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Razão aurea

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  • 1. Sérgio Nuno Gonçalves Nº18 Curso de Educação e Formação de Adultos (EFA) Tecnologias de Informação e Comunicação Multimédia (UFCD) INSTITUITO DO EMPREGO E FORMAÇÃO PROFISSIONAL, IP A RAZÃO ÁUREA
  • 2. 2 INTRODUÇÃO Este trabalho tem como tema a “Proporção Áurea” e assenta sobretudo no desenvolvimento de três questões: a Origem e contexto histórico do princípio da Proporção Áurea, a sua constatação e demonstração e ainda a sua aplicação nos tempos modernos, nomeadamente, design, arquitetura, etc. O trabalho foi desenvolvido no âmbito do curso de Tecnologias de Informação e Comunicação do Instituto de Emprego e Formação Profissional, no módulo de Design Comunicação e Multimédia, ministrado pelo formador Sr. Arquiteto Pereira. Utilizei diversas figuras ao longo do trabalho, de forma a ser mais fácil explicar o que pretendia transmitir.
  • 3. 3 ORIGEM E CONTEXTO HISTÓRICO DO PRINCIPIO DA PROPORÇÃO ÁUREA A Proporção Áurea, pode ser designada de diversas formas, nomeadamente: Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro, divina secção, divina proporção, divisão de extrema razão e ainda razão de Phidias. O Número de Ouro é um número irracional misterioso e enigmático que surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, é considerado por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. O número de Ouro é designado pela letra grega (PHI). Convencionou-se que o valor do número áureo seria de: 1,618. A designação adotada para este número, f (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi o escultor e arquiteto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas. A história deste enigmático número perde-se na antiguidade.  Pirâmides Egípcias No Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade. Também muitos hieroglíficos têm proporções baseadas na razão áurea. Figura 1 – Pirâmides de Gizé Figura 2 – Hieroglíficos Egípcios
  • 4. 4  Partenon Grego Construído muitas centenas de anos depois ( entre 447 e 433 a. C.) , também o Partenon Grego um templo representativo do século de Péricles contém a razão de Ouro no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e arquitecto encarregado da construção deste templo foi Fídias. Figura 3 - Partenon Grego Figura 4 - Partenon Grego  Euclides Também Euclides, no seu livro “Os Elementos”, utilizou o número de ouro para construir o primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos nomeadamente o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares).
  • 5. 5 Figura 5 - pentágono regular Figura 6 - Dodecaedro  Pitágoras Também os Pitagóricos usaram a seção de ouro na construção da estrela pentagonal ou pentagrama. Um pentagrama regular é obtido traçando-se diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea. Quando Pitágoras descobriu que as proporções do pentagrama eram a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica. Este era um dos motivos que levava Pitágoras a dizer que " tudo é número ", ou seja, que a natureza surge de padrões matemáticos. No entanto, não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional. Deste modo, o número de ouro foi o primeiro número irracional que que se teve consiciência que o era. Figura 7 – Estrela Pentagonal
  • 6. 6  Fibonacci A contribuição de Fibonacci ou Leonardo de Pisa para o número de ouro está relacionada com a solução do problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, que deu origem à sequência de números de Fibonacci. Este matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos criou aquela que é provalmente a mais famosa sequência matemática (a sequência de Finonacci), tendo-a publicado no seu livro Liber Abaci. A partir de dois coelhos, Fibonacci foi contando como eles se aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência onde um número é igual à soma dos dois números anteriores, em que os dois primeiros números são 1 (os 2 coelhos iniciais: o macho e a fêmea): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, ... As razões entre um número desta sequência e o que o antecede vão-se aproximando do número de ouro: 1,618. 1/1=1; 2/1=1; 3/2=1,5; 8/5=1,6; 13/8= 1,625; 21/13=1,6184 Estas razões variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a média é 1,618. exactamente a proporção das pirâmides do Egipto e do rectângulo de ouro. Assim, a proporção de crescimento média da série é 1,618... Esta descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção que os ciêntistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.  Gregos – Retângulo Áureo Posteriormente também os gregos consideraram que o rectângulo apresentava esta relação, nomeadamente: se desenharmos um retângulo cuja razão entre os comprimentos dos lados maior e menor é igual ao número de ouro obtemos um retângulo de ouro. O retângulo de ouro é um objeto matemático que marca forte presença no domínio das artes, nomeadamente na arquitetura, na pintura, e até na publicidade. Figura 8 – Retângulo de Ouro
