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teorias del crecimiento economico

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  • 1. Tema 2. Crecimiento endógeno y otras extensiones 2.1Modelo AKUna conclusión importante a la que hemos llegado en el capítulo anterior es que siqueremos explicar los determinantes del crecimiento económico a largo plazodebemos abandonar alguno de los supuestos del modelo neoclásico: este predice quesolamente puede haber crecimiento a largo plazo si existen mejoras tecnológicas,pero los supuestos neoclásicos no permiten introducir el progreso tecnológico dentrodel modelo por lo que este debe suponerse exógeno. La primera manera de desviarse de los supuestos neoclásicos es abandonar lafunción de producción neoclásica. Vamos a mostrar que un simple cambio en lafunción de producción genera un universo de nuevas predicciones y derecomendaciones de política económica, a la vez que nos permite explicar elcrecimiento a largo plazo. Suponemos que la función de producción es lineal en el stock de capital. Yt = AK t (tecnología AK) Esta tecnología fue introducida por Rebelo en (1991). En principio estafunción de producción puede parecer descabellada puesto que ignora totalmente laexistencia de trabajo y todos sabemos que se necesitan trabajadores para producirbienes y servicios. Un segundo análisis nos muestra como, teniendo en cuenta el concepto delcapital humano no es tan descabellado. Los trabajadores para que desempeñen untrabajo o para formarles, hay que gastar una serie de recursos, en forma de comida,medicamentos, educación, etc. Dicho de otro modo, el factor trabajo necesitainversión en el sentido de que debemos sacrificar consumo presente para aumentar laproductividad de lo que llamamos trabajo. En el capítulo anterior hemos supuestoque el trabajo crecía a una tasa n y lo que era más atrevido este aumento se producíade manera gratuita, sin necesidad de gastar recursos. En realidad el factor trabajo aumenta de manera parecida a como hemosmodelado el capital hasta ahora: sacrificando consumo actual. En resumen el capitaly el trabajo son en realidad dos tipos de capital diferentes, físico y humano, pero alfin y al cabo ambos son capital. Si todos los inputs de la función de producción son capital y existenrendimientos constantes a escala, la función de producción debe tener la forma AK.
  • 2. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. 2.2Propiedades de la función AK(i) Rendimientos constantes a escala. Prueba: Yo = AK 0 Y1 = Aλ K 0 = λ Y 0(ii) Rendimientos positivos pero no decrecientes del capital. Prueba: Pmg ( K ) = A > 0 La productividad marginal del capital es constante y positiva.(iii) No satisface las condiciones de INADA lim te Pmg ( K ) = Limite A=A ≠0 K →0 K →0 lim te Pmg ( K ) = Limite A = A ≠0 K →∞ K →∞ a. Modelo de Solow-swan con tecnología AKRecordamos los supuestos del modelo de Solow-Swan:1. La tasa de ahorro de los agentes es constante e igual a s.2. La población crece a una tasa constante e igual a n.3. La tasa de depreciación es constante e igual a δ .4. Economía cerrada. No hay comercio con el exterior.5. No hay gasto público.De los supuestos (4) y (5) sabemos que la identidad de contabilidad nacional quedacomo sigue: Yt = Ct +I t (1)La renta de los agentes se dedica a consumir o a ahorrar: 2
  • 3. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. Yt = Ct + S t (2)de lo que se deduce que en la economía descrita en este modelo la inversión es igualal ahorro: I t = St Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow-Swan la ecuación (2)puede expresarse como: Yt = (1 − s )Yt + K + δ K t  (3) Despejando K de la ecuación (3) tenemos la ecuación que describe el comportamiento dinámico del stock de capital: K = sYt −δK t  (4) Ecuación que describe el comportamiento del stock de capital agregado. El estudio del crecimiento económico nos interesa analizarlo en términos percápita. Por ello expresamos el modelo de Solow-Swan en términos per cápita.MODELO DE SOLOW-SWAN en términos per cápita.Dividimos la expresión (4) por el número de trabajadores:  K sY δK t = t − (5) L L L Kdefinimos el stock de capital per cápita como: k = L   KL − K L  K L K L   K ⇒k=  = − = − k n (6) LL L L L L LDespejamos de la ecuación (6) y tenemos:  K  = k +k n (7) LSustituimos (7) en (5): k +k n = sy −δ k  (8) k = sy − (δ + n)k  (9) Ley de evolución del capital per cápita 3
  • 4. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.Sustituimos la tecnología AK en la ecuación (8): k = sAk − (δ + n) k   k γk = = sA − ( n + δ ) (9) kRepresentamos gráficamente la tasa de crecimiento del capital per cápita: γk sA Tasa de crecimiento del capital δ+ n kLa tasa de crecimiento del capital per cápita es constante. Comprobamos ahora queen este modelo la producción y el consumo per cápita crecen todos a la misma tasaque el stock de capital per cápita que es:  k γk = = sA − ( n + δ ) k(i) Tasa de crecimiento del PIB per cápita. y = Ak y = Ak   y  k γy = =A = γ k = sA − ( n + δ ) y Ak(ii) Tasa de crecimiento del consumo per cápita. c = (1 − s ) Ak c = (1 − s ) Ak   c (1 − s ) Ak   γc = = = γ k = sA − ( n + δ ) c (1 − s ) Ak 4
