Trigonometria

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Trigonometria

  1. 1. PROBLEMAS RESUELTOS<br /><ul><li>RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS</li></li></ul><li>PROBLEMA <br />1<br />
  2. 2. CALCULAR:Ѳ (agudo) si:<br />Tg³ X Tg³ y Tg³z Tg³ Ѳ = 1<br />Además :<br /> Sen (x + y) = Tg (z + y)<br /> Sec (x +2y) = Csc (y + 2x)<br /> Sec 3 (x +y - z) = Ctg (x – z +23º) <br />
  3. 3. RESOLUCION:<br />Del 3er. dato:<br />(x +2y) + (y + 2x) = 90°<br /> x +y = 30 ° ……(1)<br />En el 2do dato: Sen 30 ° = Tg (y + z)<br />Tg (y + z) = ½ y + z = 26,5 ° ……(2)<br />– (2): <br /> (x + y) - (y + z) = 30 ° - 26,5 ° <br />x – z = 3,5 ° ……(3)<br />
  4. 4. PROBLEMA<br /> 2<br />
  5. 5. En un triangulo rectángulo:<br />ABC (^B = 90° )<br />Sobre los catetos AB y BC se ubican : P y Q respectivamente; si desde dichos puntos se trazan perpendiculares a la hipotenusa, PM = a y QN = b Hallar PQ en función de a,b y “ Ѳ” Además:<br />m ACB = Ѳ, m BPQ = Ѳ (a‹ b) <br />
  6. 6. B<br />RESOLUCION<br />Graficando:<br />Q<br />x<br />Ѳ<br />P<br />b- a<br />2Ѳ<br />H<br />Ѳ<br />a a<br />b<br />A M N C<br />En la figura:<br /><ul><li> m PQB = m CQN = 90° - Ѳ
  7. 7. Luego: m PQN = 2 Ѳ</li></li></ul><li>De P trazamos PH QN<br /> QH = b – a<br />En r PQH:<br /> X = (b - a) Sec 2Ѳ<br /> r<br />
  8. 8. PROBLEMA<br /> 3<br />
  9. 9. Si:<br />Sen (a ∏/3) Sec (∏/2 – b ∏/3) = √3 Tg ∏/6<br />Ademas: a = Csc Ѳ . Csc α<br /> b = Sec Ѳ . Sec α<br />Calcular. H = √2 Sec (Ѳ + α/2)<br />
  10. 10. RESOLUCION:<br />En la 1ra, condicion por la propiedad del complemento se cumple que:<br />Sec (∏/2 – b ∏/3) = Csc (b ∏/3)<br />Reemplazando en el 1er dato:<br />Sen ()a ∏/3) . Csc (b ∏/3) = 1 <br />Y por propiedad de las R. T. reciprocas:<br />A ∏/3 = b ∏/3 a = b ……….(1)<br />Reemplazando la 2da y 3ra condicion en (1)<br />Csc Ѳ . Csc α = Sec Ѳ . Sec α<br />
  11. 11. Csc α/Sec α = SecѲ/Cscѳ<br />Cos α/Sen α = SenѲ/CosѲ<br />Ctg α = TgѲ<br />(propiedad R. t. complementarias)<br />Α + Ѳ = 90⁰<br />Luego en H:<br />H= √2 Sec (90°/2) = √2 Sec45°<br />H= 2<br />
  12. 12. Y (2) en el 4to dato:<br />Sec 3 (30 - z°) = Ctg (3,5° + 23 ° )<br />Sec (90 ° - 3z ) = Ctg 26,5 ° = 2<br />Csc 3z = 2 30 ° z = 10 ° <br />Pero, de (1) : y = 30 ° - z<br />En el 1er dato del problema<br />Tg 3x tg(90 ° - 3x) tg 30 ° tg 3 Ѳ = 1<br />Ctg 3 x <br /> 1<br />Tg 3 Ѳ = √3<br /> 3 Ѳ = 60 ° Ѳ = 20 ° <br />3/3 Tg 3Ѳ = 1<br />
  13. 13. PROBLEMA<br /> 4<br />
  14. 14. En un triangulo rectángulo ABC (recto en B) desde “B”se traza<br />una ceviana BD (D en AC) y desde “C” se Levanta una perpendicular CH a dicha ceviana.<br />Calcular HD si: AB = m, CH = n<br />Ademas: m BAC = m, DCH<br />RESOLUCION <br />Interpretado el enunciado:<br />B<br />m<br />H<br />X<br />n<br />α<br />α<br />A D C<br />
