Your SlideShare is downloading. ×
Gelombang
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Gelombang

237

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
237
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
7
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Catatan Kuliah Gelombang Sri Soejati, M.Eng.Sc, Dede Djuhana, M.Si dan Iwan Sugihartono, M.Si Departemen Fisika-QUE Project Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2004 Copyright© 2004 Que Project Departemen Fisika
  • 2. Kata pengantar Rasa syukur yang mendalam kami panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan Buku catatan kuliah gelombang. Buku ini merupakan catatan kuliah yang diajarkan dalam kuliah gelombang di Departemen Fisika pada semester tiga. Pembuatan buku ini didanai dari kegiatan Teaching Grant–QUE Project Departemen Fisika Agustus 2003 sampai Maret 2004. Materi buku ini hampir sebagian besar diambil dari buku The physics of vibrations and Waves karangan H.J. Pain. Buku catatan ini seluruhnya dikerjakan dengan menggunakan LATEX 2ε yaitu program pen- golah kata(typesetting program) yang banyak digunakan dalam penulisan ilmiah. Dan pada kesempatan ini kami ingin mengucapkan terima kasih kepada saudara Dede Djuhana dan Iwan Sugihartono yang membantu dalam penyelesaian buku ini. Tidak ada gading yang tak retak demikianlah ungkapan untuk buku ini yang jauh dari sem- purna. Akhir kata kami berharap semoga buku ini dapat memberikan manfaat bagi mahasiswa dalam mengikuti kuliah gelombang. Depok, Agustus 2004 Sri Soejati, M.Eng.Sc i
  • 3. Daftar Isi Kata Pengantar i Daftar Isi ii Daftar Tabel v Daftar Gambar vi 1 Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 1 1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Energi dari GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Superposisi 2 GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda . . . . . . 4 1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama . . . . . . . . . . 4 1.4 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.2 Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2 . . . . . . . . 6 1.5 Superposisi sejumlah n GHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap 7 1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang . . . . . 8 1.6 Gerak Harmonik Teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.1 Energi dissipasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 13 2.1 Osilator Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Osilator Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Daya dari gaya memaksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ii
  • 4. iii DAFTAR ISI 3 Osilasi Terkopel 21 3.1 Osilator terkopel dengan kopling pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan . . . 23 3.3 Metode umum penentuan frekuensi modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Kopling massa atau induktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 Osilator terkopel pada dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Gelombang Transversal 32 4.1 Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Persamaan Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan . . . . . . . . . . . 36 4.5 Refleksi dan Transmisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.6 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.7 Energi dawai bervibrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.9 Gelombang grup dan teorema lebar band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . 47 4.12 Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.13 Efek Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5 Gelombang Longitudinal 50 5.1 Gelombang bunyi dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2 Energi distribusi pada gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 Intensitas gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4 Impedansi akustik spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6 Gelombang longitudinal kawat elastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.7 Gelombang longitudinal dalam zat padat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.8 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.9 Gelombang longitudinal dalam struktur periodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.10 Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas . . . . . . . . . . . . . . . 57 6 Gelombang dimensi lebih dari satu 59 6.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Persamaan gelombang dua dimensi(2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3 Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide)) . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.4 Modus normal pada membran segiempat 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.5 Gelombang tiga dimensi(3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Teaching Grant QUE–Project
  • 5. DAFTAR ISI iv 6.6 Modus Normal dalam 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.8 Teori Debye kalor spesifik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7 Gelombang pada jalur transmisi 69 7.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.3 Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Refleksi dari ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Daftar Pustaka 74 Daftar Indek 75 Teaching Grant QUE–Project
  • 6. Daftar Tabel 1.1 Sistem persamaan gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 v
  • 7. Daftar Gambar 1.1 (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar, (c)Sistem pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan tidak viskos dan (f) Resonator akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada leher botol dan mengalami proses adiabatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Grafik x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0. . . . . . . . . 3 1.3 Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap jarak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada kecepatan sudut ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Superposisi dua gerak harmonik sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus . . 5 1.7 Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing- masing a dan beda fase δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 Gerak harmonik teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.9 Teredam berat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.10 Teredam kritis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.11 Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan log- aritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik Ze = R + i(ωL − 1/ωC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Grafik variasi φ versus ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa . . . . . . . . 17 vi
  • 8. vii DAFTAR GAMBAR 2.7 Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BAo,BAi=vektor tran- sien yang panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan arah jarum jam dan OAi=Amplitudo total pada waktu tertentu. . . . . . . . . . . . 18 2.8 Grafik Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω2 − ω1 adalah interval frekuensi pada saat Prerata = 1 2 Prerata msk. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva absorpsi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1 Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh sebuah kawat tak bermassa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat normal X dan Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak sefase Y dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus). . . . . . . . . . . . . 25 3.5 Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Ter- lihat pada gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari nol ke 2a dan terjadi pergantian energi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.6 Modus normal vibrasi triatomik molekul CO2 dan H2O. . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.7 Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M. . . . . . . . . . . 27 3.8 Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang dan (c) kopling lemah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.9 (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T . . . . . . 29 4.1 Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan se- buah variabel tetap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif . . . . . . . . . . . 34 4.4 Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.5 Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0eiωt . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6 Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1c1 pada batas x=0 di- mana kawat mengalami perubahan impedansi ρ2c2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.7 Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan impedansi Z2. Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.8 Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap . 40 4.9 Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan ω2 yang kecil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.10 Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dis- persi normal (c) anomali dari hubungan dispersi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Teaching Grant QUE–Project
  • 9. DAFTAR GAMBAR viii 4.11 Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n = √ terhadap ω dan λ, dimana ωo frekuensi atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus . . . . . . . . . . 44 4.12 Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan beda frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai kurva kosinus pada frekuensi rata-rata ¯ω amplitude modulasi sin α/α. . . . . . . 45 4.13 Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang menggambarkan struktur periodik dalam atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.14 Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal . . . 48 4.15 Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal dalam kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.1 Gelombang longitudinal dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Persamaan gelombang dalam gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial pmvm/2 dikuatkan oleh gas dalam kompresi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4 Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial dan kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel ˙η adalah maksimum dan nol pada ˙η = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5 Gelombang longitudinal dalam kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.6 Refleksi dan transmisi gelombang bunyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.1 Gelombang bidang menjalar searah k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Membran dengan ukuran δx × δy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3 Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak terhingga saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k2 tiap refleksi . . . . . . . . . . 62 6.4 Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3 . 63 6.5 Mode normal membran persegi dalam arah k sesuai kondisi batas dari perge- seran nol pada ujungnya a = n1λ/2 cos α dan b = n2λ/2 cos β . . . . . . . . . . . 64 6.6 Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir menyatakan gerakan sinusiodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.7 Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai frekuensi yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan . . . . 66 6.8 Grafik radiasi benda hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.9 grafik Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.1 Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi Lo(H/m) dan kapa- sitansi Co(F/m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Refleksi di ujung jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.3 Efek hambatan dalam jalur transmisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.4 Tegangan dan arus pada ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Teaching Grant QUE–Project
