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  • MOISES VILLENA Vectores en R3 1 1.1 Definición 1.2 Enfoque geométrico 1.3 Igualdad 1.4 Operaciones 1.5 Aplicaciones Objetivos. Se persigue que el estudiante: • Represente geométricamente un vector de R 3 • Determine magnitud y dirección de un vector. • Sume vectores, multiplique por un escalar a un vector, obtenga el productor escalar y el producto vectorial entre vectores • Obtenga el área de un paralelogramo sustentados por dos vectores. • Obtenga el volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores. 1
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienendefiniciones y propiedades de los vectores en el espacio.1.1 DEFINICIÓN Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: → v = ( x, y , z )1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO 3 Geométricamente a un vector de R se lo representa en el Espaciocomo un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos P ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si 1trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una → ⎯ ⎯→representación del vector v = P P2 = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z1 − z 2 ) 1 z P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ) → v P1 = ( x1 , y1 , z1 ) y x Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes enel espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realizaubicando al vector con el origen como punto de partida. z P ( x, y , z ) → v y x 2
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 1.2.1 Magnitud o norma → Sea v = ( x, y, z ) . La magnitud o norma de v → → denotada como v , se define como: → v = x2 + y2 + z 2 Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define elvector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. → Para v = ( x2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) sería: → v = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 1.2.2 Dirección → La dirección de v = ( x, y, z ) está definida por la medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x , y , z z → γ v α β y x Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores. 3
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 Observe que: x x Cosα = → = v x2 + y2 + z2 y y Cosβ = → = v x + y2 + z2 2 y y Cosγ = → = v x2 + y2 + z2 Ejercicio. Demostrar que cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 1.2.3 Sentido → El sentido de v lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta. 31.3 IGUALDAD DE VECTORES DE R → → Dos vectores v1 = (x1 , y1 , z1 ) y v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) son iguales si y sólo si x1 = x2 , y1 = y2 y z1 = z 21.4 OPERACIONES 1.4.1 Suma → → Sean v1 y v2 dos vectores de R tales que 3 → → v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) entonces la → → → → suma de v1 con v2 , denotada como v1 + v2 , se define como: → → v1 + v2 = ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 ) 4
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 1.4.1.1 Propiedades → → → Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 , entonces: → → → → 1. v1 + v2 = v2 + v1 la suma es conmutativa v1 + ⎛ v2 + v3 ⎞ = ⎛ v1 + v2 ⎞ + v3 → → → → → → 2. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ la suma es asociativa ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → → → → 3. ∃ 0 ∈ R , ∀ v ∈ R tal que v + 0 = v , 3 3 → Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro ∃⎛ − v ⎞ ∈ R 3 tal que v + ⎛ − v ⎞ = 0 → → → → → 4. ∀v∈R , ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ → ⎞ Donde ⎜ − v ⎟ es llamado Vector Inverso Aditivo de v → ⎝ ⎠Geométricamente: z → 2 v → v1 = ( x1 , y1 , z1 ) → 1 + v → v2 = (x2 , y 2 , z 2 ) y x → → Los vectores v1 y v2 sustentan un paralelogramo, el vector de ladiagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es elVector Diferencia. 1.4.2 Multiplicación por escalar → Sea α ∈ R y v = ( x, y, z ) un vector de R 3 entonces: → α v = (αx, αy, αz ) 5