  • 7. 7 Construção de um retângulo de Ouro: Material necessário: folha de papel, lápis, compasso e régua ou esquadro. Procedimento: 1. Desenhar um quadrado qualquer na folha (o lado do quadrado será a largura do retângulo de ouro); 2. Marcar os pontos médios dos lados de “cima” e de “baixo” do quadrado; 3. Traçar a reta que passa pelos pontos médios (verificar que o quadrado ficou dividido em dois retângulos congruentes); 4. Num dos retângulos traçar uma das suas diagonais. 5. Com o compasso desenhar a circunferência que tem centro no ponto médio de onde parte a diagonal, tendo como raio essa diagonal; 6. Prolongar o lado do quadrado até encontrar a circunferência (este novo segmento é o comprimento do retângulo de ouro) Um retângulo de ouro tem uma propriedade muito interessante, nomeadamente: se o dividirmos num quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também de ouro. Repetindo este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de Espiral de Ouro. Figura 9 – Espiral de Ouro Contribuição de Leonardo da Vinci Uma contribuição muito importante para a proporção áureia foi a de Leonardo Da Vinci. A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos, bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas. Leonardo da Vinci representou bem o Homem da Renascença, que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de Matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência. O desenho conhecido por “Homem de Vitruvius”, ilustra a velha tese Pitágórica segundo a qual “o homem é a medida de todas as coisas”. O texto que acompanha o desenho transmite-nos a
  • 8. 8 ideia muito concreta de que cada secção do corpo humana é uma medida (percentagem) do todo. Figura 10 - Homem de Vitruvius A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face, no entanto, como é uma característica inerente ao ser humano, as tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada. Figura 11 – Retrato de Mona Lisa
  • 9. 9 CONSTAÇÃO E DEMONSTRAÇÃO Cálculo do número: A razão áurea é definida algebricamente como: A equação da direita mostra que o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em: Cancelando b em ambos os lados, temos: Multiplicando ambos os lados por resulta: Finalmente, subtraindo de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por encontramos: que é uma equação quadrática da forma em que Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:
  • 10. 10 A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte: que é o número Construção do segmento áureo: O número de ouro pode ser obtido a partir de um segmento de reta qualquer. Considere um ponto C, dividindo esse segmento em dois segmentos menores e de modo que a razão entre o comprimento do segmento dividido pelo comprimento do segmento seja igual à razão do comprimento de dividido pelo comprimento de . 1º Dado um segmento AB qualquer, obtemos o ponto médio de AB da seguinte forma: com centro do compasso em A e em B traçamos circunferências que se intercetam como mostra a figura abaixo, ligando os pontos onde os arcos intercetaram: 2º Usando régua e compasso, traçamos uma reta perpendicular a AB , pelo ponto B com metade do comprimento de AB: 3º Com o compasso faça centro em B, traçando uma circunferência que intercete a perpendicular no ponto C de raio BM.
  • 11. 11 4º O novo segmento BC é perpendicular a AB medindo a metade de AB . Unindo os pontos A e C obtemos um triângulo ABC: 5º Com o centro do compasso em C abrindo até B, marcamos um novo ponto em AC (hipotenusa) do triângulo: 6º Finalmente com o centro do compasso no vértice A , abrindo até E marcamos em AB o ponto D. Este é o ponto que divide o segmento AB em média e extrema razão, ou ainda, a maior parte de AB é 1,618…vezes a menor parte de AB.
