 = un 1+ un+1 1 = 1 + xn b) Como paso previo demostraremos, usando inducci´n, que u n+1 un−1 = u2 + o n (−1) n , con n ≥ 2. Si n = 2 se tiene u u = 2 · 1 = 2. reemplazando n = 2 3 1 en el segundo miembro de la igualdad que queremos demostrar, obtenemos: u2 + (−1)2 = 1 + 1 = 2. Por lo tanto, la igualdad es v´lida para n = 2. Ahora 2 a supongamos que uk+1 uk−1 = u2 + (−1)k para todo k ≤ n y consideremos k un+2 un = (un+1 + un )un = (un+1 + un−1 + un−2 )un = ((un + un−1 ) + un−1 + un−2 )un = u2 + 2un−1 un + un−2 un n = un + 2un−1 un + u2 + (−1)n−1 ; usando la hip´tesis de inducci´n ; 2 n−1 o o = (un + un−1 )2 + (−1)n−1 = u2 + (−1)n+1 n+1
  • 95. 88 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Para analizar la existencia del l´ ımite veamos la diferencia entre dos t´rminos e consecutivos un un+1 xn − xn+1 = − un+1 un+2 un un+2 − u2n+1 = un+1 un+2 u2 + (−1)n+1 − u2 n+1 n+1 = un+1 un+2 (−1)n+1 = un+1 un+2 As´ vemos que la sucesi´n no es creciente ni decreciente, pero como ı o 1 |xn − xn+1 | = , un+1 un+2 las distancias entre los t´rminos de la sucesi´n tiende a cero, la sucesi´n tiene e o o un l´ ımite que llamaremos L . Seg´ n el item anterior, u 1 xn+1 = 1 + xn 1 l´ xn+1 = ım n→∞ 1 + l´ xn ım n→∞ 1 L= , lo que implica 1+L L2 + L − 1 = 0. √ −1 ± 5 Las soluciones a esta ultima ecuaci´n son L = ´ o . Por ser xn > 0, para 2 √ 5−1 todo n , L debe ser un n´ mero positivo. As´ L = u ı, . 216. a) Demuestre que la sucesi´n o 1 1 1 an = + + ··· + , n n+1 2n 1 converge a un n´ mero L comprendido entre y 1. u 2 b) Pruebe que 1 1 1 bn = + +··· + n+1 n+2 2n converge y que su l´ ımite es el mismo que el de la sucesi´n (a n ). o 37 57 c) Demuestre que <L< . 60 60
  • 96. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 89 Soluci´n: o a) 1 1 1 1 1 1 an+1 − an = + + ··· + − + + ··· + n+1 n+2 2(n + 1) n n+1 2n 1 1 1 = + − 2n + 1 2n + 2 n 2(n + 1)n + (2n + 1)n − (2n + 1)(2n + 2) = 2n(2n + 1)(n + 1) −3n − 2 = 2n(2n + 1)(n + 1) < 0. Por lo tanto, an+1 < an , lo que nos dice que la sucesi´n es decreciente, por otro o 1 lado es f´cil ver que an est´ acotado inferiormente por , por teorema 1.2.27 la a a 2 sucesi´n es convergente. Acotando el t´rmino general tenemos que: o e 1 1 1 1 1 (n + 1) < + + ··· + < (n + 1) , 2n n n+1 2n n 1 1 as´ ı, < an < 1+ . Usando el teorema 1.2.22, tenemos que la sucesi´n converge o 2 n 1 hacia un n´ mero L tal que ≤ L ≤ 1. u 2 b) Veamos que la sucesi´n (bn ) es creciente. En efecto, o 1 1 1 1 1 bn+1 − bn = + + ··· + + + n+2 n+3 2n 2n + 1 2(n + 1) 1 1 1 − + + ··· + n+1 n+2 2n 1 1 1 = + − 2n + 1 2n + 2 n + 1 2(n + 1) + (2n + 1) − 2(2n + 1) = 2(2n + 1)(n + 1) 1 = 2(2n + 1)(n + 1) > 0. Por consiguiente, la sucesi´n bn es creciente. Por otro lado es f´cil ver que es o a acotada superiormente por 1, acotando el t´rmino general nos queda, e 1 1 1 1 1 n < bn = + + ··· + <n , 2n n+1 n+2 2n n
  • 97. 90 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 es decir, < bn < 1. Por ser una sucesi´n creciente y acotada superiormente , o 2 1 1 ella es convergente. Ahora, an −bn = implica que l´ (an −bn ) = l´ ım ım = 0. n n→∞ n→∞ n Por lo tanto, l´ an = l´ bn . ım ım n→∞ n→∞ c) L = inf{an } = sup{bn }, por lo tanto, bn ≤ L ≤ an , para todo n. En particular, b3 ≤ L ≤ a 3 . 1 1 1 1 57 1 1 1 37 a3 = + + + = , b3 = + + + = . As´ vemos que: ı, 3 5 4 6 60 4 5 6 60 37 57 ≤L≤ . 60 60 Si uno desea obtener otras cotas para L debemos tomar otros n. Por ejemplo, 533 743 si n = 4, ≤L≤ . 840 840 n 117. a) Demuestre, sin usar el teorema del binomio, que a n = 1+ es creciente y n 1 n+1 que bn = 1 + es decreciente. n b) Calcule el l´ ımite de ambas sucesiones. Soluci´n: o a) Para estudiar el crecimiento de la sucesi´n (a n ) demostraremos que el cuociente o an+1 es mayor que 1. En efecto, an n+1 n 1 1 1+ 1+ n+2 n an+1 n+1 n+1 1 n+1 n+2 = = · 1+ = n+1 an 1 n 1 n n+1 n n+1 1+ 1+ n n n n n(n + 2) n+2 −1 n+2 = 2 = 1+ 2 (n + 1) n+1 (n + 1) n+1 n n+2 > 1− ( usando la desigualdad de Bernoulli), (n + 1)2 n+1 n + 2 n(n + 2) n3 + 3n2 + 3n + 2 = − = 3 n+1 (n + 1)3 n + 3n2 + 3n + 1 > 1.
  • 98. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 91 Por lo tanto podemos concluir que (a n ) es una sucesi´n creciente. o Siguiendo la misma t´cnica para sucesi´n (b n ), tenemos: e o  n+1 1 n+1 1 1+  1+  bn n n 1 = n+2 =    bn+1 1 1 1 1 + n+1 1+ 1+ n+1 n+1 n+1 (n + 1)2 n+1 = n(n + 2) n+2 n+1 n+1 n2 + 2n + 1 n+1 1 n+1 = 2 + 2n = 1+ n n+2 n(n + 2) n+2 n+1 n+1 > 1+ , ( usando la desigualdad de Bernoulli), n(n + 2) n + 2 2n2 + 3n + 1 = > 1. n2 + 2n Por consiguiente, (bn ) es decreciente. 1 b) l´ an = e, por otro lado tenemos que l´ bn = l´ ım ım ım an 1 + = n→∞ n→∞ n→∞ n e · 1 = e.18. Convergencia de la media aritm´tica. e a) Si {an } converge a L, entonces la sucesi´n de las medias aritm´ticas tambi´n o e e converge a L. b) Demuestre que la propiedad se conserva cuando L = ±∞. √ √ √ 1 + 2 + 3 3 + ... + n n c) Calcular l´ım . n→∞ n 1 + 2 + ... + n d) Calcular l´ım . n→∞ n Soluci´n: o a1 + . . . + a n a) Sea L = l´ an . Entonces, queremos demostrar que l´ ım ım = L. n→∞ n→∞ n Dado ε > 0, existe N tal que si n ≥ N , entonces |a n − L| < ε, en particular podemos escribir las (n − N ) desigualdades siguientes: L−ε < aN +1 < L + ε L−ε < aN +2 < L + ε ... < ... < ... L−ε < an < L + ε
  • 99. 92 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Sumando miembro a miembro estas desigualdades nos queda: (n − N )(L − ε) < aN +1 + . . . + an < (n − N )(L + ε). Dividiendo toda la desigualdad por n , obtenemos: (n − N ) aN +1 + . . . + an (n − N ) (L − ε) < < (L + ε). (1) n n n Por otro lado, para N fijo, a1 + . . . + a N 1 l´ ım = (a1 + . . . + aN ) l´ ( ) = 0. ım n→∞ n n→∞ n Por tanto, para n suficientemente grande, a1 + . . . + a N −ε < < ε. (2) n Sumando (1) y (2): (n − N ) a1 + . . . + a n n−N (L − ε) − ε < <( )(L + ε) + ε. n n n n−N Como l´ ( ım ) = 1 y usando el teorema 1.2.22 tenemos: n→∞ n (n − N ) a1 + . . . + a n n−N l´ ım (L − ε) − ε < l´ ım ım ( < l´ )(L + ε) + ε . n→∞ n n→∞ n n→∞ n a1 + . . . + a n L − 2ε ≤ l´ ım ≤ L + 2ε n→∞ n a1 + . . . + a n − L ≤ 2ε ; para n suficientemente grande n a1 + . . . + a n l´ ım = L. n→∞ n b) Si L = +∞. Entonces, dado M > 0, existe N tal que si n > N , aN +1 > M, aN +2 > M, . . . sumando miembro a miembro estas desigualdades: aN +1 + aN +2 + . . . + an > (n − N )M
  • 100. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 93 1 dividiendo la desigualdad por , nos queda: n aN +1 + aN +2 + . . . + an n−N >M . n n 1 Considerando que l´ ım = 0 y que N est´ fijo con respecto a n, para n a n→∞ n suficientemente grande a1 + . . . + a N M >− . n 2 Por tanto, a1 + . . . + a n n−N M M N >( )M − = − M, n n 2 2 n lo que implica: a1 + . . . + a n M M l´ ım ≥ > . n→∞ n 2 3 As´ vemos que, ı a1 + . . . + a n l´ ( ım ) = +∞. n→∞ n Si L = −∞, la demostraci´n es an´loga. o a √ n c) Como l´ım n = 1 , el l´ ımite dado tambi´n vale 1. e n→∞ 1 + 2 + ... + n d) l´ ( ım ) = ∞, pues an = n diverge a ∞. n→∞ n an19. a) Demuestre que si l´ (an+1 − an ) = L, entonces l´ ım ım = L. n→∞ n→∞ n 1 1 1 1 b) Calcule l´ ( + ım + + . . . + 2 ). n→∞ n 2n 3n n pn c) Calcule l´ ım cuando p es un n´ mero fijo mayor que 1. u n→∞ n Soluci´n: o a) Sea bn = an − an−1 n>1 b1 = a 1 Entonces, l´ bn = L por hip´tesis y seg´ n el ejercicio 18, ım o u n→∞ b1 + . . . + b n a1 + (a2 − a1 ) + . . . + (an − an−1 ) an = = n n n converge tambi´n a L. e
  • 101. 94 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 1 1 1 b) Definiendo an = 1 + + + . . . + , tenemos que an+1 − an = , sucesi´n o 2 3 n n+1 an 1 1 1 1 que tiende a 0. Como = + + + . . . + 2 , usando la parte (a) el n n 2n 3n n l´ ımite pedido vale 0. c) Definiendo an = pn , tenemos que an+1 − an = pn (p − 1), sucesi´n que diverge o pn a +∞ y por tanto, diverge a +∞. n20. Sea {an } una sucesi´n de t´rminos positivos. o e an+1 a) Demuestre que si { } converge a un n´ mero positivo menor que 1, entonces u an l´ an = 0. ım n→∞ an+1 b) Demuestre que si l´ ım es mayor que 1, entonces {an } no converge. n→∞ an an+1 c) Si l´ ım = 1, {an } puede converger o no. D´ ejemplos de ambas posibili- e n→∞ an dades. d) Calcular n2 l´ ım . n→∞ 2n xn e) ¿ Para cu´les valores de x, la sucesi´n { } converge? Calcule su l´ a o ımite cuando n! exista. n f) ¿ Para cu´les valores de x, la sucesi´n a n = n converge ? a o x Soluci´n: o an+1 a) Como l´ ım = L < 1, entonces existe r > 0 tal que L < r < 1. Por n→∞ an an+1 definici´n 1.2.11, existe N tal que si n ≥ N, entonces o < r, lo que implica an an+1 < ran para todo n ≥ N . En particular, podemos observar que a N +1 < raN y aN +2 < raN +1 < r 2 aN . En general, an ≤ r n−N aN , lo que nos dice que la sucesi´n (aN +n )n∈N es acotada por la sucesi´n r n aN que converge a 0, ya que o o 0 < r < 1 , as´ 0 ≤ an ≤ r n aN implica que 0 ≤ l´ an ≤ 0. ı ım n→∞ b) Si L > 1, sea r tal que L > r > 1, entonces existe N tal que si n ≥ N tenemos an+1 que > r > 0, es decir, an+1 > ran ; n ≥ N de modo an´logo a la parte a an previa. Por tanto, an > r n−N aN ; para todo n. Como r > 1 l´ r n−N = ∞ y consecuentemente l´ an = ∞. ım ım n→∞ n→∞
  • 102. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 95 1 an+1 n 1 an+1 c) Si an = ; = = , l´ ( ım ) = 1 y an converge a 0. n an n+1 1 n→∞ an 1+ n an+1 n+1 1 an+1 Si an = n; entonces = = 1 + , por tanto, l´ ( ım ) = 1 y an n n n→∞ an l´ an = +∞. ım n→∞ (n + 1)2 n2 an+1 n+1 (n + 1)2 · 2n 1 n+1 2 1 1 d) an = n ; = 2 2 = n+1 · n2 = ( ) = (1 + )2 . Por lo 2 an n 2 2 n 2 n 2n an+1 1 1 1 n2 cual, l´ ım = l´ ( (1 + )2 ) = < 1, lo que implica l´ ım ım n = 0. n→∞ an n→∞ 2 n 2 n→∞ 2 xn+1 x n an+1 xn+1 · n! x an+1 (n + 1)! e) an = ; as´ ı = n = n = implica que l´ ım = n! an x x (n + 1)! n+1 n→∞ an n! xn 0. Por tanto, l´ ım = 0. n→∞ n! n an+1 n + 1 xn 1 1 f) Para an = n tenemos que = n+1 · = (1 + ). x an x n x n an+1 1 n As´ l´ ı, ım = < 1 cuando x > 1. Por tanto, si x > 1, l´ ım = 0; si n→∞ an x n→∞ xn n x < 1, n diverge, si x = 1, an = n que diverge a ∞. x1.2.5. Ejercicios propuestos Calcular los siguientes l´ ımites cuando existan: n3 − 2n + 2 1. an = n5 + 8n 5n4 + 3n2 − 4 2. an = 3n3 − 1 1 3. an = √ √ n+1+ n √ 4. an = n n + 1 √ √ 5. a n = n2 + 4 − n 2 + 3 1 6. an = (−1)n 1 + n
  • 103. 96 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD n n 7. an = − 10 10 1 1 1 1 8. an = + + + ... + n. 3 9 27 3 1 1 1 1 1 9. an = 1 − + − + + . . . + (−1)n n . 5 25 125 625 510. a n = 1 + 3 + 3 2 + 33 + . . . + . . . + 3 n . √ √ √11. 2, 2+ 2, 2+ 2+ 2, . . . , √ √ √12. 3, 3+ 3, 3+ 3+ 3, . . . , √ √ √13. 6, 6+ 6, 6+ 6+ 6, . . . ,14. Usando el ejercicio resuelto 10, calcule: ım l´ n2 + 5n − 2 − n2 − 6n + 8 . n→∞15. Calcule 1 1 1 l´ ım + + ... + . n→∞ 1·3 2·4 n · (n + 2) Indicaci´n:Ver el ejercicio resuelto 12. o16. Calcule 1 1 1 l´ ım + + ... + . n→∞ 1·2·3 2·3·4 n (n + 1) (n + 2) Indicaci´n:Ver el ejercicio resuelto 13. o n k 117. Demuestre que la sucesi´n o tiene l´ ımite , donde k es un entero fijo. nk k!18. Demuestre que la sucesi´n (an ) definida por: o a1 = 0 a2 = 1 an−1 + an−2 an = ; si n > 2; 2 2 2 (−1)n es tal que an − = · n−1 y calcule su l´ ımite. 3 3 2
  • 104. 1.2. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE DISCRETA. 9719. Sea x un n´ mero real fijo, demuestre que la sucesi´n: u o [x] + [2x] + . . . + [nx] n2 n∈N x converge y su l´ ımite es . 2 Indicaci´n: Este l´ o ımite puede ser calculado por acotamiento, usando que y − 1 ≤ [y] ≤ y, cualquiera sea el n´ mero real y. u20. Demuestre que [nx] n n∈N converge a x. Indicaci´n: Este l´ o ımite puede ser calculado por acotamiento, usando que nx − 1 ≤ [nx] ≤ nx, cualquiera sea el n´ mero real x. u21. Demuestre que [an ] , n n∈N donde an es el en´simo decimal de π, converge a 0. e Indicaci´n: Este l´ o ımite puede ser calculado por acotamiento, usando que 0 < an < 1 y [an ] ≥ an ≤ [an ] + 1. cualquiera sea el n´ mero real y. u22. Demuestre que 5n − n diverge hacia +∞.23. Pruebe una propiedad an´loga a la del ejercicio 18 para la media geom´trica de una a e cantidad finita de n´ meros. u √ a) Si an > 0 y l´ an = L, L puede ser finito o ∞, entonces l´ ım ım n a1 a2 . . . an = n→∞ n→∞ L. an+1 √ b) Si an > 0 y l´ım = L entonces, n an = L. n→∞ an √ c) Demuestre que l´ ım n n = 1. n→∞ √ n d) Demuestre que l´ ım n! = ∞. n→∞ 1√n e) Calcular l´ ım n!. n→∞ n
  • 105. 98 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD24. a) Pruebe que si l´ an = 0 y si la sucesi´n {bn } es acotada, entonces l´ an bn = ım o ım n→∞ n→∞ 0. b) Muestre con ejemplos que si {bn } no es acotada no se tiene la conclusi´n de (a). o 125. a) Si 0 < y ≤ x y si an = (xn + yn) n demuestre que l´ an = x. ım n→∞ 1 n n 1 1 n b) Calcule l´ ım + . n→∞ 2 3 c) Calcule l´ ım n (4n + 5n ). n→∞ 126. Analizar la convergencia de la sucesi´n o , seg´ n sea el valor de x. u 1 + x2n27. Dado a > 0 y x1 > 0 cualquiera, demuestre que la sucesi´n definida por recurrencia o xn + xa n √ xn+1 = converge a a. 2
  • 106. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 991.3. Las funciones num´ricas de variable continua e1.3.1. Definiciones b´sicas a Dado que R o un intervalo de R es la imagen abstracta de una magnitud que var´ ıacontinuamente, tomaremos intervalos para establecer ciertas relaciones entre magnitudesque llamaremos funciones num´ricas de variable continua. eDefinici´n 1.3.1 Sea I un intervalo y sea x ∈ I. Si mediante una cierta regla establecemos ouna correspondencia de modo que a cada x en el intervalo le corresponda un unico y ∈ R, ´decimos que y es una funci´n num´rica de x, lo que denotaremos como: o e x −→ y o x −→ y(x) o x −→ f (x) o y = f (x).f simboliza a la funci´n , x es la variable independiente e y es la variable dependi- oente.Definici´n 1.3.2 o i) Al conjunto D(f )={x ∈ I : existe y ∈ R tal que y = f (x) } se le llama dominio de la funci´n. o ii) Al conjunto R(f )= {y ∈ R : existe x ∈ D(f ) tal que y = f (x) }, se le llama recorrido de f o conjunto de valores de la funci´n f . o iii) Al conjunto G(f )= {(x, y) ∈ D(f ) × R(f ) : y = f (x) }, se le llama gr´fico de f . aEjemplos: 1. La funci´n constante: Es aquella que a cada x ∈ I le hace corresponder un mismo o n´ mero c, en s´ u ımbolos, se escribe f (x) = c. 2. La funci´n lineal no constante: Es aquella que a cada x ∈ I le hace corresponder o el n´ mero ax + b, con a, b constantes, a = 0, es decir, f (x) = ax + b. u 3. La funci´n cuadr´tica: Es aquella que a cada x ∈ I le hace corresponder el n´ mero o a u f (x) = ax 2 + bx + c ; con a, b, c constantes y a = 0. 4. La funci´n polinomial: Es aquella que hace corresponder a cada x ∈ I el n´ mero o u f (x) = an x n + ... + a x + a , donde los a son constantes. 1 0 i 5. La funci´n racional: Es aquella que se obtiene mediante cuocientes de polinomios, o es decir: p(x) f (x) = q(x)
  • 107. 100 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD En este caso debemos observar que para aquellos x tal que q(x) = 0, f (x) no est´ definida . Por tanto el dominio de una funci´n racional lo constituye a o R − {x : q(x) = 0} = {x ∈ R : q(x) = 0}.Observaci´n: Podemos extender algunas de las propiedades de los n´ meros a las fun- o uciones, por ejemplo, podemos establecer una aritm´tica de funciones, podemos comparar efunciones, estudiar si es acotada, si tiene m´ximos y m´ a ınimos, etc.Definici´n 1.3.3 Dadas dos funciones num´ricas f y g, se definen las siguientes funciones o ecuyo dominio es D(f ) ∩ D(g) : (i) (f ± g)(x) = f (x) ± g(x) (ii) (f g)(x) = f (x)g(x) f f (x)(iii) (x) = ; cuando g(x) = 0 . g g(x)Definici´n 1.3.4 Dadas dos funciones num´ricas f y g, diremos que: o e (i) f = g si D(f ) = D(g) y f (x) = g(x) para todo x en el dominio com´ n. u (ii) f < g si f (x) < g(x) para todo x ∈ D(f ) ∩ D(g).Ejemplo: 1. Dadas las funciones f (x) = x y g(x) = x 2 definidas sobre I = [0, 1]; usando las propiedades de los n´ meros reales tenemos que para todo x ∈ [0, 1] , 0 < x 2 < x. u Por tanto g(x) < f (x) , para todo x ∈ I. Es decir, f < g sobre [0, 1]. 2. Dadas las funciones f (x) = x y g(x) = x 2 definidas sobre J = [1, 2]; usando las propiedades de los n´ meros reales tenemos que para todo x ∈ [1, 2] , x 2 > x. Por u tanto g(x) > f (x) , para todo x ∈ J. Es decir, g > f sobre [1, 2].Definici´n 1.3.5 Diremos que la funci´n f es acotada, si su recorrido es un conjunto o oacotado, es decir, si existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M , para todo x ∈ D(f ).Ejemplo: 1. La funci´n f (x) = x y g(x) = x2 definidas sobre I = [0, 1] son acotadas, puesto o que para todo x ∈ [0, 1] , 0 < x2 < x ≤ 1 . Cualquier n´ mero M ≥ 1 satisface la u definici´n. o 2. En cambio, si f (x) = x y g(x) = x2 son definidas sobre R, no son acotadas.
