Calculo i [u de chile]

874 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
874
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
22
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Calculo i [u de chile]

  1. 1. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠РºÐ» ÐÙÐÓº Ingeniería Matemática ÒÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖØ ÑÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 1: NÚMEROS REALES Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹1. Números Reales Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º1.1. Introducción Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ R¸ × × ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÒÓÒ ÙÒØÓ ÙÝÓ× Ð Ñ ÒØÓ× × ÐÐ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ò Ð Ù Ð × Ò Ò Ó× ÓÔ Ö ÓÒ × ÐÐ Ñ × ×ÙÑ Ó Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÖÓ ÙØÓº ÐÓÒ ÙÒØÓ R ÓÒ ×Ø × ÓÔ Ö ÓÒ × × Ø × ÔÖÓÔ × ÕÙ ÐÓ Ò Ò Óº Ò R Ü ×Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ× × ÔÖÓÔ × ÕÙ Ò × Ó Ù× × ÙÖ ÒØ ÐÓ× Ó× Ò× ÒÞ × Ý Ñ º ×Ø × ÔÖÓÔ × ÔÙ Ò ÖÙÔ Ö× Ò ØÖ × Ñ Ð × Ð ÔÖ Ñ Ö ÖÙÔÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÕÙ ÐÐ × ×Ó × Ð Ù Ð ÝÐ × Ù ÓÒ × Ð × ÙÒ Ó ÖÙÔÓ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð × ÔÖÓÔ × Ò ØÓÖÒÓÐ × Ù Ð Ý Ð × Ò Ù ÓÒ × Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ü ×Ø ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ÔÖÓ¹Ô × Ú ÒÞ × ÕÙ Ñ Ö Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý ÐÓ×Ö ÓÒ Ð × ´Ð × Ö ÓÒ ×µ¸ ×Ø × ÔÖÓÔ × × ÔÖ ÓÙÔ Ò Ð ×ØÖÙØÙÖÒØ ÖÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ×Ø × ÐØ Ñ × ÔÖÓÔ × × ÓÒÓ Ò ÓÑÓ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓºÍÒ ÔÓ× Ð ×ØÙ Ö Ð × ÔÖÓÔ × R × Ö Ö ÙÒ Ð Ö Ó Ð ×Ø Ó ØÓ × ÐÐ × ÑÓ Ó ÕÙ Ù Ò Ó × ÒÓ× ÔÖ ÙÒØ × ÙÒ ÔÖÓÔ × ÖØ Ó ÒÓ¸ ×Ø Ö ÓÒ Ö × ¸ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ð ÔÖÓÔ ½ ¿ ´ÔÓÖ ÑÔÐÓµ º ×ØÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð ÙÖ×Ó Ñ Ø Ñ Ø × Ò ÙÒÓ ÓÒ × ÐÓ Ö ÕÙ Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ò Ò Ø × ÔÖÓÔ ×º Ò ×Ø ÙÖ×Ó¸ ×Ó Ö ÑÓ× ÙÒ Ú × Ò ÓÔÙ ×Ø Ð ÒØ Ö ÓÖº × Ö¸ ØÓ ×Ð × ÔÖÓÔ × Ò × Ö ÙÒ ÓÒ× Ù Ò ÖØÓ× ÔÓ×ØÙÐ Ó× × Ó× Ð Ñ ÒØ Ð ×º ÄÓ× ÔÓ×ØÙÐ Ó× × Ó× Ð Ñ ÒØ Ð × × ÐÐ Ñ Ò Ü ÓÑ Ý × Ö ÒÐÓ× Ô Ð Ö × ÙÒ Ñ ÒØ Ð × ÒÙ ×ØÖ Ø ÓÖ º Ä × ÔÖÓÔ × R × Ö Ò× ÐÓ ÕÙ ÐÐ × ÕÙ ÔÙ Ò × Ö Ù ×¸ Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÞÓÒ Ñ ÒØÓ Ð Ó¹Ñ Ø Ñ Ø Ó¸ Ô ÖØ Ö ÐÓ× ÁÇŠ˺ ÖÙÔ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ü ÓÑ × Ò ØÖ × ÖÙÔÓ× ÄÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓ ´ ×Ó Ó× Ð Ù Ð µ¸ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÓÖ Ò ´ ×Ó Ó× Ð × Ù Ð µÝ Ð Ü ÓÑ Ð ×ÙÔÖ ÑÓ ´ÕÙ Ñ Ö Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ö Ð × Ý ÐÓ× Ö ÓÒ Ð ×µºÂÙÒØ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ × Ø × R¸ ×Ù Ð Ö× ¸ Ò ÔÓ × Ô Ð Ö ×ÕÙ R × ÙÒ Ù ÖÔÓ ÇÖ Ò Ó ÓÑÔÐ ØÓ Ý ÖÕÙ Ñ ÒÓº1.2. Axiomas de Cuerpo de los RealesÄÓ× Ü ÓÑ × R Ò ØÓÖÒÓ Ð Ù Ð Ø Ñ Ò ×ÓÒ ÐÐ Ñ Ó× Ü ÓÑ ×Ù ÖÔÓ ÐÓ× Ö Ð ×º ÄÓ× ÖÙÔ Ö ÑÓ× Ò ÙÒ ØÓØ Ð ¸ ÐÓ× Ù Ð × ÐÓ× Ó×ÔÖ Ñ ÖÓ× ×ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ü ÓÑ ½º ´ ÓÒÑÙØ Ø Ú µ ܺ ½º ÓÒÑÙØ Ø Ú µ Ù Ð ×ÕÙ Ö ÕÙ × Ò ÐÓ× Ö Ð × x, y Ó׸ ×Ù ×ÙÑ × ÙÒ Ö Ð ½
  2. 2. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ × Ù× Ò ÐÓ× Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ × Ö (∀x, y ∈ R) x + y = y + x. µ È Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ × ÙÑÔÐ Ð Ñ ×Ñ ÔÖÓÔ Ð Ñ ÒØ Ð¸ × Ö (∀x, y ∈ R) x · y = y · x. Ü ÓÑ ¾º ´ ×Ó Ø Ú µ ܺ ¾º ×Ó Ø Ú µ (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z µ (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · zÇ × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð Ü ÓÑ Ð ×Ó Ø Ú ÆÇ Á ÕÙ x + (y + z) =(x + z) + y º Ë Ò Ñ Ö Ó ×Ø ÐØ Ñ Ù Ð × ÙÒ ÔÖÓÔ ÖØ ¸ Ö × Ð ÓÑ Ò Ò ÔÖÓÔ ÐÓ× Ó× Ü ÓÑ × ÒØ Ö ÓÖ ×º Ò ØÓ¸ Ú ÑÓ× Ð × Ù ÒØ × ÖÖÓÐÐÓ x + (y + z) = x + (z + y); Ö × Ð Ü ÓÑ ½ = (x + z) + y; Ö × Ð Ü ÓÑ ¾.ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ÓÑ Ò Ò Ó ÐÓ× Ó× Ü ÓÑ × ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × ÓÒÐÙÝ ÕÙ ÐÓ×ÓÔ Ö Ò Ó× ÙÒ ØÖ ÔÐ ×ÙÑ ¸ × ÔÙ Ò Ö ÓÖ Ò Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÖÑÕÙ × × ¸ × Ò Ñ Ö Ð Ö ×ÙÐØ Óº × ÔÓÖ ×Ø Ö Þ Ò¸ ÕÙ Ò Ò Ö Ð¸Ù Ò Ó Ý Ú Ö Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ ÒÓ × Ù× Ò ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×¸ ÒÓ × Ö ÕÙ × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò × Ö Óº Ö Ó× ½º½ ÑÓ×ØÖ Ö Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð ×¸ Ù× Ò Ó ×ÓÐÓ ÐÓ× Ü Ó¹Ñ × ½ Ý ¾º ½º (a+b)+c = (a+c)+b = (b+a)+c = (b+c)+a = (c+a)+b = (c+b)+aº ÕÙ × Ò ×Ö ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ× ÔÓ× Ð × ÐÓ× Ö Ð × a¸ b Ý cº ¾º (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z). Ð Ø Ö Ö Ü ÓÑ ¸ ÕÙ × Ù ¸ ÓÑÔÐ Ø Ð × ÔÖÓÔ × Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ð Ö Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ ÙØÓº Ü ÓÑ ¿º ´ ×ØÖ ÙØ Ú µ ܺ ¿º ×ØÖ ÙØ Ú µ (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xz µ (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz ¾
  3. 3. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ò ×Ø Ø Ö Ö Ü ÓÑ ¸ Ð ÔÖÓÔ ´ µ × ÙÒ ÓÒ× Ù Ò¹ Ð ´ µ Ñ × ÐÓ× Ü ÓÑ × ÔÖ Ú Ó× ´Ñ × ÔÖ × Ñ ÒØ ¸ Ð ÓÒÑÙØ Ø ¹Ú Ð ÔÖÓ ÙØÓµº × Ö¸ ×Ø Ü ÓÑ × Ö ÙÒ ÒØ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÒÓ Ö × Ö Ü ÓÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ñ × ÔÖÓÔ × Ü ÓÑ ×¸ÔÙ Ò Ó× ÙØ Ð Þ Ö Ð Ö Ñ ÒØ ¸ ÙÒ Ó Ð ÓØÖ ¸ Ò Ð × ÑÓ×ØÖ ÓÒ ×ºÄÓ× Ü ÓÑ × Ý ÒØÖ Ò Ð Ü ×Ø Ò ÖØÓ× Ð Ñ ÒØÓ× ×Ô Ð × Ò Ê. ÍÒ ÓÒ× Ù Ò Ö Ø ÐÐÓ× × ÕÙ Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ×Ö Ð × ÒÓ × Ú Óº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ× Ñ × Ð ÒØ ¸ ÓÒ ×ØÓ× Ü ÓÑ × Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ØÓ Ú ÔÓ Ö Ø Ò Ö ÑÙÝ ÔÓÓ× Ð Ñ ÒØÓ׺ Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×µ ܺ º РѺ Ò ÙØÖÓ ×ÙÑ Ò R Ü ×Ø Ò ÖØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒÓØ Ó× ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÓÔ Ö Ò ×ÙÑ º × Ö (∀x ∈ R) x + e = x. ÌÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× e ÕÙ ÙÑÔÐ Ò ×Ø ÔÖÓÔ × ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ×ÙÑ ºÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ü ÓÑ ÒÓ× Ö ÒØ Þ Ð Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×Ô Ö Ð ×ÙÑ º Ë Ò Ñ Ö Ó ÒÓ Ù ÒØÓ× Ý ´ Ò Ö Ð ÕÙ ÝÙÒ ÒØ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÙÒÓµºË Ö Ú × ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× ÒØ ÙÓ× ÓÒÓ Ñ ÒØÓ× R¸ Ö ÓÖ Ö ÑÓ× ÕÙ Ý× ÐÓ ÙÒ Ò ÙØÖÓº ×Ø ÐØ Ñ ÖÑ Ò ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö× Ù× Ò Ó ÐÓ× Ü Ó¹Ñ ×¸ Ý Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ´ Ð ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ÙÖ×ÓµºÌ ÓÖ Ñ ½º½º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ × Ò ÓºÇ × ÖÚ Ò ÍÒ Ú Þ ÑÓ×ØÖ Ó Ð Ø ÓÖ Ñ ¸ ÔÓ Ö ÑÓ× ÔÓÒ ÖÐ ÙÒ ÒÓѹ Ö ×Ô Ð Ð Ò Ó Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓº ÄÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÖÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ×0º Î ÑÓ× Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð Ø ÓÖ Ñ ÑÓ×ØÖ Òº Í× Ò Ó Ð Ü ÓÑ ÒØ Ö ÓÖ¸ × ÑÓ× ÕÙ Ü ×Ø Ò Ð Ñ Ò¹ØÓ× Ò ÙØÖÓ׺ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ× ÒÓÒØÖ Ó ÙÒÓ Ý ÐÓ ÐÐ Ñ ÑÓ× e1 º ×ØÖ Ð × Ø × Ð ÔÖÓÔ (∀x ∈ R) x + e1 = x. ´½º½µÈ Ò× ÑÓ× ÕÙ ÔÓÖ Ð Ò ÓØÖÓ Ñ ÒÓ ÑÓ× ÒÓÒØÖ Ó ÙÒ Ò ÙØÖÓ e2 ¸ Ô ÖÓÒÓ × ÑÓ× × × Ó ÒÓ Ð Ñ ×ÑÓ ÒØ Ö ÓÖº ×Ø Ò ÙØÖÓ × Ø × Ð ÔÖÓÔ (∀x ∈ R) x + e2 = x. ´½º¾µÈ Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ò ÙØÖÓ × Ò Ó¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò × Ö Ñ ÒØe1 = e2 ¸ Ý × × Ö ÑÓ× ÕÙ Ú Þ ÕÙ ÒÓÒØÖ ÑÓ× ÙÒ Ò ÙØÖÓ¸ ×Ø × Ö× ÑÔÖ Ð Ñ ×ÑÓº ¿
  4. 4. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× ÐÍ× Ò Ó e2 Ò Ð Ù Ð ´½º½µ Ý e1 Ò Ð Ù Ð ´½º¾µ Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ e2 + e1 = e2 e1 + e2 = e1 . Ð Ñ Ö Ö ×Ø Ó× ÜÔÖ × ÓÒ × Ú ÑÓ× ÕÙ ÐÓ Ò Ó ÕÙ ÐØ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö Ð Ù Ð ¸ × Ù× Ö Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸ ÕÙ ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó ÙÒ ×ÙÑ × Ò Ô Ò ÒØ Ð ÓÖ Ò ÐÓ× ×ÙÑ Ò Ó׺ × × Ó Ø Ò ÐÖ ×ÙÐØ Óº Ò ÙÒ Ð Ò ¸ ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò e1 = e1 + e2 = e2 + e1 = e2 . ÓÒØ ÒÙ Ò ÒÙÒ ÑÓ× Ð Ü ÓÑ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÔÖÓ ÙØÓº Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× Ò ÙØÖÓ×µ ܺ º РѺ Ò ÙØÖÓ ÔÖÓ Ò R Ü ×Ø Ò ÖØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒÓØ Ó× ÔÓÖ Ð Ð ØÖ e ÕÙ ¸ ÔÓÖ ÙÒ Ð Ó ×ÓÒ Ö ÒØ × ¼ Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ ÒÓ Ø Ò Ò Ð ÓÔ Ö Ò ÔÖÓ ÙØÓº × Ö (∀x ∈ R) x · e = x. ÌÓ Ó× ÐÓ× Ð Ñ ÒØÓ× e ÕÙ ÙÑÔÐ Ò ×Ø ÔÖÓÔ × ÐÐ Ñ Ò Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓºÆÙ Ú Ñ ÒØ ¸ ×Ø Ü ÓÑ × ÐÓ ÒÓ× Ö ÒØ Þ Ð Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ×Ò ÙØÖÓ× Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓº Ò ×Ø ×Ó ÒÙ Ú Ñ ÒØ × ÔÙ ÔÖÓ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÕÙ ÕÙ ÐÓ× Ò ÙØÖÓ××ÓÒ Ò Ó׸ × ÖÌ ÓÖ Ñ ½º¾º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ × Ò ÓºÇ × ÖÚ Ò Ä ÑÓ×ØÖ Ò ×Ø Ø ÓÖ Ñ × Ò ÐÓ Ð ×Ó Ð ×ÙÑ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÔÖÓÔÓÒ ÓÑÓ Ö Óº Ð Ò Ó Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ ÐÓ ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× ÙÒÓ Ý ÐÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× 1. Ð Ü ÓÑ Ñ × ÕÙ 1 = 0. Ü ÓÑ º ´ Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒØÓ× ÒÚ Ö×Ó×µ ܺ º Ð Ñ׺ ÒÚ Ö×Ó×
  5. 5. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð µ È Ö x ∈ R¸ Ü ×Ø Ò Ö Ð × ×Ó Ó× x¸ ÕÙ × ÐÐ Ñ Ò ÓÔÙ ×¹ ØÓ× Ó ÒÚ Ö×Ó× Ø ÚÓ× x¸ ÕÙ × Ø × Ò x + ÓÔÙ ×ØÓ(x) = 0. µ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ Ô Ö x∈R ÓÒ x = 0¸ Ü ×Ø Ò ÒÚ Ö×Ó× ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ø ÚÓ× Ó Ö ÔÖÓÓ× x¸ ÕÙ × Ø × Ò x·Ö ÔÖÓÓ(x) = 1.Ì ÓÖ Ñ ½º¿º ½º ∀x ∈ R, ×Ù Ð Ñ ÒØÓ ÓÔÙ ×ØÓ × Ò Óº ¾º ∀x ∈ R, x = 0¸ ×Ù Ð Ñ ÒØÓ Ö ÔÖÓÓ × Ò Óº ÑÓ×ØÖ Òº Ë Ò p1 Ý p2 ÓÔÙ ×ØÓ× Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ð Ö ØÖ Ö Ó x. ÐÐÓ×× Ø × Ò Ð × Ù ÓÒ × x + p1 = 0 ´½º¿µ x + p2 = 0. ´½º µÄÓ ÕÙ ÑÓ× ÔÖÓ Ö × Èº ºÉ p1 = p2 . Ò ØÓ¸ Ù× Ò Ó Ð × Ù ÓÒ × ÒØ Ö ÓÖ × Ý ÐÓ× Ü ÓÑ ×¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ p1 = p1 + 0, ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ¸ = p1 + (x + p2 ), ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ù Ò ´½º µ, = (p1 + x) + p2 , ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ×Ó Ø Ú , = (x + p1 ) + p2 , ÕÙ ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸ = 0 + p2 , ÑÓ× Ù× Ó Ð Ù Ò ´½º¿µ, = p2 + 0, ÑÓ× Ù× Ó Ð Ü ÓÑ Ð ÓÒÑÙØ Ø Ú ¸ = p2 , ÑÓ× Ù× Ó ÒÙ Ú Ñ Ð Ü ÓÑ Ð ºÆº
  6. 6. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× ÐÇ × ÖÚ Ò Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÙÒ Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ × Ò ÐÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÔÖÓÔÙ ×Ø ÓÑÓ Ö Óº ÄÓ× ÒÚ Ö×Ó× Ø ÚÓ× Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ× x × ÒÓØ Ò × ÑÔÐ Ñ ÒØ −1 ÔÓÖ −x Ý x ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÒÙÒ Ó× ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ ¸ ÕÙ R ÓÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × + Ý · ÓÖÑ ÙÒ Ù ÖÔÓº Ë ÒÓØ ÓÒ Ò× Ñ ÒØ ÓÑÓ (R, +, ·) × ÙÒ Ù ÖÔÓº1.3. Propiedades en R relacionadas con la igualdad ÓÒØ ÒÙ Ò ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ÓØÖ × ÔÖÓÔ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×ºÅÙ × ÐÐ × ×ÓÒ ÓÒÓ × Ð ÓÐ Óº ÆÓ× ÒØ Ö × Ö Ö Ú × ÖÐ × ÔÓÖ ÙÒ Ó Ð Ó Ø ÚÓº ÈÓÖ ÙÒ Ð Ó × Ù ÒÓ Ö ÓÖ ÖÐ × ´Ý»Ó ÔÖ Ò ÖÐ ×µ¸ Ý ÔÓÖÓØÖÓ ÕÙ Ö ÑÓ× Ú Ö ÔÓÖ ÕÙ ×ÓÒ ÖØ × Ý ÓÑÓ × Ù Ò ÐÐ × Ô ÖØ ÖÐÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓ ÒØ Ö ÓÖ ×º ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ Ñ × Ñ Ð Ñ Ø ×Ø Ô ØÙÐÓ¸ ÕÙ ÐÐÕÙ ØÓ Ó Ð ÑÙÒ Ó ÓÒÓ ¸ Ð ÙÒÓ× Ô Ò× Ò ÕÙ × ÙÒ Ü ÓÑ Ô ÖÓ Ò Ö ¹Ð × ÙÒ ÔÖÓÔ ÕÙ × Ù ÐÓ× Ü ÓÑ ×ºË ØÖ Ø Ð Ø Ð Ð ÖÓºÈÖÓÔ ½º ∀a ∈ R × ÙÑÔÐ a · 0 = 0.ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ð Ð ÙÒÓ¸ ÕÙ a·1 = a. Ç × ¸Ð Ø Ð ÙÒÓ × ÙÒ Ü ÓÑ ´úÖ Ù Ö Ù Ð µº È ÖÓ Ð Ø Ð Ð ÖÓ Ë ÍÆ ÈÊÇÈÁ º ÑÓ×ØÖ Òº Ë a ∈ R ÙÒ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö º ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ a·0 =0.Ç × ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a·0 × Ð Ò ÙØÖÓ Ø ÚÓ Ò R.È Ö ÓÒÐÙ Ö ×ØÓ¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð Ö Ð a·0 × Ø × Ð ÔÖÓÔ ∀x ∈ R, x+a·0=x ´½º µ ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔ ´½º µ × ÖØ Ô Ö Ð Ö Ð a ´ ÒÐÙ Ö xµ¸ Ó × ÕÙ a + a · 0 = a. Ò ØÓ¸ ÒÓØ ÑÓ× ÕÙ a+a·0 = a·1+a·0 = a · (1 + 0) = a·1 = a.
