Mecanica quantica

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Mecanica quantica

  1. 1. Mecˆnica Quˆntica a a Obra coletivaSum´rio a1 Introdu¸˜o ca 52 Pr´-requisitos e requisitos paralelos e 63 O princ´ ıpio da incerteza 74 O conceito de estado 95 O princ´ ıpio de superposi¸˜o ca 106 Operadores 12 6.1 Valor m´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 e 6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ca ca7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca o 18 7.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7.2 A derivada no tempo de um operador . . . . . . . . . . . . . . 22 7.3 O comutador de p e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ˆ ˆ8 Estados estacion´rios a 249 Po¸o quadrado unidimensional infinito c 2610 Exemplos simples 29 10.1 Po¸o quadrado unidimensional c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10.2 Conectando as solu¸˜es . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 10.3 A equa¸˜o da continuidade . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.4 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10.4.1 Condi¸˜es de contorno co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1
  2. 2. 11 Algumas t´cnicas matem´ticas e a 45 11.1 A fun¸˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ca 11.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4612 O espectro cont´ ınuo 4713 O oscilador harmˆnico o 50 13.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814 Operadores unit´rios e simetrias a 59 14.1 Exemplos de operadores unit´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a 14.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6215 Rota¸˜es e o momento angular co 6316 Autofun¸˜es do momento angular co 67 16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento angular . . . . co . 67 16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular total e da com- co a ponente z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos . . . . . . . . . ca o e . 70 16.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7417 Potenciais com simetria central 7518 O ´tomo de Hidrogˆnio a e 76 18.1 Determinando o comportamento assint´tico . o . . . . . . . . . 78 18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial . . . . . . . . . co ca . . . . . . . . . 79 18.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio a e . . . . . . . . . 83 18.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8619 A nota¸˜o de Dirac ca 8720 O Spin 91 20.1 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 20.2 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamiltoniano ca e . . . . . 98 20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler . . . . . . . . . e . . . . . 102 20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico . . . . e . . . . . 10221 As desigualdades de Heisenberg 104 21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo . . . . . . . . . . . . . 106 ca 2
  3. 3. 22 Teoria das perturba¸˜es co 109 22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . 109 ca a 22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com perturba¸˜o linear 113 o ca 22.3 Corre¸˜es de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 co23 Perturba¸˜es de um n´ co ıvel degenerado 115 23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 116 23.2 Quando o n´ ´ degenerado. . . . . . . . . . . . ıvel e . . . . . . . . 117 23.3 O efeito Zeeman anˆmalo . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . 120 23.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o . . . . . a . . . . . . . . 122 23.4.2 Exerc´ resolvido . . . . . . . . . . . . ıcio . . . . . . . . 124 23.4.3 Exerc´ resolvido (Enrico Fermi, 1954) ıcio . . . . . . . . 126 23.4.4 Prova simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas . . . . . . co . . . . . . . . 130 23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 13324 Perturba¸˜es dependentes do tempo co 13425 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia ca o o a a 13826 For¸as de van der Waals c 142 26.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . 142 26.2 O trabalho de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals . . . . . . ca . . . . . . . . . 143 26.3 Causa da Coes˜o . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 143 26.3.1 A teoria de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 26.3.2 Referˆncias . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 145 26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero . . . . . ca . . . . . . . . . 146 26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der c Waals . . . . . 149 26.6 Apˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . 15327 Sistemas compostos 155 27.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16128 Part´ıculas idˆnticas e 161 28.1 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares . . . . . . . . . . . . . 163 ca 3