  • 108. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 101Definici´n 1.3.6 Dada una funci´n f diremos que: o o 1. f es estrictamente creciente en un intervalo I, si para todo x 1 , x2 ∈ I, tal que x1 < x2 se tiene que f (x1 ) < f (x2 ). 2. f es creciente en sentido amplio o creciente sobre un intervalo I, si para todo x1 , x2 ∈ I tal que x1 < x2 se tiene que f (x1 ) ≤ f (x2 ). 3. f es estrictamente decreciente sobre un intervalo I, si para todo x 1 , x2 ∈ I tal que x1 < x2 se tiene que f (x1 ) > f (x2 ). 4. f es decreciente en sentido amplio o decreciente sobre un intervalo I, si para todo x1 , x2 ∈ I tal que x1 < x2 se tiene f (x1 ) ≥ f (x2 ). 5. f es mon´tona sobre I si es creciente o decreciente. oPor cierto la mayor´ de las funciones presentan cierto tipo de monoton´ a tramos, es ıa ıadecir, sobre un intervalo son crecientes y sobre otro son decrecientes, por esta raz´n es ointeresante estudiar las variaciones de una funci´n, es decir, averiguar sobre qu´ parte o edel dominio son crecientes o decrecientes. Ejemplo: 1. La funci´n: o f : [−3, 3] −→ R x −→ x2 es estrictamente decreciente sobre el intervalo [−3, 0] y es estrictamente creciente sobre [0, 3]. 2. Definici´n 1.3.7 Dado x ∈ R, se define la parte entera de x, como el n´ mero o u entero m, que es el mayor entero menor o igual que x. Este n´ mero se denota por u [x]. Es decir: [x] ∈ Z y si n ∈ Z es tal que n ≤ x, entonces n ≤ [x]. Por ejemplo, [3,2] = 3, [−3,2] = −4. La funci´n parte entera h : x −→ [x] es creciente y, en particular, es constante a o tramos. Si x ∈ [n, n + 1), entonces [x] = n, para todo n entero. As´ si x1 < x2 , entonces f (x1 ) = f (x2 ) si x1 ; x2 ∈ [n, n + 1); para alg´ n entero n. ı, u En cualquier otro caso f (x1 ) < f (x2 ).
  • 109. 102 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 3. La funci´n o 0 si x es racional g(x) = 1 si x es irracional No es creciente ni decreciente en ning´ n intervalo. u 4. Una situaci´n an´loga se tiene con la funci´n: o a o 0 si x es racional h(x) = x si x es irracionalDefinici´n 1.3.8 Sea f una funci´n num´rica no constante, I un intervalo contenido en o o eel dominio de f y x0 un punto de I. Diremos que f tiene: (i) un cero en x0 cuando f (x0 ) = 0. (ii) un m´ximo en x0 , con valor f (x0 ), cuando para todo x ∈ I, f (x) ≤ f (x0 ). a ınimo en x0 , con valor f (x0 ), cuando para todo x ∈ I, f (x) ≥ f (x0 ).(iii) un m´(iv) un extremo en x0 , cuando f tiene ya sea un m´ximo o un m´ a ınimo en x 0 . Ejemplo: 1. Consideremos la funci´n: o f : R −→ R tal que f (x) = x2 − 4 . a) Como f (x) = 0 ⇐⇒ x2 − 4 = 0. Entonces los ceros de la funci´n son x 1 = 2 y o x2 = −2. b) Usando las desigualdades estudiadas en la primera secci´n, podemos ver que o f (x) < 0 cuando −2 < x < 2 y para todos los otros valores de x, la funci´n es o positiva. Por tanto, su valor m´ınimo lo alcanza en el intervalo [−2, 2]. Como el cuadrado de un n´ mero y su inverso aditivo tienen el mismo cuadrado, basta u analizar lo que sucede en [0, 2]. Usando propiedades de las potencias, sabemos que el cuadrado crece con el n´ mero, as´ podemos sospechar que el m´ u ı ınimo lo alcanza en x = 0, donde f (0) = −4. En efecto, si x ∈ (0, 2) ,entonces 0 < x < 2 y por tanto 0 < x 2 < 4. Restando −4 a la ultima desigualdad, tenemos, −4 < x 2 − 4 < 0. Esto nos dice que, ´ f (0) < f (x), para todo x ∈ (0, 2). Lo mismo sucede en (−2, 0) y como en el resto del dominio la funci´n es positiva, f (0) ≤ f (x), para todo x ∈ R. En o ıntesis, la funci´n alcanza su valor m´ s´ o ınimo, −4, en x = 0.
  • 110. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 103 c) La funci´n no tiene m´ximo. Por reducci´n al absurdo supongamos que f tiene o a o un m´ximo en alg´ n x0 . Entonces, f (x) < f (x0 ); para todo x ∈ R. Si hacemos a u M = m´x{f (x0 ), 4} √ a ıamos que | f (x) |< M , para todo x ∈ R. Lo que tendr´ implicar´ que x < M + 4, para todo x ∈ R y por tanto R ser´ acotado ıa ıa superiormente, contradiciendo lo visto en la primera secci´n. o 2. Sea la funci´n g(x) = −x2 +4 sobre [−2, 2]. g es positiva en (−2, 2) y g(−2) = g(2) = o 0, en los puntos x1 = −2 y x2 = 2 la funci´n alcanza su valor m´ o ınimo.Definici´n 1.3.9 Diremos que una funci´n f es peri´dica, si existe un T ∈ R, tal que o o o f (x + T ) = f (x) , (P )para todo x ∈ D(f ). Al menor de los n´ meros positivos T , que cumplen con (P), se le ullama per´ ıodo de f . Ejemplo: La funci´n f (x) = x − [x], es peri´dica de per´ o o ıodo 1.Definici´n 1.3.10 Una funci´n f se dice: o o i) par, si f (−x) = f (x), para todo x ∈ D(f ). ii) impar, si f (−x) = −f (x), para todo x ∈ D(f ). Ejemplos: 1. Toda funci´n del tipo f (x) = xk ; con k un entero par, es funci´n par. o o 2. Toda funci´n del tipo f (x) = xn ; con n impar, es funci´n impar. o oDefinici´n 1.3.11 Sean I y J intervalos. Sean f y g funciones num´ricas tales que D(f ) = o eI , D(g) = J y R(f ) ⊂ J. Entonces la funci´n compuesta de f con g, denotada, g ◦ f oest´ definida por: a (i) D(g ◦ f ) = I. (ii) (g ◦ f )(x) = g(f (x)), para todo x en I. Ejemplo: Si f : x −→ x2 + 1 y g : x −→| x |, entonces (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 1) =| x2 + 1 |.Definici´n 1.3.12 Una funci´n f : I −→ J se dice sobreyectiva si y s´lo si R(f ) = J. o o o
  • 111. 104 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADEjemplo: 1. La funci´n f : R −→ R tal que x −→ x2 no es sobreyectiva, pues R(f ) = R+ ∪ {0}. o 2. La funci´n f : R −→ R tal que x −→ x3 es sobreyectiva, pues dado cualquier real y o √ √ siempre existe 3 y , seg´ n lo visto en la secci´n 1.1 de modo que f ( 3 y) = y. u o Es importante observar que toda funci´n es sobreyectiva sobre su recorrido. oDefinici´n 1.3.13 Una funci´n f se dice uno a uno o inyectiva sobre un intervalo o oI, si para todo x1 , x2 ∈ I, con x1 = x2 se tiene f (x1 ) = f (x2 ). Equivalentemente, sif (x1 ) = f (x2 ) entonces x1 = x2 . Ejemplos: 1. La funci´n constante no es inyectiva en ning´ n intervalo de R, pues f (x 1 ) = f (x2 ) o u aun cuando x1 = x2 . 2. La funci´n lineal no constante f (x) = ax + b es inyectiva sobre todo R, pues si o x1 = x2 , entonces f (x1 ) = f (x2 ). 3. La funci´n cuadr´tica f (x) = x2 , no es inyectiva sobre R, pero s´ lo es separadamente o a ı sobre R+ o R− . La importancia de las funciones inyectivas sobre un intervalo I es que ellas tienenfunci´n inversa sobre su recorrido. Es decir, si f es inyectiva sobre I, entonces existe la ofunci´n f −1 definida sobre R(f ), con valores en I de modo que o f of −1 = I R(f ) I f −1 of = I I Idonde I A es la funci´n id´ntica sobre el conjunto A, es decir, aquella que a cada x ∈ A le I o easigna el mismo x ∈ A; I A (x) = x. I Adem´s, es muy posible que algunas funciones sean inyectivas en alg´ n subintervalo a ude su dominio, entonces restringiendo su dominio ellas pueden invertirse. Ejemplo: 1. Hemos visto que la funci´n lineal no constante es inyectiva sobre R: o f : x −→ ax + b para encontrar f −1 se debe despejar la variable independiente en la ecuaci´n y = o ax + b, lo cual nos da para x el valor en funci´n de y, as´ tenemos, o ı y−b x= a
  • 112. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 105 pero, para presentar la funci´n f −1 , debemos retomar la convenci´n que x es la o o variable independiente. En este caso, x−b f −1 (x) = a verifiquemos que f of −1 (x) = I R : I x−b x−b f of −1 (x) = f (f −1 (x)) = f =a +b=x a a Del mismo modo: (ax + b) − b f −1 of (x) = f −1 (f (x)) = f −1 (ax + b) = =x a 2. La funci´n cuadr´tica f (x) = x2 , la podemos invertir sobre R+ ∪ {0}. o a √ √ Sea y ≥ 0 y consideremos y = x2 ⇐⇒ y − x2 = 0 ⇐⇒ ( y − x)( y + x) = 0 de √ donde se tiene x = ± y, pero como nos hemos restringido a x ∈ R + ∪ {0}, x s´lo o √ puede tomar el valor y. Por lo tanto: f −1 : R+ ∪ {0} −→ R+ ∪ {0} √ x −→ x Observaci´n: De todos los ejemplos vistos se puede deducir que las propiedades oque puede tener una funci´n depende fuertemente del dominio, por tal raz´n es o ode suma importancia determinar el dominio de una funci´n. o1.3.2. Representaci´n gr´fica de funciones o a Podemos establecer una correspondencia biun´ ıvoca entre los puntos del plano y loselementos de R × R, usando la continuidad de R como el continuo geom´trico de la recta. e La posici´n de un punto en el plano se puede determinar mediante dos cantidades ollamadas coordenadas del punto. Eligiendo dos rectas perpendiculares, con intersecci´n en oel punto O, las coordenadas de un punto P son las distancias del punto a las dos rectas,que son a su vez las proyecciones ortogonales del trazo OP sobre los ejes. De esta manera,se determina, sobre cada eje un punto N y M . Como cada punto M , N se puede identificar con un n´ mero real, tenemos que a todo upunto P le corresponde dos n´ meros reales, con los cuales podemos formar un par ordenado u(M, N ) , en que a la primera componente se la llama abscisa y a la segunda se le llamaordenada del punto P .
  • 113. 106 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD y 6 N s P = (M, N ) - x 0 M Figura 1.3.1: Sistema de coordenadas rectangulares Una vez que sabemos determinar la posici´n de un punto en el plano, es natural oconcebir la idea de poder representar el gr´fico G(f ) de una funci´n f como una curva en a oel plano. Para tener una idea del gr´fico de una funci´n debemos encontrar una cantidad sufi- a ociente de puntos de G(f ), lo que tradicionalmente se llama una tabla de valores. Ejemplo: 1. f (x) = 1 x − 1 2 y 6 - x 0 2 -1 Figura 1.3.2: Gr´fico de f (x) = 1 x − 1 a 2 2. f (x) = x2 − 1
  • 114. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 107 y 6 u2 − 1 - x −u −1 1 u −1 Figura 1.3.3:Gr´fico de f (x) = x2 − 1 a 3. f (x) = x − [x] y 6 c c c c c c c c c c c - x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Figura 1.3.4: Gr´fico de f (x) = x − [x] aObservaciones: 1. En general una tabla de valores s´lo sirve cuando la funci´n tiene un comportamiento o o relativamente simple, de lo contrario, se requieren t´cnicas m´s elaboradas que se e a ir´n desarrollando m´s adelante. a a 2. Muchas propiedades de las funciones pueden ser interpretadas geom´tricamente con e la ayuda del sistema de coordenadas. a) El gr´fico de una funci´n par es sim´trico con respecto al eje Y . a o e b) El gr´fico de una funci´n impar es sim´trico con respecto al origen. a o e c) El gr´fico de una funci´n y de su funci´n inversa son sim´tricos con respecto a a o o e la recta y = x. Pues, (u, v) ∈ G(f ) ⇐⇒ f (u) = v ⇐⇒ f −1 (v) = u ⇐⇒ (v, u) ∈ G(f −1 )
  • 115. 108 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD y x=y 6 y = f (x) -x y = f −1 (x) Figura 1.3.5: Gr´fico de f y su inversa f −1 a1.3.3. Ejercicios resueltos 1. Seaf (x) = signo de x que se define como:   1 si x>0 f (x) = 0 si x=0  −1 si x<0 Grafique las siguientes funciones: a) f (x), [f (x)]2 , 1 − f (x). 2 b) h(x) = f 3− . |x| Soluci´n: o a) Gr´fico de f (x). a y 6 1 s - x −1 Gr´fico de [f (x)]2 . a
  • 116. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 109 y 6 c s - x Gr´fico de 1 − f (x). a   0 si x>0 1 − f (x) = 1 si x=0  2 si x<0 y 6 2 s 1 - x b)  2 2  3− x si x>0 g(x) = 3 − = no est´ definida a si x=0 |x|  2 3+ x si x<0 2 2 2 Si x > 0. 3 − x > 0 es equivalente a x > . Si x < 0. 3 + x > 0 es equivalente 3 2 ax<− . 3 2 g(x) se anula en x = ± . Por tanto, el signo de g(x) se distribuye de la siguiente 3 forma: + s − s − s + 2 2 −3 0 3 Esto nos dice que el gr´fico de f (g(x)) es: a
  • 117. 110 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD y 6 1 s s - x −2 3 2 3 c−1 2. Si a < b < c, graficar f (x) = |x − a| + |x − b| + |x − c|. Soluci´n: Seg´ n el ejercicio resuelto 12 de la subsecci´n 1.1.4 tenemos que: o u o 3.   −3x + a + b + c  si x≤a  −x − a + b + c si a<x≤b f (x) =  x−a−b+c  si b<x≤c  3x − a − b − c si c < x. Por tanto, su gr´fico es la l´ a ınea poligonal: y 6 - x a b c 4. Sea h(x) : [0, 1] → R definida por: h(x) = {x} = la distancia de x al entero m´s pr´ximo. a o 1 1 3 1 2 a) Calcular h(0), h(1), h( ), h( ), h( ), h( ), h( ). 2 4 4 3 3
  • 118. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 111 b) Graficar h. c) Extienda gr´ficamente h a todo R. a Soluci´n: o 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 a) h(0) = 0, h(1) = 0, h( ) = , h( ) = , h( ) = , h( ) = , h( ) = . 2 2 4 4 4 4 3 3 3 3 1 b) Si x ∈ [0, 2 ) el entero m´s cercano a x es el cero y la distancia entre ellos es a igual a x. 1 1 x = est´ a la misma distancia del cero y del uno, y ´sta es . a e 2 2 Si x ∈ ( 1 , 1] el entero m´s cercano a x es 1 y la distancia de x a 1 es 1 − x. 2 a Por tanto, sobre el intervalo [0, 1 ), el gr´fico de h(x) es el segmento de la recta 2 a y = x y sobre [ 1 , 1] el gr´fico es el segmento de la recta 1 − x. 2 a y 6 1 2 y=x y =1−x - x 1 2 1 c) En cada intervalo [n, n + 1], el an´lisis es el mismo que en [0, 1], por tanto, la a funci´n se repite peri´dicamente. o o 5. Dada la funci´n g de [0, 1] en R, definida por o 0 si x es irracional g(x) = 1 q si x = p , (p, q) = 1. q 1 1 2 3 4 1 2 4 5 a) Calcule g(0), g(1), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ), g( ). 2 4 4 4 4 3 3 3 3 1 b) Calcule la imagen inversa de { }. 3 1 c) Calcule la imagen inversa de { }. q d) Grafique g. Soluci´n: o
  • 119. 112 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 1 1 1 2 1 3 1 4 a) Calcule g(0) = 0, g(1) = 1, g( ) = , g( ) = , g( ) = , g( ) = , g( ) = 2 2 4 4 4 2 4 4 4 1 2 4 5 1 g(1) = 1, g( ) = g( ) = g( ) = g( ) = . 3 3 3 3 3 1 1 2 4 5 b) g −1 ( ) = , , , . 3 3 3 3 3 1 p c) g −1 ( ) = ; (p, q) = 1, 0 < p < q . q q d) Su gr´fico es: a 6 1 s s 1 s 2 1 s s 3 1 s s 4 s s s s s s q s p s s s p s s - 1 1 1 2 3 4 3 2 3 4 1 6. Bosqueje el gr´fico de las funciones a a) f (x) = 1 − |x|. b) g(x) = 1 − |x|. Soluci´n: o a) Si x > 0, entonces f (x) = 1 − x. Si x < 0, entonces f (x) = 1 + x. f (0) = 0. Su gr´fico son dos semirrectas como lo muestra la figura. a b) Del gr´fico de f vemos que 1 − |x| ≥ 0 es el intervalo [−1, 1], por√ a tanto D(g) = [−1, 1]. Dado que 1 − x es decreciente en [0, 1] tambi´n lo es 1 − x. Sobre e √ [−1, 0], el crecimiento de 1+x implica el crecimiento de 1 + x. As´ los gr´ficos ı, a de f y g son:
  • 120. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 113 1 1 −1 0 −1 0 1 1 7. Determine el dominio y el recorrido de cada una de las siguientes funciones: √ a) x+1 √ b) x2 + 1 √ c) x2 − 1 √ d) 1 − x2 1 e) √ x+1 Soluci´n: o a) Para determinar el dominio debemos analizar los valores de x que hacen de √ x + 1 un n´ mero real. u √ x + 1 ∈ R ⇐⇒ x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −1. Por tanto, D(f ) = [−1, ∞). Para encontrar el recorrido, debemos despejar x en la ecuaci´n que define la o funci´n. o √ y = x + 1 ⇐⇒ y 2 = x + 1 y y ∈ [0, ∞). Entonces, cualquiera sea y ∈ [0, ∞), x = y 2 − 1 pertenece al dominio, por lo cual R(f ) = [0, ∞). b) Sabemos de las propiedades de los n´ meros reales que x 2 es positivo o nulo, por u √ lo que x 2 +1 ≥ 0 para todo x, por tanto el dominio de la funci´n h(x) = o x2 + 1 es R. Por la misma raz´n y como x o 2 no es acotada superiormente como vimos en un ejemplo, el recorrido de la funci´n es [1, ∞). o √ c) Sea g(x) = x2 − 1. Seg´ n lo visto en la primera secci´n tenemos que, x 2 − 1 ≥ u o 0 ⇐⇒ (x + 1)(x − 1) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞). As´ D(h) = ı (−∞, −1] ∪ [1, ∞) y R(h) = [0, ∞). √ d) Similarmente tenemos que 1 − x2 ∈ R ⇐⇒ 1 − x2 ≥ 0. Por tanto D(g) = [−1, 1] y R(g) = [0, 1].