  • 10. BAB 1 Gerak Harmonik Sederhana & Teredam Gerak harmonik sederhana adalah gerakan di sekitar titik kesetimbangan bergerak bolak balik dengan simpangan berbentuk garis lurus. Beberapa contoh gerak harmonik sederhana ditun- jukkan pada Gambar.1.1 dan sistem persamaan geraknya dirumuskan seperti pada Tabel.1.1 Tabel 1.1: Sistem persamaan gerak harmonik sederhana Sistem Persamaan gerak Bandul matematik m¨x + mg x l = 0; ω2 = g l Piringan datar I ¨θ + Cθ = 0; ω2 = C I Pegas m¨x + sx = 0; ω2 = s m Dawai m¨y + 2T y l = 0; ω2 = 2T ml Pipa-U ¨x + 2g l x = 0; ω2 = 2g l Resonator Helmholtz ¨x + γP A lρV x = 0 Hidrometer ¨x + Aρg m x = 0 1.1 Persamaan gerak harmonik sederhana Persamaan gerak harmonik tanpa peredaman ¨x + ωx = 0 (Mekanik) (1.1) ¨q + ωq = 0 (Listrik) (1.2) 1
  • 11. Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 2 l x mg θ (a) θ (b) x s m (c) m TT y θ (d) x x 2x (e) V ρ l x (f) Gambar 1.1: (a)Bandul matematik, (b)Piringan datar yang tergantung pada tali/kawat tegar, (c)Sistem pegas, (d)Dawai dengan tegangan tali T tetap, (e)Pipa U berisi cairan tidak viskos dan (f) Resonator akustik Helmholtz dimana gas berosilasi pada leher botol dan mengalami proses adiabatik Penyelesaian persaaan gerak x = A cos ωt + B sin ωt (1.3) = a sin(ωt + φ) (1.4) 1.2 Energi dari GHS (a) Energi kinetik GHS dari bandul dengan massa m adalah EK = 1 2 m ˙x2 = 1 2 ma2 ω2 cos2 (ωt + φ) (1.5) (b) Energi potensial dari bandul adalah EP = 1 2 s ˙x2 = 1 2 sa2 sin2 (ωt + φ) ; ω = s m (1.6) Teaching Grant QUE–Project
  • 12. 3 Energi dari GHS Gambar 1.2: Grafik x vs t dengan titik awal pada siklus dalam sudut fase φ = 0. (c) Energi total dari bandul E = EK + EP = 1 2 ma2 ω2 = 1 2 sa2 (1.7) Gambar 1.3: Grafik energi potensial dan energi kinetik gerak harmonik sederhana terhadap jarak Analog untuk GHS dari muatan pada rangkaian listrik LC yaitu E = 1 2 L ˙q2 + 1 2 q2 C ; q = qo sin(ωt + φ) = muatan (1.8) = ω2L 2 q2 o cos2 (ωt + φ) + 1 2C q2 o sin2 (ωt + φ) (1.9) Teaching Grant QUE–Project
  • 13. Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 4 1.3 Superposisi 2 GHS 1.3.1 Satu dimensi,frekuensi sama dan amplitudo dan fase berbeda Pandang suatu GHS berikut: x1 = a1 cos(ωt + φ1) dan x2 = a2 cos(ωt + φ2) dengan beda fase φ2 − φ1 = δ. Resultan dari GHS adalah x1 + x2 = R cos(ωt + θ) (1.10) R2 = (a1 + a2 cos δ)2 + (a2 sin δ)2 = a2 1 + a2 2 + 2a1a2 cos δ θ = arctan a1 sin φ1 + a2 sin φ2 a1 cos φ1 + a2 cos φ2 Gambar 1.4: Penjumlahan vektor dari gerak harmonik sederhana sepanjang sumbu x pada kecepatan sudut ω 1.3.2 Satu dimensi, beda frekuensi, amplitudo dan fase sama Pandang suatu GHS berikut: x1 = a sin(ω1t) dan x2 = a sin(ω2t) dengan ω2 > ω1 dan ω2 −ω1 > 0 merupakan frekuensi pelayangan. Resultan dari GHS x = x1 + x2 = a(sin ω1t + sin ω2t) = 2a sin ω1 + ω2 2 cos ω2 − ω1 2 t (1.11) 1.4 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus 1.4.1 Frekuensi sama, amplitudo dan fase berbeda Perbedaan fase (φ2 − φ1 = δ), kedua GHS itu adalah x = a1 sin(ωt) + φ1) (1.12) y = a2 sin(ωt + φ2) (1.13) Teaching Grant QUE–Project
  • 14. 5 Superposisi dari 2 GHS yang saling tegak lurus Gambar 1.5: Superposisi dua gerak harmonik sederhana Vibrasi partikel akibat menerima kedua getaran dalam bentuk x , y , φ2 , φ1 adalah dengan cara: x a1 = sin ωt cos φ1 + cos ωt sin φ1 (1.14) y a2 = sin ωt cos φ2 + cos ωt sin φ2 dan x a1 sin φ2 − y a2 sin φ1 2 + y a2 cos φ1 − x aa cos φ1 2 = x2 a2 1 sin2 φ2 + y2 a2 2 sin2 φ1 − 2 xy a1a2 sin φ1 sin φ2 + x2 a2 1 cos2 φ2 + y2 a2 2 cos2 φ1− 2 xy a1a2 cos φ1 cos φ2 = x2 a2 1 + y2 a2 2 − 2xy a1a2 cos(φ2 − φ1) = sin2 (φ2 − φ1) Persamaan (1.15) merupakan persamaan elips yang merupakan lintasan gerakan partikel. Gambar 1.6: Lintasan yang dibentuk dari sistem bergerak simultan yang saling tegak lurus Teaching Grant QUE–Project
  • 15. Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 6 1.4.2 Amplitudo dan fase berbeda dan periode perbandingan 1:2 Kedua GHs dinyatakn sebagai: x a1 = sin(2ωt + φ1) dan y x2 = sin(ωt + φ2) x a1 = sin(2ωt + φ1) = sin 2ωt cos φ1 + sin φ1 cos 2ωt (1.15) = 2 sin ωt cos ωt cos φ1 + (1 − 2 sin2 ωt) sin φ1 y a2 = sin(ωt + φ2) = sin ωt cos φ2 + sin φ2 cos ωt (1.16) Untuk memudahkan penjabaran diadaikan φ = φ1 − φ2 = φ1 karena φ2 = 0 sehingga : x a1 = 2 sin ωt cos φ1(1 − sin2 ωt)1/2 + (1 − 2 sin2 ωt) sin φ1 dan y a2 = sin ωt (1.17) Eliminasi nilai t menjadi: x a1 = 2 y a2 cos φ 1 − y2 a2 2 1/2 + 1 − 2 y2 a2 2 sin φ (1.18) dan x a1 − (1 − 2y2 a2 2 sin φ 2 = 4y2 a2 2 1 − y2 a2 2 cos2 φ x a1 − sin φ + 2y2 a2 2 sin φ 2 = 4y2 a2 2 cos2 φ − 4y4 a4 2 cos2 φ x a1 − sin φ 2 + 4y4 a4 2 sin2 φ + 4y2 a2 2 sin φ x a1 − sin φ = x a1 − sin φ 2 + 4y4 a4 2 sin2 φ +4y2x a2 2a1 sin φ − 4y2 a2 2 sin2 φ = 4y2 a2 2 cos2 φ − 4y4 a4 2 cos2 φ x a1 − sin φ 2 + 4y2x a2 2a1 sin φ = −4y4 a4 2 + 4y2 a2 2 x a1 − sin φ 2 + 4y2 a2 2 y2 a2 2 + x a1 sin φ − 1 = 0 (1.19) Kemudian bila bentuk φ dituliskan kembali dalam φ1 − φ2 maka persamaan (1.19) dapat dit- uliskan: x a1 − sin(φ1 − φ2) 2 + 4y2 a2 2 y2 a2 2 + x a1 sin(φ1 − φ2) − 1 = 0 (1.20) Persamaan(1.20) adalah persamaa dengan dua loop yang berbeda fase φ1 −φ2 dan amplitudo a1 dan a2 (a) Jika φ1 − φ2 = 0 dan φ1 − φ2 = π maka x a1 2 + 4y2 a2 2 y2 a2 2 − 1 = 0 (b) Jika φ1 − φ2 = π 4 maka x a1 − 1 2 √ 2 2 + 4y2 a2 2 y2 a2 2 + x a1 1 2 √ 2 − 1 = 0 (c) Jika φ1 − φ2 = π 2 maka x a1 − 1 2 + 4y2 a2 2 y2 a2 2 + x a1 − 1 = 0 x a1 − 1 2 + 4y2 a2 2 x a1 − 1 + 2y2 a2 2 2 = 0 x a1 − 1 + 2y2 a2 2 2 = 0 → x a1 − 1 + 2y2 a2 2 = 0 2y2 a2 2 = − x a1 − 1 → y2 = − a2 2 2 x a1 − 1 = − a2 2 2a1 (x − a1) (1.21) Suatu persamaan parabola cekung(concave) ke arah x Teaching Grant QUE–Project
  • 16. 7 Superposisi sejumlah n GHS 1.5 Superposisi sejumlah n GHS 1.5.1 Superposisi sejumlah n GHS yang sama amplitudo dan berbeda fase tetap Gambar 1.7: Vektor superposisi dari n gerak harmonik sederhana dengan amplitudo masing-masing a dan beda fase δ Gambar.1.7 menyatakan α adalah sudut fase resultan R=∠CAB ∠ABO = 180o−δ 2 = 90o − δ 2 = ∠OAB; ∠OAC = 180o−nδ 2 = 90o − nδ 2 sehingga α = ∠OAB − ∠OAC = (n − 1)δ/2. R menyatakan alas AOC dengan sudut puncak nδ → R = 2rsin nδ 2 . Ditinjau pada Gambar.1.5, R menyatakan amplitudo, fungsi getaran resultan diandaikan berbentuk R cos(ωt + α) dapat juga berbentuk R sin(ωt + α). R cos(ωt + α) = a cos ωt + a cos(ωt + δ) + a cos(ωt + 2δ) + a cos(ωt + 3δ) + · · · (1.22) dan R = 2r sin nδ 2 dengan a = 2r sin δ 2 atau r = a 2 sin δ/2 (1.23) = a sin nδ/2 sin δ/2 = disebut juga besar resultan ∴ R cos(ωt + α) = a sin nδ/2 sin δ/2 cos(ωt + (n − 1)δ/2)) = fungsi getaran R = a sin α sin δ/2 ; bila n → ∞ → α = (n − 1) δ 2 ≈ nδ 2 → α 2 = δ 2 ; sin δ 2 ≈ δ 2 = α 2 (1.24) R = a sin α α/n = na sin α α = na sinc(α) Analog diatas fungsi getaran R sin(ωt + α) = a sin ωt + a sin(ωt + δ) + a sin(ωt + 2δ) + a sin(ωt + 3δ) + · · · (1.25) R sin(ωt + α) = a sin nδ/2 sin δ/2 sin(ωt + (n − 1) δ 2 ) Teaching Grant QUE–Project
  • 17. Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 8 Secara matematis superposisi n GHS dalam bentuk komplek R ei(ωt+α) = a eiωt + a ei(ωt+δ) + a ei(ωt+2δ) + a ei(ω+3δ) + · · · = aeiωt (1 + eiδ + ei2δ + ei3α + · · · ) = a eiωt 1 − einδ 1 − eiδ = a eiωt einδ/2(e−inδ/2 − einδ/2) eiδ/2(e−iδ/2 − eiδ/2) = aei(ωt+(n−1) δ 2 ) −2i sin nδ 2 −2i sin δ 2 = a sin nδ 2 sin δ 2 cos(ωt + (n − 1)δ/2) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2) = R cos(ωt + α) + i sin(ωt + (n − 1)δ/2) (1.26) atau dapat dituliskan R cos(ωt + α) = a sin nδ 2 sin δ 2 cos(ωt + (n − 1)δ/2) (1.27) R sin(ωt + α) = a sin nδ 2 sin δ 2 sin(ωt + (n − 1)δ/2) 1.5.2 Superposisi n GHS denga amplitudo sama dan fase sembarang Jika R adalah resultan dengan komponen pada sumbu x (Rx) dan sumbu y (Ry) maka dapat dituliskan : R = (R2 x + R2 y)1/2 Rx = a cos φ1 + a cos φ2 + a cos φ3 + · · · = a n i=1 cos φi Ry = a sin φ1 + a sin φ2 + a sin φ3 + · · · = a n i=1 sin φi R2 x = a2 n i=1 cos2 φi = a2 cos2 φi + cos φi cos φj R2 x = 1 2 na2 ; R2 y = 1 2 na2 → R2 = na2 → R = √ na (1.28) Dikatakan ada n acak fasenya, amplitudo resultan adalah R = √ na dan intensitas getaran na2, sedangkan getaran/vibrasi hasil n GHS sefase mempunyai intensitas n2a2. 1.6 Gerak Harmonik Teredam Dalam keadaan sehari-hari adanya redaman, karena sistem resistif, viscous, friksi dll. Gaya redaman tergantung pada kecepatan atau r ˙x, dengan r=konstanta redaman=konstanta pro- porsional. Sehingga persamaan gerak harmonik teredam menjadi Teaching Grant QUE–Project
  • 18. 9 Gerak Harmonik Teredam Gambar 1.8: Gerak harmonik teredam m¨x = −sx − r ˙x (1.29) = gaya pulih+gaya redaman Dengan redaman, amplitudo gerakan tidak tetap, menurun menurut fungsi waktu, selain itu energi ada yang hilang. Secara terinci akan dilihat pergeseran (x) merupakan fungsi waktu (t). m¨x = −sx − r ˙x m¨x + sx + r ˙x = 0 (1.30) Andaikan penyelesaian x = Ceαt → ˙x = Cαeαt → ¨x = Cα2 eαt mCα2 eαt + rCαeαt + sCeαt = 0 (1.31) mα2 + rα + s = 0 α = − r 2m ± r2 4m2 − s m ∴ x = Ce(r/2m)t Amplitudo exp r2 4m2 − s m 1 2 t (1.32) Macam-macam gerak harmonik teredam yaitu: (a) Bila r2 4m2 − s m > 0 atau r2 4m2 > s m yaitu keadaan teredam berat sehingga dapat dituliskan x = e(r/2m)t (F cosh qt + G sinh qt) q = r2 4m2 − s m 1/2 (1.33) x = Ge(r/2m)t sinh qt t = 0, x = 0 → F = 0 (b) Bila r2 4m2 − s m = 0 atau r2 4m2 = s m yaitu keadaan teredam kritis x = e(r/2m)t (A + Bt) (1.34) Teaching Grant QUE–Project
  • 19. Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 10 Gambar 1.9: Teredam berat Contoh GHS terdeam kritis pada galvanometer balistik. Pada galvanometer dengan kondisi pada t = 0 → x = 0 dan ˙x = V → x = e(r/2m)t(A + Bt) dan berarti ˙x = − r 2m (A + Bt)e−(r/2m)t + Be−(r/2m)t V = − r 2m A + B (1.35) x = 0 = A → A = 0 → V = B x = V t e−(r/2m)t → t = 2m r → x = V 2m r e−1 Nilai t = 2m r disebut waktu minimum osilasi dicapai sebelum pergeseran menurun menjadi nol. Gambar 1.10: Teredam kritis Teaching Grant QUE–Project
  • 20. 11 Gerak Harmonik Teredam (c) Bila r2 4m2 − s m < 0 atau r2 4m2 < s m → ± r2 4m2 − s m 1/2 = ±i s m − r2 4m2 1/2 = ±iω (teredam ringan) x = Ce−(r/2m)t e±ω t = e−(r/2m)t C1eiω t + C2e−iω t diandaikan C1 = A 2i eiφ C2 = − A 2i eiφ = Ae−(r/2m)t A 2i ei(ω t+φ) − e−i(ω t+φ) = Ae−(r/2m)t sin(ω t + φ) Beberapa besaran yang menyatakan adanya redaman pada osilator (a) Logaritmic decrement (δ) δ = ln An An+1 An= amplitudo pada t = nτ ,τ = 2π ω =periode, An+1=amplitudo pada t = (n + 1)τ δ = ln An An+1 = ln Ae−(r/2m)nτ sin(ω t1 + φ) Ae−(r/2m)(n+1)τ sin(ω t2 + φ = ln e(r/2m)τ dengan ω t1 = 2nπ; ω t2 = (n + 1)2π → φ = π 2 Kalau r → δ artinya nisbah/ratio amplitudo mendekati satu atau penurunan amplitudo kecil. (b) Waktu relaksasi modulus=tr ialah saat amplitudo menjadi Aoe−1 (Ao=amplitudo pada saat t=0) Atr = Aoe−1 = Aoe−(r/2m)tr → tr = 2m r Waktu relaksasi perlu ditentukan karena pada osilasi ini sampai t → ∞(secara teori) (c) Q = Faktor kualitas = energi tersimpan dalam sistem energi yang hilang per siklus Jika amplitudo A = Aoe−rt/2m → E = A2 oe(−rt/2m)2 = Eoe−rt/m maka dE = −Eo r m e−rt/m dt = −r m Edt −dE = r m Eτ = r m E 1 ν (energi yang hilang dalam satu siklus) Q 2π = E −dE = E r/mEτ = m rτ = mν r = mω /2π r → Q = mω r Jika r kecil → ω = s m 1/2 = ωo → Q = mωo r dan r → Q . Alat dengan r mempunyai Q , seperti atom yang meradiasi elektron sama dengan osilator teredam mempunyai Q ≈ 108 Teaching Grant QUE–Project
  • 21. Bab1. Gerak Harmonik Sederhana & Teredam 12 Gambar 1.11: Perbandingan logaritma dari dua amplitudo satu periode disebut penurunan logaritma 1.6.1 Energi dissipasi Energi dissipasi ialah energi yang hilang pada redaman/hamburan dan dinyatakan besarnya dE dengan E = 1 2 m ˙x2 + 1 2 sx2 dE = d dt 1 2 m ˙x2 + 1 2 sx2 = m¨x ˙x + sx ˙x = ˙x(−r ˙x) → m ˙x + r ˙x + sx = 0 Energi yang hilang/dissipasi dE dt = −r ˙x2 menyatakan energi yang hilang persatuan waktu atau laju kerja melawan gaya friksi/gaya hambat. Teaching Grant QUE–Project
  • 22. BAB 2 Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) Pada bagian ini kita akan membahas mengenai osilator dengan gaya yang memaksa F = Fo cos ωt dan potensial V = Vo cos ωt pada masing-masig osilator mekanik dan listrik. Menurut hukum Kirchoff beda potensial pada rangkaian Gambar.2.1(a) adalah L dI dt + IR + q C = V (2.1) L d2q d2t + R dq dt + q C = Vo cos ωt Dalam bentuk osilator mekanik menjadi m¨x + r ˙x + sx = Fo cos ωt (2.2) (a) (b) Gambar 2.1: (a) Osilator listrik dan (b)Osilator mekanik 13
