Análise de Área e Cargas Distribuídas

Propriedade de Área e
Cargas Distribuídas
Prof. Antônio Carlos Peixoto Bitencourt
Eng 308 – Mecânica Geral
03/05/2012
Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt -
ENG 308 - 2012.1

Como analisar?
03/05/2012 2Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1

Ação da Gravidade
03/05/2012 3
• Em chapas
y
x
M xW x W
x dW
M yW y W
y dW
• Em arames
Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1

Centróide
03/05/2012Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1 4
Momento de primeira ordem em relação a
Momento de primeira ordem em relação a
y
x
xW x dW
x At x t dA
xA x dA Q
y
yA y dA Q
x
• De uma Área
   








dLyLy
dLxLx
dLaxLax
dWxWx

• De uma linha

Centróide e Momento de Primeira ordem
 Centróide, Baricentro ou Centro de Gravidade
 É o ponto da resultante do peso
 Neste ponto não existe momento devido ao peso
 Momento de Primeira Ordem
 Representa a distribuição da área em relação aos
eixos de referências
 Quando eixo de referência passa centróide o
momento de primeira ordem é nulo

Momento de 1ª. Ordem
03/05/2012 6
• Áreas simétricas
• Momento de 1ª. Ordem em relação a eixo
de simetria é nulo.
• Se uma área tem um eixo de simetria, o
centróide pertence a ele
• Se uma área tem mais de dois eixos de
simetria , o centróide é a interseção dos
eixos.
• Simetria em relação a um ponto
• Centróide no ponto de simetria

Centróide de Geometria

Centróide de Arames

Chapas e Áreas Compostas
03/05/2012 10




WyWY
WxWX




AyAY
AxAX

Exemplo 5.1
03/05/2012 11
Método de Solução:
• Dividir a área composta em elemento
geométrico simples.
• Encontrar as coordenadas do
centróide dividindo área total pelos
momentos de área em relação a
cada eixo.
• Calcular área total e momento de
área total.
• Calcular o momento de área de cada
elemento simples em relação aos
eixos de referência
.
.
X A x A
Y A y A

33
33
mm107.757
mm102.506


y
x
Q
Q
Exemplo 5.1
03/05/2012 12
Componente A (mm2) ¯x
(mm)
¯y
(mm)
¯xA (mm3) ¯yA (mm3)
retângulo 80x120=9600 60 40 +576x1o3 +384x1o3
triângulo ½(12o)(40)=3600 40 -20 +144x1o3 -72x1o3
semicirculo ½ π(60)2=5655 105,46 60 +339,3x1o3 +596,4x1o3
circulo -(π(40)2)=-5027 60 80 -301,6x1o3 -402,2x1o3
ΣA=13,828x1o3 Σ¯xA
=+757,7x1o3
Σ¯yA
=+506,27x1o3

Exemplo 5.1
03/05/2012 13
23
33
mm1013.828
mm107.757





A
Ax
X
mm8.54X
23
33
mm1013.828
mm102.506





A
Ay
Y
mm6.36Y

03/05/2012 14
Exercícios – Centróide e
Momento de Área X=243,6mm
Y=117,7mm
X=0
Y=36,2mm
1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
1.e)
1.f)

Centro de Massa por Integração
03/05/2012 15
• Integração de ordem superior pode ser evitada definindo o elemento
de área como um retângulo com espessura infinitesimal.
el
el
xA xdA x dA
yA ydA y dA
 
 
 
 
xA xdA xdxdy
yA ydA y dxdy
 
 
 
 

Centro de Massa por Integração
03/05/2012 16
 
 ydx
y
dAyAy
ydxx
dAxAx
el
el








2
  
  dxxay
dAyAy
dxxa
xa
dAxAx
el
el










2






















dr
r
dAyAy
dr
r
dAxAx
el
el
2
2
2
1
sin
3
2
2
1
cos
3
2

Exemplo

Cálculo de Volumes e Áreas

Teoremas de Pappus-Guldinus
03/05/2012 19
• Superfície de revolução é gerada pela rotação de uma curva plana em
relação a um eixo fixo.
• Área de uma superfície de revolução é
igual ao comprimento da curva geradora
vezes a distância do centróide da curva
até o eixo de rotação.
LyA 2

Teoremas de Pappus-Guldinus
03/05/2012 20
• Corpo de revolução é gerado pela rotação de uma área plana em relação
ao eixo e referência.
• Volume de um corpo de
revolução é igual à área
geradora pela distância do
centróide desta ao eixo de
referência.
AyV 2

Exemplo
03/05/2012 21
O diâmetro externo da polia é 0,8 m e a
seção transversal é mostrada na figura.
Determine a massa da polia, sabendo
que a polia é fabricada em aço cuja
densidade é 33
mkg1085.7 

03/05/2012 24
• Carga distribuída é representada por uma área
com a carga dada por unidade de
comprimento, w (N/m) . A carga total é área
sob a curva.
  AdAdxwW
L
0
 
  AxdAxAOP
dWxWOP
L




0
• Carga distribuída pode ser substituída por uma
força concentrada, cuja magnitude da área
da curva da carga distribuída e localizada no
centróide desta.

Exemplo 5.9
03/05/2012 28
Determinar as reações na
viga.
II
I

Exemplo 5.9
03/05/2012 29
Componente F (N) ¯x (m) ¯xF (Nm)
I ½(6)(3000)=9000 4 36000
II (6)(1500)=9000 3 27000
ΣA=18x1o3 Σ¯xA = 63000
kN18
mkN63 
X m5.3X

Exemplo 5.9
03/05/2012 30
     0m.53kN18m6:0  yA BM
7,5 kNyA
0 : 18 0y y yF A B
kN5.10yB

Exemplo 5.9

Exemplo

Determinar Reações
03/05/2012 33
2.a)
2.b)
2.c)
2.d)
2.f)
2.e)

Determinar Reações
03/05/2012 34
2.f)
2.h)
2.g)
2.i)

Determinar d e w, resultante das forças e
momento em A é nulo
03/05/2012 35
2.j)

Substituir a ação do vento no ponto O
03/05/2012 36
2.k)

Sistemas equivalente em (A) e (B)
03/05/2012 37
2.l)

Determinar a posição (a) e intensidade (b) da
carga distribuída para que as resultantes das
forças e momentos sejam nulas.
03/05/2012Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 308 - 2012.1 38
2.m)

Problema 5.59 Beer 9ed.
 Determine a capacidade, em litro, da tigela
sabendo que R é 250 mm

Problema 5.60 Beer 9 ed.
 Três perfis de polia devem ser avaliadas. Sabendo que a capacidade de
transmissão é proposicional à área de contato entre correia e polia. Determine
as áreas de contato de cada perfil, considere que a correia envolve metade
da circunferência da polia.

Análise de Área e Cargas Distribuídas

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