  • 121. 114 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 e) La funci´n √ o tiene por dominio (−1, ∞), como puede deducirse a partir x+1 de la parte (a) y su recorrido es (0, ∞). √ 8. Estudiar las variaciones de las funciones x, x 2 y x, sobre [0, ∞). Graficarlas en un mismo diagrama y deducir que: √ √ Si x ∈ (0, 1) entonces x2 < x < x. Si x ∈ (1, ∞) entonces x2 > x > x. Soluci´n: o Es f´cil verificar que las tres funciones son crecientes y toman valores no negativos a en todo su dominio. Todas valen 0 en x = 0 y valen 1 en x = 1, pero su crecimiento difiere en la rapidez con que se da. Con la ayuda de una peque˜ a tabla de valores n podemos bosquejar el gr´fico siguiente: a y y = x2 y=x 6 √ y= x 1 - x 1 √ Figura 1.3.6: Gr´ficos de y = x , y = x2 y y = a x 9. Dada la funci´n num´rica o e x+a f : x −→ (x − a)(x − b) Calcule a y b sabiendo que D(f ) = R − {−2, 1} y que el gr´fico de f pasa por el a 2 punto (3, 5 ). Soluci´n: Si (3, 2 ) ∈ G(f ), entonces, o 5 3+a 2 = (3 − a)(3 − b) 5 Lo cual es equivalente a 11a + 6b − 2ab = 3. Una soluci´n a esta ecuaci´n es a = 1 o o y b = −2. En este caso x+1 f (x) = , (x − 1)(x + 2)
  • 122. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 115 cuyo dominio es R − {1, −2}. Valores distintos de a y b satisfacen 11a + 6b − 2ab = 3 pero no la condici´n D(f ) = R − {1, −2} ya que D(f ) = R − {a, a}. o 110. Dada la funci´n f (x) = o x definida para todo x ∈ R, con x = 0. a) Calcule: f (10) , f (102 ) , f (103 ) , f (104 ) , f (−10) , f (−102 ) , f (−103 ) , f (−104 ). 1 b) ¿ Para qu´ valores positivos de x se tiene que 0 <| e x |< 10−5 ? 1 c) ¿ Para qu´ valores positivos de x se tiene que 0 <| e x |< 10−50 ? 1 d) ¿ Para qu´ valores positivos de x se tiene que 0 <| e x |< ? Donde es un n´ mero positivo cualquiera dado previamente. u 1 e) ¿ Para qu´ valores negativos de x se tiene que 0 <| e x |< 10−3 ? 1 f) ¿ Para qu´ valores negativos de x se tiene que 0 e < | x| < 10−30 ? 1 g) ¿ Para qu´ valores negativos de x se tiene que 0 e <| x |< ? h) ¿ Qu´ condici´n debe satisfacer x para que la distancia entre f (x)) y 0 sea cada e o vez menor ? Soluci´n: o 1 1 1 1 a) f (10) = , f (102 ) = , f (103 ) = , f (104 ) = 4 . 10 100 1000 10 −1 −1 3 ) = −1 , f (−104 ) = −1 . f (−10) = , f (−100) = , f (−10 10 100 103 104 1 1 1 b) Si x > 0 entonces > 0. Por tanto | | = . Tenemos: x x x 1 1 1 0 < x < 10−5 ⇐⇒ 0 < x < 105 ⇐⇒ x > 105 . 1 1 c) Del mismo modo para que 0 < | | < 50 es equivalente a pedir que |x| > 1050 . x 10 d) Si es un n´ mero positivo cualquiera y x > 0: u 1 1 0< < ⇐⇒ x > x 1 1 1 e) Si x < 0 entonces< 0 y | | = − . As´ x ı, x x 1 1 1 − x < 10−3 ⇐⇒ − x < 103 ⇐⇒ −x > 103 ⇐⇒ x < −103 . f) Del mismo modo se obtiene que x < −10 30 . 1 g) El mismo razonamiento se repite para concluir que x < − . h) De los tres ultimos pasos podemos deducir que, para que la distancia entre f (x) ´ y el 0 disminuya, x debe crecer.
  • 123. 116 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD x11. Estudiar la variaci´n de la funci´n f (x) = o o . [x] Soluci´n: o Si x ∈ [0, 1) entonces [x] = 0, tenemos que D(f ) = R − [0, 1). x Sea n un n´ mero natural, si x ∈ [n, n + 1) entonces f (x) = n . Es decir, sobre cada u 1 intervalo [n, n + 1) es un fragmento de recta y por tanto creciente. Pero, como n decrece a medida que n crece, la inclinaci´n de cada fragmento es cada vez menor y o en cada x = n la funci´n tiene un salto. o Para x negativo. Si x ∈ [−1, 0) entonces [x] = −1 por tanto, f (x) = −x. As´ f es ı decreciente sobre [−1, 0). En general, en los intervalos del tipo [−(n + 1), −n) f (x) = x 1 . Como decrece cuando n crece, tenemos una situaci´n parecida a la o −(n + 1) n+1 rama positiva, los fragmentos de recta, que en este caso est´n en forma decreciente, a se van poniendo cada vez m´s en forma horizontal. a El gr´fico de esta funci´n es el siguiente: a o y 6 2 1 - x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 x Figura 1.3.7: Gr´fico de la funci´n f (x) = a o [x]12. Recuerde que si x es peque˜ o, x2 es m´s peque˜ o a´ n. Entonces puede ser razonable n a n u despreciar x2 y aproximar (1 + x)2 por 1 + 2x. a) ¿ Qu´ error se comete al reemplazar (1 + x) 2 por 1 + 2x ? e b) ¿ C´mo elegir x para que el error sea inferior a: 10 −2 , 10−4 , 10−5 ? o c) Calcule aproximadamente sin usar calculadora, (1, 0381) 2 , (1, 0056)2 con un error menor que 10−2 . Soluci´n: o a) El error cometido al reemplazar (1 + x) 2 por 1 + 2x, est´ dado por la diferencia: a | (1 + x)2 − (1 + 2x) |=| x2 |= x2
  • 124. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 117 b) Para que el error sea menor que 10−2 basta resolver la desigualdad x2 < 10−2 . 1 1 | x2 < ⇐⇒ (x − )(x + ) < 0. 100 10 10 Usando las propiedades de las desigualdades de la subsecci´n 1.1.3, vemos que o x ∈ ( −1 , 10 ). 10 1 −1 1 Del mismo modo para que x2 < 10−4 debemos tener x ∈ ( 100 , 100 ). −1 Finalmente, x2 < 10−5 ⇐⇒ x ∈ ( 100√10 , 1001 10 ). √ 1 c) Como 1, 0381 = 1 + 0, 0381 y 0 < 0, 0381 < 10 , podemos aproximar (1, 0381)2 por 1 + 2 · 0, 0381. As´ (1, 0381)2 ≈ 1, 0762. ı,13. Dada la funci´n num´rica o e f (x) = x2 + |3 − 4x2 | − |5x + 1|, calcule f (−1), f (0), f (1) y deduzca que f no es mon´tona sobre [−1, 1]. o Soluci´n: o f (−1) = (−1)2 + |3 − 4(−1)2 | − |5(−1) + 1| = −2. f (0) = 3 − 1 = 2. f (1) = 1 + |3 − 4| − |5 + 1| = −4. Como f (−1) < f (0), si fuera mon´tona tambi´n f (0) debiera ser menor que f (1). o e Pero, como esto no se cumple la funci´n no es mon´tona sobre [−1, 1]. o o x2 − 1014. Sea x → f (x) = . x−3 a) Escriba el dominio de f como uni´n de intervalos. o b) Encuentre a, b, c de modo que c f (x) = ax + b + . x−3 c) Utilizando la expresi´n obtenida en el item anterior, estudiar el crecimiento de o f sobre los intervalos que componen el dominio. Soluci´n: o a) D(f ) = (−∞, 3) ∪ (3, +∞).
  • 125. 118 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD b) x2 − 10 c = ax + b + x−3 x−3 ax(x − 3) + b(x − 3) + c = x−3 ax2 − 3ax + bx − 3b + c = x−3 ax 2 + (b − 3a)x + (c − 3b) = x−3 Usando el ejercicio resuelto 2 de la secci´n 1.2 podemos concluir que: o a = 1, b − 3a = 0, c − 3b = −10. Por tanto, a = 1, b = 3, c = −1. As´ ı: 1 f (x) = x + 3 − . x−3 c) Si x < 3, a medida que crece y se acerca a 3, x + 3 crece. x − 3 disminuye 1 tomando valores negativos y − crece sin acotamiento. x−3 Si x > 3 y decrece hacia el valor 3, entonces x − 3 disminuye tomando 1 valores positivos, por tanto, − toma valores negativos que no pueden x−3 ser acotados inferiormente.Ver problema resuelto 10 de esta misma secci´n. o d) Su gr´fico es: a y x 3
  • 126. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 119 x15. Estudie las variaciones de la funci´n y = x o a−x , a > 0. Soluci´n: o Primero debemos determinar el dominio de la funci´n. Para que y sea un n´ mero o u x real es necesario y suficiente que a−x ≥ 0. Analizando las distintas soluciones a esta desigualdad llegamos a que x ∈ [0, a[. 1 Cuando x crece desde 0 hasta a, y crece de 0 a ∞, pues la a−x crece indefinidamente. La curva resultante es una rama de una curva llamada cisoide. y x 0 a Figura 1.3.8: Una rama de la cisoide16. Bosquejar el gr´fico de la funci´n, a o a−x f : x −→ x con a ≥ 0 a+x Soluci´n: El dominio de la funci´n est´ determinado por la condici´n o o a o a−x ≥ 0 con x = −a . a+x Lo cual es equivalente a −a < x ≤ a. Cuando x var´ desde 0 hasta a, el valor de ıa la funci´n es positivo y finito, adem´s f (0) = f (a) = 0. Cuando x disminuye desde o a 0 hasta −a, la funci´n es negativa y tambi´n decrece indefinidamente. El gr´fico o e a resultante es una rama de la curva llamada estrofoide.
  • 127. 120 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD y −a x 0 a Figura 1.3.9: Una rama de la estrofoide17. Encuentre constantes reales a y b de modo que la funci´n: o f : x −→ x3 + (a − 1)x2 + x + ab + 1 sea impar. Soluci´n: o Para que f sea impar se debe cumplir que f (−x) = −f (x), para todo x ∈ D(f ). Como, −f (x) = −(x3 +(a−1)x2 +x+ab+1) y f (−x) = (−x)3 +(a−1)(−x)2 +(−x)+ab+1, tenemos que: f (−x) = −f (x) ⇐⇒ (a − 1)x2 + ab + 1 = 0. Como esta igualdad debe satisfacerse para todo x ∈ R, calculemos la expresi´n para o x = 0 y x = 1, obteniendo las ecuaciones: ab = −1 y a(1 + b) = 0, lo que nos da los valores a = 1 y b = −1, pues la posibilidad a = 0, es incompatible con ab = −1.18. Dada la funci´n o |x| f (x) = . 1 + |x| a) Demuestre que f es par. b) Dado el n´ mero a, resuelva la ecuaci´n f (x) = a. u o c) Deduzca que el recorrido de f es [0, 1). d) Estudie el crecimiento de f y bosqueje su gr´fico. a Soluci´n: o
  • 128. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 121 a) Como |x| = | − x| se tiene que f (x) = f (−x). Por tanto f es una funci´n par. o b) Debido a que el valor absoluto de un n´ mero es positivvo o nulo, la ecuaci´n u o f (x) = a s´lo tiene sentido si a > 0. o Teniendo en cuenta que f es par, consideraremos el caso x > 0. x a = a ⇐⇒ x = a(1 + x) ⇐⇒ x = . 1+x 1−a a a 1−a c) Dado a ∈ [0, 1) existe x = 1−a de modo que f (x) = = a. Esto nos dice a 1 + 1−a que la funci´n f toma todos los valores entre 0 y 1. Toma el valor 0 en x = 0, o pero no toma el valor 1. Pues, si f (x) = 1, entonces debiera existir x tal que x = 1, lo que implica 1 = 0. Como esto es imposible, f no alcanza el valor 1+x 0. En consecuencia R(f ) = [0, 1). d) Usando la parte (a) del ejercicio propuesto 17 estudiaremos el signo de la ex- presi´n o f (x1 ) − f (x2 ) . x1 − x 2 Sean x1 , x2 ∈ [0, +∞), x1 x2 x1 (1 + x2 ) − x2 (1 + x1 ) − 1 + x1 1 + x2 (1 + x1 )(1 + x2 ) 1 = = > 0. x1 − x 2 x1 − x 2 (1 + x1 )(1 + x2 ) Esto nos dice que f es creciente en [0, +∞). Como f es par, sobre (−∞, 0] ella es decreciente. Su gr´fico es a y 1 x19. Sea f una funci´n inyectiva sobre un intervalo I. Demuestre que, si f es estrictamente o creciente entonces f −1 es estrictamente creciente. Soluci´n: Sean y1 , y2 ∈ D(f −1 ) . Entonces, y1 = f (x1 ) , y2 = f (x2 ). Si y1 < y2 , o debemos demostrar que f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ). Supongamos por reducci´n al absurdo o que no se cumple lo que queremos demostrar. Si f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ), entonces x1 = x2 y por tanto f (x1 ) = f (x2 ), es decir , y1 = y2 , lo que contradice la hip´tesis. Si o
  • 129. 122 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD f −1 (y1 ) > f −1 (y2 ), entonces x1 > x2 y por tanto f (x1 ) > f (x2 ), es decir , y1 > y2 , lo que nuevamente contradice la hip´tesis. As´ tenemos que f −1 es estrictamente o ı creciente.20. Calcular la funci´n inversa de o x x2 f (x) = + − 1. 2 4 Soluci´n: El dominio de la funci´n est´ determinado por la desigualdad o o a x2 − 1 ≥ 0. 4 Por tanto, D(f ) = (−∞, −2) ∪ (2, +∞). Para calcular la inversa debemos despejar x en la ecuaci´n y = f (x). o x x2 y = + −1 2 4 x 2 x2 y− = −1 2 4 y 2 − xy = −1 1 x = y+ . y Para responder correctamente al problema debemos permutar las variables, as´ ı: 1 f −1 (x) = x − . x21. Calcular la funci´n inversa de o √ 1 − 1 + 4x f (x) = √ . 1 + 1 + 4x √ 1 − 1 + 4x Soluci´n: Si y = o √ , entonces 1 + 1 + 4x √ 1 − 1 + 4x 1− √ 1−y 1 + 1 + 4x √ = √ = 1 + 4x. 1+y 1 − 1 + 4x 1+ √ 1 + 1 + 4x
  • 130. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 123 2 1−y Por tanto, 1 + 4x = , lo que nos da 1+y 1 (1 − y)2 1 (1 − y)2 − (1 + y))2 y x= 2 −1 = =− . 4 (1 + y) 4 (1 + y)2 (1 + y)2 Intercambiando las variables tenemos: x f −1 (x) = − . (1 + x)222. Calcular la funci´n inversa de o 3 3 f (x) = x+ 1 + x2 + x− 1 + x2 . 3 √ 3 √ Soluci´n: Sea a = o x+ 1 + x2 y b = x− 1 + x2 . Entonces, y = a+b y 3 = a3 + b3 + 3a2 b + 3ab2 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = a3 + b3 + 3aby 3 = x+ 1 + x2 + x − 1 + x2 + 3y x2 − (1 + x2 ) = 2x − 3y y 3 + 3y x = . 2 Por tanto, x3 + 3x f −1 (x) = . 21.3.4. Ejercicios propuestos 1. Determine el dominio, el recorrido y los intervalos donde las siguientes funciones son positivas y negativas. √ a) 3 x + 1 √ b) 3 x2 + 1 √ c) 3 x2 − 1 √ d) 3 1 − x2 1 e) √ 3 1 − x2
  • 131. 124 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD √ √ 2. a) ¿ Son iguales las funciones f (x) = x − 5 x + 7 y g(x) = (x − 5)(x + 7) ? Justifique su respuesta. 1 x+ 1 b) ¿ Son iguales las funciones f (x) = y g(x) = 2 x ? x x +1 Grafique las siguientes funciones: 1 3. y = |x − a| + |x − b|. 3 4. f (x) = {2x}, ver ejercicio resuelto 4. 5. f (x) = |x + 1| + |x − 1| − 2|x|. 6. y = ||x| + 2|. 7. y = ||x − 1| − 1|. 8. y = |x2 − 4| + |x − 2|. 9. Sea f (x) la funci´n signo de x, ver ejercicio resuelto 1 y sea g(x) = x 3 − 5x2 + 6x. o Grafique la funci´n compuesta f (g(x)). o10. Dada la funci´n f (x) = x3 + x2 − 2x. Grafique: o a) f (x). b) g(x) = m´x{f (x), 0}. a c) h(x) = m´x{−f (x), 0}. a d) Compuebe que f (x) = g(x) − h(x) y |f (x)| = g(x) + h(x).11. Encuentre la funci´n inversa de o √ 3 √ 1+x− 31−x f (x) = √ 3 √ . 1+x+ 31−x12. Encuentre la funci´n inversa de o 5 x x2 5 x x2 f (x) = + − p5 + − − p5 . 2 4 2 4 √13. a) ¿ C´mo elegir x para que el error absoluto cometido al aproximar o 1 + x por 1 + x sea menor o igual a: 10−3 , 4 · 10−5 ? 2 √ b) Calcule sin usar calculadora un valor aproximado de: 1, 0035.