  • 5. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.Calculamos ahora la tasa de crecimiento del stock de capital, producción y consumoen términos agregados.(i) Tasa de crecimiento del stock de capital agregado. K = sA − .δK   K γK = = sA − .δ K(ii) Tasa de crecimiento del PIB agregado. Y = AK Y = AK   Y K γY = =A = γ K = sA − δ Y AK(iii) Tasa de crecimiento del consumo C = (1 − s ) AK C = (1 − s ) AK   C (1 − s ) AK   γC = = = γ K = sA − δ C (1 − s ) AKDIFERENCIAS DEL MODELO AK RESPECTO AL MODELO DE SOLOW-SWANHay seis diferencias.(1) En el modelo AK, el PIB per cápita crece a una tasa positiva, sin necesidad deincluir el crecimiento tecnológico exógeno.  k γk = = sA − (n + δ ) k(2) Implicaciones del modelo AK respecto al crecimiento económico. El modelo AK nos dice algunas cosas interesantes respecto a cuales son losdeterminantes del crecimiento económico. Según este modelo las economías conmayor tasa de ahorro van a crecer más a largo plazo. Así pues, según este modelo, laspolíticas económicas encaminadas a fomentar el ahorro tendrán efectos positivossobre el crecimiento a largo plazo de una economía. 5
  • 6. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. Igualmente, el modelo nos dice que economías con un nivel de desarrollotecnológico mayor (A) tenderán a crecer más a largo plazo que las economías conmenor desarrollo tecnológico. El tamaño de la población afecta negativamente a latasa de crecimiento, luego, según este modelo las política económicas encaminadas acontrolar la natalidad tendrán efectos positivos sobre el crecimiento.(3) En este modelo la economía carece de transición hacia el estado estacionario. Laseconomías crecen siempre a una misma tasa, y eso con independencia del stock decapital que tengan.(4) Se observa también que en este modelo la tasa de crecimiento del PIB per cápitano depende del stock de capital que tiene la economía. Ni depende tampoco del nivelde renta. Esto implica que el modelo AK NO PREDICE CONVERGENCIA entrepaíses. Este modelo no nos dice, como lo hacía el modelo de Solow-Swan, que lospaíses más ricos, (con más capital), crecen menos que los países pobres (con menorcapital).(5) El modelo AK predice que los efectos de una recesión temporal seránpermanentes.(6) Con la tecnología AK, no puede haber demasiada inversión en el sentido de quela economía no puede encontrarse en una zona dinámicamente ineficiente.Demostración:Zona de ineficiencia dinámica: r * <γ * yr = pmg (k ) − δ , con la tecnología AK, la productividad marginal del capital esigual a A . De tal forma que: r = A −δy la tasa de crecimiento de la producción per cápita es: γ = sA − (n +δ) y*Para que haya ineficiencia dinámica, es decir: r * <γ * se tiene que cumplir que: y r = A −δ < sA − (n + δ )y eso NO puede ocurrir. 6
  • 7. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. A pesar de su simplicidad, el modelo AK que acabamos de desarrollar es muyimportante pues constituye la base sobre la que se construye toda la teoría delcrecimiento endógeno. Como vamos a ver a continuación la mayor parte de los modelos decrecimiento endógeno esconden, en alguna parte, algún supuesto que hace que latecnología relevante tome la forma AK. Veamos ahora dos funciones de producción para las cuales se obtiene unatasa de crecimiento del PIB constante, y obtenemos por tanto las mismasconclusiones que las obtenidas en el modelo AK. (1) Función de producción que incorpora externalidades del capital: Yt = AK tα L1−α Btη , donde K representa el stock de capital agregado y Bt t representa la externalidad del capital. η es el parámetro que indica la importancia de la externalidad del capital. (2) Función de producción donde incluimos como factor de producción el α 1−α capital y el gasto público: Yt = AK t Gt , donde K representa el stock de capital agregado, y G el gasto público.2. 3 El modelo de Romer(1986): externalidades del capital. Paul Romer, introdujo una función de producción con externalidades delcapital. La intuición es la siguiente: cuando una empresa aumenta su stock de capitala través de la inversión, no solo aumenta su propia producción, si no que aumentatambién la producción de las empresas que le rodean. La razón apuntada por Romeres que las empresas que invierten adquieren experiencia o conocimientos. Estosconocimientos también pueden ser utilizados por las demás empresas y de ahí que elproducto de estas también aumenta. Una función de producción que refleja las externalidades que acabamos dedescribir es la siguiente: Yt = AK tα L1−α k tη tdonde:Yt : representa la producción agregada en tK t : capital agregado en tLt : trabajo agregado en tκ η : representa la externalidad tη: es un parámetro que mide la importancia de la externalidad 7