  • 12. 12
  • 13. 13 APLICAÇÃO DA RAZÃO ÁUREA NOS TEMPOS MODERNOS, NO DESIGN, ARQUITETURA, NATUREZA, ETC A Proporção Áurea está presente em imensas situações.  Arte: A proporção áurea foi muito usada na arte, em obras como O Nascimento de Vênus, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção áurea. Essa proporção estaria ali aplicada pelo motivo de o autor representar a perfeição da beleza. Em O Sacramento da Última Ceia, de Salvador Dalí, as dimensões do quadro (aproximadamente 270 cm × 167 cm) estão numa Razão Áurea entre si. Na história da arte renascentista, a perfeição da beleza em quadros foi bastante explorada com base nessa constante. Vários pintores e escultores lançaram mão das possibilidades que a proporção lhes dava para retratar a realidade com mais perfeição. A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face, mas isso é uma característica inerente ao ser humano e tais proporções podem ser encontradas na maioria das pinturas em que a anatomia tenha sido respeitada. Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela. Figura 12 – Aplicação da proporção áurea na Arte
  • 14. 14  Arquitetura: Diversos Edifícios projetados por Lê Corbuier, ou a sede das Nações Unidas contêm elementos arquitetônicos na forma de retângulo de ouro. Assim como obras como o Parthenon. Figura 13 – Aplicação da proporção áurea na Arquitetura  Nos Tempos Modernos: Atualmente a proporção áurea ainda é muito usada. A verdade é que ao padronizar–se internacionalmente algumas medidas usadas no nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram “respeitar” a proporção divina, nomeadamente a razão entre o comprimento e a largura de um Cartão de Crédito, identidades, modelo da carta de condução, embalagens, alguns livros, jornais, uma foto revelada, etc. Também o logotipo da Apple foi desenhado sobre as Proporções Áureas, bem como, o Iphone. Figura 14 – Logotipo da Apple Figura 15 – Iphone
  • 15. 15  Literatura: No livro "O Número de Ouro", Matila Ghyka demonstrou a existência da proporção áurea em textos escritos por Victor Hugo, Shakespeare, Paul Valéry, Pierre Louys. Na pesquisa Ghyka relacionou as estrofes de acordo com o ritmo da leitura, o que ele chamou de ritmo prosódico.  Música: O número de ouro está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5 de Beethoven . O compositor húngaro Béla Bartók também se utilizou desta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra , bem como o francês Claude Debussy. Também no jazz há músicos que usam os números da série Fibonacci na divisão rítmica e dos compassos.  Cinema: O diretor russo Sergei Eisenstein utilizou a Proporção Áurea no filme “O Encouraçado Potemkin” para marcar os inícios de cenas importantes da trama, medindo a razão pelo tamanho das fitas de película.  Natureza: - Vegetais: Semente de girassol – A razão em que aumenta o diâmetro das espirais de sementes de um girassol é a razão áurea. Achillea ptarmica – A Razão do crescimento de seus galhos. Folhas das Árvores – A Razão em que diminuem as folhas de uma árvore à medida que subimos de altura. - Animais: População de abelhas – A razão entre abelhas fêmeas e machos em qualquer colméia. Concha do caramujo Nautilus – A razão em que cresce o raio do interior da concha desta espécie de caramujo. amplamente difundida! (vide "O número de Ouro", Michel Spira, palestra OBMEP, 2006; Colaboração: Prof. Francisco Teodorico Pires de Souza) Outros – o número de ouro está também presente nas escamas de peixes, presas de elefantes, crescimento de plantas.
  • 16. 16 - Corpo Humano: A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão; A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça; A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo; Tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta; A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão; A medida do pénis humano e a medida da palma de sua mão. Figura 16 – Razão áurea numa mão
  • 17. 17 CONCLUSÃO Gostei muito de realizar este trabalho, uma vez que percebi melhor que realmente muitas coisas do nosso dia-a-dia contêm matemática, desde a arte, até às grandiosas construções, bem como na natureza. Falando na natureza, até no nosso próprio corpo, temos uma ligação eterna com a matemática, estabelecida através da proporção áurea, encontrada nas mais diversas partes do corpo. Conclui que o número de ouro é considerado por muitos estudiosos um símbolo da harmonia. Surgiu da necessidade que os antigos tinham de utilizar a contagem como forma matemática para aplicá-las em seus negócios. Fibonacci deu uma grande contribuição à Geometria com a sua descoberta, a qual está relacionada com a solução do problema dos coelhos. Todos esses exemplos nos levam a perceber quão grande é a importância deste número que por este motivo foi chamado “de ouro”.

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