Your SlideShare is downloading. ×

Teoria dos conjuntos

1,133
views

Published on

Published in: Education

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,133
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
29
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas O problema Um grupo de exatamente 1 000 consumidores entraram em uma loja durante um dia. Foi reportado que 420 consumidores eram mulheres, 525 abriram crediário na loja, 325 fizeram alguma compra, 40 mulheres abriram crediário, mas não fizeram compras, 150 consumidores compra­ram e abri­ ram crediário, 30 mulheres fizeram compras, mas não abriram crediário e 50 mulheres abriram crediário e compraram algum produto. Pode-se concluir que as mulheres visitam mais as lojas sem intenção de comprar? Ou de outra forma, as mulheres vão às lojas e compram menos ou não abrem tanto crediário quanto os homens? Explorando o problema A resposta a este tipo de problema está diretamente relacionada à cons­ trução de conjuntos e operações de conjuntos no contexto da Teoria dos Conjuntos. Uma forma de resolver o problema é por meio da construção de Diagramas de Venn. A teoria dos conjuntos serve como um dos pilares da moderna Matemá­ tica. Não somente fornece o veículo para o desenvolvimento de definições precisas para importantes conceitos de relações e funções como também serve como uma aritmética poderosa para manipular conjunto de objetos. Assim, a teoria dos conjuntos ajuda na análise de um número significativo de problemas nas áreas ambientadas em negócios que não são adaptáveis a técnicasalgébricasconvencionais.Alémdisso,umconhecimentodosconcei­ tos fundamentais da teoria de conjuntos pode pavimentar o caminho para a compreensão de probabilidade e de métodos de inferência estatística. Os conjuntos podem ser apresentados de forma analítica, como o con­ junto N dos números naturais que pode ser apresentado como já vimos, da seguinte forma: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 2. 58 Métodos Quantitativos Matemáticos Ou, alternativamente, através do chamado Diagrama de Venn: 1 2 3 6 ... 4 5 Essa representação através do Diagrama de Venn será muito utilizada na discussão acerca das relações e das funções. Aquelas discutidas ainda neste capítulo e estas em capítulo subseqüente. A solução do problema acima pode facilmente se dar com noções básicas da Teoria dos Conjuntos e com a utilização de Diagramas de Venn. Nas discussões sobre relações e funções, além desses instrumentos já ci­ tados, serão fundamentais a construção de gráficos a partir do plano carte- siano, que também será objeto de estudo neste capítulo. Equacionando o problema Um conjunto é uma coleção bem definida de distintos objetos. No pro­ blema colocado temos um primeiro importante conjunto, chamado de conjunto dos consumidores. Dele fazem parte todas as pessoas, mulheres e homens, que freqüentaram uma determinada loja em certo dia. No proble­ ma, esse conjunto foi relatado como tendo 1 000 elementos. Um conjunto é, portanto, formado por elementos que tenham uma ca­ racterística de interesse em comum. No caso, são pessoas que entraram na loja naquele dia. Se esses elementos podem ser divididos por características comuns entre eles, em distintos novos conjuntos, esses novos conjuntos são parte do con­ junto original e são chamados de subconjuntos. Os consumidores podem ser divididos em vários novos subconjuntos, como o subconjunto dos homens e o subconjunto das mulheres; o subcon­ junto dos que compraram alguma mercadoria e o dos que não compraram nada; e ainda o subconjunto dos que abriram um crediário e o dos que não o abriram. Cada um dos três grupos de subconjuntos apresentados acima divide o conjunto original, também chamado de conjunto universo (U), em duas partes excludentes; homens e mulheres; compradores e não-compradores; Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 3. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 59 e aqueles que abriram crediário e os que não o abriram. Cada um desses subconjuntos, dois a dois, não têm elementos em comum. O subconjunto das mulheres só tem mulheres e o subconjunto dos homens só tem homens. Esses subconjuntos são também chamados de conjuntos disjuntos. Sua representação gráfica através do Diagrama de Venn pode ser apresentada como abaixo: U Mulheres Homens No entanto, como as características desses três grupos de subconjuntos são diferentes, pode haver interseção entre eles. Mulheres podem comprar ou não, também elas podem abrir crediário ou não. Assim uma representação completa do problema pode ser feita através do seguinte Diagrama de Venn: A C M H U = 1 000 40 Cada um dos espaços dentro do diagrama tem um significado. Por exem­ plo, as mulheres que não compraram, mas abriram crediário (40) estão repre­ sentadas no diagrama pela cor azul. Conceitos e regras Teoria dos conjuntos O conceito de um conjunto, subconjunto e seus elementos Um conjunto é uma coleção bem-definida de objetos distintos. Nós esta­ mos todos familiarizados com tais noções de um“conjunto”de pratos ou um “conjunto” de clubes de futebol. Mas os objetos contidos em um conjunto Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 4. 60 Métodos Quantitativos Matemáticos não precisam ser tão concretos como os dos exemplos mencionados. Con­ ceitos abstratos – como todos os inteiros positivos, todos os pontos em um intervalo [a, b] de uma reta, e todos os números racionais não-negativos – também podem ser encontrados em um conjunto. Os itens que pertencem a um conjunto, então, podem ser de qualquer tipo: pessoas, coisas, localizações geográficas, figuras geométricas, resulta­ dos de pesquisas. Cada objeto de um conjunto é chamado de elemento ou membro do conjunto. Para se formar um conjunto, a coleção de objetos deve encontrar dois requerimentos. Primeiro, o agregador deve estar bem-definido. Os itens individuais devem ter uma característica ou características que os façam pertencer a um conjunto particular. Uma regra ou método deve existir para que seja possível determinar se um objeto, seja ele qual for, é ou não membro do conjunto em questão. Segundo, os elementos de um conjunto são distintos. Nenhum con­ junto pode ter o mesmo elemento duas vezes. Quando um objeto já es­ tiver listado como elemento de um conjunto este não poderá mais ser repetido. O conjunto de letras da palavra CURITIBA, então, não é um con­ junto que contém oito letras mas sim um conjunto com sete letras distin­ tas: c, u, r, i, t, B, a. A seqüência que os elementos são listados quando são enumerados é insignificante. Notação dos conjuntos Normalmente as letras maiúsculas tais como A, B, X e Y são usadas para denotar os conjuntos, enquanto as letras minúsculas tais como a, b, x e y são usadas para representar os elementos individuais de um conjunto. Os conjuntos podem ser descritos de duas formas: 1. Listagem dos elementos. Todos os elementos do conjunto são lista­ dos, separados por vírgulas e fechados por chaves. 2. Regra. A regra que pode ser usada para determinar se um objeto per­ tence ou não a um conjunto é iniciada e encerrada por chaves. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 5. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 61 Assim, o conjunto A, que contém os inteiros entre 5 e 10, pode ser escrito como A = {6, 7, 8, 9} Essa notação é lida,“O conjunto A cujos elementos são 6, 7, 8 e 9”. O mesmo conjunto pode ser denotado pela regra como A = {x|x é um inteiro e está entre 5 e 10} Essa notação pode ser lida,“A é um conjunto de todos os a’s tal que a seja um inteiro entre 5 e 10”. Elementos de um conjunto Na notação de conjunto, o símbolo ∈ significa “é um elemento de”, ou “pertence a”, ou “é um membro de” um conjunto. Já o símbolo ∉ significa “não é um elemento de”ou“ não pertence a”um conjunto. Exemplo 1 O conjunto X = {x|x é um inteiro positivo menor que 10 e x é exatamente divisível por 4}. Então, 8 ∈ X mas 7 ∉ X. Exemplo 2 A letra “a” representa o Sr. Costa e a letra B representa o conjunto de di­ retores do Banco do Brasil. Então a ∈ B indica que o Sr. Costa é um membro da diretoria do Banco; a ∉ B indica que o Sr. Costa não é um membro da diretoria do banco. Conjuntos finitos e infinitos Seumconjuntotemumnúmerodefinidodeelementos,esteéchamadode conjunto finito. É perfeitamente possível que um conjunto tenha um número exageradamente grande de elementos e ainda seja um conjunto finito. Se o número de elementos de um conjunto não tem limite, o conjunto é dito como um conjunto infinito. Um exemplo simples de um conjunto infi­ nito é o conjunto de números inteiros positivos. Conjuntos finitos e infinitos enumeráveis são chamados de conjuntos discretos. Um conjunto contínuo é um conjunto infinito não-enumerável. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 6. 62 Métodos Quantitativos Matemáticos Conjuntos iguais DoisconjuntosAeB,sãoditosiguaisseesomentesecadaumdelescontiver exatamente os mesmos elementos. A igualdade entre conjuntos é simbolizada da seguinte forma A = B ou B = A. Se um dos conjuntos tiver pelo menos um elemento que não pertença ao outro conjunto então os dois conjuntos não são iguais. Esta desigualdade é simbolizada da seguinte forma A ≠ B ou B ≠ A. Conjunto universo Em qualquer análise, quando a teoria dos conjuntos é empregada, um con­ junto básico que contém todos os elementos a serem considerados naquela investigação está tacitamente assumido de existir. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é denotado pelo símbolo U. Todos os outros conjuntos considerados na investigação são definidos neste conjunto básico. Observe que um conjunto universo diferente é definido para cada pro­ blema ou investigação diferente. O conjunto vazio O conjunto que não contém elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo símbolo ∅ ou por { }. Exemplo 3 O conjunto de todos os corredores que regularmente fazem 100 metros em menos de 5 segundos é um exemplo de conjunto vazio. Subconjuntos Se todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjun­ to B, A é chamado de subconjunto de B. A relação é simbolizada por A ⊂ B, e se lê“A é subconjunto de B”ou“A está contido em B”. Também A ⊂ B indica que todo elemento que pertencente ao conjunto A é também um elemento de B. Todos os elementos de B podem ou não estar incluídos em A para que a sentença“A é um subconjunto de B”seja verdadeira. Exemplo 4 Dado A = {1,2}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4}. O conjunto A é um subconjunto do conjunto B, mas A não é subconjunto de C. Isto é, A ⊂ B mas A ⊄ C. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 7. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 63 Representação Gráfica de Conjunto Quando consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos, é útil fazer uma representação geométrica desses conjuntos e as relações entre eles. Diagramas de Venn são usados para ilustrar de forma descritiva os conjuntos. Um grande retângulo é comumente empregado para simbolizar o con­ junto universo U, enquanto os círculos ou as elipses ou outras formas simples são desenhadas dentro do retângulo para descrever subconjuntos de U. A única condição é que os símbolos usados para representar os subcon­ juntos devem estar dentro da caixa que representa o conjunto universo. O tamanho e a forma das configurações não tem nenhuma influência direta com o número de elementos do conjunto e dos subconjuntos. A figura 1 mostra os subconjuntos A, B e C definidos em um conjunto universo U e ilustra que B ⊂ A, A ⊄ B e B ⊄ C. A B C Figura 1 – Diagrama de Venn. Número de subconjuntos de um conjunto Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em uma análise particular, todos os conjuntos que podem ser formados de elementos de U são conhecidos como subconjuntos de U. O número total de possíveis sub­ conjuntos depende do número de elementos de U. Um conjunto com n elementos tem 2n possíveis subconjuntos. Assim, um conjunto com 3 elementos tem 23 = 8 possíveis subconjuntos; um conjunto com 10 elementos tem 210 = 1 024 subconjuntos. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 8. 64 Métodos Quantitativos Matemáticos Produto cartesiano de conjuntos Um par ordenado é um par de objetos no qual a seqüência em que os objetos aparecem deve ser considerada. A notação (a, b) é usada para repre­ sentar um par ordenado em que a é o primeiro componente e b é o segundo componente. O par ordenado (a, b) é muito diferente do conjunto {a, b} que contém dois elementos a e b. No conjunto {a, b} não existe o“primeiro componente” porque a ordem na qual os elementos do conjunto são listados é irrelevante. Assim, apesar do conjunto {a, b} ser igual ao conjunto {b, a} , o par ordenado (a, b) não é igual ao par ordenado (b, a). Dois pares ordenados são iguais se e somente se seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos. Sempre que tivermos dois conjuntos, podemos formar pares ordenados pegando o primeiro componente dos elementos de um conjunto e o segun­ do componente dos elementos do segundo conjunto. Se A e B são dois conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro componente é pego do conjunto A e o segundo componente é pego do conjunto B é chamado de produto cartesiano de A por B (refe­ rência ao matemático René Descartes) e é denotado A x B, normalmente lido como“A por B”. Em notação simbólica: A x B = {(a, b)| a ∈ A e b ∈ B}. Se A e B são conjuntos finitos tal que A contenha m elementos a1 , a2 , ... , am e B contém n elementos b1 , b2 , ... , bn , A x B é um conjunto que contém os seguintes m x n elementos: (a1 , b1 ) (a1 , b2 ) ... (a1 , bn ) (a2 , b1 ) (a2 , b2 ) ... (a2 , bn ) (am , b1 ) (am , b2 ) ... (am , bn ) Se o primeiro elemento do par ordenado é pego do conjunto B e o se­ gundo elemento do conjunto A, o conjunto produto cartesiano será B por A, denotado B x A. Exemplo 1 Seja o conjunto A que representa os resultados dos lançamentos de uma moeda, A = {C, K} onde C é cara e K é coroa. Seja o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 9. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 65 os possíveis resultados do lançamento de um dado. Os conjuntos que seguem são alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que podem ser formados: A x B = {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), (K, 6)} B x A = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)} A x A = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)} Este conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n con­ juntos. Se A, B e C forem conjuntos, várias construções podem ser feitas. O produto cartesiano A x B pode ser usado para formar um novo conjunto, o qual pode ser combinado com C para formar (A x B) x C. Ou B e C podem ser combinados para formar B x C e uma segunda combinação (B x C) x A pode ser feita e assim por diante. Relações A relação entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por R, é qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. O número de relações em qual­ quer produto cartesiano depende do número de pares ordenados naquele conjunto em particular. Se o número de pares ordenados for p, o número de relações será 2p . Exemplo 2 Se A = {a1 , a2 } e B = {b1 , b2 } , o conjunto produto cartesiano A x B =Y contém 2.2 = 4 pares ordenados, como segue: Y = A x B = {(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 )} Todo subconjunto de pares ordenados deste produto cartesiano é uma relação. Aqui temos 24 = 16 relações, como segue: R1 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 )} R2 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R3 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a2 , b2 )} R4 ={(a1 , b1 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ),} R5 ={(a1 , b2 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 )} Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 10. 66 Métodos Quantitativos Matemáticos R6 ={(a1 , b1 ), (a1 , b2 )} R7 ={(a1 , b1 ), (a2 , b1 )} R8 ={(a1 , b1 ), (a2 , b2 )} R9 ={(a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R10 ={(a1 , b2 ), (a2 , b2 )} R11 ={(a2 , b1 ), (a2 , b2 )} R12 ={(a1 , b1 )} R13 ={(a1 , b2 )} R14 ={(a2 , b1 )} R15 ={(a2 , b2 )} R16 = ∅ Exemplo 2 Um dado branco e um dado preto são lançados. B representa os possí­ veis resultados do dado branco e P os possíveis resultados do dado preto. Então B = P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No conjunto produto cartesiano B x P existirão 6 .6 = 36 elementos que são pares ordenados. O produto pode ser denotado simbolicamente como: X = B x P = {(b, p)| b ∈ B e p ∈ P} Existem 236 possíveis relações. Exemplos específicos para essas relações que podem ser de especial interesse são: R1 = {(b, p)| b = p e (b, p) ∈ B x P} Os pares ordenados desta relação são: R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Ou nós podemos estar especialmente interessados na relação R2 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1) (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} O conjunto acima representa os pares ordenados em que os valores do dado branco são sempre maiores que os valores do dado preto. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 11. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 67 Domínio e contradomínio de uma relação O domínio da relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados em R. O contradomínio da relação R é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados em R. Funções Uma função é um caso especial de uma relação. Qualquer subconjunto de AxB é uma relação. A relação é uma função de A para B onde para cada elemento do conjunto A existe um único elemento do conjunto B. Em outras palavras, se cada elemento do domínio estiver associado com um elemento no contradomínio a associação é chamada de função. Observe, então, que o número de pares ordenados em uma função é igual ao número de elementos no conjunto A, o conjunto que fornece o primeiro componen­ te dos pares ordenados. Exemplo 3 Nós vimos no Exemplo 2 que se A = {a1 , a2 } e B = {b1 , b2 } temos 16 relações (ou subconjuntos) possíveis no conjunto de produto cartesiano A x B. Dessas relações somente quatro estão em conformidade com a definição de uma função. Essas quatro funções são: R7 = {(a1 , b1 ), (a2 , b1 )} R8 = {(a1 , b1 ), (a2 , b2 )} R9 = {(a1 , b2 ), (a2 , b1 )} R10 = {(a1 , b2 ), (a2 , b2 )} Cada uma dessas funções consiste em dois pares ordenados, ou n (A) pares ordenados. a1 aparece como o primeiro elemento uma vez e a2 apare­ ce como primeiro elemento uma vez em cada função. Não há distintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira coordenada. Operações com conjuntos Como os números podem ser combinados pelas operações básicas da Matemática – adição, subtração, multiplicação e divisão para formar um novo número, os conjuntos também podem ser combinados para formar um novo conjunto. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 12. 68 Métodos Quantitativos Matemáticos Todos os conjuntos envolvidos na combinação são subconjuntos do mesmo conjunto universo. O novo conjunto formado será também subcon­ junto do mesmo conjunto universo. As operações básicas usadas com conjuntos são: complemento, inter­ seção e união entre conjuntos. Complemento de conjuntos O complemento do conjunto A em relação ao conjunto universo U é o conjunto que contém todos os elementos de U que não estão em A. Exemplo 1 Suponha que o conjunto universo U tenha como seus elementos todas as 23 letras do alfabeto. Se A é o subconjunto de U que contém todas as vogais, então todas as consoantes formam outro subconjunto, também um subcon­ junto de U que é conhecido como o complemento de A com relação a U. O símbolo Ac , que se lê“não A”ou“o complemento de A”, é usado para represen­ tar o complemento de A (ver figura 2). A relação pode ser simbolizada Ac = {x|x ∈ U e x ∉ A} A Ac U Figura 2. Exemplo 2 O complemento do conjunto de todos os números racionais com relação ao conjunto universo de todos os números reais é o conjunto de todos os números irracionais. Exemplo 3 O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ que tem 45 anos de idade ou mais com relação ao conjunto universo de todos Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 13. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 69 os empregados da Companhia XYZ é o conjunto cujos elementos são aqueles empregados da Companhia XYZ que tem menos de 45 anos de idade. Exemplo 4 O complemento do conjunto universo com relação a ele mesmo é o con­ junto vazio ∅ e o complemento do conjunto vazio ∅ com relação ao conjun­ to universo é o próprio conjunto universo U. Interseção A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, lê-se“A interse­ ção com B”ou“A inter B”, é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Simbolicamente, A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B} A interseção de dois conjuntos é mostrada na figura 3. A ∩ B (a interseção de A e B é mostrada pela área pintada). U B A A ∩ B B A A ∩ B U Figura 3. Exemplo 5 Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {3, 4, 7} , então A ∩ B = {4}. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 14. 70 Métodos Quantitativos Matemáticos Exemplo 6 Se o conjunto A é um conjunto cujos elementos são todos os carros ama­ relos estacionados em um estacionamento particular e os elementos do conjunto B são todos os da marca M estacionados no mesmo estacionamen­ to, a interseção de A e B, A ∩ B é o conjunto de todos os carros da marca M e amarelos estacionados no estacionamento particular. Exemplo 7 Se o conjunto A contém todos os carros amarelos estacionados em um determinado estacionamento e o conjunto B contém todos os carros da marca M estacionados no mesmo estacionamento, então Bc contém todos os carros que não são da marca M e A ∩ Bc contém todos os carros amarelos exceto os da marca M e amarelos. (ver figura 4). B A U Figura 4. A notação da interseção pode facilmente ser generalizada a situações que envolvem mais de dois conjuntos. Assim, a intersecção dos conjuntos A1 , A2 , ... , An , escrito A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An é o conjunto dos elementos comuns a todos os conjuntos A1 , A2 , ... , An. Exemplo 8 Definimos um conjunto universo U cujos elementos são todos mem­ bros da força de trabalho. No conjunto A estão os elementos que são empre­ gados da Companhia XYZ, no conjunto B estão todos os membros femininos da força de trabalho e no conjunto C estão todos os membros da força de trabalho que possuem menos de 25 anos. A intersecção desses conjuntos A ∩ B ∩ C será o conjunto de mulheres empregadas na companhia XYZ que têm menos de 25 anos. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 15. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 71 Conjuntos disjuntos Se dois conjuntos A e B não tiverem elementos em comum, A ∩ B = ∅ os conjuntos são ditos conjuntos disjuntos. Em um Diagrama de Venn, como é mostrado na figura 5, os conjuntos disjuntos são mostrados como não tendo nenhuma área sobreposta. U A B Figura 5. Exemplo 9 Se o conjunto universo U contém 52 cartas de um baralho e se dois sub­ conjuntos forem definidos como R = {cartas vermelhas} e B ={cartas pretas} Então R ∩ B = ∅. Os conjuntos R e B são conjuntos disjuntos. União A união de A e B (denotada por A ∪ B) quando A e B são dois conjuntos definidos em um conjunto universo U, contém aqueles elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B} A ∪ B (a união de A e B é mostrada na área pintada) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 16. 72 Métodos Quantitativos Matemáticos U B B A A U Figura 6. Exemplo 10 Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} Exemplo 11 Se o conjunto A contém todos os carros amarelos de um estacionamento e o conjunto B contém todos os carros da marca M deste estacionamento, a união de A e B, A ∪ B, contém todos os carros amarelos mais os carros da marca M de outras cores do estacionamento. A notação de união pode ser estendida para os casos que envolvem mais do que dois conjuntos. A união dos conjuntos A1 , A2 , ..., An , denotada como A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An , é o conjunto de elementos que estão pelo menos em um dos conjuntos A1 , A2 , ..., An . Exemplo 12 Considere os seguintes conjuntos definidos em um conjunto universo U cujos elementos são todos os moradores de Curitiba. A = {x|x é um professor universitário} B = {x|x é uma pessoa casada} C = {x|x tem menos de 35 anos} Então o conjunto A ∪ B ∪ C representa todos os moradores de Curitiba que são ou professores ou casados ou abaixo de 35 anos. (ver figura 7A). O conjunto de moradores que são casados, professores e abaixo de 35 anos é denotado da seguinte forma: A ∩ B ∩ C (ver figura 7B). Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 17. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 73 O conjunto de moradores que são ou professores ou casados, mas são abaixo de 35 anos pode ser descrito pela seguinte notação: (A ∪ B) ∩ C (ver figura 7C). Ou o conjunto de moradores que são professores, não são casados, mas estão acima dos 35 anos de idade pode ser simbolizado por: A ∩ (Bc ∩ Cc ) (ver figura 7D). A ∪ B ∪ C A ∩ B ∩ C U B C U A B C A Figura 7A. Figura 7B. (A ∪ B) ∩ C A ∩ (Bc ∩ Cc ) U U Figura 7C. Figura 7D. B C A B C A Partição Uma coleção de subconjuntos é dita exaustiva se sua união contiver cada um dos elementos no conjunto universo em que eles estão definidos. Um grupo de conjuntos que são mutuamente excludentes e exaustivos é chama­ do de uma partição. Tal partição está mostrada na figura 8. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 18. 74 Métodos Quantitativos Matemáticos U B C A D Figura 8. Exemplo 13 Dado um conjunto universo U = [1, 2, 3, 4, 5], a coleção de subconjuntos A = [1, 2], B = [3] e C = [4, 5] formam uma partição de U. Um conjunto universo U pode ser particionado de diferentes modos, é claro. Por exemplo: a coleção de subconjuntos D = [1], E = [3, 5] e F = [2, 4] também forma uma partição do conjunto universo dado acima. Dados dois conjuntos A e B, que não são disjuntos, o conjunto A pode ser particionado em dois subconjuntos disjuntos (A ∩ B) e (A ∩ Bc ). Além disso, a união dos dois conjuntos, A ∪ B, pode ser particionada em três subconjuntos disjuntos (A ∩ Bc ), (A ∩ B), (Ac ∩ B), conforme ilustrado na figura 9. A = (A ∩ B) U (A ∩ Bc ) e (A U B) = (A ∩ Bc ) U (A ∩ B) U (Ac ∩ B) U BA A ∩ B Ac ∩ BA ∩ Bc Figura 9. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 19. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 75 Número de elementos em grupos de conjuntos finitos O número de elementos em qualquer conjunto A pode ser denotado por n(A). Por exemplo, se A = {1, 2 , 3 , 4} então n(A) = 4. Nós estamos freqüentemente interessados em saber o número de ele­ mentos em várias combinações dos conjuntos finitos. As observações que seguem serão úteis em tais situações. 1. O conjunto nulo não contém elementos, isto é: n(∅) = 0. 2. Um conjunto não-vazio não pode ter um número negativo de ele­ mentos, isto é: n(A) > 0 se A não for vazio. 3. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, eles não têm elementos em comum, e o conjunto A ∩ B é um conjunto vazio, isto é: n(A ∩ B) = 0 se A e B forem conjuntos disjuntos. 4. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, o número de elementos em A ∪ B é igual ao número de elementos em A mais o número de elemen­ tos em B, isto é: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) se A ∩ B = ∅. 