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Proposições condicionais e bicondicionais

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  • 1. Proposições condicionais e bicondicionais Proposições condicionais Num debate sobre algum tema importante, é comum utilizarmos ideias que procuram sustentar nossos argumentos. Essa sustentação, muitas vezes, se dá por uma relação entre causa e consequência, asserção com razão ou hipótese com tese. As proposições que estudaremos a partir de agora intro- duzem os raciocínios mais sutis, presentes em diversas situações cotidianas, e nos auxiliam tanto na linguagem falada quanto na escrita. Uma proposição condicional sempre pode ser escrita da forma “se p, então q”, e é denotada por p q. Observe alguns exemplos: Se amanhã é domingo, então hoje é sábado. Se x = 3, então x 2 = 9. Se eu estudo, então obtenho uma boa nota na prova. Se 2 + 5 = 7, então 7 – 5 = 2. Qualquer proposição da forma p → q pode ser interpretada (ou lida) de várias maneiras diferentes. Por exemplo, a proposição condicional: Se está chovendo, então existem nuvens. é composta pelas seguintes proposições simples: p: está chovendo e q: existem nuvens. Observe a seguir algumas maneiras equivalentes de expressá-la: Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 2. 46 Proposições condicionais e bicondicionais se p, então q: Se está chovendo, então existem nuvens. p implica q: Estar chovendo implica existir nuvens. p somente se q: Está chovendo somente se existem nuvens. p é condição suficiente para q: Estar chovendo é suficiente para existir nuvens. q é condição necessária para p: Existir nuvens é necessário para estar chovendo. Qual é o valor lógico de p q? Para entender como pode ser obtido o valor lógico de uma proposição condicional, considere outro exemplo: Se meu time ganha o jogo, então ele é campeão. As proposições componentes são p: meu time ganha o jogo e q: meu time é campeão. A proposição condicional garante que, sendo verdadeiro que “meu time ganha o jogo”, então será verdadeiro também que“meu time é campeão”. En- tretanto, essa proposição condicional nada afirma sobre o que poderá ocor- rer caso“meu time não ganhe o jogo”. Assim, se“meu time não ganha o jogo”, pode ocorrer que“meu time é campeão”ou que“meu time não é campeão”. Ambas as conclusões podem ser verdadeiras na hipótese de o meu time não ganhar o jogo. O único caso que realmente contradiz a proposição composta é: sendo verdadeiro que“meu time ganha o jogo”, então será falso que“meu time é campeão”. Dessa forma, podemos dizer que uma proposição condicional p q será falsa apenas no caso de p ser verdadeira e q ser falsa. Nos demais casos, p q terá sempre o valor lógico V. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 3. Proposições condicionais e bicondicionais 47 Uma proposição condicional p q tem valor F apenas quando p tem valor V e q tem valor F. Nos outros casos, p q tem valor lógico V. A tabela-verdade a seguir apresenta um resumo de todos os valores ló- gicos possíveis de uma proposição condicional: p q p q V V V V F F F V V F F V Observe alguns exemplos que procuram explicar as relações de uma pro- posição condicional: Exemplo 1: De acordo com a regra que permite aferir valor lógico a uma proposição condicional, observe algumas sentenças com os respectivos valores lógicos: “Se Curitiba é capital do Paraná, então em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez.” A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: Curitiba é capital do Paraná. (V) q: Em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez. (V) Ambas as proposições são verdadeiras. Dessa forma, a proposição “Se Curitiba é capital do Paraná, então em 1958 a seleção brasileira ganhou a Copa do Mundo de Futebol pela primeira vez”também verdadeira. “Se o Polo Norte está descongelando, então a China é o maior país em extensão territorial.” A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 4. 48 Proposições condicionais e bicondicionais p: O Polo Norte está descongelando. (V) q: A China é o maior país em extensão territorial. (F) A primeira proposição (p) é verdadeira e a segunda proposição (q) é falsa. Assim, a proposição“Se o Polo Norte está descongelando, então a China é o maior país em extensão territorial”é falsa. “Se o esporte mais praticado naVenezuela é o futebol, então São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil.” A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: O esporte mais praticado na Venezuela é o futebol .(F) q: São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil. (V) A proposição “Se o esporte mais praticado na Venezuela é o futebol, então São Paulo é o estado de maior produção industrial do Brasil” é ver- dadeira, pois a primeira proposição (p) é falsa e a segunda proposição (q) é verdadeira. “Se uma semana possui 8 dias, então Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira.” A proposição condicional p q é composta pelas proposições simples: p: Uma semana possui 8 dias. (F) q: Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira. (F) A proposição“Se uma semana possui 8 dias, então Ernesto Geisel não foi presidente da República brasileira”é verdadeira, pois tanto a primeira propo- sição (p) quanto a segunda proposição (q) são falsas. Exemplo 2: A proposição“Se não sei meu nome, então não sei o seu”pode ser escrita de outras formas equivalentes: 1.