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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden
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Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden

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  • 1. Aplicaciones de EcuacionesDiferenciales ordinariasLineales de orden superior
  • 2. Mecánica y ElectricidadUna de las mas famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinariacon coeficientes constantes esLa cual utiliza para describir sistemas mecánicos y toma la forma
  • 3. • Y circuitos eléctricosAnalicemos la ecuación que describe sistemas mecánicos y dejamosla que describe sistemas eléctricos para un análisis posterior. Elprimero de los casos a analizar será el de las oscilaciones libres, valedecir F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones diferencialesse traduce a ecuaciones diferenciales homogéneas. En contraste, si F(t) 6= 0; es decir, el caso homogéneo, estaremos describiendooscilaciones forzadas.
  • 4. Oscilaciones libres no amortiguadasAnalicemos pues del caso del oscilador armónico libre, i.e.se denomina la frecuencia natural de oscilación y C1 y C2 las constantes de integraciónque sedeterminan de las condiciones iniciales. Es claro que
  • 5. Figura 1: Oscilador armónico libre. Cambios en la posición inicial no afectan la frecuencianatural.
  • 6. Oscilaciones libres amortiguadasConsideremos que en el movimiento actúa una fuerza deamortiguación proporcional a la velocidad, por lo cual elmovimiento viene descrito por
  • 7. Figura 2: Oscilador Armonico Libre. Cambios de velocidad incial noafectan la frecuencia natural la cual constituye una ecuacióndiferencial lineal homogénea de segundo orden. Las raíces delpolinomio característico asociado serán
  • 8. 4. Oscilaciones forzadas• Supongamos ahora que existe una fuerza aplicada al sistema tal que• 4.1 Oscilaciones forzadas no amortiguadas
  • 9. con lo cual es la suma de dos movimientos armónicos con distintas frecuencias yamplitudes. Si elcuerpo parte del reposo, esto es: x (0) = x_ (0) = 0 entonces
  • 10. • En el caso que la frecuencia de la fuerza de excitación coincida con la frecuencia natural del sistema, se tiene
  • 11. 5. Movimiento alrededor de un punto de equilibrioLa fuerza elástica F = -k x mas allá de ser el caso mas simple,representa la primera aproximación al movimiento alrededor de unpunto de equilibrio estable. Si recordamos que para una fuerza que
  • 12. 6. Péndulo simple condesplazamiento finitoEl caso típico de esta aproximación lo constituye el péndulosimple: una masa m, empotrada a una varilla, de masadespreciable y de longitud L. La varilla se desplaza un Angulo µ dela vertical y se suelta. Desde la ancestral física general, aun en secundaria, eraproverbial resolver este problema suponiendo ángulos pequeños.En esas tempranas épocas de nuestro conocimiento de Física eralimitado y mas limitado aun era nuestra capacidad para resolverecuaciones diferenciales. A este problema" se le conoce con elpéndulo físico. Como siempre, aproximar es un arte y exploremoseste arte. Como norma general tendremos que se debeaproximar al final. Pero no siempre. Si suponemos un cuerpo demasa constante, m; las ecuaciones diferenciales que describen elmovimiento no pueden ser o tras que aquellas que provengan delas ecuaciones de Newton

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