  4. 4. 29 O caso quase-cl´ssico a 164 29.1 Regra de transi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ca 29.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 o30 O po¸o duplo. c 17331 Sistemas de dois n´ ıveis 17732 A mol´cula da amˆnia e o 18133 A Mecˆnica Quˆntica Relativista a a 181 33.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 181 33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre . . . . . . . . . . . ca o . . . . . . 182 33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 182 33.4 A equa¸˜o de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . 183 33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´ ca ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 184 33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac . . . . ca . . . . . . 185 33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac ca ca . . . . . . 187 33.4.4 Corrente de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188 33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´ co ıcula em repouso . . . . . . . . 188 33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa . . . . . . . . . co . . . . . . 190 33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico . . . ca e . . . . . . 190 33.5 A anti-mat´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . 191 33.5.1 As solu¸˜es de onda plana . . . . . . . . . . co . . . . . . 191 33.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco . . . . . . . . . ca . . . . . . 19234 Apˆndice Matem´tico 1 e a 193 34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais co . . . . . . . . . . 193 34.1.1 Transforma¸˜es entre bases . . . . . co . . . . . . . . . . 195 34.1.2 Matrizes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 34.1.3 Autovalores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 197 34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . 199 34.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 34.2.2 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20335 Apˆndice matem´tico 2 e a 204 35.1 A equa¸˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . 204 35.2 O Oscilador Harmˆnico . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 207 35.3 O Campo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 35.3.1 Comportamento Assint´tico . . . . o . . . . . . . . . . . 214 35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto e e e Sela . . . . . . . . 219 4
  5. 5. 35.4.1 Exemplo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 e ´36 Apˆndice 3: Otica geom´trica e 223 36.1 Equa¸˜es de Maxwell . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 36.2 A equa¸˜o do eikonal . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 36.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.4 n ´ constante . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 36.5 Dois meios homogˆneos . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.6 Simetria esf´rica . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 36.8 Lentes esf´ricas . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 36.9 A primeira refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 36.10A segunda refra¸˜o . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 36.11A equa¸˜o dos focos conjugados ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 2381 Introdu¸˜o caEstas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est˜o assistindo o ameu curso, um curso introdut´rio de mecˆnica quˆntica no quarto semestre o a ado Curso de Ciˆncias Moleculares da Universidade de S˜o Paulo. Est˜o e a aevoluindo para um livro, mas ainda n˜o o s˜o. a a Em particular, n˜o h´ qualquer pretens˜o de originalidade. Trata-se aqui a a ade conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Emparticular, apoiamo-nos extensamente na referˆncia principal, Landau, Lif- eshitz, [3] partes do qual s˜o aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l´ a ıngua. Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ ısico-qu´ımicaonde utilizaram m´todos de mecˆnica quˆntica no estudo da espectroscopia e a aatˆmica e molecular, o que os coloca em uma situa¸˜o ins´lita: fizeram os o ca oexerc´ıcios antes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸˜o de apre- casentar uma formula¸˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆnica ca aquˆntica que s˜o mais usadas em f´ a a ısico-qu´ımica. Isto explica porque, por ex-emplo, n˜o tratamos de fenˆmenos de espalhamento e porque, por outro lado, a otratamos de simetrias, momento angular e m´todos perturbativos em maior edetalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre.Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11]e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheramestrat´gias diferentes: Wichmann realiza um soberbo tour pela fenomenologia eda f´ısica moderna, e n˜o faz praticamente c´lculos quˆnticos; Nussenzveig, a a aque ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆnica quˆntica, seleciona um a an´ cleo muito mais restrito da mat´ria, essencialmente sistemas de dois n´ u e ıveis, 5
  6. 6. e produz um extrato de alta qualidade dos princ´ ıpios da teoria. Ambos quasen˜o usam matem´tica que n˜o seja de dom´ a a a ınio p´ blico. Ambos s˜o forte- u amente recomendados como leitura paralela. O volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] ´ um outro caso. O eesplˆndido livro de Feynman ´, ao contr´rio do que se diz, um texto avan¸ado, e e a crequerendo ou um talento excepcional, para aproveit´-lo como primeiro texto, aou um consider´vel grau de maturidade em f´ a ısica, para acompanhar os vˆos odo mestre. Os alunos podem come¸ar a lˆ-lo, diria eu, ap´s uns dois meses c e odeste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso. Mais pr´ximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650 op´ginas, est´ o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante. a aSe fosse mais curto eu n˜o precisaria produzir estas notas. a Finalmente, a influˆncia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3], e´ dominante e deliberada. Em minha opini˜o trata-se do melhor texto ex-e aistente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n´ ıvel maisavan¸ado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob- cjetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso domagn´ ıfico “Landau”. Principalmente nos primeiros cap´ ıtulos, segui fielmenteo grande texto russo, com as adapta¸˜es que se fizeram necess´rias. Uma al- co aternativa ` altura do “Landau” existe agora, em portuguˆs: o magn´ a e ıfico livrodo professor Toledo Piza[17].2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos eSolicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, ocap´ıtulo 1 do Volume III das Feynman Lectures on Physics, que cont´m uma eexcelente descri¸˜o da experiˆncia da difra¸˜o por duas fendas, conhecida ca e cacomo experiˆncia de Young, realizada com el´trons, em lugar da luz (que e eYoung usou). Quando eu conseguir realizar isto t˜o bem quanto Feynman, aeste pr´-requisito ser´ substitu´ por um cap´ e a ıdo ıtulo introdut´rio adicional. A oprevis˜o de tempo para que isto aconte¸a ´ de, mais ou menos, da ordem da a c eidade do universo. Dos requisitos paralelos, o mais importante ´ o estudo. A mecˆnica e aqˆ antica ´ uma experiˆncia nova e estranha, mais estranha do que a teo- u e eria da relatividade, e requer h´bitos de pensamento novos, que precisam aser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜o dizer ao longo da avida1 . Estudar s´ perto da prova n˜o basta, ´ quase in´ til. Jean Dieudonn´, o a e u egrande matem´tico francˆs da escola Bourbaki, menciona, em seu grande a e 1 “The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with theirproperties and uses” (Dirac). 6
  7. 7. tratado Treatise on Analysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸˜o do caabstrato. Tamb´m aqui precisamos dela. De fato, Dirac, em sua grande eobra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ ısica desde os Prin-cipia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealingwith abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in thisfield. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive ofexperimental work, must be essentially mathematical. Outro requisito paralelo ´ a leitura de um livro de qualidade, al´m destas e enotas. Sugiro desde logo a leitura do pref´cio e dos par´grafos 1, 2, 3 e 4 do a alivro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸o do curso. c3 O princ´ ıpio da incertezaA “experiˆncia de Young” para el´trons, em particular a forma¸˜o de uma e e cafigura de interferˆncia mesmo quando o feixe de el´trons ´ t˜o rarefeito que e e e an˜o h´ d´ vida de que os el´trons chegam um a um na tela, mostra que a a a u ef´ ısica dos el´trons ´ incompat´ com o conceito de trajet´ria. e e ıvel o N˜o existe, na mecˆnica quˆntica, o conceito de trajet´ria a a a o Isto ´ o conte´ do do princ´ e u ıpio da incerteza, um dos fundamentos da mecˆnica aquˆntica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927. a A maneira de se obter informa¸˜es sobre um sistema quˆntico (que chamare- co amos, para simplificar, de el´tron) ´ realizar intera¸˜es entre ele e objetos e e cocl´ssicos, denominados aparelhos. Por hip´tese esses aparelhos podem ser a odescritos pela mecˆnica cl´ssica com a precis˜o que quisermos. Quando um a a ael´tron interage com um aparelho, o estado deste ultimo ´ modificado. A e ´ enatureza e magnitude dessa modifica¸˜o dependem do estado do el´tron, e ca eservem, por isso, para caracteriz´-lo quantitativamente. A intera¸˜o entre a cao el´tron e o aparelho ´ denominada medida. Um aparelho n˜o precisa ser e e amacrosc´pico. O movimento de um el´tron numa cˆmara de Wilson ´ ob- o e a eservado por meio da trajet´ria nebulosa que ele deixa; a espessura dessa otrajet´ria ´ grande, comparada com as dimens˜es atˆmicas. Quando a tra- o e o ojet´ria de um el´tron ´ determinada com essa baixa precis˜o, ele ´ um objeto o e e a einteiramente cl´ssico. a A mecˆnica quˆntica, ao menos em seu est´gio atual, ocupa um lugar a a apouco usual entre as teorias f´ ısicas: ela cont´m a mecˆnica cl´ssica como um e a acaso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecera sua linguagem. 7
  8. 8. O problema t´ ıpico da mecˆnica quˆntica consiste em predizer o resultado a ade uma medida a partir dos resultados de um certo n´ mero de medidas ante- uriores. Al´m disso, veremos mais tarde que, em compara¸˜o com a mecˆnica e ca acl´ssica, a mecˆnica quˆntica restringe os valores das quantidades f´ a a a ısicas me-didas (por exemplo, a energia ). Os m´todos da mecˆnica quˆntica permitem e a aa determina¸˜o desses valores admiss´ ca ıveis. O processo de medida na mecˆnica quˆntica tem uma propriedade muito a aimportante: a medida sempre afeta o el´tron medido, e ´ imposs´ e e ıvel, porquest˜es de princ´ o ıpio, tornar o efeito da medida sobre o el´tron arbitraria- emente pequeno (como pode ser suposto na f´ ısica cl´ssica). Quanto mais exata aa medida, mais intenso ´ o efeito sobre o el´tron, e ´ somente em medidas de e e epouca precis˜o que o efeito da medida sobre o el´tron pode ser considerado a epequeno. ´ E um dos postulados fundamentais da mecˆnica quˆntica que as coor- a adenadas, ou seja, a posi¸˜o de um el´tron pode sempre ser determinada ca ecom precis˜o arbitr´ria 2 . Suponhamos que, a intervalos definidos ∆t, sejam a afeitas medidas sucessivas das coordenadas de um el´tron. Os resultados n˜o e aestar˜o, em geral, sobre uma curva lisa. Ao contr´rio, quanto menor o valor a ade ∆t, mais descont´ ınuos e desordenados ser˜o os resultados, de acordo com ao fato de que n˜o existe uma trajet´ria para o el´tron. Uma trajet´ria ra- a o e ozoavelmente lisa s´ ´ obtida se as coordenadas do el´tron forem medidas com oe epouca precis˜o, como no caso de uma cˆmara de Wilson. Para informa¸˜es a a cosobre o que ´ uma cˆmara de Wilson, veja e a http://rd11.web.cern.ch/RD11/rkb/PH14pp/node29.html#28 Se, mantendo-se imutada a precis˜o das medidas de posi¸˜o, diminuirmos a caos intervalos ∆t entre as medidas, ent˜o medidas adjacentes dar˜o valores a avizinhos `s coordenadas. Contudo, os resultados de uma s´rie de medidas a esucessivas, embora estejam em uma regi˜o reduzida do espa¸o, estar˜o dis- a c atribu´ ıdas, nessa regi˜o, de uma forma totalmente irregular, e nunca em cima ade uma curva lisa. Em particular, quando ∆t tende a zero, os resultadosdas medidas adjacentes de nenhuma maneira tende a a estar sobre uma reta.Ora, a velocidade tem a dire¸˜o da reta que, na f´ ca ısica cl´ssica, ´ obtida nesse a elimite. Esta circunstˆncia mostra que, na mecˆnica quˆntica, n˜o existe a ve- a a a alocidade da part´ıcula no sentido cl´ssico do termo, isto ´, o limite de (∆r/∆t) a equando ∆t → 0. Enquanto, na mecˆnica cl´ssica, a part´ a a ıcula tem posi¸ao e velocidade c˜bem definidas em cada instante, na mecˆnica quˆntica a situa¸˜o ´ bem a a ca e 2 Isto n˜o est´ em contradi¸˜o com as rela¸˜es de incerteza. Elas dizem que n˜o ´ a a ca co a eposs´ determinar simultaneamente posi¸˜o e momento . ıvel ca 8