ª forma:“Não saber meu nome implica não saber o seu.” 2.ª forma:“Não sei o meu nome somente se não sei o seu.” Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 5. Proposições condicionais e bicondicionais 49 3.ª forma: “Não saber o meu nome é condição suficiente para não saber o seu.” 4.ª forma:“Não saber o seu nome é condição necessária para não saber o meu.” Exemplo 3: Na proposição: “Se hoje é domingo, então vou à missa”, a proposição “hoje é domingo” é condição suficiente para a ocorrência da proposição “ir à missa”. Por outro lado, a proposição“ir à missa”é condição necessária para a ocor- rência da proposição“hoje é domingo”. Assim, temos: Se, hoje é domingo condição suficiente então vou à missa condição necessária Exemplo 4: Considere como falsa a proposição: “Se tenho um bom currículo, então consigo um bom emprego”. Se a proposição simples p:“Tenho um bom currículo”é verdadeira, o que pode concluir em relação ao valor lógico da proposição simples q:“Consigo um bom emprego”? Para que uma proposição condicional da forma p q seja falsa, a pro- posição p deve ser verdadeira e a proposição q deve ser falsa. Desta forma, conclui-se que a proposição q:“Consigo um bom emprego”deve ser falsa. Exemplo 5: Considere como verdadeira a proposição:“Se tenho dinheiro, então viajo ao exterior”. Se a proposição simples p:“Tenho dinheiro”é falsa, o que é possível con- cluir sobre o valor lógico da proposição simples q:“Viajo ao exterior”? Uma proposição condicional da forma p → q é verdadeira em qualquer caso, exceto quando a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa. Logo, como já se conhece o valor lógico falso da proposição p, conclui-se que a proposição q pode ser ou verdadeira ou falsa. Em qualquer um dos Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 6. 50 Proposições condicionais e bicondicionais valores de q, a proposição composta p → q será verdadeira. Assim, conclui-se que a proposição q:“Viajo ao exterior”pode ser ou verdadeira ou falsa. Exemplo 6: Outra maneira de definir o valor lógico de uma proposição condicional é a seguinte: Uma proposição condicional da forma p q é verdadeira se p for falsa ou q for verdadeira. Em qualquer um dos casos expostos, ou em ambos, o valor lógico de p q é sempre verdadeiro. Relações entre proposições condicionais Qualquer que seja a proposição condicional, sempre podemos associá-la a outras proposições condicionais. A seguir, estudaremos alguns tipos especiais de proposições que são importantes no estudo da Lógica e da Matemática. Proposição recíproca A proposição recíproca de p q é a proposição da forma q p. Proposição: Se está chovendo p , então existem nuvens q . Recíproca: Se existem nuvens q , então está chovendo p . A proposição original garante que, se for verdadeiro que“está chovendo”, então será também verdadeiro que “existem nuvens”. Já a proposição recí- proca correspondente garante que, se“existem nuvens”, então“está choven- do”. Ou seja, a proposição recíproca não garante o mesmo que a proposição original. Assim, p q pode ser verdadeira, e sua recíproca, q p, falsa. Observe inclusive que na recíproca, se for verdadeiro que “existem nuvens”, então poderá ser verdadeiro ou falso que “está chovendo”. A pre- sença de nuvens não garante a chuva. Portanto, as duas proposições podem ter valores lógicos diferentes, não sendo, portanto, logicamente equivalentes. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 7. Proposições condicionais e bicondicionais 51 Exemplo 1: A proposição “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo” tem como recíproca a proposição“Se amanhã é domingo, então hoje é sábado”. Exemplo 2: A proposição“Se me esforço, então venço”tem como recíproca a proposi- ção“Se venci, então me esforcei”. Exemplo 3: A proposição“Se sou carioca, então sou brasileiro”tem como recíproca a proposição“Se sou brasileiro, então sou carioca”. Observe, nesse último exemplo, que uma proposição condicional e sua correspondente recíproca não são necessariamente equivalentes. Uma pessoa que é brasileira pode ser ou não carioca. Já no caso de uma pessoa ser carioca, ela será necessariamente brasileira. Proposição inversa A proposição inversa de p q é a proposição da forma ~p ~q. Proposição: Se está chovendo p , então existem nuvens q . Inversa: Se não está chovendo ~p , então não existem nuvens ~q . A proposição original garante apenas que, no caso de chuva, existem nuvens, mas nada é dito sobre o que acontecerá caso não chova. Analisando a proposição inversa correspondente, vemos que se for verdadeiro que“não está chovendo”então pode ser verdadeiro ou falso a conclusão de que“não existem nuvens”. Não é difícil perceber que p q pode ser verdadeira, e sua inversa, ~p ~q, falsa. Portanto, ambas podem ter valores lógicos diferentes, não sendo, assim, logicamente equivalentes. Exemplo 1: A proposição “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo” tem como inversa a proposição“Se hoje não é sábado, então amanhã não é domingo”. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 8. 