  7. 7. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö ÓÒÓÞ Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù× Ó× Ò ÙÒ Ð × Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ ¸ ÒÓ× Ò× × ÑÔÐ Ö Ð Ø ÖÑ ÒÓ a·0 Ù Ò Ó Ô Ö ×ÙÑ Ó ÓÒ a. ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ò Ò Ö Ð × ÔÙ × ÑÔÐ ÖÙ Ò Ó ×Ø ×ÙÑ Ó ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö Ó× ºÎ ÑÓ× ÓÖ ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´½º µ Ò Ò Ö Ðº Ä Ð Ú × Ö Ô Ö ÖÐ ×ÙÑ a+a·0 ÕÙ Ý ÓÒÓ ÑÓ×x+a·0 = x + [0 + a · 0] = x + [(a + (−a)) + a · 0] = x + [((−a) + a) + a · 0] = x + [(−a) + (a + a · 0)] , ÕÙ Ô Ö Ð ×ÙÑ ÓÒÓ = x + [(−a) + a] = x + [a + (−a)] = x+0=x ÓÒ× Ù Ò ÍÒ ÓÒ× Ù Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓÔ × ÕÙ ÆÇ ÁËÌ Ä ÁÆÎ ÊËÇ ÅÍÄÌÁÈÄÁ ÌÁÎÇ Ä ÊǺ Ò ØÓ¸ × Ü ×Ø Ö Ö ÙÑÔÐ Ö 0 · 0−1 = 1 Ý Ø Ñ Ò Ð ÔÖÓÔ0· 0−1 = 0¸ ÓÒ × Ó Ø Ò Ö 0 = 1, ÐÓ ÕÙ ÓÒØÖ Ð Ü ÓÑ ÐÒ ÙØÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓºË Ð Ñ Ò Ö ÑÓ× Ð Ö ×ØÖ Ò 0=1 ÐÓ× Ü ÓÑ ×¸ ÒØÓÒ × Ò × ×Ó 0Ø Ò Ö Ö ÔÖÓÓ¸ Ô ÖÓ ÐÓ× Ö Ð × × Ö Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ØÖ Ú Ð Ö Ù Ó × ÐÓ Ð ÖÓ¸ Ý ÕÙ ∀a, a = a · 1 = a · 0 = 0.1.4. Otras Propiedades en RÈÖÓÔ ¾º Ò R¸ Ð × Ù ÓÒ × µ a+x =b µ a · x = b (a = 0)Ì Ò Ò ×ÓÐÙ Ò¸ Ý ×ÓÐÙ Ò × Ò ºÀ Ö ÑÓ× × ÐÓ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð Ô ÖØ ´ µº ÓÑÓ Ö Ó ÑÓ×¹ØÖ Ö ÕÙ Ð ×ÓÐÙ Ò Ò Ð Ô ÖØ ´ µ × x = b · a−1 . ÑÓ×ØÖ Òº Î ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ð Ü ×Ø Ò Ð ×ÓÐÙ Òº ÓÑ ÒÞ Ö ¹ÑÓ× ÔÓÖ Ö ÙÒ ÐÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö Ð Ù ÒÓÖ Ò Ð Ò ÙÒ Ñ × Ú ÒØ º Î ÑÓ×
  8. 8. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð a+x b ÓÑÓ a∈R ÒØÓÒ × Ü ×Ø (−a) ∈ R (−a) + (a + x) (−a) + b ×Ó Ò Ó [(−a) + a] + x (−a) + b Ô ÖÓ (−a) + a = 0 ÔÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö×Ó 0+x (−a) + b Ô ÖÓ 0 + x = x ÔÓÖ Ò Ò Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ x (−a) + b. Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø ÐÙÐÓ ÓÖÑ Ð¸ × ÕÙ ÑÓ× ØÖ Ò× ÓÖÑ Ó ÙÒ Ù Ð¹ ÕÙ ÒÓ × ÑÓ× × × ÖØ Ó ÒÓº Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ× ÒØÖ ÙÒ Ù Ò Ò ØÓ ×ÓÐÙ ÒºÄ Ú Ö Ö ÑÓ×ØÖ Ò ÓÑ ÒÞ ÕÙ ¸ Ò Ó Ë α = (−a) + b¸Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ö Ð × Ø × Ð Ù Òº Ò ØÓ a + α = a + [(−a) + b] = [a + (−a)] + b = 0 + b = b. ×ØÓ ÓÒÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð Ü ×Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ ÒÐ Ù Òº ÓÖ Ú ÑÓ× ÕÙ ×Ø ×ÓÐÙ Ò × Ò º È Ö ÐÐÓ¸ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÑÓ× ÒÓÒØÖ Ó ÐÓ× Ö Ð × x1 Ý x2 ¸ ÐÓ× ÕÙ ×ÓÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × a + x = b. ÄÙÒ ÕÙ Ö ÑÓ×ØÖ ¸ × ÓÒ × ÐÓ ×Ø Ô Ø × ×¸ × ÓÒÐÙÝ ÕÙx1 = x2 .Î ÑÓ× a + x1 = b Ý Ñ × a + x2 = b ÒØÓÒ ×¸ a + x1 = a + x2 ÒØÓÒ ×¸ (−a) + [a + x1 ] = (−a) + [a + x2 ] ÒØÓÒ ×¸ [(−a) + a] + x1 = [(−a) + a] + x2 ÒØÓÒ ×¸ 0 + x1 = 0 + x2 ÒØÓÒ ×¸ x1 = x2 . ÓÒ ×ØÓ × ÓÒÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ð ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ ×º1.5. Definiciones importantesÄ ÙÒ ÕÙ ÒÓ× Ð ÈÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓØ Ú Ð × × Ù ÒØ × Ò ¹ ÓÒ × Ò Ò ½º½ ´ Ö Ò Ý ÙÓ ÒØ µº ÄÐ Ñ Ö ÑÓ× Ö Ò ÒØÖ a Ý b Ð Ö Ð x = b + (−a) Ý × ÒÓØ ÔÓÖ x = b − a. ÓÒ ×ØÓ¸ Ð ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÑ Ò a + x = b × Ý × ÐÓ × x = b − a.
  9. 9. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ù Ò ´ µ x = b · a × ÒÓÑ Ò ÙÓ ÒØ −1 b ÔÓÖ a Ý × ÒÓØ ÔÓÖ Ð Ö Ò x = a ¸ Ó Ò ÔÓÖ Ð ÙÓ ÒØ b x = b : a. ÄÙ Ó × a = 0 × Ø Ò ÕÙ b a · x = b × Ý × ÐÓ × x = . aÇ × ÖÚ Ò Ð ÙÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × ×Ø × Ù ÓÒ × × Ù ÒÚ Ö × Ú Ö ÒØ × Ø Ð × Ò ÔÖÓ ×Ó× Ð Ö Ó× ½º Ä Ý Ò Ð Ò Ô Ö Ð ×ÙÑ a+b=a+c ÒØÓÒ × b = c. Ò ØÓ¸ ÔÙ Ö× ÕÙ b Ý c ×ÓÒ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð Ñ ×Ñ Ù Ò a + x = a + c. ÓÑÓ Ð ×ÓÐÙ Ò ×Ø Ù Ò × Ò ¸ ÒØÓÒ × b = c. ¾º Ä Ý Ò Ð Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ù Ò Ó a = 0¸ a·b=a·c ÒØÓÒ × b = c. Ò ØÓ¸ Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÙ Ö× ÕÙ b Ý c ×ÓÒ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð Ñ ×Ñ Ù Ò a · x = a · c. ¿º Ê ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð a · x + b = 0, ÓÒ a = 0. ÓÑ Ò Ò Ó Ð × Ó× Ô ÖØ × Ð ÔÖÓÔÓ× Ò ÒØ Ö ÓÖ¸ × Ó Ø Ò ÕÙ ¸ ÔÖ Ñ ÖÓ ´Ù× Ò Ó Ð Ô ÖØ Ð ×ÙÑ µ a · x = −b Ý ÔÓÖ ÓØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ b x=− . aÈÖÓÔ ¿ ´Ê Ð ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó×µº µ −(−a) = a ∀a ∈ R µ (a−1 )−1 = a ∀a ∈ R∗ ; R∗ = R {0} ÑÓ×ØÖ Òº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ×Ó ÔÖÓ Ö× ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (−a)× a.Ê ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (−a) × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ p ÕÙ ÙÑÔÐ Ð Ö Ð Ò (−a) + p = 0.