  9. 9. diferente. Se, como resultado de uma medida, determinam-se as coordenadasde um el´tron, ent˜o sua velocidade ´ totalmente indefinida. Se, ao contr´rio, e a e adetermina-se a velocidade de um el´tron, ent˜o ele n˜o pode ter uma posi¸˜o e a a cadefinida no espa¸o. Assim, na mecˆnica quˆntica, a posi¸˜es e a velocidade c a a code um el´tron s˜o quantidades que n˜o podem ter, simultaneamente, valores e a adefinidos.4 O conceito de estadoNa mecˆnica cl´ssica conhece-se o estado de um sistema quando s˜o con- a a ahecidas todas as posi¸˜es e todas as velocidades dos pontos do sistema, em coum determinado instante. A partir desses dados ´ poss´ predizer todo o e ıvelfuturo, e reconstruir todo o passado do sistema. Ou seja, conhece-se o es-tado de um sistema quando se pode prever o futuro do sistema com a maiorprecis˜o poss´ (no caso da mecˆnica cl´ssica essa precis˜o ´ total). a ıvel a a a e Na mecˆnica quˆntica tal descri¸˜o ´ imposs´ a a ca e ıvel, uma vez que as co-ordenadas e as velocidades n˜o podem existir simultaneamente. Assim, a adescri¸˜o de um estado na mecˆnica quˆntica ´ feita em termos de menos ca a a equantidades do que na mecˆnica cl´ssica. Segue-se disso uma conseq¨ˆncia a a uemuito importante. Enquanto a descri¸˜o cl´ssica permite prever o movi- ca amento futuro com total precis˜o, a descri¸˜o menos detalhada da mecˆnica a ca aquˆntica n˜o permite essa precis˜o. Isto significa que, mesmo que se conhe¸a a a a co estado de um el´tron, seu comportamento em instantes sucessivos ´, em e eprinc´ ıpio, incerto. A mecˆnica quˆntica n˜o pode fazer previs˜es exatas. a a a oPara um dado estado inicial do el´tron, uma medida subseq¨ente pode dar e uv´rios resultados. O problema t´ a ıpico da mecˆnica quˆntica ´ determinar a a a eprobabilidade de se obter cada um dos resultados poss´ ıveis, ao realizar umamedida (ocasionalmente a probabilidade de se obter um determinado valorpode ser 1, e a de todos os outros zero!). Os processos de medida na mecˆnica quˆntica podem ser divididos em a aduas classes. Em uma, que cont´m a maioria das medidas, est˜o aquelas e aque, para qualquer estado do sistema, conduzem apenas a resultados mais oumenos prov´veis. A outra classe cont´m medidas tais que, dado um qualquer a edos resultados poss´ ıveis dessa medida, existe um estado do sistema no qual amedida d´, com certeza, aquele valor. Essas medidas s˜o ditas previs´ a a ıveis, edesempenham um papel importante na formula¸˜o da mecˆnica quˆntica. As ca a apropriedades f´ ısicas do sistema que s˜o determinadas por medidas desse tipo as˜o chamadas quantidades f´ a ısicas ou observ´veis do sistema.(Ver Landau, aLifshitz) Veremos no que segue que, dado um conjunto de quantidades f´ ısicas, nem 9
  10. 10. sempre ´ poss´ med´ e ıvel ı-las simultaneamente, isto ´, nem sempre ´ poss´ e e ıvelque todas tenham valores definidos ao mesmo tempo. Vimos que este ´ o ecaso para a posi¸˜o e a velocidade de um ponto material, por exemplo. ca Um papel fundamental ´ desempenhado por conjuntos de quantidades ef´ ısicas com a seguinte propriedade: elas podem ser medidas simultaneamentemas, se elas tˆm todas valores definidos, nenhuma outra quantidade f´ e ısicaindependente pode ter um valor definido nesse estado. Tais conjuntos de quantidades f´ ısicas s˜o denominados conjuntos completos ade observ´veis compat´ a ıveis. Um conjunto completo fornece uma descri¸˜ocam´xima do sistema, e, portanto, caracteriza um estado do sistema. a5 O princ´ ıpio de superposi¸˜o caSeja q o conjunto das coordenadas de um sistema quˆntico 3 , e dq o produto a 4das diferenciais dessas coordenadas . Por exemplo, se q = {x, y, z}, dq =dxdydz. O estado de um sistema ´ descrito por uma fun¸˜o complexa ψ(q) das e cacoordenadas. O quadrado do m´dulo dessa fun¸˜o determina a distribui¸˜o o ca cade probabilidades dos valores das coordenadas: |ψ(x, y, z)|2 dxdydz´ a probabilidade de que uma medida realizada sobre o sistema encontre osevalores das coordenadas entre x e x + dx, y e y + dy, z e z + dz. A fun¸˜o ψ ca´ denominada fun¸˜o de onda do sistema.e ca O conhecimento da fun¸˜o de onda permite, em princ´ ca ıpio, calcular aprobabilidade dos v´rios resultados de qualquer medida (n˜o necessariamente a adas coordenadas). Essas probabilidades s˜o express˜es bilineares em ψ e ψ ∗ a o(* representando a opera¸˜o de tomar o complexo conjugado), do tipo ca dqψ(q)∗φ(q)ψ(q)ou ∂ dqψ(q)∗ ψ(q) ∂qpor exemplo. O estado de um sistema varia, em geral, com o tempo. Em conseq¨ˆncia, uea fun¸˜o de onda ´ uma fun¸˜o tamb´m do tempo, ψ(q, t). Se a fun¸˜o ca e ca e ca 3 Abuso de linguagem. Todos os sistemas s˜o quˆnticos. A express˜o correta seria a a a“sistema incorretamente descrito pela f´ ısica cl´ssica”. a 4 Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas. 10