5. Para qualquer um dos dois conjuntos A e B, o número de elementos em A ∪ B é igual ao número de elementos em A mais o número de elementos em B menos o número de elementos que são comuns aos dois conjuntos, isto é: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). 6. Para qualquer dois conjuntos A e B que não sejam disjuntos, o conjun­ to A pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A ∩ B e A ∩ Bc . (ver figura 10). Assim: n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc ). Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 20. 76 Métodos Quantitativos Matemáticos A = A ∩ B ∪ A ∩ Bc ; daí n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc ) U BA A ∩ BA ∩ Bc Figura 10. 7. Para qualquer conjunto universo U em que os conjuntos A e B são de­ finidos, o conjunto universo pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A ∪ B e (A ∪ B)c (ver figura 11). Assim: n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c ; daí, n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c U BA (A ∪ B)c A∪B Figura 11. 8. O conjunto (A ∪ B)c e o conjunto (Ac ∩ Bc ) são iguais porque eles con­ têm precisamente os mesmos elementos (ver figura 12). Assim: n(Ac ∩ Bc ) = n(A ∪ B)c E, como n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c , n(Ac ∩ Bc ) = n(U) – n(A ∪ B) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 21. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 77 A B U(Ac ∩ Bc ) = (A ∪ B)c A B UBc U A B Ac Figura 12 Exemplo 1 Dado A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}, então n(A) = 5 e n(B) = 3. Podemos perceber que A e B não possuem elementos em comum. Assim, A ∩ B = ∅ e n(A ∩ B) = 0. Também, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 5 + 3 = 8. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 22. 78 Métodos Quantitativos Matemáticos Exemplo 2 Dado A = {2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6} , então n(A) = 4 e n(B) = 3. Neste caso, A ∩ B = {2, 4} e n(A ∩ B) = 2. O conjunto A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} e n(A ∪ B) = 5. Quando A e B não forem disjuntos, o número de elementos de A ∪ B não será a soma de n(A) e n(B) mas sim, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). Daí 5 = 4 + 3 – 2. Os Diagramas de Venn são muito úteis para se determinar o número de elementos nas combinações de conjuntos finitos, como mostrará o exemplo seguinte. Exemplo 3 Em um dia, 325 pessoas pararam em bancas de jornal. Dessas, 185 compra­ ram o Jornal A, 150 compraram o Jornal B e 95 compraram ambos. Quantas pessoasnãocompraramnenhumjornal?QuantaspessoascompraramoJornal A, mas não compraram o Jornal B? Quantas pessoas compraram o Jornal B mas não o A? Quantas pessoas compraram pelo menos um dos jornais? O Diagrama de Venn, na figura 13, nos ajudará a responder a essas ques­ tões. Primeiro vamos definir o conjunto A que contém todos os compradores do Jornal A e o conjunto B que contém todos os compradores do Jornal B. Então, cuidadosamente, rotulamos as regiões no Diagrama deVenn. Usando a informação que 95 pessoas compraram ambos jornais – isto é, n(A ∩ B) = 95 – nós colocaremos este número na região que corresponde a A ∩ B. Depois, como n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc ) daí n(A ∩ Bc ) = 185 – 95 = 90; então colocaremos esse na região apropriada. Também,n(B)=n(A∩B)+n(Ac ∩B)daítemosquen(Ac ∩B)= 150 – 95 = 55. Novamente, colocaremos esse número na região apropriada. Para se determinar o número de pessoas que não compraram jornal, nós particionaremos o conjunto universo U em dois conjuntos disjuntos, isto é: U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c Daí, nós temos: n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 23. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 79 Além disso, temos que: (A ∪ B) = (A ∩ Bc ) ∪ (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) Então, nesse caso: n(A ∪ B) = 90 + 95 + 55 = 240 A partir desse resultado obteremos: n(A ∪ B)c = 325 – 240 = 85. Em resumo, nós determinamos que 85 pessoas não compraram nenhum dos dois jornais, 90 compraram somente o Jornal A, 55 compraram somente o Jornal B. Além disso, 90 + 55 = 145 compraram exatamente um dos dois jornais; 325 – 85 = 240 compraram pelo menos um dos dois jornais. U A ∩ B 95 Ac ∩ B 55 A ∩ Bc 90 A B (A ∪ B)c 85 Figura 13. Ampliando seus conhecimentos Augustos de Morgan nasceu em 1806, na Índia, e morreu em 1871. Foi matemático e professor na Inglaterra, um dos fundadores da BAAS (Bri­ tishAssociationfortheAdvancementScience).EstudounoTrinityCollege,enão entrou para Cambridge e Oxford por se recusar a participar do exame religioso. Era cego de um olho e teve muitos problemas durante sua vida profissional em virtude de posições radicais em defesa da liberdade religiosa, intelectual e acadêmica. Escreveu trabalhos sobre fundamentos de álgebra, cálculo diferencial, lógica e teoria das probabilidades. Também foi um dos responsáveis pela cria­ ção da lógica simbólica moderna. (Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/biografias.php>.) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 24. 80 Métodos Quantitativos Matemáticos Atividades de aplicação 1. Escreva em símbolos: a) O Brasil (b) está na América do Sul (A). b) Angola (a) não está na América do Sul (A). c) A Venezuela (v) não pertence às regiões brasileiras (R). d) O Nordeste (n) pertence às regiões brasileiras (R). 2. Classifique de falso ou verdadeiro: a) Equador ∈ América do Sul. b) Sudeste ∉ regiões brasileiras. c) França ∈ regiões brasileiras. d) Centro-Oeste ∈ América do Sul. 3. Escreva que o conjunto x é um número ímpar descrevendo os seus elementos e pela regra. 4. Escreva a regra que descreve o conjunto M = {3, 4, 5, 6, 7 ...}. 5. Diga se o conjunto A = {d, c, a, e, b} é igual ou diferente do conjunto B = {a, b, c, d, e}. 6. Sejam os conjuntos A= {5, 6}, B = {5, 6, 7, 8} e C= {5, 7, 8}. A afirmação A ⊂ B mas A ⊄ C é falsa ou verdadeira? 7. Conjunto unitário é o conjunto que só tem um elemento. Classifique os seguintes conjuntos como conjunto vazio ou conjunto unitário. a) A = {polígonos que possuem três lados}. b) B = {x | x é um número natural maior que 5 e menor que 6}. c) C = {x | x é um número par maior ou igual a 3 e menor que 5}. 8. Diga se a afirmação é falsa ou verdadeira: “O conjunto B pertence ao conjunto A.” A B Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 25. Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas 81 9. Seja o conjunto A = {letras da palavra CONJUNTO}. Quantos possíveis subconjuntos possuem o conjunto A. 10. A afirmação“O conjunto vazio não é subconjunto do conjunto univer­ so porque não tem nenhum elemento”é falsa ou verdadeira? 11. Se A e B são dois conjuntos, então o produto cartesiano A x B nunca será igual ao produto cartesiano B x A. Falso ou verdadeiro? 12. Se B é o conjunto que representa o lançamento de um dado branco e P o conjunto que representa um dado preto, quantos elementos terá o produto cartesiano B x P? 13. Com base no problema anterior diga se o conjunto PxB é igual ao con­ junto B x P. 14. Ainda com base no problema 12, quantas relações podem ser constru­ ídas do produto cartesiano B x P? 15. Cada relação tem como elemento um par ordenado. Quais são as rela­ ções unitárias do produto cartesiano B x P? 16. Descreva como caracterizar quais das relações do produto cartesiano B x P podem ser definidas como função? 17. As funções definidas acima são casos especiais de relações.Verdadeiro ou falso? 18. Na relação B x P definida no problema acima quem é o domínio da relação? 19. O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto. O conjunto vazio é subconjunto dele mesmo? 20. Qual é o menor produto cartesiano possível? 21. Seja I o conjunto das pessoas idosas, ou seja pessoas com 60 anos de idade ou mais. Defina o seu complemento Ic . 22. Represente o conjunto I e o conjunto Ic em um Diagrama de Venn. 23. Sejam A = {5, 7, 9} e B o conjunto dos números menores do que 9 e maiores ou iguais a 5. Detemine a interseção de A com B. 24. Represente o resultado acima em um Diagrama de Venn. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 26. 82 Métodos Quantitativos Matemáticos 25. Se O são as cartas de ouros de um baralho de 52 cartas e V as cartas vermelhas. Determine O ∩ V. 26. Represente o conjunto O ∩ V em um Diagrama de Venn. 27. Dois conjuntos disjuntos têm como complemento de sua união o con­ junto vazio. Falso ou verdadeiro? 28. Determine a união dos conjuntos do exercício 23. 29. Determine a união dos conjuntos do exercício 25. 30. Dado o conjunto universo U = {1, 2, 3}, quantas partições desse con­ junto podem ser construídas? Dado A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8}: 31. Determine n(A) e n(B). 32. Determine n(A ∩ B). 33. Determine n(A ∪ B). Dado A = {1,2, 3, 4, 5} e B = {1, 5, 7}: 34. Determine n(A ∩ B). 35. Determine n(A ∪ B). 36. Determine o número de elementos de cada um dos conjuntos do pro­ blema exposto no início do capítulo referente ao número de homens e mulheres que visitaram a loja durante um dia. Represente o resultado através de um Diagrama de Venn. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 27. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  • 28. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br