  10. 10. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× ÐÈÙ × Ò ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ a × Ó Ò Ñ ÖÓ¸ × Ö Èº ºÉ (−a) + a = 0.ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ú Þ ÕÙ × ÐÓ Ö ÓÑÔÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ×Ø Ò Ú Ð¸ ÝÐÓ Ö ÑÓ× ÒØ Ö ÕÙ × ÐÓ ÕÙ Ý ÕÙ ÔÖÓ Ö¸ Ð ÑÓ×ØÖ Ò Ñ ×Ñ × × Ò ÐÐ º Ò ØÓ × Ø Ò ÕÙ (−a) + a = a + (−a) = 0.Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ð ×Ó ´ µ × Ò ÐÓ Ý ÖÐ ÓÑÓ Ö ÓºÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ÕÙ ¸ × Ó Ø Ò Ð Ö Ð ÓÒØ Ö ÐÓ× × ÒÓ× º × −(−(−(−(−a)))) =−a¸ غÈÖÓÔ ´Ê Ð × ÐÓ× × ÒÓ×µº µ a · (−b) = −(a · b) = −ab µ (−a) · (−b) = a · b µ −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b Úµ (a · b)−1 = a−1 · b−1 Úµ a − (b + c) = a − b − c Ú µ a − (b − c) = a − b + c ÑÓ×ØÖ Òº ÓÑ Ò ÑÓ× ÔÓÖ Ð ÔÖÓÔ ´ µº Ë ÔÖÓ Ö × ÐÓ ÐÔÖ Ñ Ö Ù Ð ¸ Ý ÕÙ Ð × ÙÒ × ÙÒ ÒÓØ Ò Ð × ÙÒ Ó Ø ÖÑ ÒÓº ×Ø Ù Ð ÔÖ Ø Ò ÕÙ Ä ÇÈÍ ËÌÇ (a · b) × Ð Ö Ð a · (−b).ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÐÓ × Ù ÒØ Èº ºÉº (a · b) + [a(−b)] = 0.Î ÑÓ× × ×ØÓ ÐØ ÑÓ × Ó ÒÓ ÖØÓ (a · b) + [a(−b)] = a · [b + (−b)] = a·0 = 0. ×ØÓ ÓÒÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Ò ´ µº ½¼
  11. 11. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ç × ÖÚ Ò ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö ÓÒÓÞ Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù× Ó× Ò ÙÒ Ð × ¿ Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×ºÈ Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ù× ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´ µ Ó× Ú × Ò ÓÖÑ×Ù × Ú º Ò ØÓ (−a) · (−b) = − [(−a) · b] = − [b · (−a)] = − [−(b · a)] = ab.È Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ´ µ ÑÓ× ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð ÓÔÙ ×ØÓ (a + b) × Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð (−a) + (−b). × Ö¸ ÑÓ× ÔÖÓ Ö Õ٠Ⱥ ºÉº (a + b) + [(−a) + (−b)] = 0. ×ØÓ Ø Ú Ñ ÒØ × ÖØÓ Ý ÕÙ (a + b) + [(−a) + (−b)] = [(a + b) + (−a)] + (−b) = [(b + a) + (−a)] + (−b) = [b + (a + (−a))] + (−b) = [b + 0] + (−b) = b + (−b) = 0.Ä ÔÖÓÔ ´ Úµ × Ò ÐÓ Ð ´ µ¸ Ñ Ò Ó Ð ÓÔ Ö Ò ×ÙÑ ÔÓÖÔÖÓ ÙØÓº Ö× ÓÑÓ Ö ÓºÈ Ö ÑÓ×ØÖ Ö Ð × ÐØ Ñ × Ó× ÔÖÓÔ ×¸ Ò ÓÑ Ò Ö× Ð ÔÖÓÔ ¹ × Ý ÑÓ×ØÖ ×º À ÑÓ× Ð ÔÖÓÔ ´Úµº Ä ÔÖÓÔ ´Ú µ Ö× ÓÑÓ Ö ÓºÄ ÑÓ×ØÖ Ò × Ö Ð Þ ØÓÑ Ò Ó Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ý ÓÒÐÙÝ Ò Ó ÕÙ × Ù Ð Ð Ð Ó Ö ÓºÎ ÑÓ× a − (b + c) = a + [−(b + c)] = a + [(−b) + (−c)] = a + (−b) + (−c) = (a − b) − c. ½½
  12. 12. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× ÐÈÖÓÔ º x · y = 0 ⇒ (x = 0) ∨ (y = 0) ÑÓ×ØÖ Òº Ä ÔÖÓÔ ÕÙ Ú Þ ÕÙ Ð ÔÖÓ ÙØÓ Ó×Ö Ð × × ÖÓ¸ ÒØÓÒ × Ð ÙÒÓ ÐÓ× ØÓÖ × × Ö ÖÓºÈ Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐ × ØÓÑ Ð Ù Ð x · y = 0 ÓÑÓ ÙÒ ØÓ Ý × Ö ÞÓÒ ×Ø ÓÒÐÙ Ö ÕÙ × ÖØÓ ÕÙ x = 0 Ó Ò y = 0. ´ × × ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ò Ö Ð ÙÒ ÑÔÐ ÒµºÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × ÑÓ× ÕÙ x · y = 0. Ⱥ ºÉº x=0 Ó Ò y = 0. Ð Ö Ñ ÒØ x ÔÙ Ó ÒÓ × Ö ÖÓº Ë ÐÓ Ù Ö ¸ ÒØÓÒ × Ð ÑÓ×ØÖ Ò ×Ø Ö ÓÒÐÙ ºËÓÐÓ ÒÓ× ÐØ Ö Ú Ö ÕÙ Ô × × x = 0. Ò ×Ø ×Ó Ð Ù Ð x·y =0× Ú ÓÑÓ ÙÒ Ù Ò¸ Ò Ð Ù Ð × ÔÙ ×Ô Ö y Ú Ò Ó ÔÓÖ x´ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ x−1 µºÀ Ò Ó ×ØÓ × ÓÒÐÙÝ ÕÙ y = 0.ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ó Ò x = 0, Ó Ò x = 0, Ô ÖÓ Ò ×Ø ×Ó y = 0. ÓÒÐÙ× Ò Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ö Ð × × Ö ÖÓº1.5.1. Propiedades adicionales ac a ½º = ∀a, b, c, ∈ R¸ ÓÒ b, c = 0 bc b a c ad ± bc ¾º ± = ∀a, b, c, d ∈ R¸ ÓÒ b, d = 0 b d bd a c ac ¿º · = ∀a, b, c, d ∈ R¸ ÓÒ b, d = 0 b d bd a c ad º : = ∀a, b, c, d ∈ R¸ ÓÒ b, c, d = 0 b d bc º (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ½¾
  13. 13. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð 3 3 2 2 3 º (a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b º (a + b)(a − b) = a2 − b2 º (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 º (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3Ç × ÖÚ Ò Ò ×Ø × ÔÖÓÔ × × Ò Ù× Ó Ð × ÒÓØ ÓÒ × × Ù ÒØ × ab = a · b 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, Ø. 2 2 3 a·a= a , a ·a= a , a · a = a4 , 3 Ø. Ñ ×¸ Ð × Ñ ÓÐÓ ± Ö ÔÖ × ÒØ Ð ÕÙ Ð ÔÖÓÔ × ÖØ × × Ö ¹ÑÔÐ Þ Ò ØÓ × Ð × Ô Ö ÓÒ × ± ÔÓÖ +¸ Ó × × Ö ÑÔÐ Þ Ò ØÓ × ÔÓÖ−. ÑÓ×ØÖ Òº ½º ac = ac(bc)−1 bc = ac(b−1 c−1 ) = ac(c−1 b−1 ) = a(cc−1 )b−1 = a · 1 · b−1 = ab−1 a = b ¾º a c ± = ab−1 ± cd−1 b d = ab−1 dd−1 ± cbb−1 d−1 = ad(bd)−1 ± bc(bd)−1 = (ad ± bc)(bd)−1 ad ± bc = bd ¿º a c · = ab−1 cd−1 b d = ac(bd)−1 ac = bd ½¿
  14. 14. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð º a c : = ab−1 : cd−1 b d = ab−1 · (cd−1 )−1 = ab−1 · (c−1 d) = ad(bc)−1 ad = bc º (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 º (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b) = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3Ê Ü Ò ÒØ × ÓÒØ ÒÙ Ö¸ Ö ÓÒÓÞ Ù Ð × Ù ÖÓÒ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý ÔÖÓ¹Ô × Ù× Ó× Ò ÙÒ Ð × Ù Ð × ÒØ Ö ÓÖ ×º Ä ÑÓ×ØÖ Ò Ð × ÔÖÓÔ × Ö ×Ø ÒØ × Ö× ÓÑÓ Ö Óº1.5.2. Otros Cuerpos ÓÒ× Ö Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ó× Ð Ñ ÒØÓ× × Ù ÒØ A = {♥, △} . Ò ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ × Ò Ò Ó× ÓÔ Ö ÓÒ × ◦, ∗ Ñ ÒØ Ð ×Ø Ð ×× Ù Ò¹Ø × ◦ ♥ △ ∗ ♥ △ ♥ ♥ △ ♥ ♥ ♥ △ △ ♥ △ ♥ △ÆÓØ ÑÓ× ÕÙ ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒ Ð × ÓÔ Ö ÓÒ × ×Ö Ø ×¸ Ó × (A, ◦, ∗)¸× Ø × ØÓ Ó× ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓº ÈÓ ÑÓ× ÒØ Ö ◦ ÓÒ Ð ×ÙÑ ¸∗ ÓÒ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò¸ ♥ ÓÒ 0 Ý △ ÓÒ ½ºÍ× Ò Ó ×Ø ÒØ Ò¸ ÓÙÖÖ ÕÙ 1 + 1 = 0¸ 1 + 1 + 1 = 1¸ غΠÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ù ÖÔÓ ×ÓÒ ÒØ Ö × ÒØ ×¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ò Ò ÓÑÔÐ ¹Ø Ñ ÒØ Ð ÓÒ ÙÒØÓ R ÕÙ ×Ô Ö ÑÓ׺ ×Ø ÓÒ ÙÒØÓ A Ó× Ð Ñ ÒØÓ×× Ø × ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ R. ½