  • 23. Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 14 2.1 Osilator Listrik Osilator listrik dalam bentuk komplek dapat dituliskan L d2 ¯q d2t + R d¯q dt + ¯q C = Voeiωt (2.3) Bentuk penyelesaiannya adalah ¯q = ¯qoeiωt (2.4a) ˙¯q = ¯qo(iω)eiωt (2.4b) ¨¯q = ¯qo(−ω2 )eiωt (−¯qoω2 L + iω¯qoR + ¯qo C )eiωt = Voeiωt (2.4c) ¯qo = Vo iωR + ( 1 C − ω2L) = − iVo ω ¯Ze (2.4d) ¯Ze = (R + i(ωL − 1 ωC ))=Impedansi. | ¯Ze| = Ze=harga mutlak ¯Ze. ¯Ze = Zeeiφ = (R2 + (ωL − 1 ωC )2)1/2. Maka solusi untuk ¯q adalah ¯q = −iVo ω ¯Ze = −iVoeiωt ωZee(iφ) = −iVo ωZe ei(ωt−φ) ¯q = −iVo ωZe cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ) (2.5) Gambar 2.2: Penjumlah vektor dari hambatan dan reaktansi menghasilkan impedansi listrik Ze = R + i(ωL − 1/ωC) 2.2 Osilator Mekanik Osilator mekanik(Gambar.2.1(b)) dalam bentuk komplek dituliskan m¨¯x + r ˙¯x + s¯x = Foeiωt (2.6) Penyelesaian untuk osilator mekanik ¯x = ¯Aeiωt (2.7a) ˙¯x = i ¯Aωeiωt (2.7b) ¨¯x = −ω2 ¯Ae(iωt) (2.7c) ¯A = Fo iωr + (s − ω2m) = −iFo ω ¯Zm (2.7d) Teaching Grant QUE–Project
  • 24. 15 Osilator Mekanik ¯Zm = (r + i(mω − s ω ))=Impedansi. | ¯Zm| = Zm=harga mutlak ¯Zm. ¯Zm = Zmeiφ = (r2 + (ωm − s ω )2)1/2eiφ. Maka solusi untuk ¯x adalah ¯x = −iFo ωZm ei(ωt−φ) ¯x = −iFo ωZm cos(ωt − φ) + i sin(ωt − φ) ¯x = Fo ωZm sin(ωt − φ) − i cos(ωt − φ) (2.8) Dari osilator listrik dan mekanik bila dinyatakan F = Fo(cos ωt) dan V = Vo(cos ωt) maka jika gaya dan potensial yang diberikan pada sistem berbentuk Fo cos ωt dan Vo cos ωt nilai x dan q adalah x = Fo ωZm sin(ωt − φ) dan q = Vo ωZe sin(ωt − φ) (2.9) Dan jika gaya yang diberikan sistem berbentuk Fo sin ωt dan Vo sin ωt nilai x dan q adalah x = −Fo ωZm cos(ωt − φ) dan q = −Vo ωZe cos(ωt − φ) (2.10) Secara umum kecepatan beban m pada osilator mekanik adalah Gambar 2.3: Grafik variasi φ versus ω ˙x = v = Fo Zm ei(ωt−φ) (2.11) atau F = Fo cos ωt → v = Fo Zm cos(ωt − φ) dan x = Fo ωZm sin(ωt − φ) (2.12) Dari grafik pada Gambar 2.4 terlihat v selalu ketinggalan φ terhadap gaya yang memaksa dan x ketinggalan (90o + φ) terhadap gaya Fo cos ωt. Kecepatan v = Fo Zm cos(ωt − φ) dan amplitudo v = Fo Zm = Fo (r2+(ωm− s ω )2)1/2 menunjukkan : Teaching Grant QUE–Project
  • 25. Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 16 Gambar 2.4: Grafik variasi fase total antara pergeseran x dan ω (a) Pada ω → 0 maka v ∼= 0 (b) Pada ω = ωo maka amplitudo kecepatan maksimum Ar = Fo r dan terjadi resonansi ke- cepatan. (c) Pada ω maka vA = Fo ωm ≈ 0. Gambar 2.5: Kecepatan gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa Pergeseran x dan amplitudo Ax = Fo ω(r2+(ωm− s ω )2)1/2 menunjukkan : (a) Pada ω → 0 maka x = Fo s (b) Pada ω = ωo → Ax = Fo ωor . (c) Pada ω → Ax = Fo ω2m ≈ 0. Ditinjau secara lengkap pergeseran x berbentuk 1. Pergeseran Transient (a) Transient yaitu fungsi pergeseran dari persamaan m¨x + r ˙x + sx = 0 x = Ce(−rt/2m) e(i( s m − r2 4m2 )) Teaching Grant QUE–Project
  • 26. 17 Daya dari gaya memaksa Gambar 2.6: Grafik variasi pergeseran gaya osilasi versus frekuensi gaya paksa (b) Steady state yaitu berbentuk pergeseran berjalan terus walaupun bentuk/keadaan transient sudah mati.Bila digambarkan x terhadap waktu t, keadaan steady (tu- nak) yang dimodulasi oleh transien yang meluruh eksponesial e(−rt/2m) terhadap waktu(Gambar.2.7). 2. Steady state dengan yang khusus, mempunyai pergeseran x = Fo ωZm sin(ωt − φ) = Fo ωZm (sin ωt cos φ − cos ωt sin φ) = Fo ωZm sin ωt r Zm bagian resistif − cos ωt Xm Zm bagian reaktif 2.3 Daya dari gaya memaksa Suatu keadaan tunak tercapai bila energi yang hilang sebesar usaha yang dilakukan oleh gaya yang memaksa. Sehingga daya P sesaat sebesar hasil kali gaya yang memaksa sesaat den- gan kecepatan sesaat, atau P = Fv = Fo cos ωt Fo Zm cos(ωt − φ) = F2 o Zm cos ωt(cos ωt cos φ + sin ωt sin φ) Prerata = P = T 0 F2 o Zm cos ωt(cos ωt cos φ + sin ωt sin φ)dt = F2 o 2Zm cos φ (T=periode) (2.13) Teaching Grant QUE–Project
  • 27. Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 18 Gambar 2.7: Keadaan steady state, OB=panjang vektor tunak tetap=BAo,BAi=vektor transien yang panjangnya berubah-ubah berupa vektor yang memutar berlawanan arah jarum jam dan OAi=Amplitudo total pada waktu tertentu. Sedangkan kerja oleh gaya friksi sesaat adalah r ˙x2 = r F 2 o Z2 m cos2(ωt − φ) dan rerata kerja oleh gaya friksi adalah W = 1 2 rF2 o Z2 m = 1 2 rF2 o Zm cos φ → r Zm = cos φ (2.14) Hubungan faktor kualitas Q dengan lebar pita didefinisikan Q = ωo ω2−ω1 . Makin sempit lebar pita maka nilai Q makin besar. 1. Kurva (a) FoXm ωZ2 m = − Fo ω ωm − s/ω r2 + (ωm − s/ω)2 = − Fom(ω − s/ωm)(1/ω) r2 + (m2)(ω − s/m))2 = Fom(1/ω)(ω2 o − ω2)(1/ω) m2 ω2 (ω2 o − ω2)2 + r2 = Fom(ω2 o − ω2) m2(ω2 o − ω2)2 + ω2r2 Fraksi reaktif impedansi Xm Z2 m merupakan komponen energi yang tersimpan dalam medium, merupakan faktor yang mengatur kecepatan dalam medium dan selanjutya menentukan indeks bias. Teaching Grant QUE–Project
  • 28. 19 Daya dari gaya memaksa Gambar 2.8: Grafik Prerata terhadap ω sebagai kurva disipasi. Lebar pita ω2 − ω1 adalah interval frekuensi pada saat Prerata = 1 2 Prerata msk. Gambar 2.9: Kurva(a) menyatakan kurva disipatif anomali dan kurva (b) menyatakan kurva absorpsi. 2. Kurva (b) For ωZ2 m = For ω(r2 + (ωm − s/ω)2) = For ω(r2 + m2(ω − s/mω)2) = For ωm2 ω2−ω2 o ω 2 + ωr2 = Foωr m2(ω2 o − ω2) + ωr2 Fraksi resistif impedansi r Z2 m adalah fraksi yang terdisipasi atau terabsorpsi dan energi yang hilang (loss) sebanding −r ˙x2. Dengan ˙x menyatakan kecepatan pada arah bagian ini yaitu arah xnya ketinggalan 90o terhadap gaya dan kecepatan searah dengan gaya. Energi yang hilang sebanding dengan r. Teaching Grant QUE–Project
  • 29. Bab2. Osilator dengan gaya yang memaksa(The force oscillation) 20 Menjadi pertanyaan berapakah lebar pita? diketahui ω2 − ω1 adalah lebar frekuensi pada saat Prerata sebesar 1 2 Prerata mak Prerata = rF2 o 2Z2 m = 1 2 F2 o 2r → Z2 m = 2r2 r2 + X2 m = 2r2 Xm = ωm − s/ω = ±r Dengan ω2 > ω1 sehingga ω2m − s/ω = +r dan ω1m − s/ω = −r mω2 ω1 − s ω2ω1 = r ω1 mω2 ω1 − s ω2ω1 = − r ω2 dan mω1 ω2 − s ω1ω2 = − r ω2 m ω2 ω1 − ω1 ω2 = r(1/ω1 + 1/ω2) = r ω1 + ω2 ω1ω2 = m ω2 2 − ω2 1 ω1ω2 ω2 − ω1 = r m Faktor kualitas Q = ωom r = ωo ω2−ω1 dan ω1 = ωo − r/2m serta ω2 = ωo + r/2m. ω1 dan ω2 merupakan 2 frekuensi yang penting, merupakan 2 puncak kurva reaktif dan mempunyai daya serap yang sama. Teaching Grant QUE–Project
  • 30. BAB 3 Osilasi Terkopel Pada bagian ini yang akan dibicarakan adalah menyangkut dua atau lebih osilator terkopel, dengan komponen yang mengkopel, kapasitor atau pegas, induktor atau massa atau resistor. Energi terkirim melewati kopling, tetapi bila melalui resistor, energi hilang (loss) atau berupa en- ergi terdisipasi dan osilasi/vibrasi menjadi berhenti. Osilator terkopel menjadi dasar terjadinya gelombang dan akan dibahas adalah osilator kopling pegas atau kapasitor dan osilator terkopel massa atau induktor. 3.1 Osilator terkopel dengan kopling pegas Dua osilator yaitu bandul identik dengan massa m tergantung pada kawat ringan panjangnya l. Kedua massa dihubungkan atau dikopling dengan pegas (kekakuan,s). Panjang pegas sedemikian terentang diantara kedua massa yang berasa dalam kesetimbangan dan perge- seran nol. Osilasi kecil terjadi pada bidang kertas dan kedua massa bergerak dengan per- samaan gerak. m¨x = −mg x l − s(x − y) (3.1) m¨y = −mg y l − s(y − x) (3.2) Dari persamaan (3.1) dan (3.2) bentuk GHS dengan bentuk gaya yang mengkopel dari pegas s(x − y) pada bandul 1 dan (s(y − x) pada bandul 2. Bila ω2 o = g l , persamaan (3.1) dan (3.2 dapat dituliskan ¨x + ω2 ox = − s m (x − y) (3.3) ¨y + ω2 oy = − s m − s(y − x) (3.4) Bagaimana penyelesaian persamaan (3.3) dan (3.4 ? 21
  • 31. Bab3. Osilasi Terkopel 22 Gambar 3.1: Dua pendulum sama yang tergantung, panjang l dan massa m terkopel oleh sebuah kawat tak bermassa Jika persamaan (3.3) ditambah dengan (3.4) menjadi ¨x + ¨y + ω2 o(x + y) = − s m (x − y) − s m (y − x) ¨x + ¨y + ω2 o(x + y) = 0 (3.5) Jika persamaan (3.3) dikurang dengan (3.4) menjadi (¨x − ¨y) + ω2 o(x − y) = − s m (x − y) + s m (y − x) = − 2s m (x − y) (¨x − ¨y) + ω2 o + 2s m (x + y) = 0 (3.6) Diandaikan kemudian x + y = X dan x − y = Y maka persamaan (3.5) dan persamaan (3.6) menjadi ¨X + ω2 oX = 0 (3.7) ¨Y + ω2 o + 2s m Y = 0 (3.8) Dari kedua persamaan(3.7) dan persamaan(3.8) diperoleh penyelesaian dan pergeseran x dan y dapat diperoleh yang merupakan fungsi waktu. Kedua persamaan itu adalah GHS dengan kordinat X dan Y yang menggambarkan osilator terkopel. Jika Y = 0 = x − y → x = y pada setiap saat maka gerakan ditunjukkan oleh gerakan dengan ¨X + ω2 oX = 0. Frekuensi ωo = ω1. Kedua pendulum sama, gerakan keduanya sefase, pegas tidak berfungsi sebagai kopling, panjang tetap natural(alamiah) yang ditunjukkan pada Gambar 3.1. 1. Jika X = 0 = x + y → x = −y terjadi setiap saat dan gerakan sistem digambarkan oleh gerakan dengan persamaan (3.8). Kedua bandul bergerak tidak sefase (Gam- bar 3.2) dengan kopling terentang, terkompresi, kopling bekerja efektif dengan frekuensi ω2 o + 2s m 1/2 = ω2. 2. Gerakan tidak sefase (out of phase) dengan frekuensi ω2 ω1. Teaching Grant QUE–Project
  • 32. 23 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan Gambar 3.2: (a)Gerakan sefase (b) Gerakan tidak sefase 3.2 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan dera- jat kebebasan Pada pembahasan gerakan sistem diatas telah dipilih koordinat X dan Y , yaitu suatu perameter yang menggambarkan gerakan sistem dan disebut koordinat normal. Beberapa parameter koordinat normal : (a) Koordinat normal, X dan Y yaitu koordinat yang menggambarkan gerkana sistem. Masing- masing berupa perubah persamaan gerak GHS yang persamaan tersebut berupa persaa- maan gerak orde-2. (b) ω1 dan ω2 disebut frekuensi normal atau modus normal. (c) Masing-masing GHS disebut modus atau mode. (d) energi untuk tiap modus dapat dinyatakan sebagai Ex = a ˙X2 + bX2 Ey = c ˙Y 2 + dY 2 a, b, c, d suatu tetapan.Ex dan Ey tidak dapat saling tukar, hanya saja bila modus satu bergerak/bervibrasi, modus dua diam. (e) Pada dua osilator terkopel, berarati ada dua energi total (energi kinetik dan energi poten- sial) dari dua GHS dengan 2 × 2 derajat kebebasan. Derajat kebebasan adalah bilan- gan/jumlah cara menyatakan energinya. Sistem osilator ini mempunyai 4 derajat kebe- basan. Selanjutnya bagaimana pergeseran masing-masing bandul atau x dan y. Ditinjau kembali koordinat-koordinat X = Xo cos(ω1t + φ1) = x + y Y = Yo cos(ω1t + φ1) = x − y Teaching Grant QUE–Project
  • 33. Bab3. Osilasi Terkopel 24 Xo, Yo=amplitudo modus normal.Kemudian untuk menyederhanakan, diandaikan Xo = Yo = 2a dan φ1 = φ2 = 0 x = 1 2 (X + Y ) = a cos ω1t + a cos ω2t (3.9) y = 1 2 (X − Y ) = a cos ω1t − a cos ω2t (3.10) Kecepatan ˙x = −aω1 sin ω1t − aω2 sin ω2t (3.11) ˙y = −aω1 sin ω1t − aω2 sin ω2 (3.12) Andaikan pada t = 0 → ˙x = 0; ˙y = 0; ˙x = ˙y = 0,x = 2a dan y = 0. Benda 1 ditarik sepan- jang 2a, kemudian dilepas maka sistem bervibrasi yang merupakan superposisi dari modus X dan Y . Gambar 3.3 menunjukkan pergeseran awal pada t=0,x=2a dan y=0 berupa kombinasi Gambar 3.3: Pergeseran dari saru bandul sejarak 2a merupakan kombinasi dari 2 koordinat normal X dan Y modus sefase (x = y = a, Xo = (x + y)o = 2a) dan modus tidak sefase (x = −y = a, Yo = 2a). Bandul kanan ditarik sepanjang x = 2a, kemudian dilepas, gerakan yang terjadi dengan sim- pangan x = a cos ω1t + a cos ω2t = 2a cos (ω2 − ω1)t 2 cos (ω1 + ω2)t 2 (3.13) dan bandul kiri dengan simpangan y = a cos ω1t − a cos ω2t = −2a sin (ω1 − ω2)t 2 sin (ω2 + ω1)t 2 = 2a sin (ω2 − ω1)t 2 sin (ω2 + ω1)t 2 (3.14) Simpangan x berupa fungsi cosinus dengan frekuensi rerata, amplitudo bervariasi berupa fungsi cosinus dengan frekuensi ω2−ω1 2 dan amplitudo fungsi y bervariasi dengan fungsi si- nus dan frekuensi ω2−ω1 2 . Pergantian energi antara kedua bandul terjadi secara komplit hanya mungkin bila nisbah ω2+ω1 ω2−ω1 =bilangan bulat. Pada variasi perubahan amplitudo sangat lambat yaitu terjadi pada ω1 ≈ ω2 atau yang disebut ω2 − ω1=pelayangan (“beat”). Teaching Grant QUE–Project