52 Proposições condicionais e bicondicionais Exemplo 2: A proposição “Se me esforço, então venço” tem como inversa a proposi- ção“Se não me esforço, então não venço”. Exemplo 3: A proposição “Se sou carioca, então sou brasileiro” tem como inversa a proposição“Se não sou carioca, então não sou brasileiro”. Observe, nesse último exemplo, que uma proposição condicional e sua correspondente inversa não são necessariamente equivalentes. Se uma pessoa não é carioca, ela pode ser ou não brasileira. No caso de uma pessoa ser carioca, ela será necessariamente brasileira. Proposição contrapositiva A proposição contrapositiva de p q é a proposição da forma ~q ~p. Proposição: Se está chovendo p , então existem nuvens q . Contrapositiva: Se não existem nuvens ~q , então não está chovendo ~p . A proposição original afirma que se “está chovendo”, então “existem nuvens”. Assim, se for verdadeiro que “não existem nuvens”, também será verdadeiro que “não está chovendo”, pois a chuva somente ocorre com a presença de nuvens. Podemos, portanto, observar que se p q for verdadeira, a contraposi- tiva correspondente, ~q ~p, será verdadeira e, se p q for falsa, ~q ~p também será falsa. Em outras palavras, podemos dizer que “estar chovendo” é condição sufi- ciente para“existir nuvens”, e“não existir nuvens”também é condição suficien- te para“não estar chovendo”. A conclusão é a de que ambas as proposições são sempre logicamente equivalentes. Portanto, uma proposição condicional e sua correspondente contrapositiva são logicamente equivalentes. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 9. Proposições condicionais e bicondicionais 53 A tabela-verdade a seguir relaciona todos os valores lógicos possíveis de cada uma delas. proposição recíproca inversa contrapositiva p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p V V F F V V V V V F F V F V V F F V V F V F F V F F V V V V V V Logicamente Equivalentes Resumindo, dada uma proposição condicional qualquer, sua recípro- ca não é logicamente equivalente; sua inversa também não é logicamente equivalente, mas sua contrapositiva é sempre logicamente equivalente: (p q) ≡ (~q ~p) Exemplo 1: A proposição“Se hoje é sábado, então amanhã é domingo”é equivalente à sua correspondente proposição condicional “Se amanhã não é domingo, então hoje não é sábado”. Exemplo 2: A proposição“Se me esforço, então venço”é equivalente à sua correspon- dente proposição condicional“Se não venci, então não me esforcei”. Exemplo 3: A proposição “Se sou carioca, então sou brasileiro” é equivalente à sua correspondente proposição condicional “Se não sou brasileiro, então não sou carioca”. Implicação material Além da proposição contrapositiva, ~q ~p, a proposição condicional p q possui outra proposição equivalente, porém, não condicional. A pro- posição ~p q, chamada de implicação material, é equivalente à proposição condicional p q. Para comprovar essa equivalência, vamos construir as cor- respondentes tabelas-verdade. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 10. 54 Proposições condicionais e bicondicionais Equivalentes p q ~p p q ~p q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V As duas últimas colunas são idênticas. Dessa forma, as proposições ~p q e p q são logicamente equivalentes, ou seja: p q ≡ ~p q Exemplo: Sejam as proposições p: Ana é arquiteta e q: Bruno é barbeiro, e as propo- sições compostas: Proposição condicional: p q: Se Ana é arquiteta, então Bruno é barbeiro. Contrapositiva: ~q ~p: Se Bruno não é barbeiro, então Ana não é arquiteta. Implicação material: ~p q: Ana não é arquiteta ou Bruno é barbeiro. Observação: A negação da proposição ~p q é dada por ~(~p q) ≡ p ~q. Como a proposição condicional p q é equivalente a ~p q, temos que a negação de ~p q também é a negação de p q . Observe a tabela-verdade: p q ~p ~q p q ~p ∨ q p ~q V V F F V V F V F F V F F V F V V F V V F F F V V V V F Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 11. Proposições condicionais e bicondicionais 55 Dessa forma, a negação da proposição p q é a proposição p ~q, ou seja: ~(p q) ≡ p ~q Exemplo: Proposição condicional: p q: Se Ana é arquiteta, então Bruno é barbeiro. Negação: p ~q: Ana é arquiteta e Bruno não é barbeiro. Proposições bicondicionais As proposições bicondicionais são formadas a partir de proposições con- dicionais. Assim, quando ocorrer simultaneamente as proposições “se p, então q”e“se q, então p”, dizemos que também ocorre a proposição bicondi- cional“p se, e somente se, q”e a representamos por p q . Para exemplificar, considere as seguintes proposições: Condicional: p q: Se Carla é curitibana p , então Carla nasceu em Curitiba q . Recíproca: q p: Se Carla nasceu em Curitiba q , então Carla é curitibana p . Fazendo a conjunção das proposições anteriores, obtemos a proposição bicondicional: Carla é curitibana p se, e somente se, Carla nasceu em Curitiba q . A expressão“se, e somente se”nos dá a garantia de que se for verdadeiro que “Carla é curitibana”, então será verdadeiro que “Carla nasceu em Curiti- ba”. Da mesma forma, se for falso que“Carla é curitibana”, então será também falso que“Carla nasceu em Curitiba”. Podemos, portanto, definir uma proposição bicondicional (p q) como sendo uma conjunção ( ) entre a proposição condicional associada (p q) e sua correspondente recíproca (q p). Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 12. 