  11. 11. de onda ´ conhecida em um instante inicial, segue, do conceito da descri¸˜o e cacompleta, que ela est´, em princ´ a ıpio, determinada em cada instante sucessivo.A dependˆncia precisa da fun¸˜o de onda com o tempo ´ determinada por e ca euma equa¸˜o denominada equa¸˜o de Schr¨dinger . ca ca o A probabilidade de que as coordenadas de um sistema tenham qualquervalor, ´ 1. Devemos, ent˜o, ter e a |ψ(q)|2dq = 1 ,pois a integral acima ´ exatamente esta probabilidade. e Seja ψ(q) a fun¸˜o de onda de um sistema. Considere a fun¸˜o ca ca ψ ′ (q) = ψ(q)eiαonde α ´ um n´ mero real. Como as probabilidades dos v´rios resultados s˜o e u a aexpress˜es da forma o dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q)e como dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) = dqψ ′∗ (q)φ(q)ψ ′(q) ,vemos que ψ ′ (q) ´ uma descri¸˜o da fun¸˜o de onda do sistema t˜o boa e ca ca aquanto ψ(q). Diz-se , por isso, que a fun¸˜o de onda de um sistema est´ ca adefinida a menos de uma fase, ou seja, que, se ψ(q) ´ fun¸˜o de onda de um e casistema, ψ ′ (q) tamb´m ´.5 e e Seja S um sistema f´ ısico que pode existir tanto num estado de fun¸˜ocade onda ψ1 (q) como no estado de fun¸˜o de onda ψ2 (q). A medida de uma caquantidade f´ ısica f d´, por hip´tese, o resultado f1 , com probabilidade 1, se a oo sistema estiver em ψ1 , e o resultado f2 , tamb´m com probabilidade 1, se o esistema estiver em ψ2 . Postula-se ent˜o que: a(1)Toda fun¸˜o da forma c1 ψ1 + c2 ψ2 , onde c1 e c2 s˜o n´ meros complexos, ca a u´ tamb´m um estado do sistema.e e(2)Neste estado, uma medida de f dar´ ou o resultado f1 ou o resultado f2 . a 5 Na realidade, h´ quantidades f´ a ısicas tamb´m da forma e dqψ ∗ (q)φ(q)ξ(q)onde ξ(q) ´ outra fun¸˜o de onda. Como essas quantidades tamb´m devem permanecer e ca einalteradas, ´ necess´rio acrescentar que a trasforma¸˜o e a ca ψ ′ (q) = eiα ψ(q)deve ser tal que o mesmo α ´ usado para todas as fun¸˜es de onda. e co 11
  12. 12. Este postulado ´ denominado princ´ e ıpio de superposi¸˜o. Segue dele que caa equa¸˜o de Schr¨dinger deve ser linear em ψ. ca o Considere um sistema composto de duas partes, e suponha que o estadodo sistema seja dado de uma maneira tal que cada uma de suas partes possuiuma descri¸˜o completa.6 Ent˜o as probabilidades das coordenadas q1 , da ca aparte 1, s˜o independentes das probabilidades das coordenadas q2 , da parte a2. Seja ψ12 (q1 , q2 ) a fun¸˜o de onda do sistema todo, e ψ1 (q1 ) e ψ2 (q2 ) as cafun¸˜es de onda das partes 1 e 2, respectivamente. Ent˜o, co a ψ12 (q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) ,pois, ent˜o, a |ψ12 (q1 , q2 )|2 = |ψ1 (q1 )|2 |ψ2 (q2 )|2o que significa que as probabilidades s˜o independentes. a Se, al´m disso, essas partes n˜o interagirem, vale ainda a rela¸˜o e a ca ψ12 (q1 , q2 , t) = ψ1 (q1 , t)ψ2 (q2 , t)6 OperadoresSeja f uma quantidade f´ ısica que caracteriza o estado de um sistema quˆntico. aOs valores que uma dada quantidade f´ ısica pode assumir s˜o chamados de aautovalores . O conjunto dos autovalores ´ o espectro. Na mecˆnica cl´ssica e a a 7as quantidades f´ ısicas s˜o cont´ a ınuas. Na mecˆnica quˆntica, n˜o necessaria- a a amente. Pode haver espectros discretos ou espectros cont´ ınuos. Vamos supor,para simplificar, que o espectro de f seja discreto. Os autovalores de f ser˜oadenotados por fn , (n = 0, 1, 2..). A fun¸˜o de onda do sistema, no estado caem que f tem o valor fn , ser´ denotada por ψn . Essas fun¸˜es s˜o chamadas a co aautofun¸˜es de f . Para cada uma delas, co dq|ψn |2 = 1 Um dos princ´ ıpios b´sicos da mecˆnica quˆntica ´ este: a a a e(I) O conjunto das autofun¸˜es de uma quantidade f´ co ısica f ´ completo. Isto e´, dada uma fun¸˜o de onda qualquer ψ do sistema, podemos expand´ eme ca ı-laautofun¸˜es de f assim: co ψ= an ψn n 6 Isto quer dizer que a fun¸˜o de onda de cada uma das partes tem um “futuro” total- camente previs´ıvel, ou seja, que as duas partes do sistema s˜o independentes. a 7 Natura non facit saltus, Isaac Newton. 12
  13. 13. onde os an s˜o n´ meros complexos. a u(II)Fazendo-se uma medida de f em ψ, a probabilidade de se obter o valorfn ´ dada por |an |2 . eEm conseq¨ˆncia, devemos ter ue |an |2 = 1 npois n |an |2 ´ a probabilidade de, medindo-se f , obter-se qualquer um dos evalores poss´ ıveis. Temos, ent˜o, o resultado a an a∗ = n dqψψ ∗ nPor outro lado, temos ψ∗ = a∗ ψn n ∗logo, dqψψ ∗ = ψ a∗ ψn dq n ∗ n = a∗ n ∗ ψn ψdq n = a∗ an n nde onde se conclui que ∗ an = ψn ψdqFinalmente, usando ψ = m am ψm , temos ∗ ∗ an = dqψn am ψm = am ψn ψm dq m mde onde se conclui que ∗ dqψn ψm = δnmDiz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais. a co a6.1 Valor m´dio eVamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´ e ısica f emum dado estado. Sejam fn os valores poss´ıveis de f , ou seja, seus autovalores 13
  14. 14. . Sejam |an |2 as probabilidades de cada um dos autovalores , no estado emquest˜o. Define-se ent˜o o valor m´dio como a a e f= fn |an |2 nUsa-se tamb´m a nota¸˜o f , para a mesma quantidade. Queremos encon- e catrar uma express˜o para f em termos da fun¸˜o de onda do estado consider- a caado. Seja ψ esta fun¸˜o. Para fazer isso vamos associar ` quantidade f´ ca a ısica ˆ que atua sobre as fun¸˜es de onda. Seja fψ a fun¸˜of um operador linear f co ˆ ca ˆ ˆobtida quando f atua sobre ψ. Queremos, de f , que f= ˆ dqψ ∗ (f ψ)para qualquer estado ψ (lembre-se que estipulamos que as quantidades f´ ısicasdeveriam ser express˜es bilineares na fun¸˜o de onda). Ent˜o, o ca a f= fn an a∗ = n dqψ ∗ an fn ψn n nonde usamos an = dqψ ∗ ψn , obtido anteriormente. Vemos, primeiramente,que fψ = an fn ψn nOra, ψ= an ψn , nde maneira que f ´ linear, e que e ˆ f ψn = fn ψnSumarizando: ˆ f ψn = fn ψn (1) ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ (2) ∗ an = dqψn ψ (3) ∗ dqψn ψm = δnm (4)Os valores assumidos por uma quantidade f´ ısica s˜o reais. Portanto, os val- aores m´dios f de uma quantidade f´ e ısica s˜o tamb´m reais, como se vˆ de a e e 2f = n fn |an | . Note-se (exerc´ ıcio f´cil), que, se o estado for uma auto- afun¸˜o de f , o valor m´dio f coincide com o autovalor de f nesse estado. ca e 14