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 1.4.2.1 Propiedades ⎡α ⎛ v + v ⎞ = α v + α v ⎤ → → →→ → → 1. ∀α ∈ R, ∀ v1 , v2 ∈ R ⎢ ⎜ 1 2 ⎟ 3 2⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 1 3⎡ ⎤ → → → → 2. ∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R ⎢(α + β ) v = α v + β v ⎥ ⎣ ⎦ ∀α , β ∈ R, ∀ v ∈ R 3 ⎡α ⎛ β v ⎞ = (αβ ) v ⎤ → → → 3. ⎢ ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦ → Cualquier vector de R3 , v = ( x, y, z ) , puede ser expresado en → →combinación lineal de los vectores i = (1,0,0) , j = (0,1,0) y k = (0,0,1) → → v = ( x, y, z ) = x(1,0,0 ) + y (0,1,0 ) + z (0,0,1) → → → → v = x i + y j+ z k 1.4. 3. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno → → Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores → → de R 3 . El Producto escalar de v1 con v2 denotado → → como v1 • v2 se define como: → → v1 • v2 = x1 x2 + y1y2 + z1 z 2 Ejemplo → → Si v1 = (3,1,−2) y v 2 = (− 1,4,0) entonces → → v1 • v 2 = (3)(− 1) + (1)(4) + (− 2)(0) = −3 + 4 + 0 = 1 1.4.3.1 Propiedades → → Sean v1 y v2 vectores de R 3 . Entonces: → → → → 1. v1 • v2 = v2 • v1 6
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 2. v1 • ⎛ v2 + v3 ⎞ = v1 • v2 + v1 • v2 → → → → → → → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ α v ⎞ • ⎛ β v ⎞ = αβ⎛ v • v ⎞ → → → → 3. ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → Si v = ( x, y, z ) entonces: → → v • v = ( x, y , z ) • ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 . → → → 2 → → → Por lo tanto v • v = v o también v = v• v 1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz → → Sean v1 = ( x1 , y1 , z1 ) y v2 = ( x2 , y2 , z 2 ) vectores → → de R 3 . El Producto Vectorial de v1 con v2 → → denotado como v1 × v2 se define como: → → v1× v2 = ( y1 z 2 − z 1 y2 ,−( x1 z 2 − x2 z1 ), x1 y2 − y1 x2 ) Una manera práctica para obtener el resultado de la operación ProductoCruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primerafila: i j k → → v1 × v2 = x1 y1 z1 x2 y2 z2 Ejemplo. → → Sea v1 = (1,2,−1) y v 2 = (2,−1,0 ) entonces i j k → → v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k 2 −1 0 7
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 1.4.4.1 Propiedades. → → → Sean v1 , v2 y v3 vectores de R 3 1. El vector ⎛ v1× v2 ⎞ es tanto perpendicular a → → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → → v1 como a v 2 2. El sentido del vector ⎛ v1 × v2 ⎞ se lo puede → → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ obtener empleando la mano derecha. → Mientras los dedos se dirigen desde v1 → hacia v2 , el pulgar indica la dirección de ⎛v × v ⎞. → → ⎜ 1 2⎟ ⎝ ⎠ → → v1× v2 → v2 • • → v1 3. v1 × v2 = −⎛ v2 × v1 ⎞ → → → → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ → → → 4. v1 × v1 = 0 → → → → → 5. Si v1 // v 2 entonces v1 × v 2 = 0 ⎛α v ⎞ × ⎛α v ⎞ = α α ⎛ v × v ⎞ → → → → 6. ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ 2⎜ 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎝ ⎠ 7. v1 × ⎛ v2 + v3 ⎞ = ⎛ v1 × v2 ⎞ + ⎛ v1 × v3 ⎞ → → → → → → → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 → 2 2 8. v1 × v 2 = v1 v 2 − ⎛ v1 • v 2 ⎞ → → → → → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, seobtiene un resultado muy importante: 8
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 → 2 → 2 → 2 2 → ⎛→ →⎞ v1 × v 2 = v1 v2 − ⎜ v1 • v 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 → 2 → 2 ⎛ → → ⎞ = v1 v2 − ⎜ v1 v 2 cos θ ⎟ ⎝ ⎠ → 2 → 2 → 2 → 2 = v1 v2 − v1 v2 cos 2 θ [1 − cos θ ] → 2 → 2 = v1 v2 2 → → 2 → 2 → 2 v1 × v 2 = v1 v 2 sen 2θ Finalmente: → → → → v1 × v 2 = v1 v 2 senθ 1.5 APLICACIONES 1.5.1 CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES. → → Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observe la figura: → v1 → v1 h θ → → v2 v2 → Tomando como base a v2 , tenemos: Area = base • altura → = v2 h h → → Observe que senθ = → entonces Area = v 2 v1 senθ v1 Y por la propiedad del producto cruz: → → Area = v1 × v 2 9