  • 132. ´1.3. LAS FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 12514. Demuestre que, si f y g son funciones pares entonces αf , f + g, f g son funciones pares.15. Estudie la variaci´n de la funci´n num´rica : h : x −→ x 2 + | 2x | sobre cada uno de o o e los intervalos (−∞, 0] y [0, +∞).16. Sean f y g son funciones num´ricas sobre un mismo intervalo I. e a) Demuestre que si f y g son ambas crecientes o ambas decrecientes sobre I, la funci´n f + g es mon´tona sobre I. En cada caso precise el sentido de la o o variaci´n de f + g. o b) Si f y g son mon´tonas sobre I, ¿es f + g mon´tona ? o o17. Sea f una funci´n num´rica sobre I. o e a) Demuestre que f es creciente sobre I si y s´lo si, para cualquier par de n´ meros o u reales x y x de I tal que x = x , f (x) − f (x ) 0≤ , (∗) x−x Separe los casos x < x , x < x. b) Encuentre una condici´n necesaria y suficiente del tipo (*) para que una f sea o decreciente sobre I. c) Aplique los resultados anteriores para estudiar las variaciones de la funci´n: o | x | −1 f (x) = . x−118. Dadas las funciones f , g, h, represente las tres en un mismo gr´fico. a a) f (x) = x + 1 , g(x) = 3x2 − 4 , h(x) = inf{f (x), g(x)}. b) f (x) = x3 + 2x , g(x) = 3 − x , h(x) = sup{f (x), g(x)}.19. Dado el gr´fico de la funci´n f , determine: a o a) Los ceros de la funci´n. o b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Los intervalos donde la funci´n es inyectiva. o d) Seleccione un intervalo donde f es invertible y grafique juntas f y f −1 .
  • 133. 126 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD y 6 y = f (x) - x a b c Figura 1.3.10
  • 134. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 1271.4. L´ ımites de funciones num´ricas de variable continua e Seguiremos considerando, como en el cap´ ıtulo anterior, que los dominios de las fun-ciones son intervalos o uniones de intervalos.1.4.1. L´ ımites finitos:Definici´n 1.4.1 Sea f una funci´n num´rica. Dado a ∈ R, decimos que L es el l´ o o e ımitede f en el punto a, si para cada ε > 0 existe δ > 0 - que en general depende de ε y de a-tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| < ε. En tal caso escribimos l´ f (x) = L, o f (x) −→ L cuando x −→ a. ım x→aObservaci´n 1.4.2 o 1. f (x) tiene sentido si x pertenece al dominio de f . 2. |x − a| > 0 nos dice que no nos interesa lo que pasa exactamente en a, punto que eventualmente pudiera no estar en el dominio de la funci´n. o 3. La definici´n tiene sentido si existen infinitos x ∈ D(f ) cercanos al punto a, para lo o cual a debe ser un punto de acumulaci´n del dominio de f . Esto quiere decir que o dado cualquier n´ mero η > 0 la intersecci´n D(f )∩]a − η, a + η[ es no vac´ u o ıa. 4. Los infinitos x ∈ D(f ) cercanos al punto a nos permiten hacer las sucesivas aproxi- maciones a L, lo que constituye la parte pr´ctica del concepto de l´ a ımite. 5. El ε dado es el grado de exactitud que uno requiere seg´ n la situaci´n concreta en u o que estamos involucrados. 6. l´ f (x) = L es equivalente a : existe ε > 0 de modo que existe al menos un x ∈ D(f ) ım x→a tal que | x − a |< δ pero | f (x) − L |≥ ε. 7. La dificultad de aplicar la definici´n es encontrar el δ apropiado para cada ε dado. oEjemplo 1.4.3 1. Sea f (x) la funci´n constante definida sobre un intervalo abierto o I = (A, B), a ∈ I. l´ f (x) = c, c = cte. ım x→a Pues dado ε > 0, existe δ que puede ser elegido como δ = inf{| A − a |, | a − B |} tal que si |x − a| < δ, entonces |f (x) − c| = |c − c| = 0 < ε. Observemos que si en particular I = R cualquier δ sirve para que se cumpla la definici´n 1.4.1. o
  • 135. 128 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 2. Sea f (x) = x definida en un intervalo abierto I, a ∈ I, entonces: l´ = a. ım x→a Dado ε > 0, existe δ que puede ser elegido igual a ε tal que si 0 < |x − a| < δ. Entonces |f (x) − a| = |x − a| < δ = ε. Si el intervalo no es todo R, δ debe ser elegido como: δ = inf {| A − a |, | a − B |, ε}. 3. Sea f (x) = [x] definida sobre todo R. Entonces: (i) l´ f (x) = n si a ∈ (n, n + 1), para alg´ n n ∈ Z. ım u x→a (ii) l´ f (x) no existe, si a ∈ Z. ım x→a En efecto, (i) Como [x] = n si x ∈ (n, n+1). Entonces cuando analizamos los valores [x] cerca de un a ∈ (n, n + 1), vemos que para tales x, [x] es constante igual a n, por la parte 1 de este ejemplo, l´ f (x) = n. ım x→a (ii) En cambio cuando a ∈ Z, la funci´n toma distintos valores seg´ n x sea mayor o u que a o menor que a, siendo la diferencia entre estos valores de 1. Por tanto, para cualquier 0 < ε < 1, la diferencia entre los valores de [x] para x cercano al punto a, es mayor que ε, por tanto no se cumple la definici´n 1.4.1. M´s o a particularmente, dados los valores que toma [x], podr´ıamos tener candidatos a ımite n o n − 1. l´ ´ 1 Si L = n, entonces tomando ε = cualquiera sea δ > 0, entonces existe x 1 = 2 δ δ δ n− tal que |x1 −a| = |n− −n| = < δ, pero |f (x1 )−n| = |n−1−n| = 1 > ε. 2 2 2 1 δ Si L = n − 1, entonces tomando ε = y existe x2 = n + , tenemos que 2 2 δ δ |x2 − a| = |n + − n| = < δ; pero |f (x2 ) − (n − 1)| = |n − (n − 1)| = 1 > ε. 2 2 x2 − 1 4. Si f (x) = entonces l´ f (x) = −2, a pesar que f no est´ definida en x = −1 ım a x+1 x→−1 utilizaremos este ejemplo para ilustrar bien c´mo encontrar el δ apropiado. o x2 − 1 Dado ε > 0, queremos que |f (x) − L| = | − (−2)| = |x − 1 + 2| = |x + 1| sea x+1 menor que ε, entonces suponemos la condici´n o |x + 1| < ε y en este caso podemos observar que |x + 1| = |x − (−1)| < ε. Esto nos dice que podemos elegir δ = ε para tener la definici´n 1.4.1. Si graficamos esta funci´n, o o
  • 136. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 129 tenemos que este ejemplo muestra un caso en que el l´ ımite existe aunque la funci´n o en el punto no est´ definida. a y x2 − 1 f (x) = x+1 x Figura 1.4.1: Existencia del l´ ımite sin que la funci´n est´ definida. o e 5. l´ x2 = 4. ım Dado ε > 0; queremos encontrar δ > 0 tal que |x − 2| < δ implique x→2 |x2 − 4| < ε. Para ello observemos que |x2 − 4| = |x − 2||x + 2|, para despejar |x − 2| debemos acotar |x+2|. Como nos interesa lo que pasa cerca del 2, podemos restringir nuestra atenci´n al intervalo (1, 3), centrado en 2 con un radio 1. Si x ∈ (1, 3) o entonces 3 < x + 2 < 5. Por tanto |x − 2||x + 2| < 5|x − 2| y si 5|x − 2| < ε ε ε entonces |x − 2| < . Eligiendo δ = inf{ , 1}, tenemos que si |x − 2| < δ entonces 5 5 ε |x2 − 4| = |x − 2||x + 2| < 5|x − 2| < 5 = ε. 5 1 1 6. l´ ım no existe. Supongamos que existe L ∈ R + tal que l´ım = L, entonces x→1 x − 1 x→1 x − 1 dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si en particular tomamos x > 1 tenemos que: 1 0 < x − 1 < δ , entonces| − L| < ε. x−1 1 1 1 Si 0 < x − 1 < inf {δ, L+ε }, entonces x − 1 < . Esto implica que > L + ε, L+ε x−1 1 1 es decir, − L > ε, lo que contradice la acotaci´n o − L < ε. 1−x x−1 7. La funci´n o 0 si x es racional g(x) = 1 si x es irracional no tiene l´ ımite en ning´ n punto como una consecuencia de la densidad de los n´ meros u u racionales y los irracionales en R. Como ejercicio, el lector debiera escribir cuida- dosamente los detalles.
  • 137. 130 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADInterpretaci´n geom´trica. La definici´n de l´ o e o ımite nos dice que todas las im´genes apor f que est´n a una distancia menor que ε de L tienen su preimagen en alguna vecindad adel punto a. y L+ε L L−ε a−δ a a+δ x Figura 1.4.2: Interpretaci´n geom´trica del l´ o e ımite.Teorema 1.4.4 Si el l´ ımite de una funci´n en un punto existe, ´l es unico. o e ´ Demostraci´n: Esta demostraci´n es muy semejante a la del teorema 1.2.15. Supong- o oamos que l´ f (x) = L y que existe adem´s L = l´ f (x) con L = L . ım a ım x→a x→a Usando definici´n 1.4.1, para L y L tenemos que: Dado ε > 0 existe: o ε • δ tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − L | < , 2 ε • existe δ tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − L | < . 2Por tanto eligiendo δ = inf{δ , δ }, tenemos que se satisfacen ambas conclusiones, por locual tenemos que: si 0 < |x − a| < δ entonces ε ε |L − L | = |(L − f (x)) − (L − f (x))| ≤ |L − f (x)| + |L − f (x)| ≤ + = ε. 2 2 Como |L − L | < ε, para todo ε > 0, por ejercicio resuelto 5 de la secci´n 1.3, L = L . oTeorema 1.4.5 Si l´ f (x) = L, entonces f (x) es acotada en alg´ n intervalo abierto que ım u x→acontiene al punto a. Demostraci´n: o Dado ε = 1, existe δ > 0 tal que 0 < |x − a| < δ. Entonces|f (x)−L| < 1. Sacando las barras del valor absoluto, nos queda que para δ−a < x < δ+a se
  • 138. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 131tiene L−1 < f (x) < L+1. Si adem´s, L ≥ 0, tenemos que −(L+1) < L−1 < f (x) < L+1, ay por tanto, |f (x)| < 1 + L. Si en cambio, L < 0, entonces L − 1 < f (x) < L + 1 < 1 − L, y |f (x)| < 1 − L. Porconsiguiente, para todo x ∈ (a − δ, a + δ), excepto eventualmente para x = a, los valoresde f (x) est´n acotados. aTeorema 1.4.6 Supongamos que l´ f (x) y l´ g(x) existen, entonces: ım ım x→a x→a (i) l´ [f (x) + g(x)] = l´ f (x) + l´ g(x). ım ım ım x→a x→a x→a (ii) l´ [f (x) · g(x)] = l´ f (x) · l´ g(x). ım ım ım x→a x→a x→a f (x) l´ f (x) ım(iii) l´ ım = x→a , cuando l´ g(x) = 0. ım x→a g(x) l´ g(x) ım x→a x→a Demostraci´n: o (i) Sean l´ f (x) = L y l´ g(x) = M . Aplicando la definici´n 1.4.1 a ambos l´ ım ım o ımites tenemos que, dado ε > 0: ε Existe δ1 de modo que si 0 < |x − a| < δ1 , entonces |f (x) − L| < . 2 ε Existe δ2 tal que si 0 < |x − a| < δ2 , entonces |g(x) − M | < . 2 Eligiendo δ = inf{δ1 , δ2 } tenemos que: ε ε |(f (x) + g(x)) − (L + M )| ≤ |f (x) − L| + |g(x) − M | < + . 2 2 (ii) Usando un recurso similar al de la parte (ii) teorema 1.2.17, tenemos que: |f (x)g(x) − LM | ≤ |f (x)||g(x) − M | + M |f (x) − L|. Aplicando la definici´n de l´ o ımite, podemos afirmar que dado ε > 0: existe δ 1 tal que ε si 0 < |x − a| < δ1 . Entonces |f (x) − L| < y por teorema 1.4.5 existe C > 0 tal 2M que |f (x)| < C; para x ∈ (a−δ2 , a+δ2 ), existe δ3 tal que si 0 < |x−a| < δ3 . Entonces ε |g(x) − M | < . As´ eligiendo δ = inf{δ1 , δ2 , δ3 }, tenemos que si 0 < |x − a| < δ. ı, 2C Entonces: ε ε |f (x)g(x) − LM | ≤ C · + M · = ε. C 2M(iii) Se demuestra combinando de modo apropiado la t´cnica de (ii) y de (iii) del teorema e 1.2.17. Se deja como ejercicio.