  15. 15. Do fato de f ser real segue uma propriedade importante dos operadoresassociados a quantidades f´ ısicas: ∗ ˆ ∗ ˆ f= dqψ ∗ f ψ = f = dqψ ∗ f ψ (5)Ora, ∗ ∗ ˆ dqψ ∗ (f ψ) = ˆ ψ ∗ (f ψ)dq = ˆ ψ(f ψ)∗ dq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq (6) ˆ e ˆ a ˆ e ˆonde f ∗ ´ definido assim: se f ψ = φ, ent˜o f ∗ ´ o operador tal que f ∗ ψ ∗ =φ∗ .8 Ent˜o, a ˆ ˆ ψ ∗ fψdq = ψ f ∗ ψ ∗ dq ˆ ˆVamos definir o operador transposto t f do operador f . Sejam ψ e φ fun¸˜es co tˆarbit´rias. Ent˜o f ´ tal que a a e ˆ ψ ∗ (t f)φdq = ˆ φf ψ ∗ dqPor exemplo, para ψ = φi, ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdqDa condi¸˜o de realidade de f, Eq.(6), temos ca ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f ∗ )ψdq (7)Comparando os dois extremos vemos que ˆ ˆ f = (t f )∗Operadores com esta propriedade s˜o ditos hermiteanos. Logo, os operadores aassociados a quantidades f´ ısicas s˜o operadores lineares hermiteanos. a Podemos, formalmente, considerar quantidades f´ ısicas complexas, isto ´, ecujos autovalores s˜o complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas x e ay,podemos considerar a quantidade x + iy. Seja f uma quantidade dessetipo, e seja f ∗ a quantidade cujos autovalores s˜o os complexo-conjugados dos a ` ˆautovalores de f . A quantidade f corresponde o operador f. Denotemos por 8 ˆ ∂ a ˆ Por exemplo, seja f = −i ∂x . Ent˜o, dado ψ qualquer, temos f ψ = −i ∂ψ . O operador ∗ ∂xˆ ˆ ˆf ∗ deve ser tal, ent˜o, que f ∗ ψ ∗ = (−i ∂ψ )∗ = i ∂ψ . Logo, f ∗ = i ∂x . a ∂ ∂x ∂x 15
  16. 16. ˆf + o operador correspondente ` quantidade f ∗ . Este operador ´ denominado a eo adjunto de fˆ. O valor m´dio da quantidade f ∗ ´ dado por e e f∗ = ˆ ψ ∗ f + ψdqonde apenas adaptamos a defini¸˜o de m´dia de um operador. ca e Ora, ˆ f = ψ ∗ fψdqlogo, ∗ ∗ f = ˆ ψ ∗ f ψdq = ˆ ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdqMas ∗ ∗ f∗ = fn |an |2 = ∗ fn |an |2 =f n nOu seja, ˆ ψ ∗ f + ψdq = ˆ ψ ∗ (t f)∗ ψdqComparando, temos ˆ ˆ f + = (t f)∗Em palavras, o adjunto ´ o transposto do conjugado. e A condi¸˜o de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como ca ˆ ˆ (t f ) = f ∗pode agora ser escrita: ˆ ˆ f = f+e os operadores hermiteanos s˜o aqueles que coincidem com os adjuntos. Da´ a ıserem chamados tamb´m de auto-adjuntos. e Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofun¸˜es de um op- coerador hermiteano pode ser demonstrada diretamente. Sejam fn e fm dois ˆautovalores diferentes do operador hermiteano f . Sejam ψn e ψm as auto-fun¸˜es correspondentes. Ent˜o, co a ˆ f ψn = fn ψn (8) ˆ fψm = fm ψm (9) ∗Multiplicando a primeira por ψm , temos ∗ ˆ ∗ ∗ ψm f ψn = ψm fn ψn = fn ψm ψn 16
  17. 17. e ∗ ˆ ∗ dqψm f ψn = fn dqψm ψn (10) ˆ ∗Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplicando por ψn , temos ψn f ∗ ψm = ∗fm ψn ψm . Integrando, ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = fm ∗ dqψn ψm (11) ∗ ˆ ˆ ∗ dqψm f ψn − dqψn f + ψm = (fn − fm ) ∗ dqψn ψm (12)Mas ˆ ∗ dqψn f ∗ ψm = ˆ dqψm (t f )∗ ψn = ∗ ∗ ˆ dqψm f + ψn = ∗ ˆ dqψm f ψn ˆepois f ´ hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) ´ zero. Conseq¨ ente- e umente, ∗ (fn − fm ) ψn ψm dq = 0e, como fn = fm , segue que ∗ dqψn ψm = 0 (n = m)6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores ca caSejam f e g duas quantidades f´ısicas que podem ter valores definidos simul- ˆ ˆtaneamente. Sejam f e g seus operadores. Os autovalores da soma f + g s˜o a ˆ + g , e sejam ψna soma dos autovalores de f e de g. Considere o operadorf ˆ co ˆ ˆas autofun¸˜es comuns a f e g . Ent˜o, a ˆ f ψn = fn ψn g ψn = gn ψn ˆe, portanto, ˆ ˆ (f + g )ψn = (fn + gn )ψnEste resultado pode ser generalizado para fun¸˜es de onda quaisquer, assim: co ˆ ˆ ˆ (f + g )ψ = f ψ + g ψ ˆNeste caso, tem-se f +g = ˆ ˆ ψ ∗ (f + g )ψdq = ˆ ψ ∗ fψdq + ψ ∗ g ψdq = f + g ˆ 17
  18. 18. A multiplica¸˜o de operadores ´ definida assim: ca e ˆˆ ˆg (f g )ψ = f (ˆψ) ca ˆ ˆSuponhamos que ψn seja autofun¸˜o comum a f e g . Ent˜o, a ˆˆ ˆg ˆ ˆ f g ψn = f (ˆψn ) = f (gn ψn ) = gn f ψn = gn fn ψne ˆˆ ˆ ˆ g fψn = g (f ψn ) = g (fn ψn ) = fn (ˆψn ) = fn gn ψn ˆ gLogo, para as autofun¸˜es simultaneas, temos co ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψn = 0Isto n˜o ´ suficiente para se concluir que o operador a e ˆˆ ˆ ˆ f g − gf = 0 .Contudo, como o conjunto das autofun¸˜es ψn ´ completo, temos, dada uma co efun¸˜o de onda arbitr´ria, que ca a ψ= an ψn ne ˆˆ ˆ ˆ (f g − g f )ψ = ˆˆ ˆ ˆ an (f g − g f)ψn = 0 n ˆˆ ˆ ˆ eLogo, o operador f g − g f ´ zero como operador, pois leva qualquer fun¸˜o caao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores quepossuem um conjunto completo de autofun¸˜es comuns. No caso geral, esse cocomutador, ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ [f, g ] ≡ f g − g f´ diferente de zero.e7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger ca oA fun¸˜o de onda determina completamente o estado f´ ca ısico do sistema. Istosignifica que, dada a fun¸˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜o ca asomente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜o descritas, amas tamb´m as propriedades em qualquer instante subseq¨ ente (tudo isso, e unaturalmente, em termos do conceito de descri¸˜o completa admitido pela camecˆnica quˆntica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira a a 18
