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Equivalence Classes
 

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A naive text by myself about Congruence classes, and this realization as discrete groups. (In Portuguese)

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    Equivalence Classes Equivalence Classes Document Transcript

    • Rela¸ao de Congruˆncia/Equivalˆncia Modular c˜ e e 20 de setembro de 2009 Dado o conjunto dos n´meros inteiros Z, e dado um n´mero n ∈ N, u u podemos definir a seguinte rela¸ao de equivalˆncia sobre Z: Dados a e b, c˜ e a > b, dizemos que a ´ equilavente a b, ou a ∼ b, se a diferen¸a a − b ´ e c e divis´ por n, isto ´ ıvel e a ∼ b ⇔ a − b ´ divis´ por n. e ıvel Quando isto acontece, dizemos que a = b mod n, e essa rela¸ao ´ chamada c˜ e de equivalˆncia modular, ou congruˆncia m´dulo n. e e o Complicado, n˜o? Vamos tomar um exemplo concreto, fazendo n = 3, a por exemplo. Podemos fazer as compara¸oes: c˜ i) 2 e 1 s˜o equivalentes? N˜o, pois temos que 2−1 = 1, que n˜o ´ divis´ a a a e ıvel por 3. Logo 2 = 1 mod 3. ii) 3 e 0 s˜o equivalentes? Sim, pois 3 − 0 = 3 ´ divis´ por 3. Assim, a e ıvel 3 = 0 mod 3. iii) 9 e 3 s˜o equivalentes? Sim, pois 9 − 3 = 6 ´ divis´ por 3. Assim, a e ıvel 9 = 3 mod 3. Como a congruˆncia ´ uma rela¸ao de equivalˆncia, ela ´ transitiva. Isto e e c˜ e e quer dizer que, dados a > b > c, se a = b mod n, e b = c mod n, temos que a = c mod n. No nosso exemplo de n = 3 podemos ver, por exemplo, que 9 = 6 mod 3 = 3 mod 3 = 0 mod 3. Isto ´ interessante pois podemos e agrupar todos os elementos baseados em apenas um, que ´ quem identifica e cada uma das classes. No nosso exemplo, podemos montar o conjunto 0 = {a ∈ Z/a = 0 mod 3}. ´ a E f´cil ver que 0 = {..., −3, 0, 3, 6, 9, ...}. Agora, ´ o unico conjunto de con- e ´ gruˆncia? N˜o, pois, por exemplo, e a 10 = 7 mod 3 = 4 mod 3 = 1 mod 3, 1
    • que nos d´ o conjunto a 1 = {a ∈ Z/a = 1 mod 3} = {..., 1, 4, 7, ...}. E temos tamb´m e 11 = 8 mod 3 = 5 mod 3 = 2 mod 3, que define o conjunto 2 = {a ∈ Z/a = 2 mod 3} = {..., 2, 5, 8, ...}. Mas sim, ap´s toda essa papagaiada, que vocˆ est´ fazendo? o e a A rigor, peguei o conjunto Z, e atrav´s da rela¸ao de equivalˆncia mod 3, e c˜ e o fragmentei nos subconjuntos disjuntos 0, 1, e 2. Agora, considerando o conjunto S = {0, 1, 22} (sim, conjunto de conjuntos!), ele nada mais ´ que o e conjunto quociente de Z pela rela¸ao mod 3. Em outras palavras, S = Z/ c˜ mod 3. Uou, explica¸ao complicada essa... N˜o tem como simplificar mais? Certo, c˜ a vamos l´:O que estamos fazendo ´ pegar Z e ”‘reordenar”’ os elementos em a e subconjuntos de elementos ”‘iguais”’, no sentido de que a igualdade ´ dada e por mod 3:   0 = {0, 3, 6, ...} mod 3 Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} → S = 1 = {1, 4, 7, ...} .   2 = {2, 5, 8, ...} E o conjunto S ´ o conjunto cujos os elementos s˜o essas classes. Como dito, e a S ´ um conjunto de conjuntos. e Certo, e... Calma, agora ´ que vem a parte divertida. Podemos definir e sobre os elementos de S opera¸oes! Vamos definir sobre S uma opera¸ao de c˜ c˜ adi¸ao: Temos que uma adi¸ao ´ uma opera¸ao + : S × S → S, que dados c˜ c˜ e c˜ dois elementos a, b ∈ S, a+b = c ∈ S, e temos as propriedades: 1. comutatividade: a+b = b+a; 2. associatividade: a+(b+c) = (a+b)+c; 3. elemento neutro: a+0 = 0+a = a; 4. elemento oposto: dado a ∈ S, temos o elemento −a ∈ S tal que ˜ a+(−a) = (−a)+a = 0. 2