  • 139. 132 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADCorolario 1.4.7 (i) l´ ım(cf (x)) = c l´ f (x); ım c = cte. ım(−f (x)) = − l´ f (x). (ii) l´ ım ım(f (x) − g(x)) = l´ f (x) − l´ g(x).(iii) l´ ım ımDemostraci´n: o (i) Del ejemplo 1.4.3, caso 4.1.2, sabemos que l´ c = c. Usando parte (ii) del teorema ım x→c 1.4.6, tenemos: ım(cf (x)) = l´ c · l´ f (x) = c l´ f (x). l´ ım ım ım x→c (ii) l´ ım((−1)f (x)) = (−1) l´ f (x) = − l´ f (x). ım(−f (x)) = l´ ım ım(iii) l´ ım(f (x)−g(x)) = l´ ım(f (x)+(−g(x))) = l´ f (x)+l´ ım ım(−g(x)) = l´ f (x)−l´ g(x). ım ımEjemplo 1.4.8 1. L´ ımites de funciones polinomiales: Sea f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ; ai constantes. Por teorema 1.4.6 y corolario 1.4.7 l´ f (x) = an l´ xn + . . . + a1 l´ x + a0 ım ım ım x→a x→a x→a y en virtud del ejemplo 1.4.3, caso 2 l´ f (x) = an an + . . . + a1 a + a0 . ım x→a 2. L´ ımites de funciones racionales: p(x) Sea r(x) = ; con p(x) y q(x) funciones polinomiales. Si q(a) = 0, entonces: q(x) l´ p(x) ım p(a) x→a l´ r(x) = ım = = r(a). x→a l´ q(x) ım q(a) x→aTeorema 1.4.9 Una condici´n necesaria y suficiente para que l´ f (x) = L es que, para o ım x→acada sucesi´n {xn } ⊂ D(f ), xn = a y que converge hacia a, se tenga que: o l´ f (xn ) = L. ım n→∞ Demostraci´n: o
  • 140. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 133 (i) Primero demostraremos que si existe l´ f (x), entonces se tiene la condici´n del ım o x→a enunciado. Sea {xn } una sucesi´n que converge hacia a y x n = a para todo n. Entonces, dado o η > 0, existe N tal que si n > N , se cumple que 0 < |x n − a| < η. Como L = l´ f (x), dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, 0 < |x − a| < δ implica ım que |f (x) − L| < ε. Tomando en particular η = δ, podemos concluir que si n > N , entonces |xn − a| < δ y por tanto |f (xn ) − L| < ε. Con lo cual tenemos que l´ f (xn ) = L. ım n→∞ (ii) Supongamos que la condici´n del enunciado se cumple y demostremos que o l´ f (x) = L. ım x→a Por reducci´n al absurdo supongamos que l´ f (x) = L. Usando la negaci´n de o ım o x→a la definici´n 1.4.1), existe ε > 0 tal que para todo δ > 0, existen x tales que 0 < o |x − a| < δ, pero |f (x) − L| ≥ ε. 1 Tomando δ = , n ∈ N, tenemos que para cada n, existe al menos un x n tal que n 1 0 < |xn − a| < pero |f (xn ) − L| ≥ ε. n As´ podemos formar una sucesi´n {x n } tal que xn = a y l´ xn = a, pero tal que ı o ım l´ f (xn ) = L, lo que contradice la hip´tesis. Por tanto, l´ f (x) debe ser igual a L. ım o ımObservaci´n 1.4.10 1. En relaci´n a la demostraci´n del teorema, podemos observar o o o que existen infinitas sucesiones {x n } contenidas en el dominio de f con xn = a para todo n y que convergen hacia a, pues a es un punto de acumulaci´n del dominio de o f. 2. El teorema 1.4.9 puede simplificar algunos c´lculos de l´ a ımite; por ejemplo, usando algunas propiedades de las potencias, tenemos que: √ √ l´ x2 = 1 y l´ ım ım x = a ; a > 0. x→1 x→aTeorema 1.4.11 Si l´ f (x) y l´ g(x) existen, entonces: ım ım x→a x→a (i) f (x) ≤ g(x) implica l´ f (x) ≤ l´ g(x). ım ım x→a x→a (ii) Si la funci´n h es tal que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) y adem´s l´ f (x) = l´ g(x), entonces o a ım ım x→a x→a l´ h(x) = l´ f (x) = l´ g(x). ım ım ım x→a x→a x→a
  • 141. 134 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Demostraci´n: La demostraci´n de este teorema es consecuencia del teorema ante- o orior y de las respectivas desigualdades para l´ ımites de sucesiones, por lo que se deja comoejercicio.Teorema 1.4.12 Si l´ f (x) = A, l´ g(x) = B y f (x) = A para todo x = a en alg´ n ım ım u x→a x→Aintervalo abierto que contiene al punto a, entonces l´ g[f (x)] = B. ım x→a Demostraci´n: Como l´ f (x) = A, entonces para cualquier sucesi´n {x n }, xn = a o ım oy tal que l´ xn = a se tiene que l´ f (xn ) = A. Sea yn = f (xn ) y como f no asume el valor ım ımA en alg´ n intervalo que contiene al punto a, para n suficientemente grande f (x n ) = A, uo lo que es lo mismo yn = A. As´ l´ g(yn ) = B, es decir, l´ g(f (xn )) = B; para toda ı ım ım n→∞ n→∞sucesi´n {xn } tal que xn = a y tal que l´ xn = a. Por el teorema 1.4.9: o ım l´ g(f (x)) = B. ım x→aEjemplo 1.4.13 Calcular l´ ım x2 + 1. x→1 √ √ Aqu´ f (x) = x2 +1 y g(x) = x, entonces x2 + 1 = g(f (x)); l´ f (x) = 2 y f (x) = 2 ı ım x→1 √ √para todo x = 1 cercanos a 1, adem´s l´ g(x) = 2, entonces l´ a ım ım x2 + 1 = 2. x→2 x→11.4.2. L´ ımites laterales En la definici´n 1.4.1 se contempla la posibilidad de acercarse al punto a por ambos olados por ser a un punto de acumulaci´n. Para simplificar, suponemos que existe un ointervalo abierto (a − δ, a + δ) de modo que, excepto eventualmente a, est´ contenido en eel dominio de la funci´n. o Pero podemos tambi´n analizar el comportamiento de una funci´n separando los va- e olores de x mayores que a y los valores de x menores que a. As´ surge el concepto de l´ ı ımitelateral.Definici´n 1.4.14 Diremos que el n´ mero L d ( respectivamente Li ) es el l´ o u ımite a laderecha (respectivamente a la izquierda) en un punto a de una funci´n f si: o Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si a < x < a + δ, entonces |f (x) − L d | < ε(respectivamente si a − δ < x < a, entonces |f (x) − L i | < ε). En estos casos se suele usarlas notaciones siguientes: Ld = l´ f (x) ım ; Li = l´ f (x) ım x→a+ x→a−
  • 142. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 135Ejemplo 1.4.15 1. l´ [x] = 3; l´ [x] = 2. En general, dado n ∈ Z: l´ [x] = n; ım ım ım x→3+ x→3− x→n+ l´ [x] = n − 1. En cada entero: Ld = Li . ım x→n− 2. Si el dominio de la funci´n es un intervalo cerrado y acotado [a, b], para cada extremo o del intervalo s´lo tiene sentido hablar de uno de los l´ o ımites laterales: Para a, podr´ıa existir s´lo Ld y para b s´lo Li . o o √ 3. f (x) = x en x = 0, s´lo puede analizarse su comportamiento para valores mayores o √ que 0 y tenemos que l´ ım x que vale 0. x→0+Teorema 1.4.16 (i) l´ f (x) = Ld si y s´lo si para toda sucesi´n {xn } tal que xn > a ım o o x→a+ y l´ xn = a se tiene que l´ f (xn ) = Ld . ım ım n→∞ (ii) l´ f (x) = Li si y s´lo si para toda sucesi´n {xn } tal que xn < a, y l´ xn = a se ım o o ım tiene que l´ f (xn ) = Li . ım n→∞(iii) l´ f (x) = L si y s´lo si l´ f (x) = l´ f (x) = L. ım o ım ım x→a x→a+ x→a− Demostraci´n: o Ejercicio1.4.3. L´ımites finitos cuando la variable independiente crece o decrece indefinidamenteDefinici´n 1.4.17 Diremos que el n´ mero L es el l´ o u ımite de f (x) cuando: (i) x crece indefinidamente si dado ε > 0 existe M > 0 tal que si x > M . Entonces |f (x) − L| < ε. En tal caso escribimos l´ f (x) = L o ım l´ f (x) = L o f (x) → L cuando x → +∞. ım x→+∞ x→∞ (ii) x decrece indefinidamente si dado ε > 0 existe M < 0 tal que si x < M . Entonces |f (x) − L| < ε. En este caso escribiremos l´ım f (x) = L o f (x) → L cuando x→−∞ x → −∞. 1 1Ejemplo 1.4.18 1. l´ ım = 0+ . En efecto: dado ε > 0, existe M = > 0 tal que si x→∞ x ε 1 1 + para enfatizar que x > M . Entonces x > y por tanto, 0 < < ε. Escribimos 0 ε x 1 se acerca a 0 por la parte positiva del eje Y . x
  • 143. 136 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 1 2. l´ ım = 0− . Dado ε > 0, existe M = − < 0 tal que si x < M , o lo que es lo x→−∞ x ε 1 1 1 1 1 mismo x < − entonces −ε < y como < 0, −ε < < ε, es decir, | | < ε. ε x x x x En general, ninguna funci´n trigonom´trica tiene l´ o e ımite cuando x → ±∞, porquedebido a la periodicidad ellas oscilan. Los teoremas 1.4.6, 1.4.11 y 1.4.12 permanecen v´lidos al reemplazar a por +∞ o −∞. a La siguiente propiedad permite reducir el c´lculo de l´ a ımites al +∞ al c´lculo de l´ a ımitesen puntos finitos. 1 1Teorema 1.4.19 (i) Si l´ f ( ) existe, entonces l´ f (t) = l´ f ( ). ım ım ım x→0 + x t→∞ x→0 + x 1 (ii) Si l´ f (t) existe, entonces l´ f ( ) = l´ f (t). ım ım ım t→∞ x→0+ x t→∞ Demostraci´n: o 1 1 ım = 0+ . Usando el teorema 1.4.12 con a = ∞ y (i) Haciendo x = , tenemos que l´ t t→∞ tA = 0+ , se tiene la conclusi´n. o (ii) Demostraci´n an´loga. o a ımites de funciones racionales cuando x → ±∞.Ejemplo 1.4.20 L´ Sea p(x) r(x) = q(x)con p(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ; an = 0 y q(x) = bm xm + . . . + b1 x + b0 ; bm = 0.Entonces, l´ p(x) ım l´ r(x) = x→∞ ım x→∞ l´ q(x) ım x→∞ an−1 a1 a0 bm−1Escribiendo p(x) = xn (an + + . . . + n−1 + n ) y q(x) = xm (bm + + ... + x x x x b1 b0 m−1 + m ), tenemos que :x x an xn l´ r(x) = l´ ım ım . x→∞ x→∞ bm xm anSi n = m: l´ r(x) = ım . x→∞ bm an 1 Si m > n: l´ r(x) = ım l´ ım = 0. x→∞ bm x→∞ xm−n an Si m < n: l´ r(x) = ım l´ xn−m = ±∞. As´ l´ r(x) es finito si y s´lo si m ≥ n. ım ı, ım o x→∞ bm x→∞ x→∞
  • 144. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 137Interpretaci´n Geom´trica: Si hacemos un gr´fico de l´ f (x) = L, vemos que para o e a ım x→∞valores grandes de x, los valores de la funci´n se acumulan en torno a la recta y = L. Esto oinspira la siguiente definici´n: oDefinici´n 1.4.21 Decimos que la recta y = L es una as´ o ıntota horizontal del gr´fico ade f si l´ f (x) = L o si l´ ım ´ ım f (x) = L. x→∞ x→−∞ 1Ejemplo 1.4.22 1. Como l´ ım = 0, la recta y = 0, es decir, el eje X parte positiva x→∞ x 1 es una as´ ıntota horizontal de . x 1 2. Como l´ ım = 0, tenemos el siguiente gr´fico. a x→−∞ x y 1 y= x x 1 Figura 1.4.3: As´ ıntota de . x 3x + 1 3. La recta y = 3 es una as´ ıntota horizontal para la funci´n f (x) = o , pues x 3x + 1 1 l´ ( ım ) = l´ (3 + ) = 3+ ım x→∞ x x→∞ x 3x + 1 1 l´ ( ım ) = l´ (3 + ) = 3− ım x→−∞ x x→−∞ x
  • 145. 138 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD y 3x + 1 f (x) = x y=3 x 3x + 1 Figura 1.4.4: As´ ıntota horizontal de . xL´ ımites infinitos Un l´ımite infinito refleja el crecimiento o decrecimiento indefinido de la variable depen-diente, lo que puede suceder cuando la variable independiente se acerca a un punto finitoo cuando ella crece o decrece a su vez, indefinidamente. Por tal raz´n debemos separar los ocasos.Definici´n 1.4.23 Diremos que: o (i) l´ f (x) = ∞ si dado M > 0 existe δ > 0 tal que si |x − a| < δ, entonces f (x) > M. ım x→a (ii) l´ f (x) = −∞ si dado M < 0 existe δ > 0 tal que si |x−a| < δ, entonces f (x) < M. ım x→a(iii) l´ f (x) = ∞ si dado M > 0, existe K > 0 tal que si x > K, entonces f (x) > M. ım x→∞(iv) ım f (x) = −∞, si dado M < 0, existe K < 0 tal que si x < K, entonces l´ x→−∞ f (x) < M. (v) ım f (x) = ∞, si dado M > 0, existe K < 0 tal que si x < K, entonces f (x) > M. l´ x→−∞(vi) l´ f (x) = −∞, si dado M < 0, existe K > 0 tal que si x > K, entonces f (x) < M. ım x→∞Observaci´n 1.4.24 1. De manera obvia las definiciones (i) y (ii) pueden escribirse o para l´ f (x) = ±∞ y para l´ f (x) = ±∞. ım ım x→a+ x→a− 2. Todos ellas, como en el caso finito, pueden reinterpretarse en t´rminos de sucesiones. e Tal escritura se deja como ejercicio.
  • 146. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 139 3. Las reglas aritm´ticas valen tambi´n para estos l´ e e ımites, excepto cuando se obtiene una de las formas indeterminadas. En estos casos se debe buscar en primera instancia, como ya hemos visto, formas algebraicas de hacer desaparecer la indeterminaci´n.o 1 As´ en particular, tenemos que: Si l´ f (x) = 0 entonces l´ ı, ım ım = ±∞. x→a x→a f (x) 1 1Ejemplo 1.4.25 1. l´ ım 2 = ∞. Si f (x) = su dominio excluye el punto x→2 (x − 2) (x − 2)2 x = 2, adem´s f es siempre positiva por ser un cuadrado, cuando uno se acerca a 2 a por ambos lados, f (x) crece indefinidamente. y x x=2 1 Figura 1.4.5: f (x) = (x − 2)2 1 1 2. l´ − ım 2 = −∞. La funci´n g(x) = − o , es la funci´n sim´trica de la o e x→2 (x − 2) (x − 2)2 anterior y, por tanto, es evidente que l´ g(x) = −∞. ım x→2 y x=2 x 1 g(x) = − (x − 2)2 Figura 1.4.6
  • 147. 140 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 1 1 3. l´ ım = +∞ y l´ım = −∞. Si h(x) = , x = 2, ella cambia de signo x→2+ x−2 x→2 − x − 2 x−2 seg´ n x sea mayor o menor que 2. Cuando x → 2 + , la funci´n crece indefinidamente u o y cuando x → 2− , la funci´n decrece indefinidamente. o y 1 h(x) = − x−2 x x=2 Figura 1.4.7 4. l´ (4x3 + 1 − 3x) = +∞ y l´ (4x3 + 1 − 3x) = −∞. Sea f (x) = 4x3 + 1 − 3x = ım ım x→∞ x→−∞ 1 3 1 x3 (4 ım x3 = + 3 − 2 ); como k → 0 cuando x → ∞, tenemos: l´ f (x) = 4 l´ ım x x x x→∞ x→+∞ ım = 4 l´ x3 = 4(−∞) = −∞. 4(+∞) = +∞. y l´ ım x→−∞ x→∞ y x 1 3 f (x) = 4x + 1 − 3x = x3 4 + 3 − x3 x2
  • 148. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 141 Figura 1.4.8 5. l´ x2 = +∞ y l´ ım ım −x2 = −∞. x→−∞ x→+∞ Como g(x) = x2 ım x2 = +∞. es una par´bola y es siempre positiva, l´ a x→±∞ 2 l´ (−x ) = −∞. ım x→±∞ y g(x) = x2 x g(x) = −x2 Figura 1.4.9 6. L´ ımites de polinomios: Sea p(x) = an xn + . . . + a1 x + a0 an = 0 an−1 a1 a0 = xn (an + + . . . + n−1 + n ) x x x 1 Como l´ ım =0 x→∞ xk +∞ si an > 0 l´ p(x) = l´ an xn = an l´ xn = ım ım ım x→∞ x→∞ x→∞ −∞ si an < 0 En particular l´ (3x − 5x4 + 8) = −5 l´ x4 = −∞. ım ım x→+∞ x→∞Definici´n 1.4.26 Diremos que la recta x = a es una as´ o ıntota vertical del gr´fico de ala funci´n f si: l´ f (x) = ±∞ o l´ f (x) = ±∞ o l´ f (x) = ±∞. o ım ım ım x→a x→a+ x→a−Ejemplo 1.4.27 1. Los casos 1, 2 y 3 del ejemplo 1.4.25 muestran as´ ıntotas verticales. 1 1 2. ıntota vertical de las funciones ± La recta x = 2 es una as´ 2 ,± . (x − 2) x−2
  • 149. 142 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD1.4.4. Las funciones circulares o trigonom´tricas eConceptos previosLa f´rmula de la distancia en el plano: Sean P 1 , P2 dos puntos del plano, con ocordenadas (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) respectivamente. El tri´ngulo P 1 QP2 es rect´ngulo en Q, por a ateorema de Pit´goras, tenemos que: a 2 2 2 P1 P2 = P1 Q + QP2si llamamos d a la distancia entre P1 y P2 , tenemos que d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 y 6 y2 P2 y1 P1 Q - x x1 x2 Figura 1.4.10: Distancia entre dos puntosLa circunferencia de centro C=(h, k) y radio r Recordando que la circunferencia deradio r y centro C es el lugar geom´trico de los puntos p del plano que est´n a la distancia e ar del centro C, podemos deducir la ecuaci´n que satisfacen las coordenadas de los puntos ode dicha circunferencia.Sean (h, k) las coordenadas del centro C y sea P de coordenadas (x, y) un punto cualquierade la circunferencia. Usando la definici´n de la circunferencia tenemos que: o d(P, C) = r ⇐⇒ [d(P, C)]2 = r 2 ssi (x − h)2 + (y − k)2 = r 2Por lo tanto, la ecuaci´n de la circunferencia de radio r y centro (h, k) es: o (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 . (1.8)En particular, para nuestros fines trabajaremos con la circunferencia m´s simple, la de acentro en el origen y radio 1, cuya ecuaci´n es: o x2 + y 2 = r 2 (1.9)
  • 150. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 143 y B θ x −1 0 A 1 Figura 1.4.11: C´ ırculo unitarioMedici´n de angulos Intuitivamente consideremos dos semirrectas en el plano con o ´extremo com´ n. Por simplicidad supongamos que este extremo es el origen del plano y uuna de las semirrectas est´ en el eje de las abscisas. Por angulo entenderemos la medida a ´de la separaci´n de estas semirrectas. Como existen distintas maneras de medir esta oseparaci´n, adoptaremos la siguiente convenci´n. o o Diremos que un angulo est´ en posici´n normal o est´ndar si lo medimos desde el ´ a o asemieje OX, con lo cual la medida de separaci´n se reduce a dos posibilidades: Si esta omedida de separaci´n se toma en el sentido contrario a los punteros del reloj, el angulo o ´se dice positivo y si es en el sentido de los punteros del reloj se dice que el angulo es ´negativo. angulo positivo ´ x angulo negativo ´ Figura 1.4.12: Dos sentidos en la medida de un angulo ´Esta noci´n se puede ver m´s din´micamente pensando que el angulo es la medida de o a a ´separaci´n de una semirrecta que gira en torno a su extremo. La m´xima rotaci´n es o a oaquella que vuelve a su posici´n inicial; este angulo se llamar´ angulo completo y si esta o ´ a´rotaci´n fue en sentido positivo le daremos el valor de 360 grados, que se denota por 360 o . o¿Por qu´ 360o y no otro valor? Tal vez corresponde a los d´ de un a˜ o calendario que e ıas n
  • 151. 144 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADen la ´poca de los griegos cl´sicos era de 360 d´ La divisi´n en s´lo 360 unidades que a e a ıas. o osimple vista parece razonable, no lo es tanto si queremos m´s precisi´n. Por ejemplo, en a oastronom´ dividimos un grado en 60 minutos; 1 o = 60 y para ser m´s finos aun, 1 minuto ıa aen 60 segundos 1 = 60 y podemos continuar, dependiendo de nuestras necesidades. Ladivisi´n en 60 o sistema sexagesimal es herencia de los babilonios. o Los 360 grados corresponden a una vuelta completa en el sentido positivo. Por supuestoque podemos dar las vueltas que queramos en cualquiera de los dos sentidos. Por ejemplo:un angulo de 765 grados, descomponiendo 765 = 2 · 360 + 45 , significa haber dado dos ´vueltas completas y estar en el punto determinado por un angulo de 45 grados. Si consi- ´deramos el angulo de −765 grados, significa que hemos dado dos vueltas completas y nos ´encontramos en el punto determinado por el angulo −45 grados. es decir hemos caminado ´en el sentido de los punteros del reloj y estamos a 45 grados bajo el semirecta OX.Como nuestro objetivo es introducir las funciones circulares o trigonom´tricas como fun- eciones de n´ meros reales y los grados no son n´ meros reales debemos hacer una u utransformaci´n de los grados para hacerlos equivalentes a n´ meros reales. Para ello imagi- o unaremos que caminamos sobre la circunferencia unitaria, y por lo tanto al dar una vueltacompleta hemos caminado una longitud de 2π y descrito un angulo de 360 grados. ´ 1Definici´n 1.4.28 Llamaremos un radi´n a la longitud de arco de o a . 2πAs´ a los 360 grados le corresponde una longitud de arco sobre la circunferencia unitaria ı,de 2π unidades de longitud. Esto nos permite, usando un razonamiento de proporcionesdirectas, tener una f´rmula que trasforme grados en radianes y viceversa. o angulo en radianes ´ 2π = (1.10) angulo en grados ´ 3601.4.5. Definici´n de las funciones circulares o trigonom´tricas o e Consideremos la circunferencia unitaria cuya ecuaci´n es: o x2 + y 2 = 1, (1.11)y sobre ella consideremos un punto cualquiera P . Este punto determina el angulo θ como lo ´muestra la figura. Como el punto P es un punto del plano le corresponden las coordenadas
  • 152. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 145(xP , yP ), donde xP = OA e yP = AP . y P θ x −1 0 A 1 Figura 1.4.13 : Circunferencia unitariaDefinici´n 1.4.29 Definiremos las siguientes funciones num´ricas: o e 1. La funci´n seno: R → R; o θ → sen θ = yP 2. La funci´n coseno: R → R; o θ → cos θ = x PPropiedades b´sicas de seno y coseno Antes de deducir las propiedades m´s elemen- a atales de estas funciones, es importante observar y retener en la mente que estas funcionesno son de naturaleza algebraica. forman parte del tipo de funciones que se llaman fun-ciones trascendentes. y B θ x −1 0 A 1 Figura 1.4.14: Representaci´n del seno y coseno en el c´ o ırculo unitario 1. Algunos valores de referencia de seno y coseno
  • 153. 146 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Si θ = 0, entonces el punto correspondiente sobre la circunferencia unitaria es (1, 0), lo que nos permite concluir que: cos 0 = 1 sen 0 = 0. π Si θ = , entonces el punto correspondiente sobre la circunferencia unitaria es 2 (0, 1), lo que nos permite concluir que: π cos = 0 2 π sen = 1. 2 Si θ = π, entonces el punto correspondiente sobre la circunferencia unitaria es (−1, 0), lo que nos permite concluir que: cos π = −1 sen π = 0. 3π Si θ = , entonces el punto correspondiente sobre la circunferencia unitaria 2 es (0, −1), lo que nos permite concluir que: 3π cos = 0 2 3π sen = −1. 2 Si θ = 2π, entonces el punto correspondiente sobre la circunferencia unitaria es (1, 0), lo que nos permite concluir que: cos 2π = 1 sen 2π = 0. 2. Periodicidad Dado que los valores de sen x y cos x dependen de la ubicaci´n del o punto en la circunferencia unitaria y como su longitud total es 2π, entonces fuera del intervalo [0, 2π] los valores de estas funciones se repiten peri´dicamente. Por lo o tanto las funciones seno y coseno son per´ ıodicas de per´ ıodo 2π. Es decir, para todo x∈R sen(x + 2π) = sen x cos(x + 2π) = cos x
  • 154. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 147 3. Paridad de coseno e imparidad de seno Si P = (xp , yp ) y P = (xp , yp ) con xp = xp y yp = −yp . De aqu´ concluimos que ı cos(−x) = cos x y sen(−x) = − sen x. Es decir, la funci´n coseno es una funci´n par o o y la funci´n seno es impar. o As´ tenemos que para todo x ∈ R tenemos que: ı, cos(−x) = cos(x) y sen(−x) = − sen(x). yp P x xp −x yp P Figura 1.4.15: Relaciones de paridad en las funciones trigonom´tricas e 4. Identidad fundamental Dado que seno y coseno de un mismo n´ mero corresponden a las coordenadas de un u punto sobre la circunferencia unitaria, tenemos que: cos2 x + sen2 x = 1 , para todo x ∈ R. (1.12) 5. Recorrido Como consecuencia inmediata de la identidad fundamental dada por la ecuaci´n 1.12, se tiene que el recorrido de las funciones seno y coseno es [−1, 1]. oC´lculo de los valores m´s usuales de las funciones seno y coseno a a π 1. x= 3 En el c´ ırculo unitario inscribimos un hex´gono regular como en la figura 2.3.10. a
  • 155. 148 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD P2 P1 π/3 P3 P0 Figura 1.4.16: Hex´gono regular a Si (u, v) son las coordenadas de P1 , entonces las de P2 son (−u, v); como P1 P0 = (u − 1)2 + (v − 0)2 = P2 P1 = (−u − u)2 + (v − v)2 , se tiene (elevando al cuadrado) que (u − 1) 2 + v 2 = (−2u)2 . Como u2 + v 2 = 1, entonces 2 − 2u = 4u2 que tiene como soluciones u1 = 1 y u2 = −1. Como u > 0 se 2 √ elige la soluci´n u = 1 , y de u2 + v 2 = 1, se tiene que v = 1 − u2 (ra´ positiva) o 2 ız √ 3 que es v = 2 . Por lo tanto: √ π 1 π 3 u = cos = ; v = sen = . 3 2 3 2 2π El angulo P0 OP2 es ´ 3 y se obtiene: √ 2π 1 2π 3 cos =− ; sen = . 3 2 3 2 π 2. x= . 4 En el c´ ırculo unitario inscribimos un oct´gono regular como en la figura 1.4.17. a
  • 156. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 149 P2 P1 π/4 P0 Figura 1.4.17: Oct´gono regular a Si (u, v) son las coordenadas de P1 , entonces la ecuaci´n P0 P1 = P1 P2 es equivalente o a: (u − 1)2 + (v − 0)2 = (0 − u)2 + (1 − v)2 , es decir, u2 − 2u + 1 + v 2 = u2 + 1 − 2v + v 2 lo que implica u = v. Por lo tanto, 1 1 u2 + v 2 = 1 =⇒ 2u2 = 1 =⇒ u = √2 , por lo tanto, v = √2 , lo que implica π π 1 cos = sen = √ . 4 4 2 π 3. x= . 6 En el c´ırculo unitario inscribimos un dodec´gono regular como en la figura 2.3.12. a P3 P2 P1 π/6 P0 Figura 1.4.18: Dodec´gono regular a √ 1 3 π Entonces P1 = (u, v) y P2 = , como se calcul´ en el punto (1) por ser o el 2 2 3 angulo P0 OP2 . ´
  • 157. 150 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD √ 3 1 De la ecuaci´n P3 P2 = P0 P1 obtenemos u = o 2 , v = 2 , por tanto: √ √ π 3 π 1 π 1 3 cos = ; sen = ; tan = √ = 6 2 6 2 6 3 3Observaci´n 1.4.30 Con este m´todo de inscribir pol´ o e ıgonos regulares conociendo suslados y apotemas, podemos seguir calculando los valores de las funciones trigonom´tricas e π π πpara angulos cada vez m´s peque˜ os de la forma ´ a n , , , etc. (k ∈ N). 2k 3k 5k Con estos valores encontrados, usando la geometr´ euclidiana elemental m´s los que ıa apodemos encontrar con una calculadora, podemos esbozar los gr´ficos de las funciones aseno y coseno.Los gr´ficos de seno y coseno a Reuniendo la informaci´n obtenida tenemos: o 1. y 1 x −2π −3π/2 −π −π/2 0 π/2 π 3π/2 2π −1 Figura 1.4.19: La funci´n y = sen x o 2. y 1 x −2π −3π/2 −π −π/2 0 π/2 π 3π/2 2π −1 Figura 1.4.20: La funci´n y = cos x oLas funciones tangente, cotangente, secante y cosecante Estas funciones trigo-nom´tricas est´n definidas en t´rminos de seno y coseno. Por lo tanto, sus propiedades se e a ededucen de las de aquellas.