  19. 19. no tempo, ∂ψ no instante t ´ determinada pelo valor de ψ no mesmo instante. ∂t eComo a teoria ´ linear, essa rela¸˜o ´ tamb´m linear. Vamos escrevˆ-la assim: e ca e e e ∂ψ ˆ i¯ h = Hψ (13) ∂t ˆ eonde H ´ um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de ˆ edescobrir a natureza de H ´ impˆr que, no limite cl´ssico, as leis de Newton o asejam obtidas. Usando argumentos de mecˆnica avan¸ada mostra-se que H a c ˆdeve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dosmomento s pi e das coordenadas qi do sistema, fazendo-se ainda a substitui¸˜o ca ∂ pi = −i¯ h (14) ∂qi A equa¸˜o (13) ´ denominada equa¸˜o de Schr¨dinger , e desempenha, ca e ca ona mecˆnica quˆntica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na a amecˆnica cl´ssica. a aExemplos:(2) A part´ ıcula livre unidimensional: p2 E = 2m ∂ p = ˆ −i¯ h ∂x ∂ ∂ p2 ˆ = −i¯ h −i¯ h ∂x ∂x ˆ ¯ 2 ∂2 h H = − 2m ∂x2 ˆ ¯ 2 ∂2ψ h Hψ = − 2m ∂x2Equa¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯ 2 ∂2ψ h i¯ h =− . (15) ∂t 2m ∂x2(2) A part´ ıcula livre tri-dimensional: 1 E = p2 + p2 + p2 2m x y z ∂ px ˆ = −i¯h ∂x ∂ py ˆ = −i¯h ∂y 19
  20. 20. ∂ pz ˆ = −i¯ h ∂z ˆ ¯2 h ∂2 ∂2 ∂2 H = − 2 + 2+ 2 2m ∂x ∂y ∂z ˆ ¯2 2 h Hψ = − ∇ ψ 2mEqua¸˜o de Schr¨dinger completa: ca o ∂ψ ¯2 2 h i¯ h =− ∇ ψ (16) ∂t 2m(3) Part´ ıcula sobre a a¸˜o de um potencial: caSeja V (x, y, z) a energia potencial da part´ ıcula. Na mecˆnica quˆntica o operador energia a a ˆpotencial, V (r) ´ definido por: e ˆ V (r)ψ(r) ≡ V (r)ψ(r) ca ˆou seja, a a¸˜o do operador V (r) sobre a fun¸˜o ψ(r) consiste simplesmente em multi- caplic´-la pelo n´ mero V (r). Exemplo: a uOscilador harmˆnico unidimensional: o ˆ 1 2 V (x)ψ(x) = V (x)ψ(x) = kx ψ(x) 2 ˆ ¯2 2 h 1 Hψ = − ∇ ψ + kx2 ψ 2m 27.1 Exerc´ ıcios1. Sejam ψ1 (x) e ψ2 (x, respectivamente, autofun¸˜es de H, com autovalores coE1 e E2 . ψi (x) = ψi (x, t = 0). Seja Ψ(x, t = 0) = a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x).Determinar Ψ(x, t) para t > 0.Solu¸˜o: caTemos i ˆ ψ(x, t) = e− h Ht ψ(x, t = 0) ¯ (17)Portanto, i ˆ i iΨ(x, t) = e− h Ht (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x))) = a1 e− h E1 t ψ(x, t = 0)+a2 e− h E2 t ψ2 (x, t = 0) ¯ ¯ ¯ (18)(a) Mostre que, nas condi¸˜es acima, co i ˆ i exp − Htψ1 (x) = exp − E1 tψ1 (x) h ¯ h ¯(b) Demonstre a Eq.(17).(c) As fun¸˜es exp i(k1 x − ω1 t), exp i(k2 x − ω2 t) e exp −i(k1 x + ω1 t) s˜o solu¸˜es co a co 20
  21. 21. estacion´rias da equa¸˜o de Schr¨dinger de uma part´ a ca o ıcula livre. Escreva essaequa¸˜o de Schr¨dinger e mostre que isso ´ verdade. A soma das trˆs ´ ca o e e euma solu¸˜o da mesma equa¸˜o, logo ´ a fun¸˜o de onda de um estado de ca ca e capart´ıcula livre. Se o sistema se encontra neste estado, quais os valores daenergia que podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual´ a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidadeserelativas, em vez de em probabilidades simplesmente?2.A fun¸˜o de onda de uma part´ ca ıcula livre de massa m, em movimento aolongo do eixo x, ´, em t = 0, dada por e 1/4 2α 2 ψ(x) = e−αx (19) π(a) Verifique se ela est´ normalizada. a(b)Usando ∞ 2π − k2 dxe−αx e−ikx =e 4α (20) −∞ αexpanda ψ(x) (da Eq.19) em autofun¸˜es simultˆneas do momento e da en- co aergia , exp ikx. Se a expans˜o for escrita a 1/4 2α 2 ∞ e−αx = dka(k)eikx π −∞mostre que 1/4 1 2α π − k2 a(k) = e 4α 2π π αe que, portanto, 1/4 1 2α π ∞ k2 i¯ k2 t h ψ(x, t) = dke− 4α eikx e− 2m (21) 2π π α −∞(c) Agora, num esfor¸o de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a cEq.(20) trivialmente modificada). Vocˆ deve achar e 1/4 2α m αm 2 ψ(x, t) = e− m+2iα¯ t x h (22) π m + 2iα¯ t h(d)Verifique que a fun¸˜o de onda ψ(x, t) da Eq.(22)satisfaz a equa¸˜o de ca caSchr¨dinger para a part´ o ıcula livre. 21
  22. 22. 7.2 A derivada no tempo de um operador ˆeDiremos que um operador f˙ ´ a derivada no tempo do operador f se, sendo ˆ ˆ ˆ f o valor m´dio de f num estado arbitr´rio, e f˙ o valor m´dio de f˙ nesse ˆ e ˆ a emesmo estado, tivermos d ˆ ˆ f = f˙ (23) dtExplicitando, devemos ter d ˆ d ˆ ∂f ψ∗ ˆ f = ˆ dqψ ∗ f ψ = dqψ ∗ ψ+ dq fψ + ˆ∂ψ dqψ ∗ f (24) dt dt ∂t ∂t ∂tUsando a equa¸˜o de Schr¨dinger , obtemos ca o ∂ψ ∗ i ˆ∗ ∗ = H ψ ∂t h ¯ ∂ψ −i ˆ = Hψ ∂t h ¯Usando esses resultados em (24), temos d ˆ ˆ ∂f i i f = dqψ ∗ ψ+ ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ − ˆ ˆ dqψ ∗f Hψ (25) dt ∂t h ¯ h ¯ O termo que cont´m a derivada parcial do operador s´ existe quando a express˜o do e o aoperador cont´m parˆmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tiv´ssemos uma e a epart´ ıcula livre de massa vari´vel, seu hamiltoniano seria a ˆ ¯2 h H=− ∇2 (26) 2m(t)e a derivada em quest˜o seria dada por a ˆ ∂H ¯ 2 dm 2 h = ∇ ∂t 2m2 (t) dtNa grande maioria dos casos este termo ´ inexistente. e ˆ eVoltando ` Eq.(25), e usando o fato de que H ´ hermiteano, temos a ˆ ˆ dq H ∗ ψ ∗ f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ = ˆˆ dqψ ∗ H f ψ (27)e, conseq¨ entemente, u d ˆ ˆ i ∂f f = ψ∗ ˆ ˆ i ˆˆ + Hf − f H ψ (28) dt ∂t h ¯ h ¯ 22
  23. 23. Como, por defini¸˜o, ca d ˆ ˆ f = dqψ ∗ f˙ψ dttemos que ˆ ˆ ∂f + i H f − f H f˙ = ˆ ˆ ˆˆ (29) ∂t h ¯ ˆComo dissemos, o caso mais importante ´ aquele em que ∂ f = 0 (diz-se ent˜o e ∂t aque o operador n˜o tem dependˆncia expl´ a e ıcita no tempo.) Neste caso, ˆ i ˆ ˆ ˆˆ f˙ = Hf − f H (30) h ¯ ˆVemos ent˜o que, se [H, f ] = 0, f˙ = 0, e a ˆ ˆ ˆ f = constante . (31)Na mecˆnica quˆntica, a constˆncia de uma quantidade f´ a a a ısica no tempo querdizer isto: que o valor m´dio dessa quantidade independe do tempo. Con- e ˆ Temos, evidentemente, que [H, H] = 0, logo, se H n˜osidere o operador H. ˆ ˆ ˆ adepende explicitamente do tempo, ˆ ˙ i ˆ ˆ H = [H, H] = 0 (32) h ¯ d ˆe dt H = 0. A quantidade f´ ısica associada ao hamiltoniano ´ a energia . eLogo, a energia se conserva, na mecˆnica quˆntica. a aComo |ψ 2 |dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸o, temos que c d d ∂ψ ∗ ∂ψ 0= dq|ψ|2 = dqψ ∗ ψ = ψ + ψ∗ (33) dt dt ∂t ∂tEliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸˜o de Schr¨dinger , temos: ca o i ˆ ˆ i ˆ ˆ 0= dqψ H ∗ ψ ∗ − dqψ ∗ Hψ = dqψ ∗ (t H)∗ ψ − dqψ ∗ Hψ h ¯ h ¯ i ˆ ˆ = ψ∗ H + − H ψ h ¯ ˆ ˆ ˆ eSegue ent˜o que H = H + , ou seja, que H ´ hermiteano. a7.3 O comutador de p e q ˆ ˆ h∂Como px = −i¯ ∂x , temos ˆ ∂ψ(x) ∂ [ˆ, px ]ψ(x) = x(−i¯ ) x ˆ ˆ h − (−i¯ ) (xψ(x)) h (34) ∂x ∂x 23