  • 34. 25 Koordinat normal, frekuensi normal, modus normal dan derajat kebebasan Gambar 3.4: Gerakan sistem merupakan kombinasi X − Y yaitu gerakan sefase X dan tidak sefase Y dan X dan Y berbeda fase π radian (tanda minus). Gambar 3.5: Simpangan banduk kanan x dan simpangan bandul kiri y secara terpisah. Terlihat pada gambar pada gerakan x menurun dari 2a ke nol, y gerakan naik dari nol ke 2a dan terjadi pergantian energi. Pada kasus lain yaitu pada awalnya (t=0) bandul kiri diberi simpangan 2a dan x=0, kemudian bandul dilepas, maka yang terjadi gerakan merupakan kombinasi X−Y , agar y = 2a dan x = 0. Ditegaskan lagi disini pada bandul terjadi pergantian energi (exchange energy) tetapi tidak terjadi pada modus normal. Contohnya adalah atom-atom dalam molekul seperti CO2 (molekul non-polar) dan H2O (molekul polar) merupakan osilator terkopel dalam molekul. Berturut-turut molekul mempunyai 3,3,3 frekuensi modus( Gambar 3.6). Molekul non-polar susunan atom linier dan molekul polar susunan atom tidak linier, momen dipole tidak nol seperti H2O, momen dipole H2O=1.85 Debye,PCO2 = 0 artinya bila P = 0 titik berat muatan positif tidak berhimpit Teaching Grant QUE–Project
  • 35. Bab3. Osilasi Terkopel 26 Gambar 3.6: Modus normal vibrasi triatomik molekul CO2 dan H2O. dengan titik berat muatan negatif. 3.3 Metode umum penentuan frekuensi modus Masalah dua osilator terkopel dengan pegas ditunjukkan pada Gambar 3.1. Kedua bandul mempunyai persamaan gerak m¨x + mg x g + s(x − y) = 0 (3.15) m¨y + mg y g + s(y − x) = 0 (3.16) Diandaikan penyelesaian persamaan diatas adalah x = A cos ωt (3.17) y = B cos ωt (3.18) dengan A dan B adalah amplitudo. Pergeseran x dan y pada frekuensi ω, kedua bandul dari keadaan diam. Untuk memperoleh ω,x dan y dimasukan kembali pada persamaan gerak, sehingga menjadi −mω2 A + mg l A + s(A − B) cos ωt = 0 (3.19) −mω2 B + mg l B + s(B − A) cos ωt = 0 (3.20) Kedua persamaan gerak ini dijumlahkan diperoleh (A + B) −mω2 + mg l = 0 → ω2 = g l = ω2 1 (3.21) Teaching Grant QUE–Project
  • 36. 27 Kopling massa atau induktor dengan ω1 adalah frekuensi normal modus pertama. Jika kedua persamaan dikurangkan diper- oleh (A + B) −mω2 + mg l + 2s = 0 → ω2 = g l + 2s m = ω2 2 (3.22) dengan ω2 adalah frekuensi normal modus kedua. Dapat dikatakan 1. ω2 = g l dimasukan ke persamaan awal → A = B berarti bandul bergerak sefase 2. ω2 = g l + 2s m → A = −B artinya kedua bandul bergerak berlawanan fase. Kedua frekuensi normal akan diperoleh dengan cara sama bila x = A cos(ωt + α) dan y = B cos(ωt + α), yang artinya bila pada awal bandul mempunyai kecepatan awal. 3.4 Kopling massa atau induktor Kalau pada kopling pegas, faktor yang mengkopling kekakuan pegasnya, maka kalau kopling induktor, faktor koplingnya dari induktansi mutualnya. Berikut ini ditunjukkan dua osilator dari rangkaian LC terkopel (Gambar 3.7). Jika np banyaknya lilitan primer dan ns banyaknya lilitan Gambar 3.7: Rangkaian LC yang terkopel induktif dan induktansi mutual M. sekunder, kedua lilitan berarus satu satuan arus, maka total fluks oleh semua lilitan np ialahnp× (npφ). Induktansi diri dari koil pertama Lp = n2 pφ, jika pada kondisi yang sama pada koil kedua, induktansi diri sekunder Ls = n2 sφ, φ adalah fluks yang diinduktasikan oleh koil satu dan diterima oleh koil kedua maka induktansi mutualnya M = ns(npφ) = Ls φ Lp φ φ = LsLp. Pada kenyataan praktis M < LpLs → M LpLs = k; (k=koefisien kopling) (3.23) Bila M LpLs → k dan kopling lemah, sebaliknya jika M ∼= LpLs → k dissebut kopling kuat. Teaching Grant QUE–Project
  • 37. Bab3. Osilasi Terkopel 28 Kemudian bagaimana penentuan frekuensi modus osilasi ini? Pada koil pertama berarus Ip = Io exp(iωt), voltase induksi pada Lp ialah −Lp dIp dt = −Lp(iω)Ioeiωt dan voltase (tgl) induksi pada koil dua adalah −M dIp dt = −iωMIp Voltase(tgl) induksi oleh koil dua pada koil satu −M dIs dt = −iωMIs Kemudian notasi s diganti 2 dan p dengan 1, hukum Kirchoff pada koil satu dan koil dua diper- oleh −iωL1I1 − q C1 − iωMI2 = 0 −iωL1I1 − Io exp(iωt)dt C1 − iωMI2 = 0 −iωL1I1 − I1 iωC1 − iωMI2 = 0 (3.24) atau iωL1I1 − iI1 ωC1 + iωMI2 = 0 (3.25) iωL2I2 − iI2 ωC2 + iωMI1 = 0 (3.26) Persamaan (3.25) dikalikan dengan ω iL1 dan persamaan (3.26) dikalikan dengan ω iL2 , ω2 1 = 1 L1C1 ω2 2 = 1 L2C2 , ω1 dan ω2 menyatakan frekuensi natural, kedua persamaan diatas berubah menjadi (ω2 1 − ω2 )I1 = M L1 ω2 I2 (3.27) (ω2 2 − ω2 )I2 = M L2 ω2 I1 (3.28) Persamaan (3.27) dikalikan dengan (3.28) didapatkan (ω2 1 − ω2 )(ω2 2 − ω2 ) = M2 L1L2 ω2 = k2 ω4 (3.29) Jika kedua koil mempunyai frekuensi natural sama ω1 = ω2 = ωo maka persamaan (3.29) menjadi (ω2 o − ω2 )2 = k2 ω4 (ω2 o − ω2 ) = ±kω2 → ω2 = ω2 o 1± → ω = ± ωo (1 ± k)1/2 ∴ ω = ωo (1 + k)1/2 ω = ωo (1 − k)1/2 (3.30) Pada sistem dengan M kecil dan k lemah terjadi ω = ω = ωo. Jika kopling kuat ω − ω , amplitudo arus dengan puncak terpisah lebar Teaching Grant QUE–Project
  • 38. 29 Osilator terkopel pada dawai Gambar 3.8: Grafik amplitudo arus terhadap ω pada kondisi(a) Kopling kuat (b) Kopling sedang dan (c) kopling lemah 3.5 Osilator terkopel pada dawai Pada osilator ini diperlihatkan massa manik-manik ke-r dan 2 di tetangganya(Gambar 3.9). Pergeseran manik-manik ke-r − 1, r, r + 1 berturut-turut yr−1, yr dan yr+1. Jika sudut θ1 dan θ2, Gambar 3.9: (a),(b) Massa ke-r bergerak keatas dibawah pengaruh gaya tegang T sudut dibuat oleh dawai dengan horisontal maka sin θ1 = yr − yr−1 a sin θ2 = yr − yr+1 a (3.31) Persamaan gerak osilator ke-r adalah m d2yr dt2 = Jumlah gaya bekerja pada mr = Gaya dari tegangan kiriT sin θ1dari kananT sin θ2 Teaching Grant QUE–Project
  • 39. Bab3. Osilasi Terkopel 30 atau m d2yr dt2 = −T sin θ1 − T sin θ2 = −T yr − yr−1 a + yr − yr+1 a = T ma (yr−1 − 2yr + yr+1) Jika gerakan dipandang berupa kombinasi dari modus normal dengan frekuensi ω maka y merupakan fungsi waktu dari getaran harmonik sederhana berosilasi terhadap sumbu kesetim- bangannya. Dapat dituliskan pergeseran : yr = Ar exp(iωt) yr+1 = Ar+1 exp(iωt) (3.32) yr−1 = Ar−1 exp(iωt) Dengan memakai persamaan (3.32) pada persamaan gerak, diperoleh −ω2 Ar exp(iωt) = T ma (Ar−1 − 2Ar + Ar+1) exp(iωt) (3.33) Persamaan(3.33) ini merupakan persamaan fundamental untuk menentukan ω. Dari per- samaan fundamental, jika ada satu manik-manik, maksudnya satu osilator, hanya ada satu ω1. Ada dua osilator berarti ada dua ω frekuensi modus dan bila ada n osilator berarti ada n frekuensi modus dengan n persamaan. Secara formal penyelesaian n persamaan, dengan teori matrik dapat menyelesaikan yaitu determinan besarnya nol dari matrik. Ke-n persamaan tersebut (dengan syarat yo = Ao = 0 dan yn+1 = An+1 = 0) adalah r = 1 → 0 + 2 − maω2 T A1 − A2 = 0 (3.34) r = 2 → −A1 + 2 − maω2 T A2 − A3 = 0 r = 3 → −A2 + 2 − maω2 T A3 − A4 = 0 ... r = n → −An−1 + 2 − maω2 T An − An+1 = 0 (An+1 = 0) n persamaan disebut juga persamaan non trivial , yaitu persamaan mempunyai penyelesaian tidak nol semuanya dengan syarat determinannya nol (∆ = determinan = 0),di mana 2 − maω2 T = C C −1 0 · · · 0 −1 C −1 · · · 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · −1 C = 0 (3.35) Teaching Grant QUE–Project
  • 40. 31 Osilator terkopel pada dawai Contoh 2 osilator terkopel, maka bentuk determinan matriknya C −1 −1 C = 0 → C2 − 1 → 2 − maω2 T 2 − 1 = 0 → 2 − maω2 T = ±1 (3.36) Penyelesaian persamaan(3.36) adalah maω2 T = 1 → ω2 1 = T ma (3.37) maω2 T = 3 → ω2 2 = 3T ma Teaching Grant QUE–Project
  • 41. BAB 4 Gelombang Transversal Pada bab yang lalu telah dibahas gerakan suatu benda seperti bandul pada getaran harmonik sederhana, teredam, ada gaya yang memaksa dengan simpangan (pergeseran) merupakan fungsi waktu saja. Lain halnya kalau bandul atau massa tadi bergerak merupakan bagian dari medium maka gerakan massa menyebabkan gerakan bagian medium lainnya. Misalnya tali (string) ujung satu dipegang dan ujung lain dilepas, kemudian ujung yang dipegang dinaikkan sesaat terjadi gerakan tali, maka asumsikan titik massa m bergerak menyimpang y , benda m1 menyimpang y1 dan benda m2 menyimpang y2, jadi y merupakan fungsi x digerakkan pada t = t → y = t(x; t), y adalah simpangan merupakan fungsi x dan t(tempat dan waktu). Perubahan dari x atau t menyebabkan perubahan y, secara matematik dinyatakan dy = ∂y ∂x t dx + ∂y ∂t x dt = diferensial total (4.1) Kalau diuaraikan dalam ruang y → z, x → y, t → y, yang dimaksud diferensial parsial yaitu dz = dz1 + dz2 = ∂z ∂x y dx + ∂z ∂y x dy (4.2) Secara fisis dikatakan bahwa besaran z ditentukan oleh x dan y. 4.1 Gelombang Gerakan massa-massa tali (medium) berupa gelombang (waves). Gerakan air dari tengah laut ke pantai karena pada tengah laut tadi air mendapat gaya berupa ombak tidak lain adalah gelombang air. Juga getaran dari tali sehingga terdengar bunyi ( yang didengar orang lain), juga pada udara terkirim gelombang bunyi. Gelombang yang berjalan pada medium panjang 32
  • 42. 33 Gelombang Gambar 4.1: Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel tetap disebut progressive waves. Jadi gejala gerak medium disebut gelombang, jika medium ter- batas, seperti pada tali gitar ujung tali terikat), getaran/vibrasi tali bergerak maju mundur dan terpantul sehingga berupa gelombang berdiri. Gelombang pada tali berupa gelombang transversal dengan pergeseran atau osilasi medium transversal terhadap propagasi gelombang. Jika osilasi paralel, arah propagasi gelombang disebut gelombang longitudinal. Pada medium gas hanya mungkin terjadi gelombang longi- tudinal. Pada medium padat dapat meneruskan gelombang longitudinal maupun gelombang transversal. Dalam medium cair seperti halnya pada padatan dapat meneruskan gelombang transversal dan longitudinal. Macam lain gelombang bidang datar dan gelombang bola. Ada tiga macam kecepatan dalam gerak gelombang yaitu 1. Kecepatan partikel, tidak lain kecepatan gerakan partikel harmonik sederhana pada po- sisi kesetimbangan. 2. Kecepatan fase merupakan kecepatan bidang sefase, puncak dan lembah menjalar men- embus medium, sama dengan kecepatan gelombang. 3. Kecepatan grup yaitu sejumlah gelombang berbeda frekuensi, panjang gelombang dan kecepatan kemungkinan bersuperosisi membentuk grup seperti cahaya putih terdiri dari sejumlah cahaya dengan berbeda frekuensi dan panjang gelombang. Cahaya putih mungkin dapat berdispersi menjadi komponen-komponennya. Kecepatan grup adalah merupakan juga kecepatan energi yang ditransmisikan. Teaching Grant QUE–Project
  • 43. Bab4. Gelombang Transversal 34 4.2 Persamaan Gelombang 4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali Segmen tali sepanjang dx ditarik keatas sehingga panjang tersebut ds = dx dengan gaya tegang T pada ujung-ujungnya. T bekerja di x pada sudut θ dan di x + dx pada sudut θ + dθ. Gerakan sepotong tali ini vertikal dengan harmonik sederhana. Gaya pada elemen tali Gambar 4.2: Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T T sin θ → T ∂y ∂x x+d − ∂y ∂x x (4.3) T ∂2y ∂x2 dx = ρdx ∂2y ∂t2 (4.4) ∂2y ∂x2 = ρ T ∂2y ∂t2 → 1 c2 = ρ T Jika ξ adalah simpangan, pada nilai t tertentu maka ξ = f(x). Pada jarak a = ct maka ξ = f(x − a) ke kanan (4.5) ξ = f(x + a) ke kiri Penyelesaian umum persamaan gelombang adalah Gambar 4.3: Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif Teaching Grant QUE–Project
  • 44. 35 Persamaan Gelombang ξ = f(x ± ct) (4.6) = f1(ct − x) + f2(ct + x) ∂2ξ ∂x2 = 1 c2 ∂2ξ ∂t2 (4.7) Bentuk penyelesaian dari persamaan yang sering dipakai dalam bidang ξ(x, t) = a sin 2π λ (ct − x) → ξ = ξ(x, t) (4.8) Tempat kedudukan pergeseran osilator dalam medium kontinu sebagai lintasan gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan λ adalah jarak terpisah antara 2 osilator yang berbeda fase 2π radian y = a sin 2π vt − x λ (4.9) = a sin(ωt − kx); → k = 2π λ = ωt c = a exp i(ωt − kx) Gerak gelombang tidak lain ialah perubahan pergeseran osilaotor-osilator dinyatakan dalam pergeseran ∂x ∂t adalah kecepatan fase, ∂y ∂x adalah kecepatan partikel=ωa cos(ωt − kx) dan ∂y ∂x = −k cos(ωt − kx) adalah gradien dari profile gelombang. Maka nilai ∂y ∂t = −ω k ∂y ∂x = −c∂y ∂x = −∂y ∂x ∂x ∂t . Arah panah menunjukkan arah gerakan partikel/osilator dan besarnya pada tiap x.Arah gerakan partikel searah gaya transversal pada gelombang yaitu T ∂y ∂x dimana T=tension. Gambar 4.4: Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x Teaching Grant QUE–Project