  • 158. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 151 sen xDefinici´n 1.4.31 1. La funci´n tangente: tan x = o o , definida para todos los cos x x ∈ R donde no se anula la funci´n cos x. Es decir: o π D(tan) = R − {(2n − 1) 2 : n ∈ Z}; R(tan) = R. La funci´n tangente tambi´n es peri´dica, pero de per´ o e o ıodo π, es decir, para todo x ∈ D(tan). tan(x + kπ) = tan x. 2. La funci´n cotangente se define como: o 1 cotan (x) = para todo, x ∈ {x ∈ R : sen x = 0} = R − {nπ, n ∈ Z} . tan(x) 3. La funci´n secante se define como: o 1 π sec(x) = , para todo x ∈ {x ∈ R : cos x = 0} = R − {(2n − 1) : n ∈ Z}. cos(x) 2 4. La funci´n cosecante se define como: o 1 cosec(x) = , para todo x ∈ {x ∈ R : sen x = 0} = R − {nπ, n ∈ Z}. sen(x)Interpretaci´n geom´trica de las funciones tangente, cotangente, secante y o ecosecante Estas funciones para angulos agudos pueden ser representadas por los si- ´guientes trazos como vemos en la figura 2.3.16. P Q θ T θ O A tan θ = AT , cotan θ = P Q, sec θ = OT , cosec θ = OQ Figura 1.4.21: Interpretaci´n geom´trica o eEs un bonito ejercicio de semejanza de tri´ngulos justificar esta interpretaci´n geom´trica a o ey extenderla a cualquier angulo θ. ´
  • 159. 152 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADGr´ficos de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante a 1. y x −3π/2 −π −π/2 0 π/2 π 3π/2 2π Figura 1.4.22: La funci´n y = tan x o 2. y x −3π/2 −π −π/2 0 π/2 π 3π/2 2π Figura 1.4.23: La funci´n y = cotan x o
  • 160. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 153 3. y 1 x −3π/2 −π −π/2 0 π/2 π 3π/2 2π −1 Figura 1.4.24: La funci´n y = sec x o 4. y 1 x −3π/2 −π −π/2 0 π/2 π 3π/2 2π −1 Figura 1.4.25: La funci´n y = cosec x o
  • 161. 154 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADIdentidades fundamentales de las funciones trigonom´tricas e Casi todas las propiedades e identidades fundamentales pueden desprenderse de lasf´rmulas para sen(α ± β) o cos(α ± β). De all´ que existan variadas formas de obtener o ıdichas f´rmulas. Veremos la sugerida por Cauchy. oTeorema 1.4.32 Para todo α, β ∈ R se verifica quecos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β.Demostraci´n: Consideremos la siguiente figura: o y R Q α P α−β β x O A Donde: ∠AOP = β P = (cos β, sen β) ∠AOQ = α − β Q = (cos(α − β), sen(α − β)) ∠AOR = α R = (cos α, sen α) A = (1, 0) Figura 1.4.26: Diagrama de Cauchy Los angulos AOQ y P OR son de igual medida y por tanto subtienden cuerdas de la ´misma longitud, entonces se tiene: d2 (A, Q) = d2 (P, R);es decir: (cos(α − β) − 1)2 + (sen(α − β) − 0)2 = (cos α − cos β)2 + (sen α − sen β)2 ⇐⇒ 2 − 2 cos(α − β) = 2 − 2(cos α cos β − sen α sen β)⇐⇒ cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β.
  • 162. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 155 Del teorema 1.4.32se obtiene la mayor´ de las identidades fundamentales que detalla- ıaremos a continuaci´n: o π π π cos( − β) = cos cos β + sen sen β = sen β 2 2 2 π π π sen( − α) = cos( − ( − α)) = cos α 2 2 2 π π sen(α + β) = cos( − (α + β)) = cos(( − α) − β) 2 2 π π = cos( − α) cos β + sen( − α) sen β 2 2 = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) = cos(α − (−β)) = cos α cos(−β) + sen α sen(−β) = cos α cos β − sen α sen β sen(α − β) = sen(α + (−β)) = sen α cos(−β) + cos α sen(−β) = sen α cos β − cos α sen β Del mismo modo tenemos que: α α α α sen = sen(α − ) = sen α cos − cos α sen , 2 2 2 2implica α α (1 + cos α) sen = sen α cos , 2 2y por lo tanto, α sen α tan = . 2 1 + cos α
  • 163. 156 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADA continuaci´n daremos una lista de las identidades m´s trascendentales: o a sec2 α = tan2 α + 1 sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α sen(α − β) = sen α cos β − sen β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β tan α + tan β tan(α + β) = 1 − tan α tan β tan α − tan β tan(α − β) = 1 + tan α tan β sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2 α − sen2 α = 1 − 2 sen2 α 2 tan α tan 2α = 1 − tan2 α 1 − cos α sen(α/2) = ± 2 1 + cos α cos(α/2) = ± 2 1 − cos α tan(α/2) = ± 1 + cos αEl doble signo indica que en cada caso debe seleccionarse el valor que corresponda deacuerdo al cuadrante donde se encuentra α. α+β α−β sen α + sen β = 2 sen cos 2 2 α+β α−β sen α − sen β = 2 cos sen 2 2 α+β α−β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α−β cos α − cos β = −2 sen sen 2 2 Adem´s, para cada θ ∈ R: a sen θ = cos(π/2 − θ) cos θ = sen(π/2 − θ) tan θ = cot(π/2 − θ) cotan θ = tan(π/2 − θ) secθ = cosec(π/2 − θ) cosec θ = sec(π/2 − θ)
  • 164. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 157Teoremas del seno y del coseno Queremos abordar ahora dos problemas cl´sicos de la geometr´ a ıa: 1. Dado un tri´ngulo cualquiera del cual se conoce la longitud de dos de sus lados, a encontrar la longitud del tercero. 2. Encontrar en un tri´ngulo cualquiera la longitud de un lado conociendo el angulo a ´ opuesto y la longitud y el respectivo angulo opuesto de otro lado. ´Estos problemas son resueltos por el teorema del coseno y el teorema del seno respectiva-mente. Antes de enunciarlos veamos la siguiente equivalencia: En un tri´ngulo ABC cualquiera, se tiene que: a C γ b a α β A c B a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β (i) 2 2 2 c = a + b − 2ab cos γ si y s´lo si o sen α sen β sen γ = = (ii) a b c Demostremos primeramente que (i) =⇒ (ii) b2 +c2 −a2 Sea a2 = b2 + c2 − 2bc cos α, entonces cos α = 2bc , por lo tanto:
  • 165. 158 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 2 b2 + c 2 − a 2 sen2 α = 1 − cos2 α = 1 − 2bc 2 b2 + c 2 − a 2 sen2 α = 1 − cos2 α = 1 − 2bc 4b 2 c2 − (b2 + c2 − a2 )2 = 4b2 c2 (2bc − (b2 + c2 − a2 ))(2bc + (b2 + c2 − a2 )) = 4b2 c2 (a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = 4b2 c2 An´logamente usando el mismo procedimiento, considerando b 2 = a2 + c2 − 2ac cos β, ase tiene (a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) sen2 β = 4a2 c2 De ambas ecuaciones obtenemos b2 sen2 α = a2 sen2 β y como sen α, sen β ≥ 0, se tiene sen α sen β = a b La otra identidad se obtiene de la misma manera. Demostremos ahora que (ii) =⇒ (i) Sabemos que π = α + β + γ, por lo tanto: sen α = sen[π − (β + γ)] = sen(β + γ), entonces: sen2 α = (sen β cos γ + cos β sen γ)2 = sen2 β cos2 γ + cos2 β sen2 γ + 2 sen β sen γ cos β cos γ = sen2 β(1 − sen2 γ) + (1 − sen2 β) sen2 γ + 2 sen β sen γ cos β cos γ = sen2 β + sen2 γ − 2 sen2 β sen2 γ + 2 sen β sen γ cos β cos γ = sen2 β + sen2 γ − 2 sen β sen γ(sen β sen γ − cos β cos γ) = sen2 β + sen2 γ − 2 sen β sen γ(− cos(β + γ)) = sen2 β + sen2 γ − 2 sen β sen γ(− cos(π − α)por lo tanto:
  • 166. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 159 sen2 α = sen2 β + sen2 γ − 2 sen β sen γ cos α sen α sen β sen γPor hip´tesis sabemos o = = = k = constante = 0, entonces sen α = ka, a b csen β = kb, y sen γ = kc. Sustituyendo estas expresiones en la expresi´n encontrada para osen 2 α, se obtiene: k 2 a2 = k 2 b2 + k 2 c2 − 2k 2 bc cos αes decir, a2 = b2 + c2 − 2bc cos α, que es lo que quer´ ıamos probar. Las otras identidades sedemuestran de la misma manera. Enunciaremos ahora los teoremas del coseno y del seno.Teorema 1.4.33 Teorema del Coseno En un tri´ngulo cualquiera ABC, se tiene que: a a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β c2 = a2 + b2 − 2ab cos γTeorema 1.4.34 Teorema del Seno En un tri´ngulo cualquiera ABC, se tiene que: a sen α sen β sen γ = = a b c Por lo obtenido anteriormente estos teoremas son equivalentes, luego basta demostrars´lo uno de ellos. Demostraremos el teorema del coseno. oSea ABC un tri´ngulo cualquiera y ubiqu´moslo en un sistema de coordenadas de forma a eque el angulo α est´ en el v´rtice O y el lado c en el eje de las abscisas, como lo indica la ´ e efigura. y C a b α x A c B A = (0, 0) ; B = (c, 0) ; c = (b cos α, b sen α)
  • 167. 160 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Figura 1.4.27: Teorema del senoPor tanto: a2 = d2 (B, C) = (c − b cos α)2 + (0 − b sen α)2 = c2 + b2 cos2 α − 2bc cos α + b2 sen2 α = b2 (cos2 α + sen2 α) + c2 − 2bc cos α = b2 + c2 − 2bc cos αLas otras identidades se demuestran en forma similar ubicando el sistema de coordenadasen los v´rtices y lados indicados. eObservaci´n: Sabemos de los teoremas de congruencias de tri´ngulos en geometr´ plana o a ıaque un tri´ngulo queda completamente determinado si se conoce una de las siguientes aalternativas: 1. Un lado y dos angulos. ´ 2. Dos lados y el angulo opuesto al mayor de ellos. ´ Con el teorema del seno podemos entonces resolver cualquier tri´ngulo si se conoce a (1) o (2). 3. Dos lados y el angulo comprendido entre ambos. ´ 4. Los tres lados. En estos casos con el teorema del coseno resolvemos el tri´ngulo. aEcuaciones trigonom´tricas e Son ecuaciones donde las variables o inc´gnitas s´lo aparecen en los argumentos de las o ofunciones trigonom´tricas. Por ejemplo: e 4 sen2 x = tan xo el sistema: sen x + sen y = a cos 2y − cos 2x = b
  • 168. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 161 La ecuaci´n tan x − x = 0 no es una ecuaci´n trigonom´trica, sin embargo el sistema o o e x+y = a tan x tan y = b puede reducirse a una ecuaci´n trigom´trica. Observemos que no todas las ecuaciones o etrigonom´tricas tienen soluci´n; por ejemplo: e o 3 sen2 x + cos 2x = 5 no tiene soluci´n, pues los m´ximos valores que pueden tomar 3 sen 2 x y cos 2x son 3 o ay 1 respectivamente, y por lo tanto su suma ser´ siempre inferior a 5 para cualquier valor ax ∈ R. Observemos tambi´n que, debido a la periodicidad de las funciones trigonom´tricas, si e euna ecuaci´n tiene una soluci´n x 0 , entonces tiene infinitas soluciones x 0 + 2kπ, k ∈ Z. o o Basta entonces encontrar las soluciones de una ecuaci´n trigonom´trica en el intervalo o e[0, 2π), o bien, en algunos casos en (−π, π]. Estas soluciones se llaman soluciones b´sicas. a Como podemos ver no hay teor´ sobre ecuaciones trigonom´tricas, s´lo algunos m´to- ıa e o edos y estos consisten en reducirlas a una ecuaci´n algebraica tomando una funci´n trigonom´tri- o o eca como inc´gnita auxiliar; algunos ejemplos: o 7 1. Resolver 3 tan2 x + 5 = cos x 1 − cos2 x Sea u = cos x, entonces como tan2 x = , tenemos cos2 x 3(1 − u2 ) 7 2 +5= u u 2u2 − 7u + 3 es decir, = 0. Como u = 0 (es decir, cos x = 0) no es soluci´n de la o u2 1 ecuaci´n, tenemos que 2u2 − 7u + 3 = 0, que tiene como soluciones a u =3 y . o 2 1 La primera no es soluci´n por ser mayor que 1; por lo tanto u = cos x = 2 es la o π ecuaci´n que debemos resolver y cuyas soluciones b´sicas son x = ± . Entonces las o a 3 soluciones de la ecuaci´n son: o π S = {± + 2kπ ; k ∈ Z} 3
  • 169. 162 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Si hacemos el reemplazo v = tan x, la ecuaci´n se convierte en: o 3v 2 + 5 = ±7 1 + v2 pero esta ecuaci´n no es equivalente a la propuesta, porque con las soluciones de o esta, admite todav´ las soluciones de la ecuaci´n ıa o 7 3 tan2 x + 5 = cos x √ π Las soluciones de 3 tan 2 x + 5 = ±7 1 + tan2 x son S = ± + kπ , k∈R 3 que es un conjunto mayor que el buscado. En general, no es recomendable usar sustituciones que conduzcan a ra´ ıces, pues se debe considerar el doble signo que aporta m´s soluciones que las buscadas en el a problema original. 2. Resolver y discutir la ecuaci´n: a sen x + b cos x = c o b c b Dividiendo por a, se tiene sen x + cos x = , ∈ R, por lo tanto, existe a a a sen ϕ b ϕ ∈ (− π , π ) tal que tan ϕ = 2 2 = . Reemplazando en la ecuaci´n original y o cos ϕ a multiplicando por cos ϕ se tiene: c sen x cos ϕ + sen ϕ cos x = cos ϕ a c es decir, sen(x + ϕ) = a cosϕ c Sea φ tal que sen φ = cos ϕ, entonces x+ϕ = 2kπ +φ, o bien, x+ϕ = (2k +1)π −φ a donde x = 2kπ + φ − ϕ, o bien, x = (2k + 1)π − φ − ϕ. Este resultado es formal, tenemos que encontrar las condiciones para que estos valores existan: c Primero debemos tener −1 ≤ cos ϕ ≤ 1 para que exista el valor φ. a c 2 cos2 ϕ Es decir, ≤1 a2 El valor de cos2 ϕ en funci´n de los datos se deduce de la ecuaci´n principal: o o 1 1 a2 cos2 ϕ = = = 2 1 + tan2 ϕ b2 1 + a2 a + b2
  • 170. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 163 Entonces, la condici´n de posibilidad se reduce a : o cos2 ϕ c2 c2 = 2 ≤ 1 ⇐⇒ c2 ≤ a2 + b2 . a2 a + b2La funci´n sinusoidal o Las funciones de la forma f (x) = a sen(ωx) + b cos(ωx)se llaman funciones sinusoidales y aparecen en modelos matem´ticos de problemas aoscilatorios. En electromagnetismo, sonido, las ondas est´n representadas por funciones ade tipo sinusoidal.Escribamos f (x) como: a b f (x) = a2 + b2 √ sen ωx + √ cos ωx a2 + b 2 a2 + b2 2 2 a b a bcomo √ + √ = 1, entonces el punto √ ,√ pertenece a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2a la circunferencia unitaria y por tanto, existe un unico ϕ, 0 ≤ ϕ < 2π tal que : ´ a cos ϕ = √ a 2 + b2 b sen ϕ = √ a 2 + b2, b tan ϕ = . a √ Pongamos A := a2 + b2 , entonces f (x) se puede escribir como: f (x) = A(cos ϕ sen ωx + sen ϕ cos ωx) = A sen(ωx + ϕ) 1. La funci´n f (x) es peri´dica y su per´ o o ıodo T es: A sen(ω(x + T ) + ϕ) = A sen(ωx + ϕ) = A sen(ωx + 2π + ϕ)