  • 8. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.¿Qué es κt ?• Según Romer, esta variable es el capital agregado de la economía, K t , dado que la inversión de cualquier empresa ayuda a aumentar el stock de conocimientos de todas las empresas.• Según Lucas, esta variable es el capital per cápita.2.3.1 Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital (según Lucas) Siguiendo a Lucas identificamos la externalidad con el capital per cápita de laeconomía. De esta forma la función de producción es la siguiente: η Yt = AK t L1−α k t α tdonde κ representa el capital per cápita. η K  Yt = AK t L1−α  t α t L    t  Función de producicón agregada con externalidades del capital Yt = AK tα +η L1− (α +η ) t Si expresamos la función de producción en términos per cápita, tenemos lasiguiente expresión: Yt K α +η L1− (α +η ) =A t t Lt Lα +η t L1− (α +η ) t Y yt = t = Ak tα +η Lt Función de producicón per cápita con externalidades del capital yt = Ak tα+η 8
  • 9. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. Sustituimos la función de producción per cápita con externalidades de capitalen la ley de evolución de capital que recordemos viene dada por la siguienteexpresión: k = sy − (δ + n)κ  k = sAk (α +η) − (δ + n)κ  Tasa de variación del capital:  k γk = = sAk (α +η ) −1 − (δ + n) (1) k El comportamiento de la economía depende de si la suma de los parámetrosη + α es igual, menor o superior a la unidad. Analizamos los tres casos: - Caso 1. η + α < 1 - Caso 2. η + α = 1 - Caso 3. η + α > 1 CASO 1. η + α < 1 Consideramos el caso en que hay externalidades, por eso que η > 0 , pero éstas noson muy importantes, de tal forma que η + α < 1 . En este caso, la curva de ahorro ( sAk 1−(α +η) ) será una función decreciente con elstock de capital. Para algún k * la función de ahorro cortará a la recta ( δ + n ), y ese k * será el stock de capital de estado estacionario. el PIB per cápita crecerá a unatasa nula en estado estacionario. Obtendremos por tanto los mismos resultados queobtuvimos con la función de producción Cobb-Douglas γ k = 0 = sAk (α +η )−1 − (δ + n) sAk (α+η)−1 = (δ + n) 1 *  sA 1−(α+ ) stock de capital per cápita de estado estacionario. η k =  (δ + n)  γk 9 δ+n Curva de ahorro  sA   1− (α +η )  k  k* k
  • 10. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. En un modelo donde tenemos externalidades del capital, pero éstas son pequeñas,tendremos los mismos resultados que obteníamos con la función de producciónneoclásica. CASO 2. η + α = 1 En el caso en el que η + α = 1 , la economía crecerá a una tasa constante, al igual que con lafunción de producción AK. La tasa de crecimiento del capital es la siguiente: Tasa de crecimiento del capital per cápita γ k = sA − (δ + n) El stock de capital crece a una tasa constante. Resultados similares entérminos de crecimiento y convergencia que los obtenidos con el modelo AK. CASO 3. η + α > 1 En este caso, la tasa de crecimiento del capital vendrá dada por la expresiónsiguiente: γ k = sAk (α +η ) −1 − (δ + n) dγ k = (α + η − 1) sAk (α + η ) − 2 > 0 dk ~ En este caso la curva de ahorro es creciente y habrá un stock de capital ( k )para el cual la economía a largo plazo crecerá a un ritmo constante. Para niveles de ~capital per cápita mayores a k , la economía crecerá indefinidamente. Sin embargo, ~para niveles de capital inferiores a k el crecimiento será negativo ya que laeconomía destruirá capital de forma progresiva. 10
  • 11. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. γk Curva de ahorro Crecimiento positivo δ n + Crecimiento negativo k* k El interés del modelo de Romer es que la existencia de externalidades es unamanera de argumentar que la tecnología de nuestra economía podría tener una formaAK. El problema principal observado es que para que la tecnología se convierta enAK, hace falta que existan externalidades que sean lo suficientemente fuertes yademás que sean tales que la suma de los componentes que miden el peso del capitalen la economía más la importancia de la externalidad sean igual a la unidad. Estosignifica que el tamaño de la externalidad debe ser tan grande como la suma de lasrentas de todos los trabajadores de la economía, supuesto que parece poco razonable.2.3.2 Modelo de Solow-Swan con externalidades del capital. (Siguiendo a Romer) Seguimos a Romer y suponemos que la variable κ se identifica con el capitalagregado de la economía. De esta forma la función de producción es la siguiente: Yt = AK tα L1−α K tη t Calculamos la función de producción en términos per cápita. yt = Ak (α +η ) Lη Ley de evolución del stock de capital: k = sAk (α +η) Lη − (δ + n)k  Tasa de variación del capital: k γk = = sAk (α +η ) −1 Lη − (δ + n) k (1) En el caso particular en que η + α = 1 , la tasa de crecimiento del stockde capital per cápita vendrá dada por la expresión siguiente: 11