  • 45. Bab4. Gelombang Transversal 36 4.3 Impedansi karakteristik suatu dawai Dawai sebagai medium tempat gelombang menjalar mempunyai atau ditandai berapa besar impedansinya. Medium hanya berisi parameter inersia dan elastisitas(energi storing) atau tidak ada resistivitas atau tidak ada dissipasi. Jika ada energi terdissipasi berbentuk komplek, dawai mendapat gaya transversal F, impedansi karakteristik dinyatakan Z = tranverse force transverse velocity = F v (4.10) Pada ujung dawai gaya Fo exp(iωt) bekerja vertikal ke atas. Dawai dan gaya terletak pada bidang kertas, T=gaya atau tension pada dawai. Pada ujung dawai tercapai keseimbangan Fo exp(iωt) = −T sin θ ≈ −T tan θ = −T ∂y ∂x ; θ ≈ 0 (4.11) Pergeseran gelombang y = Aei(ωt−kx) pada x = 0 terpenuhi Fo exp iωt = −T ∂y ∂c x=0 = ikTA exp i(ωt − kx) → A = Fo ikT = Fo iω c T (4.12) y = Fo iω c T exp i(ωt − kx) (4.13) v = y = Fo iω c T exp i(ωt − kx); v = Fo Z ; Z = T c = ρc (4.14) dengan Z=impedansi, nilai c besarnya ditentukan oleh inersia (Z, s) dan elastik (L, m) juga nilai Z. Gambar 4.5: Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0eiωt 4.4 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan Gelombang menjalar pada dawai yang dihubungkan secara halus pada x = 0 dan disini terjadi ρ1c1 = Z1 dawai kiri dan ρ2C2 = Z2 pada dawai disebelah kanan. yi = A1 exp i(ωt − k1x) = gelombang datang (4.15) yr = B1 exp i(ωt + k1x) = gelombang refleksi (4.16) yt = A2 exp i(ωt − k2x) = gelombang transmisi (4.17) Teaching Grant QUE–Project
  • 46. 37 Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan Gambar 4.6: Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1c1 pada batas x=0 dimana kawat mengalami perubahan impedansi ρ2c2 Syarat batas : 1. Pada batas di x = 0 pergeseran tidak mengalami diskontinuitas, kondisi geometri yi+yr = yt 2. Kondisi dinamis yaitu terjadi kontinuitas gaya transversal T ∂y ∂x x=0 sedemikian T ∂ ∂x(yi + yr) = T ∂ ∂x (yt) Dari syarat batas(1) diperoleh yi + yr = yt (4.18) A1 exp i(ωt − k1x) + B1 exp i(ωt + k1x) = A2 exp i(ωt − k2x) A1 + B1 = A2; (x = 0) syarat batas(2) diperoleh T ∂ ∂x (yi + yr) = T ∂ ∂x (yt) (4.19) T(−ik1A1 + ik1B1) = iTA2k2 − ω c1 TA1 + ω c1 TB1 = − ω c2 TA2 Z1(−A1 + B1) = −Z2A2 substitusi persamaan(4.18) dan (4.19) dihasilkan B1 A1 = Z1 − Z2 Z1 + Z2 = koefisien refleksi (4.20) A2 A1 = 2Z1 Z1 + Z2 = koefisien transmisi (4.21) Kedua koefisien tersebut tidak tergantung pada ω dan f dan merupakan bilangan riil, jika berni- lai negatif berarti berbeda fase π. Jika Z1 = ∞ artinya ujung tetap dan tidak ada transmisi yaitu B1 A1 = −1 artinya refleksi total dan berbeda fase π antara gelombang datang dan refleksi. Pada Z = 0 adalah ujung bebas yaitu B1 A1 = 1 dan A2 A1 = 2. Teaching Grant QUE–Project
  • 47. Bab4. Gelombang Transversal 38 4.5 Refleksi dan Transmisi Energi Berapa energi yang ditransmisikan dan direfleksi bila gelombang melewati bidang batas? En- ergi total E = 1 2 ρ2A2cω2 dengan k atau c kecepatan gelombang maka energi yang terbawa sepanjang dawai adalah energi x kecepatan=1 2ρ2A2cω2. energi yang sampai pada batas x = 0 dan energi yang meninggalkan batas, yaitu : 1 2 ρ2 1c1ω2 A2 1 dan 1 2 ρ2 1c1ω2 B2 1 + 1 2 ρ2c2ω2 A2 2 (4.22) 1 2 Z1ω2 A2 1 dan 1 2 Z1ω2 B2 1 + 1 2 Z2ω2 A2 2 (4.23) A2 1 × Energi A2 1 = 1 2 Z1ω2B2 1 + 1 2 Z2ω2A2 2 A2 1 A2 1 (4.24) = 1 2 ω2 Z1 Z1 − Z2 Z1 + Z2 2 + 1 2 ω2 Z2 2Z1 Z1 + Z2 2 A2 1 = 1 2 ω2 A2 1 (Z1 + Z2) (Z1 + Z2) 2 Z1 = 1 2 Z1ω2 A2 1 jumlah energi refleksi + energi transmisi=energi datang. Maka koefisien refleksi dan transmisi adalah R = Z1B2 1 Z1A2 1 = B1 A1 2 = Z1 − Z2 Z1 + Z − 2 2 (4.25) T = Z2A2 2 Z1A2 1 = 4Z1Z2 (Z1 + Z2)2 (4.26) kondisi Z1 = Z2 disebut impedansi match 4.6 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap Suatu dawai dengan panjang l akan direfleksikan total di Z = ∞ dengan beda fase π, sedan- gkan dawai dengan panjang tertentu, kedua ujungnya diklem akan terjadi gelombang berdiri. Diasumsikan adanya gelombang monokromatik dengan frekuensi ω dan amplitudo a menjalar sepanjang x positif dan amplitudo b pada arah negatif sehingga pergeseran dawai pada sem- barang titik dapat dinyatakan y = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx) (4.27) syarat batas di y = 0; x = 0 dan x = l sepanjang waktu. Pada kondisi x = 0 0 = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx) = eiωt (a + b) → a = −b (4.28) arti fisisnya gelombang pada suatu arah tertentu dengan ujung impedansi tak hingga, secara lengkap akan direfleksikan dengan beda fase π (amplitudonya negatif). Dalam bentuk umum untuk gelombang dan frekuensinya menjadi y = aeiωt e−ikx − eikx ) = (−2i)aeiωt sin kx (4.29) Teaching Grant QUE–Project
  • 48. 39 Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap Gambar 4.7: Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan impedansi Z2. Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l Pernyataan ini adalah suatu gelombang berdiri yang terjadi kapan saja (tidak tergantung waktu) dan memenuhi persamaan ∂2y ∂x2 + k2 y = 0 (4.30) Harga ∂2y ∂t2 = −2i(i2ω2)eiωta sin kx = −ω2y dan 1 c2 ∂2y ∂x2 = −ω2 c2 y = −k2y = 1 c2 ∂2y ∂x2 merupakan persamaan gelombang. Jika kondisi y = 0; x = l 0 = −2ieiωt a sin kl; k = 2π λ (4.31) kl = ω c l → sin kl = 0 → sin ω c l = 0. Bila ωl c = nπ n = 0, 1, 2, 3, · · · . ωn = nπc l → 2πνn = nπc l → νn = nc 2l . νn=frekuensi dan l = nc 2νn = nλ 2 . Maka sin kx = sin ωnx c = sin nπ l x. ωn=normal frekuensi (mode vibration atau eigen frequency). n = 1 → ν = 1 = Frekuensi harmonik 1 n = 2 → ν = 2 = Frekuensi harmonik 2 n = 3 → ν = 3 = Frekuensi harmonik 3 ↓ n = N → ν = N = Frekuensi harmonik N Pada suatu gerakan dawai semua mode normal ini ada dan pregeseran ialah superposisi dari pergeseran pada tiap frekuensi. Sehingga pernyataan pergeseran yang mencakup n har- monik adalah yn = 2a(−i)(cos ωnt + i sin ωnt) sin ωnx c = An cos ωnt + Bn sin ωnt sin ωnx c (4.32) Teaching Grant QUE–Project
  • 49. Bab4. Gelombang Transversal 40 Gambar 4.8: Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap Amplitudo modus yang ke–n=(A2 n + B2 n)1/2 = 2a Dalam gelombang berdiri, titik-titik simpul(node) adalah titik-titik diam pada dawai, yaitu titik pada nπ l x = rπ (r = 0, 1, 2, 3, · · · , n) (4.33) r = 0 → x = 0 dan r = n → x = l, maksudnya bila n = 1; r = 0, 1 → nπ l = rπ → x = rl, pada x = 0 dan x = l terjadi simpul. Bila n = 2 → r = 0, 1, 2 → x = rl n = 0, l, l/2 dan seterusnya. Terjadi titik-titik simpul bila amplitudo gelombang datang dan direfleksikan sama, tetapi bila tidak sama akan menghasilkan B1 A1 < 1. Amplitudo total maksimum A1 + B1 dan minimum A1 − B1, maka dapat didefinisikan SWR(Standing Wave Ratio) = A1 + B1 A1 − B1 = 1 + R 1 − R ; R = B1 A1 (4.34) bila R = 1 → SWR = ∞ artinya terjadi simpul dan R=koefisien refleksi amplitudo. 4.7 Energi dawai bervibrasi Energi kinetik dari elemen dawai dx dengan rapat massa ρ ialah sebesar 1 2 ρ ˙y2dx. Energi kinetik total adalah 1 2 l 0 ρ ˙y2dx. Energi potensial adalah kerja yang dilakukan oleh gaya tegang T dalam elemen dx menjadi ds ialah Ep = T(ds − dx) = T (dx2 − dy2 )1/2 − dx = T 1 + dy dx 1/2 − 1 dx (4.35) 1 2 T t 0 dy dx 2 dx (4.36) Teaching Grant QUE–Project
  • 50. 41 Grup gelombang dan kecepatan grup artinya untuk elemen dx, panjangnya berubah menjadi 1 2 dy dx 2 dx. Selanjutnya untuk dawai bervibrasi dipandang dari gerak harmoniknya En(kinetik) = 1 2 l 0 ρ ˙y2 dx (4.37) En(potensial) = 1 2 T dy dx 2 dx (4.38) Untuk gelombang berdiri dengan parameter yn = An cos ωnt + Bn sin ωnt sin ωnx c (4.39) ˙yn = − Anωn sin ωnt + Bnωn cos ωnt sin ωnx c (4.40) dyn dx = ωn c An cos ωnt + Bn sin ωt cos ωnx c (4.41) Maka persamaan (4.37) dan (4.38) menjadi En(kinetik) = 1 2 ρω2 n(−An sin ωnt + Bn cos ωnt)2 l 0 sin2 ωnx c dx (4.42) En(potensial) = 1 2 Tω2 n c (An cos ωnt + Bn sin ωnt) l 0 cos2 ωnx c dx (4.43) = 1 2 ρω2 n(An cos ωnt + Bn sin ωnt) l 0 cos2 ωnx c dx dengan T = ρc2 dan l 0 sin2 ωnx c dx = l 0 cos2 ωnx c dx = 1 2 l. Maka jumlah energi kinetik dengan energi potensial adalah En(kinetik+potensial) = 1 4 ρω2 nl(A2 n + B2 n) = 1 4 mω2 n(A2 n + B2 n); m = ρl (4.44) dengan A2 n + B2 nadalah jumlah kuadrat amplitudo. Energi total pada dawai ialah En(total) = E1 + E2 + E3, · · · , En (4.45) 4.8 Grup gelombang dan kecepatan grup Pada umumnya di alam, gelombang terjadi dari campuran banyak gelombang dengan kom- ponen frekuensi masing-masing. Seperti cahaya putih merupakan komposisi cahaya, dengan panjang gelombang 3000 ◦ A − 7000 ◦ A yaitu dari warna biru sampai warna merah. Gelombang menjalar dengan kecepatan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai kecepatan grup hasil superposisi dua buah gelombang yang berbeda sedikit frekuensi dan bilangan gelom- bang k−nya dengan amplitudo sama yaitu y1 = a cos(ω1t − k1x) dan y2 = a cos(ω2t − k2x) (4.46) Teaching Grant QUE–Project
  • 51. Bab4. Gelombang Transversal 42 hasil superposisi y = y1 + y2 adalah y = y1 + y2 = 2a cos ω1 − ω2 2 t − k1 − k2 2 x cos ω1 + ω2 2 t − k1 + k2 2 x (4.47) gelombang superposisi ini berupa gelombang dengan amplitudo 2a frekuensi ω1+ω2 2 ≈ ω1 ≈ ω2 dan termodulasi dalam ruang dan waktu dengan “envelope” yang amat lambat dengan frekuensi k1−k2 2 . Sistem ini seperti osilator terkopel dengan kecepatan c = ω1 k1 = ω2 k2 atau ω1−ω2 k1−k2 = c. Gambar 4.9: Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan ω2 yang kecil Kecepatan grup, komponen-komponen frekuensi menjalar dengan kecepatan sama dengan c dan profile dari kedua kombinasi tetap konstan selama penjalarannya. Amplitudo maksimum 2a terjadi dua kali setiap perioda, frekuensi yang termodulasi (ν1 − ν2) intensitas maksimum bila maplitudo 2a. “Beat” atau pelayangan dengan frekuensi (ν1 − ν2) menyatakan berapa kali fluktuasi intensitas maksimum terjadi. Kalau gelombang grup adalah gelombang bunyi, maka pada amplitudo kecil (amplitudo bervariasi 0 → 2a), suara lemah dan bila gelombang yang termodulasi amplitudo, gelombang y = A cos(ωt − kt), A=amplitudo termodulasi berbentuk A = a + b cos ω t yaitu y = a cos(ωt − kx) + b 2 cos((ω + ω )t − kx) + cos((ω − ω )t − kx) (4.48) frekuensi ω ± ω adalah frekuensi sideband atau tones. Amplitudo modulasi terjadi pada trans- misi radio dengan sideband terdengar pada dua frekuensi yang berdekatan yaitu ω ± ω . Kemudian bila kedua gelombang yang bersuperposisi berbeda kecepatan fasenya ω1 k1 = ω2 k2 , kecepatan grup yaitu kecepatan gelombang atau kecepatan pada puncak maksimum bergerak vg = ω1−ω2 k1−k2 = ∆ω ∆k dan vg berbeda dengan kecepatan masing-masing yaitu ω1 k1 dan ω2 k2 , profilenya berubah-ubah terhadap waktu. Medium yang kecepatan fasenya tergantung frekuensi (atau Teaching Grant QUE–Project
  • 52. 43 Gelombang grup dan teorema lebar band nilai ω k tidak tetap) disebut medium dispersif. Hubungan antara ω dan k disebut hubungan dispersif. Bila grup berbentuk banyak komponen dengan frekuensi berdekatan ∆ω ∆k = dω dk dan kecepatan grup vg = dω dk = d(kv) dk = v + k dv dk = v − λ dv dλ ; k = 2π λ (4.49) Sekali lagi disebutkan kecepatan grup merupakan kecepatan energi terkirim dalam medium, merupakan juga kecepatan amplitudo masksimum dari grup gelombang menjalar. Dari hubun- gan diatas vg = v − λdv dk , bila dv dk = 0 → vg = v disebut medium non-dispersif. Bila dv dk < 0 → vg > v disebut dispersif anomali dan bila dv dk > 0 → vg < v disebut medium dispersif nor- mal. Bahan konduktor bersifat anomali terhadap gelombang elektromagnet. Bahan dielektrik bersifat normal terhadap gelombang elektromagnet pada frekuensi lebih kecil dari frekuensi normal(ωo). Gambar 4.10: Kurva dispersif;(a)garis lurus menyatakan medium non-dispersi(b)hubungan dispersi normal (c) anomali dari hubungan dispersi 4.9 Gelombang grup dan teorema lebar band Suatu grup gelombang terdiri banyak frekuensi yang terletak pada daerah (range) frekuensi yang sempit ∆ω dan tiap komponen dengan amplitudo sama dengan a. Telah dibahas pada sbelumnya yaitu tentang superposisi n-SHM yang amplitudonya sama a dan mempunyai beda fase(δ) tetap diperoleh amplitudo resultan. R = a sin nδ/2 sin δ/2 (4.50) dan getaran resultan R cos(ωt + α) = a a sin nδ/2 sin δ/2 cos(ωt + (n − 1) δ 2 ; α = (n − 1) δ 2 (4.51) Teaching Grant QUE–Project