56 Proposições condicionais e bicondicionais Em símbolos, a relação é a seguinte: conjunção Condicional recíproca bicondicional (p q) (q p) ≡ (p q) Existem outras maneiras equivalentes para utilizar uma proposição bi- condicional. Observe: p se, e somente se, q : Carla é curitibana se, e somente se, nasceu em Curitiba. p equivale a q: Carla ser curitibana equivale a nascer em Curitiba. p é condição necessária e suficiente para q: Carla ser curitibana é necessário e suficiente para nascer em Curitiba. Como podemos obter o valor lógico de uma proposição bicondicional p q? Para compreendermos o valor lógico de uma proposição bicondicional, vamos, inicialmente, recordar o valor lógico de uma condicional. A proposição p q tem valor F apenas quando p tem valorV e q tem valor F. Da mesma forma, q p tem valor F apenas quando q tem valor V e p tem valor F. Portanto, p q terá valor lógico V, se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. Caso p e q tenham valores diferentes – umaV e outra F – o valor lógico de p q será F. Resumindo, podemos construir a seguinte tabela-verdade da proposição bicondicional: p q p → q q → p p ↔ q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Condicionais Bicondicional Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 13. Proposições condicionais e bicondicionais 57 Os valores lógicos da última coluna da tabela foram obtidos fazendo uma conjunção ( ) entre os valores da terceira e da quarta colunas, pois (p q) (q p) ≡ (p q). Observe ainda que esses valores da última coluna podem também ser obtidos através dos valores lógicos da primeira e segunda colunas. Nesse caso, quando p e q têm valores iguais, a bicondicional tem valor V, e quando p e q têm valores diferentes, a bicondicional tem valor F. Exemplo 1: Considere as seguintes proposições: p: x é divisível por 3 q: y é múltiplo de 5 Vamos representar cada uma das proposições abaixo utilizando as propo- sições p ou q, e os símbolos: ~, ou . Se x é divisível por 3, então y é múltiplo de 5. p q Se y é múltiplo de 5, então x é divisível por 3. q p Se x não é divisível por 3, então y não é múltiplo de 5. ~p ~q Se y não é múltiplo de 5, então x não é divisível por 3. ~q ~p x é divisível por 3 se, e somente se, y é múltiplo de 5. p q x não é divisível por 3 se, e somente se, y não é múltiplo de 5. ~p ~q Exemplo 2: Sejam as proposições: p: 10 é múltiplo de 4. q: 10 é par. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 14. 58 Proposições condicionais e bicondicionais Observe que a proposição p é falsa e a proposição q é verdadeira. Vamos escrever as seguintes proposições em linguagem usual e determinar o cor- respondente valor lógico resultante. p q: Se 10 é múltiplo de 4, então 10 é par. q p: Se 10 é par, então 10 é múltiplo de 4. ~p ~q: Se 10 não é múltiplo de 4, então 10 não é par. ~q ~p: Se 10 não é par, então 10 não é múltiplo de 4. p q: 10 é múltiplo de 4 se, e somente se, 10 é par. p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p p q F V V F V F F V F Exemplo 3: Nesse exemplo, mostraremos que as proposições ~(p q) e (p ~q) são logicamente equivalentes por meio da tabela-verdade: p q ~q p ~ q p q ~(p q) V V F F V F V F V V F V F V F F V F F F V F V F Observe na tabela-verdade que as colunas referentes às proposições ~(p   q) e (p ~q) são idênticas. Isso mostra que são logicamente equi- valentes. Esse exemplo ilustra o fato de que a negação de uma proposição condicio- nal da forma p → q é obtida fazendo uma conjunção entre a proposição p e a negação da proposição q. Em outras palavras, a negação de p q é p ~q. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 15. Proposições condicionais e bicondicionais 59 Assim, a negação da proposição“Se trabalho, então venço”é“Trabalho e não venço”. Exemplo 4: Considere as proposições: p: João é casado q: João dança tango Utilizando as proposições p ou q, e os símbolos , ou ~, represente sim- bolicamente as proposições que a seguir estão escritas em linguagem natural. Se João é casado, então dança tango. p q Se João não dança tango, então é casado. ~q p João é casado se, e somente se, dança tango. p q Se João dança tango, então João é casado. q p Se João não dança tango, então não é casado. ~q ~p João dançar tango é condição necessária para ser casado. p → q João ser casado é condição suficiente para dançar tango. p → q João não dançar tango equivale a João não ser casado. ~p ↔ ~q Exemplo 5: Considere as proposições simples: Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 16. 60 Proposições condicionais e bicondicionais p: O Brasil é um país sul-americano. q: O Japão fica na Oceania. r: A cidade do Rio de Janeiro nunca foi capital do país. Os valores lógicos das proposições anteriores são V, F e F, respectivamen- te. Vamos determinar o valor lógico de cada uma das proposições compos- tas a seguir: p q A proposição p q tem valor F, pois p tem valor V e q tem valor F. ~q r A proposição ~q r tem valor F, pois ~q tem valor V e r tem valor F. p r A proposição p r tem valor F, pois p tem valor V e r tem valor F. ~q ~r A proposição ~q ~r tem valor V, pois ~q tem valor V e ~r tem valor V. ~p (~r q) Observe que ~r tem valor V, q tem valor F e, portanto, a condicional (~r q) tem valor F. Como ~p tem valor F, conclui–se que a proposição ~p (~r q) tem valor F. (p ~r) q Observe que p tem valor V, ~r tem valor V e, assim, a conjunção (p ~r) tem valor V. Como q tem valor F, conclui-se que a proposição (p ~r) q tem valor F. Conjuntos É possível relacionar as proposições condicionais e conjuntos. Isso pode serfeitonaturalmentepelaassociaçãodeconceitosmatemáticoscomconcei- tos lógicos. Para uma melhor compreensão, atente para alguns conceitos. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 17. Proposições condicionais e bicondicionais 61 Elementos de conjuntos Os deputados federais são eleitos para representar os interesses da socie- dade brasileira no Congresso Nacional, em Brasília. UniversidadeFederaldeMinasGerais. Os deputados federais são elementos do conjunto de políticos do Congresso Nacional. Se considerássemos o conjunto de todos os políticos que trabalham no Congresso Nacional, cada deputado federal e cada senador seria um elemen- to desse conjunto. Esse conjunto poderia ser representado de várias manei- ras. Sendo C o conjunto dos políticos que trabalham no Congresso Nacional, observe algumas dessas maneiras: C = {x / x é político do Congresso Nacional} C = {políticos do Congresso Nacional} Deputado Federal 1 Deputado Federal 2 Deputado Federal n Senador 1 Senador 2 Senador m Políticos do Congresso Nacional Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 18. 62 Proposições condicionais e bicondicionais A associação entre um elemento e um conjunto é chamada de relação de pertinência: Dizemos que um elemento x pertence a um conjunto A, e representamos por x ∈ A, quando x é um dos elementos que constituem o conjunto A. Caso contrá- rio, quando não constitui, dizemos que x não pertence a A, ou seja, x A. Exemplo 1: Para o conjunto A = {2; 5; 7}, podemos escrever: 2 A, 5 A, 7 A e 3 A. Exemplo 2: Para o conjunto B = { ; ; }, temos: B, ♦ B, B, mas B. Exemplo 3: O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação é formado pelos valores da variável que tornam a igualdade verdadeira. Por exemplo, qual é o conjunto solução da equação x2 – 5x + 6 = 0? O conjunto solução S pode ser assim definido: S = {x/ x2 – 5x + 6 = 0} A resolução pode ser efetuada pela fórmula de Bháskara (1114-1185): x2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x = – (– 5) ± (–5)2 – 4 . 1 . 6 2.1 ⇒ x = 5 ± 1 2 ⇒ x = 2 ou x = 3 Logo, o conjunto solução S da equação é S = {2, 3}: S 2 3 Diagrama Os números 2 e 3, chamados de raízes, são os únicos números que tornam verdadeira a equação ao se substituir a variável x por 2 ou por 3, separadamente: x = 2 22 – 5 . 2 + 6 = 0 0 = 0 (igualdade verdadeira) x = 3 32 – 5 . 3 + 6 = 0 0 = 0 (igualdade verdadeira) Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 19. Proposições condicionais e bicondicionais 63 Observação: Apesar de existir várias maneiras de se representar um conjunto, o mais importante, entretanto, não é a representação utilizada, mas, sim, que não haja dúvida sobre quais são os elementos componentes. Subconjuntos Assim como elementos podem estar associados a conjuntos utilizando os símbolos correspondentes a pertence ( ) e não pertence ( ), dois conjuntos podem estar também relacionados por meio dos símbolos (está contido) ou (não está contido). Como exemplo, considere: C: políticos do Congresso Nacional B: políticos brasileiros Então, podemos escrever: C B Nesse caso, o conjunto C é subconjunto do conjunto B: Nesta representação C está contido no B C B Dizer que o conjunto dos políticos do Congresso Nacional está contido no conjunto dos políticos do Brasil é o mesmo que afirmar: Todo político do Congresso Nacional é um político do Brasil. Podemos também dizer que o conjunto B contém o conjunto C, ou seja, B C. Pode ocorrer que nem todos os elementos de um conjunto (ou nenhum) pertençam ao outro conjunto. Para ilustrar, considere os seguintes conjuntos: A: pessoas que trabalham no Congresso Nacional B: políticos do Brasil Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 20. 64 Proposições condicionais e bicondicionais Existem pessoas que trabalham no Congresso Nacional e não são políti- cos. Nesse caso, dizemos que A não está contido em B ou que o conjunto B não contém o conjunto A. Em símbolos, a representação é A B. Nesta representação o conjunto A não está contido em B A B Exemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 5} e C = {0; 1; 2; 3}, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A, mas nem todos os elementos de C pertencem ao conjunto A. A ilustração indica que o conjunto B é subcon- junto de A e o conjunto C não é subconjunto de A. B A 0 1 3 2 4 5 C Logo, podemos escrever: B A e C A. Conjunto vazio Um conjunto qualquer pode ter muitos elementos, até infinitos elemen- tos podem ocorrer. Por outro lado, um conjunto pode também não ter ele- mentos. Quando um conjunto não possui elemento algum é chamado de conjunto vazio. Um conjunto vazio não possui elemento algum. Para representá-lo, existem duas maneiras: { } ou .  Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 21. Proposições condicionais e bicondicionais 65 Observações: Não é possível apresentar um elemento sequer do conjunto vazio que não pertença a um conjunto qualquer A. Por isso, admitimos sempre que: A, qualquer que seja A. Todos os elementos de um conjunto A pertencem ao próprio conjunto A, ou seja: A A, para todo conjunto A. Exemplo 1: Dadas as afirmações a seguir, vamos classificá–las em verdadeiras (V) ou falsas (F): ( V ) Se A = {m, n, p, q}, então m ∈ A. ( V ) {2, 3} {2, 3, 4} ( V ) {0, 2, 4, 6, ...} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ( V ) Se A B e B C, então A C. ( V ) A, qualquer que seja A. ( V ) Se A B e B A, então A = B. ( V ) Se A = {x/ x 0 e x é par}, então A = {2, 4, 6, 8, ...