  • 12. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. γ k = sALη − (δ + n)supuesto que la población no crece (n=0): Tasa de crecimiento del capital per cápita γκ = sALη −(δ) En este caso el capital crece a una tasa constante, que será tanto mayor cuantomayor sea el tamaño de la población. Si cada una de las economías del mundo sepudiera describir con este modelo la predicción sería que los países con mayorpoblación como China e India deberían crecer a tasas mayores con los países conmenor población. La tasa de crecimiento también nos indica porque hemos supuesto que lapoblación L es constante. Si la población no creciese a un ritmo constante entonceslas tasa de crecimiento de la población sería cada vez mayor, lo cual no parececoncordar con los datos según los cuales la tasa de crecimiento de la población alargo plazo es mas o menos constante. (2) En el caso en el que η + α < 1 , calcular el stock de capital per cápita deestado estacionario. Tasa de variación del capital:  k γk = = sAκ (α +η −1) Lη − (δ + n) k 1  k  sALη 1−(α+ ) η γ k = = sAκ(α+ − ) Lη −(δ +n) = 0 ⇒κ* =  η 1  k  δ +n   Si la población no crece: 1  sALη 1− α+ ) ( η k * =   δ    Observamos que el stock de capital per cápita de estado estacionario dependedel tamaño de la población. Ello significa que el PIB per cápita, y consumo percápita a largo plazo dependen del tamaño de la población. Así, este modelo prediceque países con mas población tipo, China y la India, deberán ser más ricos que paísescon menor población, tipo Bélgica, Dinamarca o Suiza. El hecho que el stock decapital per cápita por persona de estado estacionario sea una función positiva de L,también nos muestra que si dejamos que la población crezca a un ritmo constante el 12
  • 13. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.crecimiento de la población hará crecer las variables per cápita lo cual no pasaba enel modelo neoclásico. En resumen, la existencia de externalidades de capital agregado introduceefectos de escala que tienden a no ser validados por los datos.2. 4 Gasto público e impuestos: el tamaño optimo del gobierno En el contexto del modelo de Solow-Swan, pero con una función deproducción neoclásica, vamos a estudiar los efectos que el gasto público y losimpuestos necesarios para financiar ese gasto tienen sobre la economía y masconcretamente sobre el crecimiento económico. La función de producción con la que trabajamos es la siguiente: Yt = AK tαGt1−α donde K representa el stock de capital agregado, y G el gasto público. Suponemos que el nivel de producción depende del stock de capital y delflujo de bienes públicos suministrados por el gobierno. Para financiar ese gasto elgobierno establece un impuesto. Para simplificar se supone que el impuesto esproporcional proporcional y el tipo impositivo, denotado por τ , es constate en eltiempo. La renta disponible de los agentes se calcula como: Ytd = (1 −τ )Yt Ytd = (1 −τ ) AK t Gt −α α 1 La renta disponible en términos per cápita α 1−α K   Gt  ytd = (1 −τ ) A t   L    Lt   t    ytd = (1 −τ ) Ak t g 1−α α t donde g , representa el gasto público per cápita. Mantenemos el supuesto de que los agentes ahorran una proporción constantede su renta. Bajo ese supuesto, y manteniendo el resto de supuestos que establecimosen el modelo de Solow-Swan, la ley de evolución del capital per cápita vendrá dadapor la expresión siguiente: 13
  • 14. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. k = sy d −δ −k n  k k = s (1 −τ) Ak α g 1− −( n +δ)k  αy la tasa de crecimiento del capital per cápita γ k = s (1 −τ ) Ak α−1 g 1−α − ( n + δ )Analizamos ahora el efecto que sobre la tasa de crecimiento del capital tiene unaumento del gasto público y de los impuestos: (1) Un aumento del gasto público hace que aumente la tasa de crecimiento del capital per cápita: dγ k = (1 − α ) s(1 − τ ) Ak α −1 g −α > 0 dg (2) Un aumento de los impuesto provoca una caída de la tasa de crecimiento del capital per cápita. dγ k = − s(1 − τ ) Ak α −1 g 1−α < 0 dτestos resultados no son rigurosamente ciertos, ya que ha sido obtenidos suponiendoque el nivel de gasto público no afecta a los impuestos. Para analizar rigurosamente el efecto que el tipo impositivo tiene sobre la tasade crecimiento del capital per cápita hay que tener en cuenta la restricciónpresupuestaria del gobierno. gasto público = Gt = τYt = ingresos públi cos Gt τYt gt = = = −τAk α g 1−α Lt Ltdespejamos de la ecuación anterior el gasto público per cápita y tenemos la siguienteexpresión: gt = −τAk α lo que implica que g t = − Ak α , lo que nos lleva a 1 1 α τ 1−α g t = τ α Aα kg Llevamos la expresión anterior a la tasa de crecimiento del capital per cápitay tenemos lo siguiente: [ γ k = s (1 − τ ) Ak α −1 − τ 1 / α A1 / α k ] 1−α − (n + δ ) 14