  • 53. Bab4. Gelombang Transversal 44 Gambar 4.11: Anomali dispersi dari sifat indek refraksi n = √ terhadap ω dan λ, dimana ωo frekuensi atom, absorpsi dinyatakan dengan garis putus-putus Analog diatas, bila tiap gelombang mempunyai amplitudo a dan δ adalah beda fase antar tiap komponen, maka R = a cos ω1t + a cos(ω1 + δω)t + a cos(ω1 + 2δω)t + · · · (4.52) + a cos(ω1 + (n − 1)δω)t Batasan-batasannya R cos(ωt + α) = a sin n(δω)t/2 sin(δωt/2) cos(ω1 + (n − 1) δω 2 )t, (4.53) = a sin n(δω)t/2 sin(δωt/2) cos ¯ωt dengan ¯ω = ω1 + 1 2 (n − 1)δω dan nδω = ∆ω. Resultan R = a sin ∆ωt/2 sin ∆ωt/2n cos ¯ωt (4.54) = na sin ∆ωt/2 sin ∆ω/2 cos ¯ωt n → R(t) = A sin α α cos ¯ωt; A = na, α = ∆ω 2 (4.55) Pada R(t) = A = na yaitu di t = 0 karena sin α α = 1. Seusudah ∆t menjadi α = ∆ω∆t 2 = π → ∆t = 2π ∆ω dan R(t) = Asin π π cos ¯ω∆t = 0. Nilai 2∆t ini adalah ukuran lebar pulsa sentral. Bentuk ∆t∆ω = 2π → ∆t(2π)∆ν = 2π → ∆t∆ν = 1 adalah Teorema Bandwidth, artinya lebih besar ∆ω akan lebih cepat ∆t sehingga bila ∆ω = 0 → ∆t = ∞ Dari nilai ∆ω → ∆k, ∆t → ∆x maka ∆k∆x = 2π → ∆x∆(1/λ) = 1, juga berarti ∆k = 0 (gelombang monokromatik)→ ∆x → ∞ (infinitely long wavetrain). Dalam persoalan gelom- bang grup disederhanakan dengan berbagai frekuensi tetapi amplitudo sama dengan a. Bila a(ω), persoalan menjadi sulit dan metode Fast Fourier dan teorema Bandwidth menjadi asas ketidakpastian Heisenberg Teaching Grant QUE–Project
  • 54. 45 Gelombang transversal dalam struktur periodik Gambar 4.12: Gelombang kotak dengan lebar pita ∆ω dengan n frekuensi, a amplitudo dan beda frekuensi umum δω (b) Menyatakan pita frekuensi terhadap waktu sebagai kurva kosinus pada frekuensi rata-rata ¯ω amplitude modulasi sin α/α. 4.10 Gelombang transversal dalam struktur periodik Suatu dawai ringan merupakan suatu struktur periodik dari n massa sama sebesar m. Per- samaan gerak partukel ke-r adalah m¨yr = T a yr+1 + yr−1 − 2yr (4.56) dengan frekuensi normal ωs = 2T ma = 1 − cos sπ n + 1 s = 1, 2, , 3, · · · , n (4.57) Bila a → dx maka = 1 a yr+1 + yr−1 − 2yr → 1 dx yr+1 − yr − yr − yr−1 (4.58) = ∂y ∂x r+1/2 − ∂y ∂x r−1/2 = ∂2y ∂x2 r dx ∴ m ∂2yr ∂t2 = T ∂2yr ∂x2 dx → ∂2yr ∂t2 = T ρ ∂2yr ∂x2 ρ = m dx → y = exp i(ωt − kx) y merupakan propagasi gelombang transversal sepanjang array linear atom-atom dengan massa m, gaya elastik Tx dan T/a sebagai stiffnes, dimana a=jarak antar atom(a ≈ 10−11m). Teaching Grant QUE–Project
  • 55. Bab4. Gelombang Transversal 46 Gambar 4.13: Hubungan dispersi ω(k) terhadap k untuk gelombang menjalar garis lurus yang menggambarkan struktur periodik dalam atom Bila yang diklem diganti ujung berupa kristal, persamaan gelombang yr = Ar exp i(ωt − kx) = Ar exp i(ωt − kra) (4.59) Persamaan gerak menjadi −ω2 m = T a (exp(ika) + exp(−ika) − 2) (4.60) = T a exp(ika/2) − exp(−ika/2) 2 = −4 T a sin2 ka 2 ω2 = 4 T ma sin2 ka 2 ω2 s = 2T ma 1 − cos sπ n + 1 = 4 T ma sin2 sπ 2(n + 1) (4.61) ka 2 = sπ 2(n + 1) a a → (n + 1)a = l = pλ 2 (4.62) = sπa 2l = sπa 2pλ/2 = sπa pλ Bila λ = 2a → ka 2 = s p π 2 → ω2 = 4T ma sin2 π 2 = 4T ma yang berarti atom tetangga mempunyai beda fase π atau yr yr+1 ∼ exp(ika) = exp(iπ) = −1 (4.63) Frekuensi besar menandakan kopling maksimum untuk λ → k = 2π λ dan sin ka 2 → ka 2 dari ω2 = 4T ma ka 2 2 (4.64) ω k 2 = c2 = 4T ma × a2 4 = T m a = T ρ → c = kecepatan gelombang (4.65) Dan secara umum pada sistem dengan partikel terstruktur diperoleh v = ω k = c sin ka/2 ka/2 (4.66) Teaching Grant QUE–Project
  • 56. 47 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik Persamaan diatas merupakan relasi dispersi antara ω vs k.a berpengaruh pada λ pendek dan km = 2π λ = 2π ra = π a ≈ 1010m−1. Gaya elastik T/a kristal ≈ 15 N/m, m = 60 × 10−27 kg,ω2 = 1027(rad/s)2 → ν = 5×1012 Hz atau daerah infra merah. Eo ialah amplitudo maksimum medan listrik E = Eoe1ωt. Atom–atom ion dengan frekuensi osilasi ω akan menyerap energi maksimum pada frekuensi resonansi. 4.11 Rangkaian linier dari 2 macam atom dalam kristal ionik Kristal berbentuk rantai satu dimensi terdiri dari dua atom berbeda dengan massa M dan m yang dinyatakan sebagai berikut: m¨y2r = T a (y2r+1 + y2r−1 − 2y2r) (4.67) M ¨y2r+1 = T a (y2r+2 + y2r − 2y2r+1) (4.68) y2r = Amei(ωt−2kra) (4.69) y2r+1 = AM ei(ωt−ka(2r+1)) substitusi persamaan(4.69) pada persamaan(4.67) dan (4.68) −mω2 Am = T a AM (e−ika + eika ) − 2TAm a (4.70) −Mω2 AM = T a Am(e−ika + eika ) − 2TAM a (4.71) Dari persamaan(4.70) dan (4.71) diperoleh ω2 = T a 1 m + 1 M ± 1 m + 1 M 2 − 4 sin2 ka mM 1/2 (4.72) (a) Keadaan m > M diambil yang positif ⊕ dari persamaan(4.72) maka diperoleh k = 0 → ω2 = T a 1 m + 1 M k = km = π 2a → ω2 = 2T aM → Optical branch (4.73) (b) Keadaan m > M diambil negatif dari persamaan(4.72) maka diperoleh k = 0 → ω2 = 2T k2a2 a(M+m) k = km = π 2a → ω2 = 2T am → Acoustical branch (4.74) Teaching Grant QUE–Project
  • 57. Bab4. Gelombang Transversal 48 Gambar 4.14: Hubungan dispersi untuk dua mode osilasi transversal dalam struktur kristal Gambar 4.15: Pergeseran dari perbedaan jenis atom dalam dua mode dari osilasi transversal dalam kristal (a) Mode optik (b) Mode akustik 4.12 Absorpsi radiasi IR oleh kristal ionik Suatu kristal dengan km = 1010 m−1, radiasi IR dengan frekuensi 3 × 1012Hz, λ = 100µm dan k = 2π λ = 6 × 104 m−1 sehingga kIR km maka kIR dapat diabaikan.Suatu sepasang ion dengan muatan ±e dipengaruhi medan listrik gelombang radiasi EM, medan listrik total E = Eoeiωt maka di[eroleh persamaan −ω2 mAm = 2T a (AM − Am) − eEo; m bermuatan − e (4.75) −ω2 MAM = − 2T a (AM − Am) + eEo; M bermuatan + e (4.76) Persamaan (4.75) ditambah dengan persamaan (4.76) −ω2 (Amm + AM M) = 0 → Am AM = − M m (4.77) Teaching Grant QUE–Project
  • 58. 49 Efek Doppler maka persaman (4.75) −ω2 mAm = 2T a − m M Am − Am − eEo Am −ω2 m + 2T a m + M M = −eEo Am = − e m Eo −ω2 + 2T a m+M mM = − e m Eo ω2 o − ω2 (4.78) ω2 o = 2T a 1 M + 1 m , AM = − m M Am = − m M − e m Eo ω2 o − ω2 = e M Eo ω2 − ω2 Misalkan hitung λ dari NaCl bila MNa+ = 23 amu dan mCl− = 35 amu dengan ω2 = ω2 o = 2T a 1 M + 1 m . Hasil perhitungan λ = 61 µm; KCl = 71µm, T = 15N/m; a = π 1010 dan T a = 15×1010 π . 4.13 Efek Doppler Efek Doppler ialah efek terjadinya perubahan frekuensi yang terdengar pengamat terhadap frekuensi gelombang sumber, akibat sumber bergerak pengamat bergerak atau medium berg- erak (angin misalnya). ν = ν c c − u ν = ν c − v c (4.79) Sumber bergerak dengan kecepatan u mendekati pengamat, c kecepatan gelombang maka frekuensi yang terdengar pengamat lebih besar ν > ν. Kemudian sumber tetap, pengamat menjauhi sumber dengan kecepatan v maka frekuensi yang terdengar pengamat lebih kecil ν < ν. Teaching Grant QUE–Project
  • 59. BAB 5 Gelombang Longitudinal Gelombang longitudinal ialah gelombang yang menjalar dalam medium searah dengan arah gerakan partikel-partikelnya atau osilator-osilatornya. Gelombang menjalar dalam plasma, gas, zat cair maupun zat padat.Dalam gas dan zat padat dilakukan pembatasan-pembatasan, dalam zat padat penjalarannya tergantung pada dimensi medium. Zat cair dan gas dapat meneruskan gelombang longitudinal. 5.1 Gelombang bunyi dalam gas Asumsikan gas dengan massa tetap m, menempati ruangan Vo dengan tekanan Po dan kerap- atan ρo. Harga-harga tersebut menunjukkan keadaan kesetimbangan. Bila gas diganggu atau mengalami deformasi karena kompresi dan peregangan besaran–besaran akan mengalami perubahan yaitu: Po → P = Po + p Vo → V = Vo + v (5.1) ρo → ρ = ρo + ρd Tekanan p (excess pressure) ialah amplitudo tekanan maksimum dari gelombang bunyi dan merupakan komponen yang berubah-ubah superimposed disekitar atau menambah tekanan gas dalam kesetimbangan Po, sedangkan fraksi perubahan volume adalah v Vo = δ dan fraksi perubahan kerapatan ρd ρ = s keduanya berurutan disebut sebagai dilatasi dan kondensasi. Harga δ ≈ s = 10−3, p = 2 × 10−5N/m2 dan ν = 1000Hz. Untuk gas dengan massa tetap ρoVo = ρV = ρoVo(1 + δ)(1 + s) → (1 + δ)(1 + s) = 1 → s = −δ (5.2) 50
  • 60. 51 Gelombang bunyi dalam gas Harga δ dan s menunjukkan sifat keelastisitan gas sedang ukuran kompresibilitas didefinisikan sebagai: B = − dP dV/V = −V dP dV (5.3) B berharga positif, ∆V > 0 dan dP < 0 serta B tergantung pada gerakan gelombang. Apa sebab adiabatik atau isotermik?. Adanya gelombang bunyi (sound wave) pada gas akan terjadi perubahan tekanan yaitu ∆p, kalau ∆p besar akan ada ∆T dan adanya faktor konduktivitas akan memindahkan energi dari sistem gas. Dengan asumsi P = Po + p dan Badb tetap, p besar menunjukkan gelombang yang mengganggu yaitu gelombang kejut(shock waves). Bila gas tersebut mengalami proses adiabatik maka akan terpenuhi PV γ = tetap → V γ dP + PγV γ−1 dV = 0 V dP dV = γP = Ba dan dP = p P = Po + p → Ba = − p v/Vo → p = −Baδ = Bas (5.4) Dalam gelombang bunyi ini pergeseran partikel sepanjang sumbu x dan dipilih kordinat η seba- gai pergeseran. Bagaimana persamaan geraknya?. Pandang lapisan gas x dipindah sejauh η dan lapisan gas setebal x+dx bergeser sejauh η +dη dan perubahan tebal gas dx dari elemen persatuan luas adalah dη. Medium di deformasi karena tekanan sepanjang sumbu x sehingga Gambar 5.1: Gelombang longitudinal dalam gas sisi elemen tidak seimbang. Gaya netto yang bekerja pada elemen ialah Px − Px+dx = Px − Px + ∂Px ∂x dx (5.5) = − ∂Px ∂x dx = − ∂ ∂x (Po + p)dx = − ∂p ∂x dx Teaching Grant QUE–Project
  • 61. Bab5. Gelombang Longitudinal 52 Massa elemen sebelum ρodx, sehingga berdasarkan hukum Newton ρodx ∂2η ∂t2 = − ∂p ∂x dx (5.6) dη = ∂η ∂x dx; δ = v Vo = dη dx = ∂η ∂x dx dx = ∂η ∂x = −s (5.7) p = −Baδ = −Ba ∂η ∂x (5.8) − ∂p ∂x = Ba ∂2η ∂x2 = ρo ∂2η ∂x2 (5.9) ∂2η ∂x2 = ρo Ba ∂2η ∂t2 → 1 c2 = ρo Ba (5.10) Persamaan(5.10) adalah persamaan diferensial dan penyelesaian dalam arah x positif ialah η = ηm exp i(ωt − kx); ˙η = iωη; δ = ∂η ∂x = −ikη = −s (5.11) p = Bas = iBakη Penyelesaian dalam arah x negatif η = ηm exp i(ωt + kx); ˙η = iωη; δ = ∂η ∂x = ikη = −s (5.12) p = Bas = −iBakη Dari Gambar.5.2 dapat disimpulkan yaitu Gambar 5.2: Persamaan gelombang dalam gas (a) Untuk gelombang pada arah x(+) di η = 0 maka ˙η maksimum pada arah x(+), p posi- tif(kompresi), s maksimum dan v minimum. (b) Untuk gelombang pada arah x(−) di η = 0 maka ˙η maksimum pada arah x(+), p maksimu negatif, s minimum dan v maksimum. Teaching Grant QUE–Project
  • 62. 53 Energi distribusi pada gelombang bunyi 5.2 Energi distribusi pada gelombang bunyi Energi kinetik dalam gelombang bunyi diperoleh pada elemen gas setebal dx Ekin = 1 2 ρodx ˙η2 (5.13) dengan η = ηmak cos 2π λ (ct − x) (5.14) ˙η = −ηmak 2π λ sin 2π λ (ct − x) = ˙ηmak sin 2π λ (ct − x) (5.15) ∆Ekin = Ekinrerata = 1 2 ρodx ˙η2 ˙η2 = rerata kecepatan pada nλ (5.16) = ˙η2 m nλ 0 sin2 2π λ (ct − x)dx nλ = 1 2 ˙η2 m Ek = rapat energi kinetik rerata (5.17) = 1 4 ρo ˙η2 m = 1 4 ρoω2 η2 m Kemudian rapat energi potensial adalah ∆Ep sebesar kerja p dV yang dilakukan pada massa gas bervolume Vo selama perubahan adiabatik karena gelombang bunyi sebesar Ep = − pdV (5.18) Tanda minus karena p positif, dV negatif yaitu pada kompresi dan pada penarikan ( rarefaction) p negatif dan dV positif. Dalam grafik PV (Gambar.5.3) kerja yang dilakukan dalam kompresi (1) dan pada penarikan (2) besarnya sama yaitu 1 2 pv, pada kompresi tekanan membesar dan pada penarikan tekanan mengecil. Gambar 5.3: Daerah yang diarsir menunjukkan energi potensial pmvm/2 dikuatkan oleh gas dalam kompresi. Teaching Grant QUE–Project
  • 63. Bab5. Gelombang Longitudinal 54 Selanjutnya bila s=kondensasi= dV Vo = − v Vo dan secara incremental dV = −Vods dan p = Bas ∴ Ep = − Bas(−Vods) = BasVods = 1 2 BaVos2 = 1 2 BaVos2 dx = 1 2 Baδ2 dx (5.19) Jika η = ηm exp i(ωt ± kx) dan δ = ∂η ∂x = ±ikη = ±iω c η = ±1 c ∂η ∂x = ±1 c ˙η maka ∆Ep = 1 2 Ba ˙η2 c2 dx = 1 2 ρo ˙η2 dx (5.20) ∆Ep = 1 4 ρo ˙η2 m Energi total ∆E = ∆Ek = ∆Ep = 1 2 ρo ˙η2 m (5.21) ∆E maksimum bila ˙η2 m maksimum dan minimum bila ˙η2 m = 0 Rapat energi kinetik dan energi Gambar 5.4: Energi distribusi dalam ruang gelombang bunyi dalam gas. Baik energi potensial dan kinetik adalah maksimum saat kecepatan partikel ˙η adalah maksimum dan nol pada ˙η = 0 potensial sama yaitu 1 2 ρo ˙η2 m dan rapat energinya rerata adalah 1 4 ρo ˙η2 m berarti energi kinetik dan energi potensial berharga maksimum dan minimum pada waktu yang sama dengan kata lain ˙η menyatakan besar energinya. 5.3 Intensitas gelombang bunyi Intensitas ialah ukuran fluks energi diukur dalam J/s.m2 = watt/m2=rapat energi. Intensitas dituliskan I = 1 2 ρo ˙η2 mc = 1 2 ρoω2 η2 mc = ρoc ˙η2 rms (5.22) = p2 rms ρoc = prms ˙yrms Teaching Grant QUE–Project