  15. 15. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù × Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ö Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ½º Ü ×Ø Ò Ó× Ò Ñ ÖÓ× ×Ø ÒØÓ× x, y ∈ Ê Ø Ð × ÕÙ x+y = x Ý y+x = y º ¾º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x + y = y + xº ¿º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x + y = xº º È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× x, y ∈ Ê × Ø Ò ÕÙ x · y = y · xº º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) + z = (x + z) + (y + z)º º Ò ÙÒ × Ö ×ÙÑ × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ð ÓÖ Ò Ò ÕÙ ×Ø × × Ö Ð Þ Ò × ×ÙÑ ÑÔÓÖØ Ò º º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) + z = x + (y + z)º º (∀x, y, z ∈ Ê) (x − y) · z = x · (−z) + y · (−z)º º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) · z = y · z + x · z º½¼º (∀x, y, z ∈ Ê) (x + y) · z = (x + z) · (y + z)º½½º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ×ÙÑ Ó Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ×Ø ÐØ ÑÓº½¾º Ó a ∈ Ê {0}¸ Ð Ù Ò a−x =a ÒÓ Ø Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº½¿º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ ¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º½ º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ× Ö Ð × Ô Ö Ð ×ÙÑ × Ò Óº Ë Ð ÒÓØ ¼º½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ×ÙÑ ¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º½ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð¸ ×Ø ÒØÓ ¼¸ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÓÒ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ×Ø ÐØ ÑÓº ½
  16. 16. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º½ º Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ø Ñ Ò ÐÓ ×º½ º Ó a∈Ê Ð Ù Ò a·x=a × ÑÔÖ Ø Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº¾¼º Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ò ÐÓ× Ö Ð × Ô Ö Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ò × Ò Óº Ë Ð ÒÓØ ½º¾½º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö x¸ Ü ×Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð ×ÙÑ ÖÐÓ ÓÒ x Ö ×ÙÐØ ¼º¾¾º Ó x∈Ê Ð Ù Ò x+y = 0 Ø Ò Ñ × ÙÒ ×ÓÐÙ Ò y ∈ ʺ¾¿º Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ò Óº Ë ÒÓØ −xº¾ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x ∈ Ê ÕÙ × ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ Ñ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº¾ º Ü ×Ø Ò x1 , x2 , x3 ∈ Ê ØÓ Ó× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 × Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x2 Ý x2 × Ð ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x3 º¾ º Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ù ÐÕÙ Ö x ÓÒ x = 0¸ Ü ×Ø ÓØÖÓ ÕÙ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ÖÐÓ ÔÓÖ x Ö ×ÙÐØ ½º¾ º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x∈Ê ÕÙ × ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ñ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ðº¾ º Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ Ù ÐÕÙ Ö Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x¸ ×Ø ÒØÓ ¼¸ −1 × Ò Óº Ë ÒÓØ x º¾ º Ó x∈Ê Ð Ù Ò x·y =1 × ÑÔÖ Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ Ò y ∈ ʺ¿¼º ÆÓ Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ x∈Ê Ø Ð ÕÙ x · x = x + x = 0º¿½º Ü ×Ø ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ Ö ×ÙÐØ Ò Ð Ñ ×ÑÓº¿¾º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓº¿¿º Ð ¼ ÔÓ× ÙÒ ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ¸ Ô ÖÓ ÒÓ × Ò Óº¿ º Ð ¼ ÒÓ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº¿ º Ð ½ ÔÓ× ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓº¿ º Ü ×Ø Ò x1 , x2 , x3 ∈ Ê ØÓ Ó× ×Ø ÒØÓ× ÒØÖ × ¸ Ø Ð × ÕÙ x1 × Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ x2 Ý x2 × Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ x3 º¿ º Ó× a, b ∈ ʸ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð Ù Ò a+x = b × ÑÔÖ Ô ÖØ Ò Ò Ê {0}º ½
  17. 17. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð¿ º Ó× a, b ∈ ʸ Ð Ù Ò a+x = b Ø Ò ÙÒ Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº¿ º Ó× a, b ∈ Ê ÓÒ a = 0¸ Ð Ù Ò a·x = b Ø Ò ÙÒ Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ¼º Ó× a, b ∈ ʸ Ð Ù Ò a · x = b ÔÙ Ø Ò Ö Ñ × ÙÒ ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ½º Ë a, b, c ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ a + b = a + c¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ b = cº ¾º Ë a, b, c ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ a · b = a · c¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ b = cº ¿º Ó× a, b ∈ Ê ÓÒ a = 0¸ × Ø Ò ÕÙ ¼ × × ÑÔÖ ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò a · x + b = 0º º Ó× a, b ∈ Ê ÓÒ a = 0¸ Ð ×ÓÐÙ Ò Ð Ù Ò a·x+b=0 × b x = −aº º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y = 0¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ x=0 y = 0º º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x · y = 0¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ x=0 y = 0º º Ë x, y ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y = 1¸ ÒØÓÒ × Ò × Ö Ñ ÒØ x=0 y = 0º ½