  15. 15. De la figura, sea:<br /> m BAD = m HCD = α<br />En r HDC: x = n TG α ……(1)<br /> HD <br /> En r ABC : bc= m Tg α<br />Observación:<br />m BDC = m BCD = 90° - α<br />Luego: BDC: isoceles<br /> BD = BC = m Tg α<br />Entonces: BH = BD – HD<br /> BH = mn TG α<br />En r BHC: por pitagoras<br />
  16. 16. BC² = BH² + HC²<br />m² Tg² α = (m - n) ² Tg² α + n²<br />De donde:<br />Tg²α = √n/2m – n …….(2)<br />(2) En (1): x = n √n/2m-n<br />
  17. 17. PROBLEMA<br /> 5<br />
  18. 18. Desde la parte mas alta de un acantilado de H m de la altura, se observa un globo con un ángulo de elevación, igual a “Ѳ” ; desde un punto ubicado en la superficie del acantilado , se observa el globo con un ángulo de elevación igual a “α” y la parte mas alta del acantilado con un ángulo de elevación igual a 26° 30َ.<br />Calcule Tgα (Ctg Ѳ - 1) . Si además el globo se encuentra a una altura igual a 3 H m<br />RESOLUCION:<br />E<br />3H<br />A<br />Ѳ<br />Q<br />H<br />α<br />α<br />53°/2<br />D<br />B<br />C<br />
  19. 19. r<br />r ABC : notable(53 /2 ) <br />Si : AB =H BC = 2H<br /> r<br />r CED : CD = 3H Ctgα<br />Cuadrilátero AQDB:<br />AB=QD = H EQ = 2 H<br />r AEQ : AQ= EQ CtgѲ<br /> AQ = 2H Ctg Ѳ<br />Pero: AQ = BD<br /> AH Ctg Ѳ = 2H+3H Ctgα<br />2Ctg Ѳ = 2+3 Ctgα<br />2(Ctg Ѳ - 1) =3Ctgα<br />Tgα(CtgѲ - 1) =3/2<br /> r<br />
  20. 20. Problema<br />6<br />
  21. 21. Desde un punto P ubicado en el mismo plano horizontal de las bases de los faros A y B ubicados al SO y SE, respectivamente, se les observa con elevaciones angulares de 53° y 37 ° .<br />Si los faros están distanciados 6√5 menos y desde parte alta del faro B se observa con depresión la cúspide del otro faro, hallar la altura de cada uno<br />Dato: TgѲ= √5/30<br />RESOLUCION:<br />N<br />N<br />M<br />Ѳ<br />H<br />O<br />E<br />4a<br />3b<br />37 °<br />53°<br />3a<br />4b<br />A<br />6√5 <br />B<br />SO<br />S<br />SE<br />
  22. 22. Del dato : <br />Tg Ѳ = √5 /30 = NH/MH <br /> 5/30 = NH/ 6√5 ->NH=1<br />Pero:<br /> BH:4ª->3b =4ª +1 …(*)<br />Además:<br /> (3a)² + (4b)² = (6√5 )²<br /> 9a² + 16b² = 180<br />Multiplicado por 9:<br /> 81 a² + 16b(3 b)² =1620<br />Reemplazando (*): <br />81a² + 16 ( 4a + 1)² = 1620<br /> 81a² + 256a² +128a + 16 =1620<br /> 336a² + 128a - 1620 = 0<br />
  23. 23. Aspa simple:<br />337a 802<br /> a -2<br />->a – 2 = 8<br /> ->a = 2<br />Luego:<br />Faro A: 4ª = 8<br /> FaroB:4ª + 1 =9 <br />Alturas : 8 y 9<br />

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