  • 15. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. 1−α 1 γ k = s (1 −τ )τ α A α − ( n + δ ) Tasa de crecimiento del capital per cápita 1−α 1 γk = s (1 − τ )τ α A α − (n + δ ) Veamos ahora como afecta a la tasa de crecimiento del capital per cápita latasa de ahorro de la economía, el nivel de desarrollo tecnológico, la tasa decrecimiento de la población y la tasa de depreciación. (1) Tasa de ahorro de la economía. La tasa de ahorro afecta positivamente a la tasa de crecimiento del capital per cápita. 1−α 1 ∂γ k = (1 −τ )τ α A α > 0 ∂s (2) Nivel de desarrollo tecnológico. El nivel de desarrollo tecnológico afecta de forma positiva a la tasa de crecimiento del capital per cápita. 1−α 1−α ∂γ k 1 = s (1 −τ )τ α A α > 0 ∂A α (3) Tasa de crecimiento de la población. La tasa de crecimiento de la población afecta negativamente a la tasa de crecimiento del capital per cápita. ∂γ k = −1 < 0 ∂n (4) Tasa de depreciación del capital. Afecta negativamente a la tasa de crecimiento de la economía. ∂γ k = −1 < 0 ∂δ 15
  • 16. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. Una vez que tenemos la tasa de crecimiento del capital per cápita, calculamosahora la tasa de crecimiento del gasto público per cápita y la tasa de crecimiento delPIB per cápita.a) Tasa de crecimiento del gasto público per cápita 1 1 1 1 g =τ α A α k ⇒ g =τ α A α k   1 1 g τ  α Aα  k g   k = 1 1 = ⇒ = g k g k τ α Aα El gasto público crece a la misma tasa que el capital per cápita.b) Tasa de crecimiento del PIB per cápita ∂y  ∂y y t = Ak t g 1−α α t ⇒ yt =  k+ g  ∂k ∂g yt = αg 1−α k α −1 Ak + (1 − α) Ak α g −α g     k g  y t = αg 1−α k α A  + (1 − α ) Ak α g 1−α k g yt   k g  = α + (1 − α ) yt k g yt   k = =γk yt k El PIB per cápita crece a la misma tasa que el capital per cápita y elgasto público per cápita. Las variables agregadas crecen a una tasa igual a la suma de la variable percápita más la tasa de crecimiento de la población.  Yt  Kt  Ct = γY + n ; =γK +n ; = γC + n Yt Kt CtDemostración: (1) Tasa de crecimiento del capital agregado 16
  • 17. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. K k= L  KL − KL = K − K n    k= LL L L  K  K =k+ n L L K = Lk + Kn    K L   K 1  = k +n ⇒ = k + n = γk + n K K K k (2) Tasa de crecimiento del PIB agregado Yt = AK tαGt1−α Yt = αAK t −1Gt −α K + (1 −α) AK α G −α G  α 1    K  G Yt = αAK tα Gt −α  1 + (1 − α ) AK α G1−α K G  Yt  K  G = α + (1 − α ) Yt K G  K  G dado que = K G  Yt  Kentonces, = . El PIB agregado crece a la misma tasa que el capital per cápita Yt K (3) Tasa de crecimiento del gasto público agregado Gt = τYt Gt = τAK α t Gt − α ⇒ 1 G α t = τAK α t 1 1 Gt = τ α A α K t 17
  • 18. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. 1 1 1 1 K   Gt  K Kt Gt = τ α A α  Kt ⇒ = τ α Aα K Gt K G   Gt K t = , el gasto público agregado crece a la misma tasa que el capital Gt K t En este modelo todas las tasas de crecimiento son constantes en todo momento, propiedad que comparte con el modelo AK. La explicación de esta similitud es que el modelo descrito en este apartado es en realidad el modelo AK. Para comprobar este punto basta con sustituir la restricción presupuestaria del gobierno en la función de producción en términos per cápita. y t = Ak tα g 1−α t g t = τ 1 / α A1 / α k t ( yt = Ak t τ 1 / α A1 / α k t α 1−α ) 1−α 1 ~ yt = A k t yt = τ α Aα k t 1−α 1 donde A = τ ~ α Aα Una vez que hemos incorporado la restricción presupuestaria en la función de producción esta se convierte en una función lineal en el capital, en una función AK. La novedad que caracteriza la tasa de crecimiento de la economía cuando existen bienes públicos productivos financiados con impuestos sobre la renta es que el tipo impositivo afecta al crecimiento económico y lo hace de dos maneras distintas. En primer lugar, el impuesto afecta negativamente a la tasa de crecimiento del capital a través de (1 −τ) . Esto refleja el hecho de que los impuestos reducen la renta disponible y con ello el ahorro y la inversión de la economía. Esto reduce el crecimiento. Por otro lado, el tipo impositivo afecta positivamente a la tasa de crecimiento del capital a través del término τ (1−α ) / α . Esto refleja el hecho de que un mayor tipo impositivo permite al gobierno proporcionar un mayor nivel de gasto público productivo, lo que afecta positivamente a la producción y a la capacidad de ahorrar e invertir. 18
  • 19. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. El efecto agregado de un aumento en el tipo impositivo es ambiguo depende de si el efecto negativo domina al positivo o viceversa. Vamos a analizar la relación que hay entre el tipo impositivo y la tasa de crecimiento del capital per cápita. Primero, consideramos el caso de que τ = 0 . En este caso el gobierno no recauda nada y por lo tanto no puede suministrar bien público. En este caso la producción es cero y también la inversión. En esta situación el capital per cápita se deprecia a una tasa (δ + n) . Segundo, consideramos el caso en que τ = 1 . El gobierno se apropia del 100% de la renta de las familias por lo que estas no tienen renta disponible. Al no tener renta disponible no hay ni ahorro ni inversión. Una vez más el capital per cápita cae a un ritmo constante e igual a (δ + n) . Para valores intermedios de τ , tenemos una relación entre la tasa de crecimiento del capital y el tipo impositivo en forma de U invertida, con un máximo en τ* . TIPO IMPOSITIVO OPTIMO En este epígrafe analizamos cual es el tipo impositivo optimo, aquel que maximiza la tasa de crecimiento del capital y por consiguiente del PIB per cápita. Para calcularlo tenemos que resolver el siguiente problema de optimización: 1−α 1 Max γ = s (1 −τ )τ α A α − (n + δ ) k τ ∂γ k cpo. ∂γ k =0 ∂τ 1−α 1 1−2α 1 ∂γ k 1 −α = −sτ α A α + s (1 − τ ) τ α Aα = 0 ∂τ α 1−2α 1 1−2α 1 α 1 −α sτ A α = s (1 − τ ) τ α Aα α 19
