1. Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang
mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau
radius, atau jari-jari. Sifat lingkaran yaitu memiliki simetri lipat dan simetri putar yang tak
terhingga jumlahnya.
Berikut ini gambar lingkaran :
Rumus Luas lingkaran
Rumus Keliling Lingkaran
Rumus mencari Diameter Lingkaran
Rumus Lingkaran menjadi salah satu referensi rumus dalam bidang datar, bagi yang sedang
mencari rumus trigonometri dapat anda baca pada artikel Fungsi
2. Garis Singgung Lingkaran
Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan garis singgung lingkaran materi kelas
8 smp semester 2.
Garis singgung persekutuan dalam, persekutuan luar dan sudut yang berkait dengan sifat garis
singgung.
Soal No. 1
Perhatikan gambar lingkaran berikut.
PQ adalah garis singgung lingkaran O yang berjari-jari 5 cm.
Jika panjang garis QR adalah 8 cm, tentukan luas segitiga QOS
Pembahasan
PQ garis singgung lingkaran, sehingga PQ tegak lurus dengan OS. Dengan phytagoras didapat:
Sehingga luas segitiga QOS adalah
Soal No. 2
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat titik O.
Jika besar sudut ABC adalah 70° dan titk C dan titik A berturut-turut adalah titik singgung garis
CB dan AB pada lingkaran O, tentukan besar dari sudut AOC
Pembahasan
∠ OBC = 70°/2 = 35°
∠BOC = 180° − 90° − 35 = 55°
∠AOC = 2 × ∠ BOC = 155°
3. ∠AOC = 2 × ∠ BOC = 2 × 55° = 110°
Soal No. 3
Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, dengan panjang jari-jari masing-masing 7
cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua
lingkaran tersebut adalah...
(Soal UN Matematika SMP Tahun 2007)
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 12 cm
D. 15 cm
Pembahasan
Garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran
Dengan pythagoras
Garis singgung kedua lingkaran sejajar dan sama panjang dengan garis CB yaitu 12 cm
Soal No. 4
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran 8 cm. Jika jarak titik pusat kedua
lingkaran 17 cm dan panjang jari-jari salah satu lingkaran 10 cm, maka panjang jari-jari
lingkaran yang lain adalah...
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 7 cm
D. 9 cm
Pembahasan
Misalkan lingkaran A dan B dengan jarak titik pusat AB dan panjang garis singgung persekutuan
dalam adalah PQ:
AB = 17 cm
PQ = 8 cm
RA = 10 cm
RB = ....
4. Soal No. 5
Diketahui dua lingkaran dengan pusat P dan Q, jarak PQ = 26 cm, jari-jari lingkaran masing-
masing 12 cm dan 2 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah....
A. 16 cm
B. 24 cm
C. 28 cm
D. 30 cm
Pembahasan
Menentukan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Misalkan hendak menggunakan
rumus yang seperti ini
dimana
p = jarak pusat ke pusat = 26 cm
R = 12 cm
r = 2 cm
d = garis singgung persekutuan luar = ....
masukkan datanya
Soal No. 6
Diketahui dua lingkaran jari-jari lingkaran masing-masing 14 cm dan 2 cm. Jika jarak antara
kedua pusat lingkaran adalah 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua
lingkaran adalah....
A. 16 cm
B. 18 cm
C. 22 cm
D. 25 cm
Pembahasan
Dengan cara dan rumus yang sama diperoleh garis singgungnya persekutuan luar:
Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut !
5. Panjang PQ = 20 cm, AB = 25 cm dan AP = 9 cm. Perbandingan luas lingkaran berpusat di A
dengan luas lingkaran berpusat di B adalah...
A. 3 : 2
B. 5 : 3
C. 9 : 4
D. 9 : 7
(Soal UAN 2003)
Pembahasan
Data, A dan B pusat dua lingkaran yang berjarak 25 cm.
Misalkan format rumus yang dipakai seperti ini
dimana
d = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak pusat ke pusat lingkaran
maka jari-jari lingkaran kecilnya
sehingga perbandingan luasnya
Soal No. 8
Diketahui dua lingkaran jari-jari lingkaran masing-masing 10 cm dan 6 cm. Jika jarak antara
kedua pusat lingkaran adalah 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua
6. lingkaran adalah....
A. 4 cm
B. 8 cm
C. 12 cm
D. 16 cm
Pembahasan
Bentuk lain dari rumus soal sebelumnya adalah
masukkan datanya
Soal No. 9
Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran adalah 12 cm dan jarak dua titik
pusat lingkaran tersebut adalah 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 8 cm,
panjang jari-jari lingkaran lain adalah…. A. 2 cm
B. 3 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
Pembahasan
Bentuk lain dari rumus garis singgung luar, dengan data R = 8, p = 13, l = 12 dan r = dicari,
Soal No. 10
Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat di A dan B, masing-masing berjari-jari 34 cm dan 10
cm. Garis CD merupakan garis singgung persekutuan luar. Bila CD = 32 cm, panjang AB =.....