  • 64. 55 Impedansi akustik spesifik Intensitas bunyi standar Io = 1 × 10−2watt/m2. Gelombang bunyi normal dengan intensitas antara 10−12 → 1 watt/m2. Tingkat Intensitas TI = log I Io (5.23) = log 10−1 10−2 = 1 bel 1bel = 10dB 5.4 Impedansi akustik spesifik Impedansi akustik spesifik dapat didefinisikan sebagai: Impedansi akustik = tekanan excess kecepatan partikel = p ˙η Bila gelombang bergerak ke kanan x+ maka x+ → p ˙η = Bak ω ; iBakη iωη = Ba c = ρoc (5.24) x− → p ˙η = −ρoc (terjadi perubahan fase) 5.5 Gelombang longitudinal dalam pegas Suatu pegas panjang L ditarik perlahan-lahan, hingga panjangnya bertambah l, maka gaya F akan sama ditiap-tiap titik pada pegas dalam keadaan setimbang (F=gaya yang bekerja). Gaya yang bekerja F ini sebesar K l L , K disebut modulus elastisitas. Menurut hukum Hooke F = kl, maka hubungan antara k dan K ialah k = K L , k disini konstanta pegas atau stiffnes. Kemudian akan ditinjau bila pertambahan panjang pegas karena ada gangguan, akibatnya pegas tegang dan terjadi perubahan panjang η. Maka gaya pada bagian segmen dx sebesar F = K ∂η ∂x. Jika massa persatuan panjang adalah µ, maka menurut Newton, gaya yang bekerja pada sepotong segmen dx sebesar µdx ∂2η ∂t2 = ∂F ∂x dx = K ∂2η ∂x2 (5.25) ∂2η ∂t2 = K µ ∂2η ∂x2 Sehingga kecepatan rambat gelombang longitudinal dalam pegas v = K µ = kL µ = KL m = kL2 m (5.26) 5.6 Gelombang longitudinal kawat elastik Kawat setebal dx dalam keadaan diam terletak antara x dan x + dx. Karena gangguan posisi berubah dan kawat pada kedudukan antara x + η dan x + η + δx + δη atau dikatakan terjadi regangan δx + δη Teaching Grant QUE–Project
  • 65. Bab5. Gelombang Longitudinal 56 Gaya per luas di x sebesar Y ∂η ∂x, dengan ∂η ∂x=regangan, sedang gaya per luas di x + dx sebesar Y ∂η ∂x + ∂2η ∂x2 , sehingga gaya total sebesar Y A ∂2η ∂x2δx . Menurut hukum Newton II : Y A ∂2η ∂x2 δx = Y Aρδx ∂2η ∂t2 (5.27) ∂2η ∂x2 = ρ Y ∂2η ∂t2 ∂2η ∂x2 = 1 c2 ∂2η ∂t2 → c = Y ρ c=kecepatan gelombang longitudinal pada kawat. 5.7 Gelombang longitudinal dalam zat padat Kecepatan gelombang longitudinal dalam zat padat sangat tergantung pada spesimen dimana gelombang menjalar. Dalat zat padat, kecepatan rambat adalah c = Ba ρ (5.28) Pada bulk selain ada regangan ∂η ∂x ada regangan ∂ρ ∂y (arah ⊥ x), β ialah pergeseran pada arah y, merupakan fungsi x dan y adalah − ∂ρ ∂y ∂η ∂x = σ = Poisson’s ratio (5.29) σ adalah hubungan dengan konstanta elastik Lame λ dan µ ialah σ = λ 2(λ + µ) ; λ = σY (1 + σ)(1 − 2σ) ; Y = (λ + 2µ − 2λσ) (5.30) µ disebut koefisien rigiditas transversal=mobil stress transversal terhadap regangan transver- sal. σ umumnya < 1 2 dan biasa σ = 1 3 , dalam bulk solid → µ adalah menunjukkan keelastisan, dan pada zat padat tipis adalah Y(modulus Young) menunjukkan keelastisan. Geser(shear) dalam zat padat bulk akan menghasilkan gelombang transversal, ∂β ∂x =regangan geser transversal dan µ∂β ∂x =stress geser transversal=Tx. Persamaan gerak transversal pada elemen tipis dx ialah Tx+dx − Tx = ρdx¨y (5.31) ∂ ∂x µ ∂β ∂x dx = ρdx¨y µ ∂2β ∂x2 = ρ ∂2β ∂t2 ∂2β ∂x2 = ρ µ ∂2β ∂t2 c2 = µ ρ → c = µ ρ Teaching Grant QUE–Project
  • 66. 57 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi Dari hubungan berikut Y ρ = λ + 2µ ρ − 2λσ ρ (5.32) Y ρ = λ + 2µ ρ bila 2λσ ρ ≈ 0 (5.33) Gelombang longitudinal mempunyai kecepatan lebih besar pada bulk solid. Pada medium bulk solid isotrop B = λ + 2 3 µ = Y (3(1 − 2σ))−1 (5.34) dan kecepatan longitudinal pada bulk solid adalah cL = B+ 4 3 µ ρ 1/2 dan cT = µ ρ 1/2 5.8 Aplikasi gelombang longitudinal pada gempa bumi Gempa bumi ialah gelombang seismik dan diperhatikan gelombang pada permukaan. Didekat permukaan bumi ada gelombang longitudinal dengan c = 8 km/s dan gelombang transversal c = 4, 45 km/s. Nilai c sampai pada kedalaman 1800 mil, selanjutnya pada bidang diskon- tinyu cl ≈ 0 . Pada permukaan ada gelombang Rayleigh yaitu crayleigh = f(σ) µ ρ 1/2 bila σ = 0, 25 → f(σ) = 0, 9194 dan σ = 0, 5 → f(σ) = 0, 9553. 5.9 Gelombang longitudinal dalam struktur periodik Jarak antar atom dalam kristal a(Gambar 5.5), pergeseran atom dari kedudukan kesetimban- gan η dan jarak antar atom a menjadi a + η, regangan = η a dan normal stress per a2 adalah sη a2 = s a . Kemudian modulus Young Y = s sa = s a → s = Y a dan ν = ω 2π = 1 2π s m = 1 2πa Y ρ = co 2πa . co=kecepatan bunyi dalam zat padat=5 × 103 m/s, a = 2 × 10−10 m, ν = 3 × 1012 Hz. Kemudian analog dengan gelombang transversal, persamaan gerak partikel ke-r adalah m¨ηr = s(ηr+1 + ηr−1 − 2ηr) ηr = ηmaks exp i(ωt − kra) (5.35) Karena Y > B Y > µ → cL > cT (5.36) 5.10 Refleksi dan transmisi gelombang pada bidang batas Bila gelombang bunyi menjalar, kemudian mengenai batas yang memisahkan dua media(Gambar 5.6) yang berbeda impedansinya yaitu ρ1c1 dan ρ2c2, maka berapakan gelombang yang direflek- sikan dan ditransmisikan ? Bila kecepatan partikel ˙η dan tekanan akustik p, bidang batas tersebut dengan kondisi luas tak terbatas dan kondisi pada kontak adalah Teaching Grant QUE–Project
  • 67. Bab5. Gelombang Longitudinal 58 Gambar 5.5: Gelombang longitudinal dalam kristal Gambar 5.6: Refleksi dan transmisi gelombang bunyi ˙ηi + ˙ηr = ˙ηt (5.37) pi + pr = pt dan p = ρc ˙η (5.38) ρ1c1 ˙ηi − ρ1c1 ˙ηr = ρ2c2 ˙ηt (5.39) Z1 ˙ηi − Z1 ˙ηr = Z2 ˙ηt (5.40) Dari persamaan(5.37) dan (5.40) diperoleh Z1 ˙ηi − Z1 ˙ηr = Z2( ˙ηi + ˙ηr) ˙ηi(Z1 − Z2) = ˙ηr(Z1 + Z2) ˙ηr ˙ηi = Z1 − Z2 Z1 + Z2 = ωηr ωηi = ηr ηi (5.41) Z1 ˙ηi − Z1 ˙ηi Z1 − Z2 Z1 + Z2 = Z2 ˙ηt Z1(Z1 + Z2) − Z1(Z1 − Z2) (Z1 + Z2)Z2 = ˙ηt ˙ηi = 2Z1Z2 Z2(Z1 + Z2) = 2Z1 Z1 + Z2 (5.42) Sedangkan pr pi = − Z1 ˙ηr Z1 ˙ηi = Z2 − Z1 Z1 + Z2 = − ˙ηr ˙ηi (5.43) pt pi = Z2 ˙ηt Z1 ˙ηi = Z2 Z1 2Z1 Z1 + Z2 = 2Z2 Z1 + Z2 (5.44) bila Z2 > Z1 kecepatan partikel yang direfleksikan sefase dengan ˙ηi, tekanan akustik yang direfleksikan berbeda fase π dengan pi, ˙ηt selalu sefase dengan ˙ηi, pt selalu sefase dengan pi, dan Z2 = ∞ → ˙ηt = 0 = ˙ηi + ˙ηr. Refleksi dan transmisi intensitas bunyi adalah Ir Ii = Z1( ˙η2 r )maks Z1( ˙η2 i )maks = Z1 − Z2 Z1 + Z2 2 (5.45) It Ii = Z2( ˙η2 t )maks Z1( ˙η2 i )maks = Z2 Z1 2Z1 Z1 + Z2 2 = 4Z1Z2 (Z1 + Z2)2 ; Ir Ii + It Ii = 1 (5.46) Teaching Grant QUE–Project
  • 68. BAB 6 Gelombang dimensi lebih dari satu 6.1 Pendahuluan Kecepatan fase c dari gelombang menyatakan kecepatan garis yang berfase sama(2 dimensi) atau bidang yang berfase sama(3 dimensi) bergerak dan ditunjukkan arahnya ⊥ garis atau bidang dengan vektor k(k menyatakan vektor bilangan gelombang juga, k = 2π λ ) Dalam bidang (2 dimensi) gelombang menjalar searah k cos α = k1 k = l → cosinus arah (6.1) cos β = k2 k = m → cosinus arah (6.2) k2 = k2 1 + k2 2 p = ct = lx + m = jarak dari 0 ke garis dengan fase sama,lembah dan puncak (trough and crest) menjalar searah k Bila gelombang searah menempuh jarak p, pergeseran/lintasannya Gambar 6.1: Gelombang bidang menjalar searah k. 59
  • 69. Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 60 pada kedudukan r maka beda fase gelombang ketika berada di 0 dan pada garis fase sebesar φ, maka φ = 2π λ p = k.r = (k1 ˆi + k2 ˆj) · (xˆi + yˆj) = k1x + k2y = kp (6.3) Dan fungsi gelombang yang sering dinyatakan y = yo exp i(ωt − kx) atau η = ηo exp i(ωt − kx) (6.4) dalam dimensi 2 menjadi (secara umum) φ = φo exp i(ωt − kr) (6.5) Dalam ruang(3 dimensi), fungsi gelombang φ = φo exp i(ωt − k · r) (6.6) k = k1 ˆi + k2 ˆj + k3 ˆk r = xˆi + yˆj + zˆk dengan cos α = l = k1 k ; cos β = m = k2 k ; cos γ = n = k3 k p = jarak O ke bidang dengan fase sama(wave front) = ct = lx + my + nz kp = k · r = k1x + k2y + k3z 6.2 Persamaan gelombang dua dimensi(2D) Perhatikan suatu membran dengan ukuran δxδy bergerak/bervibrasi sepanjang z, rapat massa(ρ) dan teregang oleh gaya/tegang T yang uniform. Gaya Tδy bekerja pada elemen δx meng- Gambar 6.2: Membran dengan ukuran δx × δy hasilkan gaya Tδyδx ∂2z ∂x2 (6.7) Teaching Grant QUE–Project
  • 70. 61 Persamaan gelombang dua dimensi(2D) (analog pada dawai T ∂2y ∂x2 dx= gaya tegak lurus x) dan gaya Tδx bekerja pada elemen δy meng- hasilkan gaya Tδyδx ∂2z ∂y2 (6.8) Gaya pada persamaan(6.7) dan (6.8) bekerja pada membran sebesar gaya Newton sepanjang z Tδyδy ∂2z ∂x2 + Tδxδy ∂2z ∂y2 = ρδxδy ∂2z ∂t2 (6.9) ∂2z ∂x2 + ∂2z ∂y2 = ρ T ∂2z ∂t2 = 1 c2 ∂2z ∂t2 → c2 = ρ T dan penyelesaiannya z = A exp i(ωt − k · r) = A exp i(ωt − (k1x + k2y)) (6.10) Penyelesaian bentuk lain dari gelombang 2 dimensi, bentuk umum δ2φ δx2 + δ2φ δy2 = 1 c2 δ2φ δt2 (6.11) dengan φ = X(n)Y (y)T(t) ∂2φ ∂x2 = XxxY (y)T(t); ∂2φ ∂y2 = XTYyy; ∂2φ ∂t2 = XY Ttt Xxx = ∂2X ∂x2 ; Yyy = ∂2Y ∂y2 ; Ttt = ∂2T ∂t2 maka persamaan (6.11) menjadi Xxx X + Yyy Y = 1 c2 Ttt T (6.12) Kemudian diandaikan Xxx X = −k2 1; Xxx X = −k2 2; 1 c2 Ttt T = −(k2 1 + k2 2) = −k2 (6.13) maka Xxx + k2 1X = 0 → X = A cos(k1x) + B sin(k1z) (6.14) Yyy + k2 1Y = 0 → Y = A1 cos(k2y) + B1 sin(k2y) (6.15) Ttt + k2 c2 T = 0 → T = A2 cos(kct) + B2 sin(kct) (6.16) φ = XY T (6.17) = c sin cos k1x sin cos k2y sin cos kct = ce±ik1x e±ik2y e±ikct (6.18) Kapan φ merupakan fungsi sin atau cos tergantung syarat awal. Teaching Grant QUE–Project
  • 71. Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 62 6.3 Refleksi gelombang 2D pada batas tegar(waveguide)) Gelombang 2D menjalar dengan arah k dalam bidang xy sepanjang membran dengan lebar b di bawah pengaruh gaya tegang T antara 2 batang tegar mempunyai impedansi tak hingga. Gelombang menjalar sepanjang sumbu x, maka tiap kali setelah dipantulkan k2 berbalik arah, sehingga membran bergerak sepanjang sumbu z yang merupakan superposisi gelombang datang dan yang dipantulkan. Gambar 6.3: Perambatan gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan impedansi tak terhingga saat y = 0 dan y = b memberikan nilai k2 tiap refleksi z = A1sin(ωt − (k1x + k2y)) + A2sin(ωt − (k1x − k2y)) (6.19) Syarat batas pada y = 0 dan y = b → z = 0 sehingga y = 0 → z = 0 = A1 sin(ωt − k1x) + A2 sin(ωt − k1x) → A1 = A2 (6.20) y = b → z = 0 = A1 sin(ωt − (k1x + k2b)) + A2 sin(ωt − (k1x − k2b)) Pada t = 0, x = 0, dan z = 0 0 = A1 sin(−k2b) + A2 sin(k2b) (6.21) A1 sin(−k2b) = −A2 sin(k2b) = A1 sin(k2b) pada persamaan (6.21) ruas kiri sama dengan ruas kanan, hanya mungkin bila nilai sin(k2b) = 0 → k2b = nπ → k2 = nπ b ; n = 0, 1, 2, · · · . Dengan hasil di atas z = A1 sin(ωt − (k1x + k2y)) − A1 sin(ωt − (k1x − k2y) (6.22) = 2A1 cos 2ωt 2 + −k1x − k2y − k1x + k2y 2 sin −k1x − k2y + k1x − k2y 2 = 2A1 cos(ωt − k1x) sin(−k2y) = −2A1 sin k2y cos(ωt − k1x) Teaching Grant QUE–Project
  • 72. 63 Modus normal pada membran segiempat 2D Gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan kecepatan fase vp = ω k1 = kv k1 (6.23) v kecepatan membran < vp, dan k2 1 = k2 − k2 2 = k2 − n2π2 b2 = ω2 v2 − n2π2 b2 dan bila ω2 v2 = k2 1 + n2π2 b2 maka 2ωdω = v22k1dk1 atau dω dk1 = v2k1 ω , sehingga k1 = (k2 − n2π2 b2 ) 1 2 (6.24) dan vg pada arah x adalah dω dk1 = 1 ω k1v2 = k1 k v, dipenuhi vpvg = kv k1 k1v k = v2 (6.25) Dan kembali ke k2 1 = k2 − n2π2 b2 dimana k1 merupakan suatu bilangan ≥ 0, maka k2 ≥ n2π2 b2 → ω2 ν2 ≥ n2π2 b2 (6.26) ω2 ≥ n2π2v2 b2 → 2πν ≥ nπv b → ν ≥ nv 2b dengan ν = nv 2b =frekuensi cutt off; n = 1, 2, 3, · · · frekuensi yang lebih besar atau sama yang diijinkan lewat, bukan sembarang gelombang. Bila cahaya v = c → vgvp = c2 dan vg < c. Gambar 6.4: Variasi amplitudo gelombang 2 dimensi sepanjang membran dengan n = 1, 2, 3 6.4 Modus normal pada membran segiempat 2D Suatu membran ukuran a × b gelombang bergerak pada membran dengan arah k(k arah sem- barang). Pada batas membran gelombang direfleksi sehingga pada membran terjadi gelom- bang berdiri (standing wave). Dan dipenuhi bila a = n1AA dan b = n2BB , dimana n1, n2 adalah bilangan bulat,dengan AA = λ 2cosα = λk 2k1 = λ2π 2λk1 = π k1 (6.27) BB = λ 2cosβ = λk 2k2 = λ2π 2λk2 = π k2 (6.28) a = n1π k1 dan b = n2π k2 (6.29) Teaching Grant QUE–Project
  • 73. Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 64 Gambar 6.5: Mode normal membran persegi dalam arah k sesuai kondisi batas dari pergeseran nol pada ujungnya a = n1λ/2 cosα dan b = n2λ/2 cos β maka k2 = k2 1 + k2 2 = ( n1π a )2 + ( n2π b )2 = ( 2π λ )2 (6.30) 2 λ = n2 1 a2 + n2 2 b2 1/2 → 2 c/ν = n2 1 a2 + n2 2 b2 1/2 → ν = c 2 n2 1 a2 + n2 2 b2 1/2 (6.31) Pada n1 = n2 = 1 adalah frekuensi fundamental ν = c 2 n2 1 a2 + n2 2 b2 1/2 ; c = T ρ (6.32) ν = T 4ρ 1 a2 + 2 b2 1/2 → z = A sin cos k1x sin cos k2y sin cos kct Garis lembah terjadi pada x = 0 → a n1 , 2a n1 , 3a n1 , · · · , a (6.33) y = 0 → b n1 , 2b n1 , 3b n1 , · · · , b dengan z = A sin n1πx a sin n2πy b sin(kct) dimana z = 0 di x = y = 0,x = a dan y = b. Modus ditentukan oleh n1 dan n2. Modus yang sama dikatakan tergenerasi pada membran, sedangkan modus(4, 7) dengan (7, 4) sama frekuensinya juga (8, 1) dan (1, 8). Pada membran a=3b, modus (3, 3) = (9, 1). 6.5 Gelombang tiga dimensi(3D) Persamaan umum gelombang tiga dimensi adalah ∂2φ ∂x2 + ∂2φ ∂y2 + ∂2φ ∂z2 = 2 φ = 1 c2 ∂2φ ∂t2 (6.34) Teaching Grant QUE–Project