  • 20. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. 1−α τ α 1 −α = (1 −τ ) 1−2α α τ α 1−α − +2α 1 α 1 −α τ = (1 −τ ) α 1 −α τ = (1 −τ ) α 1 −α 1 −α τ (1 + )= τ =1−α α α Tipo impositivo optimo Hemos mostrado que el gobierno tiene dos caras. Por un lado, suministrabienes que son deseables para los agentes privados de la economía, y por otro utilizaimpuestos para financiar estos bienes deseables. El primer aspecto es deseable para laeconomía, mientras que el segundo es negativo. La batalla entre las dos fuerzas nospermite alcanzar el tamaño optimo del gobierno. A pesar del interés que reporta este análisis existe un aspecto del sistemaimpositivo que no puede ser analizado en un modelo con tasa de ahorro e inversiónconstante. En general los impuestos reducen la rentabilidad neta de las inversiones alquedarse el gobierno una parte del ingreso generado por la inversión. Esta reducciónde la rentabilidad reduce los incentivos de los agentes a invertir, y esto tienerepercusiones sobre el crecimiento económico. Estas cuestiones ciertamente importantes deben estudiarse en contextos dondelas empresas deciden óptimamente la inversión que desean realizar como respuesta alas diferentes rentabilidades. Por esta razón es interesante estudiar el papel delgobierno en modelos con inversión optima. Sorprendentemente veremos que losresultados obtenidos en este capítulo son bastante satisfactorios. 20
  • 21. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. 2.5 Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: lafunción de producción de “Sobelow” y el papel de las condiciones de Inada. En este capítulo hemos visto que la tecnología AK difiere en dos aspectosfundamentales de la tecnología neoclásica: (1) no presenta rendimientos decrecientesdel capital y (2) viola dos de las condiciones de Inada. A la vista de esto resultanatural preguntarse: ¿Cuál de los dos supuestos permite generar crecimientoendógeno?. La respuesta puede sorprender a más de uno, ¡La clave está en lascondiciones de Inada!. Consideremos la siguiente función de producción: Yt = AK t + BK t L1−α α tpropuesta inicialmente por Kuzz(1968) y posteriormente reintroducida en laliteratura por Jones y Manvelli(1990). Analizamos a continuación las propiedades dela función: (a) Presenta rendimientos constantes a escala λF ( K , L) = F (λK , λL) F (λ , λ ) = A(λ ) + B (λ )α (λ )1−α K L K K L F (λK , λL) = λ( AK ) + λ B ( K )α λ −α ( L)1−α α 1 [ F (λK , λL) = λ ( AK ) + B ( K )α ( L)1−α ] (b) Presenta rendimientos positivos del capital y del trabajo ∂Y = (1 − α ) BK tα L−α > 0 t ∂L ∂Y = (α ) BK tα −1 L1−α > 0 t ∂K (c) Rendimientos decrecientes del capital y del trabajo ∂ 2Y = −α(1 − α) BK t L−(α +1) < 0 α t ∂2 L ∂ 2Y = α (α −1) BK t −2 L(1−α ) < 0 α t ∂2 K 21
  • 22. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. (d) Comprobamos si cumple las condiciones de Inada ∂Y lim ite =0 d.1 Veamos que cumple esto ∂L L→ ∞ ∂Y lim ite= (1 −α) BK t L−α = 0 α t ∂L L →∞ ∂Y lim ite =∞ d.2 Veamos que cumple esto ∂L L→ 0 ∂Y lim ite = (1 − α) BK t L−α = ∞ α t ∂L L →0 ∂Y lim ite =∞ d.3 Veamos que cumple esto ∂K k→0 ∂Y lim ite = A + αBK t −1 L1−α = a + ∞ = ∞ α t ∂K K →0 ∂Y lim ite =0 d.4 Veamos que NO cumple esto ∂K k→∞ ∂Y = A + αBK t −1 L1−α = A ≠ 0 lim ite α t ∂K K →∞ 22
  • 23. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.EL MODELO DE SOLOW_SWAN CON LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓNDE SOBELOW En el modelo de Solow-Swan, la ecuación que describe el comportamientodel capital per cápita viene dada por la siguiente expresión: k = sy − (δ + n)k Sustituimos en la expresión anterior la producción per cápita y calculamos la tasa decrecimiento del capital per cápita: Yt = AK t + BK t L1−α α t Yt K K α L1−α = A t +B t t Lt Lt α 1−α Lt Lt Y yt = t = Ak t + Bk t Lt Tasa de crecimiento del capital per cápita  k = sA + sBk α −1 − (δ + n) k Recordamos que definimos Estado Estacionario como una situación en quelas variables per cápita crecen a una tasa constante.  kt Si el capital per cápita crece a una tasa constate γ t = = cte entonces kt k t = cte lo que implica que γ t = 0 . sA + sBk α −1 − (n + δ ) = 0 sBk α− = ( n +δ ) − sA 1 CASO 1. (n + δ ) > sA 23