} Exemplo 2: Quais possíveis conjuntos X satisfazem a relação {3, 4} X {2, 3, 4, 5}? Para satisfazer tal relação, X deve conter {3, 4} e, ao mesmo tempo, estar contido em {2, 3, 4, 5}. Assim, existem quatro conjuntos possíveis para X: X = {2, 3} X = {2, 3, 4} X = {2, 3, 5} X = {2, 3, 4, 5} Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 22. 66 Proposições condicionais e bicondicionais Proposições condicionais e conjuntos A Inglaterra é um dos países da Europa. 0 405 Km Escala gráfica aproximada IESDEBrasilS.A.Adaptado. Fonte: Temática Cartografia. Legenda: Territórios pertencentes ao continente europeu Territórios pertencentes à outros continentes Reino Unido Poressemotivo,podemosescrever:Todoinglêséeuropeu.Erepresentar:Pessoa inglesa→Pessoaeuropeia, ou seja: Seumapessoaéinglesa,entãoéeuropeia. Observação: Em Lógica, quando utilizamos a proposição “p → q” (se p, então q), estamos relacionando dois conjuntos: P (formado pelos elementos que satisfazem a pro- priedade p) e Q (formado pelos elementos que satisfazem a propriedade q), de forma que todos os elementos de P sejam elementos de Q, ou seja, P ⊂ Q. p → q corresponde a P ⊂ Q. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 23. Proposições condicionais e bicondicionais 67 Exemplo 1: Considere as definições: p: Ana é inglesa q: Ana é europeia e as designações P: conjunto dos ingleses Q: conjunto dos europeus Relacionando as ideias, podemos escrever: Se Ana é inglesa, então Ana é europeia (p q). Logo, de forma equivalente, todo inglês é europeu (P Q). Para explorar mais detalhes relacionados à lógica, considere: ~p: Ana não é inglesa ~q: Ana não é europeia O que você diria quanto às afirmações: Se Ana é europeia, então Ana é inglesa (q p). Se Ana não é inglesa, ela não é europeia (~p ~q). Quem é da Alemanha, por exemplo, não é da Inglaterra, mas é da Europa. Assim, uma pessoa europeia não é necessariamente inglesa. Do mesmo modo, uma pessoa não inglesa não é necessariamente não europeia. Organizando as informações, podemos dizer que a proposição: Pessoa inglesa Pessoa europeia não é equivalente a qualquer uma das seguintes proposições: Pessoa europeia Pessoa inglesa Pessoa não inglesa Pessoa não europeia Entretanto, a proposição: Se Ana é inglesa, então Ana é europeia (p q). Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 24. 68 Proposições condicionais e bicondicionais é equivalente a: Se Ana não é europeia, então Ana não é inglesa (~q ~p). Europeus Ingleses Ana Ana Se Ana é inglesa, então é europeia. Se Ana não é europeia, então não é inglesa. Observe que essa relação é validada pelo seguinte fato: Proposição condicional: Se Ana é inglesa, então é europeia. Proposição contrapositiva equivalente: Se Ana não é europeia, então não é inglesa. Exemplo 2: Considere as definições: p: Bruno é carioca q: Bruno é brasileiro e as designações: P: conjunto dos cariocas Q: conjunto dos brasileiros Associando as proposições e os conjuntos, temos: Se Bruno é carioca, então Bruno é brasileiro (p q). De forma equivalente, todo carioca é brasileiro (P Q). Observe no próximo exemplo que as relações entre as proposições e os conjuntos não precisam ser geográficas. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 25. Proposições condicionais e bicondicionais 69 Exemplo 3: Considere as ações: p: Estudar q: Aprovação no concurso e as designações: P: conjunto dos que estudam Q: conjunto dos aprovados em concursos Se a relação entre as proposições p e q se dá por uma proposição condi- cional, podemos escrever: Se alguém estuda, então é aprovado no concurso (p q). Da mesma forma: Todos os que estudam são aprovados no concurso (P Q). Exemplo 4: Qual ilustração poderia ser construída se considerássemos como verda- deira a proposição: Se dirige rápido, então está apressado (p q). O conjunto das pessoas que dirigem rápido é subconjunto das pessoas apressadas: Pessoas apressadas Pessoas que dirigem rápido Todas as pessoas que dirigem rápido são apressadas. Vale ainda ressaltar que, de acordo com a ilustração anterior, as pessoas que não dirigem rápido podem ou não ser apressadas. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 26. 70 Proposições condicionais e bicondicionais Exemplo 5: Considerando verdadeira a proposição: Todas as plantas são verdes. Por meio de diagramas, a ilustração adequada para relacionar os conjun- tos“plantas”e“verdes”é a seguinte: Verdes Plantas Observe que as proposições a seguir não são necessariamente verdadeiras: Todos os verdes são plantas. Todas as não plantas são não verdes. A proposição abaixo é necessariamente verdadeira, pois se“todas as plan- tas são verdes”, obrigatoriamente“algumas plantas são verdes”. Algumas plantas são verdes. Também é necessariamente verdadeira a proposição abaixo: Todos os não verdes são não plantas. Para verificar, basta utilizar a proposição contrapositiva correspondente. Proposição condicional: Plantas → Verdes Proposição contrapositiva equivalente: Não Verdes → Não Plantas Isso pode ser verificado no diagrama anterior: os elementos que não per- tencem ao conjunto dos “Verdes” necessariamente não pertencem ao con- junto das ”Plantas”. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 27. Proposições condicionais e bicondicionais 71 Exemplo 6: Considere verdadeira a proposição: Todos os advogados são honestos. Uma ilustração que representa corretamente a relação entre os conjuntos ‘Advogados”e“Honestos”é a seguinte: Honestos Advogados Se“Todos os advogados são honestos”, então: Todos os honestos são advogados. Todos os não advogados são não honestos. as proposições não são necessariamente verdadeiras. A proposição: Alguns advogados são honestos. é necessariamente verdadeira, pois se “todas os advogados são hones- tos”, é verdade que“alguns advogados são honestos”. A proposição abaixo também é necessariamente verdadeira. Todos os não honestos são não advogados. Observe: Proposição condicional: Advogados → Honestos Proposição contrapositiva equivalente: Não honestos → Não advogados Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 28. 72 Proposições condicionais e bicondicionais Ampliando seus conhecimentos O próximo texto foi extraído do livro Lógica? É Lógico! (MACHADO, 2000, p. 9) O filme O Enigma de Kaspar Hauser relata a história de um homem (Kaspar Hauser) que viveu isolado de outras pessoas desde criança até a idade adulta, quando aprendeu a falar. Nesse filme, há uma cena em que um professor de Lógica, para investigar a inteligência de Kaspar Hauser, propõe o seguinte problema: “Caminhando por certa estrada, você chega a um ponto em que há uma bifurcação: uma das vias conduz à aldeia A e a outra conduz à aldeia B. No ponto de bifurcação, você encontra dois homens, cada um vindo de uma das aldeias onde vivem. Não se sabe qual deles vem da aldeia A ou da B. Sabe-se apenas que todos os habitantes da aldeia A mentem o tempo todo, enquanto todos os habitantes da B falam somente a verdade. Você deve iden- tificar a procedência de cada um dos homens, sendo-lhe permitido, para isso, fazer uma única pergunta a um só deles. Qual deve ser a pergunta?” Kaspar Hauser respondeu: “Eu perguntaria a qualquer um dos dois:‘Você é uma pedra?’” Explique como essa única pergunta feita a qualquer um dos homens possi- bilitou a identificação da origem de cada um deles. Comentário do autor: Cada um dos homens tem uma procedência diferente e, portanto, naturezas distintas em relação à falar ou não a verdade. A pergunta “você é uma pedra?” deve ser respondida com um“sim”por quem mente e“não”por quem fala a ver- dade. Logo, independentemente a quem é feita a pergunta, de acordo com a resposta, sempre será possível identificar se o homem fala a verdade ou mente. Além disso, o homem a quem não é feita a pergunta terá, necessariamente, na- tureza oposta do primeiro – a quem é feita a pergunta. Isso possibilitará identifi- car a origem de cada um deles. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 29. Proposições condicionais e bicondicionais 73 Atividades de aplicação 1. Considere as proposições simples: p: 7 é um número ímpar. q: Existem infinitos números inteiros. r: Todo europeu é francês. De acordo com os valores lógicos de p, q e r, determine os valores lógi- cos das proposições compostas: a) ( ) p → q b) ( ) ~q → r c) ( ) p → r d) ( ) q → ~r e) ( ) ~r → ~q f) ( ) p ↔ q g) ( ) ~q ↔ r h) ( ) (~p → r) ↔ (~q) 2. Considerando verdadeira a proposição“Se sou carioca, então sou bra- sileiro”, marque V ou F, conforme se possa concluir que cada uma das seguintes proposições é verdadeira ou falsa, respectivamente. a) ( ) Ser carioca é suficiente para ser brasileiro. b) ( ) Ser brasileiro é necessário para ser carioca. c) ( ) Ser brasileiro é suficiente para ser carioca. d) ( ) Ser carioca é necessário para ser brasileiro. e) ( ) Sou carioca somente se sou brasileiro. f) ( ) Sou brasileiro somente se sou carioca. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 30. 74 Proposições condicionais e bicondicionais 3. Considerando como verdadeira a proposição “Se Almir é almirante, en- tão Bruno é biruta”, marque com um X as proposições que são necessa- riamente verdadeiras. a) ( ) Se Bruno é biruta, então Almir é almirante. b) ( ) Se Bruno não é biruta, então Almir não é almirante. c) ( ) Se Almir não é almirante, então Bruno não é biruta. d) ( ) Almir ser almirante é condição suficiente para Bruno ser biruta. e) ( ) Almir ser almirante é condição necessária para Bruno ser biruta. f) ( ) Almir não ser almirante é condição suficiente para Bruno não ser biruta. g) ( ) Almir não ser almirante é condição necessária para Bruno não ser biruta. h) ( ) Bruno ser biruta é condição suficiente para Almir ser almirante. i) ( ) Bruno ser biruta é condição necessária para Almir ser almirante. j) ( ) Bruno não ser biruta é condição suficiente para Almir não ser almirante. k) ( ) Bruno não ser biruta é condição necessária para Almir não ser almirante. 4. Dada a proposição condicional ”Se estudo, então passo”: a) Escreva uma proposição condicional equivalente. b) Escreva uma proposição não condicional equivalente. c) Escreva a negação da proposição dada. 5. Qual é a negação da proposição “Se você estudou Lógica então você acertará essa questão”? 6. Marque V ou F conforme a proposição seja verdadeira ou falsa, respecti- vamente. a) ( ) Uma condição necessária para que um número seja maior do que 3 é que ele seja positivo. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 31. Proposições condicionais e bicondicionais 75 b) ( ) Uma condição suficiente para que um número seja maior do que 1 é que ele seja positivo. c) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo. d) ( ) Toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficiente para que ele seja maior do que 2. 