Problem solving pak sigit
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Problem solving pak sigit

on

  • 114 views

 

Statistics

Views

Total Views
114
Views on SlideShare
114
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
0
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Problem solving pak sigit Problem solving pak sigit Document Transcript

  • Memecahkan Masalah yang Berkaitan dengan Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma Oleh: Sigit Tri Guntoro 1. Dua orang berselisih mengenai banyaknya pasangan bilangan bulat ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ yang memenuhi persamaan ૚ ൅ ૛࢞ ൅ ૛૛࢞ା૚ ൌ ࢟૛ . Orang pertama mengatakan penyelesaiannya tak hingga dan orang kedua mengatakan berhingga. Buktikan mana yang benar? Penyelesaian: Soal di atas bentuknya menemukan sehingga dapat dilakukan metode trial and check, seperti pada umumnya. Tetapi karena yang diperlukan “semua pasangan berurutan” maka dengan trial saja tidak cukup. Oleh karena itu diperlukan cara lain yaitu mendaftar semua kemungkinan. Cara ini memerlukan kejelian, ketelitian dan analisis yang mendalam. Perhatikan dan cermati pembahasan berikut. Menentukan semua pasangan bilangan bulat ሺ‫,ݔ‬ ‫ݕ‬ሻ yang memenuhi ૚ ൅ ૛࢞ ൅ ૛૛࢞ା૚ ൌ ࢟૛ (1) Untuk ‫ݔ‬ bulat negatif jelas tidak mungkin karena tidak menghasilkan ‫ݕ‬2 bulat Untuk ‫ݔ‬ = 0 maka 212 221 yxx =++ + ⇔ 210 221 y=++ ⇔ 4 ൌ ‫ݕ‬ଶ . Jadi ‫ݕ‬ ൌ 2 atau ‫ݕ‬ ൌ െ2. Sehingga diperoleh (0,2) dan (0,-2) merupakan salah satu penyelesaiannya. Untuk ‫ݔ‬ ൌ 1 maka 212 221 yxx =++ + ⇔ 231 221 y=++ ⇔ 11 ൌ ‫ݕ‬ଶ . Tidak ada bilangan bulat ‫ݕ‬ yang memenuhi. Observasi untuk ‫ݔ‬ ൒ 2 Misalkan pasangan bilangan bulat ሺܽ, ܾሻ memenuhi (1) maka ܽ ൒ 2 dan jelas ܾ ് 0 (2) Dengan demikian ሺܽ, ܾሻ dan ሺܽ, െܾሻ merupakan solusinya. Dengan tidak mengurangi keumuman, ambil b yang positif. Karena (a,b) memenuhi (1) maka 212 221 baa =++ + ⇔ 122 212 −=+ + baa ⇔ 1)21(2 21 −=+ + baa = )1)(1( +− bb (3) Dari hasil ini nampak bahwa )1)(1( +− bb genap karena kelipatan 2. Jelas bahwa keduanya baik )1( −b maupun )1( +b genap, khususnya salah satu factor pasti habis dibagi 4 (ingat: dua bilangan genap berurutan pasti salah satu merupakan kelipatan 4). Mengingat (1), (2) dan (3) maka ܾ ൒ 3. Selanjutnya,
  • )1)(1()21(2 1 +−=+ + bbaa ⇔ a a bb 2 )1)(1( 21 1 +− =+ + . Karena 1 21 + + a ganjil maka )1( −b dan )1( +b keduanya tidak habis dibagi 2a . Disamping itu, untuk )1( +b habis dibagi 4 maka 11 1 2 )1( .2.2 )1)(1( 2 )1)(1( 21 −− + + = +− = +− =+ aaa a bAbbbb ,untuk A ganjil. Berarti A tidak habis dibagi 1 2 −a . Akibatnya )1( +b habis dibagi 1 2 −a . Dengan cara yang sama, untuk )1( −b habis dibagi 4 maka )1( −b habis dibagi 1 2 −a (i) Kasus 1: )1( −b habis dibagi 4 Maka mb a 1 2)1( − =− dan m ganjil karena )1( −b tidak habis dibagi a 2 . Atau ditulis 12 1 += − mb a Substitusi ke (1), sehingga diperoleh 12 221 + ++ aa = 21 )12( +− ma ⇔ 12 22 + + aa = 1)12( 21 −+− ma ⇔ )21(2 1+ + aa = mm aa 22 222 +− = mm aaa 22.2 22 +− ⇔ 1 21 + + a = mma +− 22 2 ⇔ 1 –m = 22 2 ma− – 1 2 +a ….. (4) ⇔ 1 – m = 22 2 ma− – 1 2 +a = )8(2 22 −− ma 2 )8( 2 −m Dari sini diperoleh ⇔ , dengan penyelesaian . Mengingat bilangan ganjil positip maka diperoleh . Kemudian disubstitusike (4), sehingga diperoleh = 22 12 −a – 1 2 +a ⇔ 12 22 +− = aa . Tidak ada nilai yang memenuhi persamaan ini. Jadi untuk tidak berlaku. (ii) Kasus 2: habis dibagi 4 Maka mb a 1 2)1( − =+ dan m ganjil karena )1( +b tidak habis dibagi a 2 . Atau ditulis 12 1 −= − mb a