  • 24. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. (n + δ ) A k α −1 = − sB B 1 ( n +δ ) A α−1 k = −   sB B 1 n +δ − sA α −1 k =   sB  1 *  sB 1−α k = n + δ − sA  • Si el stock de capital k es inferior a k * , entonces γ k > 0• Si el stock de capital k es mayor a k * , entonces γ k < 0En los dos casos la economía converge al estado estacionario.CASO 2. (n + δ ) < sALa tasa de crecimiento del capital siempre es positiva.  k = sA + sBk α −1 − (δ + n) > 0 kResumen de resultados• Con la tecnología de Sobelow, y para una determinada combinación de (parámetros(n + δ ) < sA ), el stock de capital per cápita crece siempre a tasa positiva.• Para esa combinación de parámetros la tasa de crecimiento del capital disminuye amedida que el capital aumenta.• Cuando la economía tiene un stock de capital elevado, la tasa de crecimiento delcpairal, y del Pib converge a un valor constate dado por la diferencia entre[ (n + δ ) − sA] . La tecnología de Sobelow sirve para demostrar que el factor determinantepara que exista crecimiento endógeno, no es que la tecnología exhiba rendimientosdecrecientes del capital, sino que incumpla la condición de INADA. Es decir, que elproducto marginal de capital permanezca acotado a un nivel suficientemente alto eneste caso al nivel ( n + δ ) / s < A por más que aumente el stock de capital.2. 6 Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes del capital: función deproducción CES 24
  • 25. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.L a función de producción CES: [ ] 1 Y = A α (bK )ψ + [ (1 − α )(1 − b) L ]ψ ψ 0 <α <1 0 < b <1 − ∞ <ψ < 1Ley de evolución del capital per cápita: k = sy − (δ + n)k Calculamos la función de producción per cápita: [ ] 1 Y 1 y = = A α (bK )ψ + (1 − α )[ (1 − b) L ]ψ ψ L L 1  1 ψ y = A (α(bK )ψ + (1 −α)[(1 −b) L ]ψ )  Lψ  1  ψ K ψ  L  ψ y = A α(b ( ) +(1 −α)  1 −b)  )  (   L  L   [ ] 1 y = A (α (bk )ψ + (1 − α )[ (1 − b)]ψ ) ψSustituimos la función de producción per cápita en la ecuación que describe elcomportamiento del capital per cápita: [ ] 1 k = sA (α (bk )ψ + (1 − α )[ (1 − b)]ψ ) ψ − (n + δ )k Y la tasa de crecimiento del capital per cápita: [ ] 1  k 1 = sA (α (bk )ψ + (1 − α )[ (1 − b)]ψ ) ψ − (n + δ ) k k [ ] 1  k = sA k −ψ (α (bk )ψ + (1 − α )[ (1 − b)]ψ ) ψ − ( n + δ ) k 25
  • 26. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. [ ] 1  k = sA (αbψ + (1 − α )[ (1 − b)]ψ k −ψ ) ψ − (n + δ ) kCon una función de producción CES, el stock de capital crecerá a una tasa constantecuando el stock de capital sea muy grande. [ ] 1 lim ite γ k = sA (αb ψ + (1 − α )[ (1 − b)]ψ −ψ ψ k ) − (n + δ ) = sAα 1 / ψ b k →∞2.7 El modelo de Harrod-Domar Antes de que el modelo neoclásico de crecimiento llegase a popularizarse, enla década de los 50, el modelo de crecimiento más utilizado era el de Harrod-Domer,desarrollados por Harrod(1939) y Domar(1946). Estos autores intentaron combinardos de las características de las economías keynesianas - el multiplicador y - elacelerador, en un modelo de crecimiento económico a largo plazo. Supongamos que el aumento del capital que se precisa para aumentar laproducción en una cuantía dada sea un valor constante. En particular es un valorindependiente de la relación capital trabajo. Es decir, ∆Yt = ∆AK t . Una función de producción que cumple el principio del acelerador es lafunción AK t . Cabe decir, no obstante, que no es factible que Harrod y Domerestuvieran pensando en una función de este tipo sin trabajo ya que una de suspreocupaciones fundamentarles era explicar los efectos del crecimiento económicosobre el empleo a largo plazo. Otra función de producción que satisface el principio del acelerador y queestá más próxima al espíritu de Harrod y Domar es la función de coeficientes fijos deLeontief. Función de producción de Leontief: Yt = min( AK t , BLt ) 26
  • 27. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.MODELO DE SOLOW-SWAN CON LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN DELEONTIEFEn primer lugar expresamos la función de producción en términos per cápita: Y K L y t = t = min( A t , B t ) Lt Lt Lt y t = min( Ak t , B) Ak t = B ⇒ kt = B / A =Otra forma de escribir la función de producción es la siguiente: ~  Ak k < k = B/ A y=  ~  B k > k = B / A y δ n + B k=B/A kLey de evolución del capital per cápita: k = sy − (δ + n)k  ~  sAk − (n + δ )k k < k = B/ A k =  ~   sB − (n + δ )k k > k = B / ALa tasa de crecimiento del capital per cápita: 27
  • 28. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. ~  sA − (n + δ ) k < k = B/ A  γk=  ~   sB / k − (n + δ ) k > k = B / A El comportamiento de esta economía depende de cuáles son los valores de losparámetros: A , B , n y δ . Harrod y Domar señalaron que existen trescombinaciones posibles de los parámetros cada una de las cuales tiene consecuenciasradicalmente distintas para el crecimiento y el empleo.CASO 1. (n + δ ) > sA δ n + Tasa de crecimiento del capital sA k0 ~ B k0 k k=B/A k = A• Si k = k 0 , la tasa de crecimiento del capital es negativa ( γ k = sA − (δ + n) < 0 ) y elcapital de la economía tenderá a disminuir. sB• Si k = k 0 , donde k 0 > k , entonces, γ k = − (δ + n) ~ k0 B B + εAdonde k 0 = + ε , es decir, k 0 = A ASustituyendo la expresión anterior en la tasa de crecimiento del capital tenemos lasiguiente expresión: sB γk = − (δ + n) ( B + εA) / A BSabemos que k 0 = <1 B + εA sA  B  γk = − (δ + n) < 0 1  ( B + εA)    28