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 Ejemplo 1 → Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores v1 = (1, 2,−1) y → v 2 = (2,−1, 0 ) SOLUCIÓN: → → El área del triángulo sustentado por dos vectores v1 y v 2 es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir: → → v1 × v 2 Area Triángulo = 2 i j k → → Como v1 × v 2 = 1 2 − 1 = −i − 2 j − 5k 2 −1 0 entonces → → v1 × v 2 (− 1)2 + (− 2)2 + (− 5)2 30 Area Triángulo = = = 2 2 2 Ejemplo 2 Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos (1,−2,0 ) , (1,1,1) y (− 2,0,1) SOLUCIÖN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo. P2 (1,1,1) → v1 P (1,−2,0 ) → P3 (− 2,0,1) 1 v2 → → En este caso, v1 = P1 P2 = (1 − 1, 1 − (−2), 1 − 0 ) = (0,3,1) → → v 2 = P2 P3 = (− 2 − 1, 0 − (−2), 1 − 0 ) = (− 3,2,1) Entonces, i j k → → v1 × v 2 = 0 3 1 = i − 3 j − 9k −3 2 1 → → v1 × v 2 (1)2 + (− 3)2 + (9)2 91 Area Triángulo = = = 2 2 2 10
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 1.5.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES → → → Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura. → → v1 × v 2 → h v3 h → v2 • → v1 → → Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura → → → h del paralelepípedo será la proyección escalar v3 sobre v1 × v2 , entonces: Volumen = Area base × altura → → Donde Area base = v1 × v 2 ⎛→ →⎞ → → ⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3 altura = h = Pr oy → → v3 = ⎝ → ⎠ → v1 ×v2 v1 × v 2 Por tanto. ⎛v × v ⎞ • v → → → ⎜ 1 2⎟ 3 Volumen = v1 × v2 ⎝ → ⎠ → → → v1 × v2 Finalmente, simplificando resulta: Volumen = ⎛ v1 × v 2 ⎞ • v3 → → → ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO → → →ESCALAR de los vectores v1 , v 2 y v3 , y su interpretación es el volumen del → → →paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v 2 y v 3 . Observe además queno importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?. 11
  • MOISES VILLENA Vectores en R3 Ejemplo → Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores v1 = (1,−2,1) , → → v 2 = (2,0,−1) y v3 = (1,2,3) . SOLUCIÖN. Por lo definido anteriormente, 1 −2 1 ⎛→ →⎞ → Volumen = ⎜ v1 × v 2 ⎟ • v3 = 2 0 − 1 = 2 + 14 + 4 = 20u 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 Ejercicios propuestos → → ˆ j ˆ ˆ j ˆ 1. Sean los vectores V1 = 3i − 2 ˆ + 4k y V2 = 3i + 3 ˆ − 2k . → → a) Determinar la proyección vectorial de V1 sobre el vector V2 . → → b) Calcular la componente de V1 perpendicular a V2 . ⎯ ⎯→ ( ) → Resp. a) Pr oy → V1 = − 15 ,− 15 , 10 22 22 22 b) V2 → → ˆ j ˆ ˆ j ˆ 2. Sean los vectores A = Ax i − 5 ˆ + 2k y B = −3i + 2 ˆ − B z k . Calcule los valores de Ax y → → Bz para los cuales A× B es paralelo a: a) al eje x b) al eje y Resp. a) Ax = 15 2 Bz = 4 5 b) Ax = 15 2 Bz = 4 5 3. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6) Resp. Area = 174 2 4. Dados tres vectores V1 = (5,2,6) , V2 = (−1,8,3) , V3 = (2,−7,4) forman un tetraedro con vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen. Resp. h = 77 746 5. Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp. h = 938 5459 6. Sean u y v vectores no nulos, diferentes tales que: w1 = u + v , w2 = u − v , w3 =1 2 (u + v ) . Hallar w1 • (w2 × w3 ) Resp. 0 → → 7. Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el → → → → U•V → → vector W = U − V es ortogonal a V . 2 → V → → → → → → 8. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a c V + d W para escalares cualquiera cyd. → → 9. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores A , B y → 1 ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ C , es ⎜ B − A ⎟ × ⎜ C − A ⎟ 2⎜⎝ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ → → → → → → 10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas A + B , B + C y C + A y es el doble → → → del volumen del tetraedro de aristas A , B y C . 11. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares. 12