7. Num balneário é rigorosamente obedecida a seguinte ordem: Se não chover, então todos os bares deverão ser abertos. Nas proposições a seguir, marque V conforme se possa concluir corre- tamente que a proposição é verdadeira. Caso contrário, marque F. a) ( ) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu. b) ( ) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não cho- veu. c) ( ) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão aber- tos. d) ( ) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos. e) ( ) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. 8. Por meio da tabela-verdade, mostre que a proposição “Se tenho di- nheiro, então viajo” é a negação da proposição “Tive dinheiro e não viajei”. 9. Cada um dos cartões abaixo têm de um lado um número e do outro uma letra. U Z 4 5 Considerando como verdadeira a afirmação“Todos os cartões que têm vogal numa face, têm número par na outra”, marque V ou F em cada uma das proposições a seguir, conforme a proposição seja verdadeira ou falsa, respectivamente. Para verificar se tal afirmação é verdadeira, a) ( ) é necessário virar todos os cartões. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 32. 76 Proposições condicionais e bicondicionais b) ( ) é suficiente virar os dois primeiros cartões. c) ( ) é suficiente virar os dois últimos cartões. d) ( ) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) ( ) é suficiente virar o primeiro e o último cartão. 10. A sentença“Estou feliz se, e somente se, meu time ganha”é verdadeira. Marque V caso se possa concluir que a sentença apresentada é neces- sariamente verdadeira. Caso contrário, marque F. a) ( ) Estou feliz. b) ( ) Meu time ganhou. c) ( ) Não estou feliz. d) ( ) Meu time não ganhou. e) ( ) Se estou feliz, então meu time ganhou. f) ( ) Se meu time ganhou, então estou feliz. g) ( ) Se meu time não ganhou, então não estou feliz. h) ( ) Se não estou feliz, então meu time não ganhou. i) ( ) Se não estou feliz, então meu time ganhou. j) ( ) Se estou feliz, então meu time não ganhou. k) ( ) Se meu time ganhou, então não estou feliz. l) ( ) Se meu não time ganhou, então estou feliz. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 33. Proposições condicionais e bicondicionais 77 Referências ABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petrópolis: Vozes, 1994. ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2003. 203 p. ARISTÓTELES. Tópicos. São Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleção Os Pensadores). _____. Organon. São Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleção Os Pensadores). BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A História da Lógica. Lisboa: Edições 70, 1982. 127 p. CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6. ed. São Paulo: Nobel, 1986. 158 p. DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003. 102 p. KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. 12. ed. Petrópolis: Vozes, 2000. 179 p. KOPNIN, P. V. A Dialética como Lógica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janei- ro, 1978. 353 p. LAUSCHNER, Roque. Lógica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos, 1984. 207 p. LIARD, L. Lógica. 6. ed. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p. LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. São Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p. MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto – lógica, conjuntos e fun- ções. São Paulo: Scipione, 1988. 240 p. _____. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a Matemática). MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 34. 78 Proposições condicionais e bicondicionais NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes, 1997. 174 p. OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lógica Aritmética. Brasília: UnB, 2004. 241 p. SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p. SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1. _____. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2. SOARES, Edvaldo. FundamentosdaLógica– elementos da Lógica Formal e Teoria da Argumentação. São Paulo: Atlas, 2003. 187 p. TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 35. Proposições condicionais e bicondicionais 79 Gabarito 1. a) ( V ) b) ( V ) c) ( F ) d) ( V ) e) ( F ) f) ( V ) g) ( V ) h) ( F ) 2. a) ( V ) b) ( V ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) f) ( F ) 3. a) ( ) b) ( X ) c) ( ) d) ( X ) e) ( ) f) ( ) g) ( X ) h) ( ) i) ( X ) j) ( X ) k) ( ) 4. a) Se não passei, então não estudei. b) Não estudo ou passo. c) Estudei e não passei. 5. Você estudou lógica e não acertará essa questão. 6. a) ( V ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) 7. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) 8. Sejam as proposições p: tenho dinheiro e q: viajo. A proposição “Se tenho dinheiro, então viajo” tem a forma p q e a proposição “Tive dinheiro e não viajei”tem a forma p ~q. Assim, temos: p q ~q p q p ~q V V F V F V F V F V F V F V F F F V V F A tabela comprova que as proposições são contraditórias, ou seja, ~(p q) p ~q. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 36. 80 Proposições condicionais e bicondicionais 9. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) 10. a) ( F ) b) ( F ) c) ( F ) d) ( F ) e) ( V ) f) ( V ) g) ( V ) h) ( V ) i) ( F ) j) ( F ) k) ( F ) l) ( F ) Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 37. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br
  • 38. Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.videoaulasonline.com.br

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