  • 171. 164 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Por tanto, ωx + ωT = ωx + 2π, es decir, el per´ ıodo T de la sinusoide es 2π T = (tomando |ω| para obtener T > 0). |ω| 2. Como f (x) = A sen(ωx + ϕ) = A sen (ω(x − ( −ϕ ))) se tiene que −ϕ es el monto en el ω ω cual la sinusoide est´ desfasada. Entonces el ciclo se inicia en el punto ( −ϕ , 0). Los a ω −ϕ ingenieros el´ctricos llaman al desfase e como angulo de fase de la sinusoide. ´ ω 3. El n´ mero A se llama la amplitud de la sinusoide. u 2π 4. El n´ mero |ω| = u se llama la frecuencia de la sinusoide. T y A −ϕ/ω + T x −ϕ/ω −A Figura 1.4.28: Funci´n sinusoidal f (x) = A sen(ωx + ϕ) o Algunas veces la funci´n sinusoidal no aparece en la forma expl´ o ıcita f (x) = a sen(ωx)+b cos(ωx); pero bajo identidades trigonom´tricas podemos llevarla a esta forma. Veamos eun ejemplo: 1 f (x) = 3 sen x cos2 x − sen3 x + cos 3x. 2
  • 172. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 165Entonces 1 f (x) = sen x cos2 x + 2 sen x cos2 x − sen3 x + cos 3x 2 1 = sen x(cos2 x − sen2 x) + 2 sen x cos2 x + cos 3x 2 2 1 = sen x cos 2x + 2 sen x cos x + cos 3x 2 1 = sen x cos 2x + cos x sen 2x + cos 3x 2 1 = sen(x + 2x) + cos 3x 2 1 = sen 3x + cos 3x. 2que es de la forma sinusoidal.Obviamente no toda funci´n del tipo trigonom´trico es sinusoidal, por ejemplo f (x) = o esen2 x sen 2x es la funci´n sen 2x con amplitud peri´dica igual a sen 2 x. Realice con ayuda o ode su calculadora un gr´fico de esta funci´n. a oEjemplo 1.4.35 1. La funci´n ϕ1 (x) = 2 sen(x) es la sinusoide seno con amplitud 2. o 2. La funci´n ϕ2 (x) = cos(2x) es la sinusoide coseno de per´ o ıodo π. 3. La funci´n f (x) = 2 sen(x) + cos(2x) que es la suma de las dos sinusoides anteriores o no es una funci´n sinusoidal. o ϕ2 (x) = cos(2x) 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π ϕ1 (x) = 2 sen(x) f (x) = 2 sen(x) + cos(2x)
  • 173. 166 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDADAlgunos l´ ımites relevantes que involucran las funciones circulares 1. l´ sen x = 0. Este l´ ım ımite se obtiene usando la desigualdad : x→0 | sen x |≤| x | . Esta se obtiene usando la definici´n de sen x y elementos de la geometr´ euclidiana, o ıa intuitivamente basta mirar el dibujo con que se definen las funciones circulares. De una manera m´s formal: a Dado ε > 0, podemos elegir δ = ε y tenemos que si | x − 0 |=| x |< δ entonces, | sen x − 0 |=| sen x |≤| x |< δ = ε. x−a 2. l´ sen ım = 0. Es consecuencia del l´ ımite anterior y del teorema 1.4.12. x→a 2 3. l´ sen x = sen a. Usando la f´rmula trigonom´trica: ım o e x→a x − x0 x + x0 sen x − sen x0 = 2 sen cos . 2 2 Tenemos x−a x+a x−a | sen x − sen a |=| 2 sen cos |≤ 2 | sen |. 2 2 2 En virtud del teorema 1.4.11, podemos concluir que: l´ sen x = sen a. ım x→a 4. l´ cos x = cos a. ım x→a Se obtiene de modo similar al de la funci´n sen x, usando la f´rmula o o x − x0 x + x0 cos x − cos x0 = −2 sen sen , 2 2 y el l´ ımite anterior. sen x 5. l´ ım = 1. x→0 x Supongamos que x ∈ (0, π ). El tri´ngulo ORQ de la figura est´ contenido en el 2 a a sector circular OSQ que, a su vez, est´ contenido en el tri´ngulo OST . Por tanto, a a ´ Area ´ ´ ORQ ≤ Area sector OSQ ≤ Area OST. (1)
  • 174. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 167 Adem´s, RQ = sen x, OR = cos x, OS = 1. a y T Q S x O R Por semejanza de tri´ngulos tenemos: a ST OS = RQ OR . Despejando ST obtenemos que: sen x ST = = tan x. cos x Entonces, la expresi´n (1) toma la forma: o sen x cos x ´ sen x ≤ Area sector OSQ ≤ . (2) 2 2 cos x Usando proporciones podemos calcular el area del sector circular: ´ x ´ Area del sector = . 2π π As´ (2) se escribe como: ı sen x cos x x sen x ≤ ≤ . (3) 2 2 2 cos x Si x ∈ (0, π ), tenemos que de la primera desigualdad de (3) obtenemos al dividirla 2 x cos x por , 2 sen x 1 ≤ , (4) x cos x 2 cos x al multiplicar la segunda desigualdad por obtenemos: x sen x cos x ≤ . (5) x
  • 175. 168 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD De (4) y (5) tenemos que: sen x 1 cos x ≤ ≤ . x cos x sen(−x) desigualdad que sigue valiendo para x ∈ (− π , 0), pues cos(−x) = cos x y 2 = −x sen x . x As´ para todo x ∈ (− π , π ), tenemos: ı, 2 2 sen x 1 cos x ≤ ≤ . x cos x Usando el teorema 1.4.11 y el hecho que l´ cos x = 1, obtenemos que , ım x→0 sen x l´ ım = 1. x→0 x y l´ f (x) = 1 ım x→0 ◦ x −2π −π 0 π 2π sen x Figura 1.4.29: y = . x cos x − cos a 6. l´ ım . Usando la f´rmula trigonom´trica: o e x→a x−a x − x0 x + x0 cos x − cos x0 = −2 sen sen , 2 2 tenemos que , x−a x+a cos x − cos a 2 sen sen = 2 2 x−a x−a x−a x + a sen 2 = − sen x−a . 2 2 x−a Tomando el l´ ımite cuando x → a tenemos que u = → 0 y entonces podemos 2 usar el l´ ımite es − sen a. ımite 5 y concluir que el valor de este l´
  • 176. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 169 1 1 7. La funci´n f (x) = sen o tiene por dominio a R − {0}. Veremos que l´ sen no ım x x→0 + x existe. 1 1 π 2 Si x > 0; sen = 1 si y s´lo si o = + 2nπ, es decir, cuando x = . x x 2 (4n + 1)π 1 1 3π 2 sin = −1 cuando = + 2nπ, es decir, cuando x = . x x 2 (4n + 3)π 2 As´ vemos que la sucesi´n xn = ı o es tal que xn > 0, xn = 0, xn → 0 cuando (4n + 1)π n → ∞ y l´ f (xn ) = 1. ım n→∞ 2 Pero tambi´n existe la sucesi´n y n = e o que tambi´n converge a cero, cuando e (4n + 3)π n crece, pero l´ f (yn ) = −1. Esto significa que la funci´n oscila entre 1 y -1 cuando ım o n→∞ x → 0+ . 1 Por tanto, l´ sen ım no existe. x→0+ x 1 0.5 -1 -0.5 0.5 1 -0.5 -1 1 Figura 1.4.30: Gr´fico de f (x) = sen a x 1 8. l´ sen ım = 0. x→−∞ x 9. As´ıntotas de la tangente π Las rectas x = (n + 1) ; n ∈ Z, n = −1 son as´ ıntotas verticales de la funci´n o 2 y = tan x sen x l´ tan x = l´ ım ım como l´ sen x = 1; l´ cos x = 0+ l´ cos x = 0− , ım ım ım π − cos x π− x→ 2 x→s 2 x→ π − 2 x→ π − 2 x→ π + 2 entonces l´ tan x = +∞ y ım l´ tan x = −∞ ım x→ π − 2 x→ π + 2
  • 177. 170 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 0.5 -3 -2 -1 1 -0.5 -1 Figura 1.4.31 y x 0 −π 2 π 2 Figura 1.4.32 : y = tan xAlgunas aplicaciones de los l´ ımites: 1. Si cuando x crece indefinidamente, la diferencia entre las funciones f (x) y g(x) se hace indefinidamente peque˜ a, se dice que f (x) y g(x) se aproximan asint´ticamente. n o Es decir, si l´ [f (x) − g(x)] = 0, entonces escribimos f (x) ≈ g(x) cuando x → ∞. ım x→∞ Lo mismo se puede hacer cuando x → −∞. f (x) 2. Si l´ ım = 1, entonces decimos que f (x) y g(x) se comportan aproximadamente x→a g(x) iguales para valores muy cercanos al punto a; se puede escribir nuevamente f (x) ≈ g(x). Siempre que g(x) sea acotada para valores grandes de x. f (x) 3. La siguiente notaci´n es muy usual :f (x) es o(n) si l´ o ım = 0. Por ejemplo, x→0 xn 4x2 + 6x3 es o(1), pero sen x no es o(1).
  • 178. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 1711.4.6. Ejercicios resueltos 1. Calcule: a) l´ (x2 + 3x − 4). ım x→1 b) l´ (x2 + 3x − 4). ım x→∞ 1 c) l´ ım . x→∞ x2 + 3x − 4 x3 + 5 d) l´ ım 2 . x→∞ x + 3x − 4 e) l´ ım x2 + 3x − 4. x→1 2 f) l´ √ (3x ım + π). x→ π g) l´ √ sen ım 3x2 + π x→ π 3−x h) l´ ım x . x→−3+ 3+x x i) l´ x ım . x→−1 1−x Soluci´n: o a) El teorema 1.4.6 nos permite escribir: l´ (x2 + 3x − 4) = ım l´ x2 + 3 l´ x − l´ 4 ım ım ım x→1 x→1 x→1 x→1 = ( l´ x)2 + 3 l´ x − l´ 4 ım ım ım x→1 x→1 x→1 = 12 + 3 · 1 − 4 = 0. b) 3 4 l´ (x2 + 3x − 4) = ım l´ x2 (1 + ım − 2) x→∞ x→∞ x x 2 3 4 = l´ x · l´ (1 + − 2 ) ım ım x→∞ x→∞ x x = ∞ · 1 = ∞. 1 1 c) l´ ım = = 0. x→∞ x2 + 3x − 4 ∞
  • 179. 172 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD d) 5 x3 + 5 x3 (1 + ) = x3 x2 + 3x − 4 3 4 x2 (1 + − 2 ) x x 5 5 x(1 +) l´ (1 + 3 ) ım l´ ım x3 = l´ x x→∞ ım x = ∞ · 1 = ∞. x→∞ 3 4 x→∞ 3 4 (1 + − 2 ) l´ (1 + − 2 ) ım x x x→∞ x x e) En virtud de a), si f (x) = x2 + 3x − 4 entonces , l´ f (x) = 0. ım x→1 √ Aplicando el teorema 1.4.12 con f (x) = x 2 + 3x − 4 y g(x) = x , entonces l´ g(x) = 0, tenemos que l´ ım ım x2 + 3x − 4 = 0. x→1 √ f) l´ √ (3x2 + π) = 3( π)2 + π = 4π. ım x→ π √ g) En virtud del teorema 1.4.12 y el l´ ımite relevante 3 tenemos: l´ √ f (x) = ım 4π x→ π y si g(x) = sen x,√entonces l´ √ g(x) = sen 4π. ım x→ π 3−x h) Para calcular ım x · l´ , escribiremos: x = −3 + ε y as´ se cumple que: ı x→−3+ 3+x x → −3+ si ε → 0+ , y por lo tanto: √ √ x 3−x (−3 + ε) 6 − ε ım √ l´ = l´ ım √ = −∞. x→−3+ 3+x ε→0+ ε i) De manera similar a h) x l´ x ım = +∞. x→1− 1−x 2. Calcule l´ (2x − 1 + ım 4x2 − 5x + 3). x→±∞
  • 180. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 173 √ Soluci´n: o Sea y = 2x − 1 + 4x2 − 5x + 3. √ (2x − 1) − 4x2 − 5x + 3 l´ y = ım l´ y · ım √ x→∞ x→∞ (2x − 1) − 4x2 − 5x + 3 (2x − 1)2 − (4x2 − 5x + 3) = l´ ım √ x→∞ 2x − 1 − 4x2 − 5x + 3 4x2 − 4x + 1 − 4x2 + 5x − 3 = l´ ım √ x→∞ 2x − 1 − 4x2 − 5x + 3 x−3 = l´ ım √ x→∞ 2x − 1 − 4x2 − 5x + 3 1 − 3/x = l´ ım x→∞ 2 − 1/x − 4 − 5/x + 3/x2 = +∞. An´logamente, a l´ (2x − 1 + ım 4x2 − 5x + 3) = +∞. x→−∞ 3. Calcule x2 − 5x + 4 l´ ım . x→1 x2 − 3x + 2 Soluci´n: El numerador y el denominador se anulan cuando x toma el valor 1, por o lo que debemos tratar de factorizar ambos trinomios. x2 − 5x + 4 (x − 1)(x − 4) = , x2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) x2 − 5x + 4 x−4 si x = 1 entonces podemos simplificar teniendo: 2 − 3x + 2 = , y as´ ı, x x−2 x2 − 5x + 4 x−4 −3 l´ ım 2 − 3x + 2 = l´ ım = = 3. x→1 x x→1 x − 2 −1 4. Calcule √ √ x + 1 − x2 + x + 1 l´ ım . x→0 x
  • 181. 174 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Soluci´n: Tanto el numerador como el denominador se anulan cuando x toma el o valor 0; por lo tanto, debemos transformar algebraicamente la expresi´n racional- o izando el numerador: √ √ √ √ √ √ x + 1 − x2 + x + 1 x + 1 − x2 + x + 1 x + 1 + x2 + x + 1 = ·√ √ x x x + 1 + x2 + x + 1 x + 1 − (x2 + x + 1) −x2 = √ √ = √ √ x( x + 1 + x2 + x + 1) x( x + 1 + x2 + x + 1) −x = √ √ , x + 1 + x2 + x + 1 por consiguiente, √ √ x + 1 − x2 + x + 1 0 l´ ım = = 0. x→0 x 2 5. Calcule √ 3 1− 1−x l´ ım . x→0 3x Soluci´n: Usando la f´rmula de factorizaci´n a 3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) o o o podemos transformar algebraicamente la expresi´n de la misma forma que se hizo o en el ejercicio anterior, es decir, racionalizando el numerador: √ √ √ 1− 3 1−x 1− 3 1 − x 1 + 3 1 − x + 3 (1 − x)2 = · √ 3x 3x 1 + 3 1 − x + 3 (1 − x)2 1 − (1 − x) = √ 3x(1 + 1 − x + 3 (1 − x)2 ) 3 x = √ 3x(1 + 1 − x + 3 (1 − x)2 ) 3 1 = √ . 3(1 + 1 − x + 3 (1 − x)2 ) 3 Por lo tanto, √ 3 1− 1−x 1 l´ ım = . x→0 3x 9 6. Calcule (2x − 3)2 (4x + 7)2 l´ ım . x→∞ (3x − 4)2 (5x2 + 1)2
  • 182. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 175 Soluci´n: Seg´ n lo visto para funciones racionales en el ejemplo 1.4.20, para cal- o u ımite, basta conocer los coeficientes de los t´rminos en x 4 en el numerador cular este l´ e y denominador. As´ ı, (2x − 3)2 (4x + 7)2 4 · 16 64 l´ ım = = . x→∞ (3x − 4)2 (5x2 + 1)2 9·5 45 7. Calcule √ l´ ( ım ax2 + bx + c − x a). x→±∞ Soluci´n: o √ √ √ √ ax2 + bx + c + x a ax2 + bx + c − x a = ax2 + bx + c − x a · √ √ ax2 + bx + c + x a bx + c = √ √ ax2 + bx + c + x a x(b + c/x) = √ . |x| a + b/x + c/x2 + x a As´ ı, √ b + c/x b l´ ( ım ax2 + bx + c − x a) = l´ ım √ = √ . x→+∞ x→+∞ a + b/x + c/x2 + a 2 a Y √ √ l´ ( ım ax2 + bx + c − x a) = l´ ım −2 ax = +∞. x→−∞ x→−∞ 8. Analizar el l´ ımite de la expresi´n o p 1 2 y = x 3 (x2 + 1) 3 − x 3 cuando x → ∞, seg´ n los valores de p. u
  • 183. 176 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Soluci´n: o √ 3 p 1 2 p 1 2 3 (x2 + 1)2 + 3 x2 (x2 + 1) + x4 2 2 x 3 (x + 1) − x 3 3 = x 3 (x + 1) − x 3 3 · √ 3 3 (x2 + 1)2 + 3 x2 (x2 + 1) + x4 p x 3 (x2 + 1 − x2 ) = √ 3 3 (x2 + 1)2 + 3 x2 (x2 + 1) + x4 p 4 x3 x− 3 = √ · 4 x 4 x− 3 3 3 (x2 + 1)2 + 3 x2 (x2 + 1) + 1 p−4 1 = x 3 ·√ 3 √ 3 1 + 2x−2 + x−4 + 3 1 + x−2 + 1 1 Entonces, tenemos: Si p = 4, l´ y = . ım x→∞ 3 Si p > 4, l´ y = ∞. ım x→∞ Si p < 4, l´ y = 0. ım x→∞ 9. Dada 1 f (x) = . x2 +x−6 a) Resuelva gr´ficamente la desigualdad x 2 + x − 6 ≤ 0. a b) Analice los ceros y el signo de la funci´n f . o c) Calcule l´ f (x), l´ ım ım f (x), l´ ım f (x), l´ ım f (x), l´ f (x), l´ f (x). ım ım x→∞ x→−∞ x→−3− x→−3+ x→2− x→2+ d) Bosqueje el gr´fico de f. a e) Bosqueje el gr´fico de g(x) = x2 + f (x). a Soluci´n: o a) La funci´n y = x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3) representa una par´bola que corta o a el eje x en los puntos x = 2 y x = −3; es abierta hacia arriba y su v´rtice e 1 25 (− , − ). Su gr´fico es el que muestra la figura 1.4.33. De donde podemos a 2 4 deducir que: x2 + x − 6 ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ [−3, 2].