  18. 18. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù Ö Ó×½º ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÔÖÓÔÙ ×Ø × Ò Ð ØÙØÓÖ ´ µ Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙØÓ × Ò Óº ´ µ Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð × Ò Óº ´µ Ä Ù Ò ax = b¸ ÓÒ a = 0¸ Ø Ò ÙÒ Ò ×ÓÐÙ Ò Ò Êº ×Ø ÔÓÖ x = ba−1 º ´ µ Ó a ∈ Ê {0}¸ (a−1 )−1 = aº¾º ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × × Ú Ö Ö Ò Ð × ×Ø Ñ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ÁÒ ÕÙ Ð Ö Þ Ò ×Ù Ú Ö ¸ Ö ×Ô ØÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý ÔÖÓÔ × Ú ×ØÓ׺ ´ µ 2 + (3 + 5) = (2 + 5) + 3º ´ µ 0 + 5 = 5º ´µ (x + y) + z = z + (y + x)º ´ µ (x + 2) · y = y · x + 2 · y º ´ µ (4−1 · 4) − 1 = 0º¿º Ò Ð Ù ÖÔÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×× Ò 2 = 1+1¸ 3 = 2+1¸ 4 = 3+1¸ 5= 4+1 Ý 6 = 5 + 1º Í× Ò Ó × ÐÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý Ð Ó ÕÙ 2 = 0¸ ÔÖÙ Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ ×¸ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ× Ô ×Ó× Ý Ñ Ò ÓÒ Ò Ó Ð Ü ÓÑ Ó Ò Ò ÕÙ ÙØ Ð Þ Ò ÙÒÓ× ÐÐÓ× ´ µ 3 + 2 = 5º ´ µ 3 · 2 = 6º ´µ 4 · 2−1 = 2º ´ µ 5 − 3 = 2º ´ µ (4 · 3) · 2−1 − 2 = 4º ½
  19. 19. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ðº × Ð × × Ù ÒØ × × Ù Ò × Ù Ð ×¸ Ø ÖÑ Ò ÐÓ× Ü ÓÑ × Ý Ð × ÔÖÓÔ × ÕÙ Ð × Ò ÓÖÖ Ø × ´ µ Ó× a, b ∈ ʸ (ab) + (a(−b)) = a · (b + (−b)) =a·0 =0 ´ µ Ó× x, y ∈ ʸ (1 − x)y + yx = (1 · y + (−x)y) + yx = (y + −(xy)) + yx = y + (−xy + yx) = y + (−xy + xy) =y+0 =y ´µ Ó× a, b ∈ ʸ (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 ´ µ Ó a ∈ ʸ a+0·a=a·1+a·0 = a(1 + 0) =a·1 =a ´ µ Ó× a, b, c, d ∈ ʸ ÓÒ b, d = 0¸ a c + = ab−1 + cd−1 b d = (ab−1 ) · 1 + (c · 1)d−1 = (ab−1 )(dd−1 ) + (c(bb−1 ))d−1 = (ab−1 )(d−1 d) + cb(b−1 d−1 ) = ad(b−1 d−1 ) + cb(b−1 d−1 ) = ad(bd)−1 + bc(bd)−1 = (ad + bc)(bd)−1 ad + bc = bd ½
  20. 20. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ðº ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ò Ò Ó Ð Ö ¹ Ñ ÒØ ÐÓ× Ü ÓÑ × Ó ÔÖÓÔ × Ù× Ó× ´ µ a + a = 2 · aº ´ µ a − (b − c) = a + (−b) + c ´µ (a + b)(a − b) = a2 − b2 ´ µ (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 ´ µ (a − b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = a4 − b4 ´µ (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 ´ µ b b (x + 2 )2 + c − ( 2 )2 = x2 + bx + cº Ê ×Ù ÐÚ Ð × × Ù ÒØ × Ù ÓÒ × ´x × Ð Ò Ò Ø µº µ 2x + 3 = 0º µ 3x + a = 2(x + a) ´ ×Ù Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× aµº µ (x + 1) = (x + 2)(x − 4)º 2 µ (x + a)(x − a) = x2 − ax ´ ×Ù Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ø ÖÑ ÒÓ× aµº µ x(−x + 2) − 3(x − 6) = −x(x − 1) − (−(x + 2) − 7)º µ (2x − 7)2 − x(3 − x) = 3(x + 1)2 + 2(1 − x)2 º µ ax = 0¸ Ô Ö a = 0º 2 µ (x − 2) = 0º µ (x + 2)(x − 3) = 0ºº Ë C ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ × Ø × ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ¹ × ´ Ü ÓÑ ×µ ´ ½µ 2 ∈ Cº ´ ¾µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ × 3x + 1 ∈ C º ´ ¿µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × x + y ∈ Cº ´ µ 3 ∈ Cº / ÑÙ ×ØÖ ÒØÓÒ × Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × Ò Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ ×¸ Ý × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ó ÐÓ× Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ó׸ ÙØ Ð Þ ´ µ 9 ∈ Cº ´ µ 1 ∈ Cº / ´µ Ë 5 ∈ C¸ ÒØÓÒ × 22 ∈ C º ´ µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × 3x + 1 + 3y ∈ C º ´ µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ × −x ∈ C º / ¾¼
  21. 21. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08-1 Ù ÈÖÓ Ð Ñ ×Ä ÔÖ × ÒØ Ù Ð Ô ÖÑ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ ×Ø ÒØ ÔÖ × Ð Ø ÔÓÔÖÓ Ð Ñ × ÕÙ × Ö Ô Þ Ö ×ÓÐÚ Ö Ò ÙÒ Ú ÐÙ Ò Ý Ð Ø ÑÔÓÔÖÓÑ Ó ÕÙ Ö ÑÓÖ Ö Ò Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ò ØÓØ Ð Ö ÔÓ Ö Ö ×ÓÐ¹Ú ÖÐ Ò ¿ ÓÖ ×º Ä Ö ÓÑ Ò ÑÓ× ÕÙ ØÖ Ò ÐÐ ÙÒ ÓÖ ÒØ ×Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó¸ ÕÙ Ö ×Ù ÐÚ ×Ù× Ù × Ò Ð Ð × ØÖ Ó Ö Ó Ý ÕÙ ÐÙ Ó ÕÙ ÙÒ ÓÖ ×Ö Ö ÓÒ Ø ÐÐ × Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ ×ºÈ½º Í× Ò Ó ÜÐÙ× Ú Ñ ÒØ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ö Ð × Ý Ñ Ò ÓÒ Ò ÓÐÓ× Ð Ö Ñ ÒØ Ú Þ ÕÙ ÐÓ× Ù× ¸ ÑÙ ×ØÖ Ð × ÔÖÓÔ ×× Ù ÒØ ×º Ë ÓÙÔ Ð ÙÒ ÓØÖ ÔÖÓÔ ÒØÓÒ × Ö ÑÓ×ØÖ ÖÐ Ò Ò Ó ÐÓ× Ü ÓÑ × ÕÙ Ù× Ò ÐÐÓº µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (x + y)(x−1 y −1 ) = x−1 + y −1 µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀x, y ∈ Ê, x, y = 0, (xy)−1 = y −1 x−1 µ ´¾¼ Ñ Òºµ Í× Ò Ó ´ µ¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ∀a, b, c, d ∈ Ê, b, d = 0, ab−1 + −1 −1 cd = (ad + cb)(bd) µ ´¾¼ Ñ Òºµ ∀a ∈ Ê, a2 = 0 ⇒ a = 0Ⱦº Í× Ò Ó × ÐÓ ÐÓ× Ü ÓÑ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý Ð × ÙÒ × ÐÓ× ÒÚ Ö×Ó׸ ÑÙ ×ØÖ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × ´× Ò × Ø Ð ÙÒ ÔÖÓÔ ÜØÖ ¸ ÑÓ×ØÖ ÖÐ µ ´ µ ´½ Ñ Òºµ È Ö ØÓ Ó x, y ∈ ʸ (−x) + (−y) × ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ x + yº ´ µ ´¾ Ñ Òºµ Ë a, b, c, d ∈ Ê ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ × Ú Ö Ð Ö Ð Ò (ad) + (−(cb)) = 0 ÒØÓÒ × [(a + b)d] + [−((c + d)b)] = 0. ´µ ´½ Ñ Òºµ È Ö a = 0¸ −(a−1 ) = (−a)−1 ºÈ¿º ´¾¼ Ñ Òº µ Í× Ò Ó ÔÖÓÔ × Ð Ñ ÒØ Ð × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ¹ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó x, y, z, w ∈ ʸ w = 0¸ z = 0 ÐÓ × Ù ÒØ × Ú Ö ÖÓ (xw + yz)2 = (x2 + y 2 )(w2 + z 2 ) ⇒ ∃λ ∈ Ê ØºÕº x = λw, y = λz. ¾½