A. 66 cm
B. 44 cm
C. 42 cm
D. 40 cm
Pembahasan
Menentukan jarak pusat dua lingkaran, diketahui garis singgung persekutuan luarnya:
Soal No. 11
Dua buah roda dililit dengan tali seperti gambar berikut!
Perkirakan panjang tali yang melilit roda-roda tersebut!
7. Pembahasan
Perhatikan gambar:
Jika r adalah jari-jari, dan K = keliling lingkaran = 2π r
Panjang tali yang melilit roda-roda
p = 2r + 2r + 1/2K + 1/2K
p = 4r + K
p = 4r + 2πr = 4(21) + 2 (22/7)(21) = 84 + 132 = 216 cm
Soal No. 12
Delapan buah roda dililit dengan tali seperti gambar berikut, masing-masing roda diameternya 14
cm!
Tentukan panjang tali yang melilit roda-roda tersebut!
Pembahasan
Perhatikan gambar, D adalah diameter lingkaran, dan K adalah keliling:
Ada 8 D dan 1/4 K sebanyak 4. Jadi panjang talinya:
= 8 D + 4(1/4 K)
= 8 D + K
= 8 D + π D
= 8(14) + (22/7)14
= 112 + 44 = 156 cm
8. KUBUS DAN BALOK
A.Volume Kubus dan Balok
Rumus volume kubus (V) dengan panjang rusuk s adalah sebagai berikut.
V = rusuk x rusuk x rusuk
V = s.s.s
V = s3
Sedangkan untuk menghitung volume balok (V) dengan ukuran (p x l x t) dapat digunakan
rumus sebagai berikut.
V = panjang x lebar x tinggi
V = p x l x t
B. Luas permukaan kubus
Luas permukaan kubus adalah jumlah luas seluruh sisi kubus. Untuk memahaminya silahkan
Anda lihatgambar kubus berikut ini.
Gambar di atas menunjukkan sebuah kubus yang panjang setiap rusuknya adalah s. Ingat bahwa
sebuah kubus memiliki 6 buah sisi yang setiap rusuknya sama panjang. Pada gambar di atas,
keenam sisi tersebut adalah sisi ABCD, ABFE, BCGF, EFGH, CDHG, dan ADHE. Karena
panjang setiap rusuk kubus s, maka luas setiap sisi kubus = s2. Dengan demikian,
luas permukaan kubus = 6s2.
L = 6s2,
Dengan:
L = luas permukaan kubus
s = panjang rusuk kubus
Contoh Soal
Sebuah kubus panjang setiap rusuknya 8 cm. Tentukan luas permukaan kubus tersebut.
Luas permukaan kubus = 6s2
= 6.82
= 384 cm2
C.Luas permukaan balok
Luas permukaan balok adalah jumlah luas seluruh sisi balok. Untuk memahaminya silahkan
Anda lihatgambar kubus berikut ini.
Balok pada gambar di atas mempunyai tiga pasang sisi yang tiap pasangnya sama dan sebangun,
yaitu
(a) sisi ABCD sama dan sebangun dengan sisi EFGH;
(b) sisi ADHE sama dan sebangun dengan sisi BCGF;
(c) sisi ABFE sama dan sebangun dengan sisi DCGH.
9. Akibatnya diperoleh
luas permukaan ABCD = luas permukaan EFGH = p.l
luas permukaan ADHE = luas permukaan BCGF = l.t
luas permukaan ABFE = luas permukaan DCGH= p.t
Dengan demikian, luas permukaan balok sama dengan jumlah ketiga pasang sisi
yang saling kongruen pada balok tersebut. Luas permukaan balok dirumuskan sebagai berikut.
L = 2(p.l) + 2(l.t) + 2(p.t)
= 2{(p.l) + (l.t) + (p.t)}
dengan
L = luas permukaan balok
p = panjang balok
l = lebar balok
t = tinggi balok
Contoh soal
Sebuah balok berukuran (6 x 5 x 4) cm. Tentukan luas permukaan balok.
Penyelesaian:
Balok berukuran (6 x 5 x 4) cm artinya panjang = 6 cm, lebar = 5 cm, dan tinggi 4 cm.
Luas permukaan balok
= 2{(p.l) + (l.t) + (p.t)}
= 2{(6.5) + (5.4) + (6.4)}
= 2(30 + 20 + 24)
= 148 cm2
D.Diagonal bidang, ruang dan bidang diagonal kubus
Sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus hampir sama dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh balok.
Yang membedakan hanya ukurannya saja. Kubus memiliki sisi yang sama di semua sisinya.
Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki
oleh kubus juga dimiliki oleh balok.
1. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yangsaling kongruen. Sisi (bidang) tersebut
adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.
2. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE
, BF , CG , dan DH.
3. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.
4. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF .
5. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG
, BH , CE , dan DF.
6. Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di
antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC.
Demikian penjelasan secara singkat mengenai diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang
diagonal kubus.
E.Diagonal bidang, ruang dan bidang diagonal balok
Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang
berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Untuk memahamidefinisi tersebut coba perhatikan
bidang TUVW padagambar di bawah ini.
10. Ruas garis yang menghubungkan titik sudut T dan V serta U dan W disebut diagonal bidang atau
diagonal sisi. Dengan demikian, bidang TUVW mempunyai dua diagonal bidang, yaitu TV dan
UW . Jadi, setiap bidang pada balok mempunyai dua diagonal bidang. Karena balok memiliki 6
bidang sisi maka balok memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi.
Diagonal Ruang Balok
Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang
berhadapan dalam suatu ruang. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan gambar
berikut di bawah ini.
Hubungkan titik P dan V, Q dan W, R dan T, atauS dan U. Garis PV, garis QW, garis RT, dan
garis SU disebut diagonal ruang. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu
titik. Suatu balok memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada
satu titik.
Bidang Diagonal
Bidang diagonal suatu balok adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang
suatu balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan balok PQRS.TUVW pada
gambar di bawah ini.
Bidang PRVT dan PWVQ disebut bidang diagonal. Jadi balok memiliki enam bidang diagonal
yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen.
11. Materi limas dan prisma
1. Prisma
Definisi prisma berdasarkan Encyclopedia of Mathematics oleh James Tanton, halaman 411,
sebarang polyhedron (bangun ruang dengan banyak sisi) yang dibatasi dua sisi berbentuk
polygon (segi banyak / segi – ) yang sejajar dan kongruen, serta sisi – sisi lainnya berbentuk
parallelograms (persegi panjang). Secara spesifik dapat didefinisikan juga sebagai tabung
(cylinder) dengan bidang alas polygon (segi banyak / segi – ).
Pemberian nama prisma berdasarkan apa bidang alas prisma tersebut. Jika bidang alas prisma
berbentuk segi lima maka disebut sebagai prisma segi lima.
Nah, rumus volume prisma adalah :
Prisma sendiri dibagi dua macam, yaitu prisma tegak dan prisma condong / prisma miring.
Perhatikan gambar berikut ini.
Berikut ini adalah nama bagian – bagian dari prisma :
a. Titik dan adalah titik – titik sudut prisma
b. adalah bidang atas prisma
c. adalah bidang alas prisma
d. Bidang dan adalah sisi tegak prisma
e. dan adalah rusuk – rusuk tegak prisma.
2. Piramid
Definisi piramid berdasarkan Encyclopedia of Mathematics oleh James Tanton, halaman 423,
sebuah kerucut dengan bidang alasnya berupa segi – . Piramid juga dapat dikatakan sebagai
bangun ruang yang terbentuk dari sebuah segi – dan beberapa segitiga. Titik temu segitiga
dari semua titik ujung segitiga pada satu titik disebut sebagai APEX piramida.
Pemberian nama pada limas juga sama dengan pemberian nama pada prisma, yaitu berdasarkan
apa bidang alas dari limas tersebut.
12. Perhatikan bangun limas di atas, berikut nama – nama
bagian dari limas .
a. Titik adalah titik sudut bidang alas limas segi empat, dan T adalah titik puncak limas.
b. adalah rusuk tegak limas.
c. dan adalah sisi tegak limas.
d. adalah rusuk bidang alas limas.
e. adalah tinggi limas.
*Ingat ya!!!
Semua panjang rusuk tegak prisma beraturan adalah sama panjang.
Semua panjang rusuk tegak limas beraturan adalah sama panjang.
Pengertian kongruen adalah dua bangun datar yang sama besar baik panjang sisi dan
sudut – sudut yang bersesuaian.
Pengertian luas permuakaan dari bangun ruang adalah jumlah dari semua luas sisi – sisi
bangun ruang tersebut.
Selanjutnya masuk ke rumus – rumus yang biasanya digunakan :
Jika diketahui suatu prisma dengan banyak sisi dan ditanyakan berapap banyak diagonal
bidang alas, banyak bidang diagonal prisma segi – , dan banyak diagonal ruang prisma segi
– . Berikut ini rumusnya ya,
Banyak diagonal bidang alas prisma segi =
Banyak bidang diagonal prisma segi – =
Banyak diagonal ruang prisma segi – =
Selanjutnya adalh jaring – jaring bangun limas dan prisma. Berikut ini jaring – jaring bangun
tersebut :
Prisma
13. Limas
Cara membuat jaring – jaring limas dan prisma sangatlah mudah sekali, bayangkan saja kita
sedang memiliki kardus yang berbentuk prisma atau limas dan kita membuka masing – masing
sisi kardus tersebut yang saling merekat. Nah, jika kita sudah bisa membuat jaring – jaring
bangun kita akan juga dapat menghitung luas permukaan bangun ruang tersebut.