  • Substitusike (1), sehingga diperoleh 12 221 + ++ aa = 21 )12( −− ma ⇔ 12 22 + + aa = 1)12( 21 −−− ma ⇔ )21(2 1+ + aa = mm aa 22 222 −− = mm aaa 22.2 22 −− ⇔ 1 21 + + a = mma −− 22 2 ⇔ 1 +m = 22 2 ma− – 1 2 +a …. (5) ⇔ 1 +m = 22 2 ma− – 1 2 +a = )8(2 22 −− ma ≥ 2 )8( 2 −m Dari sini diperoleh dengan penyelesaian . Mengingat m bilangan ganjil positip maka diperoleh atau . Untuk , jika disubstitusi ke (5) menghasilkan yang tidak bulat. Berarti m=1 tidak berlaku (sama seperti kasus 1). Untuk maka dengan menggunakan (5) diperoleh . Selanjutnya dengan menggunakan (1) diperoleh . Karena juga merupakan penyelesaian maka didapatkan penyelesaian dan . Dengan demikiandi peroleh kesimpulanbahwa solusi da ri (1) adalah (0,2), (0,-2), (4,23) dan (4,-23).Jadi orang kedua yang benar. 2. Suatu tim pemadam kebakaran sedang mengadakan latihan. Di area latihan ada gang sempit yang berada di antara Gedung 1 dan Gedung 2 seperti tampak pada gambar. Gang tersebut tidak dapat digunakan untuk berpapasan, sehingga dibuat aturan: masuk dari A dan keluar melalui B. Pada suatu saat, ketika ada 30 orang petugas berada di dalam gang, tiba-
  • tiba terjadi kebakaran di sekeliling gedung. Mereka panik, sehingga tidak memperhatikan arah, banyak sekali terjadi tabrakan diantara petugas, yang penting dapat keluar menuju pintu A atau B untuk menyelamat kandiri sekaligus memadamkan api. Setiap terjadi tabrakan, mereka akan berbalik arah karena gang tidak bisa untuk berpapasan. Biasanya waktu yang diperlukan untuk melewati gang (dari A ke B atau sebaliknya) adalah 2 menit. Sementara itu waktu yang diperlukan untuk memadamkan api diperkirakan mengikuti rumus menit, dengan adalah waktu (dalam menit) yang digunakan untuk semua petugas keluar dari gang. Berapa lama api dapat dipadamkan? (diasumsikan: setiap petugas mempunyai kemampuan sama dalam segala hal) Penyelesaian: Untuk menyelesaikan masalah ini, sederhanakan dahulu permasalahannya. Misalkan seorang petugas masuk gang melalui A. Kemudian bertemu dengan petugas lain yang masuk melalui B di C dan mereka berbalik arah. Keduanya berkecepatan sama. Perhatikan ilustrasi di bawah. BA C vv BA C BA C vv Perhatikan bahwa karena kecepatan kedua orang sama maka sebenarnya tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah. Kembali pada masalah awal, karena waktu yang diperlukanuntuk melewati gang adalah 2 menit dan tidak ada perbedaan waktu (yang diperlukan untuk mereka keluar dari gang) antara berpapasan dan balik arah, maka waktu yang diperlukan untuk 30 petugas keluar dari gang adalah 2 menit. Jadi waktu yang diperlukan untuk memadamkan api adalah e2 menit.