  22. 22. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð È Ö ÐÐÓ ÒÓØ Ò ÔÖ Ñ Ö ÐÙ Ö ÕÙ Ð Ù Ð Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ô Ö¹ Ñ Ø Ù Ö ÕÙ x z + y w2 = 2xwyz º 2 2 2 ÄÙ Ó¸ Ú ÕÙ ×ØÓ ÐØ ÑÓ ÑÔÐ ÕÙ xz = ywº Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ð Ù Ð ÒØ Ö ÓÖ ÙÞ Ð ÓÒÐÙ× ÒºÈ º Ë C ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ × Ø × ÐÓ× × Ù ÒØ × ÔÖÓ¹ Ô × ´ Ü ÓÑ ×µ ´ ½µ 3 ∈ Cº ´ ¾µ Ë x ∈ C¸ ÒØÓÒ × 3x + 1 ∈ C º ´ ¿µ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × x + y ∈ Cº ´ µ 7 ∈ Cº / ÑÙ ×ØÖ ÒØÓÒ × Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ × Ò Ò Ó ÕÙ Ü ÓÑ ×¸ Ý × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ó ÐÓ× Ö Ò Ñ ÓÒ Ó׸ ÙØ Ð Þ ´ µ ´ Ñ Òºµ 1 ∈ Cº / ´ µ ´ Ñ Òºµ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × 3x + 2y + 4 ∈ C ´µ ´ Ñ Òºµ Ë x, y ∈ C ¸ ÒØÓÒ × 4 − x − y ∈ Cº / ´ µ ´ Ñ ÒºµË 3y + z + 4 ∈ C ¸ / ÒØÓÒ × (y ∈ C ∨ / z 2 ∈ C)º / ´ µ ´ Ñ Òº µÆÓ Ü ×Ø x∈C Ø Ð ÕÙ 3(2x − 1) = 39º ¾¾
  23. 23. Importante: Î × Ø Ö ÙÐ ÖÑ ÒØ ØØÔ »»ÛÛÛº Ѻ٠РºÐ» ÐÙÐÓº Ingeniería Matemática ÒÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö Ó× FACULTAD DE CIENCIAS Ý ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ò ÓÖÑ Ò ÁÒ Ò Ö ÅÖØ ÑÙØ Ð Ö FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE × Ð Ò Ñ Ð ÙÖ×Óº Introducción al Cálculo 08- 1 ÍÒ Ú Ö× Ð SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN Í× ×Ø × ÒÓØ × Ð Ñ Ö Ò Ô Ö ÓÒ¹ ×ÙÐØ Ö Ñ Ò Ö1.6. Axiomas de Orden de los Reales Ñ × Ö Ô Ð Ñ ¹ Ø Ö Ðº À Þ Ø Ñ¹È Ö ÒØÖÓ Ù Ö Ð ÓÖ Ò Ò ÐÓ× Ö Ð × Ý ÔÓ Ö ØÖ Ö ÓÒ ×¹ Ò ØÙ× ÔÖÓÔ × ÒÓØ ÓÒ ×º ٠Р׸ Ü ×Ø Ò Ú Ö× × ÓÖÑ × Ô Ö ÓÑ ÒÞ Öº Ò ×Ø ÔÙÒØ ÑÓ× ×Ó ÓÐ Ú Ö× Ò ÕÙ ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ Ð Ò Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ö Ð × ×ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ× Ø ÚÓ× Ý Ò × ÐÐÓ× × Ó Ø Ò Ò Ð × Ò ÓÒ × Ð × × Ù Ð × Ý ØÓ × Ð × ÔÖÓÔ ×º Ò R Ü ×Ø ÙÒ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ ÐÐ Ñ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ð × ´ ×ØÖ Ø Ñ ÒØ µÔÓ× Ø ÚÓ× (R∗ )¸ + Ð Ù Ð × Ø × ÐÓ× × Ù ÒØ × Ü ÓÑ × Ó Ö Ð ×º Ü ÓÑ º´ Ð ØÖ ÓØÓÑ µ ܺ º ÌÖ ÓØÓÑ ∀x ∈ R¸ ÙÒ Ý ×ÓÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö µ x ∈ R∗ + µ (−x) ∈ R∗ + µ x=0Ç × ÖÚ Ò ÙÑÔÐ Ö× ´ µ × ÕÙ x × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØÔÓ× Ø ÚÓ Ý × × ÙÑÔÐ ´ µ Ö ÑÓ× ÕÙ x × ÙÒ Ö Ð ×ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÚÓº Ü ÓÑ º ´ Ð Ù×ÙÖ µ ܺ º Ð Ù×ÙÖ ÐÓ× (∀x, y ∈ R∗ ) + × ÙÑÔÐ ÕÙ Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ× (x + y) ∈ R∗ + x · y ∈ R∗ + × Ö¸ R∗ + × ÖÖ Ó Ô Ö Ð ×ÙÑ Ý Ð ÔÖÓ ÙØÓº1.7. Relaciones de orden ÓÖ ÕÙ ÓÒÓ ÑÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ R∗ ¸ ×Ø ÑÓ× + Ò ÓÒ ÓÒ × ÒÓÖÔÓÖ ÖÐ × Ò ÓÒ × ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ× <, >, ≤, ≥ºÊ Ð ÓÒ × ÓÖ Ò Ë Ò x, y ∈ R × Ò Ð Ö Ð ÓÒ × <¸ >¸ ≤¸ ≥¸ÔÓÖ ½º x < y ⇐⇒ (y − x) ∈ R∗ + ¾º x > y ⇐⇒ y < x ⇐⇒ (x − y) ∈ R∗ + ¿º x ≤ y ⇐⇒ (x < y) ∨ (x = y) º x ≥ y ⇐⇒ (x > y) ∨ (x = y) ¾¿
  24. 24. ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö× Ð1.8. Propiedades de la desigualdadÈÖÓÔ ½ x > 0 ⇐⇒ x ∈ R∗ + ÑÓ×ØÖ Òº x > 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò (x−0) ∈R∗ ¸ + ÐÓ ÕÙ × ÒØ Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ × ∗ Ò x ∈ R+ º ÓÒ ×ØÓ ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ð ÕÙ Ú Ð Ò Ð × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ ×ºÈÖÓÔ ¾ x × Ò Ø ÚÓ ⇐⇒ x < 0. ÑÓ×ØÖ Òº x < 0 ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ ÔÓÖ Ò Ò (0−x) ∈R∗ ¸ ÓÒ ÐÓ Ù + Ð× Ø Ò ÕÙ −x ∈ R∗ ¸ ÓÒ ÐÓ Ù + Ð× Ø Ò ÕÙ x ×Ò Ø ÚÓºÈÖÓÔ ¿ ´ØÖ ÓØÓÑ µ È Ö Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö ÒÙÑ ÖÓ× Ö Ð × x y¸ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö µ x<y µ x>y µ x=y ÑÓ×ØÖ Òº Ë Ò Ð Ü ÓÑ ½ Ð ØÖ ÓØÓÑ ¸ ÓÑÓ (y − x) ∈R ÒØÓÒ × ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔÓ× ÓÒ × × Ú Ö Ö ∗µ(y − x) ∈ R+ ¸ µ −(y − x) ∈ R∗ , Ó + Ò µ (y − x) = 0ºË Ò Ñ Ö Ó µ × Ò x < y º µ × Ò (x − y) ∈ R∗ ¸ Ó × ¸ + x > yº Ò ÐÑ ÒØ µ × Ò x = yº ÓÒ ÐÓ Ù Ð × Ø Ò Ð ÑÓ×ØÖ ÒºÈÖÓÔ x<y Ý a ∈ R =⇒ x + a < y + a. ÑÓ×ØÖ Òº Î ÑÓ× ÕÙ (y + a) − (x + a) ∈ R∗ + × Ö ÕÙ (y + a) −(x + a) > 0 (y + a) − (x + a) = y + a + ((−x) + (−a)) = y + (−x) + a + (−a) = y − x,Ô ÖÓ ÔÓÖ Ô Ø × × × ÑÓ× ÕÙ x < y ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ y − x > 0, ÐÙ Ó(y + a) − (x + a) > 0 ÓÒ x + a < y + aºÇ × ÖÚ Ò ÓÒ ×Ø ÐØ Ñ ÔÖÓÔ ÔÓ ÑÓ× ×ÙÑ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ñ Ó× Ð Ó× Ð × Ù Ð Ý ×Ø ÒÓ Ñ ºÈÖÓÔ µ x < y ∧ a > 0 ⇒ ax < ay ¾

×