  • 184. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 177 y x −3 2 Figura 1.4.33: Gr´fico de y = x2 + x − 6. a 1 1 b) f (x) = = ; D(f ) = R − {−3, 2} y no tiene ceros. x2 +x−6 (x − 2)(x + 3) Como x2 + x − 6 > 0 en (−∞, −3) ∪ (2, +∞) que: f (x) > 0 sobre (−∞, −3) y sobre (2, +∞); f (x) < 0 sobre (−3, 2). 1 c) l´ ım f (x) = =0 x→±∞ 1 6 x2 (1 + − 2 ) x x l´ ım f (x) = +∞; x→−3− pues para valores de x menores que −3 la funci´n es positiva. o ım f (x) = −∞ l´ x→−3+ l´ f (x) = −∞ ım x→2− l´ f (x) = ∞. ım x→2+ 1 1 1 d) f (− ) = −0, 16; como en − la par´bola alcanza su m´ a ınimo valor, f (− ) es 2 2 2 el mayor valor que toma f en (−3, 2).
  • 185. 178 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD y −3 −1 2 2 x 1 Figura 1.4.34: Gr´fico de f (x) = a . x2 + x − 6 e) g(x) = x2 + f (x); D(g) = D(f ). Como x2 ≥ 0, para todo x, la funci´n g(x) es o positiva en (−∞, −3) y en (2, +∞). f (x) l´ g(x) = ım l´ (x2 + f (x)) = l´ ım ım x2 1 + = +∞ x→±∞ x→±∞ x→±∞ x2 1 l´ g(x) ım = l´ (x2 + f (x)) = l´ ım ım x2 (x − 2) + = +∞. x→2+ x→2+ x→2+ x−3 y x −3 2 1 Figura 1.4.35: Gr´fico de g(x) = x2 + a . x2 + x − 6
  • 186. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 179 3x2 − 110. Analice el comportamiento de la funci´n f (x) = o y bosqueje su gr´fico. a x3 − x 3x2 − 1 Soluci´n: o Si f (x) = , el dominio de f es R − {−1, 0, 1}, por lo que x(x − 1)(x + 1) el gr´fico de f consta de 4 ramas. a Los ceros de f (x): 1 3x2 − 1 = 0 ⇐⇒ x = ± √ . 3 1 1 En los puntos (− √ , 0), ( √ , 0), el gr´fico corta al eje x. a 3 3 El signo de f (x): 3x2 − 1 f (x) = x(x2 − 1) Veamos el comportamiento de las par´bolas: 3x 2 − 1, x2 − 1. Del gr´fico de ellas se a a deduce f´cilmente que: a x2 − 1 ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ [−1, 1] 1 1 3x2 − 1 ≤ 0 ⇐⇒ x ∈ [− √ , √ ] 3 3 Por tanto: 3x2 − 1 (i) Sobre (−∞, −1) : x < 0; y ≥ 0, es decir, f es negativa. x2 − 1 1 (ii) Sobre (−1, − √ ); f (x) > 0. 3 1 (iii) Sobre (− √ , 0); f (x) < 0. 3 | (iv) Sobre (0, √ ); f (x) > 0. 3 1 (v) Sobre ( √ , 1); f (x) < 0. 3 (vi) Sobre (1, ∞; f (x) > 0. Para poder bosquejar el gr´fico, analizaremos algunos l´ a ımites. Para ello escribiremos
  • 187. 180 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 x2 (3 − ) f en la forma, f (x) = x2 x x3 (1 − 3 ) x 3 l´ ım f (x) = l´= 0− ım x→−∞ x→−∞ x 1 1 1 1 l´ ım f (x) = l´ ( ım + + ) = − − 1 + (−∞) = −∞. x→−1 − x→−1 − x − 1 x x+1 2 l´ ım f (x) = +∞. x→−1+ y 3x2 − 1 f (x) = x3 − x x −1 −1 √ √1 1 3 3 3x2 − 1 Figura 1.4.36: Gr´fico de f (x) = a . x3 − x √ 2x − 311. Analice el comportamiento de la funci´n g(x) = o y bosqueje el gr´fico. a x2 Soluci´n: o a) Primero determinaremos el dominio D(g) de la funci´n. o 3 x ∈ D(g) ⇐⇒ 2x − 3 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ . 2
  • 188. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 181 3 b) g(x) = 0 ⇐⇒ x = . 2 c) g(x) ≥ 0; para todo x ∈ D(g). d) 3 x(2 − ) x l´ g(x) = ım l´ ım x→∞ x→∞ x2 3 2− x = l´ l´ ım ım √ x→∞ x→∞ x 3 = 0. √ y 2x − 3 g(x) = x2 3 x 2 √ 2x − 3 Figura 1.4.37: Gr´fico de g(x) = a . x212. Esbozar los gr´ficos de las funciones: a 1 a) f (x) = sen . x 1 b) g(x) = x sen . x 1 1 c) h(x) = sen . x x Soluci´n: o a) D(f ) = R − {0}. Como la funci´n es acotada por 1, es decir, | sen u| ≤ 1, o entonces tenemos que: 1 −1 ≤ sen ≤ 1. x Por lo cual su gr´fico se encuentra en la franja [−1, 1] del eje Y . a
  • 189. 182 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD 1 0.5 -1 -0.5 0.5 1 -0.5 -1 1 Figura 1.4.38: Gr´fico de f (x) = sen a x 1 Como hemos visto en el ejemplo 1.4.15 caso 4, l´ sen ım no existe, pues la x→0 x funci´n oscila. o 1 l´ sen = l´ sen t = 0, usando el teorema 1.4.19 y el l´ ım ım ımite relevante 1. x→∞ x t→0+ b) D(g) = R − {0}. −x ≤ g(x) ≤ x Lo que nos dice que el gr´fico de g(x) est´ comprendido entre las rectas y = −x, a a y = x. 1 l´ −x ≤ l´ x sen ≤ l´ x ım ım ım x→0 x→0 x x→0 1 Usando el teorema 1.4.11, vemos que l´ x sen ım = 0. x→0 x 0.4 0.3 0.2 0.1 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -0.1 -0.2 1 Figura 1.4.39: Gr´fico de g(x) = x sen . a x 1 c) El gr´fico de h(x) est´ comprendido entre las hip´rbolas y = ± . Con un a a e x
  • 190. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 183 c´lculo semejante al de las dos funciones anteriores obtenemos que : a l´ h(x) = 0. ım x→±∞ En las cercan´ de x = 0 la funci´n cruza infinidad de veces el eje X oscilando ıas o entre sus valores extremos que est´n sobre las hip´rbolas. Su gr´fico es el que a e a vemos en la figura 1.4.40. 60 40 20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -20 -40 -60 1 1 Figura 1.4.40: Gr´fico de h(x) = a sen . x x13. a) Demuestre que valores peque˜ os de x, x ≈ tan x. n x x x sen x b) Demuestre que l´ (cos · cos 2 · . . . · cos n ) = ım . cuando x = 0. n→∞ 2 2 2 x Soluci´n: o tan x a) Es equivalente a demostrar que l´ ım = 1. x→0 x En efecto: sen x tan x 1 sen x = cos x = · x x cos x x tan x 1 sen x l´ ım = l´ ım · l´ ım = 1 · 1 = 1. x→0 x x→0 cos x x→0 x b) Usando inductivamente la f´rmula del angulo doble, tenemos las siguientes o ´ igualdades: x x x x x sen x = 2 sen · cos ; sen = 2 sen · cos x 2x 2 x 2 x 4 4x x sen 2 = 2 sen 3 · cos 3 , . . . , sen n−1 = 2 sen n cos n 2 2 2 2 2 2
  • 191. 184 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Remplazando, nos queda: x x x x sen x = 2n sen n cos · cos 2 · . . . · cos n 2 2 2 2 si x = 0, x sen x sen n = x 2 cos x · cos x · . . . · cos x x 2 22 2n 2 n x sen n Como para x fijo, l´ ım 2 n→∞ x = 1, se tiene lo que quer´ ıamos demostrar. 2n sen 5x14. a) Calcular l´ ım . x→0 sen 4x sen mx b) Calcular l´ ım . x→0 sen nx Soluci´n: o 5x sen 5x 4x 5 sen 5x 4x a) · = · · . 4x 5x sen 4x 4 5x sen 4x sen 5x 5 5 Cuando x → 0 4x y 5x → 0, por tanto l´ ( ım ) = ·1·1 = . x→0 sen 4x 4 4 m b) Con los mismos pasos se llega a que este l´ ımite es . n x sen + cos x15. Calcular: l´ ım 2 . x→π 1 + sen2 x + cos x x x x Soluci´n: Reemplazando cos x por 1 − 2 sen 2 y sen x por 2 sen cos , la expre- o 2 2 2 si´n se transforma en: o x x x x x sen + 1 − 2 sen2 sen 1 − sen + 1 − sen2 2 2 = 2 2 2 x 2 x 2 x x x x 1 + 4 sen 2 cos + 1 − 2 sen 2 1 − sen 2 + 4 sen 2 1 − sen2 2 2 2 2 2 2 x x 1 − sen 1 + 2 sen = 2 2 2 x x 2 1 − sen 1 + 2 sen2 2 2 x 1 + 2 sen = 2 x x . 2 1 + sen 1 + 2 sen2 2 2
  • 192. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 185 1 Cuando x = π la ultima expresi´n vale ´ o . 4 x x16. Resuelva la ecuaci´n tan x tan2 + 2 tan − tan x = 0,tomando como inc´gnita o o 2 2 x tan , y encuentre los l´ ıces de esta ecuaci´n cuando tan x → ∞ y ımites de las ra´ o 2 tan x → 0. Soluci´n: o Tenemos : √ x −1 ± 1 + tan2 x 1 1 tan = =− ± + 1. 2 tan x tan x tan2 x x Si tan x → ∞, entonces tan → ±1. 2 Si tan x → 0, separando las ra´ıces tenemos que: √ x −1 + 1 + tan2 x tan = 2 tan x tan2 x = √ tan x( 1 + tan2 x + 1) tan x = √ . 1 + tan2 x + 1 x Por tanto, si tan x → 0, entonces tan → 0. 2 Para la otra ra´ tenemos: ız √ x −1 − 1 + tan2 x tan = . 2 tan x x Si tan x → 0, entonces tan → ∞. 217. Dada la funci´n: o x2 + x + 1 y(x) = . x2 − x − 1 a) Encuentre el dominio y el recorrido. b) Analice el signo de f . c) Analice la existencia de as´ ıntotas. 3 d) ¿Existe x ∈ D(y) tal que y(x) = −1, y(x) = ? 5
  • 193. 186 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Soluci´n: o a) D(y) = {x ∈ R; x2 − x − 1 = 0}. √ 1± 5 Como x2 − x − 1 = 0 es equivalente a x = , tenemos que 2 √ 1± 5 D(y) = R − . 2 Para calcular el recorrido debemos despejar x en la expresi´n que define la o funci´n: y(x o 2 − x − 1) = x2 + x + 1, implica x2 (y − 1) − x(y + 1) − (y + 1) = 0, lo que nos da: y + 1 ± 5y 2 + 2y − 3 x= . 2(y − 1) Para que x sea un n´ mero real debemos imponer la condici´n u o 5y 2 + 2y − 3 ≥ 0, desigualdad que se resuelve seg´ n lo estudiado en la secci´n 1.3 y nos da: u o 3 y≥ o y ≤ −1. ´ 5 3 As´ R(y) = (−∞, −1] ∪ [ , ∞). ı, 5 b) Como el polinomio x2 + x + 1 es siempre positivo, el signo de la funci´n y o corresponde al signo del denominador: x 2 − x − 1 = 0 que tiene por soluciones √ √ √ 1± 5 1− 5 1+ 5 x= , por lo tanto y ≥ 0 cuando x ≤ y cuando x ≥ . En √2 √ 2 2 1− 5 1+ 5 , la funci´n es negativa.. o 2 2 c) Las as´ ıntotas verticales se obtienen igualando a cero el denominador una vez eliminados los posibles factores comunes. Por lo cual tenemos las rectas √ √ 1− 5 1+ 5 x= y x= . 2 2 Para obtener las as´ ıntotas horizontales debemos calcular l´ ım y(x). x→±∞ 1 1 x2 + x + 1 1+ + y= 2 = x x2 . x −x−1 1 1 1− − x x2
  • 194. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 187 Esto nos dice que l´ ım y(x) = 1. x→±∞ Es decir, la recta y = 1 es una as´ ıntota horizontal. d) del primer item sabemos que y + 1 ± 5y 2 + 2y − 3 x= . 2(y − 1) 3 Haciendo y = −1 nos da x = 0 y si y toma el valor tenemos que x = −2. 5 y x2 + x + 1 f (x) = x2 − x − 1 y=1 x √ √ 1− 5 1− 5 x= 2 x= 2 Observe que la curva corta a su as´ ıntota y = 1.18. As´ ıntotas oblicuas de un gr´fico de una funci´n racional a o Dada la funci´n racional o x2 − 5x + 4 f (x) = , 2x + 1 a) Encuentre sus as´ ıntotas verticales. b) Encuentre sus as´ ıntotas horizontales. c) Efectuando la divisi´n de polinomios entre el numerador y el denominador, o demuestre que la recta L = 4y − 2x + 11 = 0, es una as´ıntota oblicua, es decir, cuando x → ±∞, la diferencia |f (x) − L| tiende a cero.
  • 195. 188 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD Soluci´n: o 1 a) 2x + 1 = 0 implica que la recta x = − es una as´ ıntota vertical. 2 b) Seg´ n lo visto en el ejemplo 1.4.20 , l´ u ım f (x) = ±∞, pues el grado del x→±∞ polinomio numerador es mayor que el grado del denominador. Por lo tanto, no hay as´ ıntotas horizontales. c) x2 − 5x + 4 x 11 27 = − + , 2x + 1 2 4 4(2x + 1) 27 implica que f (x) − L = 4(2x+1) , ı, ım |f (x) − L| = 0. Por lo tanto la recta as´ l´ x→±∞ L = 4y − 2x + 11 = 0, es una as´ ıntota oblicua. y x2 − 5x + 4 f (x) = 2x + 1 −1 2 x 4y − 2x + 11 = 019. l´ ım sen x no existe. x→+∞ Si x > 0 π sen x = 1 ⇐⇒ x = + 2nπ ; n ∈ N 2 sen x = 0 ⇐⇒ x = 2nπ ; n ∈ N. 1 Para ε = , cualquiera sea M > 0. Por la propiedad arquimediana existe n tal que 3 π 2nπ > M y + 2nπ > M . 2
  • 196. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 189 Si l´ sen x = L existiera, entonces llamando f (x) = sen x tenemos: ım x→+∞ 1 π 1 |L − f (2nπ)| < y |L − f (2nπ + )| < . 3 2 3 Lo que implica : π π 2 |f (2nπ) − f (2nπ + )| = 1 < |L − f (2nπ)| + |L − f (2nπ − )| < . 2 2 3 Contradicci´n que proviene de suponer que l´ o ım sen x existe. x→+∞1.4.7. Ejercicios propuestos Calcule los siguientes l´ ımites: x3 − 3x + 2 1. l´ ım = 1. x→1 2x3 − 3x2 + 1 nxn+1 − (n + 1)xn + 1 n(n + 1) 2. l´ ım p+1 − xp − x + 1 = . x→1 x 2p √ x− x+2 9 3. l´ √ ım = . x→2 4x + 1 − 3 8 √ √ √ x + 1 + x2 − 1 − x3 + 1 √ 4. l´ √ ım √ √ = 2. x→1 x − 1 + x2 + 1 − x4 + 1 (2x + 1)3 (4x − 5)(x + 2) 5. l´ ım . x→∞ x3 (9x + 2)(3x − 1) √ √ x2 + x + 1 + x2 − x + 2 6. l´ ım √ . x→±∞ x + x2 + 1 3 7. l´ ım x3 + 1 − x. x→∞ 3 8. l´ ım x2 + 1 − x3 − 1. x→±∞ 9. Demuestre el teorema 1.4.6 parte (iii).10. Demuestre el teorema 1.4.11.11. Demuestre el teorema 1.4.1612. Demuestre el teorema 1.4.19 parte (ii).
  • 197. 190 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD x4 − 113. Bosquejar el gr´fico de f (x) = a . x 114. a) Calcular l´ x2 sen . ım x→0 x 1 b) Demuestre que si l´ f (x) = 0, entonces l´ f (x) sen ım ım = 0. x→0 x→0 x 1 c) Calcular |x| sen . x d) Demuestre que si l´ f (x) = 0 y |g(x)| < M en un intervalo (a − r, a + r), ım x→a entonces l´ f (r)g(r) = 0. ım x→a sin x − sen a15. Calcular l´ ım . x→a x−a16. Calcular l´ sec x, l´ tan x, l´ cosec x, l´ cotan . ım ım ım ım x→a x→a x→a x→a sen 2x17. a) Calcular l´ ım . x→0 x sen ax b) Calcular l´ ım . x→0 x18. Demuestre, usando la definici´n, que l´ |x| = |a|. o ım x→a19. Sea f (x) = a sen ωx + b sen ωx una sinusoide y h(x) una funci´n positiva definida en o R. Bosqueje el gr´fico de h(x)f (x). a Indicaci´n: ver ejercicio resuelto 12. o20. Encuentre las as´ ıntotas verticales, horizontales y oblicuas de la funci´n racional: o (x − 3)2 (2x + 3) f (x) = . 3(x2 − 1) Grafique las as´ ıntotas y deduzca como se ubica el gr´fico de f con respecto a estas a as´ ıntotas.21. Sea (x + 2)(x + 6) f (x) = √ . x2 + 4x + 3 a) Escriba el dominio de f como uni´n de intervalos. o b) Analice el comportamiento de f cuando x tiende a los extremos de los intervalos que componen el dominio.
  • 198. 1.4. L´ ´ IMITES DE FUNCIONES NUMERICAS DE VARIABLE CONTINUA 191 c) Demuestre que f (x) − x − 6 → 0 cuando x → +∞ y que f (x) + x + 6 → 0 cuando x → −∞ . Indicaci´n: use el ejercicio resuelto 18 o d) Deducir que la curva f (x) tiene dos as´ ıntotas oblicuas y ubicar la curva con respecto a estas as´ ıntotas.
  • 199. 192 CAP´ ITULO 1. L´ IMITES Y CONTINUIDAD1.5. Funciones continuas1.5.1. Definiciones b´sicas aDefinici´n 1.5.1 Diremos que una funci´n f es continua en un punto a ∈ D(f ) si, o odado cualquier > 0 existe un n´ mero δ > 0 tal que la desigualdad | x − a |< δ implica u| f (x) − f (a) |< . Seg´ n lo visto en la secci´n 1.4, esta definici´n puede expresarse diciendo que: f (x) es u o ocontinua en a si y s´lo si : o Si a es un punto aislado del dominio de la funci´n f , o o bi´n, e Si a es un punto de acumulaci´n del dominio, entonces se debe cumplir que o l´ f (x) = f (a). ım x→a Usando los ejemplos y ejercicios de la secci´n 1.4, tenemos que las funciones constante,