  24. 24. que leva a [ˆ, px ]ψ(x) = i¯ ψ(x) x ˆ h (35)Logo, temos a igualdade entre operadores: [ˆ, px ] = i¯ ˆ x ˆ h1 (36)onde ˆ ´ o operador unidade, definido por 1e ˆ =ψ 1ψ (37)qualquer que seja ψ. Obviamente isto vale tamb´m para as outras componentes. Numa forma egeral. temos: [ˆi , qj ] = −i¯ δij ˆ p ˆ h 1 (38)S˜o as chamadas rela¸˜es de Heisenberg. a co8 Estados estacion´rios aNa equa¸˜o de Schr¨dinger ca o ∂ψ(r, t) ˆ i¯ h = Hψ(r, t) (39) ∂tprocuremos solu¸˜es da forma co ψ(r, t) = u(r)T (t) , (40)que s˜o um produto de uma fun¸˜o s´ de r por uma fun¸˜o s´ de t. Explici- a ca o ca otando a forma do hamiltoniano, 2 ˆ h ¯ H=− ∇2 + V (r) (41) 2mreescrevemos a Eq.(39) assim: ∂ h2 2 ¯ i¯ h u(r)T (t) = − ∇ u(r)T (t) + V (r)u(r)T (t) (42) ∂t 2mque pode ser reescrita: dT (t) h2 2 ¯ i¯ u(r) h = −T (t) ∇ u(r) + V (r)u(r)T (t) (43) dt 2m 24
  25. 25. Dividindo por u(r)T (t), temos 1 dT 1 h2 2 ¯ i¯ h =− ∇ u + V (r) (44) T dt u 2mO primeiro membro n˜o depende de r, ou seja, s´ pode depender de t. Ele a o´ igual ao segundo membro, que n˜o pode depender de t. Logo, o primeiroe amembro n˜o depende nem de r nem de t: n˜o dpende ent˜o de nada: ´ a a a econstante. O segundo membro, por for¸a da equa¸˜o, ´ igual ao primeiro, e c ca eent˜o tamb´m constante. Designemos esta constante por E. Teremos ent˜o a e a 1 dT i¯ h =E (45) T dtou dT i = − Edt (46) T h ¯que ´ integrada facilmente, dando e i T (t) = Ke− h Et ¯ (47)Logo, i ψ(r, t) = Ku(r)e− h Et ¯ (48)Note-se que ˆ ∂ ∂ i Hψ(r, t) = i¯ ψ(r, t) = i¯ h h Ku(r)e− h Et = Eψ(r, t) ¯ ∂t ∂to que mostra duas coisas importantes: i1. Os ψ(r, t) da forma u(r)e− h Et s˜o autofun¸˜es do hamiltoniano. ¯ a co2.E ´ o autovalor do hamiltoniano, e, portanto, a energia do sistema, quando eneste estado. Estados da forma i ψ(r, t) = u(r)E − h Et ¯ (49)s˜o chamados estados estacion´rios. O nome ´ devido ao fato de que a den- a a esidade de probabilidade de posi¸˜o, |psi(r, t)|2 , ´ independente do tempo, ca epois i ∗ i |ψ(r, t)|2 = u(r)e− h Et ¯ u(re− h Et = |u(r)|2 ¯ (50) ipois |e− h Et |2 = 1. ¯ Os estados estacion´rios s˜o extremamente importantes na descri¸˜o quˆntica a a ca ada natureza, n˜o s´ por representarem os estados que tˆm energia definida, a o e 25
  26. 26. mas tamb´m porque o conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que s˜o os e aestados estacion´rios, ´ completo. Isto significa que qualquer estado pode ser a erepresentado como uma combina¸˜o linear de estados estacion´rios. ca a A determina¸˜o dos estados estacion´rios de um determinado hamiltoni- ca aano ´ feita normalmente resolvendo-se a equa¸˜o, dita equa¸˜o de Schr¨dinger e ca ca oindependente do tempo, ˆ Hu(r) = Eu(r) (51) Resolver esta equa¸˜o significa n˜o s´ determinar u(r), mas o par(E , u(r)). ca a oO n´ mero E ´ o autovalor de H u e ˆ associado ` autofun¸˜o u(r). Problemas desse a catipo s˜o chamados, em matem´tica, problems de autovalores . a a9 Po¸o quadrado unidimensional infinito cEste ´ o problema mais simples envolvendo um sistema localizado. Uma epart´ıcula move-se livremente ao longo do eixo x, exceto pelo fato de que,nas posi¸˜es x = 0 e x = a, existem paredes impenetr´veis: exige-se, isto co a´, que a probabilidade de a part´e ıcula estar fora do intervalo 0 ≤ x ≤ a sejaestritamente 0. Formalmente isto se realiza exigindo que a fun¸˜o de onda cada part´ ıcula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamenteespessas. Portanto, ψ(x) = 0 para x ≥ a e para x ≤ 0. Procuremos os estados estacion´rios. Na regi˜o interna as paredes, temos a a ` h2 d2 ¯ − ψ(x) = Eψ(x) (52) 2m dx2onde E ´ um n´ mero positivo ou nulo. (O “fundo do po¸o” ´ o ponto de e u c eenergia zero, por defini¸˜o). A Eq.(52) pode ser reescrita como ca d2 2m − 2 ψ(x) = 2 Eψ(x) (53) dx h ¯e, introduzindo 2m k2 = E (54) h2 ¯temos d2 ψ(x) = −k 2 ψ(x) (55) dx2Esta ´ uma equa¸˜o diferencial bem conhecida. Sua solu¸˜o geral ´: e ca ca e ψ(x) = A sin kx + B cos kx. (56) 26
  27. 27. Temos, adicionalmente, as condi¸˜es de contorno co ψ(0) = ψ(a) = 0 (57)Para satisfazer ψ(0) = 0, basta tomar B = 0, pois o seno se anula automati-camente em x = 0. Ent˜o, antes de usar a segunda condi¸˜o de contorno, a catemos ψ(x) = A sin kx (58)A segunda condi¸˜o de contorno exige que ca A sin ka = 0 (59)e sabemos que o seno se anula em qualquer arco da forma nπ, com n inteiroqualquer. Logo, devemos ter ka = nπ (60)ou seja, k tem seus valores restritos aos da forma nπ kn = (61) aonde acrescentamos um ´ ındice a k para maior clareza. Em suma, as solu¸˜es coda equa¸˜o de Schr¨dinger (52) que satisfazem as condi¸˜es de contorno (57) ca o cos˜o a nπ ψn (x) = A sin x (62) acom n = 0, 1, 2 . . ..9 Note-se que ´ a condi¸˜o de a fun¸˜o de onda se anular em x = a que e ca carestringe os valores de k, e portanto os valores da energia , j´ que a h 2 kn ¯ 2 h2 n2 π 2 ¯ En = = . (63) 2m 2m a2Diferentemente do que acontece na f´ ısica cl´ssica, a energia n˜o varia contin- a auamente: do valor En passa-se, a seguir, ao valor En+1 , e h2 π 2 ¯ h2 π 2 ¯ En+1 − En = 2 (n + 1)2 − n2 = (2n + 1) (64) 2m a 2m a2Temos, isto ´, um espectro discreto para a energia . Espectros discretos para ea energia est˜o sempre ligados ao fato de o sistema ser localizado, isto ´, ter a e 9 Na realidade inteiros negativos s˜o tamb´m admitidos, mas, como sin −nπ x = a e a nπ−sin a x , as fun¸˜es de onda correspondentes a n negativos s˜o as mesmas que as co ade n positivos, pois ψ(x) e −ψ(x) representam o mesmo estado. 27

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