  • 29. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. En esta economía, si esto ocurre, es decir, (n + δ ) > sA , entoncesindependientemente de si tiene mucho o poco capital, el capital per cápita se va areducir progresivamente. En esta economía el capital per cápita convergerá a cero. Harrod y Domar tenían el convencimiento de que esta situación constituía unabuena descripción de la gran depresión que sufrió la economía capitalista en los años30.CASO 2. (n + δ ) < sA Cuando la tasa de ahorro o la productividad marginal de capital es grande enrelación a la tasa de depreciación y la tasa de crecimiento de la población, tenemosque la economía converge a un estado estacionario donde las variables per cápitacrecen ana tasa nula. sA δ+ n ~ B k* k k = A ~• En este caso, cuando el stock de capital de la economía es menor a k entonces laeconomía crecerá a una tasa constante e igual a: γ k = sA − (δ + n) . ~ ~• Cuando el stock de capital alcance el nivel k , ( k = B / A ) entonces el stock decapital va a seguir creciendo, pero lo va hacer a una tasa cada vez menor hasta llegara un nivel k * en que el capital per cápita deja de crecer. k * es el capital per cápitade estado estacionario y se calcula como: γk = 0 ⇒ sB / k = (δ + n) sB k* = δ +n El estado estacionario es estable, en el sentido de que la economía, esté dondeesté, va a converger al estado estacionario: - Si k <k* , ⇒ γk > 0 - Si k >k* , ⇒ γk < 0 - Si k =k * ⇒ γk = 0 29
  • 30. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico. Con esta función de producción y concretamente con este caso, en estadoestacionario hay un exceso de capacidad instalada. Es decir, hay más capital del quese utiliza en la economía. Vamos a comprobar esta última afirmación. ~ ~ En estado estacionario, k <k*, donde k = B / A , lo que implica que, *B K  <  y por consiguiente, AK * > BL . Teniendo en cuenta que tenemos laA Lsiguiente función de producción, Yt = min( AK t , BLt ) , si AK * > BL entonces BYt = BLt . El stock de capital utilizado en el proceso de producción es igual a Lt Aque es menor al capital agregado de estado estacionario (K * ) . Hay máquinas que nose están utilizando en el proceso de producción.  Más aún, si k no cambia en estado estacionario, y sabemos que a largo plazola población crece a la tasa n si las máquinas per cápita no cambian es porque enestado estacionario se están comprando máquinas.RESULTADO INDESEABLE: El modelo me dice que hay exceso de capacidadinstalada y que pese a ello las empresas siguen invirtiendo en capital físico.CASO 3. (n + δ ) = sA Consideramos un tercer caso donde por azar, la tasa exógena de ahorro y elproducto marginal de capital fueran tales que (n + δ ) = sA . δ+ n sA ~ B k k = A ~ ~• Si la economía tiene un stock de capital k menor a k , ( k < k ) entonces la tasa decrecimiento del capital será nulo, γ k = 0 . BEn esta situación en que k t < , lo que implica que AK t < BLt , la producción será Aigual a AK t , ( Yt = AK t ). De ello se deduce que el número de trabajadoresempleados es igual a Lt = ( A / B ) K t . Para estos valores paramétricos tenemos una 30
  • 31. Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.situación similar a la anterior, pero en este caso hay más trabajadores de los queestán siendo empleados. Encontramos de nuevo un RESULTADO INDESEABLE. ~ ~• Si la economía tiene un stock de capital k igual a k , ( k = k ) entonces la tasa decrecimiento del capital será nula, γ k = 0 . BEn esta situación en que k t = , AK t será igual a BLt . En este caso el estado Aestacionario será eficiente porque en la producción se están utilizando todos losrecursos de capital y de trabajo. Vemos que dos de las tres combinaciones de parámetros posibles generanequilibrios a largo plazo en los cuales existen recursos ociosos (ya sea del capital odel trabajo). La única situación en la que esto no sucede se puede alcanzarúnicamente por una casualidad de la vida puesto que todos los parámetros relevantesvienen dados exógenamente. Por este motivo con toda probabilidad la economía se verá confinada en unode los equilibrios indeseables. En la década de los cincuenta, el enfoque neoclásico que lideran Solow-Swanse consideró como forma de solventar esta propiedad del modelo de Harrod yDomar, que hacía transcurrir la economía por “el filo de la navaja”. La función de producción neoclásica hace posible que se alcance el equilibrioentre sA y (n + δ ) , al permitir que el producto marginal del capital sea una funcióncontinua en k en lugar de una constate exógena. 31