• Like

Loading…

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

Fungsi dan grafik

  • 2,265 views
Uploaded on

 

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
2,265
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
36
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. 2.1 Fungsi Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x. Contoh: 1. a. b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA y = f(x)x f 2 2 5y x 2 9y x A B Notasi: f : A →B 1 Daerah hasilDaerah asal Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi: Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205) Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut. 2 {( , )/ 2 5}f x y x x 0 1 -1 2 -2 … 10 y 5 7 7 13 13 205
  • 2. x y y = f(x) Wf y Catatan: 1. Himpunan A, B є 2. Fungsi: y = f(x) , x peubah bebas y peubah tak bebas, bergantung pada x 3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi} 4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df } 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) } 2 x Df x Soal: Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya. a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1 Ada beberapa penyajian fungsi yaitu a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. b. Secara numerik : dengan tabel c. Secara visual : dengan grafik d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit
  • 3. Contoh: 1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons. 2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut. Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah) 0 < w ≤ 1 1.000 1< w ≤ 2 1.250 2 < w ≤ 3 1.500 3 < w ≤ 4 1.750 3 3 < w ≤ 4 1.750 4 < w ≤ 5 2.000 3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut. 0 1 2 3 4 5 1.000 1.500 2.000 w B Ons R u p i a h
  • 4. 4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut. 1.000, jika 0 1 1.250, jika 1 2 ( ) 1.500, jika 2 3 1.750, jika 3 4 2.000, jika 4 5 w w B w w w w 2.2 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi linear Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = Grafik: y 4 2.2 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi linear Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = Grafik: y x b y = ax + b 2. Polinomial Bentuk umum: y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0 dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta, n = derajat polinom ( an 0) Daerah asal: Df =
  • 5. Grafik: Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c, D = b2 - 4ac x y c a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D < 0 y = P(x) y c y = P(x) y c y = P(x) x x x y c a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0 y = P(x) y c y = P(x) y c y = P(x) x x Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4 5 Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut. a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4 3. Fungsi pangkat Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є Daerah asal: Df = Grafik: y y = x y y = x2 0 0 xx y y = x3 0 x
  • 6. 4. Fungsi akar Bentuk Umum: Daerah asal dan daerah hasil: Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil Grafik: ( ) , 2,3,4,...n y f x x n y 0 x y 0 x 2 y x 3 y x Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b.1y x 2 2 2y x x 6 Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b.1y x 2 2 2y x x 1 y x 1 , 0y x x y 0 x 5. Fungsi kebalikan Bentuk umum: Daerah asal dan daerah hasil: Df = - {0}, Wf = - {0} Grafik:
  • 7. 6. Fungsi rasional Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom Daerah asal: Df = - { x | Q(x) = 0} Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut a. b. ( ) ( ) P x y Q x 1 1 x y x 2 2 1 x y x 7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh: a. b. Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar. 7 7. Fungsi aljabar Definisi: Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom. Contoh: a. b. Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar. 1 ( ) 1 x f x x 3 2 2 ( ) ( 2) 1 1 x f x x x x
  • 8. 8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: 0-π -1 1 x y y = sin x 8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: y -2π 2ππ 8 8.2 Fungsi cosinus Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1] Grafik: 0 -1 1 y y = cos x x -2π -π π 2π 8.3 Fungsi tangen Bentuk umum: Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є } Daerah hasil: Wf = sin ( ) tan , dalam radian cos x y f x x x x
  • 9. Grafik: 0- -1 1 x y y = tan x 8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum: -π π 2π-2π 9 8.4 Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum: 1 ( ) sec , dalam radian cos 1 ( ) cosec , dalam radian sin 1 ( a. b. c. ) cot , dalam radian tan y f x x x x y f x x x x y f x x x x 8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1 c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π) e. tan x = tan (x + π)
  • 10. x y 0 1 1 y = ax , a > 1 x y 0 1 1 y = ax , 0 < a < 1 10. Fungsi logaritma Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf = Grafik: 9. Fungsi eksponensial Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = (0, ) Grafik: 10 10. Fungsi logaritma Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0 Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf = Grafik: y 0 1 1 y = loga x x
  • 11. Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya. 11. Fungsi transenden Definisi: Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma. 4 2 10 5 2 10 10 2 ( ) 1 ( ) tan 2 6 ( ) 10 ( ) 6 ( ) log ( ) 2 log 1. 2. 3. 4. 5. 6. ( ) 27. . ( )8 2 x f x x f x x x f x f x x x f x x f x x x x f x t t f x x x x 11 4 2 10 5 2 10 10 2 ( ) 1 ( ) tan 2 6 ( ) 10 ( ) 6 ( ) log ( ) 2 log 1. 2. 3. 4. 5. 6. ( ) 27. . ( )8 2 x f x x f x x x f x f x x x f x x f x x x x f x t t f x x x x 12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function) Definisi: Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal. Contoh: 0 ( ) | | 0 1. x x f x x x x y 0 1 1 y = |x| x -1
  • 12. 0 1 ( ) 2 1 2 0 2. 2 x x f x x x x y 0 1 y = f(x) x 2 3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. f(x) = x = 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 x x x x 0 1 2 3 1 2 3 x y 4 y = f(x) Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 12 Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar 13. Fungsi genap dan fungsi ganjil Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap. x y f(x) -x x y = f(x) Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
  • 13. Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil. Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal. x y f(x) -x x y = f(x) -f(x) Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2 13 Soal: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya. a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2 14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. 2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I. x1 y f(x1) x y = f(x) x2 f(x2) Fungsi f naik x1 y f(x2) x y = f(x) x2 f(x1) Fungsi f turun
  • 14. Soal: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I. a. f(x) = x2 I = [0, ) b. f(x) = sin x I = [ , 2] 15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian 3. Komposisi fungsi Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik: 1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas 14 15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara: 1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian 3. Komposisi fungsi Transformasi fungsi a. Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik: 1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas y = f(x) c y x c c c y = f(x-c)y = f(x+c) y = f(x) - c y = f(x) + c
  • 15. b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c. 2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri 15 b. Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik: 1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c. 0 π 2π -1 1 y y = cos x 2 -2 y = 2 cos x y = ½ cos x x 0 π 2π -1 1 y y = cos x 2 -2 x y = cos ½ x y = cos 2x
  • 16. c. Pencerminan Untuk memperoleh grafik: 1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y y x y = f(x) y = -f(x) x y = f(x)y = f(-x) y x-xx f(x) f(x) -f(x) Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1 3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x 16 Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi. 1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1 3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x
  • 17. OPERASI FUNGSI ALJABAR Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg. 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg. 3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg. 4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0} Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika 17 2 ( ) ( ) ( ) 1 1. 2 ). ( 1 f x x g x x f x x g x x Komposisi fungsi Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut: (f o g)(x) = f(g(x)) di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }
  • 18. Soal : Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika 2 1. 2. ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 f x x g x x f x g x x x Dfg f WfWg Dg x g(a) f(g(x)) a g(x) f ° g 18