  • 74. 65 Modus Normal dalam 3D Gambar 6.6: Beberapa mode normal pada sebuah membran persegi dimana yang diarsir menyatakan gerakan sinusiodal Gelombang bidang φ = A sin cos k1x sin cos k2y sin cos k3z sin cos kct (6.35) = A exp i(ωt − k · r); k · r = k1x + k2y + k3z Gelombang sferis 2 φ = 1 r2 ∂ ∂r r2 ∂φ ∂r + 1 r2 ∂ ∂θ sin θ ∂φ ∂θ + 1 r2 sin θ ∂2φ ∂ϕ2 (6.36) = A r exp i(ωt − k · r) Gelombang silindris 2 φ = 1 r2 ∂ ∂r r2 ∂φ ∂r + 1 r2 ∂2φ ∂θ2 + ∂2φ ∂z2 (6.37) = A √ r exp i(ωt − k · r) 6.6 Modus Normal dalam 3D Dalam tiga dimensi gelombang mempunyai frekuensi ν = c 2 ( n2 1 l1 + n2 2 l2 + n2 3 l3 ) 1 2 (6.38) Teaching Grant QUE–Project
  • 75. Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 66 dimana l1, l2, l3 merupakan panjang sisi-sisi rectangular enclosure. Sel mempunyai sisi c 2l1 , c 2l2 , c 2l3 . Garis dari titik 0 ke titik (n1c 2l1 , n2c 2l2 , n3c 2l3 ) menunjukkan frekuensi. Volume cell c3 8l1l2l3 (6.39) Berapa banyak cell dalam range frekuensi ν dan ν + dν? jawaban untuk pertanyaan ini adalah semua bilangan bulat positif n1, n2,dan n3. ν2 < c2 4 ( n2 1 l1 + n2 2 l2 + n2 3 l3 ) = (ν + dν)2 (6.40) dan banyaknya cell atau titik (=banyaknya modus normal), yaitu = volume sel bola 8 volume bola (6.41) = 1 8 × 4πν2dν 1 8 c3/l1l2l3 = 4πl1l2l3 ν2dν c3 → 1 8 Oktan jadi jumlah modus normal yang mungkin dalam range ν dan ν + dν per satuan volume dari permukaan tertutup adalah 4π ν2dν c3 Gambar 6.7: Kisi persegi dalam ruang frekuensi. Panjang vektor pada titik pusat adalah nilai frekuensi yang dibolehkan dan arah vektor menyatakan arah perambatan 6.7 Distribusi frekuensi dari radiasi energi benda panas Suatu benda panas pada suhu T memancarkan energi panas dalam interval frekuensi ν dan ν + dν dapat dituliskan Eνdν. Menurut Rayleigh-Jeans : Eνdν = 4πν2dν c3 (2kT) = 8πν2kTdν c3 (6.42) (2 derajat kebebasan, 2 bidang polarisasi transversal) × 1 2 = 2kT. Ternyata Rayleigh-Jeans ini tidak cocok untuk ν ultraviolet catastrophy diganti oleh Planck, energi bukan kT tetapi Teaching Grant QUE–Project
  • 76. 67 Teori Debye kalor spesifik hν exp(hν/kT )−1 maka energi yang dipancarkan dengan frekuensi antara ν dan ν + dν adalah Eνdν = 8πν2 c3 hν exp(hν/kT) − 1 dν (6.43) Gambar 6.8: Grafik radiasi benda hitam 6.8 Teori Debye kalor spesifik Menurut Debye banyaknya modus per volume (dn) adalah dn = 4πν2 dν 2 c3 T + 1 c3 L (6.44) T=transversal dan L=longitudinal. Tiap modus mempunyai energi rerata E = hν exp(hν/kT )−1 (Planck), maka pada volume VA, interval frekuensi ν → ν + dν untuk rerata energi adalah VA ¯Edn = 4πVA 2 c3 T + 1 c3 L hν3 exp(hν/kT) − 1 dν (6.45) Energi total per gram atom EA adalah EA = VA ¯Edn = 4πVA 2 c3 T + 1 c3 L νm 0 hν3 exp(hν/kT) − 1 dν (6.46) e3dx ex − 1 ≈ π4 15 dan bila N=bilangan Avogadro maka dn = 3N = 4πVA 2 c3 T + 1 c3 L νm 0 ν2 dν (6.47) = 4πVA 3 2 c3 T + 1 c3 L ν3 m Teaching Grant QUE–Project
  • 77. Bab6. Gelombang dimensi lebih dari satu 68 EA=Energi total per gram atom meliputi seluruh frekuensi yang ada yaitu 4πVA 3 2 c3 T + 1 c3 L = 3N ν3 m (6.48) ∴ EA = 4πVA 3 2 c3 T + 1 c3 L νm 0 ν2 dν = 9N ν3 m νm 0 ν2 dν = 9RT T Θo 3 Θo 0 x3 ex − 1 dx + 9 8 RΘo Cv = dEA dT = 9R T Θo 3 Θo/T 0 e4x4 ex − 1 dx (6.49) x = hν kT ; Θo = hνm kT = suhu Debye; k = R N Kondisi dari temperatur Debye yaitu Gambar 6.9: grafik Debye 1. T Θo Cv = 9R T Θo 3 Θo/T 0 x2 dx = 9R T Θo 3 × 1 3 Θo T 3 = 3R (6.50) 2. T Θo EA = 9R T Θo 3 ∞ 0 x3 ex − 1 dx π4/15 +RΘo = 9RT T Θo 3 π4 15 + RΘo Cv = dEA dT = 9Rπ4 15 × 4T3 Θ3 o = 12 5 π4 R T Θo 3 (6.51) = Kalor jenis Teaching Grant QUE–Project
  • 78. BAB 7 Gelombang pada jalur transmisi 7.1 Pendahuluan Medium dapat mengirim gelombang. Medium yang sengaja dibuat dari kabel/kawat/kawat koaksial, awat/kabel sejajar dapat mengirim gelombang, gelombang arus listrik dan gelombang potensial dari generator AC ke terminal. Pada kabel mengalir muatan yang berarti ada arus. Suatu generator AC, arus yang dikirim maksimum dan minimum berganti-ganti menurut waktu dan ruang. Berhubungan dengan arus ada gelombang tegangan, dalam generator arus dan tegangan sefase dan daya terkirim dalam jalur. Arus yang mengalir pada kabel akan membentuk medan magnet dan medan listrik se- hingga pada antara kedua kabel terbentuk induktor dengan indukstansi diri Lo(H/m) dan kapa- sitor dengan kapasitansi Co(F/m) . Bila pada kawat tidak ada R maka kawat disebut loss less 7.2 Jalur transmisi tanpa hambatan(ideal lossless) Gambar 7.1 adalah elemen panjang dx(dx <<< λ yaitu panjang gelombang tegangan dan gelombang arus). Pada waktu tertentu laju perubahan tegangan persatuan panjang sebesar tegangan turun dalam induktor, ∂V ∂x dx = −Lodx ∂I ∂t → ∂V ∂x = −Lo ∂I ∂t (7.1) 69
  • 79. Bab7. Gelombang pada jalur transmisi 70 Gambar 7.1: Suatu elemen dari jalur transmisi ideal dengan induktansi Lo(H/m) dan kapasitansi Co(F/m) Juga laju perubahan arus pada waktu tertentu sepanjang kawat sebesar jumlah muatan pada kapasitor dI = ∂q ∂t = ∂ ∂t (Codx)V dan − ∂I ∂x dx = ∂ ∂t (Codx)V − ∂I ∂x = Co ∂V ∂t (7.2) persamaan(7.1) dan (7.2) diturunkan lagi terhadap t dan x didapatkan ∂2V ∂x2 = LoCo ∂2V ∂t2 (7.3) mboxdan ∂2I ∂x2 = LoCo ∂2I ∂t2 (7.4) Dari persamaan(7.4) diperoleh v2 = 1 LoCo , dimana v adalah kecepatan gelombang arus dan gelombang tegangan yang menjalar sepanjang kabel dengan v ≈ (mgnetic inertia) × ( kapasitas menyimpan energi potensial) v ≈ Lo × Co Untuk kabel koaksial dengan jejari dalam r1 dan luar r2 yang berisi bahan polythene dengan permeabilitas magnetik µ dan permitivitas listrik akan mempunyai induktansi per satuan pan- jang, Indukstansi/m Lo = µ 2π ln r2 r1 Kapasintasi/m Co = 2π ln r2 r1 Catatan : µo = 4π × 10−7 henry/m dan o = 36π × 109 −1 farad/m 7.3 Karakteristik Impedansi Jalur Transmisi Dari persamaan(7.1) dan (7.2) didapatkan V+ = Vo+ sin 2π λ (vt − x) dan V− = Vo− sin 2π λ (vt + x) (7.5) I+ = Io+ sin 2π λ (vt − x) dan I+ = Io+ sin 2π λ (vt + x) (7.6) Teaching Grant QUE–Project
  • 80. 71 Refleksi dari ujung jalur transmisi dengan tanda (+) gelombang menjalar ke kanan atau x+ dan tanda (−) gelombang menjalar ke kiri atau x−. Mengacu pada persamaan(7.1) maka untuk tanda (+) − 2π λ Vo+ cos 2π λ (vt − x) = −LoIo+ 2π λ v cos 2π λ (vt − x) Vo+ = Io+Lo 1 √ LoCo = Io+ Lo Co (7.7) atau Vo+ = vLoIo+ → V+ = vLoI+ (7.8) Didefinisikan Zo = V+ I+ = vLo = Lo Co Ω dan −Zo = V− I− = Lo Co . Jadi tegangan total dan arus total pada jalur transmisi adalah : V = V+ + V− dan I = I+ + I− (7.9) Bila arus dan tegangan menjalar pada satu arah, arus dan tegangan sefase. Secara terus menerus energi dikirim oleh generator pada jalur. Tetapi bila dua arah dan arah yang satu sebagai refleksi yang lain maka tidak berlaku pernyataan di atas. 7.4 Refleksi dari ujung jalur transmisi Anggaplah bahwa impedansi karakteristik Zo dari jalur transmisi memiliki panjang berhingga dan pada ujung lain impedansi muatan ZL terpusat pada generator dengan arah penjalaran berlawanan, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Pada ujung “diload” berlaku Gambar 7.2: Refleksi di ujung jalur transmisi V+ + V− = VL dan I+ + I− = IL (7.10) VL IL = ZL dan V+ I+ = − V− I− = Zo (7.11) Dari persamaan(7.10) dan (7.11) diperoleh Koefisien refleksi amplitudo tegangan, V− V+ = ZL − Zo ZL + Zo (7.12) Teaching Grant QUE–Project
  • 81. Bab7. Gelombang pada jalur transmisi 72 Koefisien refleksi amplitudo arus, I− I+ = Zo − ZL ZL + Zo (7.13) Koefisien transmisi amplitudo tegangan VL V+ = 2ZL ZL + Zo (7.14) Koefisien transmisi amplitudo arus IL I+ = 2Zo ZL + Zo (7.15) dimana ZL = Zo → gelombang “dimatch” atau refleksi tidak ada dan ZL = 0 terhubung pendek → VL = V+ + V− = 0 → V+ = −V− yaitu total refleksi dan berubah fase π. Hubungan pendek dengan ZL = 0 terbentuk gelombang berdiri diujung dengan arus maksimum dan tegangan nol. Kemudian karena ada beda fase pada posisi x dimanapun di garis transmisi, dapat dinyatakan tegangan dari dua buah gelombang Vx = V+ + V− = ZoI+ − ZoI− (7.16) = Vo+ei(ωt−kx) + Vo−ei(ωt+kx) Vo+ = Vo− = Vo+ eiωt e−ikx − eikx = −(i)2Vo+ sin kxeiωt (7.17) dan Ix = I+ + I− = Vo+ Zo e−ikx + eikx eiωt (7.18) = 2Vo+ Zo cos kx eiωt Kalau dilihat dalam ruang, arus terdahulu 90◦ dari tegangan dan dalam waktu arus terdahulu 90◦ terhadap tegangan juga (−j) artinya arus tertinggal 90◦ terhadap tegangan. Sedangkan energi yang tersimpan dalam kapasitor adalah 1 2 CoV 2 dan dalam induktor 1 2 LoI2, berganti se- tiap 1 4 siklus. 7.5 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi Efek hambatan dalam jalur transmisi diakibatkan adannya hambatan pada kabel. Pandang su- atu rangkaian RLC dimana pada C diparalelkan dengan G(konduktansi) sepanjang jalur berlaku V = Voeiωt → Co ∂V ∂t = iωCoV dan ∂V ∂x = −Lo ∂I ∂x − RoI = −(Ro + iωLo)I (7.19) I = Ioeiωt → Lo ∂I ∂t = iωLoI dan ∂I ∂x = −Co ∂V ∂t − GoV = −(Go + iωt)V (7.20) Jika persamaan(7.19) dan (7.20) diturunkan lagi terhadap x maka diperoleh ∂2V ∂x2 = −(Ro + iωLo) ∂I ∂t = +(Ro + iωLo)(Go + iωCo)V = γ2 V (7.21) ∂2I ∂x2 = (Go + iωCo) ∂V ∂t = +(Go + iωCo)(Ro + iωLo)I = γ2 I (7.22) Teaching Grant QUE–Project
  • 82. 73 Efek Hambatan dalam Jalur Transmisi Gambar 7.3: Efek hambatan dalam jalur transmisi dengan nilai γ2 = +(Go + iωCo)(Ro + iωLo)I = Ro Go − ω2 LoCo α2−k2 +i ω(LoGo + RoCo) 2αk . γ = α + ik → γ2 = α2 − k2 + 2iαk (Konstanta propagasi), α =attenuasi=koefisien absorpsi dan k = bilangan gelombang. Sedangkan penyelesaian secara umum merupakan fungsi x dan t yaitu ∂2V ∂x2 − γ2 V = 0 → V = Ae−γx + Be+γx ejωt (7.23) = A e−αx ei(ωt−kx) 1 +B eαx ei(ωt+kx) 2 ∂2I ∂x2 − γ2 I = 0 → I = A e−γx + B e+γx eiωt (7.24) = A e−αx ei(ωt−kx) 1 +B eαx ei(ωt+kx) 2 Gambar 7.4: Tegangan dan arus pada ... Kesimpulan : (a) 1 dan 1’ adalah gelombang menjalar ke kanan dengan amplitudo bervariasi e−αx (meru- pakan gelombang datang). Teaching Grant QUE–Project
  • 83. Bab7. Gelombang pada jalur transmisi 74 (b) 2 dan 2’ adalah gelombang menjalar ke kiri dengan amplitudo bervariasi e−αx (merupakan gelombang pantul). (c) Bila jalur transmisi berisi hambatan berarti ada energi yang hilang yang sebanding dengan e−αx 2 = e−2αx (jalur bersifat resistif, viskos, friksi atau difusif) (d) Bila jalur transmisi berisi murni induktor(inersia) dan kapasitor(elastisitas) maka bentuk gelombang sinus atau cosinus (e) Bila jalur transmisi ada hambatan R maka gelombang berbentuk eksponensial. Teaching Grant QUE–Project
  • 84. Daftar Pustaka [1] Pain, H.J.,(1999), The Physics of Vibarations and Waves, 5th Edition, John Wiley & Sons. [2] Puri, S.P.,(1989), Fundamental of Vibration and Waves, Tata McGraw Hill Publishing Com- pany Limited. [3] Alonso, M and Finn, E.J.,(1971), Fundamental Physics II, Fields and Waves, Addison– Wesley. [4] Crawford Jr, F.S.,(1968), Berkeley Physics Course ”Waves”, Volume 3, McGraw-Hill Book Co. 75
  • 85. Daftar Indek Beat, 24 Bulk, 56 Bulk solid, 57 Debye, 68 Derajat kebebasan, 23 dilatasi, 50 Diskontinyu, 57 Efek hambatan, 73 Energi dissipasi, 12 kinetik, 2 potensial, 2 total, 3 Faktor kualitas, 11 Fluks energi, 54 Gelombang aruslistrik, 70 berdiri, 33 bidang, 33 bola, 33 kejut, 51 longitudinal, 33, 50 potensial, 70 transmisi, 70 transversal, 32 Gempa bumi, 57 Gerak harmonik sederhana, 1 harmonik teredam, 8 Impedansi jalur transmisi, 71 Impedansi match, 38 Impedansi akustik, 55 induktansi diri, 27 mutual, 27 Kabel kosksial, 71 kondensasi, 50 Konstanta Lame, 56 konstanta redaman, 8 Kopling kuat, 27 lemah, 27 pegas, 21 Logaritmic decrement, 11 Lossless, 70 Max Planck, 68 Mode, 23 Modus, 23 normal, 64 Non trivial, 30 76
  • 86. 77 DAFTAR INDEK Osilasi terkopel, 21 Pelayangan, 24 Polythene, 71 Rayleight-Jeans, 67 Steady state, 16 Stiffnes, 55 Struktur periodik, 57 Superposisi, 24 Temperatur Debye, 69 Teredam berat, 9 kritis, 9 Tingkat intensitas, 55 Transient, 16 Waktu relaksasi, 11 Waveguide, 63 Teaching Grant QUE–Project

×