    • ´o E ´bvio ver que a adi¸ao que conhecemos ´ uma adi¸ao nesse sentido. Agora, c˜ e c˜ com esta no¸ao podemos definir sobre os elementos de S a adi¸ao ⊕, dada c˜ c˜ da seguinte maneira: Dados a, b ∈ S, a ⊕ b = c = {classe de equivalˆncia da soma usual dos elementos de a e b.} e Agora complicou mais uma vez n˜o? Vamos mais uma vez usar o exemplo a de S = Z/ mod 3 = {0, 1, 2}. Por exemplo, 0 ⊕ 0 = A, e vamos construir o conjunto A. Lembrando que 0 = {0, 3, 6, 9, ...}, e da defini¸ao da nossa soma, A ´ a classe de equivalˆncia da soma dos elementos c˜ e e do conjunto. Assim,    0 + 0 = 0 ∈ 0     0 + 3 = 3 ∈ 0      0⊕0⇒ 3+0=3∈0 .  3 + 3 = 6 ∈ 0         . .   . Assim, podemos concluir que o resultado dessa opera¸ao nada mais ´ que os c˜ e elementos do conjunto 0, ou seja, 0 ⊕ 0 = 0. Outra opera¸ao que temos ´ c˜ e 0⊕1=B que, lembrando que 1 = {1, 4, 7, ...}, temos   0 + 1 = 1 ∈ 1   0 + 4 = 4 ∈ 1       0⊕1⇒ 3=1=4∈1 . 3 + 4 = 7 ∈ 1         . .   . E assim, 0 ⊕ 1 = 1. Podemos continuar efetuando essas opera¸oes, e chegamos ` tabela: c˜ a ⊕ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 3
    • Sim, vocˆ criou uma estrutura nova, regras antigas, mas e da´ Certo, e ı? o objetivo desta exposi¸ao, que eu provavelmente acabei me perdendo, era c˜ mostrar quem nem sempre 1 + 1 = 2. Para efetuar a opera¸ao precisamos c˜ definir, antes de mais nada, a natureza dos objetos, e da pr´pria opera¸ao. o c˜ Lembra que sempre somos introduzidos, l´ no pr´-escolar, ` soma usando a a e a id´ia de quantidade? Ent˜o, a natureza dos objetos ´ especificada: O valor e a e 1 representa o conjunto com uma unidade de alguma coisa, laranjas, por exemplo. Mas agora, mudando a natureza, por exemplo, fazendo com que 1 seja agora a classe de n´meros equivalentes a 1 mod 2, temos que u 1 ⊕ 1 = 0, o que foge um pouco do usual. Mas, ser´ que foge mesmo? Considere o triˆngulo equil´tero como desen- a a a hado abaixo: Com O sendo o seu centro. Rodando o triˆngulo em torno de O sempre em a a ˆngulos de 120◦ no sentido anti-hor´rio, temos que a ent˜o, a menos que nomeemos os v´rtices, qualquer uma destas opera¸oes a e c˜ n˜o ”‘altera”’ o triˆngulo; isto ´, n˜o ´ poss´ perceber que a mudan¸a foi a a e a e ıvel c feita. Essa propriedade ´ chamada de opera¸ao de simetria, pois n˜o altera e c˜ a o sistema. Agora, se fizermos a associa¸ao, para cada rota¸ao c˜ c˜ 0◦ → a, 120◦ → b, 240◦ → c, 4
    • e definindo a opera¸ao ⊕ como sendo, dados x e y, c˜ x ⊕ y = rota¸ao de y seguida de x, c˜ e temos a tabela: ⊕ a b c a a b c b b c a c c a b Familiar, n˜o? Pois ´, ´ exatamente a tabela de soma anterior! O que fizemos a e e foi a realiza¸˜o da opera¸ao (ou grupo), que nada mais ´ que trazer para a ca c˜ e ”‘realidade”’ essa opera¸ao abstrata. c˜ 5